Section Formula Questions in Hindi

(N/A) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (a, b-c)$,$(x_2, y_2) = (b, c-a)$ और $(x_3, y_3) = (c, a-b)$ हैं।
$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$.
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x$-निर्देशांक $= \frac{a + b + c}{3}$
$y$-निर्देशांक $= \frac{(b-c) + (c-a) + (a-b)}{3}$
$y$-निर्देशांक को सरल करने पर:
$y$-निर्देशांक $= \frac{b - c + c - a + a - b}{3} = \frac{0}{3} = 0$.
चूंकि केंद्रक का $y$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए केंद्रक $X$-अक्ष पर स्थित है।

(D) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समान मध्यबिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
माना शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}) = (\frac{3+2}{2}, \frac{2+3}{2}) = (2.5, 2.5)$ है।
विकर्ण $BD$ का मध्यबिंदु $(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}) = (\frac{4+x}{2}, \frac{5+y}{2})$ है।
चूंकि मध्यबिंदु समान हैं,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{4+x}{2} = 2.5 \implies 4+x = 5 \implies x = 1$.
$\frac{5+y}{2} = 2.5 \implies 5+y = 5 \implies y = 0$.
अतः,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(1, 0)$ हैं।

(N/A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (3, 5)$ और $(x_2, y_2) = (7, 5)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3 + 7}{2}, \frac{5 + 5}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{10}{2}, \frac{10}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (5, 5)$
चूंकि गणना किया गया मध्य-बिंदु $(5, 5)$ है,जो दिए गए बिंदु से मेल खाता है,अतः यह सिद्ध होता है कि $(5, 5)$,$(3, 5)$ और $(7, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।

(A) मान लीजिए कि $Y$-अक्ष रेखाखंड $AB$ को बिंदु $P(0, y)$ पर $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
यहाँ,$m_1 = k$,$m_2 = 1$,$x_1 = -2$,$y_1 = 4$,$x_2 = 1$,$y_2 = 1$ है।
चूंकि बिंदु $Y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा:
$0 = \frac{k(1) + 1(-2)}{k + 1}$
$0 = k - 2 \implies k = 2$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
इस प्रकार,विभाजन बिंदु $(0, 2)$ है और अनुपात $2:1$ है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P (-4, 3)$,$A (1, -2)$ और $B (-6, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{k x_2 + 1 x_1}{k + 1}, \frac{k y_2 + 1 y_1}{k + 1} \right)$
मान $x_1 = 1, y_1 = -2, x_2 = -6, y_2 = 5$ रखने पर:
$-4 = \frac{k(-6) + 1(1)}{k + 1}$
$-4(k + 1) = -6k + 1$
$-4k - 4 = -6k + 1$
$2k = 5$
$k = \frac{5}{2}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $5: 2$ है।

(C) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य-बिंदु $D(4,6), E(2,2)$ और $F(3,1)$ दिए गए हैं।
किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
$\Delta DEF$ का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र: $G = \left( \frac{x_D + x_E + x_F}{3}, \frac{y_D + y_E + y_F}{3} \right).$
दिए गए मानों को रखने पर: $G = \left( \frac{4 + 2 + 3}{3}, \frac{6 + 2 + 1}{3} \right).$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3} \right) = (3, 3).$
अतः,$\Delta ABC$ के केंद्रक के निर्देशांक $(3, 3)$ हैं।

(A) मान लीजिए कि समत्रिभाजन बिंदु $P$ और $Q$ हैं। बिंदु $P$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है और बिंदु $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$.
बिंदु $P$ के लिए $(m_1=1, m_2=2)$: $P = \left( \frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2} \right) = \left( \frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{6}{3} \right) = (1, 2)$.
बिंदु $Q$ के लिए $(m_1=2, m_2=1)$: $Q = \left( \frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1} \right) = \left( \frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{15}{3} \right) = (4, 5)$.
अतः,समत्रिभाजन बिंदुओं के निर्देशांक $(1, 2)$ और $(4, 5)$ हैं।

