Section Formula Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि $P(x, y)$ वह वांछित बिंदु है जो $A(4, -3)$ और $B(8, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n = 3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = \frac{24 + 4}{4} = \frac{28}{4} = 7$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
अतः,वांछित बिंदु $(7, 3)$ है।

(A) माना बिंदु $P(-4, 6)$,$A(-6, 10)$ और $B(3, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m_{1}: m_{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{m_{1}x_{2} + m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2} + m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
मान रखने पर:
$(-4, 6) = \left( \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{-8m_{1} + 10m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$-4 = \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
$-4(m_{1} + m_{2}) = 3m_{1} - 6m_{2}$
$-4m_{1} - 4m_{2} = 3m_{1} - 6m_{2}$
$2m_{2} = 7m_{1}$
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{2}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2: 7$ है।

(N/A) माना $P$ और $Q$ रेखाखंड $AB$ के समत्रिभाजन बिंदु हैं,इस प्रकार कि $AP = PQ = QB$ है।
बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{1(-7) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(4) + 2(-2)}{1 + 2}\right) = \left(\frac{-7 + 4}{3}, \frac{4 - 4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right) = (-1, 0)$.
बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक हैं:
$Q = \left(\frac{2(-7) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-2)}{2 + 1}\right) = \left(\frac{-14 + 2}{3}, \frac{8 - 2}{3}\right) = \left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (-4, 2)$.
अतः,रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदुओं के निर्देशांक $(-1, 0)$ और $(-4, 2)$ हैं।

(A) माना कि $y$-अक्ष रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1) = (5, -6)$ और $(x_2, y_2) = (-1, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$\left( \frac{k(-1) + 5}{k+1}, \frac{k(-4) + (-6)}{k+1} \right) = \left( \frac{-k+5}{k+1}, \frac{-4k-6}{k+1} \right)$.
चूंकि यह बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{-k+5}{k+1} = 0$,जिसका अर्थ है $-k+5 = 0$,यानी $k = 5$.
इस प्रकार,अनुपात $5:1$ है।
अब,$k=5$ का मान $y$-निर्देशांक में रखने पर:
$y = \frac{-4(5) - 6}{5+1} = \frac{-20-6}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -13/3)$ है।

(D) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
एक रेखाखंड जिसके अंत बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं,उसके मध्य-बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ होते हैं।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$15 = 8 + p$.
अतः,$p = 15 - 8 = 7$.

(A) माना $P(x, y)$ वह अभीष्ट बिंदु है जो $A(-1, 7)$ और $B(4, -3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n = 2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2 + 3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{2(-3) + 3(7)}{2 + 3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(1, 3)$ हैं।

(A) माना $A = (4, -1)$ और $B = (-2, -3)$ है। माना $P$ और $Q$ समत्रिभाजन बिंदु हैं ताकि $AP = PQ = QB$ हो।
बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ का उपयोग करने पर:
$x_1 = \frac{1(-2) + 2(4)}{1+2} = \frac{-2+8}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y_1 = \frac{1(-3) + 2(-1)}{1+2} = \frac{-3-2}{3} = -\frac{5}{3}$
अतः,$P = (2, -5/3)$।
बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x_2 = \frac{2(-2) + 1(4)}{2+1} = \frac{-4+4}{3} = 0$
$y_2 = \frac{2(-3) + 1(-1)}{2+1} = \frac{-6-1}{3} = -\frac{7}{3}$
अतः,$Q = (0, -7/3)$।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A(-3, 10)$ और $B(6, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P(-1, 6)$ द्वारा $k : 1$ के अनुपात में विभाजित किया जाता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
यहाँ,$m = k$,$n = 1$,$(x_1, y_1) = (-3, 10)$,और $(x_2, y_2) = (6, -8)$ है।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$-1 = \frac{k(6) + 1(-3)}{k + 1}$
$-1(k + 1) = 6k - 3$
$-k - 1 = 6k - 3$
$-k - 6k = -3 + 1$
$-7k = -2$
$k = \frac{2}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 7$ है।

