Areas of Sector and Segment of a Circle Questions in Hindi

(B) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ है,जहाँ $C$ परिधि है और $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि $C = 176\,cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$r$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{176 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28\,cm$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $28\,cm$ है।

(B) दिया गया है कि अर्धवृत्ताकार मेज-टॉप की परिधि $3.60 \, m$ है।
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $3.60 \, m = 360 \, cm$।
अर्धवृत्त की परिधि का सूत्र है: $P = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$360 = r \left( \frac{22}{7} + 2 \right)$
$360 = r \left( \frac{22 + 14}{7} \right)$
$360 = r \left( \frac{36}{7} \right)$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = 360 \times \frac{7}{36}$
$r = 10 \times 7$
$r = 70 \, cm$।
अतः,अर्धवृत्ताकार मेज-टॉप की त्रिज्या $70 \, cm$ है।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है,$A = 38.5 \, m^2$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$38.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = 38.5 \times \frac{7}{22}$
$r^2 = \frac{385}{10} \times \frac{7}{22} = \frac{77 \times 5}{2 \times 5} \times \frac{7}{22} = \frac{77 \times 7}{22 \times 2} = \frac{7 \times 7}{2 \times 2} = \frac{49}{4}$
$r = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5 \, m$.
व्यास $d$ का मान $d = 2r$ होता है।
$d = 2 \times 3.5 = 7 \, m$.

(B) वृत्ताकार वलय के आकार के रनिंग ट्रैक के लिए,मान लीजिए कि आंतरिक त्रिज्या $r_{1} \,m$ और बाहरी त्रिज्या $r_{2} \,m$ है।
परिधियों का अंतर $= 44 \,m$
$\therefore 2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 44$
$\therefore 2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$\therefore 2 \times \frac{22}{7} (r_{2} - r_{1}) = 44$
$\therefore r_{2} - r_{1} = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$\therefore r_{2} - r_{1} = 7 \,m$
$\therefore$ ट्रैक की चौड़ाई $= 7 \,m$.

(D) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
माना कि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 14 \, cm$ और $r_2 = 10.5 \, cm$ हैं।
उनकी परिधियों के बीच का अंतर $|2 \pi r_1 - 2 \pi r_2| = 2 \pi (r_1 - r_2)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
अंतर $= 2 \times \frac{22}{7} \times (14 - 10.5) \, cm$.
अंतर $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \, cm$.
अंतर $= 2 \times 22 \times 0.5 \, cm$.
अंतर $= 22 \, cm$.

(C) बगीचे की त्रिज्या $r_2 = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{210}{2} = 105 \,m$.
रास्ते को छोड़कर बगीचे की त्रिज्या $r_1 = 105 - 7 = 98 \,m$.
वृत्ताकार वलय (ring) के रूप में रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
$= \pi(r_2^2 - r_1^2)$
$= \pi(r_2 + r_1)(r_2 - r_1)$
$= \frac{22}{7} \times (105 + 98) \times (105 - 98)$
$= \frac{22}{7} \times 203 \times 7$
$= 22 \times 203$
$= 4466 \,m^2$.

(B) घड़ी की मिनट की सुई एक निश्चित समय अंतराल में एक वृत्तीय त्रिज्यखंड (sector) बनाती है।
त्रिज्या $r = 12\,cm$ दी गई है।
$60$ मिनट में,मिनट की सुई एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
इसलिए,$5$ मिनट में,तय किया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 5 = 30^{\circ}$ होगा।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{30}{360} \times 3.14 \times 12 \times 12$.
$\text{Area} = \frac{1}{12} \times 3.14 \times 144 = 3.14 \times 12 = 37.68\,cm^2$.

(C) लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$।
यहाँ त्रिज्या $r = 42\,cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 120^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 \times \frac{1}{3}$।
$\text{Area} = 22 \times 6 \times 14 = 1848\,cm^{2}$।

(D) लघु त्रिज्यखंड $OACB$ के लिए,केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$ और त्रिज्या $r\,cm$ है।
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का परिमाप = दो त्रिज्याओं का योग + चाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई।
परिमाप $= 2r + \text{चाप } \widehat{ACB} \text{ की लंबाई}$
चूँकि चाप की लंबाई $\frac{\pi r \theta}{180}$ होती है,इसलिए:
$20 = 2r + \frac{\pi r \times 90}{180}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$20 = 2r + \frac{22}{7} \times \frac{r}{2}$
$20 = 2r + \frac{11r}{7}$
$20 = r \left( 2 + \frac{11}{7} \right)$
$20 = r \left( \frac{14 + 11}{7} \right)$
$20 = r \left( \frac{25}{7} \right)$
$r = \frac{20 \times 7}{25}$
$r = \frac{4 \times 7}{5} = \frac{28}{5} = 5.6\,cm$.

