Section Formula Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ માંગેલ બિંદુ છે જે $A(4, -3)$ અને $B(8, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n = 3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = \frac{24 + 4}{4} = \frac{28}{4} = 7$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(7, 3)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(-4, 6)$ એ $A(-6, 10)$ અને $B(3, -8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m_{1}: m_{2}$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P(x, y) = \left( \frac{m_{1}x_{2} + m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2} + m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$(-4, 6) = \left( \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{-8m_{1} + 10m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$-4 = \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
$-4(m_{1} + m_{2}) = 3m_{1} - 6m_{2}$
$-4m_{1} - 4m_{2} = 3m_{1} - 6m_{2}$
$2m_{2} = 7m_{1}$
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{2}{7}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2: 7$ છે.

(N/A) ધારો કે $P$ અને $Q$ એ $AB$ ના ત્રિભાગ બિંદુઓ છે જેથી $AP = PQ = QB$ થાય.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P = \left(\frac{1(-7) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(4) + 2(-2)}{1 + 2}\right) = \left(\frac{-7 + 4}{3}, \frac{4 - 4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right) = (-1, 0)$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ:
$Q = \left(\frac{2(-7) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-2)}{2 + 1}\right) = \left(\frac{-14 + 2}{3}, \frac{8 - 2}{3}\right) = \left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (-4, 2)$.
તેથી,રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ $(-1, 0)$ અને $(-4, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $y$-અક્ષ રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$(x_1, y_1) = (5, -6)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$\left( \frac{k(-1) + 5}{k+1}, \frac{k(-4) + (-6)}{k+1} \right) = \left( \frac{-k+5}{k+1}, \frac{-4k-6}{k+1} \right)$.
આ બિંદુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{-k+5}{k+1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $-k+5 = 0$,એટલે કે $k = 5$.
આમ,ગુણોત્તર $5:1$ છે.
હવે,$k=5$ ની કિંમત $y$-યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{-4(5) - 6}{5+1} = \frac{-20-6}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(0, -13/3)$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
બંને મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$15 = 8 + p$.
આમ,$p = 15 - 8 = 7$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ માંગેલ બિંદુ છે જે $A(-1, 7)$ અને $B(4, -3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n = 2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2 + 3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{2(-3) + 3(7)}{2 + 3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3$
તેથી,બિંદુના યામ $(1, 3)$ છે.

(A) ધારો કે $A = (4, -1)$ અને $B = (-2, -3)$ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એવા ત્રિભાગ બિંદુઓ છે કે જેથી $AP = PQ = QB$ થાય.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_1 = \frac{1(-2) + 2(4)}{1+2} = \frac{-2+8}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y_1 = \frac{1(-3) + 2(-1)}{1+2} = \frac{-3-2}{3} = -\frac{5}{3}$
તેથી,$P = (2, -5/3)$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_2 = \frac{2(-2) + 1(4)}{2+1} = \frac{-4+4}{3} = 0$
$y_2 = \frac{2(-3) + 1(-1)}{2+1} = \frac{-6-1}{3} = -\frac{7}{3}$
તેથી,$Q = (0, -7/3)$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 10)$ અને $B(6, -8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P(-1, 6)$ દ્વારા $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
અહીં,$m = k$,$n = 1$,$(x_1, y_1) = (-3, 10)$,અને $(x_2, y_2) = (6, -8)$ છે.
$x$-યામને સરખાવતા:
$-1 = \frac{k(6) + 1(-3)}{k + 1}$
$-1(k + 1) = 6k - 3$
$-k - 1 = 6k - 3$
$-k - 6k = -3 + 1$
$-7k = -2$
$k = \frac{2}{7}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $2 : 7$ છે.

(A) ધારો કે $A(1, -5)$ અને $B(-4, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $x$-અક્ષ દ્વારા થતું વિભાજન $k: 1$ ના ગુણોત્તરમાં છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left(\frac{-4k + 1}{k + 1}, \frac{5k - 5}{k + 1}\right)$ મળે છે.
આ બિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{5k - 5}{k + 1} = 0$.
આના પરથી $5k - 5 = 0$ મળે,એટલે કે $k = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.
$x$-યામમાં $k = 1$ મૂકતા: $\frac{-4(1) + 1}{1 + 1} = \frac{-3}{2}$.
તેથી,વિભાજન બિંદુ $\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$ છે.