(A) माना कि $A(1, -5)$ और $B(-4, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $x$-अक्ष $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{-4k + 1}{k + 1}, \frac{5k - 5}{k + 1}\right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{5k - 5}{k + 1} = 0$.
इससे $5k - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 1$.
अतः,अनुपात $1: 1$ है।
$x$-निर्देशांक में $k = 1$ रखने पर: $\frac{-4(1) + 1}{1 + 1} = \frac{-3}{2}$.
अतः,विभाजन बिंदु $\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$ है।

(N/A) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(1, 2), B(4, y), C(x, 6)$ और $D(3, 5)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को एक ही बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$O$ दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है।
विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{x+1}{2}, 4\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
विकर्ण $BD$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि ये दोनों एक ही बिंदु $O$ को दर्शाते हैं,इसलिए हम उनके निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{x+1}{2} = \frac{7}{2} \implies x+1 = 7 \implies x = 6.$
$4 = \frac{y+5}{2} \implies 8 = y+5 \implies y = 3.$
अतः,$x = 6$ और $y = 3$ है।

(A) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूँकि $AB$ वृत्त का व्यास है,वृत्त का केंद्र व्यास $AB$ का मध्य-बिंदु होता है।
दिया गया है कि केंद्र $(2, -3)$ है और बिंदु $B$ का मान $(1, 4)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)$ हैं।
इसे दिए गए केंद्र $(2, -3)$ के बराबर रखने पर,
$\frac{x+1}{2} = 2 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3.$
$\frac{y+4}{2} = -3 \Rightarrow y+4 = -6 \Rightarrow y = -10.$
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3, -10)$ हैं।

(N/A) बिंदु $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(-2, -2)$ और $(2, -4)$ हैं।
चूंकि $AP = \frac{3}{7} AB$,इसका तात्पर्य है कि $AP : AB = 3 : 7$ है।
इसलिए,$AP : PB = 3 : (7 - 3) = 3 : 4$ है।
बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $m : n = 3 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
$P = \left( \frac{3(2) + 4(-2)}{3 + 4}, \frac{3(-4) + 4(-2)}{3 + 4} \right)$
$P = \left( \frac{6 - 8}{7}, \frac{-12 - 8}{7} \right)$
$P = \left( -\frac{2}{7}, -\frac{20}{7} \right)$

(N/A) मान लीजिए कि रेखाखंड $AB$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदु $X, Y, Z$ हैं। ये बिंदु रेखाखंड को क्रमशः $1:3, 1:1, 3:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
$X$ के निर्देशांक $= \left(\frac{1 \times 2 + 3 \times (-2)}{1 + 3}, \frac{1 \times 8 + 3 \times 2}{1 + 3}\right) = \left(\frac{2 - 6}{4}, \frac{8 + 6}{4}\right) = \left(-1, \frac{14}{4}\right) = \left(-1, 3.5\right)$.
$Y$ के निर्देशांक ($AB$ का मध्य-बिंदु) $= \left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = \left(0, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$.
$Z$ के निर्देशांक $= \left(\frac{3 \times 2 + 1 \times (-2)}{3 + 1}, \frac{3 \times 8 + 1 \times 2}{3 + 1}\right) = \left(\frac{6 - 2}{4}, \frac{24 + 2}{4}\right) = \left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right) = (1, 6.5)$.

(B) चूंकि दिए गए बिंदु $A(2, 3)$,$B(4, k)$ और $C(6, -3)$ संरेख हैं,इसलिए इन बिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होना चाहिए।
$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$
दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |2(k - (-3)) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2(k + 3) + 4(-6) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2k + 6 - 24 + 18 - 6k| = 0$
$\frac{1}{2} |-4k| = 0$
$-2k = 0$
अतः,$k = 0$।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ है।
दिए गए बिंदु $A(-2, 8)$ और $B(-6, -4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{8 + (-4)}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-8}{2}, \frac{4}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= (-4, 2)$.

