Algebraic Identities Questions in Hindi

(A) $103 \times 97$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $103$ को $(100 + 3)$ और $97$ को $(100 - 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3)$
$= 100^2 - 3^2$
$= 10000 - 9$
$= 9991$.

(B) $205 \times 195$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $205$ को $(200 + 5)$ और $195$ को $(200 - 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$205 \times 195 = (200 + 5)(200 - 5)$।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें $200^2 - 5^2$ प्राप्त होता है।
$200^2 = 40000$ और $5^2 = 25$।
इसलिए,$40000 - 25 = 39975$।

(C) $77 \times 83$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $77$ को $(80 - 3)$ और $83$ को $(80 + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$77 \times 83 = (80 - 3)(80 + 3)$
$= 80^2 - 3^2$
$= 6400 - 9$
$= 6391$.

(D) $153 \times 147$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम संख्याओं को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$153 = 150 + 3$
$147 = 150 - 3$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(150 + 3)(150 - 3) = 150^2 - 3^2$
वर्गों की गणना करने पर:
$150^2 = 22500$
$3^2 = 9$
मानों को घटाने पर:
$22500 - 9 = 22491$
अतः,$153 \times 147 = 22491$।

(N/A) $(2x + 3y + 5)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
यहाँ,$a = 2x$,$b = 3y$,और $c = 5$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 3y + 5)^2 = (2x)^2 + (3y)^2 + (5)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(5) + 2(5)(2x)$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(5)^2 = 25$
$2(2x)(3y) = 12xy$
$2(3y)(5) = 30y$
$2(5)(2x) = 20x$
इन परिणामों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $4x^2 + 9y^2 + 25 + 12xy + 30y + 20x$.

व्यंजक $\left(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}-\frac{3 z}{4}\right)^{2}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \frac{x}{2}$,$b = \frac{2y}{3}$,और $c = -\frac{3z}{4}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + \left(\frac{2y}{3}\right)^{2} + \left(-\frac{3z}{4}\right)^{2} + 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2y}{3}\right) + 2\left(\frac{2y}{3}\right)\left(-\frac{3z}{4}\right) + 2\left(-\frac{3z}{4}\right)\left(\frac{x}{2}\right)$
$= \frac{x^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{9} + \frac{9z^{2}}{16} + \frac{2xy}{3} - yz - \frac{3zx}{4}$

(A) $(5x - 7y - z)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = 5x$,$b = -7y$,और $c = -z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5x - 7y - z)^2 = (5x)^2 + (-7y)^2 + (-z)^2 + 2(5x)(-7y) + 2(-7y)(-z) + 2(-z)(5x)$।
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(5x)^2 = 25x^2$
$(-7y)^2 = 49y^2$
$(-z)^2 = z^2$
$2(5x)(-7y) = -70xy$
$2(-7y)(-z) = 14yz$
$2(-z)(5x) = -10zx$
इन सबको संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $25x^2 + 49y^2 + z^2 - 70xy + 14yz - 10zx$।

(A) $(a - 2b + 7c)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = a$,$y = -2b$,और $z = 7c$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a - 2b + 7c)^2 = (a)^2 + (-2b)^2 + (7c)^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(7c) + 2(7c)(a)$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= a^2 + 4b^2 + 49c^2 - 4ab - 28bc + 14ca$.

(N/A) दिया गया व्यंजक $x^{2}+4 y^{2}+25 z^{2}+4 x y-20 y z-10 z x$ है।
हम इसे बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a = x$,$b = 2y$,और $c = -5z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + (2y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(2y) + 2(2y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 4y^{2} + 25z^{2} + 4xy - 20yz - 10zx$.
अतः,यह व्यंजक $(x+2y-5z)^{2}$ के बराबर है।
इसलिए,इसके गुणनखंड $(x+2y-5z)(x+2y-5z)$ हैं।

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
दी गई व्यंजक: $4x^2 + 9y^2 + 49z^2 - 12xy + 42yz - 28zx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(2x)^2 + (-3y)^2 + (-7z)^2 + 2(2x)(-3y) + 2(-3y)(-7z) + 2(-7z)(2x)$.
यहाँ,$a = 2x$,$b = -3y$,और $c = -7z$ है।
अतः,यह व्यंजक $(2x - 3y - 7z)^2$ के बराबर है,जो $(2x - 3y - 7z)(2x - 3y - 7z)$ है।

