Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Hindi

(A) दिया गया है:
हेलीकॉप्टर का द्रव्यमान $m_{1} = 2000 \,kg$
चालक दल और यात्रियों का द्रव्यमान $m_{2} = 500 \,kg$
त्वरण $a = 15 \,m s^{-2}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m s^{-2}$
$(a)$ चालक दल और यात्रियों द्वारा हेलीकॉप्टर के फर्श पर लगाया गया बल आभासी भार है $F_{1} = m_{2}(g + a)$।
$F_{1} = 500 \times (10 + 15) = 500 \times 25 = 12500 \,N$ (नीचे की ओर)।
$(b)$ हेलीकॉप्टर के रोटर द्वारा आसपास की हवा पर की गई क्रिया,पूरी प्रणाली (हेलीकॉप्टर + चालक दल + यात्री) को $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठाने के लिए आवश्यक कुल बल के बराबर है।
$F_{2} = (m_{1} + m_{2})(g + a) = (2000 + 500) \times (10 + 15) = 2500 \times 25 = 62500 \,N$ (नीचे की ओर)।
$(c)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,आसपास की हवा के कारण हेलीकॉप्टर पर लगने वाला बल,क्रिया बल $F_{2}$ की प्रतिक्रिया है।
$F_{3} = 62500 \,N$ (ऊपर की ओर)।

(A) दिया गया है $F = 10\, N$ और $a = 1\, m s^{-2}$। न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करने पर,$m = F/a = 10/1 = 10\, kg$ प्राप्त होता है।
$(b)$ न्यूटन के प्रथम नियम के अनुसार,यदि किसी वस्तु पर कोई बाह्य बल न लगे,तो वह नियत (constant) वेग से अपनी गति जारी रखती है।
$(c)$ जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो वस्तु का आभासी भार $W' = m(g + a)$ होता है,जो उसके वास्तविक भार $mg$ से अधिक होता है।

(N/A) ऊपरी सिरे पर समर्थित कुल द्रव्यमान भार और रस्सी के द्रव्यमान का योग है: $M = 3 \, kg + 6 \, kg = 9 \, kg$। ऊपरी सिरे पर तनाव $T = Mg = 9g \, N$ होगा।
$(b)$ आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन आवेग $(J = F \Delta t)$ के बराबर होता है। समान प्रभाव (समान आवेग) के लिए,$F_1 \Delta t_1 = F_2 \Delta t_2$। यहाँ $F_1 = F$,$\Delta t_1 = \Delta t$,और $F_2 = 2F$ है,इसलिए $F \Delta t = 2F \times \Delta t_2$,जिससे $\Delta t_2 = \frac{\Delta t}{2}$ प्राप्त होता है।
$(c)$ अत्यधिक इस्त्री करने से सतह का खुरदरापन बढ़ जाता है या सतहों के बीच सूक्ष्म वेल्डिंग हो जाती है,जिससे घर्षण बढ़ जाता है।

(N/A) विपरीत (गति की दिशा के)।
$(b)$ प्रकृति (खुरदरापन/चिकनापन),पदार्थ की किस्म।
$(c)$ $\tan \theta \leq \mu_{s}$ (जहाँ $\theta$ ढाल का कोण है और $\mu_{s}$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है)।
$(d)$ बल।

(A) असत्य: संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$ परिणामी बल की दिशा में होता है,न कि हमेशा प्रारंभिक संवेग $\vec{p}$ की दिशा में।
$(b)$ असत्य: न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,क्रिया और प्रतिक्रिया बल हमेशा अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं।
$(c)$ असत्य: अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{s,max} = \mu_s N$ द्वारा दिया जाता है,जो संपर्क सतह के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।

(A) सत्य: संतुलन का अर्थ है कि कुल बल शून्य है,जिसका अर्थ है कि न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार त्वरण $a = 0$ है।
$(b)$ सत्य: अभिकेंद्र बल केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि अपकेंद्र बल (घूर्णन फ्रेम में एक छद्म बल) केंद्र से दूर कार्य करता है।
$(c)$ असत्य: पूरी तरह से चिकनी (घर्षण रहित) सतह पर,एक आदमी अपनी गति की स्थिति को बदलने के लिए कोई क्षैतिज बल नहीं लगा सकता है। न्यूटन का प्रथम नियम कहता है कि स्थिर वस्तु तब तक स्थिर रहती है जब तक उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
$(d)$ असत्य: स्थिर वेग से गति करने वाली वस्तु भी संतुलन (गतिक संतुलन) में होती है,क्योंकि उसका त्वरण शून्य होता है।

(B) न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार:
$(1)$ गति का पहला नियम बल को परिभाषित करता है,जो किसी वस्तु की विरामावस्था या एकसमान गति की अवस्था को बदलता है या बदलने का प्रयास करता है। अतः,$(1-c)$।
$(2)$ गति का दूसरा नियम बल का मात्रात्मक मापन प्रदान करता है,जिसे सूत्र $F = ma$ या $F = \frac{dp}{dt}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$(2-b)$।
इसलिए,सही मिलान $(1-c), (2-b)$ है।

(D) $(1)$ न्यूटन का गति का तीसरा नियम बताता है कि प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। गणितीय रूप से,इसे $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जो $(a)$ के अनुरूप है।
$(2)$ संवेग संरक्षण का नियम बताता है कि यदि किसी निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो कुल संवेग स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = 0$ है,जो $(b)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(1-a), (2-b)$ है।

(A) $(1)$ स्थैतिक घर्षण: स्थैतिक घर्षण के अधिकतम मान को सीमांत घर्षण कहा जाता है। अतः,$(1-a)$।
$(2)$ लोटनिक घर्षण: बॉल बेयरिंग का उपयोग करके लोटनिक घर्षण को काफी कम किया जा सकता है। अतः,$(2-b)$।
इसलिए,सही मिलान $(1-a), (2-b)$ है।

