Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Gujarati

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
તેથી,$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ અને $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 15^2$
$AB^2 = 64 + 225 = 289$
$AB = \sqrt{289} = 17$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times 17 = 68$.

(B) વાંસના ઝાડની કુલ ઊંચાઈ $8 \, m$ છે.
તે જમીનથી $3 \, m$ ની ઊંચાઈએથી તૂટે છે.
ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H = 8 \, m$ છે અને જે ઊંચાઈએથી તે તૂટે છે તે $h = 3 \, m$ છે.
તૂટેલા ભાગની લંબાઈ (કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ) $L = H - h = 8 - 3 = 5 \, m$ છે.
બાકી રહેલા થડની ઊંચાઈ $h = 3 \, m$ છે.
ધારો કે ઝાડની ટોચ અને ઝાડના પાયા વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + h^2 = L^2$
$x^2 + 3^2 = 5^2$
$x^2 + 9 = 25$
$x^2 = 25 - 9 = 16$
$x = \sqrt{16} = 4 \, m$.
આમ,અંતર $4 \, m$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle C = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$AB$ એ કર્ણ છે,અને $AC$ તથા $BC$ એ બાકીની બે બાજુઓ છે.
તેથી,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(12.5)^2 = AC^2 + (12)^2$.
$156.25 = AC^2 + 144$.
$AC^2 = 156.25 - 144$.
$AC^2 = 12.25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{12.25} = 3.5$.

(D) $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,આપણે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરી શકીએ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
અહીં $AB = 4$ અને $BC = 7.5$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$AC^2 = 4^2 + (7.5)^2$
$AC^2 = 16 + 56.25$
$AC^2 = 72.25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$AC = \sqrt{72.25} = 8.5$
આમ,$AC$ ની લંબાઈ $8.5$ છે.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,ત્યાં કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
તેથી,$BM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta XYZ$ માં,જ્યાં $m\angle Y = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $XZ$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(XZ)^{2} = (XY)^{2} + (YZ)^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(XZ)^{2} = (a^{2} - b^{2})^{2} + (2ab)^{2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(XZ)^{2} = (a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}) + 4a^{2}b^{2}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $(XZ)^{2} = a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4}$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(XZ)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $XZ = a^{2} + b^{2}$ મળે છે.

(C) લંબચોરસ $ABCD$ માં,ખૂણો $\angle ABC = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AC$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
અહીં $AB = 7.5$ અને $AC = 19.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(7.5)^2 + BC^2 = (19.5)^2$.
$56.25 + BC^2 = 380.25$.
$BC^2 = 380.25 - 56.25$.
$BC^2 = 324$.
$BC = \sqrt{324} = 18$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ મળે.
આમ,$AC = \sqrt{169} = 13$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈથી અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 13 = 6.5$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
તેથી,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$ અને $BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 9^2 + 12^2$
$AB^2 = 81 + 144 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times 15 = 60$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
તેથી,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ અને $BO = \frac{BD}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = (7.5)^2 + (18)^2$
$AB^2 = 56.25 + 324 = 380.25$
$AB = \sqrt{380.25} = 19.5$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ}$.
પરિમિતિ $= 4 \times 19.5 = 78$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,પાયા પરની મધ્યગા એ પાયા પરનો વેધ પણ હોય છે.
અહીં $\overline{AD}$ એ પાયા $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$ થાય અને $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2$
$AB^2 = 64 + 36$
$AB^2 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$.
આમ,$AB$ ની લંબાઈ $10$ છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ એ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $AC$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ છે કે $AB = 11$ અને $BC = 60$,તેથી $AC^2 = 11^2 + 60^2$.
$AC^2 = 121 + 3600 = 3721$.
વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{3721} = 61$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = AB + BC + AC$.
$P = 11 + 60 + 61 = 132$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં,જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $PR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(PR)^2 = (PQ)^2 + (QR)^2$.
આપેલ કિંમતો $PQ = 33$ અને $PR = 65$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(65)^2 = (33)^2 + (QR)^2$.
$4225 = 1089 + (QR)^2$.
$(QR)^2 = 4225 - 1089$.
$(QR)^2 = 3136$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $QR = \sqrt{3136} = 56$.
તેથી,$QR$ ની લંબાઈ $56$ છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે.
તેથી,$\angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle POQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$.
કાટકોણ $\triangle ROS$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $RS^{2} = RO^{2} + OS^{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $PQ^{2} + RS^{2} = PO^{2} + OQ^{2} + RO^{2} + OS^{2}$ --- (સમીકરણ $1$).
