Distance Formula Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(3,2), Q(-2,-3)$ અને $R(2,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ શોધવા માટે આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$PQ = \sqrt{(-2-3)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$PR = \sqrt{(2-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવાથી ($PQ + PR > QR$,$PQ + QR > PR$,અને $PR + QR > PQ$),આ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણની ચકાસણી કરતા: $PR^2 + PQ^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{50})^2 = 2 + 50 = 52$.
અહીં $QR^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$ હોવાથી,$PR^2 + PQ^2 = QR^2$ થાય છે.
આમ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) ધારો કે $A(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ અને $D(-4,4)$ એ આપેલા બિંદુઓ છે.
$ABCD$ એક ચોરસ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે તેની ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને તેના વિકર્ણો પણ સમાન છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$BC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (7-4)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
હવે,વિકર્ણોની ગણતરી કરતા:
$AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$
$BD = \sqrt{(-4-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$
અહીં $AB = BC = CD = DA$ અને $AC = BD$ હોવાથી,ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન છે. તેથી,$ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$AB = \sqrt{(6-3)^{2} + (4-1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(8-6)^{2} + (6-4)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(8-3)^{2} + (6-1)^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
અહીં,$AB + BC = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} = AC$ હોવાથી,અંતર $AB$ અને $BC$ નો સરવાળો અંતર $AC$ જેટલો છે. તેથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ રેખામાં બેઠેલા છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એ બિંદુઓ $A(7, 1)$ અને $B(3, 5)$ થી સમાન અંતરે છે.
આપેલ છે કે $AP = BP$,તેથી $AP^2 = BP^2$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 14x + 49) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25)$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ ને દૂર કરતા:
$-14x - 2y + 50 = -6x - 10y + 34$
પદોને ગોઠવતા:
$-14x + 6x - 2y + 10y = 34 - 50$
$-8x + 8y = -16$
$-8$ વડે ભાગતા:
$x - y = 2$
આમ,માંગેલ સંબંધ $x - y = 2$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $y$-અક્ષ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(0, y)$ સ્વરૂપમાં હોય છે. ધારો કે બિંદુ $P(0, y)$ એ બિંદુઓ $A(6, 5)$ અને $B(-4, 3)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ,$PA = PB$,તેથી $PA^2 = PB^2$.
$(6 - 0)^2 + (5 - y)^2 = (-4 - 0)^2 + (3 - y)^2$
$36 + (25 - 10y + y^2) = 16 + (9 - 6y + y^2)$
$61 - 10y + y^2 = 25 - 6y + y^2$
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા:
$61 - 10y = 25 - 6y$
$61 - 25 = 10y - 6y$
$36 = 4y$
$y = 9$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0, 9)$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}) = (2, 3)$ અને $(x_{2}, y_{2}) = (4, 1)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(4-2)^{2} + (1-3)^{2}}$
$d = \sqrt{(2)^{2} + (-2)^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 4}$
$d = \sqrt{8}$
$d = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-5, 7)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2}$
$d = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{16 + 16}$
$d = \sqrt{32}$
$d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (a, b)$ અને $(x_2, y_2) = (-a, -b)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2}$
$d = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2}$
$d = \sqrt{4a^2 + 4b^2}$
$d = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$d = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(0,0)$ અને $(36,15)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2}$
$d = \sqrt{36^2 + 15^2}$
$d = \sqrt{1296 + 225}$
$d = \sqrt{1521}$
$d = 39$.
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $39$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(5,-2), B(6,4)$ અને $C(7,-2)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$CA = \sqrt{(5-7)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
અહીં $AB = BC = \sqrt{37}$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,આપેલા બિંદુઓ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(N/A) $4$ મિત્રોના સ્થાન $A(3, 4)$,$B(6, 7)$,$C(9, 4)$ અને $D(6, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
હવે,વિકર્ણોની ગણતરી કરતા:
$AC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6$
$BD = \sqrt{(6 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = DA = 3\sqrt{2})$ અને બંને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી $(AC = BD = 6)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક ચોરસ છે. તેથી,ચંપા સાચી છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1,-2), B(1,0), C(-1,2),$ અને $D(-3,0)$ એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
વિકર્ણ $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$
વિકર્ણ $BD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
અહીં બધી બાજુઓ સમાન છે $(AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{2})$ અને બંને વિકર્ણો પણ સમાન છે $(AC = BD = 4)$,તેથી આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે.

