Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Gujarati

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$.
વળી,$AC$ ને પાયો અને $BM$ ને વેધ લેતા,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 25 \times BM$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 25 \times BM = 84$.
$25 \times BM = 168$.
$BM = \frac{168}{25} = 6.72$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$. $N$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
સાબિતી:
$1$. કાટકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$.
$2$. કાટકોણ $\Delta CBN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$.
$3$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $AM^{2} + CN^{2} = AB^{2} + BM^{2} + CB^{2} + BN^{2}$.
$4$. પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$.
$5$. $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
$6$. કાટકોણ $\Delta MBN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$.
$7$. આ કિંમતોને સ્ટેપ $4$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $\square XYZW$ ના વિકર્ણો $XZ$ અને $YW$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે $(90^{\circ})$ છેદે છે.
$\triangle XOY$,$\triangle YOZ$,$\triangle ZOW$ અને $\triangle WOX$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^{2} = XO^{2} + YO^{2}$ $(1)$
$YZ^{2} = YO^{2} + ZO^{2}$ $(2)$
$ZW^{2} = ZO^{2} + WO^{2}$ $(3)$
$XW^{2} = WO^{2} + XO^{2}$ $(4)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$XY^{2} + ZW^{2} = (XO^{2} + YO^{2}) + (ZO^{2} + WO^{2})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$XY^{2} + ZW^{2} = (YO^{2} + ZO^{2}) + (WO^{2} + XO^{2})$
સમીકરણ $(2)$ અને $(4)$ ની કિંમત મૂકતા:
$XY^{2} + ZW^{2} = YZ^{2} + XW^{2}$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેની બાજુઓ $AB = CD = l$ અને $BC = DA = b$ છે. ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
લંબચોરસમાં,બધા આંતરિક ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ માં:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$
વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો:
$AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$
બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$
આમ,બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$\overline{QM} \perp \overline{PR}$. ધારો કે $PM = x$. તો $PQ = 2x$ અને $RM = 3x$.
કાટકોણ $\Delta QMP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 = PM^2 + QM^2 \implies (2x)^2 = x^2 + QM^2 \implies 4x^2 = x^2 + QM^2 \implies QM^2 = 3x^2$.
કાટકોણ $\Delta QMR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $QR^2 = QM^2 + RM^2 \implies QR^2 = 3x^2 + (3x)^2 \implies QR^2 = 3x^2 + 9x^2 = 12x^2$.
હવે,$\Delta PQR$ ની બાજુઓ ધ્યાનમાં લો: $PR = PM + RM = x + 3x = 4x$. તેથી,$PR^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
ચકાસો કે $PQ^2 + QR^2 = PR^2$: $PQ^2 + QR^2 = (2x)^2 + 12x^2 = 4x^2 + 12x^2 = 16x^2$.
કારણ કે $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\Delta PQR$ એ $\angle PQR = 90^\circ$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
આપેલ છે કે $BM = 2 CM$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 CM)^2 = AM \cdot CM$
$4 CM^2 = AM \cdot CM$
અહીં $CM \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $CM$ વડે ભાગતા $AM = 4 CM$ મળે.
હવે,કર્ણ $AC$ એ રેખાખંડ $AM$ અને $CM$ નો સરવાળો છે:
$AC = AM + CM$
$AC = 4 CM + CM$
$AC = 5 CM$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$.
$2$. $\overline{PM}$ એ બાજુ $\overline{QR}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QM = RM = \frac{1}{2} QR$,જેનો અર્થ છે કે $QR = 2RM$.
$3$. કાટકોણ $\Delta PQM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PM^{2} = PQ^{2} + QM^{2}$. તેથી,$PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$.
$4$. $PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$ અને $QR = 2RM$ ની કિંમતો પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $PR^{2} = (PM^{2} - QM^{2}) + (2RM)^{2}$.
$5$. $QM = RM$ હોવાથી,$QM$ ની જગ્યાએ $RM$ મૂકતા: $PR^{2} = PM^{2} - RM^{2} + 4RM^{2}$.
$6$. પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $PR^{2} = PM^{2} + 3RM^{2}$ મળે છે. આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $BC$ નું બિંદુઓ $D$ અને $E$ દ્વારા ત્રણ સમાન ભાગમાં વિભાજન થાય છે. ધારો કે $BD = DE = EC = x$. તેથી $BE = 2x$ અને $BC = 3x$ થાય.
કાટકોણ $\Delta ABE$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = AB^{2} + (2x)^{2} = AB^{2} + 4x^{2}$.
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા: $8AE^{2} = 8AB^{2} + 32x^{2}$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AB^{2} + (3x)^{2} = AB^{2} + 9x^{2}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા: $3AC^{2} = 3AB^{2} + 27x^{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8AE^{2} - 3AC^{2} = (8AB^{2} + 32x^{2}) - (3AB^{2} + 27x^{2}) = 5AB^{2} + 5x^{2}$.
અહીં $DE = x$ હોવાથી,$DE^{2} = x^{2}$ થાય. આમ,$8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2} + 5DE^{2}$.

