અ Gujarati
Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Gujarati
Class 10 Mathematics · Triangles · Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem
272+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 22 of 272 questions in Gujarati
251
DifficultMCQ
$\Delta ABC$ માં,મધ્યગાઓ $\overline{AD}$ અને $\overline{BE}$ બિંદુ $G$ માં છેદે છે. $G$ માંથી પસાર થતી અને $\overline{DE}$ ને સમાંતર રેખા $\overline{AC}$ ને $K$ માં છેદે છે. જો $EK = 1.8$ હોય,તો $AC = \ldots$
A
$3.6$
B
$5.4$
C
$7.2$
D
$10.8$
Solution
(D) $G$ એ $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તે મધ્યગા $\overline{AD}$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$ થાય.
$\Delta ADE$ માં,$\overline{GK} \parallel \overline{DE}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\frac{GD}{AD} = \frac{EK}{AE} = \frac{1}{3}$ મળે.
આથી $AE = 3 \times EK = 3 \times 1.8 = 5.4$ થાય.
$\overline{BE}$ એ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$AC = 2 \times AE = 2 \times 5.4 = 10.8$ થાય.
$\Delta ADE$ માં,$\overline{GK} \parallel \overline{DE}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\frac{GD}{AD} = \frac{EK}{AE} = \frac{1}{3}$ મળે.
આથી $AE = 3 \times EK = 3 \times 1.8 = 5.4$ થાય.
$\overline{BE}$ એ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$AC = 2 \times AE = 2 \times 5.4 = 10.8$ થાય.
0 likes
View Solution252
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle B$ નો દ્વિભાજક $\overline{AC}$ ને $D$ માં છેદે છે. જો $\frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}$ અને $AB = 7.5$ હોય,તો $BC = \ldots$
A
$10$
B
$17.5$
C
$6$
D
$4.5$
Solution
(A) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\Delta ABC$ માં,જો $\angle B$ નો દ્વિભાજક $\overline{AC}$ ને $D$ માં છેદે,તો સામેની બાજુના રેખાખંડોનો ગુણોત્તર એ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
અહીં $AB = 7.5$ અને $\frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{7.5}{BC} = \frac{3}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3 \times BC = 7.5 \times 4$
$3 \times BC = 30$
$BC = \frac{30}{3}$
$BC = 10$
તેથી,$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
અહીં $AB = 7.5$ અને $\frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{7.5}{BC} = \frac{3}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3 \times BC = 7.5 \times 4$
$3 \times BC = 30$
$BC = \frac{30}{3}$
$BC = 10$
0 likes
View Solution253
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$\angle Y$ નો દ્વિભાજક $\overline{XZ}$ ને $M$ માં છેદે છે. તો,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
A
$\frac{XY}{XZ} = \frac{XM}{YM}$
B
$\frac{XY}{YZ} = \frac{XM}{MZ}$
C
$YM^2 = XM \cdot MZ$
D
$XY^2 = XM \cdot XZ$
Solution
(B) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તે સામેની બાજુને એવા રેખાખંડોમાં વિભાજિત કરે છે જે ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta XYZ$ માં,$YM$ એ $\angle Y$ નો દ્વિભાજક છે,જે $\overline{XZ}$ ને $M$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,બાજુ $\overline{XZ}$ ના રેખાખંડોનો ગુણોત્તર એ ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે:
$\frac{XM}{MZ} = \frac{XY}{YZ}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$\Delta XYZ$ માં,$YM$ એ $\angle Y$ નો દ્વિભાજક છે,જે $\overline{XZ}$ ને $M$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,બાજુ $\overline{XZ}$ ના રેખાખંડોનો ગુણોત્તર એ ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે:
$\frac{XM}{MZ} = \frac{XY}{YZ}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
0 likes
View Solution254
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને બિંદુ $D$ માં છેદે છે,તો
A
$BD \times AC = BC \times AB$
B
$BD \times AB = DC \times AC$
C
$AC \times AB = DC \times BC$
D
$BD \times AC = DC \times AB$
Solution
(D) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે,તો તે સામેની બાજુને બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,તે બાજુ $BC$ ને નીચે મુજબ વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$BD \times AC = DC \times AB$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,તે બાજુ $BC$ ને નીચે મુજબ વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$BD \times AC = DC \times AB$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution255
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle B$ કાટખૂણો છે. તો,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\ldots \ldots \ldots$ સાચું છે.
