Areas of Sector and Segment of a Circle Questions in Hindi

(B) यह कथन असत्य है।
मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और चाप की लंबाई $l_1$ और $l_2$ है। दिया गया है कि चाप की लंबाई समान है,इसलिए $l_1 = l_2 = l$ है।
चाप की लंबाई का सूत्र $l = r \theta$ है,जहाँ $\theta$ रेडियन में कोण है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $l = r \theta$,हम $\theta = \frac{l}{r}$ लिख सकते हैं।
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{1}{2} r^2 (\frac{l}{r}) = \frac{1}{2} rl$ प्राप्त होता है।
समान चाप लंबाई $l$ वाले दो अलग-अलग वृत्तों के लिए,क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} r_1 l$ और $A_2 = \frac{1}{2} r_2 l$ हैं।
चूंकि वृत्त अलग-अलग हैं,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ समान नहीं हैं $(r_1 \neq r_2)$।
अतः,$A_1 \neq A_2$। इस प्रकार,क्षेत्रफल का समान होना आवश्यक नहीं है।

(B) नहीं,यह आवश्यक नहीं है कि उनकी संगत चाप की लंबाई समान हो।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ केंद्रीय कोण है।
चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
क्षेत्रफल के सूत्र से,हमारे पास $\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{A}{\pi r^2}$ है।
इस मान को चाप की लंबाई के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = \frac{A}{\pi r^2} \times 2\pi r = \frac{2A}{r}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ समान हैं,इसलिए चाप की लंबाई $L$ त्रिज्या $r$ पर व्युत्क्रमानुपाती रूप से निर्भर करती है। यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ अलग-अलग हैं,तो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल समान होने पर भी चाप की लंबाई अलग-अलग होगी।

(B) यह कथन असत्य है।
$a$ लंबाई और $b$ चौड़ाई $(a > b)$ वाले आयत के अंदर खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वृत्त का व्यास आयत की छोटी भुजा यानी चौड़ाई $b$ के बराबर होता है।
इसलिए,वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{b}{2}$ होगी।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^{2}$ होता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left(\frac{b}{2}\right)^{2} = \frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल $\frac{\pi b^{2}}{4} \, cm^{2}$ है,न कि $\pi b^{2} \, cm^{2}$।

(D) यह कथन असत्य है।
जब एक वर्ग वृत्त के भीतर अंतर्निहित होता है,तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
माना वर्ग की भुजा $a$ है और वृत्त का व्यास $p$ है।
वर्ग के गुणधर्म के अनुसार,विकर्ण $d = a\sqrt{2}$ होता है।
चूंकि विकर्ण व्यास के बराबर है,इसलिए $a\sqrt{2} = p$,जिसका अर्थ है कि $a = \frac{p}{\sqrt{2}}$।
वर्ग का क्षेत्रफल $a^{2} = (\frac{p}{\sqrt{2}})^{2} = \frac{p^{2}}{2} \, cm^{2}$ होता है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} p^{2} \, cm^{2}$ है,न कि $p^{2} \, cm^{2}$।

(B) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$।
यहाँ,त्रिज्या $r = 21 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 120^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times (21)^{2} \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{3} \times 22 \times 3 \times 21 \, cm^{2}$.
$\text{Area} = 22 \times 21 \, cm^{2} = 462 \, cm^{2}$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 36 \, cm$ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = 54 \pi \, cm^{2}$ है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{1}{2} \times l \times r$ होता है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$54 \pi = \frac{1}{2} \times l \times 36$
$54 \pi = 18 \times l$
$l = \frac{54 \pi}{18}$
$l = 3 \pi \, cm$.
अतः,संगत चाप की लंबाई $3 \pi \, cm$ है।

(A) माना कि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
माना कि दो दिए गए वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 15 \, cm$ और $r_2 = 18 \, cm$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,नए वृत्त की परिधि दो दिए गए वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है:
$2 \pi r = 2 \pi r_1 + 2 \pi r_2$
दोनों पक्षों को $2 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r = r_1 + r_2$
मान रखने पर:
$r = 15 \, cm + 18 \, cm$
$r = 33 \, cm$
अतः,अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $33 \, cm$ है।