(N/A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2), B(4, y), C(x, 6)$ અને $D(3, 5)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને સમાન બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$O$ એ બંને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{x+1}{2}, 4\right)$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને એક જ બિંદુ $O$ દર્શાવતા હોવાથી,આપણે તેમના યામને સરખાવીએ:
$\frac{x+1}{2} = \frac{7}{2} \implies x+1 = 7 \implies x = 6.$
$4 = \frac{y+5}{2} \implies 8 = y+5 \implies y = 3.$
આમ,$x = 6$ અને $y = 3$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(x, y)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(2, -3)$ છે અને બિંદુ $B$ એ $(1, 4)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)$ થાય.
આને આપેલ કેન્દ્ર $(2, -3)$ સાથે સરખાવતા,
$\frac{x+1}{2} = 2 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3.$
$\frac{y+4}{2} = -3 \Rightarrow y+4 = -6 \Rightarrow y = -10.$
તેથી,બિંદુ $A$ ના યામ $(3, -10)$ છે.

(N/A) બિંદુ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(-2, -2)$ અને $(2, -4)$ છે.
$AP = \frac{3}{7} AB$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ થાય કે $AP : AB = 3 : 7$.
તેથી,$AP : PB = 3 : (7 - 3) = 3 : 4$.
બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $m : n = 3 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
$P = \left( \frac{3(2) + 4(-2)}{3 + 4}, \frac{3(-4) + 4(-2)}{3 + 4} \right)$
$P = \left( \frac{6 - 8}{7}, \frac{-12 - 8}{7} \right)$
$P = \left( -\frac{2}{7}, -\frac{20}{7} \right)$

(N/A) ધારો કે રેખાખંડ $AB$ નું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓ $X, Y, Z$ છે. આ બિંદુઓ રેખાખંડનું અનુક્રમે $1:3, 1:1, 3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$X$ ના યામ $= \left(\frac{1 \times 2 + 3 \times (-2)}{1 + 3}, \frac{1 \times 8 + 3 \times 2}{1 + 3}\right) = \left(\frac{2 - 6}{4}, \frac{8 + 6}{4}\right) = \left(-1, \frac{14}{4}\right) = \left(-1, 3.5\right)$.
$Y$ ના યામ ($AB$ નું મધ્યબિંદુ) $= \left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = \left(0, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$.
$Z$ ના યામ $= \left(\frac{3 \times 2 + 1 \times (-2)}{3 + 1}, \frac{3 \times 8 + 1 \times 2}{3 + 1}\right) = \left(\frac{6 - 2}{4}, \frac{24 + 2}{4}\right) = \left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right) = (1, 6.5)$.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3)$,$B(4, k)$ અને $C(6, -3)$ સમરેખ હોવાથી,આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થવું જોઈએ.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ માટે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$
આપેલ યામોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |2(k - (-3)) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2(k + 3) + 4(-6) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2k + 6 - 24 + 18 - 6k| = 0$
$\frac{1}{2} |-4k| = 0$
$-2k = 0$
તેથી,$k = 0$.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(-2, 8)$ અને $B(-6, -4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{8 + (-4)}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-8}{2}, \frac{4}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= (-4, 2)$.

(D) જો $P(x, y)$ એ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોય,તો વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$ અને $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
અહીં $x_1 = 7, y_1 = -6, x_2 = 3, y_2 = 4, m = 1$ અને $n = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{1(3) + 2(7)}{1 + 2} = \frac{3 + 14}{3} = \frac{17}{3}$
$y = \frac{1(4) + 2(-6)}{1 + 2} = \frac{4 - 12}{3} = -\frac{8}{3}$
આમ,બિંદુ $(\frac{17}{3}, -\frac{8}{3})$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ છે,તેથી આ બિંદુ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.

(D) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $Q(-6, 5)$ અને $R(-2, 3)$ છે.
$QR$ નું મધ્યબિંદુ $P$ શોધતા:
$P = (\frac{-6 + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (\frac{-8}{2}, \frac{8}{2}) = (-4, 4)$.
આપણને આપેલ છે કે $P = (\frac{a}{3}, 4)$.
$P$ ના યામોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a}{3} = -4$
$a = -4 \times 3$
$a = -12$.
આમ,$a$ ની કિંમત $-12$ છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(0, y)$ અને $Q$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
$P(0, y)$ અને $Q(x, 0)$ નું મધ્યબિંદુ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ થશે.
આપણને આપેલ છે કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(2, -5)$ છે.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4$
$\frac{y}{2} = -5 \Rightarrow y = -10$
તેથી,$P$ ના યામ $(0, -10)$ અને $Q$ ના યામ $(4, 0)$ છે.

