Time and Distances Questions in Gujarati

(A) ધારો કે કુલ અંતર $S$ છે અને સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ છે.
પ્રથમ એક-તૃતીયાંશ અંતર $(S/3)$ $10\, km/hr$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{S/3}{10} = \frac{S}{30}$ છે.
પછીના એક-તૃતીયાંશ અંતર $(S/3)$ $20\, km/hr$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{S/3}{20} = \frac{S}{60}$ છે.
છેલ્લા એક-તૃતીયાંશ અંતર $(S/3)$ $60\, km/hr$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $t_3 = \frac{S/3}{60} = \frac{S}{180}$ છે.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{30} + \frac{S}{60} + \frac{S}{180} = S \left( \frac{6+3+1}{180} \right) = \frac{10S}{180} = \frac{S}{18}$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{S}{S/18} = 18\, km/hr$.

(C) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $S \, km$ છે.
શાળાએ જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{S}{3} \, hours$.
શાળાએથી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $= \frac{S}{2} \, hours$.
આવવા-જવા માટેનો કુલ સમય $5 \, hours$ છે.
તેથી,$\frac{S}{3} + \frac{S}{2} = 5$.
$3$ અને $2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $6$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2S + 3S}{6} = 5$.
$\frac{5S}{6} = 5$.
$5S = 30$.
$S = 6 \, km$.
આમ,તેના ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $6 \, km$ છે.

(C) જ્યારે બે અલગ-અલગ ઝડપ માટે કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ છે.
અહીં,$v_1 = 64 \, km/hr$ અને $v_2 = 80 \, km/hr$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{2 \times 64 \times 80}{64+80} = \frac{2 \times 64 \times 80}{144}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{10240}{144} = \frac{640}{9} \approx 71.11 \, km/hr$.

(C) ધારો કે પગપાળા કાપેલું અંતર $x \, km$ છે.
તેથી સાયકલ દ્વારા કાપેલું અંતર $(61 - x) \, km$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
પગપાળા કાપેલ સમય = $\frac{x}{4} \, hours$.
સાયકલ પર કાપેલ સમય = $\frac{61 - x}{9} \, hours$.
કુલ સમય $9 \, hours$ છે,તેથી:
$\frac{x}{4} + \frac{61 - x}{9} = 9$
આખા સમીકરણને $36$ (જે $4$ અને $9$ નો લ.સા.અ. છે) વડે ગુણતા:
$9x + 4(61 - x) = 9 \times 36$
$9x + 244 - 4x = 324$
$5x = 324 - 244$
$5x = 80$
$x = \frac{80}{5} = 16 \, km$.
આમ,પગપાળા કાપેલું અંતર $16 \, km$ છે.

(C) કુલ અંતર $= 6 \, km$.
કુલ સમય $= 45 \, minutes = \frac{45}{60} \, hr = 0.75 \, hr$.
પ્રથમ અડધું અંતર $= 3 \, km$.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લીધેલ સમય $= \frac{2}{3} \times 45 \, minutes = 30 \, minutes = 0.5 \, hr$.
બાકી રહેલ અંતર $= 6 \, km - 3 \, km = 3 \, km$.
બાકી રહેલ સમય $= 45 \, minutes - 30 \, minutes = 15 \, minutes = \frac{15}{60} \, hr = 0.25 \, hr$.
બાકી રહેલ અંતર માટે જરૂરી ઝડપ $= \frac{\text{બાકી રહેલ અંતર}}{\text{બાકી રહેલ સમય}} = \frac{3 \, km}{0.25 \, hr} = 12 \, km/hr$.

(B) સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ કાપેલું અંતર}}{\text{કુલ લીધેલ સમય}}$
કુલ કાપેલું અંતર $= 10 \, km + 12 \, km = 22 \, km$
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલ સમય $= \frac{10 \, km}{12 \, km/hr} = \frac{5}{6} \, hr$
બીજા ભાગ માટે લીધેલ સમય $= \frac{12 \, km}{10 \, km/hr} = \frac{6}{5} \, hr$
કુલ લીધેલ સમય $= \frac{5}{6} + \frac{6}{5} = \frac{25 + 36}{30} = \frac{61}{30} \, hr$
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{22}{\frac{61}{30}} = \frac{22 \times 30}{61} = \frac{660}{61} \approx 10.82 \, km/hr$
આમ,સરેરાશ ઝડપ આશરે $10.8 \, km/hr$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સમાન ભાગોમાંથી દરેક માટેનું અંતર $d \, km$ છે.
કુલ અંતર $= 3d \, km$.
દરેક ભાગ માટે લીધેલ સમય $t_1 = d/3$,$t_2 = d/4$ અને $t_3 = d/5$ કલાક છે.
કુલ સમય $= 47 \, minutes = 47/60 \, \text{કલાક}$.
તેથી,$d/3 + d/4 + d/5 = 47/60$.
$3, 4, 5$ નો લસાઅ $60$ લેતા:
$(20d + 15d + 12d) / 60 = 47/60$.
$47d / 60 = 47/60$.
તેથી,$d = 1 \, km$.
કુલ અંતર $= 3d = 3 \times 1 = 3 \, km$.