(C) दिया गया है कि,वृत्त की त्रिज्या,$r = 28 \,cm$.
केंद्रीय कोण का माप,$\theta = 45^{\circ}$.
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (28)^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{8} \times 22 \times 4 \times 28$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{8} \times 22 \times 112$
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 14 = 308 \,cm^{2}$.
अतः,त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $308 \,cm^{2}$ है।

(A) माना $ABCD$ एक आयताकार खेत है जिसकी विमाएँ $20 \, m \times 16 \, m$ हैं।
मान लीजिए,एक गाय को कोने $A$ पर बाँधा गया है। रस्सी की लंबाई $r = 14 \, m$ है।
गाय जिस क्षेत्र में चर सकती है,वह $r = 14 \, m$ त्रिज्या और $\theta = 90^{\circ}$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है (क्योंकि आयत का कोना $90^{\circ}$ होता है)।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (14)^2$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196$
$= \frac{1}{4} \times 22 \times 28$
$= 22 \times 7 = 154 \, m^2$.

(N/A) डिज़ाइन किया गया क्षेत्रफल दो त्रिज्यखंडों $BAEC$ और $DAFC$ के बीच का उभयनिष्ठ क्षेत्र है।
त्रिज्यखंड $BAEC$ का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (8)^{2}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 64$
$= \frac{22 \times 16}{7} = \frac{352}{7} \, cm^{2}$
$\triangle BAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BA \times BC$
$= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \, cm^{2}$
डिज़ाइन किए गए भाग का क्षेत्रफल $= 2 \times (\text{वृत्तखंड } AEC \text{ का क्षेत्रफल})$
$= 2 \times (\text{त्रिज्यखंड } BAEC \text{ का क्षेत्रफल} - \triangle BAC \text{ का क्षेत्रफल})$
$= 2 \times \left(\frac{352}{7} - 32\right) = 2 \left(\frac{352 - 224}{7}\right)$
$= \frac{2 \times 128}{7} = \frac{256}{7} \, cm^{2}$

(B) दिया है,वृत्त की त्रिज्या $(r) = 14 \, cm$ और केंद्रीय कोण $(\theta) = 60^{\circ}$ है।
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = \frac{1}{6} \times 22 \times 2 \times 14 = \frac{308}{3} \approx 102.67 \, cm^{2}$।
चूंकि केंद्रीय कोण $60^{\circ}$ है और दो भुजाएं त्रिज्याएं हैं,इसलिए बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 14^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 196 = 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 84.87 \, cm^{2}$।
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= \frac{308}{3} - 49 \sqrt{3} \, cm^{2} \approx 102.67 - 84.87 = 17.8 \, cm^{2}$।
नोट: दिए गए विकल्प लघु वृत्तखंड के बजाय त्रिभुज का क्षेत्रफल दर्शाते प्रतीत होते हैं। लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल की मानक गणना के अनुसार उत्तर $\frac{308}{3} - 49 \sqrt{3}$ है। यदि प्रश्न जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल पूछ रहा है,तो उत्तर $49 \sqrt{3}$ है।

(C) दिया है,वर्ग $ABCD$ की भुजा $= 12 \, cm$ है।
चूँकि $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए प्रत्येक चतुर्थांश चाप की त्रिज्या $r = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ है।
एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \pi r^{2} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (6)^{2} = \frac{3.14 \times 36}{4} = 3.14 \times 9 = 28.26 \, cm^{2}$ है।
ऐसे चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = $4 \times 28.26 = 113.04 \, cm^{2}$ है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल = $(\text{भुजा})^{2} = (12)^{2} = 144 \, cm^{2}$ है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $-$ चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = $144 - 113.04 = 30.96 \, cm^{2}$ है।

(D) दिया गया है कि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $10 \, cm$ है।
अतः,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए प्रत्येक चाप की त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
छायांकित क्षेत्र में तीन त्रिज्यखंड (sectors) शामिल हैं,जिनमें से प्रत्येक का केंद्रीय कोण $60^{\circ}$ और त्रिज्या $r = 5 \, cm$ है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2$.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 25 = \frac{78.5}{6} \approx 13.0833 \, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $= 3 \times (\text{एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}) = 3 \times \frac{78.5}{6} = \frac{78.5}{2} = 39.25 \, cm^2$.

