Distance Formula Questions in Hindi

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
दिए गए बिंदु $A(-3, 4)$ और $O(0, 0)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$OA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2}$
$OA = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$OA = \sqrt{9 + 16}$
$OA = \sqrt{25}$
$OA = 5$ इकाई।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(2, 3)$ और $B(-3, -9)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = -3, y_2 = -9$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$AB = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (-9 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 144}$
$AB = \sqrt{169}$
$AB = 13$.
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $13$ इकाई है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ $P(3, 2)$,$Q(7, k)$ और $d(P, Q) = 5$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PQ^2 = 5^2 = 25$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(7 - 3)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$(4)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$16 + (k - 2)^2 = 25$.
$(k - 2)^2 = 25 - 16 = 9$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $k - 2 = \pm 3$.
स्थिति $1$: $k - 2 = 3 \implies k = 5$.
स्थिति $2$: $k - 2 = -3 \implies k = -1$.
दिए गए विकल्पों में $5$ उपलब्ध है,इसलिए सही मान $k = 5$ है।

(A) माना कि $X-$ अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
चूंकि $P$,$A(-1, 2)$ और $B(5, 4)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$[x - (-1)]^2 + (0 - 2)^2 = (x - 5)^2 + (0 - 4)^2$
$(x + 1)^2 + 4 = (x - 5)^2 + 16$
$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 10x + 25 + 16$
$2x + 5 = -10x + 41$
$12x = 36$
$x = 3$
अतः,$X-$ अक्ष पर अभीष्ट बिंदु $(3, 0)$ है।

(B) मान लीजिए कि $Y-$ अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिंदु $R(0, y)$ है।
चूंकि यह बिंदु $P(3, 2)$ और $Q(-1, -5)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PR = QR$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PR^2 = QR^2$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$(3 - 0)^2 + (2 - y)^2 = (-1 - 0)^2 + (-5 - y)^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर,$9 + (4 - 4y + y^2) = 1 + (25 + 10y + y^2)$.
समीकरण को सरल करने पर,$13 - 4y + y^2 = 26 + 10y + y^2$.
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर,$13 - 4y = 26 + 10y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$-13 = 14y$.
अतः,$y = -\frac{13}{14}$.
इस प्रकार,$Y-$ अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिंदु $\left(0, -\frac{13}{14}\right)$ है।

(A) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $PQ$ की लंबाई: $PQ^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$. अतः,$PQ = 2$.
$2$. $QR$ की लंबाई: $QR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-5)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$. अतः,$QR = 2$.
$3$. $PR$ की लंबाई: $PR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-3)^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. अतः,$PR = 2$.
चूंकि $PQ = QR = PR = 2$,इसलिए तीनों भुजाएं समान हैं।
अतः,$\Delta PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(4, 7)$ और $B(7, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - 7)^2}$
$AB = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$AB = \sqrt{9 + 16}$
$AB = \sqrt{25}$
$AB = 5$.

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(2, -3)$ और $Q(7, 9)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$PQ = \sqrt{(7 - 2)^2 + (9 - (-3))^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$ इकाई।

(A) माना कि $X-$अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
दिया गया है कि दूरी $PA = 13$ इकाई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$13^2 = (x - 11)^2 + (0 - 12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + (-12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + 144$
$(x - 11)^2 = 169 - 144$
$(x - 11)^2 = 25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x - 11 = \pm 5$.
स्थिति $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
स्थिति $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(16, 0)$ या $(6, 0)$ हैं।

(C) बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ हैं और मूलबिंदु $O$ के निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $d = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (a \sin \theta - 0)^2}$.
$d = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$.
$d = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$.
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $d = \sqrt{a^2(1)} = \sqrt{a^2}$.
चूंकि $a \in R^{+}$ है,इसलिए दूरी $a$ होगी।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $A(\cos \theta, 0)$ और $B(0, \sin \theta)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(0 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2}$
$d = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d = \sqrt{1} = 1$.

