Time and Distances Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ગાડીની ઝડપ $v \text{ km/h}$ છે.
માણસની સાપેક્ષમાં ગાડીની સાપેક્ષ ઝડપ $(v - 3) \text{ km/h}$ થાય.
$4 \text{ મિનિટ}$ માં,માણસની સાપેક્ષમાં ગાડી દ્વારા કાપેલું અંતર $100 \text{ m} = 0.1 \text{ km}$ છે.
સમય $t = 4 \text{ મિનિટ} = \frac{4}{60} \text{ કલાક} = \frac{1}{15} \text{ કલાક}$.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.1 = (v - 3) \times \frac{1}{15}$
$v - 3 = 0.1 \times 15 = 1.5$
$v = 1.5 + 3 = 4.5 \text{ km/h}$.
આમ,ગાડીની ઝડપ $4\frac{1}{2} \text{ km/h}$ છે.

(C) ધારો કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
પ્રથમ માણસની ઝડપ $(v_1)$ $= \frac{d}{4} \, \text{km/h}$.
બીજા માણસની ઝડપ $(v_2)$ $= \frac{d}{4} \, \text{km/h}$.
બીજો માણસ $2 \, \text{hours}$ વહેલો નીકળે છે. ધારો કે પ્રથમ માણસ $P$ થી નીકળ્યા પછી $x \, \text{hours}$ માં બીજા માણસને મળે છે.
$x \, \text{hours}$ માં,પ્રથમ માણસ $v_1 \times x = \frac{d}{4}x$ જેટલું અંતર કાપે છે.
જ્યારે તેઓ મળે છે ત્યારે બીજો માણસ $(x + 2) \, \text{hours}$ મુસાફરી કરી ચૂક્યો હોય છે. બીજા માણસ દ્વારા કાપેલું અંતર $v_2 \times (x + 2) = \frac{d}{4}(x + 2)$ છે.
બંને માણસો દ્વારા કાપેલા અંતરનો સરવાળો કુલ અંતર $d$ જેટલો થવો જોઈએ:
$\frac{d}{4}x + \frac{d}{4}(x + 2) = d$
બંને બાજુ $d$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{4} + \frac{x + 2}{4} = 1$
$x + x + 2 = 4$
$2x = 2$
$x = 1 \, \text{hour}$.

(B) ધારો કે હવાઈ માર્ગે વિતાવેલો સમય $x \, hrs$ છે અને ટ્રેનમાં વિતાવેલો સમય $y \, hrs$ છે.
આપેલ છે કે,$x + y = 4 \, hrs$ (સમીકરણ $1$).
જો તેણે આખું અંતર હવાઈ માર્ગે કાપ્યું હોત,તો તેણે ટ્રેનમાં વિતાવેલા સમય $(y)$ ના $\frac{4}{5}$ ભાગનો સમય બચાવ્યો હોત.
આ બચાવેલો સમય $2 \, hrs$ છે,તેથી $\frac{4}{5}y = 2$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = 2 \times \frac{5}{4} = 2.5 \, hrs$.
સમીકરણ $1$ માં $y = 2.5$ મૂકતા: $x + 2.5 = 4 \Rightarrow x = 1.5 \, hrs$.
ધારો કે વિમાનની ઝડપ $v_a$ છે અને ટ્રેનની ઝડપ $v_t$ છે.
કુલ અંતર $v_a x + v_t y = 360$ છે.
જો તેણે આખું અંતર હવાઈ માર્ગે કાપ્યું હોત,તો લાગતો સમય $\frac{360}{v_a}$ હોત.
બચાવેલો સમય $4 - \frac{360}{v_a} = 2 \Rightarrow \frac{360}{v_a} = 2 \Rightarrow v_a = 180 \, km/h$.
હવાઈ માર્ગે કાપેલું અંતર $= v_a \times x = 180 \times 1.5 = 270 \, km$.
ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $= 360 - 270 = 90 \, km$.

(A) ધારો કે નિર્ધારિત સમય $T$ કલાક છે અને મૂળ ઝડપ $v \, \text{km/hr}$ છે.
અંતર $D = 1500 \, \text{km}$.
તેથી,$v = \frac{1500}{T}$,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{1500}{v}$.
વિમાન $30 \, \text{minutes}$ $(0.5 \, \text{hours})$ મોડું ઉપડ્યું હોવાથી,બીજા કિસ્સામાં લીધેલ સમય $(T - 0.5)$ કલાક છે અને ઝડપ $(v + 250) \, \text{km/hr}$ છે.
$1500 = (v + 250)(T - 0.5)$.
$T = \frac{1500}{v}$ મૂકતા:
$1500 = (v + 250)(\frac{1500}{v} - 0.5)$.
$1500 = 1500 - 0.5v + \frac{375000}{v} - 125$.
$0.5v + 125 - \frac{375000}{v} = 0$.
$2v$ વડે ગુણતા: $v^2 + 250v - 750000 = 0$.
$(v + 1000)(v - 750) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $v = 750 \, \text{km/hr}$.