(A) दिया गया है कि,प्रत्येक चाप की त्रिज्या $(r)$ $= 14 \, cm$ है।
केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
तीन त्रिज्यखंडों के लिए,जिनके केंद्रीय कोण $\angle P$,$\angle Q$ और $\angle R$ हैं,उनके क्षेत्रफलों का योग:
क्षेत्रफल $= \frac{\angle P}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle Q}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} + \frac{\angle R}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{(\angle P + \angle Q + \angle R)}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (14)^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 196$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 22 \times 28 = 11 \times 28 = 308 \, cm^{2}$।
अतः,छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $308 \, cm^{2}$ है।

(B) दिया गया है कि,एक वृत्ताकार पार्क एक सड़क से घिरा हुआ है।
सड़क की चौड़ाई $= 21\, m$ है।
पार्क की त्रिज्या $(r_i) = 105\, m$ है।
अतः,पूरे वृत्ताकार भाग (पार्क + सड़क) की त्रिज्या $r_e = 105 + 21 = 126\, m$ होगी।
अब,सड़क का क्षेत्रफल $=$ पूरे वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल $-$ वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल।
सड़क का क्षेत्रफल $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2)$।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
सड़क का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times (126^2 - 105^2) = \frac{22}{7} \times (126 + 105)(126 - 105)$।
सड़क का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 231 \times 21$।
सड़क का क्षेत्रफल $= 22 \times 231 \times 3 = 15246\, m^2$।
अतः,सड़क का अभीष्ट क्षेत्रफल $15246\, m^2$ है।

(C) दिया गया है कि प्रत्येक चाप की त्रिज्या $r = 21 \, cm$ है।
केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
शीर्षों $A, B, C$ और $D$ पर बने चार त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग:
क्षेत्रफल $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल $= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
चूंकि किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
क्षेत्रफल $= \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \pi r^2$
$r = 21 \, cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
अतः,छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $1386 \, cm^2$ है।

(D) वृत्त के चाप की लंबाई $20 \,cm$ दी गई है।
चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$ होता है।
दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$
भिन्न को सरल करने पर:
$20 = \frac{1}{6} \times 2 \pi r$
$20 = \frac{\pi r}{3}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{20 \times 3}{\pi} = \frac{60}{\pi} \,cm$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $\frac{60}{\pi} \,cm$ है।

(D) दिया है: त्रिज्या $r = 20\, cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$.
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{360^{\circ} - 90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{270}{360} \times 3.14 \times (20)^2 = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 400 = 3 \times 3.14 \times 100 = 942\, cm^2$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times 1 = 200\, cm^2$.
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल + $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= 942 + 200 = 1142\, cm^2$.

(C) मान लीजिए कि बछड़ा वर्गाकार मैदान के कोने $A$ पर बंधा है।
क्षेत्रफल में वृद्धि $90^{\circ}$ के केंद्रीय कोण और $R = 11.5 \,m$ $(6 \,m + 5.5 \,m)$ तथा $r = 6 \,m$ त्रिज्या वाले दो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर है।
क्षेत्रफल में आवश्यक वृद्धि $= R$ त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $- r$ त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
$= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times R^2 - \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times r^2$
$= \frac{1}{4} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5^2 - 6^2)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (11.5 + 6) \times (11.5 - 6)$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 5.5$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{11}{2}$
$= \frac{11 \times 5 \times 11}{8} = \frac{605}{8} = 75.625 \,m^2$.

