Distance Formula Questions in Gujarati

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
આપેલ બિંદુઓ $A(-3, 4)$ અને $O(0, 0)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$OA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2}$
$OA = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$OA = \sqrt{9 + 16}$
$OA = \sqrt{25}$
$OA = 5$ એકમ.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3)$ અને $B(-3, -9)$ છે.
અહીં,$x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = -3, y_2 = -9$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (-9 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 144}$
$AB = \sqrt{169}$
$AB = 13$.
આમ,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $13$ એકમ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં $P(3, 2)$,$Q(7, k)$ અને $d(P, Q) = 5$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PQ^2 = 5^2 = 25$ મળે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(7 - 3)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$(4)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$16 + (k - 2)^2 = 25$.
$(k - 2)^2 = 25 - 16 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $k - 2 = \pm 3$.
કિસ્સો $1$: $k - 2 = 3 \implies k = 5$.
કિસ્સો $2$: $k - 2 = -3 \implies k = -1$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $5$ હોવાથી,સાચો જવાબ $k = 5$ છે.

(A) ધારો કે $X-$ અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(-1, 2)$ અને $B(5, 4)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$[x - (-1)]^2 + (0 - 2)^2 = (x - 5)^2 + (0 - 4)^2$
$(x + 1)^2 + 4 = (x - 5)^2 + 16$
$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 10x + 25 + 16$
$2x + 5 = -10x + 41$
$12x = 36$
$x = 3$
તેથી,$X-$ અક્ષ પરનું માંગેલ બિંદુ $(3, 0)$ છે.

(B) ધારો કે $Y-$ અક્ષ પરનું માંગેલ બિંદુ $R(0, y)$ છે.
આ બિંદુ $P(3, 2)$ અને $Q(-1, -5)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PR = QR$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PR^2 = QR^2$ મળે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(3 - 0)^2 + (2 - y)^2 = (-1 - 0)^2 + (-5 - y)^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા,$9 + (4 - 4y + y^2) = 1 + (25 + 10y + y^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$13 - 4y + y^2 = 26 + 10y + y^2$.
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા,$13 - 4y = 26 + 10y$.
પદોને ગોઠવતા,$-13 = 14y$.
તેથી,$y = -\frac{13}{14}$.
આમ,$Y-$ અક્ષ પરનું માંગેલ બિંદુ $\left(0, -\frac{13}{14}\right)$ છે.

(A) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$1$. $PQ$ ની લંબાઈ: $PQ^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$. તેથી,$PQ = 2$.
$2$. $QR$ ની લંબાઈ: $QR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-5)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$. તેથી,$QR = 2$.
$3$. $PR$ ની લંબાઈ: $PR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-3)^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. તેથી,$PR = 2$.
અહીં $PQ = QR = PR = 2$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(4, 7)$ અને $B(7, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - 7)^2}$
$AB = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$AB = \sqrt{9 + 16}$
$AB = \sqrt{25}$
$AB = 5$.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $P(2, -3)$ અને $Q(7, 9)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(7 - 2)^2 + (9 - (-3))^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$ એકમ.

(A) ધારો કે $X-$અક્ષ પરના બિંદુ $P$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
આપેલ છે કે અંતર $PA = 13$ એકમ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$13^2 = (x - 11)^2 + (0 - 12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + (-12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + 144$
$(x - 11)^2 = 169 - 144$
$(x - 11)^2 = 25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x - 11 = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
કિસ્સો $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
તેથી,$P$ ના યામ $(16, 0)$ અથવા $(6, 0)$ છે.