(A) ધારો કે ટ્રેનની મૂળ ઝડપ $v \, km/hr$ છે અને નિર્ધારિત સમય $t \, hr$ છે.
અંતર $= 120 \, km$.
મૂળ કિસ્સો: $v = 120 / t \Rightarrow t = 120 / v$.
નવો કિસ્સો: ટ્રેન $1 \, hr$ વહેલી નીકળે છે,તેથી તે સમયસર પહોંચવા માટે $(v - 4) \, km/hr$ ની ઘટાડેલી ઝડપે $t + 1$ કલાક લે છે.
આમ,$v - 4 = 120 / (t + 1)$.
સમીકરણમાં $t = 120 / v$ મૂકતા:
$v - 4 = 120 / (120/v + 1) = 120 / ((120 + v) / v) = 120v / (120 + v)$.
$(v - 4)(120 + v) = 120v$.
$120v + v^2 - 480 - 4v = 120v$.
$v^2 - 4v - 480 = 0$.
$(v - 24)(v + 20) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $v = 24 \, km/hr$.

(D) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો.
સસલાની ઝડપ $= 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3} \, m/s$.
કૂતરાની ઝડપ $= 16 \times \frac{5}{18} = \frac{40}{9} \, m/s$.
$1$ મિનિટ ($60$ સેકન્ડ) માં,સસલું $d_1 = \frac{10}{3} \times 60 = 200 \, m$ અંતર કાપે છે.
જે ક્ષણે કૂતરો પીછો કરવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = 100 + 200 = 300 \, m$ છે.
સસલાની સાપેક્ષમાં કૂતરાની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = (16 - 12) \, km/h = 4 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{9} \, m/s$ છે.
કૂતરાને સસલાને પકડવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{300}{10/9} = 300 \times \frac{9}{10} = 270 \, s$ છે.
જોયા પછી (પીછો કરતી વખતે) સસલા દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $d_2 = \text{સસલાની ઝડપ} \times t = \frac{10}{3} \times 270 = 900 \, m$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,મોટરસાયકલ દ્વારા લીધેલા સમયને કલાકમાં ફેરવો: $6 \, hr \, 12 \, min = 6 + \frac{12}{60} = 6 + 0.2 = 6.2 \, hr$.
મોટરસાયકલની ઝડપનો ઉપયોગ કરીને ગંતવ્ય સ્થાન સુધીનું અંતર શોધો: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 30 \, km/h \times 6.2 \, hr = 186 \, km$.
હવે,ટ્રેન દ્વારા તેટલું જ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય શોધો: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{186 \, km}{24 \, km/h} = 7.75 \, hr$.
આમ,બીજા વ્યક્તિને ગંતવ્ય સ્થાન સુધી પહોંચતા $7.75 \, hr$ લાગે છે.

(A) રોકાયા વગર અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{999}{55.5} = 18 \, \text{કલાક}$.
ટ્રેન રસ્તામાં $1 \, \text{કલાક} \, 20 \, \text{મિનિટ}$ માટે પણ રોકાય છે.
કુલ લાગતો સમય = $18 \, \text{કલાક} + 1 \, \text{કલાક} \, 20 \, \text{મિનિટ} = 19 \, \text{કલાક} \, 20 \, \text{મિનિટ}$.
ટ્રેન સવારે $6:00 \, am$ વાગ્યે નીકળે છે. $6:00 \, am$ માં $19 \, \text{કલાક} \, 20 \, \text{મિનિટ}$ ઉમેરતા:
$6:00 \, am + 12 \, \text{કલાક} = 6:00 \, pm$.
$6:00 \, pm + 7 \, \text{કલાક} \, 20 \, \text{મિનિટ} = 1:20 \, am$ (બીજા દિવસે).
તેથી,ટ્રેન $B$ પર $1:20 \, am$ વાગ્યે પહોંચશે.

(A) ધારો કે સ્ટેશન $A$ અને સ્ટેશન $B$ વચ્ચેનું અંતર $x \, km$ છે.
ધારો કે ટ્રેનની શરૂઆતની ઝડપ $v \, km/h$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં લાગતો સમય $45 \, min = \frac{45}{60} \, h = \frac{3}{4} \, h$ છે.
તેથી,$x = v \times \frac{3}{4} \Rightarrow v = \frac{4x}{3}$.
બીજા કિસ્સામાં લાગતો સમય $48 \, min = \frac{48}{60} \, h = \frac{4}{5} \, h$ છે.
નવી ઝડપ $(v - 5) \, km/h$ છે.
તેથી,$x = (v - 5) \times \frac{4}{5} \Rightarrow v - 5 = \frac{5x}{4} \Rightarrow v = \frac{5x}{4} + 5$.
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4x}{3} = \frac{5x}{4} + 5$.
$\frac{4x}{3} - \frac{5x}{4} = 5$.
$\frac{16x - 15x}{12} = 5$.
$\frac{x}{12} = 5 \Rightarrow x = 60 \, km$.

(A) ધારો કે ટ્રકની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
બંને વાહનો સમાન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(45 - x) \, km/h$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીશું:
સાપેક્ષ ઝડપ $= (45 - x) \times \frac{5}{18} \, m/s.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}.$
અહીં $\text{અંતર} = 150 \, m$ અને $\text{સમય} = 30 \, s$ આપેલ છે,
$30 = \frac{150}{(45 - x) \times \frac{5}{18}}.$
$30 = \frac{150 \times 18}{(45 - x) \times 5}.$
$30 = \frac{30 \times 18}{45 - x}.$
$45 - x = 18.$
$x = 45 - 18 = 27 \, km/h.$
તેથી,ટ્રકની ઝડપ $27 \, km/h$ છે.

(D) કારની ઝડપ $10\, m/s$ આપેલી છે.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{18}{5}$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\text{ઝડપ} = 10 \times \frac{18}{5} = 2 \times 18 = 36\, km/h$.
આમ,કારની ઝડપ $36\, km/h$ છે.