(D) दिया गया है,वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल $= 22176 \, m^{2}$।
वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\pi r^{2} = 22176$।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,$\frac{22}{7} r^{2} = 22176$।
$r^{2} = \frac{22176 \times 7}{22} = 1008 \times 7 = 7056$।
$r = \sqrt{7056} = 84 \, m$।
वृत्ताकार मैदान की परिधि $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 84 = 44 \times 12 = 528 \, m$ है।
बाड़ लगाने का खर्च $= \text{परिधि} \times \text{दर}$।
खर्च $= 528 \times 50 = 26400 \, Rs.$

(N/A) दिया गया है कि,वृत्त की त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$ और त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $(\theta) = 60^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} = \frac{3.14 \times 12 \times 12 \times 60^{\circ}}{360^{\circ}} = 3.14 \times 2 \times 12 = 75.36 \, cm^2$.
चूंकि दो त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बना त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका शीर्ष कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \, cm^2$.
वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $-$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $= (75.36 - 36\sqrt{3}) \, cm^2$.

(A) दिया है: $AB = 18 \, cm$,$DC = 32 \, cm$,ऊँचाई $(h) = 14 \, cm$ और प्रत्येक चाप की त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$ है।
चूँकि $AB \parallel DC$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ है।
$\theta$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$A$ और $D$ पर स्थित त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = $\frac{\angle A + \angle D}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 7 = 77 \, cm^2$ है।
इसी प्रकार,$B$ और $C$ पर स्थित त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = $\frac{\angle B + \angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = 77 \, cm^2$ है।
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (AB + DC) \times h = \frac{1}{2} \times (18 + 32) \times 14 = \frac{1}{2} \times 50 \times 14 = 350 \, cm^2$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $-$ (चारों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग) = $350 - (77 + 77) = 350 - 154 = 196 \, cm^2$ है।

(C) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times l \times r$
जहाँ $l$ चाप की लंबाई है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 5\, cm$
चाप की लंबाई $(l) = 3.5\, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3.5 \times 5$
क्षेत्रफल $= \frac{17.5}{2} = 8.75\, cm^2$
अतः,त्रिज्यखंड का अभीष्ट क्षेत्रफल $8.75\, cm^2$ है।

(D) दिया गया है कि चार वृत्ताकार कार्डबोर्ड के टुकड़ों को कागज पर इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पर्श करता है。
मान लीजिए कि चारों वृत्तों के केंद्र $A, B, C$ और $D$ हैं। चूंकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $7 \, cm$ है, इसलिए किन्हीं भी दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी $7 + 7 = 14 \, cm$ है。
इस प्रकार, $AB = BC = CD = DA = 14 \, cm$। यह $14 \, cm$ भुजा वाला एक वर्ग $ABCD$ बनाता है。
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= (\text{भुजा})^2 = (14)^2 = 196 \, cm^2$。
वर्ग के अंदर चार त्रिज्यखंड (sectors) हैं, जिनमें से प्रत्येक का केंद्रीय कोण $90^{\circ}$ और त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है。
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{4} \times 22 \times 7 = 38.5 \, cm^2$。
चारों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल $= 4 \times 38.5 = 154 \, cm^2$。
इन टुकड़ों के बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल = (वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल) - (चारों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल)
$= 196 - 154 = 42 \, cm^2$。
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $42 \, cm^2$ है।

(D) माना संकेंद्री वृत्तों के व्यास $k, 2k$ और $3k$ हैं।
अतः,संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ $\frac{k}{2}, k$ और $\frac{3k}{2}$ हैं।
आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल,$A_1 = \pi \left(\frac{k}{2}\right)^2 = \frac{\pi k^2}{4}$ है।
मध्य क्षेत्र का क्षेत्रफल,$A_2 = \pi(k)^2 - \frac{\pi k^2}{4} = \frac{3\pi k^2}{4}$ है।
बाहरी क्षेत्र का क्षेत्रफल,$A_3 = \pi \left(\frac{3k}{2}\right)^2 - \pi(k)^2 = \frac{9\pi k^2}{4} - \pi k^2 = \frac{5\pi k^2}{4}$ है।
क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात $A_1 : A_2 : A_3 = \frac{\pi k^2}{4} : \frac{3\pi k^2}{4} : \frac{5\pi k^2}{4} = 1 : 3 : 5$ है।