(B) ट्रॉली का फ्री बॉडी डायग्राम ($F$.$B$.$D$.):
$T - f = m_{T} a$
जहाँ $f = \mu m_{T} g = 0.05 \times 10 \times 10 = 5\; N$.
अतः,$T - 5 = 10a$ --- $(i)$
ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम ($F$.$B$.$D$.):
$m_{b} g - T = m_{b} a$
$2 \times 10 - T = 2a$
$20 - T = 2a$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(T - 5) + (20 - T) = 10a + 2a$
$15 = 12a$
$a = \frac{15}{12} = 1.25\; m/s^{2}$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.1\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,और दूरी $s = 50\, cm = 0.5\, m$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$।
मान रखने पर: $0^2 = (10)^2 + 2 \cdot a \cdot 0.5$।
$0 = 100 + a$,जिससे मंदन $a = -100\, m/s^2$ प्राप्त होता है।
मंदक बल का परिमाण $F = m|a|$ है।
$F = 0.1\, kg \cdot 100\, m/s^2 = 10\, N$।
अतः,$'x'$ का मान $10$ है।

(D) कथन $I :$ असमतल सड़क के लिए,अधिकतम सुरक्षित गति $v_{\max} = \sqrt{\mu Rg}$ होती है।
दिया है $\mu = 0.2$,$R = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$।
$v_{\max} = \sqrt{0.2 \times 2 \times 9.8} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \, m/s$।
साइकिल चालक की गति $7 \, km/h = 7 \times \frac{5}{18} \approx 1.944 \, m/s$ है।
चूंकि $1.944 \, m/s < 1.98 \, m/s$,साइकिल चालक नहीं फिसलेगा। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II :$ झुकी हुई सड़क के लिए,अधिकतम सुरक्षित गति $v_{\max} = \sqrt{Rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$ होती है।
दिया है $\theta = 45^{\circ}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\mu = 0.2$,$R = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$।
$v_{\max} = \sqrt{2 \times 9.8 \times \left[ \frac{1 + 0.2}{1 - 0.2 \times 1} \right]} = \sqrt{19.6 \times \frac{1.2}{0.8}} = \sqrt{19.6 \times 1.5} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, m/s$।
साइकिल चालक की गति $18.5 \, km/h = 18.5 \times \frac{5}{18} \approx 5.14 \, m/s$ है।
चूंकि $5.14 \, m/s < 5.42 \, m/s$,साइकिल चालक नहीं फिसलेगा। अतः,कथन $II$ सही है।

(D) माना रस्सी में तनाव $T$ है। लड़का रस्सी पर $F = T$ बल लगाता है।
निकाय (लड़का + लकड़ी) के लिए,कुल द्रव्यमान $M = 4 \, kg + 5 \, kg = 9 \, kg$ है।
निकाय पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल फर्श से अभिलंब प्रतिक्रिया $N$,लड़के पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला तनाव $T$,और नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल भार $Mg = 9 \times 10 = 90 \, N$ हैं।
ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करने पर: $N + T = 90 \implies N = 90 - T$।
लकड़ी पर कार्य करने वाले क्षैतिज बल दाईं ओर खींचने वाला तनाव $T$ और बाईं ओर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण $f_L = \mu N$ हैं।
लकड़ी के न हिलने के लिए,$T \leq f_L$ होना चाहिए।
$T \leq \mu N = 0.5(90 - T)$।
$T \leq 45 - 0.5T$।
$1.5T \leq 45$।
$T \leq \frac{45}{1.5} = 30 \, N$।
अतः,लड़का जो अधिकतम बल लगा सकता है वह $30 \, N$ है।

(A) वस्तु के स्थिर वेग से गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
पहले ढलान पर ऊपर की ओर गति के दौरान,ढलान के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ है। चूंकि वस्तु स्थिर वेग से गति करती है,इसलिए अनुप्रयुक्त बल $F$ को इस घटक को संतुलित करना चाहिए: $F = mg \sin \theta = 2\, N$.
दूसरे ढलान पर नीचे की ओर गति के दौरान,वस्तु ढलान पर नीचे की ओर गति कर रही है। गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है। स्थिर वेग बनाए रखने के लिए,अनुप्रयुक्त बल $F$ को गति का विरोध करने के लिए ढलान के ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए: $F = -mg \sin \theta = -2\, N$.
इस प्रकार,दूरी के पहले आधे हिस्से के दौरान बल $+2\, N$ है और दूसरे आधे हिस्से के दौरान $-2\, N$ है। सही ग्राफ विकल्प $A$ है।

(B) चूंकि लिफ्ट स्थिर वेग से चल रही है,इसलिए कुल त्वरण $a = 0$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,केबल में तनाव $T$ को गुरुत्वाकर्षण बल और घर्षण बल दोनों को संतुलित करना चाहिए।
$T = mg + f$
यहाँ $m = 2000\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और $f = 3000\,N$ दिया गया है:
$T = (2000 \times 10) + 3000 = 20000 + 3000 = 23000\,N$।
मोटर द्वारा दी गई शक्ति $P = T \times v$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 1.5\,m/s$ दिया गया है:
$P = 23000 \times 1.5 = 34500\,W$।

(C) मान लीजिए सीढ़ी की लंबाई $L = \sqrt{34}\,m$ है और आधार की दूरी $b = 3\,m$ है।
दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई $h = \sqrt{L^2 - b^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5\,m$ है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो सीढ़ी फर्श के साथ बनाती है। तब $\cos \theta = \frac{b}{L} = \frac{3}{\sqrt{34}}$ और $\sin \theta = \frac{h}{L} = \frac{5}{\sqrt{34}}$.
अतः,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{3}{5}$.
मान लीजिए $N_1$ फर्श से लगने वाला अभिलंब बल है और $f$ फर्श से लगने वाला घर्षण बल है। मान लीजिए $N_2$ घर्षण रहित दीवार से लगने वाला अभिलंब बल है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए: $\sum F_x = 0 \implies f = N_2$ और $\sum F_y = 0 \implies N_1 = mg$.
आधार के परितः घूर्णी संतुलन के लिए: $N_2 \times L \sin \theta = mg \times \frac{L}{2} \cos \theta$.
$N_2 = \frac{mg}{2} \cot \theta = \frac{mg}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3mg}{10}$.
फर्श का प्रतिक्रिया बल $F_f = \sqrt{N_1^2 + f^2} = \sqrt{(mg)^2 + (N_2)^2} = \sqrt{(mg)^2 + (\frac{3mg}{10})^2} = mg \sqrt{1 + \frac{9}{100}} = mg \sqrt{\frac{109}{100}} = \frac{mg}{10} \sqrt{109}$.
दीवार का प्रतिक्रिया बल $F_w = N_2 = \frac{3mg}{10}$.
अनुपात $\frac{F_w}{F_f} = \frac{3mg/10}{(mg/10)\sqrt{109}} = \frac{3}{\sqrt{109}}$.

