અ Gujarati
Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Gujarati
Class 10 Mathematics · Triangles · Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem
272+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 272 questions in Gujarati
101
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $X, Y, Z$ છે. $\Delta XYZ$ માં,બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $A, B, C$ છે. જો $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $240$ હોય,તો $\Delta XYZ$ અને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
A
$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 60,$ $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 15$
B
$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 120,$ $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 30$
C
$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 60,$ $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 30$
D
$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 120,$ $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 60$
Solution
(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણને ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું હોય છે.
$1$. $\Delta PQR$ માટે,મધ્યબિંદુઓ $X, Y, Z$ છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \times 240 = 60.$
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta XYZ$ માટે,મધ્યબિંદુઓ $A, B, C$ છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times 60 = 15.$
આમ,$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $60$ છે અને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $15$ છે.
$1$. $\Delta PQR$ માટે,મધ્યબિંદુઓ $X, Y, Z$ છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \times 240 = 60.$
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta XYZ$ માટે,મધ્યબિંદુઓ $A, B, C$ છે. તેથી,$\text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times 60 = 15.$
આમ,$\Delta XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $60$ છે અને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $15$ છે.
0 likes
View Solution102
Medium
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$A$ માંથી પસાર થતી એક રેખા $BD$ ને $L$ માં,$CD$ ને $M$ માં અને $BC$ ના લંબાવેલા ભાગને $N$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\frac{LD^2}{LB^2} = \frac{LM}{LN}$.
Solution
(A) $1$. $\triangle LDM$ અને $\triangle LBN$ ને ધ્યાનમાં લો.
$2$. $\triangle LDM$ અને $\triangle LBN$ માં,$DM \parallel BN$ હોવાથી,ખૂણાખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle LDM \sim \triangle LBN$ થાય છે.
$3$. સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,તેથી $\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN} = \frac{DM}{BN}$.
$4$. આથી,$\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN}$ સાબિત થાય છે.
$5$. આપેલ પરિણામ $\frac{LD^2}{LB^2} = \frac{LM}{LN}$ એ ભૂમિતિના ગુણધર્મો અને સમરૂપતાના આધારે મેળવી શકાય છે.
$2$. $\triangle LDM$ અને $\triangle LBN$ માં,$DM \parallel BN$ હોવાથી,ખૂણાખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle LDM \sim \triangle LBN$ થાય છે.
$3$. સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,તેથી $\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN} = \frac{DM}{BN}$.
$4$. આથી,$\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN}$ સાબિત થાય છે.
$5$. આપેલ પરિણામ $\frac{LD^2}{LB^2} = \frac{LM}{LN}$ એ ભૂમિતિના ગુણધર્મો અને સમરૂપતાના આધારે મેળવી શકાય છે.
0 likes
View Solution103
Medium
બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $O$ માં છેદે છે. જો $OA \times OD = OB \times OC$ હોય,તો સાબિત કરો કે $AB \parallel CD$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $OA \times OD = OB \times OC$ થાય.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણને વિકર્ણોના રેખાખંડોના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
પગલું $2$: $\triangle AOB$ અને $\triangle COD$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (પગલું $1$ પરથી) છે અને $\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \sim \triangle COD$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય,તેથી $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$.
પગલું $5$: આ રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ને છેદતી છેદિકાઓ $AC$ અને $BD$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણો છે. યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી,$AB \parallel CD$ સાબિત થાય છે.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણને વિકર્ણોના રેખાખંડોના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
પગલું $2$: $\triangle AOB$ અને $\triangle COD$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (પગલું $1$ પરથી) છે અને $\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \sim \triangle COD$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય,તેથી $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$.
પગલું $5$: આ રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ને છેદતી છેદિકાઓ $AC$ અને $BD$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણો છે. યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી,$AB \parallel CD$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution104
Medium
$\Delta XYZ$ ના સમતલમાં $\overline{YZ}$ ને સમાંતર દોરેલી રેખા $\overline{XY}$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. સાબિત કરો કે આ રેખા $\overline{XZ}$ ને દુભાગે છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $M$ એ $\overline{XY}$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $XM = MY$ થાય. ધારો કે $M$ માંથી પસાર થતી રેખા $\overline{YZ}$ ને સમાંતર છે અને તે $\overline{XZ}$ ને બિંદુ $N$ માં છેદે છે.
$\Delta XYZ$ માં,$MN \parallel YZ$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,$\frac{XM}{MY} = \frac{XN}{NZ}$ થાય.
$M$ એ $\overline{XY}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$XM = MY$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{XM}{MY} = 1$.
આ ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $1 = \frac{XN}{NZ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $XN = NZ$.
તેથી,$N$ એ $\overline{XZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે અને આ રેખા $\overline{XZ}$ ને દુભાગે છે.
$\Delta XYZ$ માં,$MN \parallel YZ$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,$\frac{XM}{MY} = \frac{XN}{NZ}$ થાય.
$M$ એ $\overline{XY}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$XM = MY$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{XM}{MY} = 1$.
આ ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $1 = \frac{XN}{NZ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $XN = NZ$.
તેથી,$N$ એ $\overline{XZ}$ નું મધ્યબિંદુ છે અને આ રેખા $\overline{XZ}$ ને દુભાગે છે.
0 likes
View Solution105
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = 6$,$MB = 12$ અને $AN = 8$ હોય,તો $AC$ શોધો.
A
$10$
B
$13$
C
$24$
D
$20$
Solution
(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
અહીં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ છે કે $AM = 6$,$MB = 12$ અને $AN = 8$,તેથી:
$\frac{6}{12} = \frac{8}{NC}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{NC}$
$NC = 8 \times 2 = 16$
$A-N-C$ હોવાથી,$AC = AN + NC$ થાય.
$AC = 8 + 16 = 24$.
અહીં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ છે કે $AM = 6$,$MB = 12$ અને $AN = 8$,તેથી:
$\frac{6}{12} = \frac{8}{NC}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{NC}$
$NC = 8 \times 2 = 16$
$A-N-C$ હોવાથી,$AC = AN + NC$ થાય.
$AC = 8 + 16 = 24$.
0 likes
View Solution106
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$M$ એ $AB$ પર અને $N$ એ $AC$ પર એવી રીતે છે કે જેથી $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ થાય. જો $\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4}$ અને $AC = 21$ હોય,તો $AN$ શોધો.
A
$5$
B
$8$
C
$6$
D
$9$
Solution
(D) પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
અહીં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $AN = 3x$ અને $NC = 4x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AN + NC = 21$.
કિંમતો મૂકતા,$3x + 4x = 21$,જેનો અર્થ છે કે $7x = 21$,તેથી $x = 3$.
આમ,$AN = 3x = 3 \times 3 = 9$.
અહીં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $AN = 3x$ અને $NC = 4x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AN + NC = 21$.
કિંમતો મૂકતા,$3x + 4x = 21$,જેનો અર્થ છે કે $7x = 21$,તેથી $x = 3$.
આમ,$AN = 3x = 3 \times 3 = 9$.
0 likes
View Solution107
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$X-P-Y$,$X-Q-Z$ અને $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે. જો $XP = 8$,$XY = 12$ અને $XQ = 12$ હોય,તો $QZ$ શોધો.
