Distance Formula Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે $A(0, -3), B(1, -1)$ અને $C(2, 1)$ આપેલા બિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
અહીં $AB + BC = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = AC$ હોવાથી,બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં,$A = (2, 4)$,$B = (-3, b)$,અને $AB = \sqrt{26}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$AB^2 = 26$ મળે.
યામોની કિંમત મૂકતા: $(2 - (-3))^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$(2 + 3)^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$5^2 + (16 - 8b + b^2) = 26$.
$25 + 16 - 8b + b^2 = 26$.
$b^2 - 8b + 41 = 26$.
$b^2 - 8b + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(b - 5)(b - 3) = 0$.
તેથી,$b = 5$ અથવા $b = 3$ મળે.

(A-D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 7), B(2, 4)$ અને $C(k, 5)$ છે.
બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (1-2)^2 + (7-4)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
$BC^2 = (2-k)^2 + (4-5)^2 = 4 - 4k + k^2 + 1 = k^2 - 4k + 5$
$AC^2 = (1-k)^2 + (7-5)^2 = 1 - 2k + k^2 + 4 = k^2 - 2k + 5$
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કોઈ એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ:
કિસ્સો $1$: $\angle A = 90^{\circ}$. તો $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$k^2 - 4k + 5 = 10 + k^2 - 2k + 5$
$-2k = 10 \implies k = -5$
કિસ્સો $2$: $\angle B = 90^{\circ}$. તો $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$k^2 - 2k + 5 = 10 + k^2 - 4k + 5$
$2k = 10 \implies k = 5$
કિસ્સો $3$: $\angle C = 90^{\circ}$. તો $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$10 = (k^2 - 4k + 5) + (k^2 - 2k + 5)$
$10 = 2k^2 - 6k + 10$
$2k^2 - 6k = 0 \implies 2k(k - 3) = 0$
$k = 0$ અથવા $k = 3$
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $-5, 5, 0, 3$ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,6), B(-5,3)$ અને $C(3,1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (-5 - 0)^2 + (3 - 6)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$
$BC^2 = (3 - (-5))^2 + (1 - 3)^2 = (8)^2 + (-2)^2 = 64 + 4 = 68$
$AC^2 = (3 - 0)^2 + (1 - 6)^2 = (3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 34 + 34 = 68 = BC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે,તેથી તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle BAC = 90^\circ$ છે.
વળી,$AB^2 = AC^2 = 34$ હોવાથી,$AB = AC$ થાય છે.
તેથી,આપેલ બિંદુઓ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3, \sqrt{3})$ અને $C(x, y)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી $AB = BC = AC$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = BC^2 = AC^2$.
પ્રથમ,$AB^2 = (3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 = 9 + 3 = 12$ મેળવીએ.
$AC^2 = AB^2$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 12$ (સમીકરણ $1$).
$BC^2 = AB^2$ હોવાથી,$(x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 12$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12$.
$x^2 + y^2 = 12$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12$,જેનું સાદું રૂપ $6x + 2\sqrt{3}y = 12$ અથવા $y = \sqrt{3}(2-x)$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x^2 + [\sqrt{3}(2-x)]^2 = 12$.
$x^2 + 3(4 - 4x + x^2) = 12$.
$x^2 + 12 - 12x + 3x^2 = 12$.
$4x^2 - 12x = 0$,તેથી $4x(x-3) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = 3$ મળે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = \sqrt{3}(2-0) = 2\sqrt{3}$.
જો $x = 3$ હોય,તો $y = \sqrt{3}(2-3) = -\sqrt{3}$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(0, 2\sqrt{3})$ અથવા $(3, -\sqrt{3})$ છે.

(N/A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ છે.
પ્રથમ,$SP$ ની ગણતરી કરો:
$SP = \sqrt{(a - at^2)^2 + (0 - 2at)^2} = \sqrt{a^2(1-t^2)^2 + 4a^2t^2} = |a|\sqrt{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2} = |a|\sqrt{(1+t^2)^2} = |a|(1+t^2)$.
ત્યારબાદ,$SQ$ ની ગણતરી કરો:
$SQ = \sqrt{(a - \frac{a}{t^2})^2 + (0 - (-\frac{2a}{t}))^2} = \sqrt{a^2(1 - \frac{1}{t^2})^2 + \frac{4a^2}{t^2}} = |a|\sqrt{1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4} + \frac{4}{t^2}} = |a|\sqrt{1 + \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4}} = |a|\sqrt{(1 + \frac{1}{t^2})^2} = |a|(1 + \frac{1}{t^2}) = |a|(\frac{t^2+1}{t^2})$.
હવે,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ ની કિંમત શોધો:
$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{1}{|a|(\frac{t^2+1}{t^2})} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1}{|a|}$.
પરિણામ $\frac{1}{|a|}$ માં $t$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી $\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ એ $t$ થી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(-1, 4)$,$B(2, 3)$ અને $C(5, 2)$ સમરેખ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
$1$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $AB$ નું અંતર શોધો:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ નું અંતર શોધો:
$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ નું અંતર શોધો:
$AC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$4$. અહીં $AB + BC = \sqrt{10} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} = AC$ હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે અને તેથી તેઓ સમરેખ છે.