(NONE) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3),$ અને $D(-1, -4)$ એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$
અહીં ચારેય બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ની લંબાઈ અલગ-અલગ હોવાથી,આ બિંદુઓ કોઈ ખાસ પ્રકારનો ચતુષ્કોણ (જેમ કે ચોરસ,લંબચોરસ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ) બનાવતા નથી. આ એક સામાન્ય ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(4,5), B(7,6), C(4,3),$ અને $D(1,2)$ એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(7-4)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-7)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(1-4)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
વિકર્ણ $AC = \sqrt{(4-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
વિકર્ણ $BD = \sqrt{(1-7)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB=CD$ અને $BC=DA$) અને વિકર્ણો અસમાન છે $(AC \neq BD)$,તેથી આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) આપણે $x$-અક્ષ પરનું એક બિંદુ શોધવાનું છે. તેથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
ધારો કે $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P(x, 0)$ અને $A(2, -5)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા:
$PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 25}$.
બિંદુ $P(x, 0)$ અને $B(-2, 9)$ વચ્ચેનું અંતર:
$PB = \sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 81}$.
આપેલ શરત મુજબ,આ અંતરો સમાન છે,તેથી $PA = PB$,જેનો અર્થ છે $PA^2 = PB^2$:
$(x - 2)^2 + 25 = (x + 2)^2 + 81$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$
બંને બાજુથી $x^2 + 4$ બાદ કરતા:
$-4x + 25 = 4x + 81$
પદોને ગોઠવતા:
$-8x = 81 - 25$
$-8x = 56$
$x = -7$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(-7, 0)$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(2, -3)$ અને $Q(10, y)$ છે અને અંતર $d = 10$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \sqrt{(10 - 2)^2 + (y - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(8)^2 + (y + 3)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 64 + (y + 3)^2$
$100 - 64 = (y + 3)^2$
$36 = (y + 3)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y + 3 = \pm 6$
કિસ્સો $1$: $y + 3 = 6 \implies y = 3$
કિસ્સો $2$: $y + 3 = -6 \implies y = -9$
તેથી,$y$ ની શક્ય કિંમતો $3$ અને $-9$ છે.

(X = ±4) આપેલ છે કે $Q(0, 1)$ એ $P(5, -3)$ અને $R(x, 6)$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી $PQ = QR$.
અંતર સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ^2 = QR^2$
$(5-0)^2 + (-3-1)^2 = (x-0)^2 + (6-1)^2$
$5^2 + (-4)^2 = x^2 + 5^2$
$25 + 16 = x^2 + 25$
$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.
કિસ્સો $1$: જો $R$ એ $(4, 6)$ હોય:
$QR = \sqrt{(4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$PR = \sqrt{(4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$.
કિસ્સો $2$: જો $R$ એ $(-4, 6)$ હોય:
$QR = \sqrt{(-4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$PR = \sqrt{(-4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$,$A(3, 6)$ અને $B(-3, 4)$ છે.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 4)^2$
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x + 3)^2 + (y - 4)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ ને દૂર કરતા:
$-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25$
પદોને ગોઠવતા:
$45 - 25 = 6x + 6x - 8y + 12y$
$20 = 12x + 4y$
$4$ વડે ભાગતા:
$5 = 3x + y$
આમ,સંબંધ $3x + y - 5 = 0$ છે.