(B) दिया गया है कि बल $F \propto t^{n} \Rightarrow F = k t^{n} \quad \dots(i)$ के अनुसार बदलता है।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि $t = 2 \, s$ पर $F = 2 \, N$ और $t = 4 \, s$ पर $F = 16 \, N$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$16 = k(4)^{n}$ और $2 = k(2)^{n}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{16}{2} = \frac{k(4)^{n}}{k(2)^{n}} \Rightarrow 8 = (2)^{n} \Rightarrow n = 3$.
अब,$2 = k(2)^{3} \Rightarrow 2 = 8k \Rightarrow k = 0.25 = \frac{1}{4}$.
अतः,बल $F = \frac{t^{3}}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$F = \frac{dp}{dt} \Rightarrow dp = F dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{0}^{v} m dv = \int_{0}^{t} \frac{t^{3}}{4} dt \Rightarrow mv = \frac{t^{4}}{16}$.
$t = 3 \, s$ पर,$v = 2 \, m/s$: $m(2) = \frac{3^{4}}{16} = \frac{81}{16} \Rightarrow m = \frac{81}{32} \, kg$.
$t = 4 \, s$ पर,मान लीजिए गति $v'$ है:
$m(v') = \frac{4^{4}}{16} = \frac{256}{16} = 16$.
$m = \frac{81}{32}$ रखने पर:
$(\frac{81}{32}) v' = 16 \Rightarrow v' = \frac{16 \times 32}{81} = \frac{512}{81} \approx 6.32 \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गति लगभग $6.5 \, m/s$ है।

(C) चूंकि घिरनी द्रव्यमानयुक्त है,इसलिए घिरनी के दोनों ओर तनाव समान नहीं हैं। फ्री बॉडी डायग्राम से,हमारे पास है:
$m_{1} g - T_{1} = m_{1} a$ ---$(i)$
$T_{2} - m_{2} g = m_{2} a$ ---(ii)
$(T_{1} - T_{2}) R = I \alpha = \left(\frac{M R^{2}}{2}\right) \left(\frac{a}{R}\right) = \frac{M R a}{2}$ ---(iii)
समीकरण (iii) से,हमें प्राप्त होता है:
$T_{1} - T_{2} = \frac{M a}{2}$ ---(iv)
$T_{1} = m_{1}(g - a)$ और $T_{2} = m_{2}(g + a)$ को समीकरण (iii) में रखने पर:
$m_{1}(g - a) - m_{2}(g + a) = \frac{M a}{2}$
$(m_{1} - m_{2}) g = a \left(\frac{M}{2} + m_{1} + m_{2}\right)$
$a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{\frac{M}{2} + (m_{1} + m_{2})}$
$a$ का मान समीकरण (iv) में रखने पर:
$T_{1} - T_{2} = \frac{M}{2} \cdot \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{\frac{M}{2} + (m_{1} + m_{2})} = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{1 + \frac{2(m_{1} + m_{2})}{M}}$
जैसे $M \rightarrow 0$,$T_{1} - T_{2} \rightarrow 0$. जैसे $M \rightarrow \infty$,$T_{1} - T_{2} \rightarrow (m_{1} - m_{2}) g$. यह समीकरण दर्शाता है कि अंतर $M$ के साथ बढ़ता है और एक स्थिर मान की ओर जाता है,जो आलेख $(c)$ में वक्र के अनुरूप है।

(B) ब्लॉक $1$ और $2$ के लिए फ्री बॉडी डायग्राम चित्र में दिखाए गए हैं।
मान लीजिए डोरी में तनाव $T$ है।
ब्लॉक $1$ के लिए,बल ऊपर की ओर तनाव $T$,और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ तथा स्प्रिंग बल $k_1 x$ हैं। गति का समीकरण है:
$T + k_1 x - mg = ma_1$ (नीचे की ओर त्वरण $a_1$ मानते हुए)
ब्लॉक $2$ के लिए,बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और स्प्रिंग बल $k_2 x$,तथा नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ हैं। गति का समीकरण है:
$k_2 x + mg - T = ma_2$ (ऊपर की ओर त्वरण $a_2$ मानते हुए)
चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए त्वरण के परिमाण समान होने चाहिए,अतः $a_1 = a_2 = a$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(T + k_1 x - mg) + (k_2 x + mg - T) = ma_1 + ma_2$
$(k_1 + k_2) x = 2ma$
$a = \frac{(k_1 + k_2) x}{2m}$
अतः,दोनों ब्लॉकों के लिए त्वरण का परिमाण $a = \frac{(k_1 + k_2) x}{2m}$ है।