(C) બિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $d = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (a \sin \theta - 0)^2}$.
$d = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$.
$d = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી $d = \sqrt{a^2(1)} = \sqrt{a^2}$.
અહીં $a \in R^{+}$ હોવાથી,અંતર $a$ થશે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટેનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(\cos \theta, 0)$ અને $B(0, \sin \theta)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(0 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2}$
$d = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$d = \sqrt{1} = 1$.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(a+b, b-a)$ અને $B(a-b, a+b)$ છે.
$AB = \sqrt{((a-b) - (a+b))^2 + ((a+b) - (b-a))^2}$
$AB = \sqrt{(a - b - a - b)^2 + (a + b - b + a)^2}$
$AB = \sqrt{(-2b)^2 + (2a)^2}$
$AB = \sqrt{4b^2 + 4a^2}$
$AB = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(C) ચતુષ્કોણ ઓળખવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
બાજુ $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
બાજુ $BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
બાજુ $CD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$.
બાજુ $DA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB = CD = 3$ અને $BC = DA = 2$) અને પાસપાસેની બાજુઓ સમાન નથી,તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણો તપાસીએ: $AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી અને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી,$\square ABCD$ એ લંબચોરસ છે.

(B) મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $B(-3, 2)$ અને $C(5, 0)$ છે.
$D$ ના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $D = \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1, 1)$.
હવે,$A(1, 4)$ અને $D(1, 1)$ વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AD = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2}$
$AD = \sqrt{0^2 + 3^2}$
$AD = \sqrt{9} = 3$.
આમ,મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ $3$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓના યામ $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ અને $C(0, 3)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ એકમ.
અહીં $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ અને $BC^2 = 5^2 = 25$ હોવાથી,$AB^2 + AC^2 = BC^2$ થાય છે.
આ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે,જે દર્શાવે છે કે $\Delta ABC$ એ શિરોબિંદુ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $AB \neq AC$ હોવાથી,તે સમદ્વિબાજુ નથી.

(D) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $X-$ અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y-$ યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
બિંદુ $(5, 3)$ માટે,$x-$ યામ $5$ છે અને $y-$ યામ $3$ છે.
તેથી,$X-$ અક્ષથી લંબ અંતર $= |y| = |3| = 3$ એકમ.

(C) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
બિંદુ $(-2, 5)$ માટે,$x$-યામ $-2$ છે.
તેથી,$Y$-અક્ષથી લંબ અંતર $|-2| = 2$ એકમ થાય.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુઓ $A(1, 3)$ અને $B(a, 0)$ છે અને અંતર $d = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 3)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = (a - 1)^2 + (-3)^2$.
$9 = (a - 1)^2 + 9$.
$(a - 1)^2 = 0$.
તેથી,$a - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં $A(-4, -3)$ અને $B(6, a)$ આપેલ છે અને અંતર $d = 10$ છે.
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (a - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(10)^2 + (a + 3)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 100 + (a + 3)^2$
$(a + 3)^2 = 0$
$a + 3 = 0$
$a = -3$

(B) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
$BC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$AC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
અહીં $AB = BC = AC = 2$ હોવાથી, ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી, $\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0,0), B(4,0)$ અને $C(0,6)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - 6) + 4(6 - 0) + 0(0 - 0)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 24 + 0|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |24| = 12$ ચોરસ એકમ.

(C) મધ્યગા $\overline{AD}$ એ શિરોબિંદુ $A$ ને સામેની બાજુ $\overline{BC}$ ના મધ્યબિંદુ $D$ સાથે જોડે છે.
અહીં $B = (0, 0)$ અને $C = (6, 0)$ હોવાથી,મધ્યબિંદુ $D$ ના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)$.
હવે,અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $A(3, 4)$ અને $D(3, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $\overline{AD}$ શોધીએ:
$AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ $4$ છે.