(N/A) બિંદુ $P(7, 5)$ એ $A(2, 4)$ અને $B(6, 10)$ થી સમાન અંતરે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે અંતર $PA$ એ અંતર $PB$ જેટલું છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. અંતર $PA = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$2$. અંતર $PB = \sqrt{(7 - 6)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
અહીં $PA = PB = \sqrt{26}$ હોવાથી,બિંદુ $P(7, 5)$ એ બિંદુઓ $A(2, 4)$ અને $B(6, 10)$ થી સમાન અંતરે આવેલું છે.

(A) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P(x, 0)$ અને $A(11, 12)$ વચ્ચેનું અંતર $13$ આપેલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x - 11)^2 + (0 - 12)^2} = 13$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 11)^2 + (-12)^2 = 13^2$.
$(x - 11)^2 + 144 = 169$.
$(x - 11)^2 = 169 - 144 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 11 = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
કિસ્સો $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
તેથી,માંગેલ બિંદુઓ $(16, 0)$ અને $(6, 0)$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(a, 2)$ અને $B(3, -5)$ છે અને અંતર $d = \sqrt{53}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{(3 - a)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{53}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3 - a)^2 + (-7)^2 = 53$
$(3 - a)^2 + 49 = 53$
$(3 - a)^2 = 53 - 49$
$(3 - a)^2 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$3 - a = 2$ અથવા $3 - a = -2$
જો $3 - a = 2$ હોય,તો $a = 1$.
જો $3 - a = -2$ હોય,તો $a = 5$.
તેથી,$a$ ની શક્ય કિંમતો $1$ અને $5$ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(4, 4)$ અને $C(6, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(6 - 4)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(6 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેય $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ માટે ચકાસણી કરો:
$AB^2 = 18$,$BC^2 = 8$,અને $AC^2 = 26$.
અહીં $18 + 8 = 26$ હોવાથી,$AB^2 + BC^2 = AC^2$ થાય છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ એ શિરોબિંદુ $B$ પાસે કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(1, 7)$,$B(2, 4)$ અને $C(5, 5)$ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ: $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ: $BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ: $AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
અહીં $AB = BC = \sqrt{10}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેય $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ નો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણની શરત ચકાસો:
$AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20$.
$AC^2 = 20$.
$AB^2 + BC^2 = AC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,$A, B$ અને $C$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(0,0), B(7,0), C(7,5)$ અને $D(0,5)$ લંબચોરસ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે સામસામેની બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો સમાન છે.
$1$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(7-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{49} = 7$
$BC = \sqrt{(7-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{49} = 7$
$DA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25} = 5$
અહીં $AB = CD = 7$ અને $BC = DA = 5$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે.
$2$. વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(7-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
$BD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
સામસામેની બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,$C(-3, 2)$ અને $D(-4, -3)$ છે.
$ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે,પરંતુ વિકર્ણો સમાન નથી.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$BC = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
અહીં $AB = BC = CD = DA = \sqrt{26}$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
હવે,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB=BC=CD=DA)$ અને વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી $(AC \neq BD)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(2, 2)$,$B(-2, 2)$,$C(-2, -2)$ અને $D(2, -2)$ છે.
આ બિંદુઓ ચોરસ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને બંને વિકર્ણો પણ સમાન છે.
$1$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$DA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
અહીં $AB = BC = CD = DA = 4$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
$2$. વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ એકમ.
$BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ એકમ.
બાજુઓ સમાન હોવાથી અને વિકર્ણો સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C, D$ ચોરસ બનાવે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, -3/2)$,$B(-3, -7/2)$ અને $C(-4, -3/2)$ છે.
તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ.
$AB^2 = (-3 - 1)^2 + (-7/2 - (-3/2))^2 = (-4)^2 + (-4/2)^2 = 16 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
$BC^2 = (-4 - (-3))^2 + (-3/2 - (-7/2))^2 = (-1)^2 + (4/2)^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$AC^2 = (-4 - 1)^2 + (-3/2 - (-3/2))^2 = (-5)^2 + (0)^2 = 25 + 0 = 25$.
અહીં $AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25$ થાય છે,જે $AC^2$ ની બરાબર છે,તેથી ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
આથી,આપેલા બિંદુઓ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(N/A) આપેલ છે કે બિંદુ $P(x, y)$ એ બિંદુઓ $A(a+b, b-a)$ અને $B(a-b, a+b)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$PA = PB.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PA^2 = PB^2.$
અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(x - (a+b))^2 + (y - (b-a))^2 = (x - (a-b))^2 + (y - (a+b))^2.$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2 + y^2 - 2y(b-a) + (b-a)^2 = x^2 - 2x(a-b) + (a-b)^2 + y^2 - 2y(a+b) + (a+b)^2.$
બંને બાજુથી $x^2, y^2, (a+b)^2$ ને દૂર કરતા:
$-2x(a+b) - 2y(b-a) + (b-a)^2 = -2x(a-b) - 2y(a+b) + (a-b)^2.$
કારણ કે $(b-a)^2 = (a-b)^2,$ આ પદો પણ દૂર થશે:
$-2ax - 2bx - 2by + 2ay = -2ax + 2bx - 2ay - 2by.$
બંને બાજુથી $-2ax$ અને $-2by$ ને દૂર કરતા:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay.$
પદોને ગોઠવતા:
$2ay + 2ay = 2bx + 2bx.$
$4ay = 4bx.$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $bx = ay$ મળે છે.

