Algebraic Identities Questions in Hindi

(A) सीधे गुणा किए बिना $93 \times 95$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम संख्याओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$93 = 90 + 3$
$95 = 90 + 5$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $x = 90$,$a = 3$,और $b = 5$ है:
$(90 + 3)(90 + 5) = (90)^2 + (3 + 5)(90) + (3 \times 5)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(90)^2 = 8100$
$(3 + 5)(90) = 8 \times 90 = 720$
$(3 \times 5) = 15$
इन मानों को जोड़ने पर:
$8100 + 720 + 15 = 8835$
अतः,$93 \times 95 = 8835$।

(B) बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके $78 \times 84$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$78 = (80 - 2)$
$84 = (80 + 4)$
सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 80$,$a = -2$,और $b = 4$ है:
$(80 - 2)(80 + 4) = (80)^2 + (-2 + 4)(80) + (-2)(4)$
$= 6400 + (2)(80) - 8$
$= 6400 + 160 - 8$
$= 6560 - 8$
$= 6552$

(A) $(2 x+5 y)^{2}$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+2 a b+b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2 x$ और $b = 5 y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 x+5 y)^{2} = (2 x)^{2} + 2(2 x)(5 y) + (5 y)^{2}$
$= 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$.

(A) व्यंजक $(3a - 4)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 3a$ और $y = 4$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(4) + (4)^2$
$= 9a^2 - 24a + 16$.

(A) दी गई व्यंजक $16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a^{2} = 16 x^{2} = (4 x)^{2}$,इसलिए $a = 4 x$ है।
और $b^{2} = 25 y^{2} = (5 y)^{2}$,इसलिए $b = 5 y$ है।
अब,मध्य पद की जाँच करें: $2ab = 2(4 x)(5 y) = 40 x y$ है।
चूंकि व्यंजक सर्वसमिका से मेल खाता है,इसलिए हम इसे $(4 x+5 y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,गुणनखंड $(4 x+5 y)(4 x+5 y)$ हैं।

(B) व्यंजक $49 x^{2}-42 x+9$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}$ का पालन करता है।
यहाँ,$a^{2} = 49 x^{2} = (7 x)^{2}$,इसलिए $a = 7 x$ है।
और $b^{2} = 9 = (3)^{2}$,इसलिए $b = 3$ है।
अब,मध्य पद की जाँच करें: $-2ab = -2(7 x)(3) = -42 x$ है।
चूँकि व्यंजक सर्वसमिका से मेल खाता है,हम लिख सकते हैं:
$49 x^{2}-42 x+9 = (7 x)^{2}-2(7 x)(3)+(3)^{2} = (7 x-3)^{2}$।
अतः,गुणनखंड $(7 x-3)(7 x-3)$ हैं।

(C) $(107)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $107$ को $(100 + 7)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 7$ है:
$(100 + 7)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(7) + (7)^{2}$
$= 10000 + 1400 + 49$
$= 11449$

(A) दिया गया व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 7y$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$(3x + 7y)(3x - 7y) = (3x)^2 - (7y)^2$
$= 9x^2 - 49y^2$

(A) दी गई व्यंजक $121 x^{2}-289 y^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $121 = 11^{2}$ और $289 = 17^{2}$ होता है।
अतः,इस व्यंजक को $(11 x)^{2}-(17 y)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=11x$ और $b=17y$ है:
$(11 x)^{2}-(17 y)^{2}=(11 x-17 y)(11 x+17 y)$.

(A) सीधा गुणा किए बिना $66 \times 74$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(70 - 4)$ और $(70 + 4)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 70$ और $b = 4$ है:
$66 \times 74 = (70 - 4)(70 + 4)$
$= (70)^2 - (4)^2$
$= 4900 - 16$
$= 4884$

(A) $(x+3y-5z)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = x$,$b = 3y$,और $c = -5z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+3y-5z)^{2} = (x)^{2} + (3y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 9y^{2} + 25z^{2} + 6xy - 30yz - 10zx$.

(A) $(2x - y - 5)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$,$b = -y$,और $c = -5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x - y - 5)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-5)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-5) + 2(-5)(2x)$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= 4x^2 + y^2 + 25 - 4xy + 10y - 20x$.