કાટકોણ $\triangle SOP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PS^{2} = SO^{2} + OP^{2}$.
કાટકોણ $\triangle QOR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $QR^{2} = OQ^{2} + OR^{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $PS^{2} + QR^{2} = SO^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + OR^{2}$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જમણી બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$. $N$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે.
પગલું $1$: $\Delta ABM$ અને $\Delta CBN$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ કરો.
$\Delta ABM$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$ મળે.
$\Delta CBN$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$ મળે.
પગલું $2$: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરો.
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BM^{2}) + (CB^{2} + BN^{2})$.
પગલું $3$: પદોને ફરીથી ગોઠવો.
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + CB^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$.
પગલું $4$: $\Delta ABC$ અને $\Delta MBN$ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરો.
$\Delta ABC$ માં,$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$.
$\Delta MBN$ માં,$MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$.
પગલું $5$: આ કિંમતોને પગલું $3$ ના સમીકરણમાં મૂકો.
$AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેની બાજુઓ $AB = CD = l$ અને $BC = DA = b$ છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
લંબચોરસમાં,બધા આંતરિક ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$.
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ માં:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$.
વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો = $AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$.
બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો = $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$.
આમ,બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = m^{2}-n^{2}$,$b = 2mn$ અને $c = m^{2}+n^{2}$ છે.
ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે કે નહીં (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
અહીં,$c = m^{2}+n^{2}$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે કારણ કે $m > n > 0$.
$a^{2} + b^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$a^{2} + b^{2} = (m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2}$
$= (m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4}) + 4m^{2}n^{2}$
$= m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$
$= (m^{2}+n^{2})^{2}$
$= c^{2}$
આમ,$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ (કારણ કે $\overline{AC}$ કર્ણ છે),અને $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
$\overline{BE}$ મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AE = EC = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 2AE$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
આપણે સાબિત કરવાનું છે: $AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$.
$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$AC^{2} + AC^{2} = 2AC^{2}$.
$AC = 2AE$ હોવાથી,તેને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(2AE)^{2} = 2(4AE^{2}) = 8AE^{2}$.
આમ,$AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે લખી શકાય:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ (બાજુઓને પાયો અને વેધ ગણતા)
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ (કર્ણને પાયો અને વેધ ગણતા)
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM \implies AB \times BC = AC \times BM$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $AB^2 \times BC^2 = AC^2 \times BM^2$.
$\Delta ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2$ ની કિંમત મૂકતા: $AB^2 \times BC^2 = (AB^2 + BC^2) \times BM^2$.
$BM^2$ ને કર્તા બનાવતા: $BM^2 = \frac{AB^2 \times BC^2}{AB^2 + BC^2}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2 + BC^2}{AB^2 \times BC^2}$.
અપૂર્ણાંકને અલગ પાડતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2}{AB^2 \times BC^2} + \frac{BC^2}{AB^2 \times BC^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AB^2}$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ છે.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$ થાય.
$3$. આપેલ છે કે $BD = 2CD$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(2CD)^2 = AD \cdot CD$.
$4$. આનું સાદું રૂપ આપતા $4CD^2 = AD \cdot CD$ મળે.
$5$. બંને બાજુ $CD$ વડે ભાગતા ($CD \neq 0$ હોવાથી),આપણને $AD = 4CD$ મળે છે.
$6$. આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AD + CD$,તેથી $AD = 4CD$ ની કિંમત મૂકતા: $AC = 4CD + CD$.
$7$. આમ,$AC = 5CD$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ થાય. (સમીકરણ $1$)
$\Delta ABD$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ થાય. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,આપણે $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$ લખી શકીએ.
$AB^{2}$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + BC^{2}$.
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$ મળે છે.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2BD$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
$BC = 2BD$ મૂકતા,આપણને મળે $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$. (સમીકરણ $1$)
કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + 4BD^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(B) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે જેમાં $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા $\overline{AD}$ હોય,ત્યારે નીચે મુજબનો સંબંધ મળે છે:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AD = 7$ અને $AB^2 + AC^2 = 148$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$148 = 2(7^2 + BD^2)$
$148 = 2(49 + BD^2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$74 = 49 + BD^2$
$BD^2 = 74 - 49 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
$\overline{AD}$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(A) $\Delta PQR$ માટે એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $\overline{PS}$ મધ્યગા છે:
$PQ^2 + PR^2 = 2(PS^2 + QS^2)$
અહીં $PQ = 9$,$PR = 40$ અને $PS = 20.5$ આપેલ છે:
$9^2 + 40^2 = 2(20.5^2 + QS^2)$
$81 + 1600 = 2(420.25 + QS^2)$
$1681 = 2(420.25 + QS^2)$
$840.5 = 420.25 + QS^2$
$QS^2 = 840.5 - 420.25 = 420.25$
$QS = \sqrt{420.25} = 20.5$
$\overline{PS}$ મધ્યગા હોવાથી,$S$ એ $\overline{QR}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $QR = 2 \times QS = 2 \times 20.5 = 41$.