A
$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$
B
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
C
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
D
$AC^{2} = AB \cdot BC$
Solution
(B) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$\angle B$ ની સામેની બાજુ $\overline{AC}$ છે,જે કર્ણ છે.
તેથી,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$\angle B$ ની સામેની બાજુ $\overline{AC}$ છે,જે કર્ણ છે.
તેથી,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
0 likes
View Solution256
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ એ વેધ છે. તો,$AD^{2} = \ldots$
A
$AB^{2} + BC^{2}$
B
$BD^{2} + DC^{2}$
C
$BD \cdot DC$
D
$BD \cdot BC$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $m \angle A = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ છે,ત્રિકોણ બે ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta CAD$ માં વિભાજિત થાય છે જે મૂળ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે અને એકબીજાને પણ સમરૂપ છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta CAD$.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય: $\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$AD^{2} = BD \cdot CD$ અથવા $AD^{2} = BD \cdot DC$ મળે છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta CAD$.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય: $\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$AD^{2} = BD \cdot CD$ અથવા $AD^{2} = BD \cdot DC$ મળે છે.
0 likes
View Solution257
EasyMCQ
$\Delta ABC$ માં,જો $\ldots \ldots \ldots \ldots$ હોય,તો એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,$AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ સાચું ઠરે છે.
A
$\overline{AD}$ એ મધ્યગા છે
B
$\overline{AD}$ એ વેધ છે
C
$\overline{CD}$ એ મધ્યગા છે
D
$\overline{BD}$ એ મધ્યગા છે
Solution
(A) એપોલોનિયસનું પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે,જો $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોય,તો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ મધ્યગાના વર્ગ અને મધ્યગા દ્વારા દુભાગતી બાજુના અડધા ભાગના વર્ગના સરવાળાના બમણા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $BD = DC = \frac{1}{2}BC$ છે.
આપેલ સમીકરણ $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ સાથે સરખાવતા,તે સ્પષ્ટ થાય છે કે $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવી જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $BD = DC = \frac{1}{2}BC$ છે.
આપેલ સમીકરણ $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ સાથે સરખાવતા,તે સ્પષ્ટ થાય છે કે $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવી જોઈએ.
0 likes
View Solution258
EasyMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90$ અને $D$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો,$BD = \dots$
A
$\frac{1}{2} AC$
B
$AB$
C
$BC$
D
$AD \cdot DC$
Solution
(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90$ અને $D$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના મધ્યગાના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} AC$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના મધ્યગાના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} AC$.
0 likes
View Solution259
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$,$AB = 8$ અને $AC = 15$ છે. તો,$BC = \ldots$.
A
$23/2$
B
$19$
C
$17$
D
$20$
Solution
(C) $\triangle ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$BC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$BC^{2} = 64 + 225$
$BC^{2} = 289$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BC = \sqrt{289} = 17$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$BC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$BC^{2} = 64 + 225$
$BC^{2} = 289$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BC = \sqrt{289} = 17$.
0 likes
View Solution260
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$PQ = 25$ અને $QR = 24$ છે. જો $PR = \dots$ હોય,તો $\angle R$ કાટખૂણો બને.
A
$7$
B
$9$
C
$10$
D
$15$
Solution
(A) $\Delta PQR$ માં,$\angle R$ કાટખૂણો હોય તે માટે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PR^2 + QR^2 = PQ^2$ થવું જોઈએ.
અહીં $PQ = 25$ અને $QR = 24$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $PR^2 + 24^2 = 25^2$.