(A) જ્યારે મુસાફરીમાં બંને દિશામાં કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2xy}{x+y}$,જ્યાં $x$ અને $y$ એ મુસાફરીના બે ભાગ માટેની ઝડપ છે.
અહીં,$x = 100 \text{ km/h}$ અને $y = 150 \text{ km/h}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2 \times 100 \times 150}{100 + 150}$
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{30000}{250}$
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = 120 \text{ km/h}$.

(A) જ્યારે મુસાફરીના બંને ભાગો માટે કાપેલું અંતર સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ છે.
અહીં,$v_1 = 12 \, km/h$ અને $v_2 = 18 \, km/h$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2 \times 12 \times 18}{12 + 18} \, km/h$.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{432}{30} \, km/h$.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = 14.4 \, km/h$.

(B) કુલ કાપેલું અંતર $= 24 + 24 + 24 = 72 \, km$ છે.
દરેક ભાગ માટે લાગતો સમય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
સમય $t_1 = \frac{24}{6} = 4 \, h$
સમય $t_2 = \frac{24}{8} = 3 \, h$
સમય $t_3 = \frac{24}{12} = 2 \, h$
કુલ લાગતો સમય $= 4 + 3 + 2 = 9 \, h$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{72}{9} = 8 \, km/h$.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d \, km$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{12} \, h$ છે.
$B$ થી $A$ સુધી પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{4} \, h$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $= d + d = 2d \, km$.
કુલ લાગતો સમય $= t_1 + t_2 = \frac{d}{12} + \frac{d}{4} = \frac{d + 3d}{12} = \frac{4d}{12} = \frac{d}{3} \, h$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{d/3} = 2d \times \frac{3}{d} = 6 \, km/h$.
વૈકલ્પિક રીતે,જ્યારે બે સમાન અંતર $v_1$ અને $v_2$ ઝડપે કાપવામાં આવે,ત્યારે સરેરાશ ઝડપ $\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \times 12 \times 4}{12 + 4} = \frac{96}{16} = 6 \, km/h$ થાય છે.

(A) ધારો કે $A$ ની ઝડપ $3x$ છે અને $B$ ની ઝડપ $4x$ છે.
બંને માટે અંતર $D$ સમાન હોવાથી, $D = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
ધારો કે $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t$ કલાક છે. તો $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $(t + \frac{20}{60}) \, h = (t + \frac{1}{3}) \, h$ થશે.
અંતરને સરખાવતા: $3x(t + \frac{1}{3}) = 4x(t)$.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા: $3(t + \frac{1}{3}) = 4t$.
$3t + 1 = 4t \Rightarrow t = 1 \, h$.
તેથી, $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3} \, h$ થાય.

(C) ટ્રકની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{550 \, m}{1 \, min} = \frac{0.55 \, km}{(1/60) \, h} = 0.55 \times 60 \, km/h = 33 \, km/h$.
બસની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{33 \, km}{45 \, min} = \frac{33 \, km}{(45/60) \, h} = \frac{33 \times 60}{45} \, km/h = 44 \, km/h$.
ટ્રકની ઝડપ અને બસની ઝડપનો ગુણોત્તર $= \frac{33}{44} = \frac{3}{4} = 3:4$.

(B) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $x \text{ km}$ છે.
$2.5 \text{ km/h}$ ની ઝડપે લાગતો સમય $T_1 = \frac{x}{2.5} = \frac{2x}{5} \text{ કલાક}$ છે.
$3 \text{ km/h}$ ની ઝડપે લાગતો સમય $T_2 = \frac{x}{3} \text{ કલાક}$ છે.
સમયનો તફાવત $6 \text{ min મોડા} + 10 \text{ min વહેલા} = 16 \text{ min} = \frac{16}{60} \text{ કલાક} = \frac{4}{15} \text{ કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$T_1 - T_2 = \frac{4}{15}$.
$\frac{2x}{5} - \frac{x}{3} = \frac{4}{15}$.
$\frac{6x - 5x}{15} = \frac{4}{15}$.
$\frac{x}{15} = \frac{4}{15} \Rightarrow x = 4 \text{ km}$.

(B) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $x \text{ km}$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = 2.5 \text{ km/h} = \frac{5}{2} \text{ km/h}$.
નવી ઝડપ $v_2 = 2.5 + 1 = 3.5 \text{ km/h} = \frac{7}{2} \text{ km/h}$.
ઝડપ $v_1$ પર લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v_1} = \frac{x}{5/2} = \frac{2x}{5} \text{ કલાક}$.
ઝડપ $v_2$ પર લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{v_2} = \frac{x}{7/2} = \frac{2x}{7} \text{ કલાક}$.
સમયનો તફાવત $6 \text{ min}$ મોડા અને $6 \text{ min}$ વહેલા વચ્ચેનો તફાવત $12 \text{ min} = \frac{12}{60} \text{ કલાક} = \frac{1}{5} \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,$t_1 - t_2 = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{2x}{5} - \frac{2x}{7} = \frac{1}{5}$.
$35$ વડે ગુણતા,આપણને $14x - 10x = 7$ મળે છે.
$4x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{4} \text{ km}$.