A
$6$
B
$5$
C
$4$
D
$3$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ માં,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$.
અહીં $XP = 8$ અને $XY = 12$ આપેલ છે.
$X-P-Y$ હોવાથી,$PY = XY - XP = 12 - 8 = 4$ મળે.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{4} = \frac{12}{QZ}$.
$2 = \frac{12}{QZ}$.
$QZ = \frac{12}{2} = 6$.
આમ,$QZ$ ની કિંમત $6$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$.
અહીં $XP = 8$ અને $XY = 12$ આપેલ છે.
$X-P-Y$ હોવાથી,$PY = XY - XP = 12 - 8 = 4$ મળે.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{4} = \frac{12}{QZ}$.
$2 = \frac{12}{QZ}$.
$QZ = \frac{12}{2} = 6$.
આમ,$QZ$ ની કિંમત $6$ છે.
0 likes
View Solution108
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$P-X-Q$,$P-Y-R$ અને $\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ છે. જો $PX = 3$,$PQ = 8$ અને $PY = 4.2$ હોય,તો $YR$ શોધો.
A
$5$
B
$7$
C
$4$
D
$1$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$.
અહીં $PX = 3$ અને $PQ = 8$ આપેલ છે. $P-X-Q$ હોવાથી,$XQ = PQ - PX = 8 - 3 = 5$ થાય.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{4.2}{YR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times YR = 5 \times 4.2$.
$3 \times YR = 21$.
$YR = \frac{21}{3} = 7$.
આમ,$YR$ ની લંબાઈ $7$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$.
અહીં $PX = 3$ અને $PQ = 8$ આપેલ છે. $P-X-Q$ હોવાથી,$XQ = PQ - PX = 8 - 3 = 5$ થાય.
હવે,કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{4.2}{YR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times YR = 5 \times 4.2$.
$3 \times YR = 21$.
$YR = \frac{21}{3} = 7$.
આમ,$YR$ ની લંબાઈ $7$ છે.
0 likes
View Solution109
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = 3x - 1$,$MB = 2x + 1$,$AN = 3x + 1$ અને $NC = 5x + 1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.
A
$3$
B
$2$
C
$1$
D
$5$
Solution
(C) પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x - 1}{2x + 1} = \frac{3x + 1}{5x + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x - 1)(5x + 1) = (3x + 1)(2x + 1)$.
સાદુરૂપ આપતા: $15x^2 + 3x - 5x - 1 = 6x^2 + 3x + 2x + 1$.
$15x^2 - 2x - 1 = 6x^2 + 5x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 7x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $9x^2 - 9x + 2x - 2 = 0$.
$9x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$.
$(9x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = -2/9$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોય,તેથી $x = 1$ એ સાચો જવાબ છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x - 1}{2x + 1} = \frac{3x + 1}{5x + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x - 1)(5x + 1) = (3x + 1)(2x + 1)$.
સાદુરૂપ આપતા: $15x^2 + 3x - 5x - 1 = 6x^2 + 3x + 2x + 1$.
$15x^2 - 2x - 1 = 6x^2 + 5x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 7x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $9x^2 - 9x + 2x - 2 = 0$.
$9x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$.
$(9x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = -2/9$ મળે.
લંબાઈ હંમેશા ધન હોય,તેથી $x = 1$ એ સાચો જવાબ છે.
0 likes
View Solution110
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = x+1$,$MB = 2x-2$,$AN = 2x+2$ અને $NC = 3x+1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.
A
$10$
B
$3$
C
$1$
D
$5$
Solution
(D) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+1}{2x-2} = \frac{2x+2}{3x+1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(x+1)(3x+1) = (2x-2)(2x+2)$
$3x^2 + x + 3x + 1 = 4x^2 - 4$
$3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 - 4$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(x-5)(x+1) = 0$
આથી $x = 5$ અથવા $x = -1$ મળે.
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x$ ધન હોવો જોઈએ.
માટે,$x = 5$.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+1}{2x-2} = \frac{2x+2}{3x+1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(x+1)(3x+1) = (2x-2)(2x+2)$
$3x^2 + x + 3x + 1 = 4x^2 - 4$
$3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 - 4$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(x-5)(x+1) = 0$
આથી $x = 5$ અથવા $x = -1$ મળે.
બાજુની લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x$ ધન હોવો જોઈએ.
માટે,$x = 5$.
0 likes
View Solution111
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$X-P-Y$,$X-Q-Z$ અને $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે. જો $XY = 5.6$,$XP = 1.4$ અને $XZ = 7.2$ હોય,તો $XQ$ શોધો.
A
$1.8$
B
$2$
C
$5$
D
$10$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\Delta XYZ$ માં,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{XP}{XY} = \frac{XQ}{XZ}$.
આપેલ કિંમતો $XY = 5.6$,$XP = 1.4$ અને $XZ = 7.2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1.4}{5.6} = \frac{XQ}{7.2}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{1.4}{5.6}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{4} = \frac{XQ}{7.2}$.
$XQ = \frac{7.2}{4} = 1.8$.
આમ,$XQ$ ની કિંમત $1.8$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{XP}{XY} = \frac{XQ}{XZ}$.
આપેલ કિંમતો $XY = 5.6$,$XP = 1.4$ અને $XZ = 7.2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1.4}{5.6} = \frac{XQ}{7.2}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{1.4}{5.6}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{4} = \frac{XQ}{7.2}$.
$XQ = \frac{7.2}{4} = 1.8$.
આમ,$XQ$ ની કિંમત $1.8$ છે.
0 likes
View Solution112
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AB = 10.8$,$MB = 4.5$ અને $AC = 4.8$ હોય,તો $AN$ શોધો.
A
$3.0$
B
$2.8$
C
$5.3$
D
$7.8$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$.
પહેલા $AM$ શોધો: $A-M-B$ હોવાથી,$AM = AB - MB = 10.8 - 4.5 = 6.3$.
ધારો કે $AN = x$. તો $NC = AC - AN = 4.8 - x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6.3}{4.5} = \frac{x}{4.8 - x}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{6.3}{4.5} = 1.4$.
તેથી,$1.4 = \frac{x}{4.8 - x}$.
$1.4(4.8 - x) = x$.
$6.72 - 1.4x = x$.
$6.72 = 2.4x$.
$x = \frac{6.72}{2.4} = 2.8$.
આમ,$AN = 2.8$.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$.
પહેલા $AM$ શોધો: $A-M-B$ હોવાથી,$AM = AB - MB = 10.8 - 4.5 = 6.3$.
ધારો કે $AN = x$. તો $NC = AC - AN = 4.8 - x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6.3}{4.5} = \frac{x}{4.8 - x}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{6.3}{4.5} = 1.4$.
તેથી,$1.4 = \frac{x}{4.8 - x}$.
$1.4(4.8 - x) = x$.
$6.72 - 1.4x = x$.
$6.72 = 2.4x$.
$x = \frac{6.72}{2.4} = 2.8$.
આમ,$AN = 2.8$.
0 likes
View Solution113
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે છે. જો $AB = 12$,$AC = 8$ અને $BD = 9$ હોય,તો $DC$ શોધો.
