Distance Formula Questions in Hindi

(N/A) माना कि $A(0, -3), B(1, -1)$ और $C(2, 1)$ दिए गए बिंदु हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
चूँकि $AB + BC = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = AC$,दो रेखाखंडों की लंबाइयों का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर है।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
यहाँ,$A = (2, 4)$,$B = (-3, b)$,और $AB = \sqrt{26}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$AB^2 = 26$ प्राप्त होता है।
निर्देशांकों का मान रखने पर: $(2 - (-3))^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$(2 + 3)^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$5^2 + (16 - 8b + b^2) = 26$.
$25 + 16 - 8b + b^2 = 26$.
$b^2 - 8b + 41 = 26$.
$b^2 - 8b + 15 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(b - 5)(b - 3) = 0$.
अतः,$b = 5$ या $b = 3$ प्राप्त होता है।

(A-D) माना शीर्ष $A(1, 7), B(2, 4)$ और $C(k, 5)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (1-2)^2 + (7-4)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
$BC^2 = (2-k)^2 + (4-5)^2 = 4 - 4k + k^2 + 1 = k^2 - 4k + 5$
$AC^2 = (1-k)^2 + (7-5)^2 = 1 - 2k + k^2 + 4 = k^2 - 2k + 5$
समकोण त्रिभुज के लिए,कोई एक कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए:
स्थिति $1$: $\angle A = 90^{\circ}$. तब $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$k^2 - 4k + 5 = 10 + k^2 - 2k + 5$
$-2k = 10 \implies k = -5$
स्थिति $2$: $\angle B = 90^{\circ}$. तब $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$k^2 - 2k + 5 = 10 + k^2 - 4k + 5$
$2k = 10 \implies k = 5$
स्थिति $3$: $\angle C = 90^{\circ}$. तब $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$10 = (k^2 - 4k + 5) + (k^2 - 2k + 5)$
$10 = 2k^2 - 6k + 10$
$2k^2 - 6k = 0 \implies 2k(k - 3) = 0$
$k = 0$ या $k = 3$
अतः,$k$ के संभावित मान $-5, 5, 0, 3$ हैं।

(N/A) माना शीर्ष $A(0,6), B(-5,3)$ और $C(3,1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ का उपयोग करने पर:
$AB^2 = (-5 - 0)^2 + (3 - 6)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$
$BC^2 = (3 - (-5))^2 + (1 - 3)^2 = (8)^2 + (-2)^2 = 64 + 4 = 68$
$AC^2 = (3 - 0)^2 + (1 - 6)^2 = (3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$
चूंकि $AB^2 + AC^2 = 34 + 34 = 68 = BC^2$,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle BAC = 90^\circ$ है।
साथ ही,चूंकि $AB^2 = AC^2 = 34$,इसलिए $AB = AC$ है।
अतः,दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(A) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0)$,$B(3, \sqrt{3})$ और $C(x, y)$ हैं।
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है,$AB = BC = AC$,जिसका अर्थ है $AB^2 = BC^2 = AC^2$।
सबसे पहले,$AB^2 = (3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 = 9 + 3 = 12$ की गणना करें।
चूंकि $AC^2 = AB^2$,हमारे पास $x^2 + y^2 = 12$ (समीकरण $1$) है।
चूंकि $BC^2 = AB^2$,हमारे पास $(x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 12$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12$।
इस समीकरण में $x^2 + y^2 = 12$ रखने पर: $12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12$,जो सरल होकर $6x + 2\sqrt{3}y = 12$ या $y = \sqrt{3}(2-x)$ (समीकरण $2$) बन जाता है।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $x^2 + [\sqrt{3}(2-x)]^2 = 12$।
$x^2 + 3(4 - 4x + x^2) = 12$।
$x^2 + 12 - 12x + 3x^2 = 12$।
$4x^2 - 12x = 0$,इसलिए $4x(x-3) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x = 3$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$ है,तो $y = \sqrt{3}(2-0) = 2\sqrt{3}$।
यदि $x = 3$ है,तो $y = \sqrt{3}(2-3) = -\sqrt{3}$।
अतः,तीसरा शीर्ष $(0, 2\sqrt{3})$ या $(3, -\sqrt{3})$ है।