(A) સત્ય.
ધારો કે બિંદુ $P(5, -3)$ એ બિંદુઓ $A(7, -2)$ અને $B(1, -5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$\left( \frac{k(1) + 1(7)}{k + 1}, \frac{k(-5) + 1(-2)}{k + 1} \right) = \left( \frac{k + 7}{k + 1}, \frac{-5k - 2}{k + 1} \right)$.
આને $P(5, -3)$ ના યામ સાથે સરખાવતા:
$\frac{k + 7}{k + 1} = 5 \implies k + 7 = 5k + 5 \implies 2 = 4k \implies k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ મૂકીને $y$-યામ ચકાસતા:
$\frac{-5(1/2) - 2}{1/2 + 1} = \frac{-2.5 - 2}{1.5} = \frac{-4.5}{1.5} = -3$.
અહીં ગુણોત્તર $1: 2$ મળે છે,તેથી બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું ત્રિભાગ બિંદુ છે (બીજું બિંદુ $2: 1$ ગુણોત્તરમાં હશે). તેથી,વિધાન સત્ય છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A (3, 4)$ અને $B (k, 6)$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુ $P (x, y) = (\frac{3+k}{2}, \frac{4+6}{2}) = (\frac{3+k}{2}, 5).$
યામોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = \frac{3+k}{2}$ અને $y = 5$ મળે છે.
આપણને સમીકરણ $x+y-10=0$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3+k}{2} + 5 - 10 = 0$
$\frac{3+k}{2} - 5 = 0$
$\frac{3+k}{2} = 5$
$3+k = 10$
$k = 10 - 3$
$k = 7.$

(A) ધારો કે રેખા $2x + y - 4 = 0$ એ બિંદુઓ $A(2, -2)$ અને $B(3, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન કરતા બિંદુના યામ વિભાજન સૂત્ર મુજબ $\left(\frac{3k + 2}{k + 1}, \frac{7k - 2}{k + 1}\right)$ થશે.
આ બિંદુ રેખા $2x + y - 4 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2\left(\frac{3k + 2}{k + 1}\right) + \left(\frac{7k - 2}{k + 1}\right) - 4 = 0$
$(k + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(3k + 2) + (7k - 2) - 4(k + 1) = 0$
$6k + 4 + 7k - 2 - 4k - 4 = 0$
$9k - 2 = 0$
$9k = 2$
$k = \frac{2}{9}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2:9$ છે.

(N/A) ત્રિકોણની મધ્યગા $AD$ એ બાજુ $BC$ ને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$B = (6, 5)$ અને $C = (1, 4)$ છે.
$D$ ના યામ = $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ અથવા $(3.5, 4.5)$ છે.

(N/A) $1$. સૌ પ્રથમ,બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ ના યામ શોધો. $B(6, 5)$ અને $C(1, 4)$ હોવાથી,$D$ ના યામ $\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$ થશે.
$2$. હવે,આપણે બિંદુ $P$ ના યામ શોધવાના છે જે રેખાખંડ $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જ્યાં $A(4, 2)$ અને $D(\frac{7}{2}, \frac{9}{2})$ છે.
$3$. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $P = \left(\frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times \frac{9}{2} + 1 \times 2}{2+1}\right) = \left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) ત્રિકોણની મધ્યગા $BE$ એ બાજુ $AC$ ને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$E$ એ બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$E$ ના યામ $= \left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right)$.
બિંદુ $Q$ એ બાજુ $BE$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q$ ના યામ $= \left(\frac{2 \times \frac{5}{2} + 1 \times 6}{2+1}, \frac{2 \times 3 + 1 \times 5}{2+1}\right) = \left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.
ત્રિકોણની મધ્યગા $CF$ એ બાજુ $AB$ ને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$F$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$F$ ના યામ $= \left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right) = \left(5, \frac{7}{2}\right)$.
બિંદુ $R$ એ બાજુ $CF$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R$ ના યામ $= \left(\frac{2 \times 5 + 1 \times 1}{2+1}, \frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}\right) = \left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$.

