Thermal Resistance and it's Combination Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $ADB$ की लंबाई $l_1$ है और $ACB$ की लंबाई $l_2$ है। दिया गया है $\frac{l_2}{l_1} = 3$,इसलिए $l_2 = 3l_1$। मान लीजिए $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रारंभ में,दोनों भागों की चालकता $k$ है। ऊष्मीय प्रतिरोध $R_1 = \frac{l_1}{kA}$ और $R_2 = \frac{l_2}{kA} = \frac{3l_1}{kA} = 3R_1$ हैं।
कुल ऊष्मा प्रवाह $H$ समानांतर पथों से ऊष्मा प्रवाह का योग है: $H = H_1 + H_2 = \frac{T_1 - T_2}{R_1} + \frac{T_1 - T_2}{R_2} = (T_1 - T_2) \left( \frac{kA}{l_1} + \frac{kA}{3l_1} \right) = (T_1 - T_2) \frac{4kA}{3l_1}$।
जब $ADB$ को $k'$ चालकता वाली धातु से बदल दिया जाता है,तो नया ऊष्मा प्रवाह $H' = 2H = 2 \left( \frac{4kA(T_1 - T_2)}{3l_1} \right) = \frac{8kA(T_1 - T_2)}{3l_1}$ होता है।
नया ऊष्मा प्रवाह $H' = \frac{k'A(T_1 - T_2)}{l_1} + \frac{kA(T_1 - T_2)}{3l_1}$ है।
$H'$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{k'A(T_1 - T_2)}{l_1} + \frac{kA(T_1 - T_2)}{3l_1} = \frac{8kA(T_1 - T_2)}{3l_1}$।
$\frac{A(T_1 - T_2)}{l_1}$ से भाग देने पर: $k' + \frac{k}{3} = \frac{8k}{3}$।
$k' = \frac{8k}{3} - \frac{k}{3} = \frac{7k}{3}$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। $B$ से $H$ तक बहने वाली कुल ऊष्मा धारा $H_{total} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है।
एक घन के लिए जिसमें एक कोने $(B)$ पर ऊष्मा प्रवेश करती है और विपरीत कोने $(H)$ से बाहर निकलती है,समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{5R}{6}$ है।
अतः,$H_{total} = \frac{100 - 0}{5R/6} = \frac{600}{5R} = \frac{120}{R}$।
जंक्शन $B$ पर,ऊष्मा धारा तीन समान छड़ों ($BA$,$BC$,$BF$) में समान रूप से विभाजित हो जाती है। इसलिए,छड़ $BA$ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $H_{BA} = \frac{H_{total}}{3} = \frac{120/R}{3} = \frac{40}{R}$ है।
छड़ $BA$ के लिए ऊष्मा प्रवाह सूत्र का उपयोग करते हुए,$H_{BA} = \frac{T_B - T_A}{R}$,जहाँ $T_B = 100^{\circ}C$ है।
$\frac{40}{R} = \frac{100 - T_A}{R} \implies 40 = 100 - T_A \implies T_A = 60^{\circ}C$।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। $B$ और $C$ के बीच की छड़ें दो समानांतर पथ बनाती हैं,जिनमें से प्रत्येक में दो छड़ें श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक पथ का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है। इन दो समानांतर पथों का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ है।
अब,इस प्रणाली को तीन प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल बनाया जा सकता है: छड़ $AB$ (प्रतिरोध $R$),समानांतर संयोजन $BC$ (प्रतिरोध $R$),और छड़ $CD$ (प्रतिरोध $R$)।
$A$ और $D$ के बीच कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R + R = 3R$ है।
प्रणाली से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H = \frac{T_A - T_D}{R_{total}} = \frac{200 - 20}{3R} = \frac{180}{3R} = \frac{60}{R}$ है।
जंक्शन $B$ पर तापमान छड़ $AB$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$H = \frac{T_A - T_B}{R} \implies \frac{60}{R} = \frac{200 - T_B}{R}$.
$60 = 200 - T_B \implies T_B = 200 - 60 = 140^{\circ}C$.

(C) गोलीय कोश का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th} = \frac{1}{4\pi K} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
आंतरिक गोले के लिए $(R_1 = R, R_2 = 2R)$: $R_{th1} = \frac{1}{4\pi K} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = \frac{1}{8\pi KR}$.
बाहरी गोले के लिए $(R_2 = 2R, R_3 = 3R)$: $R_{th2} = \frac{1}{4\pi K} \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right) = \frac{1}{24\pi KR}$.
स्थिर अवस्था में,ऊष्मा प्रवाह $H$ दोनों गोलों से समान होता है: $H = \frac{T_{int} - 0}{R_{th1}} = \frac{100 - T_{int}}{R_{th2}}$.
मान रखने पर: $\frac{T_{int}}{1/(8\pi KR)} = \frac{100 - T_{int}}{1/(24\pi KR)}$.
$T_{int} = 3(100 - T_{int}) \implies 4T_{int} = 300 \implies T_{int} = 75^oC$.

(A) स्थिर अवस्था (steady state) में,दोनों छड़ों से गुजरने वाली ऊष्मा धारा (heat current) समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि छड़ों का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ $A$ के लिए: $R_1 = \frac{l_1}{K_1 A}$.
छड़ $B$ के लिए: $R_2 = \frac{l_2}{K_2 A}$.
दिया गया है कि $l_2 = 2l_1$ और $K_1 = 2K_2$,इसलिए $K_2 = \frac{K_1}{2}$ लिखा जा सकता है।
इन मानों को $R_2$ में रखने पर: $R_2 = \frac{2l_1}{(K_1/2)A} = \frac{4l_1}{K_1 A} = 4R_1$.
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,ऊष्मा धारा $H$ समान रहेगी:
$H = \frac{100 - \theta}{R_1} = \frac{\theta - 0}{R_2}$.
$R_2 = 4R_1$ रखने पर:
$\frac{100 - \theta}{R_1} = \frac{\theta}{4R_1}$.
$4(100 - \theta) = \theta$.
$400 - 4\theta = \theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^{\circ}C$.

(A) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{l}{k \cdot A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$k$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
छड़ $A$ के लिए,जिसकी ऊष्मीय चालकता $3K$,लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$ है:
$R_A = \frac{l}{(3K) \cdot A} = \frac{l}{3KA}$
छड़ $B$ के लिए,जिसकी ऊष्मीय चालकता $K$,लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$ है:
$R_B = \frac{l}{K \cdot A} = \frac{l}{KA}$
अब,ऊष्मीय प्रतिरोधों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\frac{l}{3KA}}{\frac{l}{KA}} = \frac{1}{3}$
अतः,अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{3}$ है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़ी छड़ों के लिए,तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$.
यह दिया गया है कि सभी छड़ों की लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ है।
अतः,तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध है:
$R_{eq} = \frac{l}{(K/2)A} + \frac{l}{(5K)A} + \frac{l}{KA} = \frac{l}{A} \left( \frac{2}{K} + \frac{1}{5K} + \frac{1}{K} \right)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$R_{eq} = \frac{l}{A} \left( \frac{10 + 1 + 5}{5K} \right) = \frac{l}{A} \left( \frac{16}{5K} \right) = \frac{16l}{5KA}$.
कुल लंबाई $3l$ वाली संयुक्त छड़ के लिए,तुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$R_{eq} = \frac{3l}{K_{eq}A} = \frac{16l}{5KA}$.
$K_{eq}$ के लिए हल करने पर:
$K_{eq} = \frac{3 \times 5K}{16} = \frac{15K}{16}$.