(N/A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ है।
सबसे पहले,$SP$ की गणना करें:
$SP = \sqrt{(a - at^2)^2 + (0 - 2at)^2} = \sqrt{a^2(1-t^2)^2 + 4a^2t^2} = |a|\sqrt{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2} = |a|\sqrt{(1+t^2)^2} = |a|(1+t^2)$.
इसके बाद,$SQ$ की गणना करें:
$SQ = \sqrt{(a - \frac{a}{t^2})^2 + (0 - (-\frac{2a}{t}))^2} = \sqrt{a^2(1 - \frac{1}{t^2})^2 + \frac{4a^2}{t^2}} = |a|\sqrt{1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4} + \frac{4}{t^2}} = |a|\sqrt{1 + \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4}} = |a|\sqrt{(1 + \frac{1}{t^2})^2} = |a|(1 + \frac{1}{t^2}) = |a|(\frac{t^2+1}{t^2})$.
अब,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान ज्ञात करें:
$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{1}{|a|(\frac{t^2+1}{t^2})} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1}{|a|}$.
चूंकि परिणाम $\frac{1}{|a|}$ में $t$ शामिल नहीं है,इसलिए $\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ का मान $t$ से स्वतंत्र है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि बिंदु $A(-1, 4)$,$B(2, 3)$ और $C(5, 2)$ संरेख हैं,हमें यह दिखाना होगा कि दो रेखाखंडों की लंबाई का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर है।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $AB$ की दूरी ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ की दूरी ज्ञात करें:
$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ की दूरी ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$4$. चूंकि $AB + BC = \sqrt{10} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} = AC$,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं और अतः वे संरेख हैं।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $P(7, 5)$,$A(2, 4)$ और $B(6, 10)$ से समदूरस्थ है,हमें यह दिखाना होगा कि दूरी $PA$,दूरी $PB$ के बराबर है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$1$. दूरी $PA = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$2$. दूरी $PB = \sqrt{(7 - 6)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
चूंकि $PA = PB = \sqrt{26}$ है,इसलिए बिंदु $P(7, 5)$,बिंदुओं $A(2, 4)$ और $B(6, 10)$ से समदूरस्थ है।

(A) मान लीजिए $X$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
बिंदु $P(x, 0)$ और $A(11, 12)$ के बीच की दूरी $13$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x - 11)^2 + (0 - 12)^2} = 13$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 11)^2 + (-12)^2 = 13^2$.
$(x - 11)^2 + 144 = 169$.
$(x - 11)^2 = 169 - 144 = 25$.
वर्गमूल लेने पर: $x - 11 = \pm 5$.
स्थिति $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
स्थिति $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(16, 0)$ और $(6, 0)$ हैं।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $A(a, 2)$ और $B(3, -5)$ हैं और दूरी $d = \sqrt{53}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\sqrt{(3 - a)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{53}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3 - a)^2 + (-7)^2 = 53$
$(3 - a)^2 + 49 = 53$
$(3 - a)^2 = 53 - 49$
$(3 - a)^2 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$3 - a = 2$ या $3 - a = -2$
यदि $3 - a = 2$ है,तो $a = 1$ है।
यदि $3 - a = -2$ है,तो $a = 5$ है।
अतः,$a$ के संभावित मान $1$ और $5$ हैं।

(N/A) माना कि दिए गए बिंदु $A(1, 1)$,$B(4, 4)$ और $C(6, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$1$. $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.
$2$. $BC$ की लंबाई $= \sqrt{(6 - 4)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
$3$. $AC$ की लंबाई $= \sqrt{(6 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
अब,पाइथागोरस प्रमेय $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ की जाँच करें:
$AB^2 = 18$,$BC^2 = 8$,और $AC^2 = 26$.
चूँकि $18 + 8 = 26$,इसलिए $AB^2 + BC^2 = AC^2$ है।
अतः,यह त्रिभुज शीर्ष $B$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $A(1, 7)$,$B(2, 4)$ और $C(5, 5)$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाते हैं,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $AB$ की लंबाई: $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ की लंबाई: $BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ की लंबाई: $AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
चूंकि $AB = BC = \sqrt{10}$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
अब,पाइथागोरस प्रमेय $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करें:
$AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20$.
$AC^2 = 20$.
चूंकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$A, B$ और $C$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि बिंदु $A(0,0), B(7,0), C(7,5)$ और $D(0,5)$ एक आयत बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण बराबर हैं।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(7-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{49} = 7$
$BC = \sqrt{(7-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{49} = 7$
$DA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $AB = CD = 7$ और $BC = DA = 5$,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
$2$. विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(7-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
$BD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक आयत है।