(N/A) તે જોઈ શકાય છે કે નિહારિકાએ $2^{nd}$ લાઇનના શરૂઆતના બિંદુથી $AD$ ના અંતરના $\frac{1}{4}$ ભાગ પર,એટલે કે $\left(\frac{1}{4} \times 100\right) \, m = 25 \, m$ પર લીલો ઝંડો રોપ્યો છે. તેથી,આ બિંદુ $G$ ના યામ $(2, 25)$ છે.
પ્રીતે $8^{th}$ લાઇનના શરૂઆતના બિંદુથી $AD$ ના અંતરના $\frac{1}{5}$ ભાગ પર,એટલે કે $\left(\frac{1}{5} \times 100\right) \, m = 20 \, m$ પર લાલ ઝંડો રોપ્યો છે. તેથી,આ બિંદુ $R$ ના યામ $(8, 20)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આ ઝંડાઓ વચ્ચેનું અંતર $GR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$GR = \sqrt{(8 - 2)^2 + (20 - 25)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \, m.$
જે બિંદુ પર રશ્મિએ તેનો વાદળી ઝંડો રોપવો જોઈએ તે આ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે આ બિંદુ $M(x, y)$ છે.
$x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5, \quad y = \frac{25 + 20}{2} = \frac{45}{2} = 22.5.$
આમ,મધ્યબિંદુના યામ $(5, 22.5)$ છે.
તેથી,રશ્મિએ તેનો વાદળી ઝંડો $5^{th}$ લાઇન પર $22.5 \, m$ ના અંતરે રોપવો જોઈએ.

(B) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(3,0), B(4,5), C(-1,4)$ અને $D(-2,-1)$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ શોધો:
$BD = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
હવે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 = 24$ ચોરસ એકમ.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(2, -2)$ અને $(-1, x)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (x - (-2))^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (x + 2)^2}$
$5 = \sqrt{9 + (x^2 + 4x + 4)}$
$5 = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = x^2 + 4x + 13$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x + 6)(x - 2) = 0$
આમ,$x = -6$ અથવા $x = 2$.
તેથી,$x$ ની એક શક્ય કિંમત $2$ છે.

(C) આકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$AB = \sqrt{(9-9)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
$BC = \sqrt{(-9-9)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-18)^2 + 0^2} = 18$
$CD = \sqrt{(-9-(-9))^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
$DA = \sqrt{(9-(-9))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{18^2 + 0^2} = 18$
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB = CD = 6$ અને $BC = DA = 18$) અને પાસપાસેની બાજુઓ એકબીજાને લંબ છે (કારણ કે બાજુઓ યામ અક્ષોને સમાંતર છે),તેથી આ આકૃતિ એક લંબચોરસ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્તેઝિયન સમતલમાં કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે:
$1$. બિંદુનું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામ (abscissa) ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $|x|$.
$2$. બિંદુનું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y$-યામ (ordinate) ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $|y|$.
બિંદુ $P(2, 3)$ માટે,$x$-યામ $2$ છે અને $y$-યામ $3$ છે.
તેથી,$x$-અક્ષથી બિંદુ $P(2, 3)$ નું અંતર તેના $y$-યામ જેટલું એટલે કે $3$ એકમ થાય.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
આપેલા બિંદુઓ $A(0, 6)$ અને $B(0, -2)$ છે.
અહીં,$x_1 = 0, y_1 = 6$ અને $x_2 = 0, y_2 = -2$ છે.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 6)^2}$
$AB = \sqrt{0^2 + (-8)^2}$
$AB = \sqrt{64}$
$AB = 8$
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $8$ એકમ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં,બિંદુ $P$ એ $(-6, 8)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
તેથી,$x_1 = -6, y_1 = 8$ અને $x_2 = 0, y_2 = 0$.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PO = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (0 - 8)^2}$
$PO = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2}$
$PO = \sqrt{36 + 64}$
$PO = \sqrt{100}$
$PO = 10$
આમ,બિંદુ $P(-6, 8)$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $10$ એકમ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
અહીં,$x_{1} = 0, y_{1} = 5$ અને $x_{2} = -5, y_{2} = 0$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(-5 - 0)^{2} + (0 - 5)^{2}}$
$d = \sqrt{(-5)^{2} + (-5)^{2}}$
$d = \sqrt{25 + 25}$
$d = \sqrt{50}$
$d = 5 \sqrt{2}$