(D) ધારો કે મૂળ ઝડપ $v \, km/h$ છે અને લાગતો સમય $t = 30 \, h$ છે.
કાપેલું અંતર $d = v \times t = 30v \, km$.
જો ઝડપમાં $\frac{1}{15}$ જેટલો ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $v' = v - \frac{v}{15} = \frac{14v}{15} \, km/h$ થાય.
તેટલા જ સમય $t = 30 \, h$ માં,નવું કાપેલું અંતર $d' = v' \times t = \frac{14v}{15} \times 30 = 28v \, km$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,તે માણસ તેટલા જ સમયમાં $10 \, km$ ઓછું અંતર કાપે છે:
$d - d' = 10$
$30v - 28v = 10$
$2v = 10$
$v = 5 \, km/h$.
તેથી,મૂળ ઝડપ $5 \, km/h$ છે.

(A) ધારો કે પગપાળા કાપેલું અંતર $x \, km$ છે.
તેથી,સાયકલ દ્વારા કાપેલું અંતર $(80 - x) \, km$ થશે.
પગપાળા મુસાફરી માટે લાગતો સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{x}{8} \, h$.
સાયકલ દ્વારા મુસાફરી માટે લાગતો સમય = $\frac{80 - x}{16} \, h$.
કુલ લાગતો સમય $7 \, h$ છે.
તેથી,$\frac{x}{8} + \frac{80 - x}{16} = 7$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$2x + (80 - x) = 7 \times 16$.
$x + 80 = 112$.
$x = 112 - 80 = 32 \, km$.
આમ,પગપાળા કાપેલું અંતર $32 \, km$ છે.

(B) ધારો કે પગપાળા કાપેલું અંતર $x \, km$ છે.
તેથી સાયકલ દ્વારા કાપેલું અંતર $(61 - x) \, km$ થશે.
પગપાળા મુસાફરી માટે લાગતો સમય = $\frac{x}{4} \, h$.
સાયકલ દ્વારા મુસાફરી માટે લાગતો સમય = $\frac{61 - x}{9} \, h$.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ લાગતો સમય $9 \, h$ છે:
$\frac{x}{4} + \frac{61 - x}{9} = 9$
આખા સમીકરણને $36$ (જે $4$ અને $9$ નો લ.સા.અ. છે) વડે ગુણતા:
$9x + 4(61 - x) = 9 \times 36$
$9x + 244 - 4x = 324$
$5x = 324 - 244$
$5x = 80$
$x = 16 \, km$.
આમ,પગપાળા કાપેલું અંતર $16 \, km$ છે.

(C) ધારો કે સવારી કરવાનો સમય $R$ છે અને ચાલવાનો સમય $W$ છે.
આપેલ છે કે એક તરફ ચાલવા અને પાછા સવારી કરીને આવવાનો સમય $6\, h \, 15\, min$ છે,જે $6.25\, h$ અથવા $\frac{25}{4}\, h$ થાય.
તેથી,$W + R = \frac{25}{4} \dots (1)$
આપેલ છે કે બંને તરફ ચાલવાનો સમય $7\, h \, 45\, min$ છે,જે $7.75\, h$ અથવા $\frac{31}{4}\, h$ થાય.
તેથી,$2W = \frac{31}{4} \Rightarrow W = \frac{31}{8}\, h$.
સમીકરણ $(1)$ માં $W$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = \frac{25}{4} - \frac{31}{8} = \frac{50 - 31}{8} = \frac{19}{8}\, h$.
બંને તરફ સવારી કરવાનો સમય $2R$ છે:
$2R = 2 \times \frac{19}{8} = \frac{19}{4} = 4.75\, h$.
$4.75\, h = 4\, h \, 45\, min$.

(D) દરેક વ્યક્તિ દ્વારા વર્તુળાકાર માર્ગનો એક આંટો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$A$ માટે: $T_A = \frac{12 \, km}{4 \, km/h} = 3 \, h$.
$B$ માટે: $T_B = \frac{12 \, km}{3 \, km/h} = 4 \, h$.
$C$ માટે: $T_C = \frac{12 \, km}{1.5 \, km/h} = \frac{12 \times 2}{3} = 8 \, h$.
તેઓ શરૂઆતના સ્થળે ક્યારે મળશે તે જાણવા માટે,દરેકને એક આંટો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
$LCM(3, 4, 8) = 24$.
તેથી,તેઓ $24 \, h$ ના અંતે શરૂઆતના સ્થળે એકસાથે મળશે.

(C) ધારો કે રવિની ઝડપ $x \, km/h$ છે. તો અજયની ઝડપ $(x+4) \, km/h$ થશે.
બંને એકસાથે શરૂઆત કરે છે,તેથી મળવા માટે બંને દ્વારા લેવાયેલ સમય સમાન છે.
રવિ મીટિંગ પોઈન્ટ સુધી પહોંચવા માટે $(60 - 12) = 48 \, km$ નું અંતર કાપે છે.
અજય $A$ થી $B$ $(60 \, km)$ સુધી જાય છે અને પછી પાછા $12 \, km$ મીટિંગ પોઈન્ટ સુધી આવે છે,આમ કુલ અંતર $(60 + 12) = 72 \, km$ કાપે છે.
સમય = અંતર / ઝડપ હોવાથી:
$\frac{48}{x} = \frac{72}{x+4}$
$48(x + 4) = 72x$
$48x + 192 = 72x$
$24x = 192$
$x = 8 \, km/h$.
આમ,રવિની ઝડપ $8 \, km/h$ છે.