(N/A) माना कि शीर्ष $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,$C(-3, 2)$ और $D(-4, -3)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,हमें यह दिखाना होगा कि चारों भुजाएँ समान लंबाई की हैं,लेकिन विकर्ण समान नहीं हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$BC = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
चूंकि $AB = BC = CD = DA = \sqrt{26}$,सभी भुजाएँ समान हैं।
अब,विकर्णों $AC$ और $BD$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB=BC=CD=DA)$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(AC \neq BD)$,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(A) माना कि दिए गए बिंदु $A(2, 2)$,$B(-2, 2)$,$C(-2, -2)$ और $D(2, -2)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि ये बिंदु एक वर्ग बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$DA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
चूंकि $AB = BC = CD = DA = 4$,इसलिए सभी भुजाएँ बराबर हैं।
$2$. विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
$BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
चूंकि भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C, D$ एक वर्ग बनाते हैं।

(A) माना कि शीर्ष $A(1, -3/2)$,$B(-3, -7/2)$ और $C(-4, -3/2)$ हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है,हम दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करते हैं।
$AB^2 = (-3 - 1)^2 + (-7/2 - (-3/2))^2 = (-4)^2 + (-4/2)^2 = 16 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
$BC^2 = (-4 - (-3))^2 + (-3/2 - (-7/2))^2 = (-1)^2 + (4/2)^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$AC^2 = (-4 - 1)^2 + (-3/2 - (-3/2))^2 = (-5)^2 + (0)^2 = 25 + 0 = 25$.
चूँकि $AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25$ है,जो $AC^2$ के बराबर है,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,दिए गए बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

(N/A) दिया गया है कि बिंदु $P(x, y)$ बिंदुओं $A(a+b, b-a)$ और $B(a-b, a+b)$ से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PA^2 = PB^2.$
दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ का उपयोग करने पर,
$(x - (a+b))^2 + (y - (b-a))^2 = (x - (a-b))^2 + (y - (a+b))^2.$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2 + y^2 - 2y(b-a) + (b-a)^2 = x^2 - 2x(a-b) + (a-b)^2 + y^2 - 2y(a+b) + (a+b)^2.$
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, (a+b)^2$ को हटाने पर:
$-2x(a+b) - 2y(b-a) + (b-a)^2 = -2x(a-b) - 2y(a+b) + (a-b)^2.$
चूंकि $(b-a)^2 = (a-b)^2,$ ये पद भी कट जाएंगे:
$-2ax - 2bx - 2by + 2ay = -2ax + 2bx - 2ay - 2by.$
दोनों पक्षों से $-2ax$ और $-2by$ को हटाने पर:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay.$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2ay + 2ay = 2bx + 2bx.$
$4ay = 4bx.$
$4$ से भाग देने पर,हमें $bx = ay$ प्राप्त होता है।

(C) माना $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(0, y)$ है।
दिए गए बिंदु $A(-5, -2)$ और $B(3, 2)$ हैं।
चूँकि $P$,$A$ और $B$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(0 - (-5))^2 + (y - (-2))^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2$
$5^2 + (y + 2)^2 = (-3)^2 + (y - 2)^2$
$25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2 - 4y + 4$
$29 + 4y = 13 - 4y$
$8y = 13 - 29$
$8y = -16$
$y = -2$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, -2)$ है।

(N/A) माना शीर्ष $A(2a, 4a)$, $B(2a, 6a)$ और $C(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि त्रिभुज समबाहु है, हमें यह दिखाना होगा कि तीनों भुजाओं की लंबाई बराबर है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$3$. भुजा $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
चूंकि $AB = BC = AC = 2a$, इसलिए त्रिभुज $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(-1, 3)$,$B(1, -1)$ और $C(5, 1)$ हैं।
शीर्ष $A$ से गुजरने वाली माध्यिका $A$ को सम्मुख भुजा $BC$ के मध्य-बिंदु से जोड़ती है।
माना $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर: $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{0}{2} \right) = (3, 0)$.
माध्यिका $AM$ की लंबाई $A(-1, 3)$ और $M(3, 0)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$AM = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,माध्यिका की लंबाई $5$ है।

