Distance Formula Questions in Hindi

(D) माना बिंदु $P(3,2), Q(-2,-3)$ और $R(2,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हैं:
$PQ = \sqrt{(-2-3)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$PR = \sqrt{(2-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
चूँकि किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक है ($PQ + PR > QR$,$PQ + QR > PR$,और $PR + QR > PQ$),इसलिए ये बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की जाँच करने पर: $PR^2 + PQ^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{50})^2 = 2 + 50 = 52$.
यहाँ $QR^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$ है,इसलिए $PR^2 + PQ^2 = QR^2$ है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) माना कि $A(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ और $D(-4,4)$ दिए गए बिंदु हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक वर्ग है,हमें यह दिखाना होगा कि इसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं और इसके विकर्ण भी बराबर हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$BC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (7-4)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
अब,विकर्णों की गणना करते हुए:
$AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$
$BD = \sqrt{(-4-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$
चूंकि $AB = BC = CD = DA$ और $AC = BD$ है,इसलिए चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।

(N/A) दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$AB = \sqrt{(6-3)^{2} + (4-1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(8-6)^{2} + (6-4)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(8-3)^{2} + (6-1)^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
चूंकि $AB + BC = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} = AC$,दूरियों $AB$ और $BC$ का योग दूरी $AC$ के बराबर है। इसलिए,बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही रेखा में बैठी हैं।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ बिंदुओं $A(7, 1)$ और $B(3, 5)$ से समदूरस्थ है।
दिया गया है कि $AP = BP$,इसलिए $AP^2 = BP^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 14x + 49) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25)$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को काटने पर:
$-14x - 2y + 50 = -6x - 10y + 34$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-14x + 6x - 2y + 10y = 34 - 50$
$-8x + 8y = -16$
$-8$ से भाग देने पर:
$x - y = 2$
अतः,अभीष्ट संबंध $x - y = 2$ है।

(A) हम जानते हैं कि $y$-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु $(0, y)$ के रूप में होता है। मान लीजिए कि बिंदु $P(0, y)$ बिंदुओं $A(6, 5)$ और $B(-4, 3)$ से समदूरस्थ है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB$,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(6 - 0)^2 + (5 - y)^2 = (-4 - 0)^2 + (3 - y)^2$
$36 + (25 - 10y + y^2) = 16 + (9 - 6y + y^2)$
$61 - 10y + y^2 = 25 - 6y + y^2$
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर:
$61 - 10y = 25 - 6y$
$61 - 25 = 10y - 6y$
$36 = 4y$
$y = 9$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, 9)$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$
दिए गए बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (2, 3)$ और $(x_{2}, y_{2}) = (4, 1)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{(4-2)^{2} + (1-3)^{2}}$
$d = \sqrt{(2)^{2} + (-2)^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 4}$
$d = \sqrt{8}$
$d = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (-5, 7)$ और $(x_2, y_2) = (-1, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2}$
$d = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{16 + 16}$
$d = \sqrt{32}$
$d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (a, b)$ और $(x_2, y_2) = (-a, -b)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2}$
$d = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2}$
$d = \sqrt{4a^2 + 4b^2}$
$d = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$d = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $(0,0)$ और $(36,15)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2}$
$d = \sqrt{36^2 + 15^2}$
$d = \sqrt{1296 + 225}$
$d = \sqrt{1521}$
$d = 39$।
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $39$ है।

(A) माना बिंदु $A(5,-2), B(6,4)$ और $C(7,-2)$ त्रिभुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$CA = \sqrt{(5-7)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
चूँकि $AB = BC = \sqrt{37}$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान लंबाई की हैं।
अतः,दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) $4$ मित्रों की स्थिति $A(3, 4)$,$B(6, 7)$,$C(9, 4)$ और $D(6, 1)$ है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
अब,विकर्णों की गणना करते हैं:
$AC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6$
$BD = \sqrt{(6 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 3\sqrt{2})$ और दोनों विकर्ण भी समान हैं $(AC = BD = 6)$,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है। अतः,चंपा सही है।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $A(-1,-2), B(1,0), C(-1,2),$ और $D(-3,0)$ चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
विकर्ण $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$
विकर्ण $BD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{2})$ और दोनों विकर्ण भी समान हैं $(AC = BD = 4)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक वर्ग है।