(D) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $D \, km$ છે.
$11:00 \, am$ અને $4:30 \, pm$ વચ્ચેનો સમયગાળો $5 \, \text{કલાક }\, 30 \, \text{મિનિટ}$ છે,જે $5.5 \, \text{કલાક}$ અથવા $\frac{11}{2} \, \text{કલાક}$ થાય છે.
આ સમયગાળામાં કાપેલું અંતર $\frac{5}{6}D - \frac{3}{8}D = \frac{20D - 9D}{24} = \frac{11D}{24}$ છે.
વ્યક્તિની ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{11D/24}{11/2} = \frac{11D}{24} \times \frac{2}{11} = \frac{D}{12} \, km/h$ છે.
હવે,મુસાફરીનો પ્રથમ $\frac{3}{8}D$ ભાગ કાપવા માટે લાગતો સમય $\frac{3D/8}{D/12} = \frac{3}{8} \times 12 = 4.5 \, \text{કલાક}$ અથવા $4 \, \text{કલાક }\, 30 \, \text{મિનિટ}$ છે.
તેણે $11:00 \, am$ વાગ્યે $\frac{3}{8}$ ભાગ પૂર્ણ કર્યો હોવાથી,મુસાફરી શરૂ કરવાનો સમય $11:00 \, am - 4 \, \text{કલાક }\, 30 \, \text{મિનિટ }= 6:30 \, am$ થાય.

(A) અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = 800 : (800 - 40) = 800 : 760 = 20 : 19$ છે.
$B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $B:C = 500 : (500 - 5) = 500 : 495 = 100 : 99$ છે.
$A:C$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીએ: $\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{20}{19} \times \frac{100}{99} = \frac{2000}{1881}$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $A$ એ $2000\, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $C$ એ $1881\, m$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે $A$ એ $200\, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $C$ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર $\frac{1881}{2000} \times 200 = 188.1\, m$ થાય.
તેથી,$A$ એ $C$ ને $200 - 188.1 = 11.9\, m$ થી હરાવશે.

(B) $1000 \, m$ ની દોડમાં:
$A, 1000 \, m$ અંતર કાપે છે,જ્યારે $B, 1000 - 50 = 950 \, m$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = 1000:950 = 20:19$ છે.
$A, 1000 \, m$ અંતર કાપે છે,જ્યારે $C, 1000 - 69 = 931 \, m$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$A$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:C = 1000:931$ છે.
$B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે $\frac{B}{C} = \frac{B}{A} \times \frac{A}{C} = \frac{19}{20} \times \frac{1000}{931}$ ગણીએ.
$\frac{B}{C} = \frac{19 \times 50}{931} = \frac{950}{931}$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $B, 950 \, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $C, 931 \, m$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે $B, 1000 \, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $C, \frac{931}{950} \times 1000 = 980 \, m$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$B, C$ ને $1000 - 980 = 20 \, m$ ની શરૂઆત (start) આપી શકે છે.

(A) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ને $1000 \, m$ દોડવા માટે લાગતો સમય અનુક્રમે $T_A, T_B$ અને $T_C$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$T_B = T_A + 25$.
ત્રીજી શરત મુજબ,$B$ એ $C$ ને $30 \, s$ થી હરાવે છે,તેથી $T_C = T_B + 30 = (T_A + 25) + 30 = T_A + 55$.
$A$ અને $C$ વચ્ચેની રેસમાં,$A$ એ $1000 \, m$ અંતર કાપે છે જ્યારે $C$ એ $1000 - 275 = 725 \, m$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે $A$ રેસ પૂરી કરે છે,ત્યારે $T_A$ એ $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય છે. આ સમયમાં $C$ એ $725 \, m$ અંતર કાપ્યું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T_C = T_A + 55$,જેનો અર્થ છે કે બાકીના $275 \, m$ અંતર કાપવા માટે $C$ ને $A$ કરતા $55 \, s$ વધુ સમય લાગે છે.
$C$ ની ઝડપ $= \frac{275 \, m}{55 \, s} = 5 \, m/s$.
$C$ ને $1000 \, m$ દોડવા માટે લાગતો સમય $T_C = \frac{1000 \, m}{5 \, m/s} = 200 \, s$.
$T_C = T_A + 55$ હોવાથી,$200 = T_A + 55$,તેથી $T_A = 145 \, s$.
$145 \, s = 2 \, min \, 25 \, s$.

(C) ધારો કે અંતર $x \text{ km}$ છે.
ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી માટે લાગતો સમય $\frac{x}{25} \text{ h}$ છે.
ચાલતા મુસાફરી માટે લાગતો સમય $\frac{x}{4} \text{ h}$ છે.
કુલ સમય $5 \text{ h } 48 \text{ min}$ છે.
$48 \text{ min}$ ને કલાકમાં ફેરવતા: $\frac{48}{60} \text{ h} = 0.8 \text{ h}$.
તેથી,કુલ સમય $5.8 \text{ h}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $\frac{x}{25} + \frac{x}{4} = 5.8$.
$25$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $100$ લેતા:
$\frac{4x + 25x}{100} = 5.8$
$\frac{29x}{100} = 5.8$
$29x = 580$
$x = \frac{580}{29} = 20 \text{ km}$.
આમ,અંતર $20 \text{ km}$ છે.

(D) ધારો કે એક તરફ ચાલવાનો સમય $W$ છે અને એક તરફ સવારી કરવાનો સમય $R$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,એક તરફ ચાલવા અને પાછા સવારી કરીને આવવાનો કુલ સમય $4 \, h \, 30 \, min$ છે,જે $4.5 \, h$ થાય છે:
$W + R = 4.5 \, h$ --- (સમીકરણ $1$)
આપેલ છે કે બંને તરફ સવારી કરવાનો સમય $3 \, h$ છે:
$2R = 3 \, h \Rightarrow R = 1.5 \, h$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી $R$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$W + 1.5 = 4.5$
$W = 4.5 - 1.5 = 3 \, h$
બંને તરફ ચાલવા માટે જરૂરી સમય $2W$ છે:
$2W = 2 \times 3 = 6 \, h$.