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$2$
Solution
(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે,તો તે સામેની બાજુને બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણને નીચે મુજબનું ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
અહીં $AB = 12$,$AC = 8$ અને $BD = 9$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{DC}$
$\frac{12}{8}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3}{2} = \frac{9}{DC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times DC = 9 \times 2$
$3 \times DC = 18$
$DC = \frac{18}{3} = 6$
આમ,$DC$ ની લંબાઈ $6$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણને નીચે મુજબનું ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
અહીં $AB = 12$,$AC = 8$ અને $BD = 9$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{DC}$
$\frac{12}{8}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3}{2} = \frac{9}{DC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times DC = 9 \times 2$
$3 \times DC = 18$
$DC = \frac{18}{3} = 6$
આમ,$DC$ ની લંબાઈ $6$ છે.
0 likes
View Solution114
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$\angle X$ નો દ્વિભાજક $\overline{YZ}$ ને $T$ માં છેદે છે. જો $XY = 10, XZ = 14$ અને $YT = 5$ હોય,તો $YZ$ શોધો.
A
$10$
B
$9$
C
$8$
D
$12$
Solution
(D) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુનું એવા ભાગમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta XYZ$ માં,$XT$ એ $\angle X$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{XY}{XZ} = \frac{YT}{TZ}$.
આપેલ છે કે $XY = 10, XZ = 14$ અને $YT = 5$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{10}{14} = \frac{5}{TZ}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{7} = \frac{5}{TZ}$.
તેથી,$TZ = 7$.
$YZ$ ની કુલ લંબાઈ એ $YT$ અને $TZ$ નો સરવાળો છે: $YZ = YT + TZ = 5 + 7 = 12$.
$\Delta XYZ$ માં,$XT$ એ $\angle X$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{XY}{XZ} = \frac{YT}{TZ}$.
આપેલ છે કે $XY = 10, XZ = 14$ અને $YT = 5$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{10}{14} = \frac{5}{TZ}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{7} = \frac{5}{TZ}$.
તેથી,$TZ = 7$.
$YZ$ ની કુલ લંબાઈ એ $YT$ અને $TZ$ નો સરવાળો છે: $YZ = YT + TZ = 5 + 7 = 12$.
0 likes
View Solution115
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં, $\angle P$ નો દ્વિભાજક $\overline{QR}$ ને $S$ માં છેદે છે. જો $PQ = 5, QS = 4$ અને $QR = 9.6$ હોય, તો $PR$ શોધો.
A
$7$
B
$10$
C
$15$
D
$16$
Solution
(A) $\text{ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક તેની સામેની બાજુનું એવા ભાગોમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.}$
$\Delta PQR$ માં, $PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી, આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$.
આપેલ છે કે $QR = 9.6$ અને $QS = 4$, તેથી $SR$ ની કિંમત: $SR = QR - QS = 9.6 - 4 = 5.6$ મળે.
પ્રમેયમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{PR} = \frac{4}{5.6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4 \times PR = 5 \times 5.6$.
$4 \times PR = 28$.
$PR = \frac{28}{4} = 7$.
આમ, $PR$ ની લંબાઈ $7$ છે.
$\Delta PQR$ માં, $PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી, આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$.
આપેલ છે કે $QR = 9.6$ અને $QS = 4$, તેથી $SR$ ની કિંમત: $SR = QR - QS = 9.6 - 4 = 5.6$ મળે.
પ્રમેયમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{PR} = \frac{4}{5.6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4 \times PR = 5 \times 5.6$.
$4 \times PR = 28$.
$PR = \frac{28}{4} = 7$.
આમ, $PR$ ની લંબાઈ $7$ છે.
0 likes
View Solution116
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે છે. જો $AB = 5.2$,$AC = 10.4$ અને $BD = 3.8$ હોય,તો $BC$ શોધો.
A
$10.5$
B
$11.4$
C
$13$
D
$15$
Solution
(B) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુનું એવા ભાગોમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ છે કે $AB = 5.2$,$AC = 10.4$ અને $BD = 3.8$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5.2}{10.4} = \frac{3.8}{DC}$.
કારણ કે $\frac{5.2}{10.4} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{3.8}{DC}$.
આમ,$DC = 3.8 \times 2 = 7.6$.
કારણ કે $BC = BD + DC$,તેથી $BC = 3.8 + 7.6 = 11.4$.
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ છે કે $AB = 5.2$,$AC = 10.4$ અને $BD = 3.8$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5.2}{10.4} = \frac{3.8}{DC}$.
કારણ કે $\frac{5.2}{10.4} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{3.8}{DC}$.
આમ,$DC = 3.8 \times 2 = 7.6$.
કારણ કે $BC = BD + DC$,તેથી $BC = 3.8 + 7.6 = 11.4$.
0 likes
View Solution117
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે છે. જો $AB = 12, BD = 9$ અને $BC = 21$ હોય,તો $AC$ શોધો.
A
$25$
B
$20$
C
$16$
D
$30$
Solution
(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુનું એવા ભાગમાં વિભાજન કરે છે જે ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ છે કે $BC = 21$ અને $BD = 9$,તેથી $DC$ આ મુજબ શોધી શકાય: $DC = BC - BD = 21 - 9 = 12$.
પ્રમેયમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{AC} = \frac{9}{12}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9 \times AC = 12 \times 12$.
$9 \times AC = 144$.
$AC = \frac{144}{9} = 16$.
તેથી,$AC$ ની લંબાઈ $16$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ છે કે $BC = 21$ અને $BD = 9$,તેથી $DC$ આ મુજબ શોધી શકાય: $DC = BC - BD = 21 - 9 = 12$.
પ્રમેયમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{AC} = \frac{9}{12}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9 \times AC = 12 \times 12$.
$9 \times AC = 144$.
$AC = \frac{144}{9} = 16$.
તેથી,$AC$ ની લંબાઈ $16$ છે.
0 likes
View Solution118
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM : MB = 4 : 13$ અને $AC = 20.4$ હોય,તો $AN$ શોધો.
A
$4.8$
B
$10$
C
$2.4$
D
$13.5$
Solution
(A) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{AM}{MB} = \frac{4}{13}$,તેથી $\frac{AN}{NC} = \frac{4}{13}$.
ધારો કે $AN = 4x$ અને $NC = 13x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AN + NC$.
કિંમતો મૂકતા,$20.4 = 4x + 13x$.
$20.4 = 17x$.
$x = \frac{20.4}{17} = 1.2$.
હવે,$AN = 4x = 4 \times 1.2 = 4.8$.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{AM}{MB} = \frac{4}{13}$,તેથી $\frac{AN}{NC} = \frac{4}{13}$.
ધારો કે $AN = 4x$ અને $NC = 13x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AN + NC$.
કિંમતો મૂકતા,$20.4 = 4x + 13x$.
$20.4 = 17x$.
$x = \frac{20.4}{17} = 1.2$.
હવે,$AN = 4x = 4 \times 1.2 = 4.8$.
0 likes
View Solution119
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$X-P-Y$,$X-Q-Z$ અને $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ છે. જો $XP:PY = 3:5$ અને $XZ = 5.6$ હોય,તો $QZ$ શોધો.
A
$9$
B
$3.5$
C
$2$
D
$4$
Solution
(B) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાકીની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$\Delta XYZ$ માં $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $XQ = 3k$ અને $QZ = 5k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $XZ = XQ + QZ = 5.6$.
કિંમતો મૂકતા,$3k + 5k = 5.6$.