(C) થી નીકળેલી ટ્રેન દ્વારા સવારે $8$ થી $9$ વાગ્યા સુધીમાં કાપેલું અંતર $= 60\, km/hr \times 1\, hr = 60\, km$ છે.
સવારે $9$ વાગ્યે બંને ટ્રેન વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $= 330\, km - 60\, km = 270\, km$ છે.
બંને ટ્રેન એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $= 60\, km/hr + 75\, km/hr = 135\, km/hr$ થશે.
સવારે $9$ વાગ્યા પછી તેમને મળવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{270\, km}{135\, km/hr} = 2\, \text{કલાક}$.
તેથી,બંને ટ્રેન સવારે $9 + 2 = 11$ વાગ્યે એકબીજાને મળશે.

(A) ધારો કે ફ્લાઇટનો મૂળ સમયગાળો $t$ કલાક છે.
મૂળ ઝડપ $v = \frac{600}{t} \, km/hr$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ઝડપ $v' = v - 200 = \frac{600}{t} - 200$ છે.
નવો સમય $t' = t + 0.5$ કલાક છે.
અંતર અચળ $(600 \, km)$ હોવાથી,$v' \times t' = 600$ થાય.
$(\frac{600}{t} - 200)(t + 0.5) = 600$.
$600 + \frac{300}{t} - 200t - 100 = 600$.
$\frac{300}{t} - 200t - 100 = 0$.
$100$ વડે ભાગતા: $\frac{3}{t} - 2t - 1 = 0$.
$3 - 2t^2 - t = 0 \implies 2t^2 + t - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2t^2 + 3t - 2t - 3 = 0$.
$t(2t + 3) - 1(2t + 3) = 0$.
$(t - 1)(2t + 3) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 1$ કલાક.

(A) ધારો કે અભયની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
અભય દ્વારા $30 \, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{30}{x} \, \text{કલાક}$.
અભય સમીર કરતા $2 \, \text{કલાક}$ વધુ સમય લે છે,તેથી સમીર દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \left(\frac{30}{x} - 2\right) \, \text{કલાક}$.
જો અભય તેની ઝડપ બમણી કરે,તો તેની નવી ઝડપ $2x \, km/h$ થાય.
બમણી ઝડપે અભય દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{30}{2x} = \frac{15}{x} \, \text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સમય સમીરના સમય કરતા $1 \, \text{કલાક}$ ઓછો છે:
$\frac{15}{x} = \left(\frac{30}{x} - 2\right) - 1$
$\frac{15}{x} = \frac{30}{x} - 3$
$3 = \frac{30}{x} - \frac{15}{x}$
$3 = \frac{15}{x}$
$x = \frac{15}{3} = 5 \, km/h$.
આમ,અભયની ઝડપ $5 \, km/h$ છે.

(C) ધારો કે મુસાફરીનું અંતર $x \, km$ છે.
$40 \, km/hr$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{40} \, hours$ છે.
$35 \, km/hr$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{35} \, hours$ છે.
આપેલ છે કે સમયનો તફાવત $15 \, minutes$ છે,જે $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} \, hours$ થાય છે.
તેથી,$\frac{x}{35} - \frac{x}{40} = \frac{1}{4}$.
$35$ અને $40$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $280$ છે:
$\frac{8x - 7x}{280} = \frac{1}{4}$.
$\frac{x}{280} = \frac{1}{4}$.
$x = \frac{280}{4} = 70 \, km$.
આમ,મુસાફરીનું અંતર $70 \, km$ છે.

(A) ની સાપેક્ષમાં $B$ ની સાપેક્ષ ઝડપ $(6 - 1) = 5$ રાઉન્ડ/કલાક છે.
આનો અર્થ એ છે કે $B$,$A$ કરતા એક કલાકમાં $5$ આખા રાઉન્ડ વધુ પૂર્ણ કરે છે.
પ્રથમ વખત મળવા માટે,$B$ એ $A$ કરતા બરાબર $1$ આખો રાઉન્ડ વધુ પૂર્ણ કરવો પડે.
$5$ રાઉન્ડ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= 60$ મિનિટ.
$1$ રાઉન્ડ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{60}{5} = 12$ મિનિટ.
તેઓ સવારે $7.30$ વાગ્યે શરૂઆત કરે છે,તેથી તેઓ $12$ મિનિટ પછી પ્રથમ વખત મળશે.
તેથી,મળવાનો સમય $7.30 + 12 \text{ મિનિટ} = 7.42 \, a.m.$ થશે.