(C) $Y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(0, y)$ ધારો.
આપેલા બિંદુઓ $A(-5, -2)$ અને $B(3, 2)$ છે.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(0 - (-5))^2 + (y - (-2))^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2$
$5^2 + (y + 2)^2 = (-3)^2 + (y - 2)^2$
$25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2 - 4y + 4$
$29 + 4y = 13 - 4y$
$8y = 13 - 29$
$8y = -16$
$y = -2$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(0, -2)$ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2a, 4a)$, $B(2a, 6a)$ અને $C(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે દર્શાવવું પડશે કે ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$3$. બાજુ $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
અહીં $AB = BC = AC = 2a$ હોવાથી, ત્રિકોણ $ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 3)$,$B(1, -1)$ અને $C(5, 1)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ $A$ ને સામેની બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ સાથે જોડે છે.
ધારો કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ $M$ ના યામ: $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{0}{2} \right) = (3, 0)$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ $A(-1, 3)$ અને $M(3, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$AM = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,મધ્યગાની લંબાઈ $5$ છે.

(P(2, -1)) ધારો કે $P(x, y)$ એ $\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$P$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન હોય છે,એટલે કે $PA = PB = PC$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$1$. $PA^2 = (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10$
$2$. $PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$3$. $PC^2 = (x - 6)^2 + (y - 2)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 - 12x - 4y + 40$
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$4x + 8y = 0 \implies x = -2y$ ... $(1)$
$PB^2 = PC^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 12x - 4y + 40$
$14x - 2y = 30 \implies 7x - y = 15$ ... $(2)$
$(1)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$7(-2y) - y = 15$
$-14y - y = 15 \implies -15y = 15 \implies y = -1$
$(1)$ માં $y = -1$ મૂકતા:
$x = -2(-1) = 2$
આમ,પરિકેન્દ્ર $P(2, -1)$ છે.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. પરિકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$.
આપેલ છે $A(-1, 1)$,$B(0, -4)$ અને $C(-1, -5)$.
$OA^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2$.
$OB^2 = (x - 0)^2 + (y + 4)^2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$.
$OC^2 = (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 = x^2 + y^2 + 2x + 10y + 26$.
$OA^2 = OC^2$ ને સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 2x + 10y + 26$
$-2y + 2 = 10y + 26$
$-12y = 24 \implies y = -2$.
$OA^2 = OB^2$ ને સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$
$2x - 2y + 2 = 8y + 16$
$2x - 10y = 14$.
$y = -2$ મૂકતા:
$2x - 10(-2) = 14$
$2x + 20 = 14$
$2x = -6 \implies x = -3$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-3, -2)$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a, -1)$,$B(6, -9)$ અને $C(10, b)$ છે. પરિકેન્દ્ર $O(6, -5)$ છે.
પરિકેન્દ્ર એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OA = OB = OC$.
પ્રથમ,$OB^2 = (6 - 6)^2 + (-5 - (-9))^2 = 0^2 + 4^2 = 16$ ગણો.
$OA^2 = OB^2$ હોવાથી,$(a - 6)^2 + (-1 - (-5))^2 = 16$.
$(a - 6)^2 + 4^2 = 16 \implies (a - 6)^2 + 16 = 16 \implies (a - 6)^2 = 0 \implies a = 6$.
તે જ રીતે,$OC^2 = OB^2$ હોવાથી,$(10 - 6)^2 + (b - (-5))^2 = 16$.
$4^2 + (b + 5)^2 = 16 \implies 16 + (b + 5)^2 = 16 \implies (b + 5)^2 = 0 \implies b = -5$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -5$ મળે છે.