(A) दिए गए बिंदु $A(3, 3)$ और $B(6, 1)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $C$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
प्रतिबंध $A-B-C$ का अर्थ है कि $B$,$A$ और $C$ के बीच स्थित है।
प्रतिबंध $3 AB = BC$ का अर्थ है कि अनुपात $AB : BC = 1 : 3$ है।
सदिश का उपयोग करते हुए: $\vec{B} - \vec{A} = (6-3, 1-3) = (3, -2)$।
चूंकि $BC = 3 AB$,सदिश $\vec{BC} = 3 \vec{AB} = 3(3, -2) = (9, -6)$।
अतः,$\vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} = (6, 1) + (9, -6) = (15, -5)$।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $\overline{BC}$ को अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई के अनुपात में विभाजित करता है।
चरण $1$: दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
चरण $2$: जिस अनुपात $m:n$ में समद्विभाजक $\overline{BC}$ को विभाजित करता है,वह $AB:AC = 4\sqrt{5}:3\sqrt{5} = 4:3$ है।
चरण $3$: विभाजन सूत्र का उपयोग करके $\overline{BC}$ पर स्थित बिंदु $D(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करें जो इसे $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{4(9) + 3(-2)}{4 + 3} = \frac{36 - 6}{7} = \frac{30}{7}$.
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{4(1) + 3(3)}{4 + 3} = \frac{4 + 9}{7} = \frac{13}{7}$.
अतः,निर्देशांक $\left(\frac{30}{7}, \frac{13}{7}\right)$ हैं।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(5, 3)$ और $B(3, 3)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 5, y_1 = 3$ और $x_2 = 3, y_2 = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{8}{2}, \frac{6}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (4, 3)$.

(B) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $(1, 1)$ और $(3, 3)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= (2, 2)$.

(C) रेखाखंड को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु उस रेखाखंड का मध्य-बिंदु होता है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।

(C) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
दिए गए बिंदु $(20, 10)$ और $(6, 8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 20, y_1 = 10$ और $x_2 = 6, y_2 = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{20 + 6}{2}, \frac{10 + 8}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{26}{2}, \frac{18}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (13, 9)$.

(A) वृत्त का केंद्र $P$ उसके व्यास $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु होता है।
यहाँ $A(x_1, y_1) = (4, 0)$ और $B(x_2, y_2) = (-2, 2)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदु का सूत्र $P(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
मान रखने पर: $P(x, y) = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right)$.
$P(x, y) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1)$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(B) मान लीजिए कि रेखाखंड के अंतिम बिंदु $A(0,0)$ और $B(6,6)$ हैं।
रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने के लिए,हमें तीन बिंदुओं $P, Q,$ और $R$ की आवश्यकता है जो रेखाखंड को क्रमशः $1:3, 1:1,$ और $3:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
मध्यबिंदु $Q$ की गणना $(\frac{0+6}{2}, \frac{0+6}{2}) = (3,3)$ के रूप में की जाती है।
बिंदु $P, AQ$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{0+3}{2}, \frac{0+3}{2}) = (1.5, 1.5)$ है।
बिंदु $R, QB$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{3+6}{2}, \frac{3+6}{2}) = (4.5, 4.5)$ है।
इन बिंदुओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(4.5, 4.5)$ विभाजन बिंदुओं में से एक है।

(A) माना कि व्यास के दूसरे अंतिम बिंदु के निर्देशांक $(x,y)$ हैं।
चूंकि वृत्त का केंद्र उसके व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए हम मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करेंगे:
केंद्र $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
यहाँ केंद्र $(-2,4)$ है और एक अंतिम बिंदु $(0,0)$ है,इसलिए:
$-2 = \frac{0 + x}{2} \implies x = -4$
$4 = \frac{0 + y}{2} \implies y = 8$
अतः,व्यास का दूसरा अंतिम बिंदु $(-4,8)$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(6, 5)$ और $B(4, 3)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 6, y_1 = 5$ और $x_2 = 4, y_2 = 3$ है।
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{6 + 4}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right)$.
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$.
मध्य-बिंदु $= (5, 4)$.