(B) ધારો કે કાર $P$ ની ઝડપ $u \, km/hr$ છે અને કાર $Q$ ની ઝડપ $v \, km/hr$ છે.
જ્યારે કાર વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(u + v)$ થાય છે.
તેઓ $120 \, km$ નું અંતર $1 \, \text{કલાક}$ માં કાપે છે,તેથી: $u + v = \frac{120}{1} = 120 \dots (1)$.
જ્યારે કાર એક જ દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(u - v)$ થાય છે.
તેઓ $120 \, km$ નું અંતર $6 \, \text{કલાક}$ માં કાપે છે,તેથી: $u - v = \frac{120}{6} = 20 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $(u + v) + (u - v) = 120 + 20$.
$2u = 140$,જેનો અર્થ છે કે $u = 70 \, km/hr$.
આમ,કાર $P$ ની ઝડપ $70 \, km/hr$ છે.

(A) પોલીસકર્મી અને ચોર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $200\, m$ છે.
ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મીની સાપેક્ષ ઝડપ $= 11\, km/h - 10\, km/h = 1\, km/h$ છે.
સાપેક્ષ ઝડપને મીટર પ્રતિ મિનિટમાં ફેરવવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, km/h = \frac{1000\, m}{60\, min} = \frac{50}{3}\, m/min$.
$6\, \text{મિનિટમાં}$ ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મી દ્વારા કાપેલું અંતર $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{50}{3}\, m/min \times 6\, min = 100\, m$.
તેથી,$6\, \text{મિનિટ}$ પછી તેમની વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $= 200\, m - 100\, m = 100\, m$ છે.

(A) ધારો કે કાપેલું વાસ્તવિક અંતર $x \, km$ છે અને લાગતો સમય $t \, hr$ છે.
બંને કિસ્સામાં સમય સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$t = \frac{x}{10}$
તેવી જ રીતે,જો તે $14 \, km/hr$ ની ઝડપે ચાલે,તો તે તેટલા જ સમય $t$ માં $x + 20 \, km$ અંતર કાપે છે:
$t = \frac{x + 20}{14}$
$t$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{x}{10} = \frac{x + 20}{14}$
$14x = 10(x + 20)$
$14x = 10x + 200$
$4x = 200$
$x = 50 \, km$
આમ,કાપેલું વાસ્તવિક અંતર $50 \, km$ છે.

(C) જ્યારે $A$ અને $B$ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય, ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી હોય છે।
સાપેક્ષ ઝડપ $= 2 + 3 = 5$ rounds per hour.
આનો અર્થ એ છે કે તેઓ દર કલાકે $5$ વાર એકબીજાને મળે છે।
$8\, a.m.$ થી $9.30\, a.m.$ સુધીનો કુલ સમય $1.5$ hours છે।
મળવાની કુલ સંખ્યા
$= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = 5 \times 1.5 = 7.5$
તેથી, $9.30\, a.m.$ પહેલાં તેઓ $7$ વાર એકબીજાને મળશે।

(C) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $v_t\, km/hr$ અને કારની ઝડપ $v_c\, km/hr$ છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{120}{v_t} + \frac{480}{v_c} = 8$ --- $(1)$
કિસ્સો $2$: $\frac{200}{v_t} + \frac{400}{v_c} = 8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ --- $(2)$
$(1)$ ને $40$ વડે ભાગતા: $\frac{3}{v_t} + \frac{12}{v_c} = \frac{1}{5}$ --- $(3)$
$(2)$ ને $200$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{v_t} + \frac{2}{v_c} = \frac{25}{3 \times 200} = \frac{1}{24}$ --- $(4)$
$(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $\frac{3}{v_t} + \frac{6}{v_c} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ --- $(5)$
$(3)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા: $(\frac{12}{v_c} - \frac{6}{v_c}) = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{6}{v_c} = \frac{8-5}{40} = \frac{3}{40} \Rightarrow v_c = \frac{6 \times 40}{3} = 80\, km/hr$.
$v_c = 80$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{v_t} + \frac{2}{80} = \frac{1}{24} \Rightarrow \frac{1}{v_t} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5-3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} \Rightarrow v_t = 60\, km/hr$.
ટ્રેનની ઝડપ અને કારની ઝડપનો ગુણોત્તર $= v_t : v_c = 60 : 80 = 3 : 4$.

(C) $P$ થી $Q$ સુધીની ઝડપ $v_1 = 40 \, km/hr$ છે.
પરત ફરતી વખતે ઝડપમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $v_2 = 40 + (0.50 \times 40) = 40 + 20 = 60 \, km/hr$.
જ્યારે અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48 \, km/hr$.