(A) जब बक्सा पलटने की स्थिति में होता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ उस किनारे $O$ से होकर गुजरती है जिसके परितः वह घूमने की प्रवृत्ति रखता है। बिंदु $O$ के परितः लगाए गए बल $F$ के कारण टॉर्क को $O$ के परितः भार $mg$ के कारण टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
पलटने की स्थिति के लिए:
$F \times H = mg \times \frac{a}{2} \quad \dots(1)$
फिसलने की स्थिति के लिए,लगाए गए बल को अधिकतम स्थैतिक घर्षण को पार करना होगा:
$F = \mu mg \quad \dots(2)$
क्रांतिक ऊंचाई $H$ पर,बक्सा एक साथ पलटने और फिसलने की स्थिति में होता है। समीकरण $(2)$ से $F = \mu mg$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(\mu mg) \times H = mg \times \frac{a}{2}$
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर:
$\mu H = \frac{a}{2}$
अतः,घर्षण गुणांक है:
$\mu = \frac{a}{2 H}$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 75 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 2 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$,और रुकने की दूरी $s = 0.25 \,m$.
सबसे पहले,हम गति के समीकरण का उपयोग करके पैराशूटिस्ट का मंदन (त्वरण) ज्ञात करते हैं:
$v^2 - u^2 = 2as$
$0^2 - (2)^2 = 2 \cdot a \cdot 0.25$
$-4 = 0.5 \cdot a$
$a = -8 \,m/s^2$
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है (ऊपर की ओर $8 \,m/s^2$ का त्वरण)।
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए:
$F_{\text{net}} = ma$
$F_R - mg = ma$
जहाँ $F_R$ जमीन द्वारा लगाया गया प्रतिरोध बल है और $g = 10 \,m/s^2$ है।
$F_R = m(g + a)$
$F_R = 75 \cdot (10 + 8)$
$F_R = 75 \cdot 18 = 1350 \,N$.
अतः,जमीन द्वारा पैराशूटिस्ट पर लगाया गया औसत बल $1350 \,N$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $M$ द्रव्यमान के वेज के सापेक्ष स्थिर रहे,इसके लिए ब्लॉक पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) को ढलान की दिशा में गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए।
$1$. मान लीजिए निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $(M+m)$ है। लगाया गया बल $F = (M+m)a$ है,इसलिए $a = \frac{F}{M+m} \dots (1)$.
$2$. वेज के फ्रेम में,ब्लॉक पर बाईं ओर एक क्षैतिज छद्म बल $ma$ कार्य करता है। ढलान वाली सतह के समानांतर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों के घटक इस प्रकार हैं:
- छद्म बल का घटक: $ma \cos \theta$
- गुरुत्वाकर्षण का घटक: $mg \sin \theta$
$3$. ब्लॉक के वेज पर स्थिर रहने के लिए,ये बल बराबर होने चाहिए:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
$4$. समीकरण $(1)$ में $a$ का मान रखने पर:
$F = (M+m) g \tan \theta$.

(D) सही उत्तर $D$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल $\vec{F} = m\vec{a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $\vec{a}$ त्वरण है।
$1$. यदि कोई पिंड सीधी रेखा में एकसमान गति करता है,तो उसका वेग स्थिर होता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $\vec{a} = 0$ है। $\vec{F} = m\vec{a}$ से,यदि $\vec{a} = 0$ है,तो $\vec{F} = 0$ होगा। अतः,एकसमान गति के लिए किसी बाहरी बल की आवश्यकता नहीं होती है।
$2$. त्वरित गति के लिए,$\vec{a} \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{F} \neq 0$। इसलिए,कोई भी त्वरित गति बाहरी बल के कारण ही होनी चाहिए।
$3$. संबंध $\vec{F} = m\vec{a}$ से,हम $m = \frac{|\vec{F}|}{|\vec{a}|}$ लिख सकते हैं। यह दर्शाता है कि जड़त्वीय द्रव्यमान प्रति इकाई त्वरण के लिए आवश्यक बल के बराबर होता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 200 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$,और दूरी $s = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर: $0^2 = (200)^2 + 2 \cdot a \cdot 0.05$.
$0 = 40000 + 0.1a$.
$a = -\frac{40000}{0.1} = -400,000 \,m/s^2$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $F = ma$.
$F = 0.01 \,kg \cdot (-400,000 \,m/s^2) = -4000 \,N$.
ऋणात्मक चिह्न मंदक बल (retarding force) को दर्शाता है।

(C) संवेग में कुल परिवर्तन आवेग (impulse) के बराबर होता है,जो बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
$\Delta p = \int F \cdot dt = F-t \text{ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
संवेग में कुल परिवर्तन शून्य होने के लिए,वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल (चिह्न को ध्यान में रखते हुए) शून्य होना चाहिए।
विकल्प $(C)$ में,ग्राफ $(0, -5)$ से $(2, 5)$ तक की एक रेखा को दर्शाता है जो $(1, 0)$ से होकर गुजरती है।
$t$-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ($t=0$ से $t=1$ तक) $1$ आधार और $-5$ ऊँचाई वाला एक त्रिभुज है:
$\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times (-5) = -2.5$.
$t$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल ($t=1$ से $t=2$ तक) $1$ आधार और $5$ ऊँचाई वाला एक त्रिभुज है:
$\text{Area}_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 5 = 2.5$.
संवेग में कुल परिवर्तन = $\text{Area}_1 + \text{Area}_2 = -2.5 + 2.5 = 0$.

(A) गेंद के ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,दोनों डोरियों में तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों को नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर छड़ के साथ बनाती है।
तनाव $T_1$ का ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि तनाव $T_2$ का ऊर्ध्वाधर घटक भार $mg$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
इस प्रकार,ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन का समीकरण है:
$T_1 \cos \theta = mg + T_2 \cos \theta$
$T_1$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T_1 \cos \theta - T_2 \cos \theta = mg$
$(T_1 - T_2) \cos \theta = mg$
$T_1 - T_2 = \frac{mg}{\cos \theta}$
चूंकि $\theta < 90^{\circ}$,$\cos \theta$ धनात्मक है और $0 < \cos \theta \le 1$ है। इसलिए,$\frac{mg}{\cos \theta} > 0$,जिसका अर्थ है कि $T_1 - T_2 > 0$,या $T_1 > T_2$।