(D) પરિકેન્દ્ર $P(2, 3)$ એ ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી, $PA = PB = PC$.
પ્રથમ, $PB$ નું અંતર શોધો:
$PB^2 = (5 - 2)^2 + (1 - 3)^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.
$PA^2 = PB^2$ હોવાથી:
$(a - 2)^2 + (6 - 3)^2 = 13$
$(a - 2)^2 + 3^2 = 13$
$(a - 2)^2 + 9 = 13$
$(a - 2)^2 = 4$
$a - 2 = \pm 2$
આમ, $a$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $a = 2 + 2 = 4$ અથવા $a = 2 - 2 = 0$.
જો $a = 4$ હોય, તો $A$ ના યામ $(4, 6)$ થાય, જે $C(4, 6)$ ના યામ સમાન છે. જો $A$ અને $C$ સંપાતી હોય, તો ત્રિકોણ રચી શકાય નહીં.
તેથી, $a$ ની સાચી કિંમત $0$ છે.

(C) ધારો કે $X-$અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
$P(x, 0)$ અને $A(4, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ આપેલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = d$
$\sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 4)^2} = 5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 4)^2 + (-4)^2 = 5^2$
$(x - 4)^2 + 16 = 25$
$(x - 4)^2 = 9$
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 4 = \pm 3$
કિસ્સો $1$: $x - 4 = 3 \implies x = 7$
કિસ્સો $2$: $x - 4 = -3 \implies x = 1$
તેથી,બિંદુઓના યામ $(1, 0)$ અને $(7, 0)$ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(1, 4)$,$B(7, -2)$ અને $C(9, 6)$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ એકમ.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(9 - 7)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ એકમ.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ એકમ.
અહીં $BC = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે. તેથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, 3)$,$B(5, 1)$ અને $C(1, 9)$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ ત્યારે જ સમરેખ હોય જો કોઈપણ બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. અંતર $AB = \sqrt{(5 - 4)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
$2$. અંતર $BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$3$. અંતર $AC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
અહીં $AB + AC = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = BC$ હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(-2, 1)$,$B(2, -2)$ અને $C(5, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2 = (4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
$BC^2 = (5 - 2)^2 + (2 - (-2))^2 = (3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$.
$AC^2 = (5 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 = (7)^2 + (1)^2 = 49 + 1 = 50$.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન મુજબ,જો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે. તેથી,$\triangle ABC$ એ શિરોબિંદુ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(5, 4)$ અને $B(-2, 3)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 5)^2 + (0 - 4)^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2$
$(x - 5)^2 + 16 = (x + 2)^2 + 9$
$x^2 - 10x + 25 + 16 = x^2 + 4x + 4 + 9$
$-10x + 41 = 4x + 13$
$41 - 13 = 4x + 10x$
$28 = 14x$
$x = 2$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(2, 0)$ છે.