(N/A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AO = OC = \frac{AC}{2}$ અને $BO = OD = \frac{BD}{2}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}$
$AO$ અને $BO$ ની કિંમતો મૂકતા:
$AB^{2} = (\frac{AC}{2})^{2} + (\frac{BD}{2})^{2}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2}}{4} + \frac{BD^{2}}{4}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2} + BD^{2}}{4}$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4AB^{2} = AC^{2} + BD^{2}$
આમ,સાબિત થાય છે કે $AC^{2} + BD^{2} = 4AB^{2}$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2BD$.
$3$. $\Delta ABD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$.
$4$. $BD^{2}$ ને કર્તા બનાવતા,$BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ મળે.
$5$. $BC = 2BD$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$.
$6$. $BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + 4(AD^{2} - AB^{2})$.
$7$. સાદું રૂપ આપતા: $AC^{2} = AB^{2} + 4AD^{2} - 4AB^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$.
$8$. આમ,$AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle ACD = 90^{\circ}$.
સાબિતી: $AC$ ને જોડો. $\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $AD^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + CD^{2}$.
તેથી,$AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ મળે.
$\triangle ACD$ માં,$AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,જો એક બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACD = 90^{\circ}$ થાય.

(N/A) $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$ $(1)$.
$\Delta ACM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$ $(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $AB^{2} - AC^{2} = BM^{2} - MC^{2} = (BM - MC)(BM + MC)$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = DC = \frac{BC}{2}$ થાય.
આપણે $BM$ ને $BD + DM$ તરીકે અને $MC$ ને $DC - DM = BD - DM$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતો મૂકતા: $BM - MC = (BD + DM) - (BD - DM) = 2DM$.
વળી,$BM + MC = BC$ થાય.
તેથી,$AB^{2} - AC^{2} = (2DM)(BC) = 2 \cdot BC \cdot DM$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m\angle A + m\angle C = m\angle B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ}$.
સમીકરણમાં $m\angle A + m\angle C = m\angle B$ મૂકતા,આપણને $m\angle B + m\angle B = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2m\angle B = 180^{\circ}$,તેથી $m\angle B = 90^{\circ}$.
ચૂકવણી મુજબ $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AC$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$.
તેથી,$AC = \sqrt{625} = 25$.

(D) $\Delta PQR$ માં,$\angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PM} \perp \overline{QR}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ) મુજબ,$PQ^2 = QM \cdot QR$.
અહીં $PQ = \sqrt{20}$ આપેલ છે,તેથી $PQ^2 = 20$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = 4 \cdot QR$.
તેથી,$QR = \frac{20}{4} = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $QR = QM + RM$,તેથી $5 = 4 + RM$.
આમ,$RM = 5 - 4 = 1$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC = 24$ અને $BD = 10$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $O$ છે.
તેથી,$AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ અને $BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 5^2$
$AB^2 = 144 + 25 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,દરેક બાજુની લંબાઈ $13$ છે.

(B) $\Delta XYZ$ માં,$m\angle Y = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$XZ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$XZ = \sqrt{25} = 5$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં $M$ એ $\overline{XZ}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$YM = \frac{1}{2} \times XZ = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$.