(B) वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$ है।
$\vec{F}_{net} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{j} - \hat{k}) + (\hat{k} - 4 \hat{i} - 2 \hat{j}) = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \,N$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \,kg$ है,इसलिए त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m} = \frac{-2 \hat{i} + 4 \hat{j}}{1} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \,m/s^2$.
चूंकि वस्तु मूल बिंदु से विराम अवस्था से शुरू होती है,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$ और प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_0 = 0$ है।
$t = 2 \,s$ पर स्थिति $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2} (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) (2)^2 = \frac{1}{2} (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) (4) = 2 (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = -4 \hat{i} + 8 \hat{j} \,m$.
अतः,स्थिति $(-4 \,m, 8 \,m)$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर नेट बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल संवेग स्थिर (संरक्षित) रहता है।
हालाँकि,निकाय के घटक कणों के बीच आंतरिक बल कार्य कर सकते हैं। ये आंतरिक बल व्यक्तिगत कणों को त्वरित कर सकते हैं या उनकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कर सकते हैं,भले ही पूरे निकाय पर नेट बाह्य बल शून्य हो।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार संवेग परिवर्तन की दर वस्तु पर कार्य करने वाले कुल बल के बराबर होती है: $\frac{dp}{dt} = F_{net}$।
चूंकि प्रक्षेपण के बाद वस्तु पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए $F_{net} = mg$ होगा।
यहाँ द्रव्यमान $m = 10 \,kg$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$ दिया गया है।
अतः,संवेग परिवर्तन की दर $F = 10 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 98 \,N$ है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए गति के किसी भी समय $t$ पर संवेग परिवर्तन की दर $98 \,N$ स्थिर रहेगी।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
ब्लॉक $A$ के लिए,घर्षण बल $F$ उसकी गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः,$A$ का त्वरण $a_A = -\frac{F}{m}$ है।
ब्लॉक $B$ के लिए,घर्षण बल $F$ गति की दिशा में कार्य करता है। अतः,$B$ का त्वरण $a_B = \frac{F}{M}$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का सापेक्ष त्वरण $a_{AB} = a_A - a_B = -\frac{F}{m} - \frac{F}{M} = -F \left( \frac{M+m}{Mm} \right)$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का प्रारंभिक सापेक्ष वेग $u_{AB} = v_0$ है। जब वे समान वेग से गति करते हैं,तो अंतिम सापेक्ष वेग $v_{AB} = 0$ होता है।
गति के समीकरण $v_{AB}^2 = u_{AB}^2 + 2 a_{AB} S_{AB}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S_{AB}$ सापेक्ष दूरी है:
$0 = v_0^2 + 2 \left( -F \frac{M+m}{Mm} \right) S_{AB}$
$S_{AB} = \frac{v_0^2}{2F \frac{M+m}{Mm}} = \frac{Mmv_0^2}{2F(m+M)}$.

(A) दिए गए प्रश्न और संबंधित चित्र में असंगत भौतिक बाधाएं हैं जो एक असंभव संतुलन स्थिति की ओर ले जाती हैं (उदाहरण के लिए, ब्लॉक $A$ सतह से ऊपर उठ जाएगा)। चूंकि प्रश्न भौतिक रूप से गलत तरीके से तैयार किया गया है, इसलिए इसका सही विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त नहीं किया जा सकता है। मूल समाधान गणितीय रूप से असंगत है और विकल्प $A$ से मेल खाने के लिए मनमानी धारणाओं पर निर्भर करता है।

(D) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
$1$. यदि घर्षण बल गति की दिशा में कार्य करता है (उदाहरण के लिए,जब दो ब्लॉक एक साथ चलते हैं तो निचले ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण),तो किया गया कार्य धनात्मक होता है।
$2$. यदि घर्षण बल गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है (गतिक घर्षण),तो किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
$3$. यदि घर्षण बल विस्थापन के लंबवत कार्य करता है या यदि कोई विस्थापन नहीं होता है,तो किया गया कार्य शून्य होता है।
अतः,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

(A) माना निकाय का त्वरण $a$ है जो ब्लॉक $B$ की दिशा में है।
ब्लॉक $A$ ($m$ द्रव्यमान) के लिए: ढलान पर बल $T$ (ऊपर की ओर) और $mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) हैं। अभिलंब बल $N_A = mg \cos 45^{\circ}$ है। घर्षण बल $f_A = \mu_A N_A = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ है।
$A$ के लिए गति का समीकरण: $T - mg \sin 45^{\circ} - f_A = ma \implies T = ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ}$।
ब्लॉक $B$ ($2m$ द्रव्यमान) के लिए: ढलान पर बल $2mg \sin 45^{\circ}$ (नीचे की ओर) और $T$ (ऊपर की ओर) हैं। अभिलंब बल $N_B = 2mg \cos 45^{\circ}$ है। घर्षण बल $f_B = \mu_B N_B = (1/3) (2mg \cos 45^{\circ}) = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ है।
$B$ के लिए गति का समीकरण: $2mg \sin 45^{\circ} - T - f_B = 2ma \implies T = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$।
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ} = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$
$3ma = mg \sin 45^{\circ} - (4/3) mg \cos 45^{\circ}$
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $3ma = mg(1/\sqrt{2}) - (4/3) mg(1/\sqrt{2}) = mg(1/\sqrt{2}) (1 - 4/3) = -mg/(3\sqrt{2})$।
त्वरण ऋणात्मक होने के कारण,निकाय गति नहीं करता है और स्थैतिक घर्षण इसे संतुलन में रखता है। अतः,त्वरण $0$ है।

(B) माना बल $F$ है और द्रव्यमान $m = 20\,kg$ है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
पहले $20\,s$ के दौरान,वस्तु $a = F/m$ के त्वरण से गति करती है।
$20\,s$ के अंत में वेग $v = u + at = 0 + (F/20) \times 20 = F$ होता है।
बल हटने के बाद,वस्तु $10\,s$ तक $v = F$ के नियत वेग से चलती है।
इस अंतराल में तय की गई दूरी $d = v \times t = F \times 10 = 50\,m$ है।
अतः,$10F = 50$,जिससे $F = 5\,N$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करें।
$P_i = P_f$
$(0.1)(400) = (0.1 + 3.9)v$
$40 = 4v$
$v = 10\,m/s$
चरण $2$: खुरदरी सतह पर गुटका-गोली निकाय की गति का विश्लेषण करें।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu (M+m)g$ है।
मंदक त्वरण $a = \frac{f}{M+m} = \mu g$ है।
चरण $3$: घर्षण गुणांक $\mu$ ज्ञात करने के लिए गति के समीकरण का उपयोग करें।
$v_f^2 = v_i^2 + 2as$
$0 = (10)^2 - 2(\mu g)(20)$
$0 = 100 - 40 \mu (10)$
$400 \mu = 100$
$\mu = \frac{100}{400} = 0.25$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,kg$, त्वरण $a = 1\,m/s^2$, कोण $\theta = 30^{\circ}$, समय $t = 10\,s$, $g = 10\,m/s^2$।
नत समतल पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F - mg \sin 30^{\circ} = ma$
$F - 5 \times 10 \times 0.5 = 5 \times 1$
$F - 25 = 5 \Rightarrow F = 30\,N$।
$v = u + at$ का उपयोग करके $t = 10\,s$ पर वेग की गणना करने पर:
$v = 0 + 1 \times 10 = 10\,m/s$।
शक्ति $P = F \times v$ की गणना करने पर:
$P = 30 \times 10 = 300\,W$।

