Section Formula Questions in Gujarati

(N/A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $(x_1, y_1) = (a, b-c)$,$(x_2, y_2) = (b, c-a)$ અને $(x_3, y_3) = (c, a-b)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$x$-યામ $= \frac{a + b + c}{3}$
$y$-યામ $= \frac{(b-c) + (c-a) + (a-b)}{3}$
$y$-યામનું સાદું રૂપ આપતા:
$y$-યામ $= \frac{b - c + c - a + a - b}{3} = \frac{0}{3} = 0$.
મધ્યકેન્દ્રનો $y$-યામ $0$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર $X$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને મધ્યબિંદુએ દુભાગે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x, y)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}) = (\frac{3+2}{2}, \frac{2+3}{2}) = (2.5, 2.5)$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}) = (\frac{4+x}{2}, \frac{5+y}{2})$ છે.
બંને વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ સમાન હોવાથી,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$\frac{4+x}{2} = 2.5 \implies 4+x = 5 \implies x = 1$.
$\frac{5+y}{2} = 2.5 \implies 5+y = 5 \implies y = 0$.
તેથી,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(1, 0)$ છે.

(N/A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ શોધવા માટે,આપણે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
આપેલા બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (3, 5)$ અને $(x_2, y_2) = (7, 5)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3 + 7}{2}, \frac{5 + 5}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{10}{2}, \frac{10}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (5, 5)$
ગણતરી કરેલ મધ્યબિંદુ $(5, 5)$ છે,જે આપેલા બિંદુ સાથે મેળ ખાય છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $(5, 5)$ એ $(3, 5)$ અને $(7, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.

(A) ધારો કે $Y$-અક્ષ રેખાખંડ $AB$ નું બિંદુ $P(0, y)$ પર $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
અહીં,$m_1 = k$,$m_2 = 1$,$x_1 = -2$,$y_1 = 4$,$x_2 = 1$,$y_2 = 1$ છે.
બિંદુ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે:
$0 = \frac{k(1) + 1(-2)}{k + 1}$
$0 = k - 2 \implies k = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.
હવે,$y$-યામ શોધીએ:
$y = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
આમ,વિભાજન બિંદુ $(0, 2)$ છે અને ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P (-4, 3)$ એ $A (1, -2)$ અને $B (-6, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{k x_2 + 1 x_1}{k + 1}, \frac{k y_2 + 1 y_1}{k + 1} \right)$
કિંમતો $x_1 = 1, y_1 = -2, x_2 = -6, y_2 = 5$ મૂકતા:
$-4 = \frac{k(-6) + 1(1)}{k + 1}$
$-4(k + 1) = -6k + 1$
$-4k - 4 = -6k + 1$
$2k = 5$
$k = \frac{5}{2}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $5: 2$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $D(4,6), E(2,2)$ અને $F(3,1)$ આપેલા છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
$\Delta DEF$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર: $G = \left( \frac{x_D + x_E + x_F}{3}, \frac{y_D + y_E + y_F}{3} \right).$
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $G = \left( \frac{4 + 2 + 3}{3}, \frac{6 + 2 + 1}{3} \right).$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3} \right) = (3, 3).$
આમ,$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ $(3, 3)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિભાગ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે. બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$.
બિંદુ $P$ માટે $(m_1=1, m_2=2)$: $P = \left( \frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2} \right) = \left( \frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{6}{3} \right) = (1, 2)$.
બિંદુ $Q$ માટે $(m_1=2, m_2=1)$: $Q = \left( \frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1} \right) = \left( \frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{15}{3} \right) = (4, 5)$.
આમ,ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(3, 3)$ અને $B(6, 1)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
શરત $A-B-C$ સૂચવે છે કે $B$ એ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
શરત $3 AB = BC$ સૂચવે છે કે ગુણોત્તર $AB : BC = 1 : 3$ છે.
સદિશનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{B} - \vec{A} = (6-3, 1-3) = (3, -2)$.
$BC = 3 AB$ હોવાથી,સદિશ $\vec{BC} = 3 \vec{AB} = 3(3, -2) = (9, -6)$.
તેથી,$\vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} = (6, 1) + (9, -6) = (15, -5)$.