(A) हम जानते हैं कि,$60\, \text{min}$ में,मिनट की सुई $360^{\circ}$ घूमती है।
$1\, \text{min}$ में,मिनट की सुई $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ घूमती है।
इसलिए,सुबह $6:05$ से $6:40$ तक के समय अंतराल में,बीता हुआ समय $35\, \text{min}$ है।
$35\, \text{min}$ में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta = 6^{\circ} \times 35 = 210^{\circ}$ है।
दिया गया है कि मिनट की सुई की लंबाई $(r) = 5\, \text{cm}$ है।
मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल त्रिज्या $r = 5\, \text{cm}$ और कोण $\theta = 210^{\circ}$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{210^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (5)^2$.
क्षेत्रफल $= \frac{7}{12} \times \frac{22}{7} \times 25 = \frac{22 \times 25}{12} = \frac{11 \times 25}{6} = \frac{275}{6}$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर,$\frac{275}{6} = 45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$.
अतः,मिनट की सुई द्वारा तय किया गया आवश्यक क्षेत्रफल $45 \frac{5}{6}\, \text{cm}^2$ है।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और केंद्रीय कोण $\theta = 200^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $770 = \frac{200}{360} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$770 = \frac{5}{9} \times \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2} = \frac{770 \times 9 \times 7}{5 \times 22} = \frac{770 \times 63}{110} = 7 \times 63 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
अब,चाप की लंबाई $l$ का सूत्र है: $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
$l = \frac{200}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21$.
$l = \frac{5}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{5 \times 2 \times 22}{3} = \frac{220}{3} \, cm$.
$l = 73 \frac{1}{3} \, cm$.

(N/A) माना कि दो त्रिज्यखंडों की त्रिज्याएँ $r_1 = 7 \, cm$ और $r_2 = 21 \, cm$ हैं,और उनके केंद्रीय कोण $\theta_1 = 120^{\circ}$ और $\theta_2 = 40^{\circ}$ हैं।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
प्रथम त्रिज्यखंड के लिए:
$A_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 = \frac{22 \times 7}{3} = \frac{154}{3} \approx 51.33 \, cm^2$.
द्वितीय त्रिज्यखंड के लिए:
$A_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 441 = \frac{22 \times 63}{9} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
चाप की लंबाई $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
प्रथम त्रिज्यखंड के लिए:
$l_1 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{1}{3} \times 44 = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
द्वितीय त्रिज्यखंड के लिए:
$l_2 = \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = \frac{1}{9} \times 2 \times 22 \times 3 = \frac{132}{9} = \frac{44}{3} \approx 14.67 \, cm$.
अवलोकन: दोनों त्रिज्यखंडों के चाप की लंबाई समान है,लेकिन उनके क्षेत्रफल समान नहीं हैं।

(N/A) बाहरी वर्ग की भुजा की माप $14 \, cm$ है।
वर्ग की प्रत्येक भुजा से आंतरिक आकृति की दूरी $3 \, cm$ है।
आंतरिक आकृति एक केंद्रीय वर्ग और उसकी भुजाओं से जुड़े चार अर्धवृत्तों से बनी है।
आंतरिक वर्ग की भुजा की लंबाई $14 - (3 + 3) = 8 \, cm$ है।
चूंकि इस $8 \, cm$ वर्ग की भुजाओं पर चार अर्धवृत्त जुड़े हुए हैं,इसलिए प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास $8 / 2 = 4 \, cm$ है,अतः त्रिज्या $r = 2 \, cm$ है।
बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल $= 14^2 = 196 \, cm^2$.
आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल $= 8^2 = 64 \, cm^2$.
चार अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = 2 \pi r^2 = 2 \times \pi \times (2)^2 = 8 \pi \, cm^2$.
अछायांकित आंतरिक भाग का क्षेत्रफल $= \text{आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल} + \text{चार अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल} = 64 + 8 \pi \, cm^2$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= \text{बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल} - \text{अछायांकित आंतरिक भाग का क्षेत्रफल} = 196 - (64 + 8 \pi) = 132 - 8 \pi \, cm^2$.