(A) ધારો કે $Y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(0, y)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(3, 1)$ અને $B(-2, 5)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી, $PA = PB$ થાય, જેનો અર્થ છે $PA^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(3 - 0)^2 + (1 - y)^2 = (-2 - 0)^2 + (5 - y)^2$.
$9 + (1 - 2y + y^2) = 4 + (25 - 10y + y^2)$.
$10 - 2y + y^2 = 29 - 10y + y^2$.
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા: $10 - 2y = 29 - 10y$.
પદોને ગોઠવતા: $10y - 2y = 29 - 10$.
$8y = 19$.
$y = \frac{19}{8}$.
માંગેલ બિંદુ $(0, \frac{19}{8})$ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(10, -18), B(3, 6)$ અને $C(-5, 2)$ છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(3 - 10)^2 + (6 - (-18))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ એકમ.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ એકમ.
$3$. બાજુ $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(-5 - 10)^2 + (2 - (-18))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ એકમ.
અહીં બાજુ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ સમાન હોવાથી ($AB = AC = 25$ એકમ),આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,6), B(5,1)$ અને $C(4,0)$ છે. ધારો કે પરિકેન્દ્ર $P(x,y)$ છે.
પરિકેન્દ્ર એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
પ્રથમ,$PA^2 = PC^2$ ને સરખાવતા:
$(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-4)^2 + (y-0)^2$
$(y-6)^2 = y^2$
$y^2 - 12y + 36 = y^2$
$12y = 36 \implies y = 3$.
હવે,$y=3$ મૂકીને $PA^2 = PB^2$ ને સરખાવતા:
$(x-4)^2 + (3-6)^2 = (x-5)^2 + (3-1)^2$
$(x-4)^2 + (-3)^2 = (x-5)^2 + (2)^2$
$x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 4$
$-8x + 25 = -10x + 29$
$2x = 4 \implies x = 2$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(2,3)$ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(7,3)$,$B(3,0)$,$C(0,-4)$ અને $D(4,-1)$ છે.
$ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે $(AB = BC = CD = DA)$ અને વિકર્ણો સમાન નથી $(AC \neq BD)$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(3 - 7)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$CD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$DA = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
અહીં $AB = BC = CD = DA = 5$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
હવે,વિકર્ણોની ગણતરી કરીએ:
$AC = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$AC \neq BD$ હોવાથી,વિકર્ણો સમાન નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ યામ $A(b, c)$,$B(-a, 0)$ અને $C(a, 0)$ છે.
$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ ના યામ $(\frac{-a+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0)$ થાય.
હવે,લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (b - (-a))^2 + (c - 0)^2 = (b+a)^2 + c^2 = b^2 + 2ab + a^2 + c^2$.
$AC^2 = (b - a)^2 + (c - 0)^2 = b^2 - 2ab + a^2 + c^2$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $AB^2 + AC^2 = (b^2 + 2ab + a^2 + c^2) + (b^2 - 2ab + a^2 + c^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2)$.
હવે જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ:
$AD^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$.
$BD^2 = (-a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
આમ,$2(AD^2 + BD^2) = 2(b^2 + c^2 + a^2)$.
બંને બાજુઓ $2(a^2 + b^2 + c^2)$ સમાન હોવાથી,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(C) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(x, y)$ છે. $ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$AB = BC = AC$ થાય.
અંતર $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.
$AB = BC = AC = 2$ હોવાથી:
$x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ ---$(1)$
$(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$ ---$(2)$
$(2)$ નું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$.
$x^2 + y^2 = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4 - 2x + 1 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$,જેનું સાદુરૂપ $2x + 2\sqrt{3}y = 4$ અથવા $x + \sqrt{3}y = 2$ થાય.
આમ,$x = 2 - \sqrt{3}y$.
આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $(2 - \sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4$.
$4 - 4\sqrt{3}y + 3y^2 + y^2 = 4$,તેથી $4y^2 - 4\sqrt{3}y = 0$.
$4y(y - \sqrt{3}) = 0$,જેનો અર્થ $y = 0$ અથવા $y = \sqrt{3}$.
જો $y = 0$ હોય,તો $x = 2 - 0 = 2$. જો $y = \sqrt{3}$ હોય,તો $x = 2 - \sqrt{3}(\sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ $(2, 0)$ અથવા $(-1, \sqrt{3})$ હોઈ શકે છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
આપેલ બિંદુઓ $(6, 8)$ અને $(3, 4)$ છે.
અહીં,$x_1 = 6, y_1 = 8$ અને $x_2 = 3, y_2 = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 8)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં $P(4, -7)$ અને $Q(-1, 5)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 4, y_1 = -7, x_2 = -1, y_2 = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (5 - (-7))^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (5 + 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$
આમ,અંતર $PQ$ નું મૂલ્ય $13$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(2, -3)$ અને $(5, b)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(5 - 2)^2 + (b - (-3))^2}$
$5 = \sqrt{(3)^2 + (b + 3)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 9 + (b + 3)^2$
$16 = (b + 3)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$b + 3 = \pm 4$
કિસ્સો $1$: $b + 3 = 4 \implies b = 1$
કિસ્સો $2$: $b + 3 = -4 \implies b = -7$
આપેલા વિકલ્પોમાં $1$ હોવાથી,સાચો જવાબ $b = 1$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(a, 1)$ અને $(8, a)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(8 - a)^2 + (a - 1)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = (8 - a)^2 + (a - 1)^2$
$25 = (64 - 16a + a^2) + (a^2 - 2a + 1)$
$25 = 2a^2 - 18a + 65$
$2a^2 - 18a + 40 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$a^2 - 9a + 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(a - 4)(a - 5) = 0$
આમ,$a = 4$ અથવા $a = 5$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $5$ હોવાથી,સાચો જવાબ $5$ છે.