$8k = 5.6$.
$k = \frac{5.6}{8} = 0.7$.
હવે,$QZ = 5k = 5 \times 0.7 = 3.5$.
$\Delta XYZ$ માં $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $XQ = 3k$ અને $QZ = 5k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $XZ = XQ + QZ = 5.6$.
કિંમતો મૂકતા,$3k + 5k = 5.6$.
$8k = 5.6$.
$k = \frac{5.6}{8} = 0.7$.
હવે,$QZ = 5k = 5 \times 0.7 = 3.5$.
0 likes
View Solution120
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = x+3$,$AB = 2x$,$AN = x+5$ અને $AC = 2x+3$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.
A
$3$
B
$5$
C
$9$
D
$1$
Solution
(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે જે બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાકીની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
અહીં $AM = x+3$ અને $AB = 2x$ આપેલ છે,તેથી $MB = AB - AM = 2x - (x+3) = x-3$.
તે જ રીતે $AN = x+5$ અને $AC = 2x+3$ આપેલ છે,તેથી $NC = AC - AN = (2x+3) - (x+5) = x-2$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{x+3}{x-3} = \frac{x+5}{x-2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(x+3)(x-2) = (x+5)(x-3)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 - 3x + 5x - 15$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + x - 6 = x^2 + 2x - 15$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $x - 6 = 2x - 15$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $15 - 6 = 2x - x$.
આમ,$x = 9$ મળે છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
અહીં $AM = x+3$ અને $AB = 2x$ આપેલ છે,તેથી $MB = AB - AM = 2x - (x+3) = x-3$.
તે જ રીતે $AN = x+5$ અને $AC = 2x+3$ આપેલ છે,તેથી $NC = AC - AN = (2x+3) - (x+5) = x-2$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{x+3}{x-3} = \frac{x+5}{x-2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(x+3)(x-2) = (x+5)(x-3)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 - 3x + 5x - 15$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + x - 6 = x^2 + 2x - 15$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $x - 6 = 2x - 15$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $15 - 6 = 2x - x$.
આમ,$x = 9$ મળે છે.
0 likes
View Solution121
Medium
ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,$M \in \overline{AD}$ અને $N \in \overline{BC}$ છે. જો $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$.
Solution
(N/A) $1$. આપેલ છે: $\square ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. $M$ એ $\overline{AD}$ પરનું બિંદુ છે અને $N$ એ $\overline{BC}$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ થાય.
$2$. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ હોવાથી,$\overline{MN} \parallel \overline{CD}$ થશે.
$3$. વિકર્ણ $\overline{AC}$ દોરો જે $\overline{MN}$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે છે.
$4$. $\triangle ADC$ માં,$\overline{MP} \parallel \overline{DC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,$\frac{DM}{MA} = \frac{CP}{PA}$ મળે.
$5$. $\triangle ABC$ માં,$\overline{PN} \parallel \overline{AB}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\frac{CP}{PA} = \frac{CN}{NB}$ મળે.
$6$. બંને સમીકરણો પરથી,$\frac{CP}{PA}$ સમાન હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$. આમ સાબિત થાય છે.
$2$. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ હોવાથી,$\overline{MN} \parallel \overline{CD}$ થશે.
$3$. વિકર્ણ $\overline{AC}$ દોરો જે $\overline{MN}$ ને બિંદુ $P$ માં છેદે છે.
$4$. $\triangle ADC$ માં,$\overline{MP} \parallel \overline{DC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,$\frac{DM}{MA} = \frac{CP}{PA}$ મળે.
$5$. $\triangle ABC$ માં,$\overline{PN} \parallel \overline{AB}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\frac{CP}{PA} = \frac{CN}{NB}$ મળે.
$6$. બંને સમીકરણો પરથી,$\frac{CP}{PA}$ સમાન હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$. આમ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution122
Medium
$\Delta ABC$ માં,$D \in \overline{AB}$,$E \in \overline{AC}$ અને $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ છે. $F$ એ $\overline{AD}$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ થાય. સાબિત કરો કે $AD^2 = AB \times AF$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ અને $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ છે.
પગલું $1$: $\Delta ABC$ માં,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ મળે.
પગલું $2$: $\Delta ADC$ માં,$\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$ મળે.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AD}$ મળે છે.
પગલું $4$: ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$AD^2 = AB \times AF$ સાબિત થાય છે.
પગલું $1$: $\Delta ABC$ માં,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ મળે.
પગલું $2$: $\Delta ADC$ માં,$\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$ મળે.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AD}$ મળે છે.
પગલું $4$: ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$AD^2 = AB \times AF$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution123
Medium
ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$P \in \overline{AB}$,$Q \in \overline{BC}$,$R \in \overline{CD}$ અને $S \in \overline{AD}$ એવી રીતે છે કે જેથી $\frac{AP}{AB} = \frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$ થાય. સાબિત કરો કે $\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
Solution
(A) આપેલ છે: $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$.
$\triangle ABD$ માં,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ ના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,કારણ કે $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{3} BD$ મળે.
તે જ રીતે,$\triangle BCD$ માં,કારણ કે $\frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{CQ}{QB} = \frac{CR}{RD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{3} BD$ મળે.
આ બે પરિણામો પરથી,$PS \parallel QR$ અને $PS = QR$ સાબિત થાય છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\triangle ABD$ માં,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ ના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,કારણ કે $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{3} BD$ મળે.
તે જ રીતે,$\triangle BCD$ માં,કારણ કે $\frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{CQ}{QB} = \frac{CR}{RD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{3} BD$ મળે.
આ બે પરિણામો પરથી,$PS \parallel QR$ અને $PS = QR$ સાબિત થાય છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
0 likes
View Solution124
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = 2$,$MB = 5$ અને $MN = 4$ હોય,તો $BC$ શોધો.
A
$25$
B
$14$
C
$30$
D
$29$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$\Delta AMN \sim \Delta ABC$ થાય.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
અહીં $AM = 2$ અને $MB = 5$ આપેલ છે.
તેથી,$AB = AM + MB = 2 + 5 = 7$.
ગુણોત્તરમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{7} = \frac{4}{BC}$.
$BC$ માટે ઉકેલતા:
$2 \times BC = 4 \times 7$
$2 \times BC = 28$
$BC = \frac{28}{2} = 14$.
આમ,$BC$ ની લંબાઈ $14$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$\Delta AMN \sim \Delta ABC$ થાય.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
અહીં $AM = 2$ અને $MB = 5$ આપેલ છે.
તેથી,$AB = AM + MB = 2 + 5 = 7$.
ગુણોત્તરમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{7} = \frac{4}{BC}$.
$BC$ માટે ઉકેલતા:
$2 \times BC = 4 \times 7$
$2 \times BC = 28$
$BC = \frac{28}{2} = 14$.
આમ,$BC$ ની લંબાઈ $14$ છે.
0 likes
View Solution125
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$P-X-Q$,$P-Y-R$ અને $\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ છે. જો $PY = 4$,$YR = 7$ અને $XY = 11$ હોય,તો $QR$ શોધો.
A
$25.25$
B
$31.41$
C
$30.25$
D
$26.5$
Solution
(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં $\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) અને સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PXY \sim \Delta PQR$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{XY}{QR} = \frac{PY}{PR}$.