(D) લંબચોરસ $AOBC$ માં,વિકર્ણ એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ છે. અહીં,$AB$ એ વિકર્ણ છે.
વિકર્ણ $AB$ ની લંબાઈ એ બિંદુઓ $A (0, 3)$ અને $B (5, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં,$x_1 = 0, y_1 = 3$ અને $x_2 = 5, y_2 = 0$ છે.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 9}$
$AB = \sqrt{34}$
આમ,વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{34}$ છે.

(A) ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે,આપણે તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો કરીએ છીએ. ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,4)$,$O(0,0)$ અને $B(3,0)$ છે.
$\triangle AOB$ ની પરિમિતિ = તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો = $d(AO) + d(OB) + d(AB)$.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$1$. અંતર $d(AO) = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$.
$2$. અંતર $d(OB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3$.
$3$. અંતર $d(AB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
પરિમિતિ = $4 + 3 + 5 = 12$.
આમ,ત્રિકોણની જરૂરી પરિમિતિ $12$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-4,0), B(4,0),$ અને $C(0,3)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
અહીં $BC = AC = 5$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક તે રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$A(-2, -5)$ અને $B(2, 5)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
આપેલા યામો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{-5 + 5}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{0}{2} \right) = (0, 0)$
આમ,લંબદ્વિભાજક રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોવાથી,બિંદુ $(0, 0)$ લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0,0)$ છે અને તે $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $(0,0)$ અને $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{\left(\frac{13}{2}-0\right)^{2} + (0-0)^{2}} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}} = \frac{13}{2} = 6.5$.
કોઈ બિંદુ $(x, y)$ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં હોય જો તેનું કેન્દ્રથી અંતર $r$ કરતા ઓછું હોય,વર્તુળ પર હોય જો અંતર $r$ જેટલું હોય,અને બહાર હોય જો અંતર $r$ કરતા વધારે હોય.
$(a)$ $\left(-\frac{3}{4}, 1\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = 1.25 < 6.5$. (અંદર)
$(b)$ $\left(2, \frac{7}{3}\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{2^{2} + \left(\frac{7}{3}\right)^{2}} = \sqrt{4 + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{85}{9}} \approx 3.07 < 6.5$. (અંદર)
$(c)$ $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{(-6)^{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^{2}} = \sqrt{36 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{144+25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2} = 6.5$. (વર્તુળ પર)
$(d)$ $\left(5, -\frac{1}{2}\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{5^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{101}{4}} \approx 5.02 < 6.5$. (અંદર)
આમ,બિંદુ $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં નથી.

(B) અંતર સૂત્ર મુજબ,બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(4, p)$ અને $(1, 0)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (0 - p)^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (-p)^2}$
$5 = \sqrt{9 + p^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 9 + p^2$
$p^2 = 25 - 9$
$p^2 = 16$
$p = \pm \sqrt{16}$
$p = \pm 4$
આમ,$p$ ની કિંમત $\pm 4$ છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
$1$. $y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(0, y)$ હોય છે. બિંદુ $P (0, -7)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી તે પ્રથમ શરતનું પાલન કરે છે.
$2$. જો $P$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોય,તો તે $A (-1, 0)$ અને $B (7, -6)$ થી સમાન અંતરે હોવું જોઈએ.
$3$. અંતર $PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$ એકમ.
$4$. અંતર $PB = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-7 - (-6))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$ એકમ.
$5$. અહીં $PA = PB$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે. આમ,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(B) અસત્ય.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું કોઈપણ બિંદુ તે રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે.
ચાલો અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P(0, 2)$ નું બિંદુઓ $A(-1, 1)$ અને $B(3, 3)$ થી અંતર શોધીએ.
$PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$PB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
અહીં $PA \neq PB$ હોવાથી,બિંદુ $P(0, 2)$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે નથી.
તેથી,બિંદુ $P(0, 2)$ એ રેખાખંડ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું નથી.