(C) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $L = 17 \, m$ છે.
ધારો કે સીડીના પાયાનું દીવાલથી અંતર $b = 8 \, m$ છે.
ધારો કે સીડી દીવાલ પર $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
દીવાલ,જમીન અને સીડી એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જેમાં સીડી કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $h^2 + b^2 = L^2$.
કિંમતો મૂકતા: $h^2 + 8^2 = 17^2$.
$h^2 + 64 = 289$.
$h^2 = 289 - 64 = 225$.
$h = \sqrt{225} = 15 \, m$.
આમ,સીડીનો ઉપરનો છેડો દીવાલ પર $15 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે,આપણે ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,કાટખૂણો બનાવતી બાજુનો વર્ગ એ તેની પાસેના કર્ણના ભાગ અને આખા કર્ણના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ખાસ કરીને,$BC^2 = CM \times AC$.
અહીં $AM = 7$ અને $CM = 9$ આપેલ છે,તેથી કર્ણ $AC$ ની કુલ લંબાઈ $AC = AM + CM = 7 + 9 = 16$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $BC^2 = 9 \times 16$.
$BC^2 = 144$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BC = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^\circ$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $a$ એ $\angle A$ ની સામેની બાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2$.
અહીં $b = 12$ અને $c = 35$ આપેલ છે.
$a^2 = 12^2 + 35^2$
$a^2 = 144 + 1225$
$a^2 = 1369$
$a = \sqrt{1369} = 37$.
તેથી,$a = 37$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^\circ$ છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે $PQ = x$ અને $QR = x$ (કારણ કે $PQ : QR = 1 : 1$ છે).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
કિંમતો મૂકતા,$PR^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$.
તેથી,$PR = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.
આપણે $PQ : PR$ ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$PQ : PR = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.

(A) $\Delta MNP$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $\overline{MX}$ એ બાજુ $\overline{NP}$ પરની મધ્યગા છે:
$MN^2 + MP^2 = 2(MX^2 + NX^2)$
આપેલ છે કે $MN^2 + MP^2 = 50$ અને $MX = 3$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$50 = 2(3^2 + NX^2)$
$50 = 2(9 + NX^2)$
$25 = 9 + NX^2$
$NX^2 = 25 - 9 = 16$
$NX = \sqrt{16} = 4$
$\overline{MX}$ મધ્યગા હોવાથી,$X$ એ $\overline{NP}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $NP = 2 \times NX$.
$NP = 2 \times 4 = 8$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $m \angle Q = 90^{\circ}$ છે,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta PQD \sim \Delta QRD$.
$\Delta PQD$ માં,ખૂણાઓ $\angle P$,$\angle PQD$ અને $\angle PDQ = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta QRD$ માં,ખૂણાઓ $\angle R$,$\angle RQD$ અને $\angle RDQ = 90^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ અને $\angle P + \angle PQD = 90^{\circ}$,તેથી $\angle PQD = \angle R$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$\angle DRQ$ (જે $\angle R$ સમાન છે) એ $\angle PQD$ ને અનુરૂપ ખૂણો છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોય અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ હોય,ત્યારે $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ થાય છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $BM^2 = AM \cdot CM$ મળે છે.
તેથી,$BM = \sqrt{AM \cdot CM}$,જેનો અર્થ છે કે $BM$ એ $AM$ અને $CM$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે,$\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$QM^2 = PM \times MR$.
અહીં $QM = 6$ અને $MR = 9$ આપેલ છે,તેથી $6^2 = PM \times 9$.
$36 = PM \times 9$,જેનો અર્થ છે કે $PM = 36 / 9 = 4$.
આમ,કર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $PR = PM + MR = 4 + 9 = 13$ થાય.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને એકબીજાને પણ સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
આ ત્રિકોણોની સમરૂપતા મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{12}{BM} = \frac{BM}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$BM^2 = 12 \times 3$.
$BM^2 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BM = \sqrt{36} = 6$.
તેથી,$BM$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(D) $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle B = 90^\circ$ હોવાથી,આપણે પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ કરી શકીએ છીએ.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
અહીં $AB = 12$ અને $BC = 5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(AC)^2 = (12)^2 + (5)^2$.
$(AC)^2 = 144 + 25 = 169$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $AC = \sqrt{169} = 13$.
આમ,કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $13$ છે.

(A) $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$PR$ એ કર્ણ છે (જે $90^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ છે).
તેથી,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $17^{2} = 8^{2} + QR^{2}$.
$289 = 64 + QR^{2}$.
$QR^{2} = 289 - 64$.
$QR^{2} = 225$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$QR = \sqrt{225} = 15$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $m\angle B = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $b$ એ કર્ણ દર્શાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$b^2 = a^2 + c^2$.
અહીં $a = 16$ અને $c = 12$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $b^2 = 16^2 + 12^2$.
$b^2 = 256 + 144$.
$b^2 = 400$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$b = \sqrt{400} = 20$.

(D) $\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^\circ$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$PR$ એ કર્ણ છે.
તેથી,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
આપેલ છે કે $PQ = 8$ અને $QR = 15$.
$PR^2 = 8^2 + 15^2$.
$PR^2 = 64 + 225$.
$PR^2 = 289$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PR = \sqrt{289} = 17$.