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(6,0)$,$B(0,0)$ और $C(0,8)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A(6,0)$ और $C(0,8)$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं,और शीर्ष $B$ मूलबिंदु $(0,0)$ पर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B(0,0)$ पर है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण का मध्यबिंदु होता है।
कर्ण $A(6,0)$ और $C(0,8)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
कर्ण का मध्यबिंदु ज्ञात करने का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
$A$ और $C$ के निर्देशांक रखने पर: $\left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{8}{2} \right) = (3,4)$.
अतः,परिकेंद्र $(3,4)$ है।

(A) मान लीजिए कि $B$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $P(1, 12)$ रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,जहाँ $A(x_1, y_1) = (3, 8)$ और $B(x_2, y_2) = (x, y)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$.
मान रखने पर: $1 = \frac{2(x) + 1(3)}{2+1} \implies 1 = \frac{2x + 3}{3} \implies 3 = 2x + 3 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
इसी प्रकार,$12 = \frac{2(y) + 1(8)}{2+1} \implies 12 = \frac{2y + 8}{3} \implies 36 = 2y + 8 \implies 2y = 28 \implies y = 14$.
अतः,$B$ के निर्देशांक $(0, 14)$ हैं।

(A) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र है:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
दिए गए बिंदु $A(3, -2)$ और $B(-1, 4)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 3, y_1 = -2$ और $x_2 = -1, y_2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right)$
$M = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right)$
$M = (1, 1)$
अतः,मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ होता है।
सबसे पहले,$M$ के निर्देशांक ज्ञात करें,जो $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है जहाँ $A(0, 0)$ और $B(4, 8)$ हैं:
$M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (2, 4)$.
इसके बाद,$N$ के निर्देशांक ज्ञात करें,जो $\overline{BM}$ का मध्य-बिंदु है जहाँ $B(4, 8)$ और $M(2, 4)$ हैं:
$N = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{12}{2}\right) = (3, 6)$.

(A) माना कि $D$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (2, -1)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर: $(2, -1) = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{2+x}{2} = 2 \implies 2+x = 4 \implies x = 2$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{1+y}{2} = -1 \implies 1+y = -2 \implies y = -3$.
अतः,$D$ के निर्देशांक $(2, -3)$ हैं।

(B) दिया गया है कि बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं और $AB = BC$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $B$,रेखाखंड $\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3, 4) = \left(\frac{5 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}\right)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{5 + x}{2} = 3 \implies 5 + x = 6 \implies x = 1$.
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{2 + y}{2} = 4 \implies 2 + y = 8 \implies y = 6$.
अतः,बिंदु $C$ के निर्देशांक $(1, 6)$ हैं।

(B) चूंकि $\overline{AB}$ वृत्त का व्यास है,इसलिए केंद्र $P$,व्यास $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$A(5, -6)$ और $B(3, -2)$ मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{-6 + (-2)}{2} \right)$
$P = \left( \frac{8}{2}, \frac{-8}{2} \right)$
$P = (4, -4)$.