(A) माना वृत्ताकार पहिये द्वारा किए गए चक्करों की संख्या $n$ है और त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है,वृत्ताकार पहिये का क्षेत्रफल $= 1.54 \, m^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\pi r^2 = 1.54$ है।
$\frac{22}{7} \times r^2 = 1.54 \Rightarrow r^2 = \frac{1.54 \times 7}{22} = 0.07 \times 7 = 0.49$ है।
अतः,$r = \sqrt{0.49} = 0.7 \, m$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि के बराबर होती है।
परिधि $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 2 \times 22 \times 0.1 = 4.4 \, m$ है।
कुल तय की गई दूरी $176 \, m$ है।
चक्करों की संख्या $n = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{176}{4.4} = \frac{1760}{44} = 40$ है।
इसलिए,पहिया $40$ चक्कर लगाता है।

(D) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
$OA = OB = r \, cm$.
दिया गया है कि जीवा की लंबाई $AB = 5 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
$\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = OA^2 + OB^2 \implies 5^2 = r^2 + r^2 \implies 2r^2 = 25 \implies r^2 = 12.5$.
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times r^2 \times 1 = \frac{12.5}{2} = 6.25 \, cm^2$.
त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 12.5 = \frac{12.5 \pi}{4} = 3.125 \pi \, cm^2$.
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - $\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $(3.125 \pi - 6.25) \, cm^2$.
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = 12.5 \pi \, cm^2$.
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = $12.5 \pi - (3.125 \pi - 6.25) = (9.375 \pi + 6.25) \, cm^2$.
क्षेत्रफलों का अंतर = $(9.375 \pi + 6.25) - (3.125 \pi - 6.25) = 6.25 \pi + 12.5 = (6.25 \pi + 12.5) \, cm^2$ या $(\frac{25 \pi}{4} + \frac{25}{2}) \, cm^2$.

(C) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $(r) = 21 \, cm$ और लघु त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $(\theta) = 120^{\circ}$ है।
सबसे पहले,वृत्त का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें:
क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (21)^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$.
इसके बाद,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 1386 = \frac{1}{3} \times 1386 = 462 \, cm^2$.
अब,दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का कुल क्षेत्रफल} - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = 1386 - 462 = 924 \, cm^2$.
अंत में,दीर्घ त्रिज्यखंड और लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात करें:
अंतर $= 924 - 462 = 462 \, cm^2$.

(N/A) यहाँ,वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r = 77\, m$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ है।
मान रखने पर,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 77 = 2 \times 22 \times 11 = 484\, m$ प्राप्त होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{22}{7} \times 77 \times 77 = 22 \times 11 \times 77 = 18634\, m^2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्ताकार मैदान की परिधि $484\, m$ है और क्षेत्रफल $18634\, m^2$ है।

(B) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$A = 5544 \, cm^{2}$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$5544 = \frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2} = 5544 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 252 \times 7$
$r^{2} = 1764$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{1764} = 42$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $42 \, cm$ है।

(C) माना वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r_{1}$ है और रास्ते सहित वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r_{2}$ है।
दिया है,मैदान की परिधि $= 2 \pi r_{1} = 220\, m$.
दिया है,रास्ते सहित मैदान की परिधि $= 2 \pi r_{2} = 264\, m$.
रास्ते की चौड़ाई $w = r_{2} - r_{1}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों परिधियों को घटाने पर:
$2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 264 - 220$
$2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$2 \times \frac{22}{7} \times w = 44$
$w = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$w = \frac{44 \times 7}{44}$
$w = 7\, m$.
अतः,रास्ते की चौड़ाई $7\, m$ है।