(N/A) दी गई व्यंजक $25 x^{2}+9 y^{2}+64+30 x y-48 y-80 x$ है।
इसे $(5 x)^{2}+(3 y)^{2}+(-8)^{2}+2(5 x)(3 y)+2(3 y)(-8)+2(5 x)(-8)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a = (a+b+c)^{2}$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 5 x$,$b = 3 y$,और $c = -8$ है।
अतः,व्यंजक $(5 x+3 y-8)^{2}$ हो जाता है,जो $(5 x+3 y-8)(5 x+3 y-8)$ है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^{2}$ के रूप में है।
दिए गए व्यंजक $x^{2} + (\frac{y}{2})^{2} + (\frac{z}{4})^{2} + 2(x)(\frac{y}{2}) + 2(\frac{y}{2})(\frac{z}{4}) + 2(\frac{z}{4})(x)$ की सर्वसमिका से तुलना करने पर:
यहाँ,$a = x$,$b = \frac{y}{2}$,और $c = \frac{z}{4}$ है।
अतः,व्यंजक को $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,इसके गुणनखंड $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})$ हैं।

(A) $(153)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $153$ को $(150 + 3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(153)^{2} = (150 + 3)^{2}$।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(150)^{2} + 2(150)(3) + (3)^{2}$
$= 22500 + 900 + 9$
$= 23409$।
अतः,सही मान $23409$ है।

(B) $(215)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $215$ को $(200 + 15)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$(200 + 15)^{2} = (200)^{2} + 2(200)(15) + (15)^{2}$.
$= 40000 + 6000 + 225$.
$= 46225$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $(421)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $421$ को $(400 + 21)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका लागू करने पर: $(400 + 21)^{2} = (400)^{2} + 2(400)(21) + (21)^{2}$.
$(400)^{2} = 160000$.
$2 \times 400 \times 21 = 800 \times 21 = 16800$.
$(21)^{2} = 441$.
इन मानों को जोड़ने पर: $160000 + 16800 + 441 = 177241$.
अतः,$(421)^{2} = 177241$.

(A) $(555)^{2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $555$ को $(500 + 55)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$(555)^{2} = (500 + 55)^{2}$
$= (500)^{2} + 2(500)(55) + (55)^{2}$
$= 250000 + 55000 + 3025$
$= 305000 + 3025$
$= 308025$.

(N/A) $(3a + 5b)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = 3a$ और $y = 5b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a + 5b)^3 = (3a)^3 + (5b)^3 + 3(3a)(5b)(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 45ab(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 135a^2b + 225ab^2$.

व्यंजक $(2x + 7)^3$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$ और $b = 7$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 7)^3 = (2x)^3 + (7)^3 + 3(2x)^2(7) + 3(2x)(7)^2$
$= 8x^3 + 343 + 3(4x^2)(7) + 3(2x)(49)$
$= 8x^3 + 343 + 84x^2 + 294x$
पदों को घात के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$= 8x^3 + 84x^2 + 294x + 343$.

(N/A) $(4x - 3y)^{3}$ का विस्तार करने के लिए,हम निम्नलिखित बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b) = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
यहाँ,$a = 4x$ और $b = 3y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(4x - 3y)^{3} = (4x)^{3} - 3(4x)^{2}(3y) + 3(4x)(3y)^{2} - (3y)^{3}$
$= 64x^{3} - 3(16x^{2})(3y) + 3(4x)(9y^{2}) - 27y^{3}$
$= 64x^{3} - 144x^{2}y + 108xy^{2} - 27y^{3}$

(N/A) $(7x - 4y)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$.
यहाँ,$a = 7x$ और $b = 4y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(7x - 4y)^{3} = (7x)^{3} - (4y)^{3} - 3(7x)^{2}(4y) + 3(7x)(4y)^{2}$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 3(49x^{2})(4y) + 3(7x)(16y^{2})$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 588x^{2}y + 336xy^{2}$.

(N/A) दिया गया व्यंजक $8x^3 + 343y^3 + 84x^2y + 294xy^2$ है।
हम इसे $(2x)^3 + (7y)^3 + 3(2x)^2(7y) + 3(2x)(7y)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$ और $b = 7y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2x + 7y)^3$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(2x + 7y)(2x + 7y)(2x + 7y)$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{3} - 125y^{3} - 15x^{2}y + 75xy^{2}$ है।
हम इसे $x^{3} - (5y)^{3} - 3(x^{2})(5y) + 3(x)(5y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = x$ और $b = 5y$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(x - 5y)^{3}$ है,जिसे $(x - 5y)(x - 5y)(x - 5y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया व्यंजक $64 x^{3} + 125 y^{3} + 240 x^{2} y + 300 x y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $(4x)^{3} + (5y)^{3} + 3(4x)^{2}(5y) + 3(4x)(5y)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ के रूप में है,जहाँ $a = 4x$ और $b = 5y$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(4x + 5y)^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(4x + 5y)(4x + 5y)(4x + 5y)$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $27 x^{3}-8 y^{3}-54 x^{2} y+36 x y^{2}$ है।
इसे $(3x)^3 - (2y)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका याद करें: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$.
यहाँ,$a = 3x$ और $b = 2y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर,हमें $(3x - 2y)^3$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(3x - 2y)(3x - 2y)(3x - 2y)$ है।

(A) $(995)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $995$ को $(1000 - 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$a = 1000$ और $b = 5$ है।
$(1000 - 5)^{3} = (1000)^{3} - (5)^{3} - 3(1000)(5)(1000 - 5)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 15000(995)$
$= 1,000,000,000 - 125 - 14,925,000$
$= 1,000,000,000 - 14,925,125$
$= 985,074,875$.