$PR^2 + 576 = 625$.
$PR^2 = 625 - 576 = 49$.
$PR = \sqrt{49} = 7$.
અહીં $PQ = 25$ અને $QR = 24$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $PR^2 + 24^2 = 25^2$.
$PR^2 + 576 = 625$.
$PR^2 = 625 - 576 = 49$.
$PR = \sqrt{49} = 7$.
0 likes
View Solution261
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ વેધ છે. જો $PM = 8$ અને $RM = 12$ હોય,તો $QM = \dots$
A
$4 \sqrt{6}$
B
$8 \sqrt{3}$
C
$10$
D
$18$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં,જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$QM^{2} = PM \cdot RM$
અહીં $PM = 8$ અને $RM = 12$ આપેલ છે:
$QM^{2} = 8 \times 12$
$QM^{2} = 96$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$QM = \sqrt{96}$
$QM = \sqrt{16 \times 6}$
$QM = 4 \sqrt{6}$
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$QM^{2} = PM \cdot RM$
અહીં $PM = 8$ અને $RM = 12$ આપેલ છે:
$QM^{2} = 8 \times 12$
$QM^{2} = 96$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$QM = \sqrt{96}$
$QM = \sqrt{16 \times 6}$
$QM = 4 \sqrt{6}$
0 likes
View Solution262
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. જો $AM = BM = 8$ હોય,તો $AC = \ldots$
A
$10$
B
$12$
C
$8\sqrt{2}$
D
$16$
Solution
(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AM = 8$ અને $BM = 8$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$8^2 = 8 \cdot CM$
$64 = 8 \cdot CM$
$CM = \frac{64}{8} = 8$.
હવે,કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ એ $AM$ અને $CM$ નો સરવાળો છે:
$AC = AM + CM = 8 + 8 = 16$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AM = 8$ અને $BM = 8$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$8^2 = 8 \cdot CM$
$64 = 8 \cdot CM$
$CM = \frac{64}{8} = 8$.
હવે,કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ એ $AM$ અને $CM$ નો સરવાળો છે:
$AC = AM + CM = 8 + 8 = 16$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution263
DifficultMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $BD = 2 \sqrt{30}$ અને $CD = 6$ હોય,તો $AC = \ldots$
A
$20$
B
$26$
C
$14$
D
$2 \sqrt{39}$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$.
અહીં $BD = 2 \sqrt{30}$ અને $CD = 6$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2 \sqrt{30})^2 = AD \cdot 6$.
$4 \cdot 30 = 6 \cdot AD$.
$120 = 6 \cdot AD$.
$AD = 20$.
તેથી $AC = AD + CD = 20 + 6 = 26$.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$.
અહીં $BD = 2 \sqrt{30}$ અને $CD = 6$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2 \sqrt{30})^2 = AD \cdot 6$.
$4 \cdot 30 = 6 \cdot AD$.
$120 = 6 \cdot AD$.
$AD = 20$.
તેથી $AC = AD + CD = 20 + 6 = 26$.
0 likes
View Solution264
DifficultMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QS}$ એ વેધ છે. જો $PS - SR = 10$ અને $PQ^2 - QR^2 = 260$ હોય,તો $PR = \dots$
A
$\sqrt{360}$
B
$\sqrt{160}$
C
$24$
D
$26$
Solution
(D) $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QS} \perp \overline{PR}$ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$PQ^2 = PS \cdot PR$ અને $QR^2 = SR \cdot PR$ થાય.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $PQ^2 - QR^2 = (PS - SR) \cdot PR$.
આપેલ છે કે $PQ^2 - QR^2 = 260$ અને $PS - SR = 10$.
આ કિંમતો મૂકતા: $260 = 10 \cdot PR$.
તેથી,$PR = \frac{260}{10} = 26$.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $PQ^2 - QR^2 = (PS - SR) \cdot PR$.
આપેલ છે કે $PQ^2 - QR^2 = 260$ અને $PS - SR = 10$.
આ કિંમતો મૂકતા: $260 = 10 \cdot PR$.