(C) ધારો કે ઘરથી શાળાનું અંતર $x \, km$ છે.
ધારો કે શાળાએ પહોંચવાનો નિર્ધારિત સમય $t \, hours$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઝડપ $v_1 = 2.5 \, km/hr$ છે અને લાગતો સમય $t_1 = t + \frac{6}{60} = t + 0.1 \, hours$ છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 2.5(t + 0.1)$ મળે.
બીજા કિસ્સામાં,ઝડપ $v_2 = 2.5 + 1 = 3.5 \, km/hr$ છે અને લાગતો સમય $t_2 = t - \frac{6}{60} = t - 0.1 \, hours$ છે.
તેથી,$x = 3.5(t - 0.1)$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2.5(t + 0.1) = 3.5(t - 0.1)$.
$2.5t + 0.25 = 3.5t - 0.35$.
$1.0t = 0.6$,તેથી $t = 0.6 \, hours$.
$t$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x = 2.5(0.6 + 0.1) = 2.5 \times 0.7 = 1.75 \, km$.

(D) ધારો કે કારની વાસ્તવિક ઝડપ $v \, km/hr$ છે.
આપેલી ઝડપ $= \frac{5}{7}v$.
લીધેલ સમય $= 1 \, \text{કલાક }+ 40 \, \text{મિનિટ }+ 48 \, \text{સેકન્ડ}$.
સમયને કલાકમાં ફેરવતા: $1 + \frac{40}{60} + \frac{48}{3600} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{75} = \frac{75 + 50 + 1}{75} = \frac{126}{75} = 1.68 \, \text{કલાક}$.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$42 = (\frac{5}{7}v) \times 1.68$.
$42 = (\frac{5}{7}v) \times \frac{126}{75}$.
$42 = v \times \frac{5 \times 126}{7 \times 75} = v \times \frac{630}{525} = v \times 1.2$.
$v = \frac{42}{1.2} = 35 \, km/hr$.

(D) કુલ અંતર $= 600 + 800 + 500 + 100 = 2000 \, km$.
લાગતો કુલ સમય $= \frac{600}{80} + \frac{800}{40} + \frac{500}{400} + \frac{100}{50}$.
$= 7.5 + 20 + 1.25 + 2 = 30.75 \, \text{કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2000}{30.75} = \frac{200000}{3075} = \frac{8000}{123} \, km/hr$.
$= 65 \frac{5}{123} \, km/hr$.

(B) ધારો કે $A$ ની ઝડપ $v_A$ અને $B$ ની ઝડપ $v_B$ છે ($km/hr$ માં).
આપેલ છે: $v_A + v_B = 7$ અને $v_A > v_B$.
$A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_A = \frac{24}{v_A}$ અને $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_B = \frac{24}{v_B}$ છે.
આપેલ છે: $t_A + t_B = 14$,તેથી $\frac{24}{v_A} + \frac{24}{v_B} = 14$.
$\frac{24(v_A + v_B)}{v_A v_B} = 14$.
$v_A + v_B = 7$ મૂકતા: $\frac{24 \times 7}{v_A v_B} = 14$.
$v_A v_B = \frac{24 \times 7}{14} = 12$.
આપણી પાસે $v_A + v_B = 7$ અને $v_A v_B = 12$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 7x + 12 = 0$ ઉકેલતા ઝડપ મળે છે.
$(x - 4)(x - 3) = 0$,તેથી $x = 4$ અથવા $x = 3$.
$A$ એ $B$ કરતા ઝડપી હોવાથી,$v_A = 4 \, km/hr$ અને $v_B = 3 \, km/hr$ થાય.

(B) ધારો કે સામાન્ય ઝડપ $v$ છે અને સામાન્ય સમય $t$ છે.
અંતર $d = v \times t$.
જ્યારે માણસ તેની સામાન્ય ઝડપના $\frac{6}{7}$ ભાગની ઝડપે ચાલે છે, ત્યારે નવી ઝડપ $v' = \frac{6}{7}v$ થાય છે.
નવો સમય $t' = \frac{d}{v'} = \frac{d}{\frac{6}{7}v} = \frac{7}{6} \times \frac{d}{v} = \frac{7}{6}t$ થાય છે.
આપેલ છે કે માણસ $12 \, \text{મિનિટ}$ મોડો છે, તેથી સમયનો તફાવત $t' - t = 12 \, \text{મિનિટ}$ છે.
$\frac{7}{6}t - t = 12 \, \text{મિનિટ}$.
$\frac{1}{6}t = 12 \, \text{મિનિટ}$.
$t = 12 \times 6 = 72 \, \text{મિનિટ}$.
$72 \, \text{મિનિટ} = 1 \, \text{કલાક} \, 12 \, \text{મિનિટ}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ સુધીનું અંતર $d$ કિમી છે અને $2\, p.m.$ વાગ્યે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે.
જો ઝડપ $10\, km/hr$ હોય,તો લાગતો સમય $t$ છે,તેથી $d = 10t$.
જો ઝડપ $15\, km/hr$ હોય,તો તે $12\, noon$ વાગ્યે પહોંચે છે,જે $2\, p.m.$ કરતા $2$ કલાક વહેલું છે,તેથી $d = 15(t - 2)$.
$d$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $10t = 15(t - 2)$.
$10t = 15t - 30$.
$5t = 30$,તેથી $t = 6$ કલાક.
અંતર $d = 10 \times 6 = 60$ કિમી.
$1\, p.m.$ વાગ્યે પહોંચવા માટે,તેણે $2\, p.m.$ કરતા $1$ કલાક વહેલા પહોંચવું પડે.
તેથી,જરૂરી સમય $t - 1 = 6 - 1 = 5$ કલાક છે.
જરૂરી ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{60\, km}{5\, hr} = 12\, km/hr$.