(B) એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે જેમાં $BC$ પરની મધ્યગા $AD$ હોય:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
અહીં $AB = 10$,$AC = 24$ અને $AD = 13$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10^2 + 24^2 = 2(13^2 + BD^2)$
$100 + 576 = 2(169 + BD^2)$
$676 = 2(169 + BD^2)$
$338 = 169 + BD^2$
$BD^2 = 338 - 169 = 169$
$BD = \sqrt{169} = 13$
$AD$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 13 = 26$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\Delta ABD$ માં $AD = BD = 8.5$ હોવાથી,$AD = BD = DC = 8.5$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $D$ એ $\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે અને $\overline{BC}$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,$\angle BAC = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 + AB^2 = BC^2$.
અહીં $AB = 8$ અને $BC = BD + DC = 8.5 + 8.5 = 17$.
$AC^2 + 8^2 = 17^2$
$AC^2 + 64 = 289$
$AC^2 = 225$
$AC = 15$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{PS}$ એ $\Delta PQR$ ની મધ્યગા છે,તેથી તે બાજુ $QR$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. આમ,$QS = SR = 18.5.$
અહીં $PS = QS = SR = 18.5$ હોવાથી,બિંદુ $S$ એ બાજુ $QR$ ના સંદર્ભમાં $\Delta PQR$ નું પરિકેન્દ્ર છે,જે સૂચવે છે કે $\angle QPR = 90^\circ$ (ગુણધર્મ મુજબ કે જો કોઈ બાજુ પરની મધ્યગા તે બાજુની લંબાઈ કરતા અડધી હોય,તો તે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય છે).
કાટકોણ $\Delta PQR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 + PR^2 = QR^2$
$QR = QS + SR = 18.5 + 18.5 = 37$
$12^2 + PR^2 = 37^2$
$144 + PR^2 = 1369$
$PR^2 = 1369 - 144 = 1225$
$PR = \sqrt{1225} = 35.$

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
અહીં,$AC$ એ કર્ણ છે અને $AB$ એ એક બાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10^2 = 6^2 + BC^2$.
$100 = 36 + BC^2$.
$BC^2 = 100 - 36 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $BC = 8$ અને વેધ $AB = 6$ છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 4 \times 6 = 24$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $BC$ ની લંબાઈ શોધી શકાય: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. આપેલી કિંમતો મૂકતા: $3^2 + BC^2 = 5^2$,જે $9 + BC^2 = 25$ આપે છે.
$3$. તેથી,$BC^2 = 25 - 9 = 16$,એટલે કે $BC = 4$.
$4$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે ગણી શકાય: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ અથવા $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$5$. બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 5 \times BM$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા: $12 = 5 \times BM$,જે દર્શાવે છે કે $BM = \frac{12}{5} = 2.4$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\overline{AB} \cong \overline{BC}$ હોવાથી,ધારો કે $AB = BC = x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
કિંમતો મૂકતા,$AC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$.
તેથી,$AC = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.
આપણે $AB : AC$ ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$AB : AC = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AB = 20$ અને $AC = 29$ આપેલ છે,તેથી $29^2 = 20^2 + BC^2$.
$841 = 400 + BC^2$.
$BC^2 = 841 - 400 = 441$.
$BC = \sqrt{441} = 21$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC$.
પરિમિતિ $= 20 + 21 + 29 = 70$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ શોધો: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36$.
$AC = \sqrt{36} = 6$.
અહીં $\overline{BE}$ એ કર્ણ $AC$ પરની મધ્યગા હોવાથી,તેની લંબાઈ $BE = \frac{1}{2} AC$ થશે.
$BE = \frac{1}{2} \times 6 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ છે.
ધારો કે કોઈ અચળાંક $x > 0$ માટે $AB = 3x$ અને $BC = 4x$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \sqrt{25x^2} = 5x$.