(C) दिया गया है कि $\odot(O, 5.6)$ में,$\overline{OA} \perp \overline{OB}$ है।
अतः,$OA = OB = 5.6 \text{ cm}$ और $m\angle AOB = 90^\circ$ है।
लघु चाप $\widehat{AB}$ द्वारा निर्मित लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= (\text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}) - (\Delta OAB \text{ का क्षेत्रफल})$ होता है।
इसलिए,लघु त्रिज्यखंड और लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफलों का अंतर $\Delta OAB$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 5.6 \times 5.6 = 15.68 \text{ cm}^2$।

(A) चूंकि त्रिज्याएँ $\overline{ OA }$ और $\overline{ OB }$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 5.6 \, cm$ है।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ}$ है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times (5.6)^2 \times \frac{90^\circ}{360^\circ}$.
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 31.36 \times \frac{1}{4}$.
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7.84 = 22 \times 1.12 = 24.64 \, cm^2$.

(D) छतरी को $r = 56 \, cm$ त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त माना गया है।
चूँकि इसमें $8$ समान दूरी पर ताड़ हैं,इसलिए वृत्त $8$ समान त्रिज्यखंडों (sectors) में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक त्रिज्यखंड के लिए केंद्रीय कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ है।
दो क्रमागत ताड़ों के बीच का क्षेत्रफल एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है,जो निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (56)^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{8} \times 22 \times 8 \times 56$
क्षेत्रफल $= 22 \times 56 = 1232 \, cm^{2}$.

(A) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$।
यहाँ त्रिज्या $r = 30\,cm$,कोण $\theta = 60^{\circ}$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{60}{360} \times 3.14 \times (30)^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 900$
$\text{क्षेत्रफल} = 3.14 \times 150$
$\text{क्षेत्रफल} = 471\,cm^{2}$।

(C) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या को दर्शाती है,इसलिए $r = 6 \, cm$ है।
$60 \, \text{मिनट}$ में,मिनट की सुई $360^{\circ}$ का कोण बनाती है।
इसलिए,$10 \, \text{मिनट}$ में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 10 = 60^{\circ}$ है।
तय किए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल $r = 6 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 6 \times 6$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 36 = 3.14 \times 6 = 18.84 \, cm^2$.

(A) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल,संबंधित लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल और दो त्रिज्याओं तथा जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग होता है।
लघु त्रिज्यखंड $OABC$ का क्षेत्रफल $= \text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} + \Delta OAC$ का क्षेत्रफल
लघु त्रिज्यखंड $OABC$ का क्षेत्रफल $= 14.25\,cm^2 + 25\,cm^2$
लघु त्रिज्यखंड $OABC$ का क्षेत्रफल $= 39.25\,cm^2$

(C) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल,संगत लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल और जीवा तथा वृत्त के केंद्र द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग होता है।
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \text{लघु वृत्तखंड } \overline{AB} \cup \widehat{ACB} \text{ का क्षेत्रफल} + \Delta OAB \text{ का क्षेत्रफल}$
दिया है:
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= 114 \, cm^2$
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= 200 \, cm^2$
अतः,
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= 114 \, cm^2 + 200 \, cm^2 = 314 \, cm^2$.

(C) यहाँ,त्रिज्या $r = 14 \, cm$ है।
चूँकि $\overline{OA} \perp \overline{OB}$,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} \times 22 \times 2 \times 14$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} \times 616 = 154 \, cm^2$.

(C) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और केंद्र पर बने कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं।
यहाँ दिया गया है कि $\theta_1 = \theta_2 = \theta$.
दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{9}$ दिया गया है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r_1^2}{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r_2^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक को सरल करने पर,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $2:3$ है।

(D) $r$ त्रिज्या और $\theta$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
एक ही वृत्त में $\theta_1$ और $\theta_2$ केंद्रीय कोण वाले दो त्रिज्यखंडों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\theta_1}{360^\circ} \times \pi r^2)}{(\frac{\theta_2}{360^\circ} \times \pi r^2)} = \frac{\theta_1}{\theta_2}$ होगा।
दिया गया है कि क्षेत्रफलों का अनुपात $1:4$ है,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{1}{4}$ है।
इस प्रकार,केंद्र पर बने कोणों का अनुपात $1:4$ है।

(C) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 10.5 \, cm = \frac{21}{2} \, cm$.
मिनट की सुई $60$ मिनट में $360^{\circ}$ पूरा करती है।
$20$ मिनट में,मिनट की सुई द्वारा तय किया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$ है।
तय किए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल त्रिज्या $r$ और केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{2}\right)^2$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{3} \times 11 \times 3 \times \frac{21}{2} = \frac{231}{2} = 115.5 \, cm^2$.