(B) અસત્ય.
બિંદુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$AB = \sqrt{(6-4)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(5-6)^2 + (-6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101}$
$CD = \sqrt{(-3-5)^2 + (5 - (-6))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 121} = \sqrt{185}$
$DA = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (3-5)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ ($AB = CD$ અને $BC = DA$). અહીં બધી બાજુઓ અસમાન હોવાથી,આપેલ બિંદુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવતા નથી.

(B) અસત્ય.
જો કોઈ બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું હોય,તો તે અંત્યબિંદુઓ $P$ અને $Q$ થી સમાન અંતરે હોવું જોઈએ,એટલે કે $AP = AQ$.
પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને અંતર $AP$ શોધો:
$AP = \sqrt{(6-2)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
ત્યારબાદ,અંતર $AQ$ શોધો:
$AQ = \sqrt{(0-2)^2 + (-4-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$.
અહીં $AP \neq AQ$ હોવાથી (કારણ કે $\sqrt{20} \neq \sqrt{125}$),બિંદુ $A (2,7)$ એ રેખાખંડ $PQ$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું નથી.

(A) સત્ય.
પ્રથમ,આપણે બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીને ચકાસીએ કે તેઓ સમરેખ છે કે નહીં.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં,$x_1 = -6, x_2 = -4, x_3 = 3$ અને $y_1 = 10, y_2 = 6, y_3 = -8$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -6(6 - (-8)) + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6) |$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -6(14) + (-4)(-18) + 3(4) |$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -84 + 72 + 12 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0$.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.
હવે,અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $AB$ અને $AC$ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(-4 - (-6))^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-8 - 10)^2} = \sqrt{9^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
હવે,સંબંધ $AB = \frac{2}{9} AC$ ચકાસીએ:
$\frac{2}{9} AC = \frac{2}{9} \times 9\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
$AB = 2\sqrt{5}$ હોવાથી,આ સંબંધ સાચો છે.

(B) અસત્ય.
કોઈ બિંદુ વર્તુળ પર ત્યારે જ આવેલું હોય જો તે બિંદુ અને વર્તુળના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
ધારો કે કેન્દ્ર $C(3, 5)$ છે અને બિંદુ $P(-2, 4)$ છે. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $CP$ અંતરની ગણતરી કરીએ:
$CP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - 4)^2}$
$CP = \sqrt{(3 + 2)^2 + (1)^2}$
$CP = \sqrt{5^2 + 1^2}$
$CP = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
અહીં $\sqrt{26} \neq 6$ હોવાથી,બિંદુ $P$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું નથી.
તેથી,બિંદુ $P(-2, 4)$ વર્તુળ પર આવેલું નથી.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. ધારો કે બિંદુઓ $A(6, -6), B(3, -7)$ અને $C(3, 3)$ વર્તુળના પરિઘ પર આવેલા છે.
વર્તુળના કેન્દ્રથી પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હોય છે:
$OA^2 = OB^2 = OC^2$
$OA^2 = (x - 6)^2 + (y + 6)^2$
$OB^2 = (x - 3)^2 + (y + 7)^2$
$OC^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$OB^2 = OC^2$ ને સરખાવતા:
$(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$(y + 7)^2 = (y - 3)^2$
$y^2 + 14y + 49 = y^2 - 6y + 9$
$20y = -40 \Rightarrow y = -2$
$OA^2 = OC^2$ ને સરખાવતા:
$(x - 6)^2 + (y + 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$y = -2$ મૂકતા:
$(x - 6)^2 + (-2 + 6)^2 = (x - 3)^2 + (-2 - 3)^2$
$(x - 6)^2 + 16 = (x - 3)^2 + 25$
$x^2 - 12x + 36 + 16 = x^2 - 6x + 9 + 25$
$-6x = -18 \Rightarrow x = 3$
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $A(-1, 2)$ અને $C(3, 2)$ એ ચોરસ $ABCD$ ના આપેલા સામસામેના શિરોબિંદુઓ છે. ધારો કે બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $B(x, y)$ અને $D(x_1, y_1)$ છે.
ચોરસ $ABCD$ હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = BC$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$.
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^\circ$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$AC^2 = (3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.
$AB = BC$ હોવાથી,$2AB^2 = 16 \Rightarrow AB^2 = 8$.
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8$. $x=1$ મૂકતા: $(1+1)^2 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow 4 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow (y-2)^2 = 4$.
$y-2 = \pm 2 \Rightarrow y = 4$ અથવા $y = 0$.
આમ,$B$ ના યામ $(1, 4)$ અને $D$ ના યામ $(1, 0)$ મળે છે (અથવા તેનાથી ઉલટું).
બાકીના બે શિરોબિંદુઓના યામ $(1, 0)$ અને $(1, 4)$ છે.