(A) ऊष्मीय परिपथ का विश्लेषण ऊष्मीय प्रतिरोधों पर विचार करके किया जा सकता है। छड़ें $AB$ और $BC$ एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन छड़ $AC$ के साथ समांतर क्रम में है।
श्रेणी शाखा ($AB$ और $BC$) का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_1 = 10 + 10 = 20 \text{ units}$ है।
समांतर शाखा $(AC)$ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_2 = 20 \text{ units}$ है।
बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$।
अतः,$R_{eq} = 10 \text{ units}$।
$A$ से $C$ तक ऊष्मा प्रवाह की कुल दर $\frac{dH}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{100 - 0}{10} = 10 \text{ units}$ है।
चूंकि शाखा $AB+BC$ का प्रतिरोध $20 \text{ units}$ है और शाखा $AC$ का प्रतिरोध $20 \text{ units}$ है,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह दोनों शाखाओं के बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है।
इसलिए,जंक्शन $B$ (जो $AB+BC$ शाखा का हिस्सा है) से गुजरने वाली ऊष्मा की दर $\frac{10}{2} = 5 \text{ units}$ है।

(B) मान लीजिए कि पंचभुज की प्रत्येक भुजा का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
पथ $ABC$ श्रेणीक्रम में दो भुजाओं से बना है,इसलिए इसका प्रतिरोध $R_1 = R + R = 2R$ है।
पथ $AEDC$ श्रेणीक्रम में तीन भुजाओं से बना है,इसलिए इसका प्रतिरोध $R_2 = R + R + R = 3R$ है।
मान लीजिए $H$ बिंदु $A$ पर प्रवेश करने वाली कुल ऊष्मा धारा है। ऊष्मा धारा दो समानांतर पथों $ABC$ और $AEDC$ में इस प्रकार विभाजित होती है कि दोनों पथों पर तापमान का अंतर समान $(T_A - T_C)$ रहता है।
पथ $ABC$ के लिए,ऊष्मा धारा $H_1 = \frac{T_A - T_B}{R} = \frac{T_B - T_C}{R}$ है। अतः,$T_A - T_C = (T_A - T_B) + (T_B - T_C) = 2(T_B - T_C)$।
पथ $AEDC$ के लिए,ऊष्मा धारा $H_2 = \frac{T_A - T_E}{R} = \frac{T_E - T_D}{R} = \frac{T_D - T_C}{R}$ है। अतः,$T_A - T_C = (T_A - T_E) + (T_E - T_D) + (T_D - T_C) = 3(T_D - T_C)$।
तापमान के अंतर को बराबर करने पर: $2(T_B - T_C) = 3(T_D - T_C)$।
$2T_B - 2T_C = 3T_D - 3T_C$।
$3T_C - 2T_C = 3T_D - 2T_B$।
$T_C = 3T_D - 2T_B$।

(D) मान लीजिए कि सामान्य इंटरफ़ेस का तापमान $T$ है। स्थिर अवस्था में,ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ दोनों स्लैब के माध्यम से समान होती है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
पहले स्लैब के लिए (चालकता $K$,मोटाई $x$): $H_1 = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$।
दूसरे स्लैब के लिए (चालकता $2K$,मोटाई $4x$): $H_2 = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$।
चूंकि $H_1 = H_2$:
$\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$
$T_2 - T = \frac{T - T_1}{2}$
$2T_2 - 2T = T - T_1$
$3T = 2T_2 + T_1 \implies T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$।
$T$ का मान $H_1$ के समीकरण में रखने पर:
$H = \frac{KA}{x} \left( T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3} \right)$
$H = \frac{KA}{x} \left( \frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3} \right)$
$H = \frac{KA}{x} \left( \frac{T_2 - T_1}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{KA(T_2 - T_1)}{x} \right)$।
इसे दिए गए समीकरण $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f = \frac{1}{3} \approx 0.33$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\ell$ प्रत्येक छड़ की लंबाई है।
पहले मामले में,दो छड़ों को $T_1 = 100^{\circ}C$ और $T_2 = 0^{\circ}C$ वाले दो जलाशयों के बीच समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dH}{dt_1} = \frac{KA(T_1-T_2)}{\ell} + \frac{KA(T_1-T_2)}{\ell} = \frac{2KA(T_1-T_2)}{\ell}$ है।
चूंकि $q_1 \propto \frac{dH}{dt_1}$,इसलिए $q_1 = \frac{2KA(T_1-T_2)}{L_f \ell}$ है,जहाँ $L_f$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
दूसरे मामले में,छड़ों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{\ell}{KA} + \frac{\ell}{KA} = \frac{2\ell}{KA}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dH}{dt_2} = \frac{T_1-T_2}{R_{eq}} = \frac{KA(T_1-T_2)}{2\ell}$ है।
अतः,$q_2 = \frac{KA(T_1-T_2)}{2 L_f \ell}$ है।
अनुपात $q_2/q_1 = \frac{KA(T_1-T_2) / (2 L_f \ell)}{2KA(T_1-T_2) / (L_f \ell)} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
$A$ और $D$ के बीच कुल तापमान का अंतर $\Delta T = 100^\circ C - 0^\circ C = 100^\circ C$ है।
समरूपता के कारण,बिंदु $B$ और $H$ समान विभव (तापमान) पर हैं,और बिंदु $C$ और $E$ समान विभव पर हैं। इसी प्रकार,$G$ और $F$ समान विभव पर हैं।
ऊष्मीय प्रतिरोधों के परिपथ को सरल बनाकर,हम समानांतर शाखाओं को जोड़ सकते हैं। $A$ और $D$ के बीच समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $\frac{7R}{6}$ के रूप में गणना की जाती है।
हालाँकि,$A$ से $D$ तक के सरल परिपथ पथ को देखते हुए,कुल प्रतिरोध $\frac{7R}{6}$ है। $BC$ खंड पर तापमान में गिरावट की गणना समतुल्य परिपथ में पोटेंशियल डिवाइडर नियम का उपयोग करके की जा सकती है।
$BC$ के बीच तापमान का अंतर $\Delta T_{BC} = \left( \frac{R_{BC}}{R_{total}} \right) \times \Delta T_{AD}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतुल्य परिपथ के अनुसार,$B$ और $C$ के बीच का प्रतिरोध $\frac{5R}{6}$ है और कुल प्रतिरोध $\frac{7R}{6}$ है।
इसलिए,$\Delta T_{BC} = \left( \frac{5R/6}{7R/6} \right) \times 100^\circ C = \frac{5}{7} \times 100^\circ C = \frac{500}{7} \ ^\circ C$.