(A) बाहरी वृत्त की त्रिज्या $r_{1} = 23 \, cm$ है और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r_{2} = 16 \, cm$ है।
वृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \pi r_{1}^{2} - \pi r_{2}^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \pi (r_{1}^{2} - r_{2}^{2})$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \pi (r_{1} + r_{2})(r_{1} - r_{2})$
$\pi = \frac{22}{7}$ मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times (23 + 16) \times (23 - 16)$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 39 \times 7$
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 39 = 858 \, cm^{2}$

(A) दिया गया व्यास $d = 42 \, cm$ है।
त्रिज्या $r = d / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$ है।
वृत्त की परिधि $= 2 \pi r = 2 \times (22 / 7) \times 21 = 2 \times 22 \times 3 = 132 \, cm$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = (22 / 7) \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386 \, cm^2$ है।
अतः,वृत्त की परिधि $132 \, cm$ और क्षेत्रफल $1386 \, cm^2$ है।

(D) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है,जहाँ $C$ परिधि है और $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $C = 176 \, cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$176 = \frac{44}{7} \times r$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28 \, cm$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $28 \, cm$ है।

(A) वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $A = 346.5 \, cm^2$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$346.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{346.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{2425.5}{22}$
$r^2 = 110.25$
$r = \sqrt{110.25}$
$r = 10.5 \, cm$.

(B) दिया गया है कि वृत्ताकार मैदान की परिधि $C = 352\, m$ है।
हम जानते हैं कि परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 352$
$r = \frac{352 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{352 \times 7}{44} = 8 \times 7 = 56\, m$।
अब,वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$A = \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
$A = 22 \times 8 \times 56$
$A = 176 \times 56 = 9856\, m^2$।

(C) दिया गया है,वृत्त का क्षेत्रफल $A = 75.46\, cm^{2}$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\pi = 3.14$ लेने पर,$75.46 = 3.14 \times r^{2}$ प्राप्त होता है।
$r^{2} = \frac{75.46}{3.14} = 24.0318... \approx 24.01$।
वर्गमूल लेने पर,$r = \sqrt{24.01} = 4.9\, cm$ प्राप्त होता है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$C = 2 \times 3.14 \times 4.9 = 6.28 \times 4.9 = 30.772\, cm$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,परिधि $30.8\, cm$ है।

(D) माना वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $r = 35 \, m$ है।
रास्ते की चौड़ाई $w = 3.5 \, m$ है।
बाहरी वृत्त (मैदान + रास्ता) की त्रिज्या $R = r + w = 35 + 3.5 = 38.5 \, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्ताकार मैदान के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times (38.5 - 35) \times (38.5 + 35)$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 73.5$.
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 0.5 \times 73.5 = 11 \times 73.5 = 808.5 \, m^2$.

(A) बाहरी वृत्त की त्रिज्या $(R)$ $= 56 \, m$ है।
रास्ते की चौड़ाई $= 7 \, m$ है।
आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $(r)$ $= R - \text{चौड़ाई} = 56 \, m - 7 \, m = 49 \, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R - r)(R + r)$.
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times (56 - 49) \times (56 + 49)$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 7 \times 105$.
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 105 = 2310 \, m^2$.

(C) $1$. वृत्ताकार मैदान की परिधि: $\text{परिधि} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{प्रति मीटर दर}} = \frac{26,400}{60} = 440 \ m$.
$2$. माना मैदान की त्रिज्या $r$ है। परिधि का सूत्र $2\pi r = 440$ है।
$3$. $\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$, जिससे $r = \frac{440 \times 7}{44} = 70 \ m$ प्राप्त होता है।
$4$. मैदान का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 22 \times 10 \times 70 = 15,400 \ m^2$ है।
$5$. $₹ 50/m^2$ की दर से मैदान को समतल करने की लागत $15,400 \times 50 = ₹ 7,70,000$ होगी।