(N/A) શિરોબિંદુઓના યામ $A(4, 2)$,$B(6, 5)$,અને $C(1, 4)$ છે.
સૌ પ્રથમ,મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ $D$ શોધો: $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}) = (3.5, 4.5)$.
હવે,બિંદુ $P$ એ મધ્યગા $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $P = (\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = (\frac{2(3.5) + 1(4)}{2+1}, \frac{2(4.5) + 1(2)}{2+1}) = (\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
ત્યારબાદ,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધો:
$G = (\frac{4+6+1}{3}, \frac{2+5+4}{3}) = (\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$.
અવલોકન: બિંદુ $P$ એ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ સમાન છે.

(N/A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(4, 2), B(6, 5),$ અને $C(1, 4)$ છે.
અહીં,$x_1 = 4, y_1 = 2, x_2 = 6, y_2 = 5, x_3 = 1, y_3 = 4$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= \left( \frac{4 + 6 + 1}{3}, \frac{2 + 5 + 4}{3} \right)$
$= \left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$
આમ,મધ્યકેન્દ્રના યામ $\left( \frac{11}{3}, \frac{11}{3} \right)$ છે.

(6:7) ધારો કે જરૂરી ગુણોત્તર $\lambda : 1$ છે. બિંદુઓ $A(-4, -6)$ અને $B(-1, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું વિભાજન કરતા બિંદુ $M$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\left( \frac{\lambda x_2 + 1 \cdot x_1}{\lambda + 1}, \frac{\lambda y_2 + 1 \cdot y_1}{\lambda + 1} \right)$
કિંમતો $x_1 = -4, x_2 = -1, y_1 = -6, y_2 = 7$ મૂકતા:
$\left( \frac{\lambda(-1) + 1(-4)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(7) + 1(-6)}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{-\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} \right)$
રેખાખંડનું વિભાજન $x$-અક્ષ દ્વારા થતું હોવાથી,વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} = 0 \implies 7\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = \frac{6}{7}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $6:7$ છે.
હવે,$\lambda = \frac{6}{7}$ ને $x$-યામના સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-\frac{6}{7} - 4}{\frac{6}{7} + 1} = \frac{-\frac{34}{7}}{\frac{13}{7}} = -\frac{34}{13}$
તેથી,વિભાજન બિંદુ $\left( -\frac{34}{13}, 0 \right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{12}\right)$ એ $A \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ અને $B(2, -5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left(\frac{k(2) + 1(\frac{1}{2})}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(\frac{3}{2})}{k+1}\right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{3}{4} = \frac{2k + \frac{1}{2}}{k+1}$
$3(k+1) = 4(2k + \frac{1}{2})$
$3k + 3 = 8k + 2$
$3 - 2 = 8k - 3k$
$1 = 5k$
$k = \frac{1}{5}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $\frac{1}{5}: 1$ એટલે કે $1: 5$ છે.
$y$-યામ સાથે ચકાસણી કરતા:
$y = \frac{-5(\frac{1}{5}) + \frac{3}{2}}{\frac{1}{5} + 1} = \frac{-1 + \frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$.
આ આપેલ $y$-યામ સાથે સુસંગત હોવાથી,માંગેલ ગુણોત્તર $1: 5$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P(9a-2, -b)$ એ $A(3a+1, -3)$ અને $B(8a, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m_1:m_2 = 3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P(x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$9a - 2 = \frac{3(8a) + 1(3a+1)}{3+1}$
$9a - 2 = \frac{24a + 3a + 1}{4}$
$4(9a - 2) = 27a + 1$
$36a - 8 = 27a + 1$
$36a - 27a = 1 + 8$
$9a = 9 \implies a = 1$
$y$-યામને સરખાવતા:
$-b = \frac{3(5) + 1(-3)}{3+1}$
$-b = \frac{15 - 3}{4}$
$-b = \frac{12}{4}$
$-b = 3 \implies b = -3$
આમ,$a = 1$ અને $b = -3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(3, 2)$ અને $B(5, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P$ પર $1: 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
કિંમતો $m_1 = 1, m_2 = 2, x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 5, y_2 = 1$ મૂકતા:
$P = \left( \frac{1(5) + 2(3)}{1 + 2}, \frac{1(1) + 2(2)}{1 + 2} \right) = \left( \frac{5 + 6}{3}, \frac{1 + 4}{3} \right) = \left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$
બિંદુ $P\left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$ એ રેખા $3x - 18y + k = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે આ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3\left( \frac{11}{3} \right) - 18\left( \frac{5}{3} \right) + k = 0$
$11 - 6(5) + k = 0$
$11 - 30 + k = 0$
$-19 + k = 0$
$k = 19$
આમ,$k$ ની જરૂરી કિંમત $19$ છે.