(D) दिए गए बिंदु $A(8, 10)$ और $B(4, 12)$ हैं।
चूंकि बिंदु रेखाखंड $\overline{AB}$ को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए यह रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ है।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 12}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{22}{2}\right) = (6, 11)$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि बिंदु $P(4,4)$,$A(2,6)$ और $B(6,2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{k(6) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(6)}{k+1} \right) = (4,4)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{6k + 2}{k+1} = 4$
$6k + 2 = 4k + 4$
$2k = 2$
$k = 1$
अतः,अनुपात $k:1$,$1:1$ है।
वैकल्पिक रूप से,$AB$ का मध्य-बिंदु $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{6+2}{2} \right) = (4,4)$ है,जो यह पुष्टि करता है कि बिंदु $(4,4)$ मध्य-बिंदु है,जो रेखाखंड को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(D) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(3, 4)$ और $(a, 8)$ के लिए,मध्यबिंदु $\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ होगा।
हमें दिया गया है कि मध्यबिंदु $(4, 6)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\left(\frac{3 + a}{2}, 6\right) = (4, 6)$ मिलता है।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर: $\frac{3 + a}{2} = 4$।
$2$ से गुणा करने पर,$3 + a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 8 - 3 = 5$।

(D) बिंदुओं के निर्देशांक $A(-3, 5)$ और $B(2, 5)$ हैं।
चूंकि दोनों बिंदुओं का $y-$निर्देशांक $5$ है,इसलिए इन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड एक क्षैतिज रेखा है जिसे समीकरण $y = 5$ द्वारा दर्शाया जाता है।
एक क्षैतिज रेखा $y = 5$,$X-$अक्ष के समानांतर होती है और $Y-$अक्ष को उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ $x = 0$ होता है।
समीकरण $y = 5$ में $x = 0$ रखने पर,हमें बिंदु $(0, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाखंड $Y-$अक्ष को $(0, 5)$ पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) माना कि अभीष्ट बिंदु $P(x, y)$ है और अनुपात $m:n = 3:2$ है।
यहाँ $A(x_1, y_1) = (3, -6)$ और $B(x_2, y_2) = (-2, -1)$ दिए गए हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-1) + 2(-6)}{3+2} = \frac{-3 - 12}{5} = \frac{-15}{5} = -3$
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(0, -3)$ हैं।

(B) रेखाखंड $\overline{ AB }$ दिया गया है। बिंदु $P$,$A$ और $B$ के बीच इस प्रकार स्थित है कि $A-P-B$ है।
जब कोई बिंदु $P$ एक रेखाखंड $\overline{ AB }$ को किसी अनुपात में विभाजित करता है,तो इसे आमतौर पर बनने वाले दो रेखाखंडों की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि विभाजन '$B$ से' निर्दिष्ट किया गया है,तो इसका अर्थ है $B$ से शुरू होने वाले रेखाखंड और $A$ से शुरू होने वाले रेखाखंड का अनुपात।
अतः,अनुपात $\frac{BP}{PA}$ होगा।

(B) विभाजन सूत्र के अनुसार,यदि बिंदु $P(x, y)$,बिंदुओं $A(x_{1}, y_{1})$ और $B(x_{2}, y_{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,तो $P$ के निर्देशांक इस प्रकार होंगे:
$x = \frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}$
$y = \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}$
अतः,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$ हैं।

(C) दिया गया है कि $A - M - B$,बिंदु $M$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
हमें अनुपात $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5}$ दिया गया है।
चूंकि $AB = AM + MB$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$5(AM) = 3(AM + MB)$.
$5(AM) = 3(AM) + 3(MB)$.
$2(AM) = 3(MB)$.
इसलिए,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{2}$.
अतः,बिंदु $M$ रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

(D) दिया गया है कि $P-R-Q$ एक रेखाखंड है जहाँ $R$,$P$ और $Q$ के बीच स्थित है।
हमें अनुपात $\frac{PR}{PQ} = \frac{2}{7}$ दिया गया है।
चूँकि $PQ = PR + RQ$,इसलिए $RQ = PQ - PR$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{PR}{RQ} = \frac{PR}{PQ - PR} = \frac{2}{7 - 2} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $R$,$PQ$ को $P$ से $2:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
हालाँकि,प्रश्न में $Q$ से अनुपात पूछा गया है,जो $QR:RP$ है।
इसलिए,$\frac{QR}{RP} = \frac{5}{2}$ होगा।
अतः,$R$,$\overline{PQ}$ को $Q$ से $5:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P$ रेखाखंड $\overline{AB}$ पर स्थित है ताकि $A-P-B$ हो।
$P$,$\overline{AB}$ को $A$ से $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ है।
हमें वह अनुपात ज्ञात करना है जिसमें $P$,$\overline{AB}$ को $B$ से विभाजित करता है,जो कि $\frac{BP}{PA}$ है।
चूंकि $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ है,इसका व्युत्क्रम लेने पर $\frac{PB}{AP} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:2$ है।