(D) मान लीजिए कि $K$ चालकता वाली छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{Ka}$ है।
तब,$2K$ चालकता वाली छड़ का प्रतिरोध $R' = \frac{l}{(2K)a} = \frac{R}{2}$ होगा।
तुल्य परिपथ आरेख से,ऊपरी शाखा श्रेणीक्रम में तीन भागों से बनी है:
$1$. $2K$ चालकता वाली दो छड़ें समांतर क्रम में: $R_1 = \frac{(R/2)(R/2)}{(R/2) + (R/2)} = \frac{R}{4}$.
$2$. $K$ चालकता वाली दो छड़ें समांतर क्रम में: $R_2 = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$.
$3$. $2K$ चालकता वाली दो छड़ें समांतर क्रम में: $R_3 = \frac{(R/2)(R/2)}{(R/2) + (R/2)} = \frac{R}{4}$.
ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{upper} = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{R}{4} + \frac{R}{2} + \frac{R}{4} = R$ है।
निचली शाखा $K$ चालकता वाली एक छड़ है,इसलिए $R_{lower} = R$.
$A$ और $B$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ ऊपरी और निचली शाखाओं का समांतर संयोजन है:
$R_{eq} = \frac{R_{upper} \cdot R_{lower}}{R_{upper} + R_{lower}} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$.
$R = \frac{l}{Ka}$ रखने पर,हमें $R_{eq} = \frac{1}{2} \left( \frac{l}{Ka} \right) = \frac{l}{2Ka}$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़ी एक संयुक्त छड़ के लिए,कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों का योग होता है।
ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
श्रेणीक्रम में जुड़ी दो छड़ों के लिए: $R_{eq} = R_1 + R_2$।
व्यंजक रखने पर: $\frac{l_1 + l_2}{KA} = \frac{l_1}{K_1A} + \frac{l_2}{K_2A}$।
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए यह दोनों पक्षों से कट जाएगा।
अतः,$\frac{l_1 + l_2}{K} = \frac{l_1}{K_1} + \frac{l_2}{K_2}$।

(D) मान लीजिए कि वर्ग $ABCD$ है जिसके शीर्ष $A, B, C, D$ क्रम में हैं। $A$ और $C$ पर तापमान $T_A = \sqrt{2}\theta$ और $T_C = \theta$ हैं। मान लीजिए $B$ और $D$ पर तापमान $T_B$ और $T_D$ हैं।
चूंकि छड़ें समान हैं,प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ समान है। ऊष्मा प्रवाह स्थिर है।
बिंदु $B$ पर,ऊष्मा धारा के लिए किरचॉफ के नियम के अनुसार: $\frac{T_A - T_B}{R} + \frac{T_C - T_B}{R} = 0$,जिसका अर्थ है $T_B = \frac{T_A + T_C}{2} = \frac{\sqrt{2}\theta + \theta}{2}$.
इसी प्रकार,बिंदु $D$ पर: $\frac{T_A - T_D}{R} + \frac{T_C - T_D}{R} = 0$,जिसका अर्थ है $T_D = \frac{T_A + T_C}{2} = \frac{\sqrt{2}\theta + \theta}{2}$.
चूंकि $T_B = T_D$,अन्य दो बिंदुओं $B$ और $D$ के बीच तापमान का अंतर $T_B - T_D = 0$ होगा।

(B) मान लीजिए जंक्शन $B$ पर तापमान $T_B$ है। चूंकि छड़ें समान पदार्थ और अनुप्रस्थ काट की हैं, इसलिए उनका ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ उनकी लंबाई $L$ के समानुपाती होता है $(R = \frac{L}{kA})$।
यह दिया गया है कि $AB$ में ऊष्मा का प्रवाह नहीं है, इसलिए $B$ पर तापमान $A$ पर तापमान के बराबर होना चाहिए। अतः, $T_B = T_A = 20 ^oC$।
चूंकि $AB$ में ऊष्मा का प्रवाह नहीं है, इसलिए $D$ से $B$ तक प्रवाहित होने वाली सभी ऊष्मा को $B$ से $C$ तक प्रवाहित होना चाहिए।
अतः, ऊष्मा प्रवाह की दर $H_{DB} = H_{BC}$ है।
सूत्र $H = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए, $\frac{T_D - T_B}{R_{BD}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{90 - 20}{R_{BD}} = \frac{20 - 0}{R_{BC}}$।
$\frac{70}{R_{BD}} = \frac{20}{R_{BC}} \implies \frac{R_{BD}}{R_{BC}} = \frac{70}{20} = 3.5$।
चूंकि $R \propto L$, इसलिए लंबाई का अनुपात $\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{R_{BD}}{R_{BC}} = 3.5$ है।

(B) परत का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$,$R = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ मोटाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ क्षेत्रफल है।
पहली परत (पतली परत) के लिए: $R_1 = \frac{1}{K \cdot A}$.
दूसरी परत के लिए: $R_2 = \frac{4}{3K \cdot A}$.
चूंकि परतें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए ऊष्मा प्रवाह $H$ दोनों परतों से समान रहेगा। परत के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T = H \cdot R$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,तापमान के अंतर का अनुपात $\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1/K}{4/3K} = \frac{3}{4}$ होगा।
दिया गया है कि $\Delta T_1 + \Delta T_2 = 50\ ^oC$.
समीकरण में $\Delta T_2 = \frac{4}{3} \Delta T_1$ रखने पर: $\Delta T_1 + \frac{4}{3} \Delta T_1 = 50$.
$\frac{7}{3} \Delta T_1 = 50 \implies \Delta T_1 = \frac{150}{7}\ ^oC$.