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(a+b, b-a)$ और $B(a-b, a+b)$ हैं।
$AB = \sqrt{((a-b) - (a+b))^2 + ((a+b) - (b-a))^2}$
$AB = \sqrt{(a - b - a - b)^2 + (a + b - b + a)^2}$
$AB = \sqrt{(-2b)^2 + (2a)^2}$
$AB = \sqrt{4b^2 + 4a^2}$
$AB = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(C) चतुर्भुज की पहचान करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
भुजा $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
भुजा $BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
भुजा $CD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$.
भुजा $DA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं ($AB = CD = 3$ और $BC = DA = 2$) और आसन्न भुजाएं बराबर नहीं हैं,इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,विकर्णों की जाँच करते हैं: $AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए $\square ABCD$ एक आयत है।

(B) माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $B(-3, 2)$ और $C(5, 0)$ हैं।
$D$ के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जाते हैं: $D = \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1, 1)$.
अब,$A(1, 4)$ और $D(1, 1)$ के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करके माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AD = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2}$
$AD = \sqrt{0^2 + 3^2}$
$AD = \sqrt{9} = 3$.
अतः,माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई $3$ है।

(A) शीर्षों के निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ और $C(0, 3)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ इकाई।
यहाँ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ और $BC^2 = 5^2 = 25$ है,इसलिए $AB^2 + AC^2 = BC^2$ है।
यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है,जो दर्शाता है कि $\Delta ABC$ शीर्ष $A$ पर एक समकोण त्रिभुज है। चूंकि $AB \neq AC$,यह समद्विबाहु नहीं है।

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $X-$ अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y-$ निर्देशांक के निरपेक्ष मान द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(5, 3)$ के लिए,$x-$ निर्देशांक $5$ है और $y-$ निर्देशांक $3$ है।
अतः,$X-$ अक्ष से लंबवत दूरी $= |y| = |3| = 3$ इकाई।

(C) किसी बिंदु $(x, y)$ की $Y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है।
बिंदु $(-2, 5)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-2$ है।
अतः,$Y$-अक्ष से लंबवत दूरी $|-2| = 2$ इकाई है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(1, 3)$ और $B(a, 0)$ हैं और दूरी $d = 3$ है।
मान रखने पर: $3 = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 3)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 = (a - 1)^2 + (-3)^2$.
$9 = (a - 1)^2 + 9$.
$(a - 1)^2 = 0$.
अतः,$a - 1 = 0$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ $A(-4, -3)$ और $B(6, a)$ दिए गए हैं और दूरी $d = 10$ है।
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (a - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(10)^2 + (a + 3)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$100 = 100 + (a + 3)^2$
$(a + 3)^2 = 0$
$a + 3 = 0$
$a = -3$

(B) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए, हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
$BC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$AC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
चूंकि $AB = BC = AC = 2$, इसलिए तीनों भुजाएं समान हैं।
अतः, $\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(0,0), B(4,0)$ और $C(0,6)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - 6) + 4(6 - 0) + 0(0 - 0)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 24 + 0|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |24| = 12$ वर्ग इकाई।

(C) माध्यिका $\overline{AD}$,शीर्ष $A$ को सम्मुख भुजा $\overline{BC}$ के मध्य-बिंदु $D$ से जोड़ती है।
चूंकि $B = (0, 0)$ और $C = (6, 0)$ हैं,इसलिए मध्य-बिंदु $D$ के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं:
$D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)$.
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके $A(3, 4)$ और $D(3, 0)$ के बीच की लंबाई $\overline{AD}$ ज्ञात करते हैं:
$AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई $4$ है।

(D) चूंकि $\overline{BE}$,$\Delta ABC$ की भुजा $\overline{AC}$ पर माध्यिका है,इसलिए $E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
$A$ के निर्देशांक $(9,5)$ और $C$ के निर्देशांक $(3,3)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$E$ के निर्देशांक $= \left(\frac{9+3}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{8}{2}\right) = (6,4)$ हैं।
माध्यिका $\overline{BE}$ की लंबाई $B(6,7)$ और $E(6,4)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$BE = \sqrt{(6-6)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$।