(D) આપેલ છે કે $PR = \frac{3}{5} PQ$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $PR : RQ = 3 : (5 - 3) = 3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે બિંદુ $R$ ના યામ $(x, y)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$,$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
અહીં,$(x_1, y_1) = (-1, 3)$,$(x_2, y_2) = (2, 5)$,$m = 3$,અને $n = 2$ છે.
$x = \frac{3(2) + 2(-1)}{3 + 2} = \frac{6 - 2}{5} = \frac{4}{5}$
$y = \frac{3(5) + 2(3)}{3 + 2} = \frac{15 + 6}{5} = \frac{21}{5}$
આમ,બિંદુ $R$ ના યામ $(\frac{4}{5}, \frac{21}{5})$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ એ બિંદુઓ $A(8, -9)$ અને $B(2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P$ આગળ $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
આમ,ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.
હવે,$\lambda = 8$ મૂકીને $P$ ના યામ શોધીએ:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
વિભાજન બિંદુના યામ $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $3 AN = 2 AC$,તેથી $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $N$ એ $AC$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$N$ ના યામ $(\frac{2x_3+x_1}{3}, \frac{2y_3+y_1}{3})$ મળે છે.
રેખા $MN$ એ $G$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,બિંદુઓ $M, G, N$ સમરેખ છે.
મધ્યકેન્દ્રના ગુણધર્મ અને રેખાખંડોના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને,$\Delta ABC$ માં છેદિકા $MGN$ માટે મેનેલાઉસના પ્રમેય અથવા સદિશ ભૂમિતિ દ્વારા,આપણે $AM:MB$ નો ગુણોત્તર મેળવી શકીએ છીએ.
શરત $3 AN = 2 AC$ મુજબ,$N$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $AN = \frac{2}{3} AC$ થાય.
મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી છેદિકાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{AM}{MB} = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $AM = 2 MB$.

(B) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A (x_1, y_1) = (4, 3)$ અને $B (x_2, y_2) = (6, 5)$ છે.
રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય,તો તેના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
સૂત્રમાં $A$ અને $B$ ના યામ મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{4 + 6}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)$
$= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$
$= (5, 4)$
આમ,મધ્યબિંદુના યામ $(5, 4)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ અને $B(x_2, y_2) = (-2, -5)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ ને $A$ થી શરૂ કરીને $m:n = 3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-5) + 2(2)}{3+2} = \frac{-15 + 4}{5} = \frac{-11}{5} = -2.2$
આમ,બિંદુના યામ $(0, -2.2)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(-2, 3)$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું $A$ થી શરૂ કરીને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ માટે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$
અહીં $A(4, -9)$ એ $(x_1, y_1)$ છે અને $B(-3, 5)$ એ $(x_2, y_2)$ છે,અને $P(-2, 3)$ એ $(x, y)$ છે:
$-2 = \frac{m(-3) + n(4)}{m + n}$
$-2(m + n) = -3m + 4n$
$-2m - 2n = -3m + 4n$
$-2m + 3m = 4n + 2n$
$m = 6n$
$\frac{m}{n} = \frac{6}{1}$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $6: 1$ છે.