તેથી,$PR = \frac{260}{10} = 26$.
0 likes
View Solution265
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$AB = 17$,$BC = 15$ અને $AC = 8$ છે. તો,ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુ પરના મધ્યગાની લંબાઈ $\ldots$ છે.
A
$8.5$
B
$7.5$
C
$4$
D
$12.5$
Solution
(A) $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB = 17$,$BC = 15$ અને $AC = 8$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$BC^2 + AC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
$AB^2 = 17^2 = 289$.
અહીં $BC^2 + AC^2 = AB^2$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $AB = 17$ કર્ણ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુ તેનો કર્ણ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
મધ્યગાની લંબાઈ = $\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5$.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$BC^2 + AC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
$AB^2 = 17^2 = 289$.
અહીં $BC^2 + AC^2 = AB^2$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $AB = 17$ કર્ણ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુ તેનો કર્ણ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
મધ્યગાની લંબાઈ = $\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5$.
0 likes
View Solution266
DifficultMCQ
એક સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોની લંબાઈ $10$ અને $24$ છે. તો,સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $\ldots \ldots \ldots \ldots$ છે.
A
$26$
B
$13$
C
$52$
D
$34$
Solution
(B) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $d_1 = 10$ અને $d_2 = 24$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો બિંદુ $O$ પર છેદે છે. તેથી,વિકર્ણોના અડધા ભાગ $d_1/2 = 5$ અને $d_2/2 = 12$ થશે.
આ ભાગો સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેમાં બાજુ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\text{બાજુ}^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$\text{બાજુ}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$\text{બાજુ} = \sqrt{169} = 13$.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $13$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો બિંદુ $O$ પર છેદે છે. તેથી,વિકર્ણોના અડધા ભાગ $d_1/2 = 5$ અને $d_2/2 = 12$ થશે.
આ ભાગો સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેમાં બાજુ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\text{બાજુ}^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$\text{બાજુ}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$\text{બાજુ} = \sqrt{169} = 13$.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $13$ છે.
0 likes
View Solution267
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PM}$ એ વેધ છે. જો $QM = 2x^{2}$ અને $RM = 8x^{2}$ હોય,તો $PM = \ldots \ldots$
A
$4 \sqrt{5} x^{2}$
B
$4x^{2}$
C
$6x^{2}$
D
$10x^{2}$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં,જ્યાં $\angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PM}$ એ કર્ણ $\overline{QR}$ પરનો વેધ છે,ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ એ કર્ણના બે ભાગોનો ભૂમિતિ મધ્યક છે.
તેથી,સંબંધ $PM^{2} = QM \cdot RM$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$PM^{2} = (2x^{2}) \cdot (8x^{2})$
$PM^{2} = 16x^{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$PM = \sqrt{16x^{4}}$
$PM = 4x^{2}$
તેથી,સંબંધ $PM^{2} = QM \cdot RM$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$PM^{2} = (2x^{2}) \cdot (8x^{2})$
$PM^{2} = 16x^{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$PM = \sqrt{16x^{4}}$
$PM = 4x^{2}$
0 likes
View Solution268
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle P = m \angle Q + m \angle R$ છે. જો $PQ = 20$ અને $QR = 25$ હોય,તો $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ ............ છે.
A
$75$
B
$50$
C
$60$
D
$70$
Solution
(C) $\Delta PQR$ માં,આપણને આપેલ છે કે $m \angle P = m \angle Q + m \angle R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$m \angle Q + m \angle R$ ની જગ્યાએ $m \angle P$ મૂકતા,આપણને $m \angle P + m \angle P = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 \cdot m \angle P = 180^{\circ}$,તેથી $m \angle P = 90^{\circ}$.
$\Delta PQR$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$QR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$25^2 = 20^2 + PR^2$.
$625 = 400 + PR^2$,તેથી $PR^2 = 625 - 400 = 225$.