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $x^{2}+9 y^{2}+4+6 x y+12 y+4 x$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= (x)^{2} + (3y)^{2} + (2)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(2) + 2(2)(x)$.
इसे सर्वसमिका के साथ तुलना करने पर,जहाँ $a=x$,$b=3y$ और $c=2$ है,हमें प्राप्त होता है:
$= (x+3y+2)^{2}$.
अतः,गुणनखंड $(x+3y+2)(x+3y+2)$ हैं।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-4 x y-12 y z+6 z x$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करेंगे।
दिए गए व्यंजक की सर्वसमिका से तुलना करने पर,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^{2}+(-2 y)^{2}+(3 z)^{2}+2(x)(-2 y)+2(-2 y)(3 z)+2(3 z)(x)$.
यहाँ,$a = x$,$b = -2y$,और $c = 3z$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(x-2y+3z)^{2}$ है।
इसलिए,इसके गुणनखंड $(x-2y+3z)(x-2y+3z)$ हैं।

(C) बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $(132)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $132$ को $(130 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 130$ और $b = 2$ है:
$(130 + 2)^{2} = (130)^{2} + 2(130)(2) + (2)^{2}$
$= 16900 + 520 + 4$
$= 17424$.

$(3x + 2y)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 2y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x + 2y)^3 = (3x)^3 + (2y)^3 + 3(3x)(2y)(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 18xy(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 54x^2y + 36xy^2$

(N/A) $(2a - 5b)^3$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम निम्नलिखित बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करेंगे:
$(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
यहाँ,$x = 2a$ और $y = 5b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (2a)^3 - (5b)^3 - 3(2a)(5b)(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 30ab(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 60a^2b + 150ab^2$

(N/A) दिया गया व्यंजक $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2}$ का उपयोग करके लिख सकते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $a = 2x$ और $b = 3y$ है।
तब,$a^{3} = (2x)^{3} = 8x^{3}$ और $b^{3} = (3y)^{3} = 27y^{3}$ होता है।
मध्य पद $3a^{2}b = 3(2x)^{2}(3y) = 3(4x^{2})(3y) = 36x^{2}y$ और $3ab^{2} = 3(2x)(3y)^{2} = 3(2x)(9y^{2}) = 54xy^{2}$ हैं।
अतः,व्यंजक $(2x)^{3} + (3y)^{3} + 3(2x)^{2}(3y) + 3(2x)(3y)^{2}$ के रूप में है।
यह $(2x + 3y)^{3}$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,गुणनखंडित रूप $(2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y)$ है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x$ है।
हम इस व्यंजक को $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = -4$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x = (3x)^{3} + (-4)^{3} + 3(3x)^{2}(-4) + 3(3x)(-4)^{2}$ प्राप्त होता है।
यह $(3x - 4)^{3}$ में सरल हो जाता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(3x - 4)(3x - 4)(3x - 4)$ है।

(D) $(998)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $998$ को $(1000 - 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1000$ और $b = 2$ है:
$(1000 - 2)^{3} = (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(D) दिया गया व्यंजक $8 x^{3}+y^{3}-27 z^{3}+18 x y z$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ का उपयोग करेंगे।
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $(2 x)^{3}+(y)^{3}+(-3 z)^{3}-3(2 x)(y)(-3 z)$.
यहाँ,$a = 2 x$,$b = y$,और $c = -3 z$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= (2 x+y-3 z)((2 x)^{2}+(y)^{2}+(-3 z)^{2}-(2 x)(y)-(y)(-3 z)-(-3 z)(2 x))$.
पदों को सरल करने पर:
$= (2 x+y-3 z)(4 x^{2}+y^{2}+9 z^{2}-2 x y+3 y z+6 z x)$.

(B) माना $a = 21$,$b = 15$,और $c = -36$ है।
सबसे पहले,$a, b,$ और $c$ का योग ज्ञात कीजिए:
$a + b + c = 21 + 15 + (-36) = 36 - 36 = 0$.
हम जानते हैं कि यदि $a + b + c = 0$ हो,तो बीजीय सर्वसमिका के अनुसार $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(21)^{3} + (15)^{3} + (-36)^{3} = 3 \times (21) \times (15) \times (-36)$.
गुणनफल ज्ञात करने पर:
$3 \times 21 = 63$
$15 \times (-36) = -540$
$63 \times (-540) = -34020$.
अतः,इसका मान $-34020$ है।

(B) व्यंजक $(x+4)(x+9)$ का विस्तार करने के लिए,हम वितरण नियम का उपयोग करते हैं:
$(x+4)(x+9) = x(x+9) + 4(x+9)$
$= x^{2} + 9x + 4x + 36$
$= x^{2} + 13x + 36$