આપણે $AB : AC$ ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$AB : AC = 3x : 5x = 3 : 5$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$\Delta ABC$ એ $m\angle B = 90^{\circ}$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$BM = \frac{1}{2} AC$ થાય.
આપેલ છે કે $BM = 12.5$,તેથી $12.5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 25$.
હવે,$\Delta ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$15^2 + BC^2 = 25^2$
$225 + BC^2 = 625$
$BC^2 = 625 - 225 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 3a$ છે, જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
અહીં $P = 24$ આપેલ છે, તેથી $3a = 24$, જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
સમબાજુ ત્રિકોણના વેધ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
સૂત્રમાં $a = 8$ મૂકતા, આપણને $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી, વેધની લંબાઈ $4 \sqrt{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle Y = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$.
ધારો કે $XY = 15k$ અને $XZ = 17k$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા: $(15k)^2 + 4^2 = (17k)^2$.
$225k^2 + 16 = 289k^2$.
$16 = 289k^2 - 225k^2$.
$16 = 64k^2$.
$k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$k = \frac{1}{2} = 0.5$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$XY = 15 \times 0.5 = 7.5$.
$XZ = 17 \times 0.5 = 8.5$.
$YZ = 4$.
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ = $XY + YZ + XZ = 7.5 + 4 + 8.5 = 20$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $AB = BC$ છે.
ધારો કે $AB = BC = x$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $x^2 + x^2 = (14\sqrt{2})^2$.
$2x^2 = 196 \times 2$.
$2x^2 = 392$.
$x^2 = 196$.
$x = 14$.
આમ,પાયો $BC = 14$ અને વેધ $AB = 14$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98$ ચોરસ એકમ.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો તે વેધ એ કર્ણના બે ભાગોનો ભૂમિતિ મધ્યક (geometric mean) હોય છે.
ભૂમિતિ મધ્યકના પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ છે કે $AM = 2x$,$BM = 3x + 5$ અને $CM = 8x$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(3x + 5)^2 = (2x)(8x)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $9x^2 + 30x + 25 = 16x^2$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $7x^2 - 30x - 25 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $7x^2 - 35x + 5x - 25 = 0$.
$7x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$.
$(7x + 5)(x - 5) = 0$.
આથી $x = 5$ અથવા $x = -5/7$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોવાથી,$x = 5$ લેતા.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોય અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ હોય,તો સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ $(\Delta AMB \sim \Delta ABC)$ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે: $AB^2 = AM \cdot AC$.
આપેલ કિંમતો $AB = x - 2$,$AM = x - 6$ અને $AC = 2x - 4$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - 2)^2 = (x - 6)(2x - 4)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 4x - 12x + 24$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 16x + 24$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા: $x^2 - 12x + 20 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 10)(x - 2) = 0$.
આથી $x = 10$ અથવા $x = 2$ મળે છે.
જો $x = 2$ લઈએ,તો $AB = 2 - 2 = 0$ થાય,જે ત્રિકોણની બાજુ માટે શક્ય નથી. તેથી,$x = 10$ એ જ સાચો જવાબ છે.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,જો $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x + 1)^2 = (x - 1)(x + 4)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x - x - 4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3x - 4$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $2x + 1 = 3x - 4$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $3x - 2x = 1 + 4$.
આમ,$x = 5$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$AC = 24$ હોવાથી,$AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AO^2 + BO^2$.
અહીં $AB = 13$ અને $AO = 12$ આપેલ છે,તેથી $13^2 = 12^2 + BO^2$.
$169 = 144 + BO^2$.
$BO^2 = 169 - 144 = 25$.
$BO = \sqrt{25} = 5$.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD = 2 \times BO = 2 \times 5 = 10$ થાય.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$PO = OR = \frac{PR}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ અને $QO = OS = \frac{QS}{2} = \frac{12}{2} = 6$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = (4.5)^2 + (6)^2$
$PQ^2 = 20.25 + 36 = 56.25$
$PQ = \sqrt{56.25} = 7.5$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,પરિમિતિ $= 4 \times PQ$ થાય.
પરિમિતિ $= 4 \times 7.5 = 30$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = 3a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે。
આપેલ છે કે $P = 30$, તેથી $3a = 30$, જેનો અર્થ છે કે $a = 10$.
સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે。
સૂત્રમાં $a = 10$ મૂકતા:
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} (10)^2$
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$
$Area = 25 \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $AB = x$.
આપેલ છે કે $BC - AB = 4$,તેથી $BC = x + 4$.