(B) $(105)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $105$ को $(100 + 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$a = 100$ और $b = 5$ है।
$(100 + 5)^{3} = (100)^{3} + (5)^{3} + 3(100)(5)(100 + 5)$
$= 1000000 + 125 + 1500(105)$
$= 1000000 + 125 + 157500$
$= 1157625$

(N/A) दिया गया व्यंजक $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$,$b = 3y$,और $c = 5z$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ का उपयोग करने पर:
$a = 2x$,$b = 3y$,और $c = 5z$ को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8 x^{3}+27 y^{3}+125 z^{3}-3(2x)(3y)(5z) = (2x+3y+5z)((2x)^{2}+(3y)^{2}+(5z)^{2}-(2x)(3y)-(3y)(5z)-(5z)(2x))$
$= (2x+3y+5z)(4x^{2}+9y^{2}+25z^{2}-6xy-15yz-10zx)$.

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$.
दी गई व्यंजक: $27 x^{3}-y^{3}+64 z^{3}+36 x y z = (3 x)^{3}+(-y)^{3}+(4 z)^{3}-3(3 x)(-y)(4 z)$.
यहाँ,$a = 3 x$,$b = -y$,और $c = 4 z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (3 x-y+4 z)((3 x)^{2}+(-y)^{2}+(4 z)^{2}-(3 x)(-y)-(-y)(4 z)-(4 z)(3 x))$.
$= (3 x-y+4 z)(9 x^{2}+y^{2}+16 z^{2}+3 x y+4 y z-12 z x)$.

(B) दी गई व्यंजक $x^{3}-8 y^{3}-27-18 x y$ है।
इसे $x^{3} + (-2y)^{3} + (-3)^{3} - 3(x)(-2y)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = x$,$b = -2y$,और $c = -3$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + (-2y)^{2} + (-3)^{2} - (x)(-2y) - (-2y)(-3) - (-3)(x))$
$= (x - 2y - 3)(x^{2} + 4y^{2} + 9 + 2xy - 6y + 3x)$.

(A) दिया गया व्यंजक $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$,$b = 5y$,और $c = 7$ है।
हम सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
यहाँ,$3abc = 3(2x)(5y)(7) = 210xy$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8x^{3} + 125y^{3} + 343 - 210xy = (2x + 5y + 7)((2x)^{2} + (5y)^{2} + (7)^{2} - (2x)(5y) - (5y)(7) - (7)(2x))$.
पदों को सरल करने पर:
$= (2x + 5y + 7)(4x^{2} + 25y^{2} + 49 - 10xy - 35y - 14x)$.

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: यदि $a+b+c=0$,तो $a^3+b^3+c^3=3abc$ होता है।
माना $a = (x-2y)$,$b = (2y-3z)$,और $c = (3z-x)$ है।
अब,योग $a+b+c$ की गणना करें:
$a+b+c = (x-2y) + (2y-3z) + (3z-x)$
$a+b+c = x - x - 2y + 2y - 3z + 3z = 0$.
चूंकि योग $0$ है,इसलिए व्यंजक $(x-2y)^3 + (2y-3z)^3 + (3z-x)^3$ का मान $3abc$ होगा।
अतः,गुणनखंडित रूप $3(x-2y)(2y-3z)(3z-x)$ है।

(D) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
दी गई व्यंजक: $(31)^3 + (-16)^3 + (-15)^3$।
माना $x = 31$,$y = -16$,और $z = -15$ है।
योग की जाँच करें: $x + y + z = 31 + (-16) + (-15) = 31 - 31 = 0$।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए व्यंजक का मान $3xyz$ होगा।
मान $= 3 \times (31) \times (-16) \times (-15)$।
मान $= 3 \times 31 \times 240$।
मान $= 93 \times 240 = 22320$।

(A) हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ होता है।
दी गई व्यंजक: $(14)^{3} + (27)^{3} - (41)^{3}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(14)^{3} + (27)^{3} + (-41)^{3}$।
मान लीजिए $x = 14$,$y = 27$,और $z = -41$ है।
योग की जाँच करें: $x + y + z = 14 + 27 + (-41) = 41 - 41 = 0$।
चूँकि योग $0$ है,इसलिए व्यंजक का मान $3xyz$ होगा।
मान $= 3 \times (14) \times (27) \times (-41)$।
मान $= 3 \times 378 \times (-41) = 1134 \times (-41) = -46494$।

(B) माना $x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{1}{3}$,और $z = -\frac{5}{6}$ है।
सबसे पहले,$x, y,$ और $z$ का योग ज्ञात करें:
$x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3+2-5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका के अनुसार: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
मान रखने पर:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)$.
$= 3 \times \left(\frac{1}{6}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{12}$.