(C) ત્રિકોણ $\Delta PQR$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$1$. $PQ$ ની લંબાઈ: $PQ = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5 \text{ એકમ}$.
$2$. $QR$ ની લંબાઈ: $QR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \text{ એકમ}$.
$3$. $PR$ ની લંબાઈ: $PR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \text{ એકમ}$.
અહીં શિરોબિંદુઓ $P(0,0), Q(0,5)$ અને $R(6,0)$ અક્ષો પર આવેલા છે,તેથી ઉગમબિંદુ $P(0,0)$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે કારણ કે $y$-અક્ષ $(PQ)$ એ $x$-અક્ષ $(PR)$ ને લંબ છે.
એક ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) બિંદુઓ $A(-1, 4), B(2, 3)$ અને $C(8, 1)$ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે રેખાખંડ $AB$ અને $BC$ ના ઢાળ શોધીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{8 - 2} = \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}$.
$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,આપણે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$BC = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$AC = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
અહીં $AB + BC = \sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 3\sqrt{10} = AC$ હોવાથી,બિંદુ $B$ એ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
તેથી,બિંદુઓનો ક્રમ $A-B-C$ છે.

(B) વર્તુળનો વ્યાસ એ $(2, 4)$ અને $(2, 6)$ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
વ્યાસ $= \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસ કરતા અડધી હોય છે.
$r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી, વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(5, 0)$ અને $(x, 4)$ છે અને અંતર $d = \sqrt{17}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{17} = \sqrt{(x - 5)^2 + (4 - 0)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $17 = (x - 5)^2 + 4^2$.
$17 = (x - 5)^2 + 16$.
$(x - 5)^2 = 17 - 16 = 1$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 5 = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $x - 5 = 1 \implies x = 6$.
કિસ્સો $2$: $x - 5 = -1 \implies x = 4$.
આમ,$x = 4, 6$.

(C) કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y)$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $(6, 2)$ છે,જ્યાં $x = 6$ અને $y = 2$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $X-$ અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y-$ યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે $|y|$ છે.
તેથી,બિંદુ $(6, 2)$ નું $X-$ અક્ષથી લંબ અંતર $|2| = 2$ એકમ થાય.

(D) આપેલ બિંદુના યામ $(x, y) = (-3, 8)$ છે.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $|x|$.
અહીં,$x$-યામ $-3$ છે.
તેથી,$Y$-અક્ષથી લંબ અંતર $|-3| = 3$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 12)$ છે અને બિંદુ $C$ ના યામ $(5, 0)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $BC$ નું અંતર શોધીએ છીએ:
$BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 12)^2}$
$BC = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2}$
$BC = \sqrt{25 + 144}$
$BC = \sqrt{169}$
$BC = 13$
આમ,$BC$ નું અંતર $13$ એકમ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$, $B(-1, -1)$ અને $C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-\sqrt{3} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - (-1))^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અહીં $AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$ હોવાથી, ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી, આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(4.2,0)$ અને $C(0,9.1)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર હોવાથી,બાજુ $AB$ એ $x$-અક્ષ પર અને બાજુ $AC$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલી છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય છે.
તેથી,ખૂણો $\angle BAC = 90^\circ$ થાય.
ત્રિકોણનો એક ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(x_{1}, 0)$ અને $Q(x_{2}, 0)$ છે.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (0-0)^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2}$
અંતર હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે માનાંક લઈએ છીએ:
$PQ = |x_{2}-x_{1}| = |x_{1}-x_{2}|$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(0, y_{1})$ અને $B(0, y_{2})$ માટે,આપણે આ યામોને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{0^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2}}$
અંતર હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે માનાંક લઈએ છીએ:
$AB = |y_{2} - y_{1}|$ અથવા $|y_{1} - y_{2}|$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.