(A) व्यंजक $(3x - 1)(3x + 4)$ का विस्तार करने के लिए,हम वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करते हैं:
$(3x - 1)(3x + 4) = (3x)(3x) + (3x)(4) + (-1)(3x) + (-1)(4)$
$= 9x^2 + 12x - 3x - 4$
$= 9x^2 + 9x - 4$

(A) $(2x - 7)(2x - 5)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम वितरण गुण ($FOIL$ विधि) का उपयोग करते हैं:
$1$. प्रथम पदों का गुणा: $(2x) \times (2x) = 4x^2$.
$2$. बाहरी पदों का गुणा: $(2x) \times (-5) = -10x$.
$3$. आंतरिक पदों का गुणा: $(-7) \times (2x) = -14x$.
$4$. अंतिम पदों का गुणा: $(-7) \times (-5) = 35$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $4x^2 - 10x - 14x + 35 = 4x^2 - 24x + 35$.

(N/A) $(2a + 3b)(2a - 5b)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करते हैं:
$1$. पहले पदों का गुणा: $(2a) \times (2a) = 4a^2$.
$2$. बाहरी पदों का गुणा: $(2a) \times (-5b) = -10ab$.
$3$. आंतरिक पदों का गुणा: $(3b) \times (2a) = 6ab$.
$4$. अंतिम पदों का गुणा: $(3b) \times (-5b) = -15b^2$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $4a^2 - 10ab + 6ab - 15b^2$.
अंत में,मध्य पदों को सरल करने पर: $-10ab + 6ab = -4ab$.
अतः,विस्तारित रूप $4a^2 - 4ab - 15b^2$ है।

(C) सीधे गुणा किए बिना $103 \times 105$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,हम $103 = (100 + 3)$ और $105 = (100 + 5)$ लिख सकते हैं।
इसे सर्वसमिका के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 100$,$a = 3$,और $b = 5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(100 + 3)(100 + 5) = (100)^2 + (3 + 5)(100) + (3 \times 5)$
$= 10000 + (8 \times 100) + 15$
$= 10000 + 800 + 15$
$= 10815$.

(D) $84 \times 79$ का मान सीधे गुणा किए बिना ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को द्विपद के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
हम $84$ को $(80 + 4)$ और $79$ को $(80 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 80$,$a = 4$,और $b = -1$ है:
$(80 + 4)(80 - 1) = 80^2 + (4 - 1)80 + (4 \times -1)$
$= 6400 + (3 \times 80) - 4$
$= 6400 + 240 - 4$
$= 6640 - 4$
$= 6636$.

(A) सीधा गुणा किए बिना $76 \times 82$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(79 - 3)$ और $(79 + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 79$ और $b = 3$ है:
$76 \times 82 = (79 - 3)(79 + 3)$
$= 79^2 - 3^2$
$= 6241 - 9$
$= 6232$.

(B) सीधे गुणा किए बिना $88 \times 86$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(90 - 2) \times (90 - 4)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 90$,$a = -2$,और $b = -4$ है:
$(90 - 2)(90 - 4) = 90^2 + (-2 - 4) \times 90 + (-2 \times -4)$
$= 8100 + (-6 \times 90) + 8$
$= 8100 - 540 + 8$
$= 7560 + 8$
$= 7568$.

(A) $(3x + 5)^2$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$
$= 9x^2 + 30x + 25$.

(B) व्यंजक $(6x - 7)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 6x$ और $b = 7$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(6x - 7)^2 = (6x)^2 - 2(6x)(7) + (7)^2$
$= 36x^2 - 84x + 49$.
अतः,विस्तारित रूप $36x^2 - 84x + 49$ है।

(B) $(2a + 3b)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 2a$ और $y = 3b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2$
$= 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

(A) व्यंजक $\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = \frac{x}{2}$ और $b = \frac{2}{5}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} - 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{5}\right)^{2}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{4x}{10} + \frac{4}{25}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{2x}{5} + \frac{4}{25}$.

(A) $\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \frac{2x}{3}$ और $b = \frac{3y}{4}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2} = \left(\frac{2x}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2x}{3}\right)\left(\frac{3y}{4}\right) + \left(\frac{3y}{4}\right)^{2}$
$= \frac{4x^{2}}{9} + 2\left(\frac{6xy}{12}\right) + \frac{9y^{2}}{16}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + 2\left(\frac{xy}{2}\right) + \frac{9}{16}y^{2}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + xy + \frac{9}{16}y^{2}$.

(A) $(x - \frac{1}{2})^{2}$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = x$ और $b = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - \frac{1}{2})^{2} = (x)^{2} - 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^{2}$.
पदों को सरल करने पर:
$= x^{2} - x + \frac{1}{4}$.