दिया है: वृत्त की त्रिज्या $r = 6 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times \frac{60}{360}$
$= \frac{22}{7} \times 36 \times \frac{1}{6}$
$= \frac{22 \times 6}{7} = \frac{132}{7} \, cm^2 \approx 18.86 \, cm^2$.
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का कुल क्षेत्रफल} - \text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}$
$= \pi r^2 - \frac{132}{7}$
$= \frac{22}{7} \times 6 \times 6 - \frac{132}{7}$
$= \frac{792}{7} - \frac{132}{7} = \frac{660}{7} \, cm^2 \approx 94.29 \, cm^2$.
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{132}{7} \, cm^2$ और दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{660}{7} \, cm^2$ है।

(A) लघु त्रिज्यखंड के कोण का माप $\theta = 90^{\circ}$ है (क्योंकि $OA \perp OB$ है)।
लघु त्रिज्यखंड का परिमाप = लघु चाप की लंबाई $+ 2 \times$ (त्रिज्या)।
$75 = \frac{\pi r \theta}{180} + 2r$
$75 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 90}{180} + 2r$
$75 = r \left( \frac{11}{7} + 2 \right)$
$75 = \frac{25}{7} r$
$r = \frac{75 \times 7}{25} = 21 \, cm$.
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360} = \frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 90}{360} = 346.5 \, cm^2$.
$\Delta OAB$ में,$m\angle O = 90^{\circ}$,इसलिए $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 220.5 \, cm^2$.
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $- \Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= 346.5 - 220.5 = 126 \, cm^2$.

(A) $60$ मिनट ($1$ घंटा) के दौरान,मिनट की सुई एक पूर्ण चक्कर लगाती है,अर्थात यह $360^{\circ}$ का कोण बनाती है।
सुबह $10.10$ से $10.30$ बजे तक की समयावधि $20$ मिनट है।
अतः,$20$ मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta$:
$\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$।
त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ मिनट की सुई की लंबाई है,जो $14 \, cm$ है।
तय किए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{22}{7} \times 196 \times \frac{1}{3}$
$\text{क्षेत्रफल} = 22 \times 28 \times \frac{1}{3} = \frac{616}{3} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 205 \frac{1}{3} \, cm^2$।

(C) वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $R = 35 \, m$ है। इसके अंदर $w = 3.5 \, m$ चौड़ी सड़क है। अतः आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r = R - w = 35 - 3.5 = 31.5 \, m$ होगी।
मरम्मत किए जाने वाले भाग का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और आंतरिक वृत्त के संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का अंतर है,जहाँ केंद्र पर कोण $\theta = 72^{\circ}$ है।
मरम्मत किए जाने वाले भाग का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi \times (R^2 - r^2)$
$= \frac{72}{360} \times \frac{22}{7} \times (35^2 - 31.5^2)$
$= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times (35 - 31.5)(35 + 31.5)$
$= \frac{22}{35} \times 3.5 \times 66.5$
$= \frac{22}{35} \times \frac{7}{2} \times 66.5$
$= 11 \times 0.2 \times 66.5 = 2.2 \times 66.5 = 146.3 \, m^{2}$.
मरम्मत की कुल लागत $= 146.3 \, m^{2} \times ₹ 80 / m^{2} = ₹ 11,704$.

(D) मान लीजिए कि गाय को वर्गाकार खेत $ABCD$ के शीर्ष $A$ पर $3 \, m$ लंबी रस्सी से बांधा गया है।
चूंकि वर्ग के प्रत्येक शीर्ष पर कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए गाय जिस क्षेत्र में चर सकती है वह $r = 3 \, m$ त्रिज्या और $\theta = 90^{\circ}$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times (3)^2 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}$
$= \frac{3.14 \times 9 \times 1}{4}$
$= \frac{28.26}{4}$
$= 7.065 \, m^2$
अतः,खेत के उस क्षेत्र का क्षेत्रफल जिसमें गाय चर सकती है,$7.065 \, m^2$ है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 6.3 \ cm$,केंद्रीय कोण $\theta = 150^{\circ}$.
चाप की लंबाई $l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{150}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 2 \times 22 \times 0.9 = 16.5 \ cm$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{150}{360} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 = \frac{5}{12} \times 22 \times 0.9 \times 6.3 = 51.975 \ cm^2$.