(A) ધારો કે $Y-$ અક્ષ $\overline{AB}$ ને બિંદુ $P(0, y)$ માં છેદે છે અને $P$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x-$ યામ માટે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
$P$ એ $Y-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x-$ યામ $0$ છે.
$0 = \frac{m(3) + n(-2)}{m+n}$
$0 = 3m - 2n$
$3m = 2n \implies \frac{m}{n} = \frac{2}{3}$
તેથી,ગુણોત્તર $2:3$ છે.
હવે,$m=2$ અને $n=3$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને $P$ નો $y-$ યામ શોધીએ:
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
$y = \frac{2(0) + 3(3)}{2+3} = \frac{9}{5}$
આમ,વિભાજન કરતું બિંદુ $(0, 9/5)$ છે અને ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(N/A) ધારો કે $A(-2,-1)$ અને $B(7,8)$ આપેલા બિંદુઓ છે અને $P$ તથા $Q$ એ $\overline{AB}$ ના ત્રિભાગ બિંદુઓ છે.
અહીં,$x_1 = -2, y_1 = -1, x_2 = 7$ અને $y_2 = 8$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,જે $\overline{AB}$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $= \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$.
$P = \left(\frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2}\right)$.
$P = \left(\frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}\right) = (1, 2)$.
હવે,$Q$ એ $\overline{PB}$ નું મધ્યબિંદુ છે,અથવા તે $\overline{AB}$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$Q$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left(\frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1}\right)$.
$Q = \left(\frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{15}{3}\right) = (4, 5)$.
આમ,$(-2,-1)$ અને $(7,8)$ ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ છે.

(D) $C - A - B$ ની શરત મુજબ, બિંદુ $A$ એ $C$ અને $B$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
$2 AC = 3 AB$ પરથી, આપણને ગુણોત્તર $\frac{AC}{AB} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $A$ એ રેખાખંડ $\overline{CB}$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે, આપણે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $C = (x_1, y_1)$ અને $B = (2, 3)$ છે. બિંદુ $A(1, 2)$ એ $\overline{CB}$ ને $m:n = 3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $A = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n} \right)$.
$1 = \frac{3(2) + 2(x_1)}{3+2} \implies 5 = 6 + 2x_1 \implies 2x_1 = -1 \implies x_1 = -0.5$.
$2 = \frac{3(3) + 2(y_1)}{3+2} \implies 10 = 9 + 2y_1 \implies 2y_1 = 1 \implies y_1 = 0.5$.
આમ, $C$ ના યામ $(-0.5, 0.5)$ છે.

(B) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જો બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોય,તો તેના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$ અને $y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
અહીં,$A(1, 2)$,$B(4, 5)$,$m:n = 2:1$,અને $P(3, b)$ છે.
$b$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$-યામના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$b = \frac{m(y_2) + n(y_1)}{m+n}$
$b = \frac{2(5) + 1(2)}{2+1}$
$b = \frac{10 + 2}{3}$
$b = \frac{12}{3}$
$b = 4$
આમ,$b$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) ધારો કે $Y-$અક્ષ રેખાખંડ $AB$ નું બિંદુ $P(0, y)$ પર $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે।
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
અહીં, $m_1 = k$, $m_2 = 1$, $(x_1, y_1) = (-4, 1)$, અને $(x_2, y_2) = (1, 1)$ છે।
બિંદુ $Y-$અક્ષ પર હોવાથી, તેનો $x-$યામ $0$ થાય:
$0 = \frac{k(1) + 1(-4)}{k + 1}$
$0 = k - 4$
$k = 4$
આમ, માંગેલ ગુણોત્તર $4:1$ છે।

(D) ધારો કે $X$-અક્ષ રેખાખંડ $AB$ નું બિંદુ $P(x, 0)$ આગળ $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
$A(1, 2)$ અને $B(4, -5)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{4k + 1}{k + 1}, \frac{-5k + 2}{k + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ $X$-અક્ષ પર હોવાથી, તેનો $y$-યામ $0$ થાય:
$\frac{-5k + 2}{k + 1} = 0$
$-5k + 2 = 0$
$5k = 2$
$k = \frac{2}{5}$
આમ, માંગેલ ગુણોત્તર $2:5$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(7, 5)$ અને $B(-2, -1)$ છે. ધારો કે ત્રિભાગ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{1(-2) + 2(7)}{1+2}, \frac{1(-1) + 2(5)}{1+2} \right) = \left( \frac{-2+14}{3}, \frac{-1+10}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{9}{3} \right) = (4, 3)$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q = \left( \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1}, \frac{2(-1) + 1(5)}{2+1} \right) = \left( \frac{-4+7}{3}, \frac{-2+5}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right) = (1, 1)$.
આમ,ત્રિભાગ બિંદુઓ $(4, 3)$ અને $(1, 1)$ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુ $P (2, b)$ એ $A (1, 2)$ અને $B (4, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ માટે: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{k(4) + 1(1)}{k + 1}$.
$2(k + 1) = 4k + 1 \implies 2k + 2 = 4k + 1 \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.
હવે,વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y$-યામ શોધો: $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$.
$b = \frac{1(5) + 2(2)}{1 + 2} = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 2$ છે અને $b = 3$ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(1, -2)$ અને $B(-7, 1)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
શરત $3AP = 5AB$ પરથી $AP = \frac{5}{3} AB$ મળે.
$P-A-B$ ક્રમ મુજબ,$A$ એ $P$ અને $B$ ની વચ્ચે છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = 1 + \frac{5}{3}(1 - (-7)) = 1 + \frac{5}{3}(8) = \frac{43}{3}$.
$y = -2 + \frac{5}{3}(-2 - 1) = -2 + \frac{5}{3}(-3) = -7$.
આમ,$P = (\frac{43}{3}, -7)$.