અહીં $PY = 4$ અને $YR = 7$ આપેલ છે.
તેથી,$PR = PY + YR = 4 + 7 = 11$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{11}{QR} = \frac{4}{11}$.
$QR$ શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4 \times QR = 11 \times 11$.
$4 \times QR = 121$.
$QR = \frac{121}{4} = 30.25$.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) અને સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PXY \sim \Delta PQR$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{XY}{QR} = \frac{PY}{PR}$.
અહીં $PY = 4$ અને $YR = 7$ આપેલ છે.
તેથી,$PR = PY + YR = 4 + 7 = 11$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{11}{QR} = \frac{4}{11}$.
$QR$ શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4 \times QR = 11 \times 11$.
$4 \times QR = 121$.
$QR = \frac{121}{4} = 30.25$.
0 likes
View Solution126
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-P-B$,$A-Q-C$ અને $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ છે. તો,$\ldots \ldots \ldots$ સાચું છે.
A
$\frac{PQ}{BC} = \frac{AP}{PB}$
B
$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$
C
$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{QC}$
D
$\frac{PQ}{BC} = \frac{PB}{AB}$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ થાય.
વળી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ થાય (કારણ કે $\angle APQ = \angle ABC$ અને $\angle AQP = \angle ACB$ સમાંતર રેખાઓને લીધે),
તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$ સાચું છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ થાય.
વળી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ થાય (કારણ કે $\angle APQ = \angle ABC$ અને $\angle AQP = \angle ACB$ સમાંતર રેખાઓને લીધે),
તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$ સાચું છે.
0 likes
View Solution127
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = 5$,$MB = 8$ અને $AN = 10$ હોય,તો $NC = \dots$
A
$24$
B
$12$
C
$16$
D
$20$
Solution
(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,તેથી ગુણોત્તર: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{8} = \frac{10}{NC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5 \times NC = 8 \times 10$.
$5 \times NC = 80$.
$NC = \frac{80}{5} = 16$.
આમ,$NC$ ની કિંમત $16$ છે.
આપેલ છે કે $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,તેથી ગુણોત્તર: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{8} = \frac{10}{NC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5 \times NC = 8 \times 10$.
$5 \times NC = 80$.
$NC = \frac{80}{5} = 16$.
આમ,$NC$ ની કિંમત $16$ છે.
0 likes
View Solution128
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $AM = x+1$,$MB = x$,$AN = 3x-3$ અને $NC = 4x-10$ હોય,તો $x = \dots$
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(D) થેલ્સના પ્રમેય (સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+1}{x} = \frac{3x-3}{4x-10}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(x+1)(4x-10) = x(3x-3)$
$4x^2 - 10x + 4x - 10 = 3x^2 - 3x$
$4x^2 - 6x - 10 = 3x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-5)(x+2) = 0$
તેથી $x = 5$ અથવા $x = -2$ મળે.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$ થાય.
$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+1}{x} = \frac{3x-3}{4x-10}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(x+1)(4x-10) = x(3x-3)$
$4x^2 - 10x + 4x - 10 = 3x^2 - 3x$
$4x^2 - 6x - 10 = 3x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-5)(x+2) = 0$
તેથી $x = 5$ અથવા $x = -2$ મળે.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$ થાય.
0 likes
View Solution129
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે છે. જો $AB = 8, AC = 10$ અને $BD = 3.2$ હોય,તો $DC = \ldots$
A
$7.2$
B
$4$
C
$5$
D
$6.4$
Solution
(B) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે,તો તે સામેની બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{10} = \frac{3.2}{DC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8 \times DC = 10 \times 3.2$.
$8 \times DC = 32$.
$DC = \frac{32}{8} = 4$.
તેથી,$DC$ ની લંબાઈ $4$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{10} = \frac{3.2}{DC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8 \times DC = 10 \times 3.2$.
$8 \times DC = 32$.
$DC = \frac{32}{8} = 4$.
તેથી,$DC$ ની લંબાઈ $4$ છે.
0 likes
View Solution130
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$\angle P$ નો દ્વિભાજક $\overline{QR}$ ને $S$ માં છેદે છે. જો $PQ = 15$,$QS = 10$ અને $SR = 8$ હોય,તો $PR = $.........
A
$5.33$
B
$18.57$
C
$12$
D
$9$
Solution
(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તે સામેની બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta PQR$ માં,$PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
આપેલ કિંમતો $PQ = 15$,$QS = 10$ અને $SR = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{15}{PR} = \frac{10}{8}$
$10 \times PR = 15 \times 8$
$10 \times PR = 120$
$PR = \frac{120}{10} = 12$
તેથી,$PR = 12$.
$\Delta PQR$ માં,$PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
આપેલ કિંમતો $PQ = 15$,$QS = 10$ અને $SR = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{15}{PR} = \frac{10}{8}$
$10 \times PR = 15 \times 8$
$10 \times PR = 120$
$PR = \frac{120}{10} = 12$
તેથી,$PR = 12$.
0 likes
View Solution131
Difficult
$\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ વેધ છે. જો $PM = x$ અને $RM = y$ હોય,તો $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$,$\overline{PR}$ અને $\overline{QM}$ ની લંબાઈ $x$ અને $y$ ના સ્વરૂપમાં શોધો.
Solution
(N/A) $\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે.
$M$ એ $\overline{PR}$ પર આવેલું હોવાથી,$PR = PM + RM = x + y$ થાય.
કર્ણ પરના વેધ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$QM^2 = PM \cdot RM = x \cdot y$
$\therefore QM = \sqrt{xy}$.
$\Delta PQR$ માટે બાજુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$PQ^2 = PM \cdot PR = x(x + y) = x^2 + xy$
$\therefore PQ = \sqrt{x^2 + xy}$.
તે જ રીતે,બીજી બાજુ માટે:
$QR^2 = RM \cdot PR = y(x + y) = y^2 + xy$
$\therefore QR = \sqrt{y^2 + xy}$.
આમ,લંબાઈઓ $PQ = \sqrt{x^2 + xy}$,$QR = \sqrt{y^2 + xy}$,$PR = x + y$ અને $QM = \sqrt{xy}$ છે.
$M$ એ $\overline{PR}$ પર આવેલું હોવાથી,$PR = PM + RM = x + y$ થાય.
કર્ણ પરના વેધ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$QM^2 = PM \cdot RM = x \cdot y$
$\therefore QM = \sqrt{xy}$.
$\Delta PQR$ માટે બાજુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$PQ^2 = PM \cdot PR = x(x + y) = x^2 + xy$
$\therefore PQ = \sqrt{x^2 + xy}$.
તે જ રીતે,બીજી બાજુ માટે:
$QR^2 = RM \cdot PR = y(x + y) = y^2 + xy$
$\therefore QR = \sqrt{y^2 + xy}$.
આમ,લંબાઈઓ $PQ = \sqrt{x^2 + xy}$,$QR = \sqrt{y^2 + xy}$,$PR = x + y$ અને $QM = \sqrt{xy}$ છે.
0 likes
View Solution132
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. જો $AD = 9$ અને $CD = 27$ હોય,તો $AB$ શોધો.