(C) ટ્રેન અને માણસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ એ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 84 \, km/h + 6 \, km/h = 90 \, km/h$.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરો:
સાપેક્ષ ઝડપ $= 90 \times \frac{5}{18} = 5 \times 5 = 25 \, m/s$.
ટ્રેનની લંબાઈ એ માણસને પસાર કરવા માટે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર છે.
ટ્રેનની લંબાઈ $= \text{સાપેક્ષ ઝડપ} \times \text{સમય} = 25 \, m/s \times 4 \, s = 100 \, m$.

(D) ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150 \ m$ છે.
ટ્રેનની ઝડપ $v_t = 36 \ km/h$ છે.
માણસની ઝડપ $v_m = 9 \ km/h$ છે.
બંને એક જ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_t - v_m = 36 - 9 = 27 \ km/h$ થશે.
સાપેક્ષ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણાકાર કરીશું:
$v_{rel} = 27 \times \frac{5}{18} = 3 \times \frac{5}{2} = 7.5 \ m/s$.
માણસને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{150}{7.5} = \frac{1500}{75} = 20 \ s$ થાય.

(C) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x \, km/h$ છે.
વ્યક્તિઓ ટ્રેનની સમાન દિશામાં ચાલી રહ્યા હોવાથી,ટ્રેનની સાપેક્ષ તેમની ઝડપ અનુક્રમે $(x - 3) \, km/h$ અને $(x - 5) \, km/h$ થશે.
તેને $m/s$ માં ફેરવવા માટે આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીશું.
ટ્રેનની લંબાઈ $(L)$ બંને કિસ્સામાં સમાન રહે છે.
$L = (x - 3) \times \frac{5}{18} \times 10$
$L = (x - 5) \times \frac{5}{18} \times 11$
$L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(x - 3) \times 10 = (x - 5) \times 11$
$10x - 30 = 11x - 55$
$11x - 10x = 55 - 30$
$x = 25 \, km/h$.
આમ,ટ્રેનની ઝડપ $25 \, km/h$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ, ટ્રેનની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
ઝડપ $= 60 \times \frac{5}{18} \, m/s = \frac{300}{18} \, m/s = \frac{50}{3} \, m/s$.
પ્લેટફોર્મ પસાર કરતી વખતે ટ્રેન દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર:
અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{50}{3} \times 30 = 500 \, m$.
આ કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ અંતર} = \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પ્લેટફોર્મની લંબાઈ}$.
$500 \, m = 200 \, m + \text{પ્લેટફોર્મની લંબાઈ}$.
પ્લેટફોર્મની લંબાઈ $= 500 \, m - 200 \, m = 300 \, m$.

(B) સમાન દિશામાં ગતિ કરતા માણસની સાપેક્ષમાં ટ્રેનની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની ઝડપની બાદબાકી કરીને મેળવવામાં આવે છે: $v_{rel} = (63 - 3) \, km/h = 60 \, km/h$.
આ ઝડપને $m/s$ માં ફેરવવા માટે, $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો: $v_{rel} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \, m/s$.
માણસને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય એ સાપેક્ષ ઝડપે ટ્રેનની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતા સમય જેટલો હોય છે: $t = \frac{\text{Distance}}{\text{Relative Speed}} = \frac{500}{50/3} = 500 \times \frac{3}{50} = 10 \times 3 = 30 \, \text{સેકન્ડ}$.

(A) આપેલ છે: અંતર $= 600 \, m$,સમય $= 5 \, \text{minutes} = 5 \times 60 \, \text{seconds} = 300 \, \text{seconds}$.
ઝડપ ($m/s$ માં) $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{600}{300} = 2 \, m/s$.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરો.
ઝડપ ($km/h$ માં) $= 2 \times \frac{18}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \, km/h$.

(B) ધારો કે એક તરફ ચાલવાનો સમય $W$ છે અને એક તરફ સવારી કરવાનો સમય $R$ છે.
આપેલ છે: $W + R = 6$ કલાક $30$ મિનિટ $= 390$ મિનિટ $... (i)$
જો તે બંને તરફ સવારી કરે,તો તેને ચાલવા અને સવારી કરવાના સમય કરતા $2$ કલાક $10$ મિનિટનો ફાયદો થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે બંને તરફ સવારી કરવાનો સમય $2R = (W + R) - 2$ કલાક $10$ મિનિટ છે.
$2R = 6$ કલાક $30$ મિનિટ $- 2$ કલાક $10$ મિનિટ $= 4$ કલાક $20$ મિનિટ $= 260$ મિનિટ $... (ii)$
$(ii)$ પરથી,$R = 130$ મિનિટ.
$R$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $W + 130 = 390 \Rightarrow W = 260$ મિનિટ.
બંને તરફ ચાલીને જવામાં લાગતો સમય $2W = 2 \times 260 = 520$ મિનિટ છે.