(C) ધારો કે કારની ઝડપ $x\, km/hr$ છે અને ટ્રેનની ઝડપ $1.5x\, km/hr$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $75\, km$ છે.
કાર દ્વારા $A$ થી $B$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T_c = \frac{75}{x}\, \text{hours}$ છે.
ટ્રેન દ્વારા $A$ થી $B$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય (થોભ્યા વગર) $T_t = \frac{75}{1.5x}\, \text{hours}$ છે.
ટ્રેન $12.5\, \text{minutes}$ (એટલે કે $\frac{12.5}{60} = \frac{5}{24}\, \text{hours}$) માટે ઉભી રહે છે,તેથી ટ્રેન દ્વારા લેવાયેલ કુલ સમય $T_t + \frac{5}{24}$ છે.
બંને એક જ સમયે પહોંચતા હોવાથી: $\frac{75}{x} = \frac{75}{1.5x} + \frac{5}{24}$.
બંને બાજુથી $\frac{75}{1.5x}$ બાદ કરતા: $\frac{75}{x} - \frac{75}{1.5x} = \frac{5}{24}$.
$\frac{75}{x} (1 - \frac{1}{1.5}) = \frac{5}{24} \Rightarrow \frac{75}{x} (1 - \frac{2}{3}) = \frac{5}{24}$.
$\frac{75}{x} (\frac{1}{3}) = \frac{5}{24} \Rightarrow \frac{25}{x} = \frac{5}{24}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{25 \times 24}{5} = 5 \times 24 = 120\, km/hr$.

(B) ટ્રેકનો પરિઘ $726 \, m = 0.726 \, km$ છે.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 4.5 \, km/h + 3.75 \, km/h = 8.25 \, km/h$.
પહેલીવાર મળવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{0.726 \, km}{8.25 \, km/h}$.
કલાકમાં સમય $= \frac{0.726}{8.25} \, h$.
આને મિનિટમાં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ગુણાકાર કરો:
મિનિટમાં સમય $= \left( \frac{0.726}{8.25} \right) \times 60 \, min = 0.088 \times 60 \, min = 5.28 \, min$.

(B) ધારો કે વ્યક્તિની મૂળ ઝડપ $x \, \text{km/hr}$ છે।
$30 \, \text{કલાક}$ માં મૂળ ઝડપે કાપેલું અંતર $D_1 = 30x$ છે।
જો તે તેની ઝડપમાં $\frac{1}{15}$ ભાગનો ઘટાડો કરે, તો નવી ઝડપ $x - \frac{1}{15}x = \frac{14}{15}x$ થાય।
$30 \, \text{કલાક}$ માં નવી ઝડપે કાપેલું અંતર $D_2 = 30 \times \frac{14}{15}x = 28x$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ, અંતરનો તફાવત $10 \, \text{km}$ છે:
$D_1 - D_2 = 10$
$30x - 28x = 10$
$2x = 10$
$x = 5 \, \text{km/hr}$.

(C) ધારો કે $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $x$ કલાક છે.
$A$ ને $B$ કરતા $30 \text{ મિનિટ}$ $(0.5 \text{ કલાક})$ વધુ સમય લાગે છે,તેથી $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $(x - 0.5)$ કલાક છે.
$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $3:4$ છે. ધારો કે ઝડપ અનુક્રમે $3k$ અને $4k$ છે.
બંને માટે અંતર સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
$3k \times x = 4k \times (x - 0.5)$
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા $(k \neq 0)$:
$3x = 4(x - 0.5)$
$3x = 4x - 2$
$4x - 3x = 2$
$x = 2 \text{ કલાક}$.
આમ,$A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $2 \text{ કલાક}$ છે.