(NONE) माना कि बिंदु $A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3),$ और $D(-1, -4)$ चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$
चूंकि चारों भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ की लंबाई अलग-अलग है,इसलिए ये बिंदु किसी विशेष प्रकार का चतुर्भुज (जैसे वर्ग,आयत या समांतर चतुर्भुज) नहीं बनाते हैं। यह एक सामान्य चतुर्भुज है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A(4,5), B(7,6), C(4,3),$ और $D(1,2)$ चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(7-4)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-7)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(1-4)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
विकर्ण $AC = \sqrt{(4-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
विकर्ण $BD = \sqrt{(1-7)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB=CD$ और $BC=DA$) और विकर्ण असमान हैं $(AC \neq BD)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

(A) हमें $x$-अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात करना है। अतः,इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
माना $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
बिंदु $P(x, 0)$ और $A(2, -5)$ के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा:
$PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 25}$.
बिंदु $P(x, 0)$ और $B(-2, 9)$ के बीच की दूरी:
$PB = \sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 81}$.
दी गई शर्त के अनुसार,ये दूरियाँ समान हैं,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$:
$(x - 2)^2 + 25 = (x + 2)^2 + 81$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$
दोनों पक्षों से $x^2 + 4$ घटाने पर:
$-4x + 25 = 4x + 81$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-8x = 81 - 25$
$-8x = 56$
$x = -7$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-7, 0)$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(2, -3)$ और $Q(10, y)$ हैं और दूरी $d = 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \sqrt{(10 - 2)^2 + (y - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(8)^2 + (y + 3)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$100 = 64 + (y + 3)^2$
$100 - 64 = (y + 3)^2$
$36 = (y + 3)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y + 3 = \pm 6$
स्थिति $1$: $y + 3 = 6 \implies y = 3$
स्थिति $2$: $y + 3 = -6 \implies y = -9$
अतः,$y$ के संभावित मान $3$ और $-9$ हैं।

(X = ±4) दिया गया है कि $Q(0, 1)$ बिंदुओं $P(5, -3)$ और $R(x, 6)$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PQ = QR$ है।
दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$PQ^2 = QR^2$
$(5-0)^2 + (-3-1)^2 = (x-0)^2 + (6-1)^2$
$5^2 + (-4)^2 = x^2 + 5^2$
$25 + 16 = x^2 + 25$
$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$।
स्थिति $1$: यदि $R$ का मान $(4, 6)$ है:
$QR = \sqrt{(4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$।
$PR = \sqrt{(4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$।
स्थिति $2$: यदि $R$ का मान $(-4, 6)$ है:
$QR = \sqrt{(-4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$।
$PR = \sqrt{(-4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$,$A(3, 6)$ और $B(-3, 4)$ हैं।
चूँकि $P$,$A$ और $B$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 4)^2$
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x + 3)^2 + (y - 4)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को काटने पर:
$-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$45 - 25 = 6x + 6x - 8y + 12y$
$20 = 12x + 4y$
$4$ से भाग देने पर:
$5 = 3x + y$
अतः,संबंध $3x + y - 5 = 0$ है।