(B) समानांतर में जुड़ी दो छड़ों के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ का सूत्र है:
$K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$
दिया गया है:
$A_1 = A, A_2 = 2A$
$K_1 = 2K, K_2 = 3K$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{eq} = \frac{(2K)(A) + (3K)(2A)}{A + 2A}$
$K_{eq} = \frac{2KA + 6KA}{3A}$
$K_{eq} = \frac{8KA}{3A}$
$K_{eq} = \frac{8K}{3}$

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। इस प्रणाली में $R$ प्रतिरोध वाली एक छड़ $AB$ है,जिसके बाद $B$ और $C$ के बीच दो शाखाएं समानांतर में जुड़ी हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $2R$ है। इस समानांतर भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_{BC} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ है। अंत में,$R$ प्रतिरोध वाली एक छड़ $CD$ है।
इस प्रकार,कुल परिपथ को तीन प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल किया जा सकता है: $R_{AB} = R$,$R_{BC} = R$,और $R_{CD} = R$। कुल प्रतिरोध $3R$ है।
प्रणाली से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H = \frac{T_A - T_D}{3R} = \frac{200 - 20}{3R} = \frac{180}{3R} = \frac{60}{R}$ है।
अब,जंक्शन $B$ के लिए,$AB$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा शेष परिपथ ($BC$ और $CD$) से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा के बराबर होनी चाहिए:
$H = \frac{T_A - T_B}{R} = \frac{60}{R}$
$200 - T_B = 60$
$T_B = 200 - 60 = 140^{\circ}C$।

(D) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \frac{l}{KA}$
जहाँ $l$ छड़ की लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 2 \ m$
त्रिज्या $r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$
ऊष्मीय चालकता $K = 401 \ W/m-K$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-2})^2 = 3.14 \times 10^{-4} \ m^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = \frac{2}{401 \times 3.14 \times 10^{-4}}$
$R = \frac{2}{0.125914} \approx 15.88 \ K/W$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $R \approx 15.9 \ K/W$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $R_A, R_B$ और $R_C$ छड़ों $A, B$ और $C$ के ऊष्मीय प्रतिरोध हैं। ऊष्मीय प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ है।
$R_A = \frac{2l}{KA}$
$R_B = \frac{l}{(2K)(2A)} = \frac{l}{4KA}$
$R_C = \frac{l}{(4K)(2A)} = \frac{l}{8KA}$
मान लीजिए जंक्शन का तापमान $\theta$ है। जंक्शन की ओर बहने वाली ऊष्मीय धाराओं का योग शून्य होना चाहिए (ऊष्मा प्रवाह के लिए किरचॉफ का जंक्शन नियम):
$\frac{100 - \theta}{R_A} + \frac{50 - \theta}{R_B} + \frac{0 - \theta}{R_C} = 0$
प्रतिरोधों के मान रखने पर:
$\frac{100 - \theta}{2l/KA} + \frac{50 - \theta}{l/4KA} + \frac{0 - \theta}{l/8KA} = 0$
$\frac{KA}{l} \left[ \frac{100 - \theta}{2} + 4(50 - \theta) - 8\theta \right] = 0$
$50 - 0.5\theta + 200 - 4\theta - 8\theta = 0$
$250 = 12.5\theta$
$\theta = \frac{250}{12.5} = 20^{\circ}C$

(D) मान लीजिए कि तांबे और लोहे के तारों का ऊष्मीय प्रतिरोध क्रमशः $R_1$ और $R_2$ है। तब,
$R_1 = \frac{l}{K_1 A}$ और $R_2 = \frac{l}{K_2 A}$।
चित्र से,यह व्यवस्था एक व्हीटस्टोन ब्रिज नेटवर्क है। भुजाएँ $AB$ और $BC$ तांबे की हैं (प्रत्येक का प्रतिरोध $R_1$),और $AD$ और $DC$ लोहे की हैं (प्रत्येक का प्रतिरोध $R_2$)। केंद्रीय भुजा $BD$ में दो तार (एक लोहा और एक तांबा) समानांतर में हैं,लेकिन ब्रिज की समरूपता के कारण,$B$ और $D$ पर तापमान समान रहता है। अतः,केंद्रीय भुजा $BD$ से कोई ऊष्मा प्रवाहित नहीं होती है और इसे हटाया जा सकता है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक शाखा में श्रेणीक्रम में दो तांबे के तार $(R_1 + R_1 = 2R_1)$ और दूसरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो लोहे के तार $(R_2 + R_2 = 2R_2)$।
$A$ और $C$ के बीच तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{(2R_1)(2R_2)}{2R_1 + 2R_2} = \frac{4R_1 R_2}{2(R_1 + R_2)} = \frac{2R_1 R_2}{R_1 + R_2}$।
$R_1$ और $R_2$ के मान रखने पर:
$R_{eq} = \frac{2 \left( \frac{l}{K_1 A} \right) \left( \frac{l}{K_2 A} \right)}{\frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A}} = \frac{2 \frac{l^2}{K_1 K_2 A^2}}{\frac{l(K_1 + K_2)}{K_1 K_2 A}} = \frac{2l}{A(K_1 + K_2)}$।

(A) माना बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $P = \frac{Q}{t}$ द्वारा दी जाती है।
प्रयोग $I$ के लिए: $P_1 = \frac{Q}{t_1} = \frac{Q}{20}$.
प्रयोग $II$ के लिए: $P_2 = \frac{Q}{t_2} = \frac{Q}{80}$.
प्रयोग $III$ (श्रेणीक्रम) के लिए: समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है। चूँकि $P = \frac{\Delta T}{R}$,इसलिए $\frac{1}{P_{eq}} = \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2}$ होगा।
$\frac{t_{10}}{Q} = \frac{t_1}{Q} + \frac{t_2}{Q} \Rightarrow t_{10} = t_1 + t_2 = 20 + 80 = 100 \text{ मिनट}$.
प्रयोग $IV$ (समानांतर क्रम) के लिए: समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है,जिसका अर्थ है $P_{eq} = P_1 + P_2$.
$\frac{Q}{t_{20}} = \frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2} \Rightarrow \frac{1}{t_{20}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{80} = \frac{4+1}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
अतः,$t_{20} = 16 \text{ मिनट}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही कथन यह है कि $t_{10} = 100 \text{ मिनट}$।

(D) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ $A$ के लिए: $R_A = \frac{2l}{K \cdot A} = \frac{2l}{KA}$.
छड़ $B$ के लिए: $R_B = \frac{l}{(2K) \cdot (2A)} = \frac{l}{4KA}$.
छड़ $C$ के लिए: $R_C = \frac{l}{(4K) \cdot (2A)} = \frac{l}{8KA}$.
माना जंक्शन का तापमान $\theta$ है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत (ऊष्मा प्रवाह के लिए किरचॉफ का जंक्शन नियम) के अनुसार,जंक्शन पर ऊष्मा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए: $\frac{100 - \theta}{R_A} + \frac{50 - \theta}{R_B} + \frac{0 - \theta}{R_C} = 0$.
प्रतिरोधों के मान रखने पर:
$\frac{100 - \theta}{2l/KA} + \frac{50 - \theta}{l/4KA} + \frac{0 - \theta}{l/8KA} = 0$.
$\frac{l}{KA}$ से गुणा करने पर:
$\frac{100 - \theta}{2} + 4(50 - \theta) + 8(0 - \theta) = 0$.
$50 - 0.5\theta + 200 - 4\theta - 8\theta = 0$.
$250 = 12.5\theta$.
$\theta = \frac{250}{12.5} = 20\,^oC$.