A
$20$
B
$15$
C
$18$
D
$12$
Solution
(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
અહીં $D$ એ $AC$ પર આવેલું હોવાથી,$AC = AD + CD = 9 + 27 = 36$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AD \times AC$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$AB^2 = 9 \times 36 = 324$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AB = \sqrt{324} = 18$.
આમ,$AB = 18$.
અહીં $D$ એ $AC$ પર આવેલું હોવાથી,$AC = AD + CD = 9 + 27 = 36$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AD \times AC$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$AB^2 = 9 \times 36 = 324$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$AB = \sqrt{324} = 18$.
આમ,$AB = 18$.
0 likes
View Solution133
DifficultMCQ
$\Delta ABC$ માં,$A-M-B$,$A-N-C$ અને $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે. જો $MN = 3$ અને $BC = 7$ હોય,તો $M$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.......
A
$3:7$
B
$4:7$
C
$3:4$
D
$4:3$
Solution
(C) $\Delta AMN$ અને $\Delta ABC$ માં,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
અહીં $MN = 3$ અને $BC = 7$ આપેલ છે,તેથી $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$.
$AB = AM + MB$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$7 AM = 3 AM + 3 MB$.
$4 AM = 3 MB$.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4}$.
આમ,$M$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
અહીં $MN = 3$ અને $BC = 7$ આપેલ છે,તેથી $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$.
$AB = AM + MB$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$7 AM = 3 AM + 3 MB$.
$4 AM = 3 MB$.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{4}$.
આમ,$M$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
0 likes
View Solution134
Easy
નીચે $\Delta PQR$ ની બાજુઓ $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ અને $\overline{PR}$ ના માપ આપેલા છે. દરેક કિસ્સામાં,નક્કી કરો કે $\Delta PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં. જો તે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો કયો ખૂણો કાટખૂણો છે તે જણાવો: $PQ = 15, QR = 17, PR = 8$.
Solution
(D) $\Delta PQR$ માં,બાજુઓના માપ $PQ = 15$,$QR = 17$ અને $PR = 8$ છે.
તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીશું.
સૌથી મોટી બાજુ $QR = 17$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ શોધો: $QR^2 = 17^2 = 289$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો કરો: $PQ^2 + PR^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
અહીં $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કર્ણ $QR$ ની સામેનો ખૂણો $\angle P = 90^\circ$ એ કાટખૂણો છે.
તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીશું.
સૌથી મોટી બાજુ $QR = 17$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ શોધો: $QR^2 = 17^2 = 289$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો કરો: $PQ^2 + PR^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
અહીં $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કર્ણ $QR$ ની સામેનો ખૂણો $\angle P = 90^\circ$ એ કાટખૂણો છે.
0 likes
View Solution135
Easy
નીચે $\Delta PQR$ ની બાજુઓ $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ અને $\overline{PR}$ ના માપ આપેલા છે. દરેક કિસ્સામાં નક્કી કરો કે $\Delta PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં. જો તે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો કયો ખૂણો કાટખૂણો છે તે જણાવો: $PQ = 8, QR = 6, PR = 12$.
Solution
(D) $\Delta PQR$ માં,બાજુઓના માપ $PQ = 8$,$QR = 6$ અને $PR = 12$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $\overline{PR}$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ ગણો: $PR^2 = 12^2 = 144$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ગણો: $PQ^2 + QR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિજ્ઞા મુજબ,જો ત્રિકોણમાં સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
અહીં,$PQ^2 + QR^2 = 100$ અને $PR^2 = 144$ છે.
તેથી,$PQ^2 + QR^2 \neq PR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરતું નથી.
આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
સૌથી મોટી બાજુ $\overline{PR}$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ ગણો: $PR^2 = 12^2 = 144$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ગણો: $PQ^2 + QR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિજ્ઞા મુજબ,જો ત્રિકોણમાં સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
અહીં,$PQ^2 + QR^2 = 100$ અને $PR^2 = 144$ છે.
તેથી,$PQ^2 + QR^2 \neq PR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરતું નથી.
આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
0 likes
View Solution136
Easy
નીચે $\Delta PQR$ ની બાજુઓ $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ અને $\overline{PR}$ ના માપ આપેલા છે. દરેક કિસ્સામાં નક્કી કરો કે $\Delta PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં. જો તે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો કયો ખૂણો કાટખૂણો છે તે જણાવો: $PQ = 7, QR = 24, PR = 25$.
Solution
(D) $\Delta PQR$ માં,બાજુઓના માપ $PQ = 7$,$QR = 24$ અને $PR = 25$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $PR = 25$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ શોધો:
$PR^2 = 25^2 = 625$
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$PQ^2 + QR^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
અહીં $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કર્ણ $PR$ ની સામેનો ખૂણો,એટલે કે $\angle Q$,કાટખૂણો છે.
સૌથી મોટી બાજુ $PR = 25$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ શોધો:
$PR^2 = 25^2 = 625$
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$PQ^2 + QR^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
અહીં $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કર્ણ $PR$ ની સામેનો ખૂણો,એટલે કે $\angle Q$,કાટખૂણો છે.
0 likes
View Solution137
DifficultMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $AB : AC = 24 : 25$ છે. જો $BC = 14$ હોય,તો $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ શોધો.
A
$120$
B
$112$
C
$130$
D
$150$
Solution
(B) આપેલ છે કે $AB : AC = 24 : 25$.
ધારો કે $AB = 24k$ અને $AC = 25k$,જ્યાં $k > 0$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(25k)^2 = (24k)^2 + (14)^2$
$625k^2 = 576k^2 + 196$
$625k^2 - 576k^2 = 196$
$49k^2 = 196$
$k^2 = 4$
કારણ કે $k > 0$,તેથી $k = 2$.
હવે,$AB = 24 \times 2 = 48$ અને $AC = 25 \times 2 = 50$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 48 + 14 + 50 = 112$.
આમ,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $112$ છે.
ધારો કે $AB = 24k$ અને $AC = 25k$,જ્યાં $k > 0$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(25k)^2 = (24k)^2 + (14)^2$
$625k^2 = 576k^2 + 196$
$625k^2 - 576k^2 = 196$
$49k^2 = 196$
$k^2 = 4$
કારણ કે $k > 0$,તેથી $k = 2$.
હવે,$AB = 24 \times 2 = 48$ અને $AC = 25 \times 2 = 50$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 48 + 14 + 50 = 112$.
આમ,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $112$ છે.
0 likes
View Solution138
Medium
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. સાબિત કરો કે $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$\overline{BM}$ એ કર્ણ પરનો વેધ હોવાથી,આપણને બે સમરૂપ ત્રિકોણ મળે છે:
$1$. $\Delta AMB \sim \Delta ABC$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,તેથી $AB^2 = AM \times AC$.
$2$. $\Delta BMC \sim \Delta ABC$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,તેથી $BC^2 = CM \times AC$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \times AC}{CM \times AC}$
તેથી,$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$\overline{BM}$ એ કર્ણ પરનો વેધ હોવાથી,આપણને બે સમરૂપ ત્રિકોણ મળે છે:
$1$. $\Delta AMB \sim \Delta ABC$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,તેથી $AB^2 = AM \times AC$.
$2$. $\Delta BMC \sim \Delta ABC$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,તેથી $BC^2 = CM \times AC$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \times AC}{CM \times AC}$
તેથી,$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$.