(D) यदि $P(x, y)$ बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m: n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,तो विभाजन सूत्र के अनुसार:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$ और $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
यहाँ $x_1 = 7, y_1 = -6, x_2 = 3, y_2 = 4, m = 1$ और $n = 2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{1(3) + 2(7)}{1 + 2} = \frac{3 + 14}{3} = \frac{17}{3}$
$y = \frac{1(4) + 2(-6)}{1 + 2} = \frac{4 - 12}{3} = -\frac{8}{3}$
अतः,बिंदु $(\frac{17}{3}, -\frac{8}{3})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह बिंदु $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(D) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ होता है।
दिए गए बिंदु $Q(-6, 5)$ और $R(-2, 3)$ हैं।
$QR$ का मध्य-बिंदु $P$ ज्ञात करने पर:
$P = (\frac{-6 + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (\frac{-8}{2}, \frac{8}{2}) = (-4, 4)$.
हमें दिया गया है कि $P = (\frac{a}{3}, 4)$.
$P$ के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = -4$
$a = -4 \times 3$
$a = -12$.
अतः,$a$ का मान $-12$ है।

(D) माना कि $P$ के निर्देशांक $(0, y)$ और $Q$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
$P(0, y)$ और $Q(x, 0)$ का मध्य-बिंदु ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ है।
अतः,मध्य-बिंदु $M$ होगा $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$।
हमें दिया गया है कि $PQ$ का मध्य-बिंदु $(2, -5)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4$
$\frac{y}{2} = -5 \Rightarrow y = -10$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(0, -10)$ और $Q$ के निर्देशांक $(4, 0)$ हैं।

(A) सत्य।
मान लीजिए कि बिंदु $P(5, -3)$,बिंदुओं $A(7, -2)$ और $B(1, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,बिंदु $P$ के निर्देशांक होंगे:
$\left( \frac{k(1) + 1(7)}{k + 1}, \frac{k(-5) + 1(-2)}{k + 1} \right) = \left( \frac{k + 7}{k + 1}, \frac{-5k - 2}{k + 1} \right)$.
इन्हें $P(5, -3)$ के निर्देशांकों के साथ बराबर रखने पर:
$\frac{k + 7}{k + 1} = 5 \implies k + 7 = 5k + 5 \implies 2 = 4k \implies k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ के साथ $y$-निर्देशांक की जाँच करने पर:
$\frac{-5(1/2) - 2}{1/2 + 1} = \frac{-2.5 - 2}{1.5} = \frac{-4.5}{1.5} = -3$.
चूँकि अनुपात $1: 2$ है,बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को इस प्रकार विभाजित करता है कि यह समत्रिभाजन के दो बिंदुओं में से एक है (दूसरा बिंदु $2: 1$ के अनुपात में होगा)। अतः,कथन सत्य है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ होता है।
दिए गए बिंदु $A (3, 4)$ और $B (k, 6)$ हैं।
अतः,मध्य-बिंदु $P (x, y) = (\frac{3+k}{2}, \frac{4+6}{2}) = (\frac{3+k}{2}, 5).$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{3+k}{2}$ और $y = 5$ प्राप्त होता है।
हमें समीकरण $x+y-10=0$ दिया गया है।
समीकरण में $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3+k}{2} + 5 - 10 = 0$
$\frac{3+k}{2} - 5 = 0$
$\frac{3+k}{2} = 5$
$3+k = 10$
$k = 10 - 3$
$k = 7.$

(A) माना कि रेखा $2x + y - 4 = 0$,बिंदुओं $A(2, -2)$ और $B(3, 7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{3k + 2}{k + 1}, \frac{7k - 2}{k + 1}\right)$ होंगे।
चूंकि यह बिंदु रेखा $2x + y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left(\frac{3k + 2}{k + 1}\right) + \left(\frac{7k - 2}{k + 1}\right) - 4 = 0$
$(k + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(3k + 2) + (7k - 2) - 4(k + 1) = 0$
$6k + 4 + 7k - 2 - 4k - 4 = 0$
$9k - 2 = 0$
$9k = 2$
$k = \frac{2}{9}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:9$ है।