(D) प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए तीनों छड़ों के लिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ समान है।
जंक्शन पर ऊष्मा धारा के लिए किरचॉफ के नियम का उपयोग करते हुए,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए:
$i_1 + i_2 + i_3 = 0$
यहाँ,$i_1$ $30\,^{\circ}C$ वाले सिरे से आने वाली ऊष्मा धारा है,और $i_2, i_3$ $90\,^{\circ}C$ वाले दो सिरों से आने वाली ऊष्मा धाराएँ हैं।
$\frac{30 - \theta}{R} + \frac{90 - \theta}{R} + \frac{90 - \theta}{R} = 0$
$R$ से गुणा करने पर:
$(30 - \theta) + (90 - \theta) + (90 - \theta) = 0$
$30 + 90 + 90 - 3\theta = 0$
$210 = 3\theta$
$\theta = 70\,^{\circ}C$

(B) तीनों स्थितियों में,पदार्थ समान दो तापमानों के बीच श्रेणीक्रम में व्यवस्थित हैं।
चूँकि कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ तीनों व्यवस्थाओं के लिए समान है (क्योंकि श्रेणीक्रम में प्रतिरोधों का योग क्रम पर निर्भर नहीं करता है),इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $H = \frac{\Delta T_{total}}{R_{eq}}$ भी तीनों स्थितियों के लिए समान है।
किसी भी व्यक्तिगत पदार्थ परत के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H = \frac{\Delta T_{layer}}{R_{layer}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $H$ स्थिर है और तीनों स्थितियों में पदार्थ $1$ का प्रतिरोध $R_1$ स्थिर है,इसलिए पदार्थ $1$ के सिरों पर तापमान का अंतर $\Delta T_1 = H \times R_1$ है।
अतः,$\Delta T_a = \Delta T_b = \Delta T_c$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। परिपथ को ऊष्मीय प्रतिरोधों के श्रेणी-समांतर संयोजन के रूप में विश्लेषित किया जा सकता है।
$1$. $B$ और $C$ के बीच का भाग दो समांतर शाखाओं से बना है,जिनमें से प्रत्येक में दो छड़ें श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है। $B$ और $C$ के बीच समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{BC} = (2R \times 2R) / (2R + 2R) = R$ है।
$2$. परिपथ का कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{total} = R_{AB} + R_{BC} + R_{CD} = R + R + R = 3R$ है।
$3$. कुल तापमान अंतर $\Delta T = 200^{\circ}C - 20^{\circ}C = 180^{\circ}C$ है।
$4$. परिपथ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H = \Delta T / R_{total} = 180 / 3R = 60/R$ है।
$5$. $AB$ के सिरों पर तापमान में गिरावट $\Delta T_{AB} = H \times R = (60/R) \times R = 60^{\circ}C$ है। अतः,$T_B = 200^{\circ}C - 60^{\circ}C = 140^{\circ}C$ है।
$6$. $BC$ के सिरों पर तापमान में गिरावट $\Delta T_{BC} = H \times R_{BC} = (60/R) \times R = 60^{\circ}C$ है। अतः,$T_C = T_B - 60^{\circ}C = 140^{\circ}C - 60^{\circ}C = 80^{\circ}C$ है।

(B) ऊष्मा प्रवाह को $\Delta Q = \frac{\Delta T}{R_{eq}} t$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $R_{eq}$ तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध है।
$R$ प्रतिरोध वाली दो समान छड़ों के लिए,जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{s} = R + R = 2R$ होता है।
जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों में ऊष्मा $\Delta Q$ समान है और तापांतर $\Delta T$ स्थिर है:
$\Delta Q = \frac{\Delta T}{2R} \times 12 = \frac{\Delta T}{R/2} \times t$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{12}{2R} = \frac{t}{R/2}$
$\frac{6}{R} = \frac{2t}{R}$
$2t = 6$
$t = 3 \, \text{minutes}$.

(B) किसी पदार्थ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$A$ क्षेत्रफल है और $K$ ऊष्मीय चालकता है।
$1$. पहले खंड (बाएं) के लिए: यहाँ तीन समानांतर ईंटें हैं,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A/3$ है। प्रत्येक ईंट का प्रतिरोध $R_1 = \frac{l}{K(A/3)} = \frac{3l}{KA}$ है। चूँकि वे समानांतर में हैं,समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq1}$ का मान $\frac{1}{R_{eq1}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_1} = \frac{3}{3l/KA} = \frac{KA}{l}$ होगा। अतः,$R_{eq1} = \frac{l}{KA}$.
$2$. मध्य खंड के लिए: यहाँ $l$ लंबाई और $A$ क्षेत्रफल वाली एक ही ईंट है। इसका प्रतिरोध $R_{eq2} = \frac{l}{KA}$ है।
$3$. तीसरे खंड (दाएं) के लिए: यहाँ दो समानांतर ईंटें हैं,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A/2$ है। प्रत्येक ईंट का प्रतिरोध $R_3 = \frac{l}{K(A/2)} = \frac{2l}{KA}$ है। चूँकि वे समानांतर में हैं,समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq3}$ का मान $\frac{1}{R_{eq3}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_3} = \frac{2}{R_3} = \frac{2}{2l/KA} = \frac{KA}{l}$ होगा। अतः,$R_{eq3} = \frac{l}{KA}$.
$4$. चूँकि ये तीनों खंड श्रेणीक्रम में हैं,कुल समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{total} = R_{eq1} + R_{eq2} + R_{eq3} = \frac{l}{KA} + \frac{l}{KA} + \frac{l}{KA} = \frac{3l}{KA}$ होगा।

(A) मान लीजिए चाप $ADB$ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_1$ है और चाप $ACD$ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_2$ है। केंद्र पर $ADB$ द्वारा अंतरित कोण $90^\circ$ (या $\pi/2$ रेडियन) है,और $ACD$ द्वारा अंतरित कोण $270^\circ$ (या $3\pi/2$ रेडियन) है।
चूंकि चाप की लंबाई $L = r\theta$ होती है,इसलिए $ADB$ की लंबाई $L_1 = r(\pi/2)$ है और $ACD$ की लंबाई $L_2 = r(3\pi/2) = 3L_1$ है।
ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ होता है। समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और समान प्रारंभिक चालकता $K$ मानते हुए:
$R_1 = \frac{L_1}{KA}$ और $R_2 = \frac{3L_1}{KA} = 3R_1$.
चाप $A$ और $B$ के बीच समानांतर में हैं,इसलिए कुल ऊष्मा धारा $H = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \Delta T \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) = \Delta T \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{3R_1}\right) = \frac{4\Delta T}{3R_1}$.
जब $ADB$ को $K'$ चालकता वाली सामग्री से बदल दिया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_1' = \frac{L_1}{K'A} = R_1 \frac{K}{K'}$ होता है।
नई ऊष्मा धारा $2H = \Delta T \left(\frac{1}{R_1'} + \frac{1}{R_2}\right) = \Delta T \left(\frac{K'}{R_1 K} + \frac{1}{3R_1}\right)$.
$H = \frac{4\Delta T}{3R_1}$ रखने पर,हमें मिलता है $2 \left(\frac{4\Delta T}{3R_1}\right) = \Delta T \left(\frac{K'}{R_1 K} + \frac{1}{3R_1}\right)$.
$\frac{8}{3R_1} = \frac{3K' + K}{3KR_1} \implies 8K = 3K' + K \implies 3K' = 7K \implies \frac{K'}{K} = \frac{7}{3}$.