(D) $80\, km/h$ ની ઝડપે પ્રથમ $2\, \text{કલાક}\, 15\, \text{મિનિટ}$ $(2.25\, \text{કલાક})$ માં કાપેલું અંતર:
$D_1 = 80 \times 2.25 = 180\, km.$
બાકી રહેલું અંતર:
$D_2 = 350 - 180 = 170\, km.$
$60\, km/h$ ની ઝડપે બાકીનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય:
$T_2 = \frac{170}{60} = \frac{17}{6}\, \text{કલાક }= 2\, \text{કલાક}\, 50\, \text{મિનિટ}.$
મુસાફરી માટે લાગતો કુલ સમય:
$T_{total} = 2\, \text{કલાક}\, 15\, \text{મિનિટ }+ 2\, \text{કલાક}\, 50\, \text{મિનિટ }= 5\, \text{કલાક}\, 5\, \text{મિનિટ}.$
અન્ના સવારે $5:20$ વાગ્યે નીકળી હતી. શરૂઆતના સમયમાં $5\, \text{કલાક}\, 5\, \text{મિનિટ}$ ઉમેરતા:
$5:20 + 5:05 = 10:25\, a.m.$

(A) $1$. રોકાયા વગર મુસાફરીનો સમય ગણો: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{600 \, km}{100 \, km/hr} = 6 \, \text{કલાક}$.
$2$. સ્ટોપની સંખ્યા ગણો: ટ્રેન દર $75 \, km$ એ ઉભી રહે છે. $600 \, km$ માં કુલ સ્ટોપ $\frac{600}{75} = 8$ થાય. પરંતુ, ટ્રેન અંતિમ ગંતવ્ય સ્થાન પર ઉભી રહેતી નથી, તેથી કુલ સ્ટોપ $8 - 1 = 7$ થશે.
$3$. કુલ વિરામનો સમય ગણો: $7 \, \text{સ્ટોપ} \times 3 \, \text{મિનિટ/સ્ટોપ} = 21 \, \text{મિનિટ}$.
$4$. કુલ સમય ગણો: $\text{કુલ સમય} = \text{મુસાફરીનો સમય} + \text{વિરામનો સમય} = 6 \, \text{કલાક} + 21 \, \text{મિનિટ} = 6 \, \text{કલાક} \, 21 \, \text{મિનિટ}$.

(C) પગલું $1$: ઝડપને $km/hr$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો.
ઝડપ $= 108 \times \frac{5}{18} \, m/s = 6 \times 5 \, m/s = 30 \, m/s$.
પગલું $2$: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતરની ગણતરી કરો.
અંતર $= 30 \, m/s \times 15 \, s = 450 \, m$.

(B) આપેલ છે: અંતર $= 600\, m$, સમય $= 5\, minutes$।
સૌ પ્રથમ, સમયને સેકન્ડમાં ફેરવો:
$5\, minutes = 5 \times 60 = 300\, s$
ઝડપ $m/s$ માં શોધો:
$\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{600}{300} = 2\, m/s$
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/hr$ માં ફેરવવા માટે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$\text{ઝડપ (km/hr)} = 2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2\, km/hr$

(D) ચોરસ મેદાનની પરિમિતિ $4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 35 \, m = 140 \, m$ છે.
છોકરાની ઝડપ $9 \, km/hr$ છે. આને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{ઝડપ} = 9 \times \frac{5}{18} \, m/s = 2.5 \, m/s$.
મેદાનની આસપાસ દોડવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{140 \, m}{2.5 \, m/s} = 56 \, \text{સેકન્ડ}$.

(C) સરેરાશ ઝડપની ગણતરી $\text{ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ બસ માટે,$\text{અંતર}_1 = 300 \, km$ અને $\text{સમય}_1 = 7.5 \, \text{કલાક}$.
$\text{ઝડપ}_1 = \frac{300}{7.5} = 40 \, km/h$.
બીજી બસ માટે,$\text{અંતર}_2 = 450 \, km$ અને $\text{સમય}_2 = 9 \, \text{કલાક}$.
$\text{ઝડપ}_2 = \frac{450}{9} = 50 \, km/h$.
તેમની સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\text{ઝડપ}_1}{\text{ઝડપ}_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ અથવા $4:5$ થાય છે.

(C) પ્રથમ $2 \, \text{કલાક}$ માં,કાપેલું અંતર $= 70 \times 2 = 140 \, km$ છે.
આગામી $2 \, \text{કલાક}$ માં,ઝડપ વધીને $80 \, km/hr$ થાય છે,તેથી કાપેલું અંતર $= 80 \times 2 = 160 \, km$ છે.
$4 \, \text{કલાક}$ માં કુલ કાપેલું અંતર $= 140 + 160 = 300 \, km$ છે.
બાકી રહેલું અંતર $= 345 - 300 = 45 \, km$ છે.
આગામી સમયગાળામાં,ઝડપ વધીને $90 \, km/hr$ થાય છે.
બાકીનું $45 \, km$ અંતર $90 \, km/hr$ ની ઝડપે કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{45}{90} = 0.5 \, \text{કલાક}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $= 4 + 0.5 = 4.5 \, \text{કલાક}$ અથવા $4\frac{1}{2} \, \text{કલાક}$ છે.