(N/A) त्रिभुज की माध्यिका $AD$ भुजा $BC$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
इसलिए,$D$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ अंत बिंदुओं वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$B = (6, 5)$ और $C = (1, 4)$ है।
$D$ के निर्देशांक = $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ या $(3.5, 4.5)$ हैं।

(N/A) $1$. सबसे पहले,भुजा $BC$ के मध्य-बिंदु $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि $B(6, 5)$ और $C(1, 4)$ दिए गए हैं,इसलिए $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ होंगे।
$2$. अब,हमें बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात करने हैं जो रेखाखंड $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,जहाँ $A(4, 2)$ और $D(\frac{7}{2}, \frac{9}{2})$ हैं।
$3$. विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$4$. मान रखने पर: $P = \left(\frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times \frac{9}{2} + 1 \times 2}{2+1}\right) = \left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) त्रिभुज की माध्यिका $BE$ भुजा $AC$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। इसलिए,$E$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है।
$E$ के निर्देशांक $= \left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right)$.
बिंदु $Q$ भुजा $BE$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$Q$ के निर्देशांक $= \left(\frac{2 \times \frac{5}{2} + 1 \times 6}{2+1}, \frac{2 \times 3 + 1 \times 5}{2+1}\right) = \left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.
त्रिभुज की माध्यिका $CF$ भुजा $AB$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। इसलिए,$F$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
$F$ के निर्देशांक $= \left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right) = \left(5, \frac{7}{2}\right)$.
बिंदु $R$ भुजा $CF$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$R$ के निर्देशांक $= \left(\frac{2 \times 5 + 1 \times 1}{2+1}, \frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}\right) = \left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) शीर्षों के निर्देशांक $A(4, 2)$,$B(6, 5)$,और $C(1, 4)$ हैं।
सबसे पहले,मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु $D$ ज्ञात करें: $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}) = (3.5, 4.5)$.
अब,बिंदु $P$ माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $P = (\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n})$ का उपयोग करते हुए:
$P = (\frac{2(3.5) + 1(4)}{2+1}, \frac{2(4.5) + 1(2)}{2+1}) = (\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
इसके बाद,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ सूत्र का उपयोग करके $\Delta ABC$ का केंद्रक $G$ ज्ञात करें:
$G = (\frac{4+6+1}{3}, \frac{2+5+4}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
अवलोकन: बिंदु $P$ त्रिभुज के केंद्रक $G$ के समान है।

(N/A) त्रिभुज जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ हों,उसके केंद्रक के निर्देशांक का सूत्र है:
केंद्रक $= \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $A(4, 2), B(6, 5),$ और $C(1, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 4, y_1 = 2, x_2 = 6, y_2 = 5, x_3 = 1, y_3 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
केंद्रक $= \left( \frac{4 + 6 + 1}{3}, \frac{2 + 5 + 4}{3} \right)$
$= \left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$
अतः,केंद्रक के निर्देशांक $\left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$ हैं।