(A) मान लीजिए $L$ लंबाई की छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_0$ है। खंड $AP$ (लंबाई $L/2$) का प्रतिरोध $R_0/2$,खंड $PQ$ (लंबाई $L$) का प्रतिरोध $R_0$,और खंड $QB$ (लंबाई $L/2$) का प्रतिरोध $R_0/2$ है। मुड़ी हुई छड़ $PQ$ की कुल लंबाई $3L/2$ है (दो ऊर्ध्वाधर खंड $L/4$ और एक क्षैतिज खंड $L$)। इसका प्रतिरोध $R_{bent} = R_0/4 + R_0 + R_0/4 = 1.5R_0$ है। मुख्य छड़ के खंड $PQ$ का प्रतिरोध $R_0$ है। ये दोनों समानांतर में हैं,इसलिए उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_0 \times 1.5R_0}{R_0 + 1.5R_0} = \frac{1.5}{2.5}R_0 = 0.6R_0$ है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_{AP} + R_p + R_{QB} = 0.5R_0 + 0.6R_0 + 0.5R_0 = 1.6R_0$ है। $PQ$ के बीच तापमान में गिरावट $\Delta T_{PQ} = \Delta T_{total} \times \frac{R_p}{R_{eq}} = 120 \times \frac{0.6R_0}{1.6R_0} = 120 \times \frac{6}{16} = 120 \times 0.375 = 45\,^oC$ है।

(D) जब ऊष्मा बेलनों की लंबाई के अनुदिश प्रवाहित होती है,तो दोनों बेलन ऊष्मा के समानांतर चालकों के रूप में कार्य करते हैं।
समानांतर संयोजन के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता व्यक्तिगत ऊष्मीय चालकताओं के योग के बराबर होती है।
ऊष्मीय चालकता $C = \frac{KA}{L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ लंबाई है।
आंतरिक बेलन के लिए,क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2$ है।
बाहरी बेलनाकार खोल के लिए,क्षेत्रफल $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ है।
निकाय का कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = 4\pi R^2$ है।
कुल चालकता को व्यक्तिगत चालकताओं के योग के बराबर रखने पर:
$\frac{K_{eff} A}{L} = \frac{K_1 A_1}{L} + \frac{K_2 A_2}{L}$
$K_{eff} (4\pi R^2) = K_1 (\pi R^2) + K_2 (3\pi R^2)$
$4 K_{eff} = K_1 + 3 K_2$
$K_{eff} = \frac{K_1 + 3 K_2}{4}$

(C) श्रेणीक्रम में जुड़ी छड़ों के लिए,समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
ऊष्मीय प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{\ell}{KA}$ है,जहाँ $\ell$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसे श्रेणीक्रम के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{K A} = \frac{\ell_1}{K_1 A} + \frac{\ell_2}{K_2 A}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए हम दोनों पक्षों से $A$ को हटा सकते हैं:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{K} = \frac{\ell_1}{K_1} + \frac{\ell_2}{K_2}$

(D) स्थायी अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दो शीटों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए $H$ ऊष्मा प्रवाह की दर है।
$H = \frac{\Delta T_1}{R_1} = \frac{\Delta T_2}{R_2}$
तापमान मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\theta_1 - \theta}{R_1} = \frac{\theta - \theta_2}{R_2}$
$\theta$ के लिए हल करने हेतु तिरछा गुणा करने पर:
$(\theta_1 - \theta)R_2 = (\theta - \theta_2)R_1$
$\theta_1 R_2 - \theta R_2 = \theta R_1 - \theta_2 R_1$
$\theta_1 R_2 + \theta_2 R_1 = \theta (R_1 + R_2)$
अतः,जंक्शन का तापमान है:
$\theta = \frac{\theta_1 R_2 + \theta_2 R_1}{R_1 + R_2}$

(B) दिया गया है कि ऊष्मीय चालकता $K_A = 2 K_B$ है।
चूंकि दोनों परतों की मोटाई $d$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{d}{KA}$ होता है।
अतः,$R_A = \frac{d}{K_A A} = \frac{d}{2 K_B A} = \frac{R_B}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $R_A = R$,तो $R_B = 2R$ होगा।
स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों परतों से ऊष्मा धारा $H$ समान रहती है।
कुल तापमान का अंतर $\Delta T = 36\,^{\circ}C$ है।
$H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{36}{R_A + R_B} = \frac{36}{R + 2R} = \frac{36}{3R} = \frac{12}{R}$।
परत $A$ के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T_A = H \times R_A = \frac{12}{R} \times R = 12\,^{\circ}C$ होगा।

(B) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और ऊष्मीय चालकता $K$ है। स्थानांतरित ऊष्मा $Q$ है और तापांतर $\Delta \theta$ है।
स्थिति $1$: जब सिरे से सिरा जोड़कर (श्रेणी में) रखा जाता है,तो कुल लंबाई $2l$ और क्षेत्रफल $A$ होता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{l}{KA} + \frac{l}{KA} = \frac{2l}{KA}$ है।
ऊष्मा प्रवाह $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} \times t_1 = \frac{\Delta \theta \cdot KA}{2l} \times 12 = \frac{6 KA \Delta \theta}{l} \dots (i)$.
स्थिति $2$: जब लंबाई के अनुदिश (समांतर) जोड़ा जाता है,तो लंबाई $l$ और कुल क्षेत्रफल $2A$ होता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{KA}{l} + \frac{KA}{l} = \frac{2KA}{l}$,इसलिए $R_{eq} = \frac{l}{2KA}$ है।
ऊष्मा प्रवाह $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} \times t_2 = \frac{\Delta \theta \cdot 2KA}{l} \times t_2 \dots (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{6 KA \Delta \theta}{l} = \frac{2 KA \Delta \theta}{l} \times t_2$
$6 = 2 t_2 \implies t_2 = 3 \, s$.

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। चूंकि ब्रिज संतुलित है,इसलिए बीच वाले तार से कोई ऊष्मा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा में $l$ लंबाई के दो तांबे के तार श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_1 = \frac{l}{k_1 A} + \frac{l}{k_1 A} = \frac{2l}{k_1 A}$ है।
$2$. निचली शाखा में $l$ लंबाई के दो स्टील के तार श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_2 = \frac{l}{k_2 A} + \frac{l}{k_2 A} = \frac{2l}{k_2 A}$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{k_1 A}{2l} + \frac{k_2 A}{2l} = \frac{(k_1 + k_2)A}{2l}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{2l}{(k_1 + k_2)A}$.