(D) ટ્રેનની પ્રારંભિક ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{10 \text{ km}}{12 \text{ મિનિટ}} = \frac{10 \text{ km}}{12/60 \text{ કલાક}} = \frac{10 \times 60}{12} \text{ km/hr} = 50 \text{ km/hr}$.
જો ઝડપમાં $5 \text{ km/hr}$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $= 50 - 5 = 45 \text{ km/hr}$ થાય.
નવી ઝડપે $10 \text{ km}$ નું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય:
સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{નવી ઝડપ}} = \frac{10}{45} \text{ કલાક}$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $\frac{10}{45} \times 60 \text{ મિનિટ} = \frac{10 \times 4}{3} \text{ મિનિટ} = \frac{40}{3} \text{ મિનિટ}$.
$\frac{40}{3} \text{ મિનિટ} = 13 \frac{1}{3} \text{ મિનિટ} = 13 \text{ મિનિટ } + (\frac{1}{3} \times 60) \text{ સેકન્ડ} = 13 \text{ મિનિટ } 20 \text{ સેકન્ડ}$.

(D) માણસની ઝડપ $5\, km/hr$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
ઝડપ $= 5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18}\, m/s$.
પુલ ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $15\, \text{મિનિટ}$ છે. તેને સેકન્ડમાં ફેરવતા,આપણને $15 \times 60 = 900\, \text{સેકન્ડ}$ મળે છે.
પુલની લંબાઈ એ માણસ દ્વારા તે સમયમાં કાપેલા અંતર જેટલી હોય છે.
અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અંતર $= \frac{25}{18} \times 900$.
અંતર $= 25 \times 50 = 1250\, \text{મીટર}$.

(A) ટ્રકની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{550\, m}{60\, s} = \frac{55}{6}\, m/s$.
બસની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{33\, km}{45\, \text{min}} = \frac{33 \times 1000\, m}{45 \times 60\, s} = \frac{33000}{2700}\, m/s = \frac{330}{27}\, m/s = \frac{110}{9}\, m/s$.
ટ્રકની ઝડપ અને બસની ઝડપનો ગુણોત્તર $= \frac{55/6}{110/9} = \frac{55}{6} \times \frac{9}{110} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(C) દરેક કલાકમાં કાપેલું અંતર એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 35$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
$n = 12$ કલાકમાં કાપેલું કુલ અંતર એ આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $12$ પદોનો સરવાળો છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S_{12} = \frac{12}{2} \{2 \times 35 + (12 - 1) \times 2\}$
$S_{12} = 6 \{70 + 11 \times 2\}$
$S_{12} = 6 \{70 + 22\}$
$S_{12} = 6 \times 92$
$S_{12} = 552\, km$.

(D) એથ્લેટની ઝડપ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$.
આપેલ છે: $\text{અંતર} = 200 \text{ m}$, $\text{સમય} = 24 \text{ s}$.
$\text{ઝડપ} = \frac{200}{24} \text{ m/s} = \frac{25}{3} \text{ m/s}$.
ઝડપને $\text{m/s}$ માંથી $\text{km/hr}$ માં ફેરવવા માટે, તેને $\frac{18}{5}$ વડે ગુણતા:
$\text{ઝડપ} = \frac{25}{3} \times \frac{18}{5} \text{ km/hr} = 5 \times 6 \text{ km/hr} = 30 \text{ km/hr}$.

(C) ધારો કે ગામ અને પોસ્ટ ઓફિસ વચ્ચેનું અંતર $d \, km$ છે.
પોસ્ટ ઓફિસ જવા માટે લાગતો સમય $= \frac{d}{25} \, hours$.
પોસ્ટ ઓફિસથી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $= \frac{d}{4} \, hours$.
કુલ સમય $= 5 \, hours \, 48 \, minutes = 5 + \frac{48}{60} \, hours = 5 + \frac{4}{5} = \frac{29}{5} \, hours$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{d}{25} + \frac{d}{4} = \frac{29}{5}$.
$25$ અને $4$ નો લસાઅ $100$ લેતા,આપણને મળે: $\frac{4d + 25d}{100} = \frac{29}{5}$.
$\frac{29d}{100} = \frac{29}{5}$.
$d = \frac{29}{5} \times \frac{100}{29} = 20 \, km$.
આમ,ગામથી પોસ્ટ ઓફિસનું અંતર $20 \, km$ છે.