(6:7) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda : 1$ है। बिंदुओं $A(-4, -6)$ और $B(-1, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु $M$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$\left( \frac{\lambda x_2 + 1 \cdot x_1}{\lambda + 1}, \frac{\lambda y_2 + 1 \cdot y_1}{\lambda + 1} \right)$
मान $x_1 = -4, x_2 = -1, y_1 = -6, y_2 = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{\lambda(-1) + 1(-4)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(7) + 1(-6)}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{-\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि रेखाखंड $x$-अक्ष द्वारा विभाजित होता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} = 0 \implies 7\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = \frac{6}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $6:7$ है।
अब,$\lambda = \frac{6}{7}$ को $x$-निर्देशांक के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{-\frac{6}{7} - 4}{\frac{6}{7} + 1} = \frac{-\frac{34}{7}}{\frac{13}{7}} = -\frac{34}{13}$
इसलिए,विभाजन बिंदु $\left( -\frac{34}{13}, 0 \right)$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $P \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{12}\right)$,$A \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ और $B(2, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left(\frac{k(2) + 1(\frac{1}{2})}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(\frac{3}{2})}{k+1}\right)$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{2k + \frac{1}{2}}{k+1}$
$3(k+1) = 4(2k + \frac{1}{2})$
$3k + 3 = 8k + 2$
$3 - 2 = 8k - 3k$
$1 = 5k$
$k = \frac{1}{5}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $\frac{1}{5}: 1$ है,जो कि $1: 5$ है।
$y$-निर्देशांक के साथ जाँच करने पर:
$y = \frac{-5(\frac{1}{5}) + \frac{3}{2}}{\frac{1}{5} + 1} = \frac{-1 + \frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$.
चूँकि यह दिए गए $y$-निर्देशांक से मेल खाता है,इसलिए अभीष्ट अनुपात $1: 5$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P(9a-2, -b)$,$A(3a+1, -3)$ और $B(8a, 5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m_1:m_2 = 3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2} \right)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$9a - 2 = \frac{3(8a) + 1(3a+1)}{3+1}$
$9a - 2 = \frac{24a + 3a + 1}{4}$
$4(9a - 2) = 27a + 1$
$36a - 8 = 27a + 1$
$36a - 27a = 1 + 8$
$9a = 9 \implies a = 1$
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$-b = \frac{3(5) + 1(-3)}{3+1}$
$-b = \frac{15 - 3}{4}$
$-b = \frac{12}{4}$
$-b = 3 \implies b = -3$
अतः,$a = 1$ और $b = -3$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है कि बिंदुओं $A(3, 2)$ और $B(5, 1)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड बिंदु $P$ पर $1: 2$ के अनुपात में विभाजित होता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
मान $m_1 = 1, m_2 = 2, x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 5, y_2 = 1$ रखने पर:
$P = \left( \frac{1(5) + 2(3)}{1 + 2}, \frac{1(1) + 2(2)}{1 + 2} \right) = \left( \frac{5 + 6}{3}, \frac{1 + 4}{3} \right) = \left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$
चूंकि बिंदु $P\left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$ रेखा $3x - 18y + k = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3\left( \frac{11}{3} \right) - 18\left( \frac{5}{3} \right) + k = 0$
$11 - 6(5) + k = 0$
$11 - 30 + k = 0$
$-19 + k = 0$
$k = 19$
अतः,$k$ का अभीष्ट मान $19$ है।

(D) दिया गया है कि $PR = \frac{3}{5} PQ$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $R$,रेखाखंड $PQ$ को $PR : RQ = 3 : (5 - 3) = 3 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए बिंदु $R$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$,$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
यहाँ,$(x_1, y_1) = (-1, 3)$,$(x_2, y_2) = (2, 5)$,$m = 3$,और $n = 2$ है।
$x = \frac{3(2) + 2(-1)}{3 + 2} = \frac{6 - 2}{5} = \frac{4}{5}$
$y = \frac{3(5) + 2(3)}{3 + 2} = \frac{15 + 6}{5} = \frac{21}{5}$
अतः,बिंदु $R$ के निर्देशांक $(\frac{4}{5}, \frac{21}{5})$ हैं।

(A) मान लीजिए कि रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ बिंदुओं $A(8, -9)$ और $B(2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P$ पर $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
अतः,अनुपात $8 : 1$ है।
अब,$\lambda = 8$ रखकर $P$ के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ हैं।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
केंद्रक $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $3 AN = 2 AC$,इसलिए $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $N$,$AC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$N$ के निर्देशांक $(\frac{2x_3+x_1}{3}, \frac{2y_3+y_1}{3})$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि रेखा $MN$,$G$ से होकर गुजरती है,इसलिए बिंदु $M, G, N$ संरेख हैं।
केंद्रक के गुण और रेखाखंडों के अनुपात का उपयोग करके,$\Delta ABC$ में तिर्यक रेखा $MGN$ के लिए मेनेलॉस प्रमेय या सदिश ज्यामिति को लागू करने पर,हम $AM:MB$ का अनुपात प्राप्त करते हैं।
शर्त $3 AN = 2 AC$ के अनुसार,$N$ ऐसा बिंदु है कि $AN = \frac{2}{3} AC$ है।
केंद्रक से गुजरने वाली तिर्यक रेखाओं के गुण का उपयोग करने पर,हमें $\frac{AM}{MB} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $AM = 2 MB$।