(N/A) यह देखा जा सकता है कि निहारिका ने $2^{nd}$ पंक्ति के शुरुआती बिंदु से $AD$ की दूरी के $\frac{1}{4}$ भाग पर,अर्थात $\left(\frac{1}{4} \times 100\right) \, m = 25 \, m$ पर हरा झंडा गाड़ा है। इसलिए,इस बिंदु $G$ के निर्देशांक $(2, 25)$ हैं।
प्रीत ने $8^{th}$ पंक्ति के शुरुआती बिंदु से $AD$ की दूरी के $\frac{1}{5}$ भाग पर,अर्थात $\left(\frac{1}{5} \times 100\right) \, m = 20 \, m$ पर लाल झंडा गाड़ा है। इसलिए,इस बिंदु $R$ के निर्देशांक $(8, 20)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करके,इन झंडों के बीच की दूरी $GR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$GR = \sqrt{(8 - 2)^2 + (20 - 25)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \, m.$
वह बिंदु जहाँ रश्मि को अपना नीला झंडा गाड़ना चाहिए,वह इन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए यह बिंदु $M(x, y)$ है।
$x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5, \quad y = \frac{25 + 20}{2} = \frac{45}{2} = 22.5.$
अतः,मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(5, 22.5)$ हैं।
इसलिए,रश्मि को अपना नीला झंडा $5^{th}$ पंक्ति पर $22.5 \, m$ की दूरी पर गाड़ना चाहिए।

(B) मान लीजिए कि समचतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(3,0), B(4,5), C(-1,4)$ और $D(-2,-1)$ हैं।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
सबसे पहले,दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके विकर्ण $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
इसके बाद,विकर्ण $BD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$BD = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
अब,क्षेत्रफल की गणना करें:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 = 24$ वर्ग इकाई।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(2, -2)$ और $(-1, x)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (x - (-2))^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (x + 2)^2}$
$5 = \sqrt{9 + (x^2 + 4x + 4)}$
$5 = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = x^2 + 4x + 13$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x + 6)(x - 2) = 0$
अतः,$x = -6$ या $x = 2$ है।
इसलिए,$x$ का एक संभावित मान $2$ है।

(C) आकृति निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(9-9)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
$BC = \sqrt{(-9-9)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-18)^2 + 0^2} = 18$
$CD = \sqrt{(-9-(-9))^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
$DA = \sqrt{(9-(-9))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{18^2 + 0^2} = 18$
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं ($AB = CD = 6$ और $BC = DA = 18$) और आसन्न भुजाएं लंबवत हैं (क्योंकि भुजाएं निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं),इसलिए यह आकृति एक आयत है।

(D) हम जानते हैं कि कार्तीय तल (Cartesian plane) में किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए:
$1$. बिंदु की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक (भुज) के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,अर्थात $|x|$।
$2$. बिंदु की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y$-निर्देशांक (कोटि) के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,अर्थात $|y|$।
बिंदु $P(2, 3)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $2$ है और $y$-निर्देशांक $3$ है।
अतः,$x$-अक्ष से बिंदु $P(2, 3)$ की दूरी उसके $y$-निर्देशांक के बराबर,यानी $3$ इकाई होगी।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दिए गए बिंदु $A(0, 6)$ और $B(0, -2)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 0, y_1 = 6$ और $x_2 = 0, y_2 = -2$ है।
इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 6)^2}$
$AB = \sqrt{0^2 + (-8)^2}$
$AB = \sqrt{64}$
$AB = 8$
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $8$ इकाई है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ,बिंदु $P$ $(-6, 8)$ है और मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
अतः,$x_1 = -6, y_1 = 8$ और $x_2 = 0, y_2 = 0$ है।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$PO = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (0 - 8)^2}$
$PO = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2}$
$PO = \sqrt{36 + 64}$
$PO = \sqrt{100}$
$PO = 10$
अतः,बिंदु $P(-6, 8)$ की मूल बिंदु से दूरी $10$ इकाई है।

(C) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
यहाँ,$x_{1} = 0, y_{1} = 5$ और $x_{2} = -5, y_{2} = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(-5 - 0)^{2} + (0 - 5)^{2}}$
$d = \sqrt{(-5)^{2} + (-5)^{2}}$
$d = \sqrt{25 + 25}$
$d = \sqrt{50}$
$d = 5 \sqrt{2}$