(B) ઝડપ એટલે કાપેલું અંતર અને લીધેલા સમયનો ગુણોત્તર.
આપેલ છે: અંતર $= 600 \, m$,સમય $= 5 \, \text{મિનિટ} = 5 \times 60 \, \text{સેકન્ડ} = 300 \, \text{સેકન્ડ}$.
$m/s$ માં ઝડપ $= \frac{600 \, m}{300 \, s} = 2 \, m/s$.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
$km/h$ માં ઝડપ $= 2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \, km/h$.

(C) ઝડપની તુલના કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન એકમમાં ફેરવવી પડશે.
$80 \, km/h$ ને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીને $m/s$ માં ફેરવો:
$80 \times \frac{5}{18} = \frac{400}{18} = \frac{200}{9} \, m/s$.
હવે,$\frac{200}{9} \, m/s$ ની $10 \, m/s$ સાથે તુલના કરો:
ગુણોત્તર $= \frac{200}{9} : 10 = \frac{200}{9} : \frac{90}{9} = 200 : 90 = 20 : 9$.

(B) પગલું $1$: મોહનની ઝડપ શોધો.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{10.2 \, km}{3 \, h} = 3.4 \, km/h$.
પગલું $2$: $5 \, \text{કલાકમાં} \, \text{કાપેલું} \, \text{અંતર} \, \text{શોધો}$.
અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 3.4 \, km/h \times 5 \, h = 17 \, km$.

(A) સૌ પ્રથમ,ટ્રેનની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
ઝડપ $= 72 \times \frac{5}{18} = 20\, m/s$.
ત્યારબાદ,$25\, s$ માં ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર શોધો:
કુલ અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 20\, m/s \times 25\, s = 500\, m$.
પુલ પસાર કરતી વખતે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પુલની લંબાઈનો સરવાળો છે:
કુલ અંતર $= \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પુલની લંબાઈ}$.
$500\, m = 100\, m + \text{પુલની લંબાઈ}$.
પુલની લંબાઈ $= 500\, m - 100\, m = 400\, m$.

(B) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $x \,m$ છે.
પુલને પસાર કરતી વખતે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $(x + 150) \,m$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $60 \,km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
$60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \,m/s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$x + 150 = \frac{50}{3} \times 18$.
$x + 150 = 50 \times 6$.
$x + 150 = 300$.
$x = 300 - 150 = 150 \,m$.
તેથી,ટ્રેનની લંબાઈ $150 \,m$ છે.

(C) આપેલ છે:
અવાજની ઝડપ $(v)$ = $330 \text{ m/s}$
લાગતો સમય $(t)$ = $10 \text{ s}$
અંતર $(d)$ = ઝડપ $\times$ સમય
$d = 330 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 3300 \text{ મીટર}$
મીટરને કિલોમીટરમાં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ભાગતા:
$d = 3300 / 1000 = 3.3 \text{ km}$
તેથી,વાદળનું અંતર $3.3 \text{ km}$ છે.

(B) ટ્રેનની ઝડપ $= 92.4 \, km/h$.
ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
ઝડપ $= 92.4 \times \frac{5}{18} = \frac{462}{18} = \frac{77}{3} \, m/s$.
સમય $= 10 \, minutes = 10 \times 60 = 600 \, seconds$.
અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
અંતર $= \frac{77}{3} \times 600 = 77 \times 200 = 15400 \, m$.

(A) સૂર્યનું પૃથ્વીથી અંતર $143,400,000 \text{ km} = 1434 \times 10^5 \text{ km}$ છે.
પ્રકાશને સૂર્યથી પૃથ્વી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $7 \text{ મિનિટ}$ અને $58 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $T = (7 \times 60) + 58 = 420 + 58 = 478 \text{ સેકન્ડ}$.
પ્રકાશનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$.
$v = \frac{1434 \times 10^5 \text{ km}}{478 \text{ s}} = 3 \times 10^5 \text{ km/s}$.
આમ,પ્રકાશનો વેગ $3 \times 10^5 \text{ km/s}$ છે.

(C) ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતરનું સૂત્ર: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
આપેલ છે,$\text{ઝડપ} = 48 \text{ km/h}$ અને $\text{સમય} = 50 \text{ મિનિટ} = \frac{50}{60} \text{ કલાક}$.
$\text{અંતર} = 48 \times \frac{50}{60} = 48 \times \frac{5}{6} = 8 \times 5 = 40 \text{ km}$.
હવે,આ જ $40 \text{ km}$ નું અંતર $40 \text{ મિનિટમાં}$ (જે $\frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ કલાક}$ થાય) કાપવા માટે જરૂરી ઝડપ:
$\text{જરૂરી ઝડપ} = \frac{\text{અંતર}}{\text{નવો સમય}} = \frac{40}{40/60} = \frac{40 \times 60}{40} = 60 \text{ km/h}$.
તેથી,ટ્રેને $60 \text{ km/h}$ ની ઝડપે દોડવું પડશે.