(B) माना कि दिए गए बिंदु $A (x_1, y_1) = (4, 3)$ और $B (x_2, y_2) = (6, 5)$ हैं।
एक रेखाखंड जिसके अंत्य बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हों,उसके मध्य-बिंदु का सूत्र है:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
सूत्र में $A$ और $B$ के मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{4 + 6}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)$
$= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$
$= (5, 4)$
अतः,मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(5, 4)$ हैं।

(C) माना बिंदु $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ और $B(x_2, y_2) = (-2, -5)$ हैं।
माना बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $\overline{AB}$ को $A$ से शुरू करते हुए $m:n = 3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-5) + 2(2)}{3+2} = \frac{-15 + 4}{5} = \frac{-11}{5} = -2.2$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(0, -2.2)$ हैं।

(D) माना कि बिंदु $P(-2, 3)$,रेखाखंड $\overline{AB}$ को $A$ से $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $x$-निर्देशांक के लिए:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$
यहाँ $A(4, -9)$ को $(x_1, y_1)$ और $B(-3, 5)$ को $(x_2, y_2)$ मानकर,और $P(-2, 3)$ को $(x, y)$ मानकर:
$-2 = \frac{m(-3) + n(4)}{m + n}$
$-2(m + n) = -3m + 4n$
$-2m - 2n = -3m + 4n$
$-2m + 3m = 4n + 2n$
$m = 6n$
$\frac{m}{n} = \frac{6}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $6: 1$ है।

(A) मान लीजिए कि $Y-$ अक्ष $\overline{AB}$ को बिंदु $P(0, y)$ पर काटता है और $P$,$\overline{AB}$ को $A$ से $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $x-$ निर्देशांक के लिए:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
चूंकि $P$,$Y-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$ निर्देशांक $0$ है।
$0 = \frac{m(3) + n(-2)}{m+n}$
$0 = 3m - 2n$
$3m = 2n \implies \frac{m}{n} = \frac{2}{3}$
अतः,अनुपात $2:3$ है।
अब,$m=2$ और $n=3$ अनुपात का उपयोग करके $P$ का $y-$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
$y = \frac{2(0) + 3(3)}{2+3} = \frac{9}{5}$
इस प्रकार,विभाजन बिंदु $(0, 9/5)$ है और अनुपात $2:3$ है।

(N/A) माना कि $A(-2,-1)$ और $B(7,8)$ दिए गए बिंदु हैं और $P$ तथा $Q$ रेखाखंड $\overline{AB}$ के समत्रिभाजक बिंदु हैं।
यहाँ,$x_1 = -2, y_1 = -1, x_2 = 7$ और $y_2 = 8$ है।
बिंदु $P$ के लिए,जो $\overline{AB}$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक $= \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$.
$P = \left(\frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2}\right)$.
$P = \left(\frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}\right) = (1, 2)$.
अब,$Q$ रेखाखंड $\overline{PB}$ का मध्य-बिंदु है,या यह $\overline{AB}$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$Q$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$Q = \left(\frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1}\right)$.
$Q = \left(\frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{15}{3}\right) = (4, 5)$.
अतः,$(-2,-1)$ और $(7,8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजक बिंदु $(1, 2)$ और $(4, 5)$ हैं।