(D) आयत $AOBC$ में,विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला रेखाखंड है। यहाँ,$AB$ विकर्ण है।
विकर्ण $AB$ की लंबाई बिंदुओं $A (0, 3)$ और $B (5, 0)$ के बीच की दूरी है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ,$x_1 = 0, y_1 = 3$ और $x_2 = 5, y_2 = 0$ है।
इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:
$AB = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 9}$
$AB = \sqrt{34}$
अतः,विकर्ण की लंबाई $\sqrt{34}$ है।

(A) त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए,हम उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग करते हैं। मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(0,4)$,$O(0,0)$ और $B(3,0)$ हैं।
$\triangle AOB$ का परिमाप = उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग = $d(AO) + d(OB) + d(AB)$.
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$1$. दूरी $d(AO) = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$.
$2$. दूरी $d(OB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3$.
$3$. दूरी $d(AB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
परिमाप = $4 + 3 + 5 = 12$.
अतः,त्रिभुज का अभीष्ट परिमाप $12$ है।

(C) माना शीर्ष $A(-4,0), B(4,0),$ और $C(0,3)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $BC = AC = 5$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
अतः,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक उस रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है।
बिंदुओं $A(-2, -5)$ और $B(2, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु,मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{-5 + 5}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{0}{2} \right) = (0, 0)$
चूंकि लंब समद्विभाजक रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए बिंदु $(0, 0)$ लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

(C) वृत्त का केंद्र $(0,0)$ है और यह बिंदु $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ से होकर गुजरता है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r$,$(0,0)$ और $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{\left(\frac{13}{2}-0\right)^{2} + (0-0)^{2}} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}} = \frac{13}{2} = 6.5$.
कोई बिंदु $(x, y)$ वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित होता है यदि केंद्र से उसकी दूरी $r$ से कम हो,वृत्त पर स्थित होता है यदि दूरी $r$ के बराबर हो,और बाहर स्थित होता है यदि दूरी $r$ से अधिक हो।
$(a)$ $\left(-\frac{3}{4}, 1\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = 1.25 < 6.5$. (आंतरिक)
$(b)$ $\left(2, \frac{7}{3}\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{2^{2} + \left(\frac{7}{3}\right)^{2}} = \sqrt{4 + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{85}{9}} \approx 3.07 < 6.5$. (आंतरिक)
$(c)$ $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{(-6)^{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^{2}} = \sqrt{36 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{144+25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2} = 6.5$. (वृत्त पर)
$(d)$ $\left(5, -\frac{1}{2}\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{5^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{101}{4}} \approx 5.02 < 6.5$. (आंतरिक)
अतः,बिंदु $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित नहीं है।

(B) दूरी सूत्र के अनुसार,दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(4, p)$ और $(1, 0)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (0 - p)^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (-p)^2}$
$5 = \sqrt{9 + p^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 9 + p^2$
$p^2 = 25 - 9$
$p^2 = 16$
$p = \pm \sqrt{16}$
$p = \pm 4$
अतः,$p$ का मान $\pm 4$ है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
$1$. $y$-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ होते हैं। बिंदु $P (0, -7)$,$y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए यह पहली शर्त को पूरा करता है।
$2$. $P$ के $AB$ के लंब समद्विभाजक पर होने के लिए,इसे $A (-1, 0)$ और $B (7, -6)$ से समान दूरी पर होना चाहिए।
$3$. दूरी $PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$ इकाई।
$4$. दूरी $PB = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-7 - (-6))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$ इकाई।
$5$. चूँकि $PA = PB$ है,इसलिए बिंदु $P$,$AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। अतः,यह कथन सत्य है।

(B) असत्य।
हम जानते हैं कि किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस रेखाखंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके बिंदु $P(0, 2)$ की बिंदुओं $A(-1, 1)$ और $B(3, 3)$ से दूरी ज्ञात करते हैं।
$PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$PB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
चूंकि $PA \neq PB$,इसलिए बिंदु $P(0, 2)$ बिंदुओं $A$ और $B$ से समान दूरी पर नहीं है।
अतः,बिंदु $P(0, 2)$ रेखाखंड $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।