(A) $\Delta DEF$ માં,$m \angle D = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$EF$ એ કર્ણ છે કારણ કે તે ખૂણા $D$ ની સામેની બાજુ છે.
તેથી,$EF^2 = DE^2 + DF^2$.
આપેલ છે કે $EF = 6$ અને $DF = 4$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$6^2 = DE^2 + 4^2$
$36 = DE^2 + 16$
$DE^2 = 36 - 16$
$DE^2 = 20$
$DE = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle Y = 90^{\circ}$ છે.
અહીં $XY = YZ$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $XY = YZ = x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$x^2 + x^2 = 10^2$.
$2x^2 = 100$.
$x^2 = 50$.
$x = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
તેથી,$XY = 5\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે।
ચોરસમાં, વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a \sqrt{2}$ છે।
અહીં આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 6$, તેથી:
$a \sqrt{2} = 6$
$a = \frac{6}{\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે, અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$a = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$.
આમ, ચોરસની બાજુની લંબાઈ $3 \sqrt{2}$ છે।

(A) લંબચોરસમાં,દરેક ખૂણો કાટખૂણો $(90^{\circ})$ હોય છે.
ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $a = 12$ અને $b = 35$ છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ $d$ એ બે પાસપાસેની બાજુઓ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$d^2 = a^2 + b^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $d^2 = 12^2 + 35^2$.
$d^2 = 144 + 1225$.
$d^2 = 1369$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $d = \sqrt{1369} = 37$.
તેથી,વિકર્ણની લંબાઈ $37$ છે.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ માં,ખૂણો $\angle B = 90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB$ અને $BC$ બાજુઓ છે અને $AC$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AB = 2.4$ અને $BC = 3.2$ આપેલ છે.
$AC^2 = (2.4)^2 + (3.2)^2$.
$AC^2 = 5.76 + 10.24$.
$AC^2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{16} = 4$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle B = 90^{\circ}$ છે,તેથી બાજુ $\overline{AC}$ એ કર્ણ છે.
$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$BM = \frac{1}{2} \times AC$.
$AC = 20$ આપેલ હોવાથી,$BM = \frac{1}{2} \times 20 = 10$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle Y = 90^{\circ}$ છે,તેથી બાજુ $XZ$ એ કર્ણ છે.
$\overline{YP}$ એ કર્ણ $XZ$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$YP = \frac{1}{2} \times XZ$.
અહીં $YP = 6$ આપેલ છે,તેથી $6 = \frac{1}{2} \times XZ$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $XZ = 6 \times 2 = 12$ મળે છે.

(C) $\triangle PQR$ માં,આપણને $PQ = 10$,$QR = 10$ અને $PR = 10\sqrt{2}$ આપેલ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું $\triangle PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે:
$PQ^2 + QR^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.
$PR^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200$.
અહીં $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ હોવાથી,$\triangle PQR$ એ $\angle PQR = 90^\circ$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ચતુષ્કોણમાં,જો બે પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય,તો તે ચોરસ હોવાની શક્યતા છે.

(D) ધારો કે વાંસની લંબાઈ કર્ણ $c = 15 \, m$ છે.
દીવાલ પર પહોંચેલી ઊંચાઈ એક બાજુ $a = 12 \, m$ છે.
દીવાલના પાયાથી અંતર બીજી બાજુ $b$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = c^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(12)^2 + b^2 = (15)^2$.
$144 + b^2 = 225$.
$b^2 = 225 - 144 = 81$.
$b = \sqrt{81} = 9 \, m$.
આમ,વાંસનો નીચેનો છેડો દીવાલના પાયાથી $9 \, m$ દૂર છે.

(B) લંબચોરસ $ABCD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $AB^{2} + BC^{2} = 64$.
તેથી,$AC^{2} = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{64} = 8$ મળે.
આમ,વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $8$ છે.