(A) दिया गया है कि कण तीन बलों $F_1$,$F_2$ और $F_3$ के प्रभाव में संतुलन में है।
चूंकि $F_2$ और $F_3$ लंबवत हैं,उनका परिणामी बल $F_{23} = \sqrt{F_2^2 + F_3^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,N$ है।
कण के स्थिर रहने के लिए,सभी बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $F_1$,$F_2$ और $F_3$ के परिणामी बल के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
जब $F_1$ को हटा दिया जाता है,तो कण पर केवल $F_2$ और $F_3$ बल कार्य करते हैं।
कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_2$ और $F_3$ का परिणामी बल है,जो $10\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,हमारे पास $10\,N = 5\,kg \times a$ है।
अतः,$a = \frac{10}{5} = 2\,m/s^2$।

(B) जब किसी वस्तु को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर धकेला जाता है,तो अभिलंब बल $N = mg + F \sin \theta$ होता है। घर्षण बल $f = \mu N = \mu(mg + F \sin \theta)$ होता है।
जब किसी वस्तु को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर खींचा जाता है,तो अभिलंब बल $N = mg - F \sin \theta$ होता है। घर्षण बल $f = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ होता है।
चूंकि खींचते समय अभिलंब बल कम होता है,इसलिए घर्षण बल भी कम होता है,जिससे खींचना आसान हो जाता है।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि यह अभिलंब बल में अंतर के कारण है,न कि केवल सतहों की प्रकृति के कारण।
$STATEMENT-2$ घर्षण के नियमों के संबंध में एक सत्य कथन है,लेकिन यह यह नहीं बताता कि धकेलने की तुलना में खींचना आसान क्यों है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं,लेकिन $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) स्तंभ $I$ के कथनों का विश्लेषण:
$(A)$ $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ है: $(p)$ में,$N = Mg \cos \theta \neq Mg$. $(q)$ में,$X$ आधार है जो $Y$ को स्थिर रखता है,अतः $N=Mg$. $(t)$ में,$X$ उत्प्लावन बल $F_B < Mg$ लगाता है। $(r)$ में,$X$ एक क्लैंप है,बल जटिल है। अतः,केवल $(q)$ में $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ है।
$(B)$ $X$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ रही है: $X$ फ्रेम/आधार है। $(q)$ में,लिफ्ट ऊपर जा रही है,इसलिए $X$ ऊपर जा रहा है,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
$(C)$ यांत्रिक ऊर्जा घट रही है: यह तब होता है जब असंरक्षी बल (घर्षण/श्यानता) ऋणात्मक कार्य करते हैं। यह $(s)$ (यदि ड्रैग होता) या $(t)$ (श्यान ड्रैग) और $(p)$ (घर्षण) में होता है।
$(D)$ $P$ के परितः $Y$ के भार का बल आघूर्ण शून्य है: यदि भार की क्रिया रेखा $P$ से गुजरती है। $(p)$,$(r)$,$(s)$,और $(t)$ में ज्यामिति इसकी अनुमति देती है।

(D) मान लीजिए कि फर्श और दीवार की सामान्य प्रतिक्रिया $N$ है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन से: $N + N \sin 30^{\circ} = 1.6g$.
$N(1 + 0.5) = 1.6 \times 10 = 16 \Rightarrow 1.5N = 16 \Rightarrow N = \frac{32}{3} \,N$.
क्षैतिज संतुलन से: $f = N \cos 30^{\circ} = \frac{32}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
निचले बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण लेने पर:
$1.6g \times (\frac{l}{2} \sin 30^{\circ}) = N \times x$, जहाँ $x$ निचले सिरे से दीवार के संपर्क बिंदु तक की दूरी है।
$16 \times \frac{l}{4} = \frac{32}{3} \times x \Rightarrow 4l = \frac{32}{3} x \Rightarrow x = \frac{3l}{8}$.
ज्यामिति से, $h = x \cos 30^{\circ} = \frac{3l}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} l}{16}$.
अतः, $\frac{h}{l} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ और $f = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.

(A) नत समतल पर स्थित ब्लॉक के लिए,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है। अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu mg \cos \theta$ है।
जब समतल के समानांतर $P$ बल लगाया जाता है,तो संतुलन का समीकरण $P + f - mg \sin \theta = 0$ होता है,जहाँ $f$ स्थैतिक घर्षण बल है।
अतः,$f = mg \sin \theta - P$।
यह $y = -mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
जब $P = P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है,तो $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu mg \cos \theta$।
जब $P = P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है,तो $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = -\mu mg \cos \theta$।
जैसे-जैसे $P$,$P_1$ से $P_2$ तक बढ़ता है,घर्षण बल $f$,$\mu mg \cos \theta$ से $-\mu mg \cos \theta$ तक रैखिक रूप से घटता है।
यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 0.18 \ kg$
स्प्रिंग नियतांक,$k = 2 \ N/m$
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.1$
तय की गई दूरी,$x = 0.06 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m/s^2$
प्रारंभिक वेग,$v = N/10 \ m/s$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{spring}} + W_{\text{friction}} = \Delta K$
$-\frac{1}{2} kx^2 - \mu mgx = 0 - \frac{1}{2} mv^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2 + \mu mgx$
$v^2 = \frac{kx^2}{m} + 2\mu gx$
मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2 \times (0.06)^2}{0.18} + 2 \times 0.1 \times 10 \times 0.06$
$v^2 = \frac{2 \times 0.0036}{0.18} + 0.12$
$v^2 = \frac{0.0072}{0.18} + 0.12$
$v^2 = 0.04 + 0.12 = 0.16$
$v = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m/s$
दिया गया है कि $v = N/10$,इसलिए $0.4 = N/10$,जिसका अर्थ है कि $N = 4$.