(P(2, -1)) माना $P(x, y)$ $\Delta ABC$ का परिकेंद्र है।
चूंकि $P$ परिकेंद्र है,इसलिए $P$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी समान होती है,अर्थात $PA = PB = PC$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2 = PC^2$।
$1$. $PA^2 = (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10$
$2$. $PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$3$. $PC^2 = (x - 6)^2 + (y - 2)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 - 12x - 4y + 40$
$PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$4x + 8y = 0 \implies x = -2y$ ... $(1)$
$PB^2 = PC^2$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 12x - 4y + 40$
$14x - 2y = 30 \implies 7x - y = 15$ ... $(2)$
$(1)$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$7(-2y) - y = 15$
$-14y - y = 15 \implies -15y = 15 \implies y = -1$
$(1)$ में $y = -1$ रखने पर:
$x = -2(-1) = 2$
अतः,परिकेंद्र $P(2, -1)$ है।

(C) माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है। परिकेंद्र शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर होता है। इसलिए,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ है।
दिया गया है $A(-1, 1)$,$B(0, -4)$ और $C(-1, -5)$।
$OA^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2$।
$OB^2 = (x - 0)^2 + (y + 4)^2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$।
$OC^2 = (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 = x^2 + y^2 + 2x + 10y + 26$।
$OA^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 2x + 10y + 26$
$-2y + 2 = 10y + 26$
$-12y = 24 \implies y = -2$।
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$
$2x - 2y + 2 = 8y + 16$
$2x - 10y = 14$।
$y = -2$ का मान रखने पर:
$2x - 10(-2) = 14$
$2x + 20 = 14$
$2x = -6 \implies x = -3$।
अतः,परिकेंद्र $(-3, -2)$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(a, -1)$,$B(6, -9)$ और $C(10, b)$ हैं। परिकेंद्र $O(6, -5)$ है।
चूँकि परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $OA = OB = OC$ होगा।
सबसे पहले,$OB^2 = (6 - 6)^2 + (-5 - (-9))^2 = 0^2 + 4^2 = 16$ की गणना करें।
चूँकि $OA^2 = OB^2$,हमारे पास $(a - 6)^2 + (-1 - (-5))^2 = 16$ है।
$(a - 6)^2 + 4^2 = 16 \implies (a - 6)^2 + 16 = 16 \implies (a - 6)^2 = 0 \implies a = 6$।
इसी प्रकार,चूँकि $OC^2 = OB^2$,हमारे पास $(10 - 6)^2 + (b - (-5))^2 = 16$ है।
$4^2 + (b + 5)^2 = 16 \implies 16 + (b + 5)^2 = 16 \implies (b + 5)^2 = 0 \implies b = -5$।
अतः,$a = 6$ और $b = -5$ प्राप्त होता है।

(D) परिकेंद्र $P(2, 3)$ त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। इसलिए, $PA = PB = PC$ होगा।
सबसे पहले, $PB$ की दूरी ज्ञात करें:
$PB^2 = (5 - 2)^2 + (1 - 3)^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.
चूंकि $PA^2 = PB^2$, इसलिए:
$(a - 2)^2 + (6 - 3)^2 = 13$
$(a - 2)^2 + 3^2 = 13$
$(a - 2)^2 + 9 = 13$
$(a - 2)^2 = 4$
$a - 2 = \pm 2$
इससे $a$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $a = 2 + 2 = 4$ या $a = 2 - 2 = 0$.
यदि $a = 4$ है, तो $A$ के निर्देशांक $(4, 6)$ होंगे, जो $C(4, 6)$ के निर्देशांक के समान हैं। यदि $A$ और $C$ संपाती हो जाते हैं, तो त्रिभुज का निर्माण नहीं हो सकता।
अतः, $a$ का सही मान $0$ है।