(N/A) ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેતા,આપણે $AD$ ને $x$-અક્ષ અને $AB$ ને $y$-અક્ષ તરીકે ગણીશું.
આકૃતિમાં આપેલ ગ્રીડનું અવલોકન કરતા:
- બિંદુ $P$ એ $x$-અક્ષ પર $4$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $6$ એકમ પર સ્થિત છે,તેથી તેના યામ $P(4, 6)$ છે.
- બિંદુ $Q$ એ $x$-અક્ષ પર $3$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $2$ એકમ પર સ્થિત છે,તેથી તેના યામ $Q(3, 2)$ છે.
- બિંદુ $R$ એ $x$-અક્ષ પર $6$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર $5$ એકમ પર સ્થિત છે,તેથી તેના યામ $R(6, 5)$ છે.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $P(4, 6)$,$Q(3, 2)$ અને $R(6, 5)$ છે.

(A) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = \sqrt{(-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$PR = \sqrt{(-\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 + 2\sqrt{12}) + (6 + 2 - 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$RQ = \sqrt{(-\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2 + (\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 - 2\sqrt{12}) + (6 + 2 + 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
અહીં $PQ = PR = RQ = 4$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે. તેથી,ત્રિકોણ $PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$ એકમ.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (7)^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170}$ એકમ.
$3$. બાજુ $CA$ ની લંબાઈ:
$CA = \sqrt{(-5 - 7)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$ એકમ.
અહીં $AB \neq BC \neq CA$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ અસમાન છે.
તેથી,આ બિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$-અક્ષ પરનું દરેક બિંદુ $(x, 0)$ સ્વરૂપમાં હોય છે. ધારો કે $P(x, 0)$ એ $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જેનું બિંદુ $Q(7, -4)$ થી અંતર $2\sqrt{5}$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
આપેલ છે કે $PQ = 2\sqrt{5}$,તેથી $(PQ)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$.
યામોની કિંમત મૂકતા:
$(x - 7)^2 + (0 - (-4))^2 = 20$
$(x - 7)^2 + (4)^2 = 20$
$x^2 - 14x + 49 + 16 = 20$
$x^2 - 14x + 65 = 20$
$x^2 - 14x + 45 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$
$x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$
$(x - 9)(x - 5) = 0$
આમ,$x = 5$ અથવા $x = 9$.
તેથી બિંદુઓ $(5, 0)$ અને $(9, 0)$ છે.
આવા કુલ $2$ બિંદુઓ છે.

(B) અંતર સૂત્ર મુજબ,બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(-3, -14)$ અને $B(a, -5)$ છે અને અંતર $d = 9$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9 = \sqrt{(a - (-3))^2 + (-5 - (-14))^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (-5 + 14)^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (9)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$81 = (a + 3)^2 + 81$
બંને બાજુથી $81$ બાદ કરતા:
$(a + 3)^2 = 0$
વર્ગમૂળ લેતા:
$a + 3 = 0$
$a = -3$.
આમ,$a$ ની જરૂરી કિંમત $-3$ છે.