0 likes
View Solution139
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$m\angle Y = 90^{\circ}$ અને $\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ છે. જો $XM = \sqrt{12}$ અને $ZM = \sqrt{3}$ હોય,તો $YM$ શોધો.
A
$\sqrt{6}$
B
$\sqrt{4}$
C
$\sqrt{10}$
D
$\sqrt{12}$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૌમિતિક મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ $\overline{YM}$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે: $YM^2 = XM \cdot ZM$.
અહીં $XM = \sqrt{12}$ અને $ZM = \sqrt{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$YM^2 = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
$YM^2 = \sqrt{12 \cdot 3}$
$YM^2 = \sqrt{36}$
$YM^2 = 6$
તેથી,$YM = \sqrt{6}$.
ભૌમિતિક મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ $\overline{YM}$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે: $YM^2 = XM \cdot ZM$.
અહીં $XM = \sqrt{12}$ અને $ZM = \sqrt{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$YM^2 = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
$YM^2 = \sqrt{12 \cdot 3}$
$YM^2 = \sqrt{36}$
$YM^2 = 6$
તેથી,$YM = \sqrt{6}$.
0 likes
View Solution140
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે. જો $QD = 15$ અને $PR = 34$ હોય,તો $PQ$ શોધો.
A
$5 \sqrt{33}$
B
$5 \sqrt{34}$
C
$5 \sqrt{35}$
D
$5 \sqrt{36}$
Solution
(B) ધારો કે $PD = x$. કારણ કે $PR = 34$,તેથી $DR = 34 - x$.
$\Delta PQR$ માં,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,$QD^2 = PD \cdot DR$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $15^2 = x(34 - x)$.
$225 = 34x - x^2$.
$x^2 - 34x + 225 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(1)(225)}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 900}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$.
$x$ ની બે શક્ય કિંમતો $x = 25$ અથવા $x = 9$ મળે છે.
$\Delta PQD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PQ^2 = QD^2 + PD^2$.
જો $PD = 9$ હોય,તો $PQ^2 = 15^2 + 9^2 = 306$,એટલે કે $PQ = 3 \sqrt{34}$.
જો $PD = 25$ હોય,તો $PQ^2 = 15^2 + 25^2 = 850$,એટલે કે $PQ = 5 \sqrt{34}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5 \sqrt{34}$ એ સાચો જવાબ છે.
$\Delta PQR$ માં,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,$QD^2 = PD \cdot DR$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $15^2 = x(34 - x)$.
$225 = 34x - x^2$.
$x^2 - 34x + 225 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(1)(225)}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 900}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$.
$x$ ની બે શક્ય કિંમતો $x = 25$ અથવા $x = 9$ મળે છે.
$\Delta PQD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PQ^2 = QD^2 + PD^2$.
જો $PD = 9$ હોય,તો $PQ^2 = 15^2 + 9^2 = 306$,એટલે કે $PQ = 3 \sqrt{34}$.
જો $PD = 25$ હોય,તો $PQ^2 = 15^2 + 25^2 = 850$,એટલે કે $PQ = 5 \sqrt{34}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5 \sqrt{34}$ એ સાચો જવાબ છે.
0 likes
View Solution141
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. જો $BM = \sqrt{30}$ અને $CM = 3$ હોય,તો $AC$ શોધો.
A
$12$
B
$20$
C
$13$
D
$25$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta BMC \sim \Delta AMB$.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $BM = \sqrt{30}$ અને $CM = 3$ આપેલ છે,તેથી:
$(\sqrt{30})^2 = AM \cdot 3$
$30 = AM \cdot 3$
$AM = 10$.
કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ એ $AM$ અને $CM$ ના સરવાળા જેટલી થાય છે:
$AC = AM + CM = 10 + 3 = 13$.
તેથી,સાચો જવાબ $13$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta BMC \sim \Delta AMB$.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $BM = \sqrt{30}$ અને $CM = 3$ આપેલ છે,તેથી:
$(\sqrt{30})^2 = AM \cdot 3$
$30 = AM \cdot 3$
$AM = 10$.
કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ એ $AM$ અને $CM$ ના સરવાળા જેટલી થાય છે:
$AC = AM + CM = 10 + 3 = 13$.
તેથી,સાચો જવાબ $13$ છે.
0 likes
View Solution142
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ વેધ છે. જો $AM = x + 7$,$BM = x + 2$ અને $CM = x$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{4}{3}$
B
$1$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{7}{3}$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ $BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
અહીં $AM = x + 7$,$BM = x + 2$ અને $CM = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $(x + 2)^2 = (x + 7)(x)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 7x$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $4x + 4 = 7x$.
પદોને ગોઠવતા: $4 = 7x - 4x$,જેનું સાદું રૂપ $4 = 3x$ થાય.
તેથી,$x = \frac{4}{3}$.
અહીં $AM = x + 7$,$BM = x + 2$ અને $CM = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $(x + 2)^2 = (x + 7)(x)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 7x$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $4x + 4 = 7x$.
પદોને ગોઠવતા: $4 = 7x - 4x$,જેનું સાદું રૂપ $4 = 3x$ થાય.
તેથી,$x = \frac{4}{3}$.
0 likes
View Solution143
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે અને $AM < CM$ છે. જો $BM = 6$ અને $AC = 13$ હોય,તો $AB$ શોધો.
A
$2 \sqrt{13}$
B
$3 \sqrt{13}$
C
$4 \sqrt{13}$
D
$5 \sqrt{13}$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક ગુણધર્મ મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ છે કે $BM = 6$,તેથી $AM \cdot CM = 6^2 = 36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AM + CM = AC = 13$.
ધારો કે $AM = x$ અને $CM = y$. તેથી $x + y = 13$ અને $xy = 36$.
આ કિંમતો દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ ના બીજ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 9)(t - 4) = 0$,તેથી $t = 9$ અથવા $t = 4$.
$AM < CM$ હોવાથી,$AM = 4$ અને $CM = 9$ મળે.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}$.
આપેલ છે કે $BM = 6$,તેથી $AM \cdot CM = 6^2 = 36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AM + CM = AC = 13$.
ધારો કે $AM = x$ અને $CM = y$. તેથી $x + y = 13$ અને $xy = 36$.
આ કિંમતો દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ ના બીજ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 9)(t - 4) = 0$,તેથી $t = 9$ અથવા $t = 4$.
$AM < CM$ હોવાથી,$AM = 4$ અને $CM = 9$ મળે.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}$.
0 likes
View Solution144
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 9$ અને $CM = 16$ હોય,તો $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ શોધો.
A
$60$
B
$65$
C
$70$
D
$75$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે,વેધના ગુણધર્મ મુજબ $BM^2 = AM \cdot CM$ થાય.
આપેલ છે કે $AM = 9$ અને $CM = 16$,તેથી $BM^2 = 9 \cdot 16 = 144$,એટલે કે $BM = 12$.
હવે,$\Delta AMB$ અને $\Delta BMC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.
$BC = \sqrt{CM^2 + BM^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$.
કર્ણ $AC = AM + CM = 9 + 16 = 25$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 15 + 20 + 25 = 60$.
આપેલ છે કે $AM = 9$ અને $CM = 16$,તેથી $BM^2 = 9 \cdot 16 = 144$,એટલે કે $BM = 12$.
હવે,$\Delta AMB$ અને $\Delta BMC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.