(C) माना $X-$अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
$P(x, 0)$ और $A(4, 4)$ के बीच की दूरी $5$ इकाई दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = d$
$\sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 4)^2} = 5$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 4)^2 + (-4)^2 = 5^2$
$(x - 4)^2 + 16 = 25$
$(x - 4)^2 = 9$
वर्गमूल लेने पर: $x - 4 = \pm 3$
स्थिति $1$: $x - 4 = 3 \implies x = 7$
स्थिति $2$: $x - 4 = -3 \implies x = 1$
अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $(1, 0)$ और $(7, 0)$ हैं।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि बिंदु $A(1, 4)$,$B(7, -2)$ और $C(9, 6)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करेंगे।
$1$. $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ इकाई।
$2$. $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(9 - 7)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ इकाई।
$3$. $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ इकाई।
चूंकि $BC = AC$ है,इसलिए त्रिभुज की दो भुजाएं समान लंबाई की हैं। अतः,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) माना बिंदु $A(4, 3)$,$B(5, 1)$ और $C(1, 9)$ हैं।
तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि किन्हीं दो रेखाखंडों की लंबाइयों का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के बराबर हो।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$1$. दूरी $AB = \sqrt{(5 - 4)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
$2$. दूरी $BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$3$. दूरी $AC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
चूंकि $AB + AC = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = BC$,अतः बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।

(N/A) माना कि दिए गए बिंदु $A(-2, 1)$,$B(2, -2)$ और $C(5, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2 = (4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
$BC^2 = (5 - 2)^2 + (2 - (-2))^2 = (3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$.
$AC^2 = (5 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 = (7)^2 + (1)^2 = 49 + 1 = 50$.
हम देखते हैं कि $AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2$.
चूंकि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष $B$ पर स्थित है।

(C) माना कि $X$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
चूंकि $P$,$A(5, 4)$ और $B(-2, 3)$ से समदूरस्थ है,इसलिए $PA = PB$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(x - 5)^2 + (0 - 4)^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2$
$(x - 5)^2 + 16 = (x + 2)^2 + 9$
$x^2 - 10x + 25 + 16 = x^2 + 4x + 4 + 9$
$-10x + 41 = 4x + 13$
$41 - 13 = 4x + 10x$
$28 = 14x$
$x = 2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 0)$ है।

(A) माना कि $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(0, y)$ है।
चूंकि $P$, $A(3, 1)$ और $B(-2, 5)$ से समदूरस्थ है, इसलिए $PA = PB$ होगा, जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(3 - 0)^2 + (1 - y)^2 = (-2 - 0)^2 + (5 - y)^2$।
$9 + (1 - 2y + y^2) = 4 + (25 - 10y + y^2)$।
$10 - 2y + y^2 = 29 - 10y + y^2$।
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर: $10 - 2y = 29 - 10y$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $10y - 2y = 29 - 10$।
$8y = 19$।
$y = \frac{19}{8}$।
अभीष्ट बिंदु $(0, \frac{19}{8})$ है।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(10, -18), B(3, 6)$ और $C(-5, 2)$ हैं।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या त्रिभुज समद्विबाहु है,हम दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(3 - 10)^2 + (6 - (-18))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ इकाई।
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ इकाई।
$3$. भुजा $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(-5 - 10)^2 + (2 - (-18))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ इकाई।
चूंकि भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई समान है ($AB = AC = 25$ इकाई),इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(4,6), B(5,1)$ और $C(4,0)$ हैं। माना परिकेंद्र $P(x,y)$ है।
चूंकि परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $PA^2 = PB^2 = PC^2$ होगा।
सबसे पहले,$PA^2 = PC^2$ को बराबर करने पर:
$(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-4)^2 + (y-0)^2$
$(y-6)^2 = y^2$
$y^2 - 12y + 36 = y^2$
$12y = 36 \implies y = 3$.
अब,$y=3$ रखकर $PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर:
$(x-4)^2 + (3-6)^2 = (x-5)^2 + (3-1)^2$
$(x-4)^2 + (-3)^2 = (x-5)^2 + (2)^2$
$x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 4$
$-8x + 25 = -10x + 29$
$2x = 4 \implies x = 2$.
अतः,परिकेंद्र $(2,3)$ है।