(B) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $\overline{BC}$ ને અન્ય બે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પગલું $1$: અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો.
$AB = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
પગલું $2$: જે ગુણોત્તરમાં દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને વિભાજિત કરે છે તે $m:n = AB:AC = 4\sqrt{5}:3\sqrt{5} = 4:3$ છે.
પગલું $3$: વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\overline{BC}$ પરના બિંદુ $D(x, y)$ ના યામ શોધો જે તેને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{4(9) + 3(-2)}{4 + 3} = \frac{36 - 6}{7} = \frac{30}{7}$.
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{4(1) + 3(3)}{4 + 3} = \frac{4 + 9}{7} = \frac{13}{7}$.
આમ,યામ $\left(\frac{30}{7}, \frac{13}{7}\right)$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(5, 3)$ અને $B(3, 3)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = 3$ અને $x_2 = 3, y_2 = 3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{8}{2}, \frac{6}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (4, 3)$.

(B) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(3, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= (2, 2)$.

(C) રેખાખંડનું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ તે રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
તેથી,બિંદુના યામ $(0, 0)$ છે.

(C) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(20, 10)$ અને $(6, 8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 20, y_1 = 10$ અને $x_2 = 6, y_2 = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{20 + 6}{2}, \frac{10 + 8}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{26}{2}, \frac{18}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (13, 9)$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ એ તેના વ્યાસ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
અહીં $A(x_1, y_1) = (4, 0)$ અને $B(x_2, y_2) = (-2, 2)$ આપેલ છે.
મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $P(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(x, y) = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right)$.
$P(x, y) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1)$.
તેથી,$P$ ના યામ $(1, 1)$ છે.

(B) ધારો કે રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(0,0)$ અને $B(6,6)$ છે.
રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે ત્રણ બિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ ની જરૂર છે જે રેખાખંડને અનુક્રમે $1:3, 1:1,$ અને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
મધ્યબિંદુ $Q$ ની ગણતરી $(\frac{0+6}{2}, \frac{0+6}{2}) = (3,3)$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{0+3}{2}, \frac{0+3}{2}) = (1.5, 1.5)$ છે.
બિંદુ $R$ એ $QB$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{3+6}{2}, \frac{3+6}{2}) = (4.5, 4.5)$ છે.
આ બિંદુઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$(4.5, 4.5)$ એ વિભાજન કરતું એક બિંદુ છે.

(A) ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(x,y)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ તેના વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
કેન્દ્ર $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
અહીં કેન્દ્ર $(-2,4)$ છે અને એક અંત્યબિંદુ $(0,0)$ છે,તેથી:
$-2 = \frac{0 + x}{2} \implies x = -4$
$4 = \frac{0 + y}{2} \implies y = 8$
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(-4,8)$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(6, 5)$ અને $B(4, 3)$ છે.
અહીં,$x_1 = 6, y_1 = 5$ અને $x_2 = 4, y_2 = 3$ છે.
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{6 + 4}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુ $= (5, 4)$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(6,0)$,$B(0,0)$ અને $C(0,8)$ છે.
અહીં શિરોબિંદુ $A(6,0)$ એ $x$-અક્ષ પર અને $C(0,8)$ એ $y$-અક્ષ પર છે,અને શિરોબિંદુ $B$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે,તેથી આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો $B(0,0)$ આગળ બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ એ $A(6,0)$ અને $C(0,8)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
કર્ણનું મધ્યબિંદુ શોધવાનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
$A$ અને $C$ ના યામો મૂકતા: $\left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{8}{2} \right) = (3,4)$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(3,4)$ છે.

(A) ધારો કે $B$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $P(1, 12)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,જ્યાં $A(x_1, y_1) = (3, 8)$ અને $B(x_2, y_2) = (x, y)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{2(x) + 1(3)}{2+1} \implies 1 = \frac{2x + 3}{3} \implies 3 = 2x + 3 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
તે જ રીતે,$12 = \frac{2(y) + 1(8)}{2+1} \implies 12 = \frac{2y + 8}{3} \implies 36 = 2y + 8 \implies 2y = 28 \implies y = 14$.
આમ,$B$ ના યામ $(0, 14)$ છે.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(3, -2)$ અને $B(-1, 4)$ છે.
તેથી,$x_1 = 3, y_1 = -2$ અને $x_2 = -1, y_2 = 4$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right)$
$M = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right)$
$M = (1, 1)$
આમ,મધ્યબિંદુના યામ $(1, 1)$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
પ્રથમ,$M$ ના યામ શોધો,જે $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે જ્યાં $A(0, 0)$ અને $B(4, 8)$ છે:
$M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (2, 4)$.
ત્યારબાદ,$N$ ના યામ શોધો,જે $\overline{BM}$ નું મધ્યબિંદુ છે જ્યાં $B(4, 8)$ અને $M(2, 4)$ છે:
$N = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{12}{2}\right) = (3, 6)$.