(C) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $PQ$ की लंबाई: $PQ^2 = (3 - 6)^2 + (10 - 5)^2 = (-3)^2 + (5)^2 = 9 + 25 = 34$. अतः,$PQ = \sqrt{34}$.
$2$. $QR$ की लंबाई: $QR^2 = (6 - 1)^2 + (5 - 2)^2 = (5)^2 + (3)^2 = 25 + 9 = 34$. अतः,$QR = \sqrt{34}$.
$3$. $PR$ की लंबाई: $PR^2 = (3 - 1)^2 + (10 - 2)^2 = (2)^2 + (8)^2 = 4 + 64 = 68$. अतः,$PR = \sqrt{68}$.
चूंकि $PQ = QR = \sqrt{34}$,त्रिभुज की दो भुजाएं समान लंबाई की हैं।
इसलिए,$\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) $\Delta LMN$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके इसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $LM$ की लंबाई = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$2$. $MN$ की लंबाई = $\sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
$3$. $NL$ की लंबाई = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
चूँकि $MN = NL = 3$ है,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समकोण की जाँच करें: $MN^2 + NL^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$,और $LM^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
चूँकि $MN^2 + NL^2 = LM^2$ है,इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$\Delta LMN$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(B) यदि रेखाखंड $\overline{PQ}$,$X$-अक्ष के समांतर है,तो रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं का $Y$-निर्देशांक समान होना चाहिए।
चूंकि $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ इस रेखा पर स्थित हैं,इसलिए उनके $Y$-निर्देशांक बराबर होने चाहिए।
अतः,$y_{1} = y_{2}$।

(A) $Y$-अक्ष के समांतर रेखा एक ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा होती है।
किसी भी ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए,उस रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का $x$-निर्देशांक समान रहता है।
चूंकि बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ $Y$-अक्ष के समांतर एक रेखा पर स्थित हैं,इसलिए उनके $x$-निर्देशांक समान होने चाहिए।
अतः,$x_{1} = x_{2}$।

(C) दो बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$ है।
यदि रेखाखंड $\overline{PQ}$,$X$-अक्ष के समांतर है,तो दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान होने चाहिए,अर्थात $y_{1} = y_{2}$।
दूरी के सूत्र में $y_{1} = y_{2}$ रखने पर:
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{1} - y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + 0^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2} = |x_{2} - x_{1}| = |x_{1} - x_{2}|$.
अतः,दूरी $|x_{1} - x_{2}|$ है।

(C) यदि रेखाखंड $\overline{PQ}$,$Y$-अक्ष के समांतर है,तो रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं के $x$-निर्देशांक समान होने चाहिए।
अतः,$x_{1} = x_{2}$।
दो बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ है।
सूत्र में $x_{1} = x_{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$PQ = \sqrt{(x_{1}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{0^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^2} = |y_{2}-y_{1}| = |y_{1}-y_{2}|$।
इस प्रकार,दूरी $|y_{1}-y_{2}|$ है।

(A) कार्तीय तल में दो बिंदुओं $A(x_{1}, y_{1})$ और $B(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है।
दूरी सूत्र के अनुसार,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d(A, B) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ होती है।
चूंकि $(x_{2}-x_{1})^{2} = (x_{1}-x_{2})^{2}$ और $(y_{2}-y_{1})^{2} = (y_{1}-y_{2})^{2}$ होता है,इसलिए इस सूत्र को $d(A, B) = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ,$(x_1, y_1) = (7, 5)$ और $(x_2, y_2) = (2, 5)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{(2 - 7)^2 + (5 - 5)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ इकाई है।

(C) किसी बिंदु $P(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी उसके $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,जो $|y|$ है।
यहाँ दिए गए बिंदु $P(2, -3)$ में,$x$-निर्देशांक $2$ है और $y$-निर्देशांक $-3$ है।
अतः,$X$-अक्ष से दूरी $|-3| = 3$ इकाई होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $A(2, 4)$ और $B(-3, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 2, y_1 = 4$ और $x_2 = -3, y_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (4 - 4)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + (0)^2}$
$d = \sqrt{25 + 0}$
$d = \sqrt{25} = 5$।
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ इकाई है।

(A) बिंदुओं $A(3, a)$ और $B(4, 1)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
यहाँ $d = \sqrt{10}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - a)^2} = \sqrt{10}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(4 - 3)^2 + (1 - a)^2 = 10$.
$1^2 + (1 - 2a + a^2) = 10$.
$1 + 1 - 2a + a^2 = 10$.
$a^2 - 2a + 2 = 10$.
$a^2 - 2a - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 4)(a + 2) = 0$.
अतः,$a = 4$ या $a = -2$.
चूंकि विकल्प $A$ में $4$ दिया गया है,इसलिए सही मान $4$ है।

(B) दिए गए शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3.1, 0)$ और $C(0, 4.5)$ हैं।
बिंदु $A(0, 0)$ मूलबिंदु है।
बिंदु $B(3.1, 0)$ $X$-अक्ष पर स्थित है।
बिंदु $C(0, 4.5)$ $Y$-अक्ष पर स्थित है।
चूंकि $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष मूलबिंदु पर एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए शीर्ष $A(0, 0)$ पर बनने वाला कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,इन शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(-4, -6)$ और $B(6, b)$ हैं और दूरी $d = 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (b - (-6))^2}$
$10 = \sqrt{(6 + 4)^2 + (b + 6)^2}$
$10 = \sqrt{10^2 + (b + 6)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$100 = 100 + (b + 6)^2$
$(b + 6)^2 = 100 - 100$
$(b + 6)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$b + 6 = 0$
$b = -6$.