(N/A) माना शीर्ष $A(7,3)$,$B(3,0)$,$C(0,-4)$ और $D(4,-1)$ हैं।
यह दर्शाने के लिए कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,हमें यह सिद्ध करना होगा कि चारों भुजाएँ समान लंबाई की हैं $(AB = BC = CD = DA)$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(AC \neq BD)$।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(3 - 7)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$CD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$DA = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
चूँकि $AB = BC = CD = DA = 5$,सभी भुजाएँ समान हैं।
अब,विकर्णों की गणना करते हैं:
$AC = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
चूँकि $AC \neq BD$,विकर्ण समान नहीं हैं।
अतः,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(N/A) दिए गए निर्देशांक $A(b, c)$,$B(-a, 0)$ और $C(a, 0)$ हैं।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ के निर्देशांक $(\frac{-a+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0)$ होंगे।
अब,लंबाइयों के वर्गों की गणना करते हैं:
$AB^2 = (b - (-a))^2 + (c - 0)^2 = (b+a)^2 + c^2 = b^2 + 2ab + a^2 + c^2$.
$AC^2 = (b - a)^2 + (c - 0)^2 = b^2 - 2ab + a^2 + c^2$.
दोनों को जोड़ने पर: $AB^2 + AC^2 = (b^2 + 2ab + a^2 + c^2) + (b^2 - 2ab + a^2 + c^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2)$.
अब दाईं ओर की गणना करते हैं:
$AD^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$.
$BD^2 = (-a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
अतः,$2(AD^2 + BD^2) = 2(b^2 + c^2 + a^2)$.
चूंकि दोनों पक्ष $2(a^2 + b^2 + c^2)$ के बराबर हैं,इसलिए सर्वसमिका सिद्ध होती है।

(C) माना कि तीसरा शीर्ष $C(x, y)$ है। चूंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = BC = AC$ होगा।
दूरी $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ है।
चूंकि $AB = BC = AC = 2$,हमारे पास है:
$x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ ---$(1)$
$(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$ ---$(2)$
$(2)$ का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 4$ को समीकरण में रखने पर: $4 - 2x + 1 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$,जो सरल होकर $2x + 2\sqrt{3}y = 4$ या $x + \sqrt{3}y = 2$ हो जाता है।
अतः,$x = 2 - \sqrt{3}y$ है।
इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2 - \sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$4 - 4\sqrt{3}y + 3y^2 + y^2 = 4$,इसलिए $4y^2 - 4\sqrt{3}y = 0$ है।
$4y(y - \sqrt{3}) = 0$,जिससे $y = 0$ या $y = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $y = 0$ है,तो $x = 2 - 0 = 2$ है। यदि $y = \sqrt{3}$ है,तो $x = 2 - \sqrt{3}(\sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$ है।
इसलिए,तीसरा शीर्ष $C$,$(2, 0)$ या $(-1, \sqrt{3})$ हो सकता है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दिए गए बिंदु $(6, 8)$ और $(3, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 6, y_1 = 8$ और $x_2 = 3, y_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 8)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
अतः,बिंदुओं के बीच की दूरी $5$ है।

(A) दो बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ $P(4, -7)$ और $Q(-1, 5)$ दिए गए हैं,इसलिए $x_1 = 4, y_1 = -7, x_2 = -1, y_2 = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$PQ = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (5 - (-7))^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (5 + 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$
अतः,दूरी $PQ$ का मान $13$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(2, -3)$ और $(5, b)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(5 - 2)^2 + (b - (-3))^2}$
$5 = \sqrt{(3)^2 + (b + 3)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 9 + (b + 3)^2$
$16 = (b + 3)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$b + 3 = \pm 4$
स्थिति $1$: $b + 3 = 4 \implies b = 1$
स्थिति $2$: $b + 3 = -4 \implies b = -7$
चूंकि विकल्पों में $1$ दिया गया है,इसलिए सही मान $b = 1$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(a, 1)$ और $(8, a)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(8 - a)^2 + (a - 1)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = (8 - a)^2 + (a - 1)^2$
$25 = (64 - 16a + a^2) + (a^2 - 2a + 1)$
$25 = 2a^2 - 18a + 65$
$2a^2 - 18a + 40 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$a^2 - 9a + 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(a - 4)(a - 5) = 0$
अतः,$a = 4$ या $a = 5$ है।
चूंकि $5$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए सही उत्तर $5$ है।