(D) $\overline{BE}$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$A$ ના યામ $(9,5)$ અને $C$ ના યામ $(3,3)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$E$ ના યામ $= \left(\frac{9+3}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{8}{2}\right) = (6,4)$.
મધ્યગા $\overline{BE}$ ની લંબાઈ એ $B(6,7)$ અને $E(6,4)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$BE = \sqrt{(6-6)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

(C) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $PQ$ ની લંબાઈ: $PQ^2 = (3 - 6)^2 + (10 - 5)^2 = (-3)^2 + (5)^2 = 9 + 25 = 34$. તેથી,$PQ = \sqrt{34}$.
$2$. $QR$ ની લંબાઈ: $QR^2 = (6 - 1)^2 + (5 - 2)^2 = (5)^2 + (3)^2 = 25 + 9 = 34$. તેથી,$QR = \sqrt{34}$.
$3$. $PR$ ની લંબાઈ: $PR^2 = (3 - 1)^2 + (10 - 2)^2 = (2)^2 + (8)^2 = 4 + 64 = 68$. તેથી,$PR = \sqrt{68}$.
અહીં $PQ = QR = \sqrt{34}$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) $\Delta LMN$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $LM$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$2$. $MN$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
$3$. $NL$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
અહીં $MN = NL = 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કાટખૂણો તપાસીએ: $MN^2 + NL^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$,અને $LM^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
$MN^2 + NL^2 = LM^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\Delta LMN$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) જો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓનો $Y$-યામ સમાન હોવો જોઈએ.
કારણ કે $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ આ રેખા પર આવેલા છે,તેથી તેમના $Y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$y_{1} = y_{2}$.

(A) $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખા એ શિરોલંબ રેખા છે.
કોઈપણ શિરોલંબ રેખા માટે,તે રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે $x$-યામ સમાન રહે છે.
બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખા પર આવેલા હોવાથી,તેમના $x$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$x_{1} = x_{2}$.

(C) બે બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$ છે.
જો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $y_{1} = y_{2}$.
અંતરના સૂત્રમાં $y_{1} = y_{2}$ મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{1} - y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + 0^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2} = |x_{2} - x_{1}| = |x_{1} - x_{2}|$.
આમ,અંતર $|x_{1} - x_{2}|$ થાય.

(C) જો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓના $x$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$x_{1} = x_{2}$.
બે બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ છે.
સૂત્રમાં $x_{1} = x_{2}$ મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(x_{1}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{0^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^2} = |y_{2}-y_{1}| = |y_{1}-y_{2}|$.
આમ,અંતર $|y_{1}-y_{2}|$ થાય છે.

(A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં બે બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $B(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d(A, B) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ થાય છે.
કારણ કે $(x_{2}-x_{1})^{2} = (x_{1}-x_{2})^{2}$ અને $(y_{2}-y_{1})^{2} = (y_{1}-y_{2})^{2}$ થાય છે,તેથી આ સૂત્રને $d(A, B) = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં,$(x_1, y_1) = (7, 5)$ અને $(x_2, y_2) = (2, 5)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(2 - 7)^2 + (5 - 5)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ છે.

(C) કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર તેના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે $|y|$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $P(2, -3)$ માં,$x$-યામ $2$ છે અને $y$-યામ $-3$ છે.
તેથી,$X$-અક્ષથી અંતર $|-3| = 3$ એકમ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(2, 4)$ અને $B(-3, 4)$ છે.
અહીં,$x_1 = 2, y_1 = 4$ અને $x_2 = -3, y_2 = 4$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (4 - 4)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ છે.

(A) બિંદુઓ $A(3, a)$ અને $B(4, 1)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
અહીં $d = \sqrt{10}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - a)^2} = \sqrt{10}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(4 - 3)^2 + (1 - a)^2 = 10$.
$1^2 + (1 - 2a + a^2) = 10$.
$1 + 1 - 2a + a^2 = 10$.
$a^2 - 2a + 2 = 10$.
$a^2 - 2a - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a - 4)(a + 2) = 0$.
આમ,$a = 4$ અથવા $a = -2$.
વિકલ્પ $A$ માં $4$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $4$ છે.