(B) दोनों प्लेटें समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ समानांतर में हैं।
समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
हम जानते हैं कि ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{\ell}{KA}$,जहाँ $\ell$ मोटाई है।
मान रखने पर:
$\frac{K_{eq}(A_1 + A_2)}{\ell} = \frac{K_1 A_1}{\ell} + \frac{K_2 A_2}{\ell}$
चूंकि दोनों प्लेटों के लिए मोटाई $\ell$ समान है,इसलिए यह कट जाएगी:
$K_{eq}(A_1 + A_2) = K_1 A_1 + K_2 A_2$
$K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$

(C) श्रेणीक्रम में जुड़ी छड़ों के लिए,तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{\ell}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसे श्रेणी संयोजन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{KA} = \frac{\ell_1}{K_1 A} + \frac{\ell_2}{K_2 A}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए हम दोनों पक्षों से $A$ को हटा सकते हैं:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{K} = \frac{\ell_1}{K_1} + \frac{\ell_2}{K_2}$

(B) माना $R_1$ और $R_2$ दो छड़ों के ऊष्मीय प्रतिरोध हैं। श्रेणीक्रम में जुड़ी छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर इस प्रकार है:
$\frac{100 - 0}{R_1 + R_2} = \frac{100 - 70}{R_1} = \frac{70 - 0}{R_2}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\frac{100}{R_1 + R_2} = \frac{30}{R_1} = \frac{70}{R_2}$
$\frac{30}{R_1} = \frac{70}{R_2}$ से,हमें $R_2 = \frac{7}{3} R_1$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\frac{100}{R_1 + R_2} = \frac{30}{R_1}$ में रखने पर:
$\frac{100}{R_1 + \frac{7}{3}R_1} = \frac{30}{R_1} \Rightarrow \frac{100}{\frac{10}{3}R_1} = \frac{30}{R_1} \Rightarrow 30 = 30$ (संगत)।
जब छड़ों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया जंक्शन तापमान $T$ इस प्रकार होगा:
$\frac{100 - T}{R_2} = \frac{T - 0}{R_1}$
$\frac{100 - T}{R_2} = \frac{T}{R_1} \Rightarrow \frac{100 - T}{T} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{7}{3}$
$3(100 - T) = 7T \Rightarrow 300 - 3T = 7T \Rightarrow 10T = 300 \Rightarrow T = 30\,^{\circ}C$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
चित्र $(a)$ में,छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq1} = R + R = 2R$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q_1}{t_1} = \frac{\Delta T}{R_{eq1}} = \frac{100 - 0}{2R} = \frac{50}{R}$ है।
दिया गया है $Q_1 = 10 \, cal$ और $t_1 = 2 \, min$,तो हमारे पास $\frac{10}{2} = \frac{50}{R}$ है,जिससे $R = 10 \, K/cal \cdot min$ प्राप्त होता है।
चित्र $(b)$ में,छड़ें समानांतर क्रम में हैं,इसलिए समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq2} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q_2}{t_2} = \frac{\Delta T}{R_{eq2}} = \frac{100 - 0}{R/2} = \frac{200}{R}$ है।
समान मात्रा में ऊष्मा $Q_2 = 10 \, cal$ के लिए,हमारे पास $\frac{10}{t_2} = \frac{200}{R}$ है।
$R = 10$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{10}{t_2} = \frac{200}{10} = 20$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_2 = \frac{10}{20} = 0.5 \, min$।

(D) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और ऊष्मीय चालकता $k$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: जब समानांतर जोड़ा जाता है,तो प्रभावी क्षेत्रफल $2A$ और प्रभावी लंबाई $l$ होती है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H_p = \frac{k(2A) \Delta T}{l} = \frac{2kA \Delta T}{l}$ है।
दिया गया है $H_p = \frac{Q}{12}$,अतः $\frac{Q}{12} = \frac{2kA \Delta T}{l} \implies Q = \frac{24kA \Delta T}{l}$।
स्थिति $2$: जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी लंबाई $2l$ और प्रभावी क्षेत्रफल $A$ होता है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H_s = \frac{kA \Delta T}{2l}$ है।
दिया गया है $H_s = \frac{Q}{t}$,अतः $\frac{Q}{t} = \frac{kA \Delta T}{2l} \implies t = \frac{Q \cdot 2l}{kA \Delta T}$।
स्थिति $1$ से $Q$ का मान स्थिति $2$ में रखने पर:
$t = \frac{(24kA \Delta T / l) \cdot 2l}{kA \Delta T} = 24 \times 2 = 48 \, s$।

(C) समान मोटाई $d$ और ऊष्मीय चालकता $K_1$ तथा $K_2$ वाली दो प्लेटें श्रेणी क्रम में जुड़ी हों,तो कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
चूंकि $R = \frac{d}{KA}$,इसलिए $\frac{2d}{K_{eq}A} = \frac{d}{K_1A} + \frac{d}{K_2A}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$।
यह $K_1$ और $K_2$ का हरात्मक माध्य (harmonic mean) है। दो संख्याओं का हरात्मक माध्य हमेशा बड़ी संख्या से छोटा और छोटी संख्या से बड़ा होता है,अर्थात $K_{min} < K_{eq} < K_{max}$।
उदाहरण के लिए,यदि $K_1 = 10$ और $K_2 = 2$ है,तो $K_{eq} = \frac{2(10)(2)}{10+2} = \frac{40}{12} \approx 3.33$।
यहाँ $3.33 > 2$ (छोटा मान)। अतः,कथन गलत है।

(N/A) दिया गया है: $L_{1}=L_{2}=L=0.1 \; m$,$A_{1}=A_{2}=A=0.02 \; m^{2}$,$K_{1}=79 \; W m^{-1} K^{-1}$,$K_{2}=109 \; W m^{-1} K^{-1}$,$T_{1}=373 \; K$,$T_{2}=273 \; K$.
स्थायी अवस्था में,लोहे की छड़ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $(H_{1})$ पीतल की छड़ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $(H_{2})$ के बराबर होती है।
$H = H_{1} = H_{2} = \frac{K_{1} A (T_{1}-T_{0})}{L} = \frac{K_{2} A (T_{0}-T_{2})}{L}$
$(i)$ जंक्शन तापमान $T_{0}$:
$K_{1}(T_{1}-T_{0}) = K_{2}(T_{0}-T_{2})$
$T_{0} = \frac{K_{1} T_{1} + K_{2} T_{2}}{K_{1} + K_{2}} = \frac{(79 \times 373) + (109 \times 273)}{79 + 109} = \frac{29467 + 29757}{188} = \frac{59224}{188} \approx 315 \; K$.
$(ii)$ समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K'$:
श्रेणी संयोजन के लिए,$\frac{2L}{K'} = \frac{L}{K_{1}} + \frac{L}{K_{2}} \implies \frac{2}{K'} = \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}} = \frac{K_{1}+K_{2}}{K_{1} K_{2}}$
$K' = \frac{2 K_{1} K_{2}}{K_{1}+K_{2}} = \frac{2 \times 79 \times 109}{79 + 109} = \frac{17222}{188} \approx 91.6 \; W m^{-1} K^{-1}$.
$(iii)$ ऊष्मा धारा $H$:
$H = \frac{K' A (T_{1}-T_{2})}{2L} = \frac{91.6 \times 0.02 \times (373 - 273)}{2 \times 0.1} = \frac{91.6 \times 0.02 \times 100}{0.2} = \frac{183.2}{0.2} = 916 \; W$.