(A) ધારો કે $D$ ના યામ $(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (2, -1)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા: $(2, -1) = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
$x$-યામ માટે: $\frac{2+x}{2} = 2 \implies 2+x = 4 \implies x = 2$.
$y$-યામ માટે: $\frac{1+y}{2} = -1 \implies 1+y = -2 \implies y = -3$.
તેથી,$D$ ના યામ $(2, -3)$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે અને $AB = BC$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ $\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(3, 4) = \left(\frac{5 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}\right)$.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{5 + x}{2} = 3 \implies 5 + x = 6 \implies x = 1$.
$y$-યામને સરખાવતા: $\frac{2 + y}{2} = 4 \implies 2 + y = 8 \implies y = 6$.
તેથી,બિંદુ $C$ ના યામ $(1, 6)$ છે.

(B) $\overline{AB}$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $P$ એ વ્યાસ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
$A(5, -6)$ અને $B(3, -2)$ કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{-6 + (-2)}{2} \right)$
$P = \left( \frac{8}{2}, \frac{-8}{2} \right)$
$P = (4, -4)$.

(D) આપેલા બિંદુઓ $A(8, 10)$ અને $B(4, 12)$ છે.
અહીં બિંદુ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી તે રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 12}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{22}{2}\right) = (6, 11)$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(4,4)$ એ $A(2,6)$ અને $B(6,2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{k(6) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(6)}{k+1} \right) = (4,4)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{6k + 2}{k+1} = 4$
$6k + 2 = 4k + 4$
$2k = 2$
$k = 1$
આમ,ગુણોત્તર $k:1$ એ $1:1$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{6+2}{2} \right) = (4,4)$થાય છે,જે સાબિત કરે છે કે બિંદુ $(4,4)$ એ મધ્યબિંદુ છે,જે રેખાખંડનું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(D) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(a, 8)$ માટે,મધ્યબિંદુ $\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ થશે.
આપણને આપેલ છે કે મધ્યબિંદુ $(4, 6)$ છે.
યામોને સરખાવતા,$\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{3 + a}{2}, 6\right) = (4, 6)$ મળે.
$x$-યામની સરખામણી કરતા: $\frac{3 + a}{2} = 4$.
$2$ વડે ગુણતા,$3 + a = 8$ મળે.
તેથી,$a = 8 - 3 = 5$.

(D) બિંદુઓના યામ $A(-3, 5)$ અને $B(2, 5)$ છે.
બંને બિંદુઓનો $y-$યામ $5$ હોવાથી,આ બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ $y = 5$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી એક આડી રેખા છે.
આડી રેખા $y = 5$ એ $X-$અક્ષને સમાંતર છે અને તે $Y-$અક્ષને જ્યાં $x = 0$ હોય તે બિંદુએ છેદે છે.
સમીકરણ $y = 5$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $(0, 5)$ બિંદુ મળે છે.
તેથી,રેખાખંડ $Y-$અક્ષને $(0, 5)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) ધારો કે માંગેલ બિંદુ $P(x, y)$ છે અને ગુણોત્તર $m:n = 3:2$ છે.
અહીં $A(x_1, y_1) = (3, -6)$ અને $B(x_2, y_2) = (-2, -1)$ આપેલ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-1) + 2(-6)}{3+2} = \frac{-3 - 12}{5} = \frac{-15}{5} = -3$
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(0, -3)$ છે.

(B) રેખાખંડ $\overline{ AB }$ આપેલ છે. બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે એવી રીતે આવેલું છે કે જેથી $A-P-B$ થાય.
જ્યારે બિંદુ $P$ રેખાખંડ $\overline{ AB }$ ને કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,ત્યારે તે સામાન્ય રીતે બનતા બે રેખાખંડોની લંબાઈના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો વિભાજન '$B$ થી' સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે $B$ થી શરૂ થતા રેખાખંડ અને $A$ થી શરૂ થતા રેખાખંડનો ગુણોત્તર લેવો.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{BP}{PA}$ થશે.