(D) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$.
અહીં $BM = 12$ અને $AM = 9$ આપેલ છે,તેથી $12^2 = 9 \cdot MC$.
$144 = 9 \cdot MC \implies MC = \frac{144}{9} = 16$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
તેથી,$AB = \sqrt{225} = 15$.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
પહેલા $\Delta BMC$ માં $BC^2$ શોધીએ: $BC^2 = BM^2 + MC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
આમ,$AC^2 = 225 + 400 = 625$.
$AC = \sqrt{625} = 25$.
અથવા,$AC = AM + MC = 9 + 16 = 25$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસનો વિકર્ણ $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $d = 12$ આપેલ છે,તેથી:
$12 = a \sqrt{2}$
$a = \frac{12}{\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$a = \frac{12 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$a = \frac{12 \sqrt{2}}{2}$
$a = 6 \sqrt{2}$
તેથી,ચોરસની દરેક બાજુની લંબાઈ $6 \sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m\angle Q = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$PR^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
તેથી,$PR = \sqrt{100} = 10$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
અહીં $T$ એ $\overline{PR}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overline{QT}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$QT = \frac{1}{2} \times PR = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(A) ધારો કે સીડીની લંબાઈ કર્ણ $h = 2.6 \,m$ છે.
ધારો કે સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર પાયો $b = 1 \,m$ છે.
ધારો કે સીડી દીવાલ પર $a$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = h^2$.
કિંમતો મૂકતા: $a^2 + (1)^2 = (2.6)^2$.
$a^2 + 1 = 6.76$.
$a^2 = 6.76 - 1 = 5.76$.
$a = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$.
આમ,સીડીનો ઉપરનો છેડો દીવાલ પર $2.4 \,m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે.

(B) જો ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
વિકલ્પ $A$ માટે: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$,જ્યારે $12^2 = 144$. $100 \neq 144$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
વિકલ્પ $B$ માટે: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$,અને $25^2 = 625$. $625 = 625$ હોવાથી,તે પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^2 + 15^2 = 49 + 225 = 274$,જ્યારે $17^2 = 289$. $274 \neq 289$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$,જ્યારે $9^2 = 81$. $58 \neq 81$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
તેથી,$7, 24, 25$ બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણો બનાવતી બે બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
ધારો કે આ દરેક બાજુની લંબાઈ $x \, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$(x)^2 + (x)^2 = (8)^2$.
$2x^2 = 64$.
$x^2 = 32$.
$x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2} \, cm$.
લંબાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી બાકીની બે બાજુઓમાંથી દરેકની લંબાઈ $4 \sqrt{2} \, cm$ છે.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\Delta PQR$ માં,જો $PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોય,તો $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$ થાય.
અહીં $\frac{PQ}{PR} = \frac{5}{4}$ અને $SR = 5.6 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{5}{4} = \frac{QS}{5.6}$ મળે.
તેથી,$QS = \frac{5 \times 5.6}{4} = 5 \times 1.4 = 7 \text{ cm}$.
હવે,$QR = QS + SR = 7 + 5.6 = 12.6 \text{ cm}$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
અહીં $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{3}$ અને $AC = 15$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{3} = \frac{AN}{15}$.
$AN = \frac{2 \times 15}{3} = 10$.
$A-N-C$ હોવાથી,$AC = AN + NC$ થાય.
$15 = 10 + NC$.
$NC = 15 - 10 = 5$.

(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
અહીં $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ થાય.
આપેલ છે કે $AB:AC = 3:4$,તેથી ધારો કે $AB = 3k$ અને $AC = 4k$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$.
તેથી,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$.
આનો અર્થ એ છે કે $AD = \frac{3}{4} AB$ અને $AE = \frac{3}{4} AC$.
હવે,$BD = AB - AD = AB - \frac{3}{4} AB = \frac{1}{4} AB$.
તે જ રીતે,$EC = AC - AE = AC - \frac{3}{4} AC = \frac{1}{4} AC$.
હવે ગુણોત્તર $\frac{EC}{BD} = \frac{\frac{1}{4} AC}{\frac{1}{4} AB} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$ મળે.
આમ,$EC:BD = 4:3$ થાય.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\Delta ABC$ માં,જો $\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે,તો $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$ અને $BD = 4.5$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{4.5}{DC}$.
તેથી,$DC = \frac{4.5 \times 4}{3} = 1.5 \times 4 = 6$.
હવે,$BC = BD + DC$ હોવાથી,$BC = 4.5 + 6 = 10.5$ મળે.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\overline{BE}$ એ બાજુ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $AE = EC$,અથવા $AC = 2EC$.
$\Delta CEB$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $\overline{AD}$ મધ્યગા છે) અને રેખા $m$ ($D$ માંથી પસાર થતી) એ $\overline{BE}$ ને સમાંતર છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ $\Delta CEB$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $\overline{DK} \parallel \overline{BE}$ હોવાથી,$K$ એ $\overline{EC}$ નું મધ્યબિંદુ થાય.
તેથી,$EK = KC = 2.5$.
આમ,$EC = EK + KC = 2.5 + 2.5 = 5$.
અંતે,$AC = 2EC = 2 \times 5 = 10$.