(D) $C - A - B$ की स्थिति के अनुसार, बिंदु $A$, $C$ और $B$ के बीच स्थित है।
$2 AC = 3 AB$ से, हमें अनुपात $\frac{AC}{AB} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A$, रेखाखंड $\overline{CB}$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, हम विभाजन सूत्र का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $C = (x_1, y_1)$ और $B = (2, 3)$ है। बिंदु $A(1, 2)$, $\overline{CB}$ को $m:n = 3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए: $A = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n} \right)$।
$1 = \frac{3(2) + 2(x_1)}{3+2} \implies 5 = 6 + 2x_1 \implies 2x_1 = -1 \implies x_1 = -0.5$।
$2 = \frac{3(3) + 2(y_1)}{3+2} \implies 10 = 9 + 2y_1 \implies 2y_1 = 1 \implies y_1 = 0.5$।
अतः, $C$ के निर्देशांक $(-0.5, 0.5)$ हैं।

(B) विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,यदि कोई बिंदु $P(x, y)$,$A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो निर्देशांक इस प्रकार दिए जाते हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$ और $y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
यहाँ,$A(1, 2)$,$B(4, 5)$,$m:n = 2:1$,और $P(3, b)$ है।
$b$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $y$-निर्देशांक सूत्र का उपयोग करेंगे:
$b = \frac{m(y_2) + n(y_1)}{m+n}$
$b = \frac{2(5) + 1(2)}{2+1}$
$b = \frac{10 + 2}{3}$
$b = \frac{12}{3}$
$b = 4$
अतः,$b$ का मान $4$ है।

(A) माना कि $Y-$अक्ष रेखाखंड $AB$ को बिंदु $P(0, y)$ पर $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
यहाँ, $m_1 = k$, $m_2 = 1$, $(x_1, y_1) = (-4, 1)$, और $(x_2, y_2) = (1, 1)$ है।
चूँकि बिंदु $Y-$अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका $x-$निर्देशांक $0$ होगा:
$0 = \frac{k(1) + 1(-4)}{k + 1}$
$0 = k - 4$
$k = 4$
अतः, अभीष्ट अनुपात $4:1$ है।

(D) माना कि $X$-अक्ष रेखाखंड $AB$ को बिंदु $P(x, 0)$ पर $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
$A(1, 2)$ और $B(4, -5)$ के मान रखने पर:
$P = \left( \frac{4k + 1}{k + 1}, \frac{-5k + 2}{k + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$, $X$-अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा:
$\frac{-5k + 2}{k + 1} = 0$
$-5k + 2 = 0$
$5k = 2$
$k = \frac{2}{5}$
अतः, अभीष्ट अनुपात $2:5$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(7, 5)$ और $B(-2, -1)$ हैं। मान लीजिए समत्रिभाजन बिंदु $P$ और $Q$ हैं।
बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P = \left( \frac{1(-2) + 2(7)}{1+2}, \frac{1(-1) + 2(5)}{1+2} \right) = \left( \frac{-2+14}{3}, \frac{-1+10}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{9}{3} \right) = (4, 3)$.
बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q = \left( \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1}, \frac{2(-1) + 1(5)}{2+1} \right) = \left( \frac{-4+7}{3}, \frac{-2+5}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right) = (1, 1)$.
अतः,समत्रिभाजन बिंदु $(4, 3)$ और $(1, 1)$ हैं।

(N/A) मान लीजिए कि बिंदु $P (2, b)$,$A (1, 2)$ और $B (4, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $x$-निर्देशांक के लिए: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
मान रखने पर: $2 = \frac{k(4) + 1(1)}{k + 1}$.
$2(k + 1) = 4k + 1 \implies 2k + 2 = 4k + 1 \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1: 2$ है।
अब,विभाजन सूत्र का उपयोग करके $y$-निर्देशांक ज्ञात करें: $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$.
$b = \frac{1(5) + 2(2)}{1 + 2} = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
इसलिए,अनुपात $1: 2$ है और $b = 3$ है।

(A) दिए गए बिंदु $A(1, -2)$ और $B(-7, 1)$ हैं।
माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
शर्त $3AP = 5AB$ से $AP = \frac{5}{3} AB$ प्राप्त होता है।
$P-A-B$ क्रम के अनुसार,$A$,$P$ और $B$ के बीच स्थित है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = 1 + \frac{5}{3}(1 - (-7)) = 1 + \frac{5}{3}(8) = \frac{43}{3}$.
$y = -2 + \frac{5}{3}(-2 - 1) = -2 + \frac{5}{3}(-3) = -7$.
अतः,$P = (\frac{43}{3}, -7)$।