(B) આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(3.1, 0)$ અને $C(0, 4.5)$ છે.
બિંદુ $A(0, 0)$ એ ઉગમબિંદુ છે.
બિંદુ $B(3.1, 0)$ એ $X$-અક્ષ પર આવેલું છે.
બિંદુ $C(0, 4.5)$ એ $Y$-અક્ષ પર આવેલું છે.
$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ એકબીજાને ઉગમબિંદુ પર લંબ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A(0, 0)$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,આ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(-4, -6)$ અને $B(6, b)$ છે અને અંતર $d = 10$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (b - (-6))^2}$
$10 = \sqrt{(6 + 4)^2 + (b + 6)^2}$
$10 = \sqrt{10^2 + (b + 6)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 100 + (b + 6)^2$
$(b + 6)^2 = 100 - 100$
$(b + 6)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$b + 6 = 0$
$b = -6$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
$3$. $CD$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$.
$4$. $DA$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = DA = 2)$,આ ચતુષ્કોણ ચોરસ અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોઈ શકે છે.
હવે,આપણે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ તપાસીએ:
વિકર્ણ $AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વિકર્ણ $BD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
બધી બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી,$\square ABCD$ એ ચોરસ છે.

(B) ચોરસની પરિમિતિ $4 \times \text{બાજુ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$4 \times \text{બાજુ} = 20$.
તેથી,$\text{બાજુ} = 20 / 4 = 5$.
ચોરસ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ એ બાજુઓ $AB$ અને $BC$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AB = BC = 5$ હોવાથી,$AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
આમ,$AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ $A$ કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ઉત્તર દિશામાં $800 \, m$ ચાલતા વ્યક્તિ બિંદુ $B(0, 800)$ પર પહોંચે છે.
$B$ થી પૂર્વ દિશામાં $500 \, m$ ચાલતા વ્યક્તિ બિંદુ $C(500, 800)$ પર પહોંચે છે.
$C$ થી ઉત્તર દિશામાં $400 \, m$ ચાલતા વ્યક્તિ બિંદુ $D(500, 800 + 400) = D(500, 1200)$ પર પહોંચે છે.
$A(0, 0)$ થી $D(500, 1200)$ વચ્ચેનું સીધું અંતર અંતરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$d = \sqrt{(500 - 0)^2 + (1200 - 0)^2} = \sqrt{500^2 + 1200^2}$.
$d = \sqrt{250000 + 1440000} = \sqrt{1690000}$.
$d = 1300 \, m$.

(A) ધારો કે એરપોર્ટ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$t = 1.5 \, \text{કલાક}$ પછી,ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરતા પ્રથમ વિમાને કાપેલું અંતર $d_1 = 800 \times 1.5 = 1200 \, km$ છે.
પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરતા બીજા વિમાને કાપેલું અંતર $d_2 = 840 \times 1.5 = 1260 \, km$ છે.
ઉત્તર અને પૂર્વ દિશાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,બે વિમાનો વચ્ચેનું અંતર કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ તરીકે મળે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અંતર $D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$.
$D = \sqrt{1200^2 + 1260^2} = \sqrt{1440000 + 1587600} = \sqrt{3027600}$.
$D = 1740 \, km$.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ કાર્તેઝિયન સમતલમાં છે. ધારો કે $A = (0, b)$,$B = (a, b)$,$C = (a, 0)$,અને $D = (0, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અંતરના વર્ગો નીચે મુજબ છે:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
હવે,સરવાળાની ગણતરી કરીએ:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
બંને સરવાળા સમાન હોવાથી,$PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ સાબિત થાય છે.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ માં,બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ ના હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ (અથવા $\triangle ABD$) ને ધ્યાનમાં લો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\triangle BCD$ માં,$BD^2 = BC^2 + CD^2$ થાય.
$ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,$CD = AB = 9$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$BD^2 = 12^2 + 9^2$.
$BD^2 = 144 + 81 = 225$.
વર્ગમૂળ લેતા,$BD = \sqrt{225} = 15$.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણ $d$ નું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 5 \sqrt{2}$ છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = 5$ મળે છે.
તેથી,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $5$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $d = 8 \sqrt{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને બાજુની લંબાઈ $a = 8$ મળે છે.
ચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 4 \times a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = 4 \times 8 = 32$ મળે છે.