(A) त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ और $C(x_{3}, y_{3})$ शीर्षों वाले त्रिभुज के लिए,केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक शीर्षों के $x$-निर्देशांकों और $y$-निर्देशांकों का अंकगणितीय माध्य लेकर ज्ञात किए जाते हैं।
केंद्रक के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदु $(8, 10)$ और $(4, 8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 8, y_1 = 10, x_2 = 4, y_2 = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 8}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{18}{2}\right) = (6, 9)$.
अतः,मध्य-बिंदु के अभीष्ट निर्देशांक $(6, 9)$ हैं।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ होता है।
यहाँ $A(4, 3)$ और $B(8, 9)$ दिए गए हैं,इसलिए $x_1 = 4, y_1 = 3, x_2 = 8, y_2 = 9$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{3 + 9}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{12}{2}, \frac{12}{2} \right)$
मध्य-बिंदु $= (6, 6)$.

(A) रेखाखंड जिसके अंत्य बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं,उसका मध्य-बिंदु $M(x, y)$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
यहाँ $A(3, 5)$ और $B(7, 5)$ दिए गए हैं,इसलिए $x_1 = 3, y_1 = 5$ और $x_2 = 7, y_2 = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
अतः,मध्य-बिंदु $(5, 5)$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र इस प्रकार है:
मध्य-बिंदु $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (12, 10)$ और $(x_2, y_2) = (0, 8)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
मध्य-बिंदु $= (\frac{12 + 0}{2}, \frac{10 + 8}{2})$
मध्य-बिंदु $= (\frac{12}{2}, \frac{18}{2})$
मध्य-बिंदु $= (6, 9)$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि $Y-$ अक्ष,$A(-3, -4)$ और $B(1, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बिंदु $M(0, y)$ पर विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $Y-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$ निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
मान रखने पर: $0 = \frac{m(1) + n(-3)}{m + n}$.
इससे $m - 3n = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = 3n$.
अतः,अनुपात $\frac{m}{n} = \frac{3}{1}$,यानी $m:n = 3:1$.

(B) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $P(3, 4)$ और $Q(a, 8)$ के लिए,मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ है।
हमें मध्य-बिंदु $M(5, 6)$ दिया गया है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\frac{3 + a}{2} = 5$ और $\frac{4 + 8}{2} = 6$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण से,$3 + a = 10$,जिसका अर्थ है कि $a = 10 - 3 = 7$ है।
अतः,$a$ का मान $7$ है।

(B) विभाजन सूत्र के अनुसार,यदि कोई बिंदु $P(x, y)$,बिंदुओं $A(x_{1}, y_{1})$ और $B(x_{2}, y_{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $P$ के निर्देशांक इस प्रकार होते हैं:
$x = \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}$
$y = \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}$
यहाँ,अनुपात $\lambda : 1$ दिया गया है,इसलिए $m = \lambda$ और $n = 1$ रखने पर:
$x = \frac{\lambda x_{2} + (1)x_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda x_{2} + x_{1}}{\lambda + 1}$
$y = \frac{\lambda y_{2} + (1)y_{1}}{\lambda + 1} = \frac{\lambda y_{2} + y_{1}}{\lambda + 1}$
अतः,निर्देशांक $\left(\frac{\lambda x_{2}+x_{1}}{\lambda+1}, \frac{\lambda y_{2}+y_{1}}{\lambda+1}\right)$ होंगे।