(C) त्रिभुज $\Delta PQR$ का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके इसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $PQ$ की लंबाई: $PQ = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5 \text{ इकाई}$.
$2$. $QR$ की लंबाई: $QR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \text{ इकाई}$.
$3$. $PR$ की लंबाई: $PR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \text{ इकाई}$.
यहाँ शीर्ष $P(0,0), Q(0,5)$ और $R(6,0)$ अक्षों पर स्थित हैं,इसलिए मूल बिंदु $P(0,0)$ पर बना कोण $90^\circ$ है क्योंकि $y$-अक्ष $(PQ)$,$x$-अक्ष $(PR)$ पर लंबवत है।
चूंकि एक कोण $90^\circ$ है,इसलिए $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

(A) यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु $A(-1, 4), B(2, 3)$ और $C(8, 1)$ संरेख हैं,हम रेखाखंड $AB$ और $BC$ की ढाल (slope) ज्ञात करते हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{8 - 2} = \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}$.
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,हम बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$BC = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$AC = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
चूंकि $AB + BC = \sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 3\sqrt{10} = AC$,इसलिए बिंदु $B, A$ और $C$ के बीच स्थित है।
अतः,बिंदुओं का क्रम $A-B-C$ है।

(B) वृत्त का व्यास बिंदुओं $(2, 4)$ और $(2, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
व्यास $= \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
त्रिज्या $r$, व्यास की आधी होती है।
$r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः, वृत्त की त्रिज्या $1$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(5, 0)$ और $(x, 4)$ हैं और दूरी $d = \sqrt{17}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{17} = \sqrt{(x - 5)^2 + (4 - 0)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $17 = (x - 5)^2 + 4^2$.
$17 = (x - 5)^2 + 16$.
$(x - 5)^2 = 17 - 16 = 1$.
वर्गमूल लेने पर: $x - 5 = \pm 1$.
स्थिति $1$: $x - 5 = 1 \implies x = 6$.
स्थिति $2$: $x - 5 = -1 \implies x = 4$.
अतः,$x = 4, 6$.

(C) किसी बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ के रूप में दिए जाते हैं।
यहाँ,बिंदु $(6, 2)$ है,जहाँ $x = 6$ और $y = 2$ है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $X-$ अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y-$ निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,जो $|y|$ है।
अतः,बिंदु $(6, 2)$ की $X-$ अक्ष से लंबवत दूरी $|2| = 2$ इकाई है।

(D) दिए गए बिंदु के निर्देशांक $(x, y) = (-3, 8)$ हैं।
कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,किसी भी बिंदु $(x, y)$ की $Y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,अर्थात $|x|$।
यहाँ,$x$-निर्देशांक $-3$ है।
इसलिए,$Y$-अक्ष से लंबवत दूरी $|-3| = 3$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, 12)$ हैं और बिंदु $C$ के निर्देशांक $(5, 0)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $BC$ की दूरी की गणना करते हैं:
$BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 12)^2}$
$BC = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2}$
$BC = \sqrt{25 + 144}$
$BC = \sqrt{169}$
$BC = 13$
अतः,$BC$ की दूरी $13$ इकाई है।

(D) माना कि शीर्ष $A(1, 1)$, $B(-1, -1)$ और $C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-\sqrt{3} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - (-1))^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि $AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$, इसलिए तीनों भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0)$,$B(4.2,0)$ और $C(0,9.1)$ हैं।
चूँकि शीर्ष $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर स्थित है,भुजा $AB$ $x$-अक्ष पर और भुजा $AC$ $y$-अक्ष पर स्थित है।
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^\circ$ होता है।
इसलिए,कोण $\angle BAC = 90^\circ$ है।
चूँकि त्रिभुज का एक कोण $90^\circ$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

(B) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ है।
दिए गए बिंदु $P(x_{1}, 0)$ और $Q(x_{2}, 0)$ हैं।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (0-0)^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2}$
चूंकि दूरी हमेशा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,इसलिए हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं:
$PQ = |x_{2}-x_{1}| = |x_{1}-x_{2}|$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $A(0, y_{1})$ और $B(0, y_{2})$ के लिए,हम इन निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{0^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2}}$
चूंकि दूरी हमेशा धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं:
$AB = |y_{2} - y_{1}|$ या $|y_{1} - y_{2}|$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।