(B) दिया है,वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$ है।
चूंकि दोनों त्रिज्याएं परस्पर लंब हैं,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ होगा।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल $= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 38.5 = 9.625\,cm^2$.

(A) लघु त्रिज्यखंड का परिमाप दो त्रिज्याओं और चाप की लंबाई के योग के बराबर होता है।
परिमाप $= 2r + l$,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ चाप की लंबाई है।
यहाँ $r = 21 \ cm$ और परिमाप $= 64 \ cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $64 = 2(21) + l$.
$64 = 42 + l$.
$l = 64 - 42$.
$l = 22 \ cm$.
अतः,चाप की लंबाई $22 \ cm$ है।

(D) लघु त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 2r + l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ चाप की लंबाई है।
यहाँ $r = 7 \, cm$ और $P = \frac{86}{3} \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{86}{3} = 2(7) + l$.
$\frac{86}{3} = 14 + l \implies l = \frac{86}{3} - 14 = \frac{86 - 42}{3} = \frac{44}{3} \, cm$.
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r l$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$A = \frac{1}{2} \times 7 \times \frac{44}{3} = \frac{154}{3} \, cm^2$.

(C) त्रिज्या $r$ और चाप की लंबाई $l$ दिए होने पर त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r \times l$।
दिया गया है: $r = 6 \, cm$ और $l = 12 \, cm$।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36 \, cm^2$।

(A) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल $(A)$ का सूत्र त्रिज्या $(r)$ और चाप की लंबाई $(l)$ के पदों में $A = \frac{1}{2} \times r \times l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 10\,cm$ और क्षेत्रफल $A = 40\,cm^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$40 = \frac{1}{2} \times 10 \times l$
$40 = 5 \times l$
$l = \frac{40}{5}$
$l = 8\,cm$.
अतः,चाप की लंबाई $8\,cm$ है।

(B) त्रिज्या $r$ और चाप की लंबाई $l$ दिए होने पर त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r \times l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 12\,cm$ और चाप की लंबाई $l = 12\,cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12\,cm \times 12\,cm = 6 \times 12\,cm^{2} = 72\,cm^{2}$.

(B) वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 8 \, cm$ और $r_2 = 12 \, cm$ हैं।
उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{8^2}{12^2} = \frac{64}{144}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $16$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{64 \div 16}{144 \div 16} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात $4:9$ है।

(A) यहाँ त्रिज्या $r = 4$ और केंद्रीय कोण $\theta = 45^\circ$ दिया गया है।
लघु चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$L = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 4$
$L = \frac{1}{8} \times 8\pi$
$L = \pi$.
अतः,लघु चाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई $\pi$ है।

(D) यहाँ, त्रिज्या $r = 6$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \pi(6) = 12 \pi$ होती है।
लघु चाप (minor arc) $\widehat{AC}$ की लंबाई का सूत्र $L_{minor} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 12 \pi = \frac{1}{6} \times 12 \pi = 2 \pi$ है।
दीर्घ चाप $\widehat{ABC}$ की लंबाई, वृत्त की कुल परिधि में से लघु चाप की लंबाई को घटाकर प्राप्त की जाती है।
दीर्घ चाप $\widehat{ABC}$ की लंबाई $= 12 \pi - 2 \pi = 10 \pi$।

(C) वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
$r = 7$ त्रिज्या वाले वृत्त के लिए,परिधि $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ इकाई है।
वृत्त की अर्ध-परिधि $\frac{C}{2} = \frac{44}{2} = 22$ इकाई है।
लघु चाप वह चाप है जिसकी लंबाई वृत्त की अर्ध-परिधि से कम होती है।
इसलिए,लघु चाप की लंबाई $22$ इकाई से कम होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $12$ ही $22$ से कम है।
अतः,$\odot(O, 7)$ के लघु चाप की लंबाई $12$ इकाई हो सकती है।