(B) લખવાની કુલ લીટીઓની સંખ્યા $8190$ છે.
બે વ્યક્તિઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં (એક શરૂઆતથી અને એક અંતથી) કામ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમના વ્યક્તિગત દરોનો સરવાળો થશે.
સાપેક્ષ ઝડપ $= 200 + 150 = 350$ લીટી પ્રતિ કલાક.
તેઓ કયા સમયે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે કુલ લીટીઓની સંખ્યાને સાપેક્ષ ઝડપ વડે ભાગીશું:
સમય $= \frac{8190}{350}$ કલાક.
સમય $= \frac{819}{35} = 23.4$ કલાક.
તેથી,તેઓ $23.4$ કલાક પછી મળશે.

(B) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $x \, km$ છે.
અંતરનો પ્રથમ અડધો ભાગ $\frac{x}{2} \, km$ છે,જે $21 \, km/h$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. આ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x/2}{21} = \frac{x}{42} \, \text{કલાક}$ છે.
અંતરનો બીજો અડધો ભાગ $\frac{x}{2} \, km$ છે,જે $24 \, km/h$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. આ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x/2}{24} = \frac{x}{48} \, \text{કલાક}$ છે.
કુલ સમય $10 \, \text{કલાક}$ છે,તેથી $t_1 + t_2 = 10$.
$\frac{x}{42} + \frac{x}{48} = 10$
$42$ અને $48$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $336$ છે:
$\frac{8x + 7x}{336} = 10$
$\frac{15x}{336} = 10$
$15x = 3360$
$x = \frac{3360}{15} = 224 \, km$.
તેથી,કુલ અંતર $224 \, km$ છે.

(C) ટ્રેન દ્વારા $4 \, \text{કલાક}$ માં કાપેલું કુલ અંતર: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 45 \, km/h \times 4 \, h = 180 \, km$.
અંતરને મીટરમાં ફેરવતા: $180 \, km = 180,000 \, m$.
ટેલિગ્રાફના થાંભલા $50 \, m$ ના અંતરે આવેલા છે.
કુલ અંતરમાં અંતરાલોની સંખ્યા: $\frac{180,000}{50} = 3600$.
ટ્રેન શરૂઆતના બિંદુ $(0 \, m)$ પર પ્રથમ થાંભલો પસાર કરે છે,તેથી પસાર થયેલા કુલ થાંભલાની સંખ્યા = $\text{અંતરાલોની સંખ્યા} + 1 = 3600 + 1 = 3601$.

(C) ધારો કે કાપવાનું અંતર $d \text{ km}$ છે અને નિર્ધારિત સમય $t \text{ કલાક}$ છે.
કિસ્સો $1$: ઝડપ $= 4 \text{ km/h}$,લાગતો સમય $= t + \frac{15}{60} \text{ કલાક}$.
અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ હોવાથી,$d = 4(t + \frac{1}{4}) = 4t + 1$.
કિસ્સો $2$: ઝડપ $= 6 \text{ km/h}$,લાગતો સમય $= t - \frac{10}{60} \text{ કલાક}$.
તેથી,$d = 6(t - \frac{1}{6}) = 6t - 1$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4t + 1 = 6t - 1 \implies 2t = 2 \implies t = 1 \text{ કલાક}$.
$t = 1$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $d = 4(1) + 1 = 5 \text{ km}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{અંતર} = \frac{S_1 \times S_2}{|S_1 - S_2|} \times \Delta t = \frac{4 \times 6}{6 - 4} \times \frac{15 + 10}{60} = \frac{24}{2} \times \frac{25}{60} = 12 \times \frac{5}{12} = 5 \text{ km}$.

(D) ધારો કે બસોને મળવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે。
પ્રથમ બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_1 = 20t$ છે。
બીજી બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_2 = 25t$ છે。
પ્રશ્ન મુજબ,બીજી બસે પ્રથમ બસ કરતા $80 \, km$ વધુ અંતર કાપ્યું છે:
$d_2 - d_1 = 80$
$25t - 20t = 80$
$5t = 80$
$t = 16 \, \text{કલાક}$.
બે બસ સ્ટેશન વચ્ચેનું કુલ અંતર બંને બસો દ્વારા કાપેલા અંતરનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ અંતર} = d_1 + d_2 = 20t + 25t = 45t$.
$t = 16$ મૂકતા:
$\text{કુલ અંતર} = 45 \times 16 = 720 \, km$.

(C) ધારો કે કાપેલું અંતર $d\, km$ છે.
ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી કરવામાં લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{25}\, \text{કલાક}$ છે.
પાછા ચાલતા આવવામાં લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{4}\, \text{કલાક}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $5\, \text{કલાક}\, 48\, \text{મિનિટ }= 5 + \frac{48}{60} = 5 + \frac{4}{5} = \frac{29}{5}\, \text{કલાક}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$t_1 + t_2 = \frac{29}{5}$.
$\frac{d}{25} + \frac{d}{4} = \frac{29}{5}$.
$25$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(LCM)$ $100$ લેતા:
$\frac{4d + 25d}{100} = \frac{29}{5}$.
$\frac{29d}{100} = \frac{29}{5}$.
$d = \frac{29}{5} \times \frac{100}{29} = 20\, km$.
આમ,કાપેલું અંતર $20\, km$ છે.