(B) असत्य।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या बिंदु एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(6-4)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(5-6)^2 + (-6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101}$
$CD = \sqrt{(-3-5)^2 + (5 - (-6))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 121} = \sqrt{185}$
$DA = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (3-5)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$
एक समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए ($AB = CD$ और $BC = DA$)। चूँकि सभी भुजाएँ असमान हैं,इसलिए दिए गए बिंदु एक समांतर चतुर्भुज नहीं बनाते हैं।

(B) असत्य।
यदि कोई बिंदु $A$ रेखाखंड $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है,तो उसे अंत बिंदुओं $P$ और $Q$ से समान दूरी पर होना चाहिए,अर्थात $AP = AQ$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके दूरी $AP$ की गणना करें:
$AP = \sqrt{(6-2)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$।
इसके बाद,दूरी $AQ$ की गणना करें:
$AQ = \sqrt{(0-2)^2 + (-4-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$।
चूंकि $AP \neq AQ$ है (क्योंकि $\sqrt{20} \neq \sqrt{125}$),इसलिए बिंदु $A (2,7)$ रेखाखंड $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।

(A) सत्य।
सबसे पहले,हम यह जांचते हैं कि क्या बिंदु संरेख हैं,इसके लिए हम उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यहाँ,$x_1 = -6, x_2 = -4, x_3 = 3$ और $y_1 = 10, y_2 = 6, y_3 = -8$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -6(6 - (-8)) + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6) |$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -6(14) + (-4)(-18) + 3(4) |$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -84 + 72 + 12 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0$.
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।
अब,दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $AB$ और $AC$ की दूरी ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(-4 - (-6))^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-8 - 10)^2} = \sqrt{9^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
अब,संबंध $AB = \frac{2}{9} AC$ की जांच करते हैं:
$\frac{2}{9} AC = \frac{2}{9} \times 9\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
चूंकि $AB = 2\sqrt{5}$ है,इसलिए यह संबंध सत्य है।

(B) असत्य।
एक बिंदु वृत्त पर तभी स्थित होता है जब उस बिंदु और वृत्त के केंद्र के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर हो।
मान लीजिए केंद्र $C(3, 5)$ है और बिंदु $P(-2, 4)$ है। दूरी सूत्र का उपयोग करके $CP$ की दूरी की गणना करते हैं:
$CP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - 4)^2}$
$CP = \sqrt{(3 + 2)^2 + (1)^2}$
$CP = \sqrt{5^2 + 1^2}$
$CP = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
चूंकि $\sqrt{26} \neq 6$,इसलिए बिंदु $P$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर नहीं है।
अतः,बिंदु $P(-2, 4)$ वृत्त पर स्थित नहीं है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $O(x, y)$ है। माना बिंदु $A(6, -6), B(3, -7)$ और $C(3, 3)$ वृत्त की परिधि पर स्थित हैं।
चूंकि केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होती है:
$OA^2 = OB^2 = OC^2$
$OA^2 = (x - 6)^2 + (y + 6)^2$
$OB^2 = (x - 3)^2 + (y + 7)^2$
$OC^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$(y + 7)^2 = (y - 3)^2$
$y^2 + 14y + 49 = y^2 - 6y + 9$
$20y = -40 \Rightarrow y = -2$
$OA^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$(x - 6)^2 + (y + 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$y = -2$ रखने पर:
$(x - 6)^2 + (-2 + 6)^2 = (x - 3)^2 + (-2 - 3)^2$
$(x - 6)^2 + 16 = (x - 3)^2 + 25$
$x^2 - 12x + 36 + 16 = x^2 - 6x + 9 + 25$
$-6x = -18 \Rightarrow x = 3$
अतः,वृत्त का केंद्र $(3, -2)$ है।