(B) रेखाखंड $AB$ को पाँच समान भागों में विभाजित करने के लिए,हमें वह बिंदु $P$ ज्ञात करना होगा जो $AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है (क्योंकि यह $A$ से तीसरा बिंदु है)।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ होते हैं।
यहाँ,$A = (-2, 1)$,$B = (7, 8)$,$m = 3$,और $n = 2$ है।
$x = \frac{3(7) + 2(-2)}{3+2} = \frac{21 - 4}{5} = \frac{17}{5}$.
$y = \frac{3(8) + 2(1)}{3+2} = \frac{24 + 2}{5} = \frac{26}{5}$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{17}{5}, \frac{26}{5}\right)$ हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $B$ सही उत्तर के सबसे निकट है।

(C) माना बिंदु $P(t, t)$, $A(k, 2)$ और $B(3, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर, $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(x, y) = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right)$
मान रखने पर:
$t = \frac{k(3) + 1(k)}{k + 1} = \frac{4k}{k + 1}$ --- $(1)$
$t = \frac{k(5) + 1(2)}{k + 1} = \frac{5k + 2}{k + 1}$ --- $(2)$
चूंकि दोनों व्यंजक $t$ के बराबर हैं, इसलिए हम उन्हें बराबर करते हैं:
$\frac{4k}{k + 1} = \frac{5k + 2}{k + 1}$
यह मानते हुए कि $k \neq -1$, हमें प्राप्त होता है:
$4k = 5k + 2$
$4k - 5k = 2$
$-k = 2$
$k = -2$

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0)$,$B(3,4)$ और $C(0,4)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A(0,0)$ और $C(0,4)$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए भुजा $AC$ ऊर्ध्वाधर है।
यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि भुजा $AC$ (लंबाई $4$) भुजा $BC$ (जो क्षैतिज है,लंबाई $3$) के लंबवत है।
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
यहाँ कर्ण भुजा $AB$ है जो $(0,0)$ और $(3,4)$ को जोड़ती है।
$AB$ का मध्य-बिंदु ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ है।
मान रखने पर: $\left(\frac{0+3}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$।
अतः,परिकेंद्र $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ है।

(A) माना कि $C$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं क्योंकि यह $X$-अक्ष पर स्थित है।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर,इसके केंद्रक $G$ के निर्देशांक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $G = (\frac{1+3+x}{3}, \frac{2+4+0}{3}) = (\frac{4+x}{3}, 2)$.
चूंकि केंद्रक $G$,$Y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{4+x}{3} = 0$.
$4+x = 0 \implies x = -4$.
इस प्रकार,$C$ के निर्देशांक $(-4, 0)$ हैं।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1)$,$B(x_1, y_1)$ और $C(x_2, y_2)$ हैं।
दिया गया है कि भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु क्रमशः $M_1(-1, 2)$ और $M_2(3, 2)$ हैं।
मध्य बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ है।
भुजा $AB$ के लिए: $\frac{1+x_1}{2} = -1 \implies 1+x_1 = -2 \implies x_1 = -3$ और $\frac{1+y_1}{2} = 2 \implies 1+y_1 = 4 \implies y_1 = 3$. अतः,$B = (-3, 3)$.
भुजा $AC$ के लिए: $\frac{1+x_2}{2} = 3 \implies 1+x_2 = 6 \implies x_2 = 5$ और $\frac{1+y_2}{2} = 2 \implies 1+y_2 = 4 \implies y_2 = 3$. अतः,$C = (5, 3)$.
त्रिभुज का केंद्रक $G$ जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं,का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ है।
$G = \left(\frac{1 + (-3) + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{7}{3}\right) = \left(1, \frac{7}{3}\right)$.