(B) दिया गया व्यंजक $16 x^{2}-40 x y+25 y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $(4 x)^{2}-2(4 x)(5 y)+(5 y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a=4 x$ और $b=5 y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(4 x-5 y)^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक $9x^{2} + 42x + 49$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का पालन करता है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$9x^{2} + 42x + 49 = (3x)^{2} + 2(3x)(7) + (7)^{2}$.
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 7$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(3x + 7)^{2}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{4x^2}{9} - \frac{x}{3} + \frac{1}{16}$ है।
इसे $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{4x^2}{9} \implies a = \frac{2x}{3}$ है।
और $b^2 = \frac{1}{16} \implies b = \frac{1}{4}$ है।
मध्य पद की जाँच करने पर: $-2ab = -2 \times \left(\frac{2x}{3}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{4x}{12} = -\frac{x}{3}$ है।
चूँकि मध्य पद मेल खाता है,इसलिए व्यंजक $\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\right)^2$ होगा।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{x^{2}}{4}+\frac{3 x y}{5}+\frac{9 y^{2}}{25}$ है।
इसे $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2} = \frac{x^{2}}{4} \implies a = \frac{x}{2}$ है।
और $b^{2} = \frac{9 y^{2}}{25} \implies b = \frac{3 y}{5}$ है।
अब,मध्य पद $2ab = 2 \times \left(\frac{x}{2}\right) \times \left(\frac{3 y}{5}\right) = \frac{3 x y}{5}$ की जाँच करें।
चूंकि मध्य पद मेल खाता है,इसलिए व्यंजक $\left(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{5}\right)^{2}$ होगा।

(A) $(65)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,हम $65$ को $(60 + 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(65)^{2} = (60 + 5)^{2}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $(60)^{2} + 2(60)(5) + (5)^{2}$.
$= 3600 + 600 + 25$.
$= 4225$.
वैकल्पिक रूप से,$5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या के लिए,उसका वर्ग $(n5)^{2} = [n(n+1)] \times 100 + 25$ के रूप में गणना की जाती है।
$65$ के लिए,$n = 6$,इसलिए $[6(6+1)] \times 100 + 25 = (6 \times 7) \times 100 + 25 = 4200 + 25 = 4225$.

(B) $(101)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $101$ को $(100 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 1$ है:
$(100 + 1)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(1) + (1)^{2}$
$= 10000 + 200 + 1$
$= 10201$.

(C) $(1002)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $1002$ को $(1000 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1000$ और $b = 2$ है:
$(1000 + 2)^{2} = (1000)^{2} + 2(1000)(2) + (2)^{2}$
$= 1000000 + 4000 + 4$
$= 1004004$.

(D) $(98)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $98$ को $(100 - 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 2$ है:
$(100 - 2)^{2} = (100)^{2} - 2(100)(2) + (2)^{2}$
$= 10000 - 400 + 4$
$= 9600 + 4$
$= 9604$.

(A) $(x+5y)(x-5y)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = x$ और $b = 5y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(x+5y)(x-5y) = (x)^2 - (5y)^2$
$= x^2 - 25y^2$.

(B) दिया गया व्यंजक $(a + b)(a - b)$ के रूप में है,जहाँ $a = \frac{2x}{3}$ और $b = \frac{4y}{5}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2x}{3}\right)^2 - \left(\frac{4y}{5}\right)^2$
$= \frac{4x^2}{9} - \frac{16y^2}{25}$
$= \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{25}y^2$.

(N/A) $(3x + 7)(-3x + 7)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करके बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
सबसे पहले,व्यंजक को $(7 + 3x)(7 - 3x)$ के रूप में लिखें।
यहाँ,$a = 7$ और $b = 3x$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर: $(7)^2 - (3x)^2 = 49 - 9x^2$।

(A) $(11 x+18)(11 x-18)$ व्यंजक का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = 11 x$ और $b = 18$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$(11 x)^{2} - (18)^{2}$
$= 121 x^{2} - 324$.

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25}$ है।
इसे $a^2 - b^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a^2 = \frac{4x^2}{9}$ और $b^2 = \frac{1}{25}$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $a = \frac{2x}{3}$ और $b = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,हम $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25} = \left(\frac{2x}{3} + \frac{1}{5}\right)\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{5}\right)$.

(A) दी गई व्यंजक $169 x^{2}-625$ है।
हम इसे $(13 x)^{2}-(25)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 13 x$ और $b = 25$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(13 x)^{2}-(25)^{2} = (13 x+25)(13 x-25)$.