(A) माना $A(-1, 2)$ और $C(3, 2)$ एक वर्ग $ABCD$ के दिए गए सम्मुख शीर्ष हैं। माना अन्य दो शीर्ष $B(x, y)$ और $D(x_1, y_1)$ हैं।
चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है,इसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं,इसलिए $AB = BC$.
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$.
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1$.
$\triangle ABC$ में,$\angle B = 90^\circ$ है,इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$AC^2 = (3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.
चूँकि $AB = BC$,इसलिए $2AB^2 = 16 \Rightarrow AB^2 = 8$.
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8$. $x=1$ रखने पर: $(1+1)^2 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow 4 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow (y-2)^2 = 4$.
$y-2 = \pm 2 \Rightarrow y = 4$ या $y = 0$.
अतः,$B$ के निर्देशांक $(1, 4)$ और $D$ के निर्देशांक $(1, 0)$ हैं (या इसके विपरीत)।
अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक $(1, 0)$ और $(1, 4)$ हैं।

(N/A) को मूल बिंदु $(0,0)$ मानते हुए,हम $AD$ को $x$-अक्ष और $AB$ को $y$-अक्ष मानेंगे।
आकृति में दिए गए ग्रिड का अवलोकन करने पर:
- बिंदु $P$,$x$-अक्ष पर $4$ इकाई और $y$-अक्ष पर $6$ इकाई पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $P(4, 6)$ हैं।
- बिंदु $Q$,$x$-अक्ष पर $3$ इकाई और $y$-अक्ष पर $2$ इकाई पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $Q(3, 2)$ हैं।
- बिंदु $R$,$x$-अक्ष पर $6$ इकाई और $y$-अक्ष पर $5$ इकाई पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $R(6, 5)$ हैं।
अतः,त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $P(4, 6)$,$Q(3, 2)$ और $R(6, 5)$ हैं।

(A) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$PQ = \sqrt{(-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$PR = \sqrt{(-\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 + 2\sqrt{12}) + (6 + 2 - 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$RQ = \sqrt{(-\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2 + (\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 - 2\sqrt{12}) + (6 + 2 + 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
चूँकि $PQ = PR = RQ = 4$,तीनों भुजाएँ समान हैं। अतः,त्रिभुज $PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(C) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$ इकाई।
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (7)^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170}$ इकाई।
$3$. भुजा $CA$ की लंबाई:
$CA = \sqrt{(-5 - 7)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$ इकाई।
चूंकि $AB \neq BC \neq CA$,इसलिए तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है।
अतः,इन बिंदुओं द्वारा बनने वाला त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(A) हम जानते हैं कि $x$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(x, 0)$ के रूप में होता है। मान लीजिए $P(x, 0)$ $x$-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु है जो बिंदु $Q(7, -4)$ से $2\sqrt{5}$ की दूरी पर है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
दिया गया है कि $PQ = 2\sqrt{5}$,इसलिए $(PQ)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$.
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 7)^2 + (0 - (-4))^2 = 20$
$(x - 7)^2 + (4)^2 = 20$
$x^2 - 14x + 49 + 16 = 20$
$x^2 - 14x + 65 = 20$
$x^2 - 14x + 45 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$
$x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$
$(x - 9)(x - 5) = 0$
अतः,$x = 5$ या $x = 9$ है।
बिंदु $(5, 0)$ और $(9, 0)$ हैं।
ऐसे $2$ बिंदु हैं।

(B) दूरी सूत्र के अनुसार,दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $A(-3, -14)$ और $B(a, -5)$ हैं और दूरी $d = 9$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$9 = \sqrt{(a - (-3))^2 + (-5 - (-14))^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (-5 + 14)^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (9)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$81 = (a + 3)^2 + 81$
दोनों पक्षों से $81$ घटाने पर:
$(a + 3)^2 = 0$
वर्गमूल लेने पर:
$a + 3 = 0$
$a = -3$.
अतः,$a$ का अभीष्ट मान $-3$ है।