આમ,$PR = \sqrt{225} = 15$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $PQ + QR + PR = 20 + 25 + 15 = 60$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$m \angle Q + m \angle R$ ની જગ્યાએ $m \angle P$ મૂકતા,આપણને $m \angle P + m \angle P = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 \cdot m \angle P = 180^{\circ}$,તેથી $m \angle P = 90^{\circ}$.
$\Delta PQR$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$QR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$25^2 = 20^2 + PR^2$.
$625 = 400 + PR^2$,તેથી $PR^2 = 625 - 400 = 225$.
આમ,$PR = \sqrt{225} = 15$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $PQ + QR + PR = 20 + 25 + 15 = 60$.
0 likes
View Solution269
EasyMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ છે. જો $a = 9$ અને $c = 12$ હોય,તો $b = \dots$
A
$16$
B
$18$
C
$20$
D
$15$
Solution
(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$b$ એ કર્ણ છે ($\angle B$ ની સામેની બાજુ).
તેથી,$b^{2} = a^{2} + c^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $b^{2} = 9^{2} + 12^{2}$.
$b^{2} = 81 + 144 = 225$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$b = \sqrt{225} = 15$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$b$ એ કર્ણ છે ($\angle B$ ની સામેની બાજુ).
તેથી,$b^{2} = a^{2} + c^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $b^{2} = 9^{2} + 12^{2}$.
$b^{2} = 81 + 144 = 225$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$b = \sqrt{225} = 15$.
0 likes
View Solution270
EasyMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ છે. જો $a = 20$ અને $b = 12$ હોય,તો $c = \dots$
A
$8$
B
$16$
C
$24$
D
$15$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $m \angle A = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $a$ એ કર્ણ છે,અને $b$ તથા $c$ એ બાકીની બે બાજુઓ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $a^2 = b^2 + c^2$.
અહીં $a = 20$ અને $b = 12$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$20^2 = 12^2 + c^2$
$400 = 144 + c^2$
$c^2 = 400 - 144$
$c^2 = 256$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $c = \sqrt{256} = 16$ મળે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $a^2 = b^2 + c^2$.
અહીં $a = 20$ અને $b = 12$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$20^2 = 12^2 + c^2$
$400 = 144 + c^2$
$c^2 = 400 - 144$
$c^2 = 256$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $c = \sqrt{256} = 16$ મળે છે.
0 likes
View Solution271
MediumMCQ
.......... કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના માપ નથી.
A
$5, 12, 13$
B
$3, 4, 5$
C
$7, 24, 25$
D
$8, 24, 26$
Solution
(D) જો ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
વિકલ્પ $A$ માટે: $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $8^{2} + 24^{2} = 64 + 576 = 640$,જ્યારે $26^{2} = 676$. અહીં $640 \neq 676$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ નથી.
વિકલ્પ $A$ માટે: $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $8^{2} + 24^{2} = 64 + 576 = 640$,જ્યારે $26^{2} = 676$. અહીં $640 \neq 676$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ નથી.
0 likes
View Solution272
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ મધ્યગા છે. તો,એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,$\ldots \ldots \ldots \ldots$ સાચું છે.
A
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BC^2)$
B
$AB^2 + AC^2 = 2(BD^2 + DC^2)$
C
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + DC^2)$
D
$AB^2 + AC^2 = 2(BD^2 + BC^2)$
Solution
(C) એપોલોનિયસનું પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,જો $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોય,તો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ મધ્યગાના વર્ગ અને ત્રીજી બાજુના અડધા ભાગના વર્ગના સરવાળા કરતાં બમણો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$.
$\overline{AD}$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BD = DC$.
$BD$ ની જગ્યાએ $DC$ મૂકતા,આપણને $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + DC^2)$ મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$.
$\overline{AD}$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BD = DC$.
$BD$ ની જગ્યાએ $DC$ મૂકતા,આપણને $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + DC^2)$ મળે છે.
0 likes
View SolutionTriangles — Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem · Frequently Asked Questions
1Are these Triangles questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Triangles Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.