(B) नत समतल के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ है जो $P$ की ओर नीचे की दिशा में कार्य करता है और क्षैतिज बल का घटक $F \cos \theta$ है जो $Q$ की ओर ऊपर की दिशा में कार्य करता है। यहाँ,$m = 0.1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $F = 1 \ N$ है।
अतः,$mg \sin \theta = 0.1 \times 10 \times \sin \theta = 1 \sin \theta$ और $F \cos \theta = 1 \times \cos \theta = \cos \theta$ है।
ढलान पर कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - F \cos \theta = \sin \theta - \cos \theta$ है।
यदि $\sin \theta = \cos \theta$ है,तो $\theta = 45^{\circ}$ होगा,कुल बल शून्य होगा,और ब्लॉक बिना घर्षण $(f = 0)$ के स्थिर रहेगा।
यदि $\sin \theta > \cos \theta$ (अर्थात $\theta > 45^{\circ}$) है,तो ब्लॉक $P$ की ओर नीचे फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए इसे स्थिर रखने के लिए घर्षण बल $f$ को $Q$ की ओर कार्य करना चाहिए।
यदि $\sin \theta < \cos \theta$ (अर्थात $\theta < 45^{\circ}$) है,तो ब्लॉक $Q$ की ओर ऊपर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए इसे स्थिर रखने के लिए घर्षण बल $f$ को $P$ की ओर कार्य करना चाहिए।
इस प्रकार,ब्लॉक $\theta = 45^{\circ}$ (बिना घर्षण),$\theta > 45^{\circ}$ ($Q$ की ओर घर्षण),या $\theta < 45^{\circ}$ ($P$ की ओर घर्षण) होने पर स्थिर रहता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही संयोजन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(C) मान लीजिए कि दो लटकते ब्लॉकों को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ है। चल घिरनी के लिए,$2M$ द्रव्यमान के ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $2T$ है। $2M$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $2T - kx = 2Ma_1$ है। लटकते निकाय के लिए,चल घिरनी के सापेक्ष $M$ और $2M$ द्रव्यमान के ब्लॉकों का सापेक्ष त्वरण $a_{rel}$ है। समीकरण $Mg - T = M(a_1 - a_{rel})$ और $2Mg - T = 2M(a_1 + a_{rel})$ हैं। इन्हें हल करने पर $T = \frac{4}{3}Mg$ और $a_{rel} = \frac{g}{3}$ प्राप्त होता है। ब्लॉक $M$ का त्वरण $a_2 = a_1 + a_{rel}$ है और $2M$ के लिए $a_3 = a_1 - a_{rel}$ है। इस प्रकार,$a_2 - a_1 = a_1 - a_3 = a_{rel} = \frac{g}{3}$। $T$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2(\frac{4}{3}Mg) - kx = 2Ma_1 \implies a_1 = \frac{4g}{3} - \frac{kx}{2M}$। अधिकतम विस्तार $x_0$ पर,$a_1 = 0$,इसलिए $x_0 = \frac{8Mg}{3k}$। विकल्प $A$ गलत है। विकल्प $C$ के लिए,$a_2 - a_1 = a_{rel}$ और $a_1 - a_3 = a_{rel}$,इसलिए $a_2 - a_1 = a_1 - a_3$ सही है। $x = \frac{x_0}{4}$ पर,$a_1 = \frac{4g}{3} - \frac{k(8Mg/12k)}{2M} = \frac{4g}{3} - \frac{g}{3} = g$। विकल्प $D$ गलत है।

(A) मान लीजिए $N_1$ और $N_2$ क्रमशः बाईं और दाईं उंगलियों पर लगने वाले अभिलंब बल हैं। $M$ द्रव्यमान और $100 \ cm$ लंबाई के एक समान मीटर स्केल के लिए,द्रव्यमान केंद्र $50 \ cm$ पर है। शुरू में,उंगलियां $0 \ cm$ और $90 \ cm$ पर हैं। द्रव्यमान केंद्र की बाईं उंगली से दूरी $50 \ cm$ और दाईं उंगली से $40 \ cm$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी संतुलन के लिए: $N_1(50) = N_2(40) \implies 5N_1 = 4N_2$.
साथ ही,$N_1 + N_2 = Mg$। $N_2 = 1.25N_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2.25N_1 = Mg \implies N_1 = \frac{4}{9}Mg$ और $N_2 = \frac{5}{9}Mg$ प्राप्त होता है।
जब बाईं उंगली फिसलती है,तो वह गतिक घर्षण $f_{k1} = \mu_k N_1$ का अनुभव करती है और दाईं उंगली स्थैतिक घर्षण $f_{s2} \le \mu_s N_2$ का अनुभव करती है। जब बाईं उंगली रुक जाती है और दाईं फिसलने लगती है,तो दाईं उंगली गतिक घर्षण $f_{k2} = \mu_k N_2$ का अनुभव करती है और बाईं उंगली स्थैतिक घर्षण $f_{s1} = \mu_s N_1$ का अनुभव करती है।
जिस बिंदु पर दाईं उंगली रुकती है और बाईं उंगली फिसलना शुरू करती है,वहां द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण शून्य है: $N_1 x_L = N_2 x_R$.
साथ ही,संक्रमण के लिए शर्त $f_{s1} = f_{k2} \implies \mu_s N_1 = \mu_k N_2$ है।
दिया गया है कि $\mu_s = 0.40$ और $\mu_k = 0.32$,इसलिए $0.40 N_1 = 0.32 N_2 \implies N_1 = 0.8 N_2 = \frac{4}{5} N_2$.
इसे आघूर्ण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{4}{5} N_2) x_L = N_2 x_R \implies x_R = 0.8 x_L$.
पिछले चरण से जहां बाईं उंगली रुकी थी,$N_1 x_L = N_2(40)$ और $4N_1 = 5N_2$ (अर्थात $N_1 = 1.25 N_2$) के साथ,हमें $x_L = 32 \ cm$ प्राप्त हुआ था।
अतः,$x_R = 0.8 \times 32 = 25.6 \ cm$.