(B) चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर अंतरित कोण है।
दिया गया है कि लघुचाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई $= \frac{1}{6} \times \text{परिधि}$ है।
चूंकि वृत्त की परिधि $2\pi r$ है,इसलिए:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{1}{6} \times 2\pi r$
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{6}$
$\theta = 60^{\circ}$

(A) केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ होती है।
इसलिए,लघुचाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई और परिधि का अनुपात $\frac{L}{C} = \frac{(\frac{\theta}{360^{\circ}}) \times 2\pi r}{2\pi r} = \frac{\theta}{360^{\circ}}$ है।
यहाँ $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है,अतः अनुपात $\frac{72^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{5}$ होगा।
अतः,अनुपात $1:5$ है।

(C) वृत्त का क्षेत्रफल $200 \, cm^{2}$ दिया गया है।
लघु त्रिज्यखंड वृत्त का वह भाग है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है,जहाँ केंद्रीय कोण $180^{\circ}$ से कम होता है।
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल हमेशा अर्धवृत्त के क्षेत्रफल से कम होना चाहिए।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{200}{2} = 100 \, cm^{2}$ है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $75 \, cm^{2}$ ही $100 \, cm^{2}$ से कम है।
इसलिए,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $75 \, cm^{2}$ हो सकता है।

(D) $r = 7 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^{2}$.
एक लघु त्रिज्यखंड वह त्रिज्यखंड है जिसका केंद्रीय कोण $\theta < 180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त के आधे क्षेत्रफल (अर्थात अर्धवृत्त के क्षेत्रफल) से कम होना चाहिए।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{154}{2} = 77 \, cm^{2}$.
दिए गए विकल्पों में से,केवल $55 \, cm^{2}$ ही $77 \, cm^{2}$ से कम है।
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $55 \, cm^{2}$ हो सकता है।

(D) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 14 \, cm$,क्षेत्रफल $= 77 \, cm^2$ और $\pi = \frac{22}{7}$।
सूत्र में मान रखने पर: $77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$।
$77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 22 \times 2 \times 14$।
$77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 616$।
$\theta = \frac{77 \times 360^\circ}{616}$।
$\theta = \frac{27720}{616} = 45^\circ$।
अतः,केंद्र पर अंतरित कोण $45^\circ$ है।

(A) वृत्त $\odot(O, r)$ का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 240 \, cm^2$ दिया गया है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
यहाँ $\theta = 45^\circ$ और $\pi r^2 = 240 \, cm^2$ दिया गया है,इसलिए मानों को सूत्र में रखने पर:
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{45}{360} \times 240$
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{8} \times 240 = 30 \, cm^2$.
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $30 \, cm^2$ है।

(D) यहाँ, वृत्त की त्रिज्या $r = 12 \text{ cm}$ है और लघुचाप $\widehat{ACB}$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r = 2 \times \pi \times 12 = 24\pi \text{ cm}$ है।
लघुचाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई का सूत्र $L_{\text{minor}} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है।
$L_{\text{minor}} = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times 24\pi = \frac{1}{12} \times 24\pi = 2\pi \text{ cm}$।
दीर्घचाप $\widehat{ADB}$ की लंबाई कुल परिधि में से लघुचाप की लंबाई को घटाकर प्राप्त की जाती है।
$L_{\text{major}} = 24\pi - 2\pi = 22\pi \text{ cm}$।

(D) यहाँ,त्रिज्या $r = 6.3\, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 40^{\circ}$ है।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$ है।
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times (6.3)^{2} \times \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times \frac{1}{9}$
$\text{Area} = 22 \times 0.9 \times 0.7$
$\text{Area} = 13.86\, cm^{2}$.

(A) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{1}{2} r l$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ चाप की लंबाई है।
दिया गया है: $r = 10 \, cm$ और $A = 75 \, cm^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$75 = \frac{1}{2} \times 10 \times l$
$75 = 5 \times l$
$l = \frac{75}{5}$
$l = 15 \, cm$।
अतः,चाप की लंबाई $15 \, cm$ है।

(B) चाप की लंबाई का सूत्र $l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$ है,जहाँ $l$ चाप की लंबाई है,$r$ त्रिज्या है,और $\theta$ डिग्री में केंद्रीय कोण है।
दिया गया है: $l = 110 \,cm$ और $\theta = 150^{\circ}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$110 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 150}{180}$
$110 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 5}{6}$
$110 = \frac{110 \times r}{42}$
$r = \frac{110 \times 42}{110}$
$r = 42 \,cm$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $42 \,cm$ है।