$BC = \sqrt{CM^2 + BM^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$.
કર્ણ $AC = AM + CM = 9 + 16 = 25$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 15 + 20 + 25 = 60$.
0 likes
View Solution145
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ અને $\overline{AM}$ એ કર્ણ $\overline{BC}$ પરનો વેધ છે. જો $BM = 6$ અને $CM = 2$ હોય,તો $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ શોધો.
A
$15 + 4\sqrt{3}$
B
$12 + 4\sqrt{3}$
C
$18 + 4\sqrt{3}$
D
$20 + 4\sqrt{3}$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ $\overline{BC}$ પરનો વેધ $\overline{AM}$ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $AM^2 = BM \cdot CM$.
અહીં $BM = 6$ અને $CM = 2$ આપેલ છે,તેથી $AM^2 = 6 \cdot 2 = 12$,એટલે કે $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
હવે,$\Delta ABC$ ની બાજુઓ શોધીએ:
$BC = BM + CM = 6 + 2 = 8$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + 36 = 48$,તેથી $AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$\Delta ACM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AM^2 + CM^2 = 12 + 4 = 16$,તેથી $AC = \sqrt{16} = 4$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + AC + BC = 4\sqrt{3} + 4 + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$.
અહીં $BM = 6$ અને $CM = 2$ આપેલ છે,તેથી $AM^2 = 6 \cdot 2 = 12$,એટલે કે $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
હવે,$\Delta ABC$ ની બાજુઓ શોધીએ:
$BC = BM + CM = 6 + 2 = 8$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + 36 = 48$,તેથી $AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$\Delta ACM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AM^2 + CM^2 = 12 + 4 = 16$,તેથી $AC = \sqrt{16} = 4$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + AC + BC = 4\sqrt{3} + 4 + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$.
0 likes
View Solution146
EasyMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે અને $AM > CM$ છે. જો $BM = 12$ અને $AC = 25$ હોય,તો $AB$ અને $BC$ શોધો.
A
$AB = 20, BC = 15$
B
$AB = 15, BC = 20$
C
$AB = 18, BC = 12$
D
$AB = 21, BC = 14$
Solution
(A) ધારો કે $AM = x$. કારણ કે $AC = 25$,તેથી $MC = 25 - x$.
$\Delta ABC$ માં,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$.
કિંમતો મૂકતા: $12^2 = x(25 - x) \implies 144 = 25x - x^2$.
આને દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $x^2 - 25x + 144 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 16)(x - 9) = 0$,તેથી $x = 16$ અથવા $x = 9$.
આપેલ છે કે $AM > CM$,તેથી આપણે $AM = 16$ અને $MC = 9$ લઈશું.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \implies AB = 20$.
$\Delta CBM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = MC^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies BC = 15$.
આમ,$AB = 20$ અને $BC = 15$ મળે છે.
$\Delta ABC$ માં,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$.
કિંમતો મૂકતા: $12^2 = x(25 - x) \implies 144 = 25x - x^2$.
આને દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $x^2 - 25x + 144 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 16)(x - 9) = 0$,તેથી $x = 16$ અથવા $x = 9$.
આપેલ છે કે $AM > CM$,તેથી આપણે $AM = 16$ અને $MC = 9$ લઈશું.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \implies AB = 20$.
$\Delta CBM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = MC^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies BC = 15$.
આમ,$AB = 20$ અને $BC = 15$ મળે છે.
0 likes
View Solution147
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$m \angle Y = 90^\circ$ અને $\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ છે. જો $XM = 5$ અને $ZM = 4$ હોય,તો $YZ$ શોધો.
A
$9$
B
$6$
C
$10$
D
$15$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ બે ત્રિકોણ બનાવે છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ છે: $YZ^2 = ZM \cdot XZ$.
પ્રથમ,કર્ણ $XZ$ ની કુલ લંબાઈની ગણતરી કરો:
$XZ = XM + ZM = 5 + 4 = 9$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો:
$YZ^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$YZ = \sqrt{36} = 6$.
આમ,$YZ$ ની લંબાઈ $6$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ છે: $YZ^2 = ZM \cdot XZ$.
પ્રથમ,કર્ણ $XZ$ ની કુલ લંબાઈની ગણતરી કરો:
$XZ = XM + ZM = 5 + 4 = 9$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો:
$YZ^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$YZ = \sqrt{36} = 6$.
આમ,$YZ$ ની લંબાઈ $6$ છે.
0 likes
View Solution148
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $BM = 12$ અને $CM = 18$ હોય,તો $AB$ શોધો.
A
$4 \sqrt{13}$
B
$4 \sqrt{17}$
C
$4 \sqrt{23}$
D
$4 \sqrt{35}$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,$\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ $BM^2 = AM \cdot CM$ છે.
અહીં $BM = 12$ અને $CM = 18$ આપેલ છે,તેથી:
$12^2 = AM \cdot 18$
$144 = AM \cdot 18$
$AM = \frac{144}{18} = 8$.
હવે,$\Delta ABM$ નો વિચાર કરો,જે $M$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે $(\angle AMB = 90^{\circ})$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 8^2 + 12^2$
$AB^2 = 64 + 144$
$AB^2 = 208$
$AB = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4 \sqrt{13}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ $BM^2 = AM \cdot CM$ છે.
અહીં $BM = 12$ અને $CM = 18$ આપેલ છે,તેથી:
$12^2 = AM \cdot 18$
$144 = AM \cdot 18$
$AM = \frac{144}{18} = 8$.
હવે,$\Delta ABM$ નો વિચાર કરો,જે $M$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે $(\angle AMB = 90^{\circ})$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 8^2 + 12^2$
$AB^2 = 64 + 144$
$AB^2 = 208$
$AB = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4 \sqrt{13}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution149
MediumMCQ
એક ચોરસમાં,વિકર્ણની લંબાઈ $8$ છે. ચોરસની બાજુઓની લંબાઈ શોધો. ($\sqrt{2}$ માં)
A
$8$
B
$5$
C
$4$
D
$10$
Solution
(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a \sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 8$,તેથી $8 = a \sqrt{2}$.
બાજુની લંબાઈ $a$ શોધવા માટે,બંને બાજુને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $4 \sqrt{2}$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a \sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $d = 8$,તેથી $8 = a \sqrt{2}$.
બાજુની લંબાઈ $a$ શોધવા માટે,બંને બાજુને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $4 \sqrt{2}$ છે.
0 likes
View Solution150
Medium
એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણની લંબાઈ $20$ છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ શોધો.
Solution
(N/A) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $x^2 + x^2 = (20)^2$.
$2x^2 = 400$, જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 200$.
તેથી, $x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = x + x + 20 = 2x + 20 = 2(10\sqrt{2}) + 20 = 20\sqrt{2} + 20$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times x^2$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 = 200$ મૂકતા, આપણને ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 200 = 100$ મળે છે.
$2x^2 = 400$, જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 200$.
તેથી, $x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = x + x + 20 = 2x + 20 = 2(10\sqrt{2}) + 20 = 20\sqrt{2} + 20$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times x^2$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 = 200$ મૂકતા, આપણને ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 200 = 100$ મળે છે.
0 likes
View SolutionTriangles — Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem · Frequently Asked Questions
1Are these Triangles questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Triangles Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.