(A) પોલીસકર્મી અને ચોર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $200 \text{ meters} = 0.2 \text{ km}$ છે.
ચોરની સાપેક્ષમાં પોલીસકર્મીની સાપેક્ષ ઝડપ $12 \text{ km/h} - 10 \text{ km/h} = 2 \text{ km/h}$ છે.
પોલીસકર્મીને ચોરને પકડવા માટે લાગતો સમય સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}}$.
$\text{સમય} = \frac{0.2 \text{ km}}{2 \text{ km/h}} = 0.1 \text{ કલાક} = \frac{1}{10} \text{ કલાક}$.
પોલીસકર્મી દ્વારા પકડાય તે પહેલાં ચોરે કાપેલું અંતર: $\text{અંતર} = \text{ચોરની ઝડપ} \times \text{સમય}$.
$\text{અંતર} = 10 \text{ km/h} \times 0.1 \text{ h} = 1 \text{ km}$.

(B) પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ $(S_1)$ = $10\, m/s = 10 \times \frac{18}{5} = 36\, km/h$.
બીજી ટ્રેનની ઝડપ $(S_2)$ = $36 \times (1 + \frac{1}{3}) = 36 \times \frac{4}{3} = 48\, km/h$.
ત્રિવેન્દ્રમ અને નાગરકોઈલ વચ્ચેનું કુલ અંતર = $68\, km$.
પ્રથમ ટ્રેન સવારે $8:00$ વાગ્યે અને બીજી ટ્રેન $8:20$ વાગ્યે નીકળે છે. પ્રથમ ટ્રેન $20\, \text{મિનિટ}$ $(1/3\, \text{કલાક})$ એકલી મુસાફરી કરે છે.
$1/3\, \text{કલાક}$ માં પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર = $36 \times \frac{1}{3} = 12\, km$.
બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપવાનું બાકી રહેલું અંતર = $68 - 12 = 56\, km$.
બંને ટ્રેનોની સાપેક્ષ ઝડપ = $S_1 + S_2 = 36 + 48 = 84\, km/h$.
સવારે $8:20$ પછી મળવા માટે લાગતો સમય = $\frac{\text{બાકી રહેલું અંતર}}{\text{સાપેક્ષ ઝડપ}} = \frac{56}{84} = \frac{2}{3}\, \text{કલાક}$.
બીજી ટ્રેન નાગરકોઈલથી $48\, km/h$ ની ઝડપે $2/3\, \text{કલાક}$ મુસાફરી કરે છે.
નાગરકોઈલથી અંતર = $48 \times \frac{2}{3} = 32\, km$.

(D) ધારો કે ટ્રેનોને મળવા માટે લાગતો સમય $t$ કલાક છે。
પ્રથમ ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $D_1 = 50t$.
બીજી ટ્રેન દ્વારા કાપેલું અંતર $D_2 = 40t$.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ટ્રેને બીજી ટ્રેન કરતા $100\, km$ વધુ અંતર કાપ્યું છે:
$D_1 - D_2 = 100$
$50t - 40t = 100$
$10t = 100$
$t = 10\, \text{કલાક}$.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું કુલ અંતર બંને ટ્રેનો દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ અંતર} = D_1 + D_2 = 50t + 40t = 90t$.
$t = 10$ મૂકતા:
$\text{કુલ અંતર} = 90 \times 10 = 900\, km$.

(C) ચોર $2.30$ $p.m.$ વાગ્યે નીકળે છે અને માલિક $3.00$ $p.m.$ વાગ્યે નીકળે છે.
આ $30$ મિનિટ ($0.5$ કલાક) માં ચોરે કાપેલું અંતર $60 \times 0.5 = 30\, km$ છે.
હવે,ચોરની સાપેક્ષમાં માલિકની ઝડપ $75 - 60 = 15\, km/h$ છે.
માલિકને $30\, km$ નું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\frac{30\, km}{15\, km/h} = 2$ કલાક છે.
માલિક $3.00$ $p.m.$ વાગ્યે નીકળ્યો હોવાથી,તે $3.00 + 2 = 5.00$ $p.m.$ વાગ્યે ચોરને પકડી લેશે.

(B) ધારો કે કાપેલું અંતર $S \, km$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v \, km/hr$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$S = v \times 8$,તેથી $v = S/8$.
બીજી શરત મુજબ,ઝડપ $(v + 4) \, km/hr$ છે અને લાગતો સમય $7.5 \, \text{કલાક}$ (એટલે કે $15/2 \, \text{કલાક}$) છે.
આમ,$S = (v + 4) \times 7.5$.
બીજા સમીકરણમાં $v = S/8$ મૂકતા:
$S = (S/8 + 4) \times (15/2)$
$S = (S/8 + 32/8) \times (15/2)$
$S = ((S + 32) / 8) \times (15/2)$
$S = (15S + 480) / 16$
$16S = 15S + 480$
$S = 480 \, km$.
તેથી,કાપેલું અંતર $480 \, km$ છે.

(D) ધારો કે અંતર $S \text{ km}$ છે અને સામાન્ય ઝડપ $u \text{ km/hr}$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ:
$\frac{S}{u} - \frac{S}{u+3} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{3S}{u(u+3)} = \frac{2}{3}$
$9S = 2u(u+3) \quad \dots(1)$
બીજી શરત મુજબ:
$\frac{S}{u-2} - \frac{S}{u} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{2S}{u(u-2)} = \frac{2}{3}$
$3S = u(u-2) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{9S}{3S} = \frac{2u(u+3)}{u(u-2)}$
$3 = \frac{2(u+3)}{u-2}$
$3(u-2) = 2(u+3)$
$3u - 6 = 2u + 6$
$u = 12 \text{ km/hr}$
$u = 12$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3S = 12(12-2)$
$3S = 12 \times 10$
$3S = 120$
$S = 40 \text{ km}$.