આપેલ છે કે $AC - BC = 4$,તેથી $AC = BC + 4 = (x + 4) + 4 = x + 8$.
$\Delta ABC$ એ $\angle B = 90^{\circ}$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + (x + 4)^2 = (x + 8)^2$.
$x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 16x + 64$.
$x^2 - 8x - 48 = 0$.
$(x - 12)(x + 4) = 0$.
$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = 12$.
આમ,$AB = 12$,$BC = 12 + 4 = 16$,અને $AC = 16 + 4 = 20$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BM \perp AC$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $BM = 10$ અને $CM = 5$ આપેલ છે,તેથી $10^2 = AM \cdot 5$,જે આપણને $100 = 5 \cdot AM$ આપે છે,એટલે કે $AM = 20$.
કર્ણ $AC = AM + CM = 20 + 5 = 25$.
$\Delta BMC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$,તેથી $BC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
$\Delta AMB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = BM^2 + AM^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500$,તેથી $AB = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 25 = 25 + 15\sqrt{5}$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$. ધારો કે $AB = AC = x$ અને $BC = y$.
પરિમિતિ $AB + AC + BC = 50$ છે,તેથી $2x + y = 50$,જેનો અર્થ છે કે $y = 50 - 2x$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં $\overline{AM}$ એ પાયા $\overline{BC}$ પરનો વેધ હોવાથી,તે પાયાને દુભાગે છે. તેથી,$BM = MC = y/2 = (50 - 2x)/2 = 25 - x$.
કાટકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AM^2 + BM^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા: $15^2 + (25 - x)^2 = x^2$.
$225 + 625 - 50x + x^2 = x^2$.
$850 - 50x = 0$,તેથી $50x = 850$,જે આપણને $x = 17$ આપે છે.
હવે,પાયો $y$ શોધો: $y = 50 - 2(17) = 50 - 34 = 16$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$AB = AC = 37$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં પાયા $BC$ પરની મધ્યગા $\overline{AM}$ એ પાયા પરનો વેધ પણ હોય છે.
તેથી,$\overline{AM} \perp \overline{BC}$ અને $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BC = 70$ હોવાથી,$BM = MC = \frac{70}{2} = 35$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$37^2 = AM^2 + 35^2$
$1369 = AM^2 + 1225$
$AM^2 = 1369 - 1225 = 144$
$AM = \sqrt{144} = 12$.

(A) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L$ છે. નિસરણી, દીવાલ અને જમીન એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $L^2 = (\text{ઊંચાઈ})^2 + (\text{પાયો})^2$.
પ્રથમ કિસ્સામાં, ઊંચાઈ $= 8 \, m$ અને પાયો $= 6 \, m$ છે.
તેથી, $L^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
આમ, $L = \sqrt{100} = 10 \, m$.
બીજા કિસ્સામાં, તે જ $L = 10 \, m$ લંબાઈની નિસરણીનો ઉપયોગ થાય છે અને નવી ઊંચાઈ $6 \, m$ છે.
ધારો કે નવો પાયો $x$ છે.
ફરીથી પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $L^2 = (\text{નવી ઊંચાઈ})^2 + x^2$.
$10^2 = 6^2 + x^2$.
$100 = 36 + x^2$.
$x^2 = 100 - 36 = 64$.
$x = \sqrt{64} = 8 \, m$.
તેથી, નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના પાયાથી અંતર $8 \, m$ છે.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = AC = 24$ અને $d_2 = BD = 70$ છે.
વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે. તેથી,રેખાખંડો $AO = OC = \frac{24}{2} = 12$ અને $BO = OD = \frac{70}{2} = 35$ થશે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 35^2$
$AB^2 = 144 + 1225 = 1369$
$AB = \sqrt{1369} = 37$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 37 = 148$ થાય.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $QS \perp PR$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$PQ^2 = PS \cdot PR$ થાય.
અહીં $PQ = 6$ અને $PS = 4$ આપેલ છે,તેથી $6^2 = 4 \cdot PR$,જેનો અર્થ છે કે $36 = 4 \cdot PR$,એટલે કે $PR = 9$.
$PR = PS + RS$ હોવાથી,$9 = 4 + RS$,તેથી $RS = 5$.
વેધના પ્રમેય મુજબ,$QS^2 = PS \cdot RS = 4 \cdot 5 = 20$,તેથી $QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta QSR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$QR^2 = QS^2 + RS^2 = 20 + 5^2 = 20 + 25 = 45$.
આમ,$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.