(D) ધારો કે $P(h, k)$ એ $A(-5, 4)$ અને $B(-1, 6)$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$PA = PB$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
$(-5 - h)^2 + (4 - k)^2 = (-1 - h)^2 + (6 - k)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$25 + h^2 + 10h + 16 + k^2 - 8k = 1 + h^2 + 2h + 36 + k^2 - 12k$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$10h - 2h - 8k + 12k + 41 - 37 = 0$
$8h + 4k + 4 = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2h + k + 1 = 0$
આ રેખાખંડ $AB$ ના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હશે. એક રેખા પર અસંખ્ય બિંદુઓ આવેલા હોવાથી,આવા અસંખ્ય બિંદુઓ શક્ય છે.
$h$ અને $k$ ને $x$ અને $y$ દ્વારા બદલતા,આવા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ $2x + y + 1 = 0$ છે.

(N/A) પ્રશ્ન મુજબ,બિંદુ $A (2, -4)$ એ $P (3, 8)$ અને $Q (-10, y)$ થી સમાન અંતરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $PA = QA$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(2 - 3)^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{(2 - (-10))^2 + (-4 - y)^2}$
$\sqrt{(-1)^2 + (-12)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-(4 + y))^2}$
$\sqrt{1 + 144} = \sqrt{144 + (4 + y)^2}$
$\sqrt{145} = \sqrt{144 + 16 + 8y + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$145 = 160 + 8y + y^2$
$y^2 + 8y + 15 = 0$
$(y + 5)(y + 3) = 0$
તેથી,$y = -5$ અથવા $y = -3$.
હવે,$PQ$ નું અંતર શોધતા: $PQ = \sqrt{(-10 - 3)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{169 + (y - 8)^2}$.
$y = -3$ માટે,$PQ = \sqrt{169 + (-3 - 8)^2} = \sqrt{169 + 121} = \sqrt{290}$.
$y = -5$ માટે,$PQ = \sqrt{169 + (-5 - 8)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. ઘર $(2,4)$ થી બેંક $(5,8)$ સુધીનું અંતર:
$d_1 = \sqrt{(5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \, km$.
$2$. બેંક $(5,8)$ થી શાળા $(13,14)$ સુધીનું અંતર:
$d_2 = \sqrt{(13-5)^2 + (14-8)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \, km$.
$3$. શાળા $(13,14)$ થી ઓફિસ $(13,26)$ સુધીનું અંતર:
$d_3 = \sqrt{(13-13)^2 + (26-14)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = 12 \, km$.
આયુષ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $= 5 + 10 + 12 = 27 \, km$.
$4$. ઘર $(2,4)$ થી ઓફિસ $(13,26)$ સુધીનું સીધું અંતર:
$d_{direct} = \sqrt{(13-2)^2 + (26-4)^2} = \sqrt{11^2 + 22^2} = \sqrt{121 + 484} = \sqrt{605} \approx 24.6 \, km$.
કાપેલું વધારાનું અંતર $= 27 - 24.6 = 2.4 \, km$.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(5, 8)$ અને $B(1, 2)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = 8, x_2 = 1, y_2 = 2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 - 8)^2}$
$AB = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36}$
$AB = \sqrt{52}$
$AB = \sqrt{4 \times 13}$
$AB = 2 \sqrt{13}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,2), B(5,2), C(5,5)$ અને $D(2,5)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (5-2)^2 + (2-2)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (5-5)^2 + (5-2)^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \implies BC = 3$.
$CD^2 = (2-5)^2 + (5-5)^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9 \implies CD = 3$.
$DA^2 = (2-2)^2 + (2-5)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9 \implies DA = 3$.
અહીં $AB = BC = CD = DA = 3$ હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણો તપાસતા:
$AC^2 = (5-2)^2 + (5-2)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BD^2 = (2-5)^2 + (5-2)^2 = (-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
બધી બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન $(AC = BD)$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ ચોરસ છે.