(N/A) कंक्रीट की ऊष्मीय चालकता,धातुओं की तुलना में बहुत कम होने के बावजूद,प्रभावी ऊष्मीय इंसुलेशन प्रदान करने के लिए पर्याप्त कम नहीं है। रेत या फोम की एक परत जोड़ने से,जो ऊष्मा के कुचालक (इंसुलेटर) होते हैं,छत का कुल ऊष्मीय प्रतिरोध बढ़ जाता है। यह बाहरी वातावरण से कमरे में होने वाले ऊष्मा स्थानांतरण की दर को काफी कम कर देता है,जिससे गर्म मौसम में कमरा ठंडा रहता है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़े दो तारों के लिए,ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ को $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार समान हैं,इसलिए उनकी लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है।
श्रेणी संयोजन का कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eff}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग है:
$R_{eff} = R_{1} + R_{2} = \frac{l}{K_{1}A} + \frac{l}{K_{2}A}$
$2l$ लंबाई और $K_{eq}$ ऊष्मीय चालकता वाले समतुल्य तार के लिए,प्रतिरोध है:
$R_{eff} = \frac{2l}{K_{eq}A}$
$R_{eff}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{2l}{K_{eq}A} = \frac{l}{K_{1}A} + \frac{l}{K_{2}A}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}} = \frac{K_{1} + K_{2}}{K_{1}K_{2}}$
$K_{eq} = \frac{2K_{1}K_{2}}{K_{1} + K_{2}}$

(C) चूंकि दोनों इंसुलेटिंग शीट श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों शीट से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{\Delta \theta}{R}$ द्वारा दी जाती है।
पहली शीट (निचली) के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H = \frac{\theta - \theta_{1}}{R_{1}}$ है।
दूसरी शीट (ऊपरी) के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H = \frac{\theta_{2} - \theta}{R_{2}}$ है।
दोनों दरों को बराबर करने पर:
$\frac{\theta - \theta_{1}}{R_{1}} = \frac{\theta_{2} - \theta}{R_{2}}$
$R_{2}(\theta - \theta_{1}) = R_{1}(\theta_{2} - \theta)$
$R_{2}\theta - R_{2}\theta_{1} = R_{1}\theta_{2} - R_{1}\theta$
$R_{2}\theta + R_{1}\theta = R_{1}\theta_{2} + R_{2}\theta_{1}$
$\theta(R_{1} + R_{2}) = R_{1}\theta_{2} + R_{2}\theta_{1}$
$\theta = \frac{R_{1}\theta_{2} + R_{2}\theta_{1}}{R_{1} + R_{2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{AB} = R_{CD} = 10 \; K/W$ है।
$C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए प्रत्येक आधे भाग का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{AC} = R_{CB} = 5 \; K/W$ है।
मान लीजिए जंक्शन $C$ पर तापमान $T$ है।
ऊष्मा धारा के लिए जंक्शन नियम लागू करने पर (प्रवेश करने वाली ऊष्मा धारा का योग = बाहर निकलने वाली ऊष्मा धारा का योग):
$\frac{200 - T}{5} = \frac{T - 125}{10} + \frac{T - 100}{5}$
पूरे समीकरण को $10$ से गुणा करने पर:
$2(200 - T) = (T - 125) + 2(T - 100)$
$400 - 2T = T - 125 + 2T - 200$
$400 - 2T = 3T - 325$
$5T = 725$
$T = 145^{\circ}C$
छड़ $CD$ में ऊष्मा धारा $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{T - 125}{R_{CD}} = \frac{145 - 125}{10} = \frac{20}{10} = 2 \; W$.
अतः,$P$ का मान $2$ है।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left(\frac{1}{R}\right) \Delta T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ ऊष्मीय प्रतिरोध है।
$L$ मोटाई,$K$ ऊष्मीय चालकता और $A$ क्षेत्रफल वाली प्लेट के लिए,ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ होता है।
प्लेट $A$ के लिए: $R_{1} = \frac{L_{1}}{K_{1}A} = \frac{4.0}{K(120)}$.
प्लेट $B$ के लिए: $R_{2} = \frac{L_{2}}{K_{2}A} = \frac{2.5}{(2K)(120)}$.
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = R_{1} + R_{2}$ होगा।
कुल मोटाई $L_{\text{eq}} = L_{1} + L_{2}$ और क्षेत्रफल $A$ वाली संयुक्त प्लेट के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{\text{eq}}$ का सूत्र $\frac{L_{\text{eq}}}{K_{\text{eq}}A} = \frac{L_{1}}{K_{1}A} + \frac{L_{2}}{K_{2}A}$ है।
मान रखने पर: $\frac{4.0 + 2.5}{K_{\text{eq}}(120)} = \frac{4.0}{K(120)} + \frac{2.5}{2K(120)}$.
$\frac{6.5}{K_{\text{eq}}} = \frac{4}{K} + \frac{1.25}{K} = \frac{5.25}{K} = \frac{21/4}{K} = \frac{21}{4K}$.
अतः,$K_{\text{eq}} = \frac{6.5 \times 4K}{21} = \frac{26}{21}K = \left(1 + \frac{5}{21}\right)K$.
इसकी तुलना $\left(1 + \frac{5}{\alpha}\right)K$ से करने पर,हमें $\alpha = 21$ प्राप्त होता है।

(D) माना जंक्शन का तापमान $T^{\circ} C$ है।
चूंकि छड़ें समान पदार्थ से बनी हैं,उनका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है और लंबाई $l$ समान है,इसलिए उनका ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{kA}$ सभी छड़ों के लिए समान है।
स्थिर अवस्था ऊष्मा प्रवाह के सिद्धांत के अनुसार,तीन कांटे वाली छड़ों के माध्यम से कुल ऊष्मा का प्रवाह चौथी छड़ (हैंडल) के माध्यम से बाहर निकलने वाली ऊष्मा के बराबर होना चाहिए।
तीन छड़ों से ऊष्मा का प्रवाह = $3 \times \frac{kA}{l}(100 - T)$
चौथी छड़ से बाहर निकलने वाली ऊष्मा = $\frac{kA}{l}(T - 0)$
दोनों को बराबर करने पर:
$3 \frac{kA}{l}(100 - T) = \frac{kA}{l}(T - 0)$
$3(100 - T) = T$
$300 - 3T = T$
$4T = 300$
$T = 75^{\circ} C$