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके इसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $AB$ की लंबाई = $\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$.
$2$. $BC$ की लंबाई = $\sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
$3$. $CD$ की लंबाई = $\sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$.
$4$. $DA$ की लंबाई = $\sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 2)$,चतुर्भुज एक वर्ग या समचतुर्भुज हो सकता है।
अब,हम विकर्णों $AC$ और $BD$ की जांच करते हैं:
विकर्ण $AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
विकर्ण $BD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं और विकर्ण भी समान हैं,इसलिए $\square ABCD$ एक वर्ग है।

(B) वर्ग का परिमाप $4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$4 \times \text{भुजा} = 20$.
इसलिए,$\text{भुजा} = 20 / 4 = 5$.
वर्ग $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
चूंकि $AB = BC = 5$,इसलिए $AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
अतः,$AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

(D) मान लीजिए कि शुरुआती बिंदु $A$ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
उत्तर दिशा में $800 \, m$ चलने पर व्यक्ति बिंदु $B(0, 800)$ पर पहुँचता है।
$B$ से पूर्व दिशा में $500 \, m$ चलने पर व्यक्ति बिंदु $C(500, 800)$ पर पहुँचता है।
$C$ से उत्तर दिशा में $400 \, m$ चलने पर व्यक्ति बिंदु $D(500, 800 + 400) = D(500, 1200)$ पर पहुँचता है।
$A(0, 0)$ से $D(500, 1200)$ के बीच की सीधी दूरी,दूरी सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$d = \sqrt{(500 - 0)^2 + (1200 - 0)^2} = \sqrt{500^2 + 1200^2}$.
$d = \sqrt{250000 + 1440000} = \sqrt{1690000}$.
$d = 1300 \, m$.

(A) मान लीजिए कि हवाई अड्डा मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$t = 1.5 \, \text{घंटे}$ के बाद,उत्तर की ओर जाने वाले पहले विमान द्वारा तय की गई दूरी $d_1 = 800 \times 1.5 = 1200 \, km$ है।
पूर्व की ओर जाने वाले दूसरे विमान द्वारा तय की गई दूरी $d_2 = 840 \times 1.5 = 1260 \, km$ है।
चूंकि उत्तर और पूर्व दिशाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए दोनों विमानों के बीच की दूरी एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का निर्माण करती है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दूरी $D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$ है।
$D = \sqrt{1200^2 + 1260^2} = \sqrt{1440000 + 1587600} = \sqrt{3027600}$.
$D = 1740 \, km$.

(N/A) मान लीजिए कि आयत $ABCD$ कार्तीय तल में स्थित है। मान लीजिए $A = (0, b)$,$B = (a, b)$,$C = (a, 0)$,और $D = (0, 0)$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,दूरियों के वर्ग इस प्रकार हैं:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
अब,योग की गणना करते हैं:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
चूंकि दोनों योग समान हैं,इसलिए $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ सिद्ध होता है।

(B) आयत $ABCD$ में,सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ के होते हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ (या $\triangle ABD$) पर विचार करें।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$\triangle BCD$ में,$BD^2 = BC^2 + CD^2$ होता है।
चूंकि $ABCD$ एक आयत है,इसलिए $CD = AB = 9$ होगा।
मान रखने पर,$BD^2 = 12^2 + 9^2$।
$BD^2 = 144 + 81 = 225$।
वर्गमूल लेने पर,$BD = \sqrt{225} = 15$।

(D) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण $d$ का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि विकर्ण $d = 5 \sqrt{2}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $5$ है।

(B) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है।
यहाँ विकर्ण $d = 8 \sqrt{2}$ दिया गया है।
अतः,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें भुजा की लंबाई $a = 8$ प्राप्त होती है।
वर्ग का परिमाप $P = 4 \times a$ के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $P = 4 \times 8 = 32$ प्राप्त होता है।