(A) चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ होता है।
यहाँ, त्रिज्या $r = 8 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 45^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 8$
$L = \frac{1}{8} \times 16\pi$
$L = 2\pi \, cm$.
अतः, लघु चाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई $2\pi \, cm$ है।

(B) वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,चाप की लंबाई परिधि का आठवां भाग है:
$L = \frac{1}{8} \times 2\pi r$.
$L$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{1}{8} \times 2\pi r$.
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{1}{8}$.
$\theta$ का मान ज्ञात करने पर:
$\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
अतः,केंद्र पर अंतरित कोण का माप $45^\circ$ है।

(C) मान लीजिए कि वृत्त की मूल त्रिज्या $r$ है।
वृत्त का मूल क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
यदि त्रिज्या में $10 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई त्रिज्या $r'$ होगी:
$r' = r + 0.10r = 1.1r$.
नए वृत्त का क्षेत्रफल $A_2$ इस प्रकार होगा:
$A_2 = \pi (r')^2 = \pi (1.1r)^2 = \pi (1.21r^2) = 1.21 \pi r^2$.
अतः,नए वृत्त का क्षेत्रफल $1.21 \pi r^2$ होगा।

(C) माना अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है।
अर्धवृत्त में बने त्रिभुज के लिए,त्रिभुज का आधार अर्धवृत्त का व्यास होता है,जो $d = 2r = 2 \times 10 = 20 \, cm$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई व्यास से परिधि तक की लंबवत दूरी है,जो तब अधिकतम होती है जब शीर्ष चाप के मध्य बिंदु पर स्थित हो,जिससे ऊँचाई त्रिज्या $r = 10 \, cm$ के बराबर हो जाती है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 \, cm^2$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $100 \, cm^2$ है।

(A) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 14 \, cm$।
जब मिनट की सुई $1$ से $10$ तक चलती है,तो यह घड़ी के डायल पर $12$ में से $9$ भाग तय करती है।
मिनट की सुई द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण $\theta = \frac{9}{12} \times 360^\circ = \frac{3}{4} \times 360^\circ = 270^\circ$ है।
मिनट की सुई द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल $\theta = 270^\circ$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।
क्षेत्रफल $= \frac{270}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$।
क्षेत्रफल $= \frac{3}{4} \times 22 \times 2 \times 14$।
क्षेत्रफल $= 3 \times 11 \times 14 = 462 \, cm^2$।

(C) चाप की लंबाई $L$ का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर अंतरित कोण है और $2\pi r$ वृत्त की परिधि है।
दिया गया है कि लघु चाप $\widehat{AB}$ की लंबाई परिधि की $\frac{1}{4}$ है,इसलिए:
$L = \frac{1}{4} \times (2\pi r)$
$L$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{1}{4} \times 2\pi r$
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
अतः,लघु चाप $\widehat{AB}$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का माप $90^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है,वृत्त का क्षेत्रफल $A = 38.5\, m^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$38.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{269.5}{22} = 12.25$
$r = \sqrt{12.25} = 3.5\, m$.
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5$
$C = 2 \times 22 \times 0.5 = 22\, m$.
अतः,वृत्त की परिधि $22\, m$ है।

(A) सही मिलान इस प्रकार है:
$1.$ लघु चाप की लंबाई $(l)$ ज्ञात करने का सूत्र $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$ है। अतः,$1$ का मिलान $c$ से होता है।
$2.$ लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $(A)$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ है। अतः,$2$ का मिलान $d$ से होता है।
$3.$ वृत्त का क्षेत्रफल $(A)$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^{2}$ है। अतः,$3$ का मिलान $b$ से होता है।
$4.$ वृत्त की परिधि $(C)$ ज्ञात करने का सूत्र $C = 2\pi r$ है। अतः,$4$ का मिलान $a$ से होता है।
अतः,सही मिलान $(1-c), (2-d), (3-b), (4-a)$ है।

(C) क्षेत्रफल को उस द्वि-आयामी स्थान की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे कोई वस्तु घेरती है। क्षेत्रफल की मानक इकाई वर्ग इकाई (जैसे $m^2$,$cm^2$,$km^2$) होती है।
$cm^3$ और $m^3$ आयतन की इकाइयाँ हैं।
$cm$ लंबाई की एक इकाई है।
अतः,$cm^2$ क्षेत्रफल की एक इकाई है।