(B) વિભાજન સૂત્ર મુજબ,જો બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $B(x_{2}, y_{2})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોય,તો $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}$
$y = \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}$
આમ,$P$ ના યામ $\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A - M - B$,બિંદુ $M$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5}$ આપેલ છે.
કારણ કે $AB = AM + MB$,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$5(AM) = 3(AM + MB)$.
$5(AM) = 3(AM) + 3(MB)$.
$2(AM) = 3(MB)$.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{2}$.
આમ,બિંદુ $M$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(D) આપેલ છે કે $P-R-Q$ એક રેખાખંડ છે જ્યાં $R$ એ $P$ અને $Q$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{PR}{PQ} = \frac{2}{7}$ આપેલ છે.
કારણ કે $PQ = PR + RQ$,તેથી $RQ = PQ - PR$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{PR}{RQ} = \frac{PR}{PQ - PR} = \frac{2}{7 - 2} = \frac{2}{5}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $R$ એ $PQ$ નું $P$ થી $2:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં $Q$ થી ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે,જે $QR:RP$ છે.
તેથી,$\frac{QR}{RP} = \frac{5}{2}$ થાય.
આમ,$R$ એ $\overline{PQ}$ નું $Q$ થી $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ પર આવેલું છે જેથી $A-P-B$ થાય.
$P$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,એટલે કે $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P$ એ $\overline{AB}$ નું $B$ થી કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધવાનું છે,જે $\frac{BP}{PA}$ છે.
$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ હોવાથી,તેનો વ્યસ્ત લેતા $\frac{PB}{AP} = \frac{3}{2}$ મળે.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(A) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્યગાઓ એકબીજાને છેદે છે.
$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શિરોબિંદુઓના $x$-યામો અને $y$-યામોની સરેરાશ લઈને મેળવવામાં આવે છે.
મધ્યકેન્દ્ર માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(8, 10)$ અને $(4, 8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 8, y_1 = 10, x_2 = 4, y_2 = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 8}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{18}{2}\right) = (6, 9)$.
તેથી,મધ્યબિંદુના જરૂરી યામ $(6, 9)$ છે.

(C) રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
અહીં $A(4, 3)$ અને $B(8, 9)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 4, y_1 = 3, x_2 = 8, y_2 = 9$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{3 + 9}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{12}{2}, \frac{12}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (6, 6)$.

(A) રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ હોય,તો તેના મધ્યબિંદુ $M(x, y)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
અહીં $A(3, 5)$ અને $B(7, 5)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 3, y_1 = 5$ અને $x_2 = 7, y_2 = 5$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
આમ,મધ્યબિંદુ $(5, 5)$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
આપેલ બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (12, 10)$ અને $(x_2, y_2) = (0, 8)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{12 + 0}{2}, \frac{10 + 8}{2})$
મધ્યબિંદુ $= (\frac{12}{2}, \frac{18}{2})$
મધ્યબિંદુ $= (6, 9)$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $Y-$ અક્ષ,$A(-3, -4)$ અને $B(1, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $M(0, y)$ આગળ વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $Y-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x-$ યામ $0$ થાય.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = \frac{m(1) + n(-3)}{m + n}$.
આથી $m - 3n = 0$,જે દર્શાવે છે કે $m = 3n$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m}{n} = \frac{3}{1}$,એટલે કે $m:n = 3:1$.

(B) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(3, 4)$ અને $Q(a, 8)$ માટે,મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ થાય.
આપણને મધ્યબિંદુ $M(5, 6)$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા,$\frac{3 + a}{2} = 5$ અને $\frac{4 + 8}{2} = 6$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$3 + a = 10$,જેનો અર્થ છે કે $a = 10 - 3 = 7$.
આમ,$a$ ની કિંમત $7$ છે.

(B) વિભાજન સૂત્ર મુજબ,જો કોઈ બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $B(x_{2}, y_{2})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}$
$y = \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}$
અહીં,ગુણોત્તર $\lambda : 1$ આપેલ છે,તેથી $m = \lambda$ અને $n = 1$ લેતા:
$x = \frac{\lambda x_{2} + (1)x_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda x_{2} + x_{1}}{\lambda + 1}$
$y = \frac{\lambda y_{2} + (1)y_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda y_{2} + y_{1}}{\lambda + 1}$
આમ,યામ $\left(\frac{\lambda x_{2}+x_{1}}{\lambda+1}, \frac{\lambda y_{2}+y_{1}}{\lambda+1}\right)$ થશે.