(D) माना $P(h, k)$ एक बिंदु है जो $A(-5, 4)$ और $B(-1, 6)$ से समदूरस्थ है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
$(-5 - h)^2 + (4 - k)^2 = (-1 - h)^2 + (6 - k)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$25 + h^2 + 10h + 16 + k^2 - 8k = 1 + h^2 + 2h + 36 + k^2 - 12k$
समीकरण को सरल करने पर:
$10h - 2h - 8k + 12k + 41 - 37 = 0$
$8h + 4k + 4 = 0$
$4$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2h + k + 1 = 0$
यह रेखाखंड $AB$ के लंब समद्विभाजक का समीकरण है। इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $A$ और $B$ से समदूरस्थ होगा। चूंकि एक रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए ऐसे अनंत बिंदु संभव हैं।
$h$ और $k$ को $x$ और $y$ से प्रतिस्थापित करने पर,ऐसे सभी बिंदुओं का बिंदुपथ $2x + y + 1 = 0$ है।

(N/A) प्रश्न के अनुसार,बिंदु $A (2, -4)$,$P (3, 8)$ और $Q (-10, y)$ से समदूरस्थ है।
इसका अर्थ है कि $PA = QA$ है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{(2 - 3)^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{(2 - (-10))^2 + (-4 - y)^2}$
$\sqrt{(-1)^2 + (-12)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-(4 + y))^2}$
$\sqrt{1 + 144} = \sqrt{144 + (4 + y)^2}$
$\sqrt{145} = \sqrt{144 + 16 + 8y + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$145 = 160 + 8y + y^2$
$y^2 + 8y + 15 = 0$
$(y + 5)(y + 3) = 0$
अतः,$y = -5$ या $y = -3$ है।
अब,$PQ$ की दूरी ज्ञात करने पर: $PQ = \sqrt{(-10 - 3)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{169 + (y - 8)^2}$।
$y = -3$ के लिए,$PQ = \sqrt{169 + (-3 - 8)^2} = \sqrt{169 + 121} = \sqrt{290}$।
$y = -5$ के लिए,$PQ = \sqrt{169 + (-5 - 8)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. घर $(2,4)$ से बैंक $(5,8)$ तक की दूरी:
$d_1 = \sqrt{(5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \, km$.
$2$. बैंक $(5,8)$ से स्कूल $(13,14)$ तक की दूरी:
$d_2 = \sqrt{(13-5)^2 + (14-8)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \, km$.
$3$. स्कूल $(13,14)$ से ऑफिस $(13,26)$ तक की दूरी:
$d_3 = \sqrt{(13-13)^2 + (26-14)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = 12 \, km$.
आयुष द्वारा तय की गई कुल दूरी $= 5 + 10 + 12 = 27 \, km$.
$4$. घर $(2,4)$ से ऑफिस $(13,26)$ तक की सीधी दूरी:
$d_{direct} = \sqrt{(13-2)^2 + (26-4)^2} = \sqrt{11^2 + 22^2} = \sqrt{121 + 484} = \sqrt{605} \approx 24.6 \, km$.
तय की गई अतिरिक्त दूरी $= 27 - 24.6 = 2.4 \, km$.

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $A(5, 8)$ और $B(1, 2)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 5, y_1 = 8, x_2 = 1, y_2 = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$AB = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 - 8)^2}$
$AB = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36}$
$AB = \sqrt{52}$
$AB = \sqrt{4 \times 13}$
$AB = 2 \sqrt{13}$।

(A) माना कि शीर्ष $A(2,2), B(5,2), C(5,5)$ और $D(2,5)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB^2 = (5-2)^2 + (2-2)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (5-5)^2 + (5-2)^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \implies BC = 3$.
$CD^2 = (2-5)^2 + (5-5)^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9 \implies CD = 3$.
$DA^2 = (2-2)^2 + (2-5)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9 \implies DA = 3$.
चूंकि $AB = BC = CD = DA = 3$,इसलिए यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
अब,विकर्णों की जाँच करते हैं:
$AC^2 = (5-2)^2 + (5-2)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BD^2 = (2-5)^2 + (5-2)^2 = (-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
चूंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर $(AC = BD)$ हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक वर्ग है।