(B) રેખાખંડ $AB$ ને પાંચ સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે તે બિંદુ $P$ શોધવું પડશે જે $AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે (કારણ કે તે $A$ થી ત્રીજું બિંદુ છે).
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુના યામ $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ છે.
અહીં,$A = (-2, 1)$,$B = (7, 8)$,$m = 3$,અને $n = 2$ છે.
$x = \frac{3(7) + 2(-2)}{3+2} = \frac{21 - 4}{5} = \frac{17}{5}$.
$y = \frac{3(8) + 2(1)}{3+2} = \frac{24 + 2}{5} = \frac{26}{5}$.
આમ,બિંદુના યામ $\left(\frac{17}{5}, \frac{26}{5}\right)$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $B$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(t, t)$ એ $A(k, 2)$ અને $B(3, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P(x, y) = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{k(3) + 1(k)}{k + 1} = \frac{4k}{k + 1}$ --- $(1)$
$t = \frac{k(5) + 1(2)}{k + 1} = \frac{5k + 2}{k + 1}$ --- $(2)$
બંને સમીકરણો $t$ ની કિંમત દર્શાવતા હોવાથી, તેમને સરખાવતા:
$\frac{4k}{k + 1} = \frac{5k + 2}{k + 1}$
$k \neq -1$ લેતા:
$4k = 5k + 2$
$4k - 5k = 2$
$-k = 2$
$k = -2$

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3,4)$ અને $C(0,4)$ છે.
અહીં શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$ અને $C(0,4)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા છે,તેથી બાજુ $AC$ શિરોલંબ છે.
આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કારણ કે બાજુ $AC$ (લંબાઈ $4$) એ બાજુ $BC$ (જે સમક્ષિતિજ છે,લંબાઈ $3$) ને લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
અહીં કર્ણ એ બાજુ $AB$ છે જે $(0,0)$ અને $(3,4)$ ને જોડે છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{0+3}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ છે.

(A) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, 0)$ છે કારણ કે તે $X$-અક્ષ પર આવેલું છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $G = (\frac{1+3+x}{3}, \frac{2+4+0}{3}) = (\frac{4+x}{3}, 2)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{4+x}{3} = 0$.
$4+x = 0 \implies x = -4$.
આમ,$C$ ના યામ $(-4, 0)$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(x_1, y_1)$ અને $C(x_2, y_2)$ છે.
આપેલ છે કે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1(-1, 2)$ અને $M_2(3, 2)$ છે.
મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
બાજુ $AB$ માટે: $\frac{1+x_1}{2} = -1 \implies 1+x_1 = -2 \implies x_1 = -3$ અને $\frac{1+y_1}{2} = 2 \implies 1+y_1 = 4 \implies y_1 = 3$. તેથી,$B = (-3, 3)$.
બાજુ $AC$ માટે: $\frac{1+x_2}{2} = 3 \implies 1+x_2 = 6 \implies x_2 = 5$ અને $\frac{1+y_2}{2} = 2 \implies 1+y_2 = 4 \implies y_2 = 3$. તેથી,$C = (5, 3)$.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તેનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ છે.
$G = \left(\frac{1 + (-3) + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{7}{3}\right) = \left(1, \frac{7}{3}\right)$.