(C) माना $a = 0.2$,$b = -0.3$,और $c = 0.1$ है।
हम देखते हैं कि $a + b + c = 0.2 + (-0.3) + 0.1 = 0.3 - 0.3 = 0$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होता है।
मान रखने पर:
$(0.2)^{3} + (-0.3)^{3} + (0.1)^{3} = 3(0.2)(-0.3)(0.1)$।
गुणनफल की गणना करने पर: $3 \times 0.2 = 0.6$; $0.6 \times (-0.3) = -0.18$; $-0.18 \times 0.1 = -0.018$।
अतः,$(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3} = -0.018$।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = (\text{भुजा})^2$।
यहाँ, $\text{क्षेत्रफल} = 9x^2 + 30x + 25$ दिया गया है।
इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = 3x$ और $b = 5$ है:
$9x^2 + 30x + 25 = (3x + 5)^2$।
चूँकि $\text{क्षेत्रफल} = (\text{भुजा})^2$ है, इसलिए भुजा की लंबाई $(3x + 5)$ इकाई होगी।

(A) दिया गया समीकरण $x+y = -4$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(x+y)^3 = (-4)^3$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर,$x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = -64$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $(x+y) = -4$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^3 + y^3 + 3xy(-4) = -64$.
$x^3 + y^3 - 12xy = -64$.
दोनों पक्षों में $64$ जोड़ने पर,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = -64 + 64$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^3 + y^3 - 12xy + 64 = 0$।

(B) दिए गए समीकरण $x = 2y + 6$ को $x - 2y = 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^3 - 8y^3 - 36xy - 216$ का मान ज्ञात करने के लिए,इसे $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 - 3(x)(-2y)(-6)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका याद करें: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$।
यहाँ $a = x$,$b = -2y$,और $c = -6$ लें।
तो $a + b + c = x - 2y - 6$ होगा। चूँकि $x - 2y = 6$,इसलिए $a + b + c = 6 - 6 = 0$ होगा।
यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
मान रखने पर: $x^3 + (-2y)^3 + (-6)^3 = 3(x)(-2y)(-6)$।
$x^3 - 8y^3 - 216 = 36xy$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^3 - 8y^3 - 36xy - 216 = 0$।

(B) $85 \times 75$ की गणना करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $85$ को $(80 + 5)$ और $75$ को $(80 - 5)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$85 \times 75 = (80 + 5)(80 - 5)$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 80$ और $b = 5$ है:
$= 80^2 - 5^2$
$= 6400 - 25$
$= 6375$.

(C) द्विघात व्यंजक $4x^{2} - 20x + 25$ का गुणनखंड करने के लिए,हम देखते हैं कि यह बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का पालन करता है।
यहाँ,$a^{2} = 4x^{2} \implies a = 2x$ है।
साथ ही,$b^{2} = 25 \implies b = 5$ है।
मध्य पद की जाँच करने पर: $-2ab = -2(2x)(5) = -20x$,जो दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
अतः,$4x^{2} - 20x + 25 = (2x - 5)^{2}$।

(B) दी गई व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 5x$ और $b = 3$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$(5x+3)(5x-3) = (5x)^{2} - (3)^{2}$
$= 25x^{2} - 9$.

(B) दी गई व्यंजक $49x^2 - 121$ है।
इसे $a^2 - b^2$ के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$49x^2 - 121 = (7x)^2 - (11)^2$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 7x$ और $b = 11$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(7x)^2 - (11)^2 = (7x + 11)(7x - 11)$.
अतः,गुणनखंड $(7x + 11)(7x - 11)$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $(5x - 3)^2 = 25x^2 + kx + 9$ है।
हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 5x$ और $b = 3$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $(5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2(5x)(3) + (3)^2$ प्राप्त होता है।
$(5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9$ है।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $25x^2 + kx + 9$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$25x^2 - 30x + 9 = 25x^2 + kx + 9$ है।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$k = -30$ प्राप्त होता है।

(A) $k$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के बाईं ओर का विस्तार करते हैं:
$(2x + 3)(3x - 1) = 2x(3x) + 2x(-1) + 3(3x) + 3(-1)$
$= 6x^2 - 2x + 9x - 3$
$= 6x^2 + 7x - 3$
इसे दिए गए समीकरण $6x^2 + kx - 3$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $x$ का गुणांक दाईं ओर $k$ है और विस्तारित बाईं ओर $7$ है।
अतः,$k = 7$।