(A) प्रारंभिक वेग $u = 5\sqrt{2} \text{ m/s}$,ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का अर्थ है कि यह क्षैतिज के साथ भी $45^{\circ}$ है। अतः,$u_x = u \cos 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$ और $u_y = u \sin 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$.
परास $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 5 \times 5}{10} = 5 \text{ m}$.
उड्डयन काल $T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 5}{10} = 1 \text{ s}$.
प्रक्षेप्य उच्चतम बिंदु पर विभाजित होता है,जो $T/2 = 0.5 \text{ s}$ समय और $R/2 = 2.5 \text{ m}$ की क्षैतिज दूरी पर होता है।
एक भाग ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है,जिसका अर्थ है कि उसका क्षैतिज वेग $0$ हो जाता है। इसे जमीन तक पहुँचने में $0.5 \text{ s}$ लगते हैं,इसलिए $t = 0.5 \text{ s}$.
क्षैतिज दिशा में संवेग संरक्षण के नियम से: $M u_x = (M/2) v_1 + (M/2) v_2$. चूंकि पहला भाग ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है,$v_1 = 0$. अतः,$M(5) = (M/2) v_2 \Rightarrow v_2 = 10 \text{ m/s}$.
दूसरा भाग $R/2 = 2.5 \text{ m}$ की स्थिति से $t = 0.5 \text{ s}$ के लिए $10 \text{ m/s}$ के वेग से क्षैतिज रूप से चलता है।
विभाजन के बाद दूसरे भाग द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $= v_2 \times t = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$.
$O$ से कुल दूरी $x = (R/2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5 \text{ m}$.
अतः,$t = 0.5 \text{ s}$ और $x = 7.5 \text{ m}$.

(D) चूंकि सीढ़ी फिसलने वाली है,इसलिए दोनों घर्षण बल अपने सीमांत मान पर होंगे:
$f_1 = \mu_1 N_1$
$f_2 = \mu_2 N_2$
विकल्प $(A)$ और $(D)$ के लिए,$\mu_1 = 0$ है। संतुलन के लिए फर्श के संपर्क बिंदु $A$ के परितः कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) शून्य होना चाहिए:
$mg \cos \theta \left(\frac{\ell}{2}\right) = N_1 \sin \theta (\ell)$
$\Rightarrow N_1 = \frac{mg \cot \theta}{2}$
$\Rightarrow N_1 \tan \theta = \frac{mg}{2}$
यह शर्त विकल्प $(D)$ में दी गई है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$\mu_2 = 0$ है। $N_1$ को संतुलित करने के लिए कोई क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए सीढ़ी संतुलन में नहीं रह सकती।
विकल्प $(C)$ के लिए,$\mu_1 \neq 0$ और $\mu_2 \neq 0$ है। बलों को संतुलित करने पर:
क्षैतिज: $N_1 = f_2 = \mu_2 N_2$
ऊर्ध्वाधर: $N_2 + f_1 = mg \Rightarrow N_2 + \mu_1 N_1 = mg$
ऊर्ध्वाधर समीकरण में $N_1 = \mu_2 N_2$ रखने पर:
$N_2 + \mu_1 (\mu_2 N_2) = mg$
$N_2 (1 + \mu_1 \mu_2) = mg$
$N_2 = \frac{mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$
अतः,विकल्प $(C)$ और $(D)$ सही हैं।

(C) चूंकि ब्लॉक एक समान वेग से चलता है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है $(a = 0)$।
क्षैतिज रूप से बलों को हल करने पर: $F \cos 45^{\circ} = f_k$,जहाँ $f_k = \mu N$ है।
ऊर्ध्वाधर रूप से बलों को हल करने पर: $N + F \sin 45^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - \frac{F}{\sqrt{2}}$।
$N$ का मान घर्षण समीकरण में रखने पर: $\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \left( 25 \times 9.8 - \frac{F}{\sqrt{2}} \right)$।
$\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \times 245 - 0.25 \frac{F}{\sqrt{2}}$।
$1.25 \frac{F}{\sqrt{2}} = 61.25$।
$F = \frac{61.25 \times \sqrt{2}}{1.25} = 49 \sqrt{2} \ N$।
लागू बल द्वारा किया गया कार्य $W = F S \cos 45^{\circ}$ है।
$W = (49 \sqrt{2}) \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 49 \times 5 = 245 \ J$।

(A) $1$. $100 \text{ N}$ के आरोपित बल को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें:
क्षैतिज घटक $N = 100 \sin 37^{\circ} = 100 \times 0.6 = 60 \text{ N}$.
ऊर्ध्वाधर घटक $F_v = 100 \cos 37^{\circ} = 100 \times 0.8 = 80 \text{ N}$ (ऊपर की ओर)।
$2$. सीमांत घर्षण $f_L$ की गणना करें:
$f_L = \mu_s N = 0.6 \times 60 = 36 \text{ N}$.
$3$. ब्लॉक पर लगने वाले ऊर्ध्वाधर बलों का विश्लेषण करें:
ब्लॉक का भार $mg = 5 \times 10 = 50 \text{ N}$ (नीचे की ओर) है।
आरोपित बल का ऊर्ध्वाधर घटक $80 \text{ N}$ (ऊपर की ओर) है।
कुल बाह्य ऊर्ध्वाधर बल $80 - 50 = 30 \text{ N}$ (ऊपर की ओर) है।
$4$. चूंकि कुल बाह्य ऊर्ध्वाधर बल $(30 \text{ N})$ सीमांत घर्षण $(36 \text{ N})$ से कम है, इसलिए ब्लॉक संतुलन में रहेगा।
अतः, स्थैतिक घर्षण $f_s$ कुल बाह्य ऊर्ध्वाधर बल को संतुलित करेगा।
$f_s = 30 \text{ N}$ (नीचे की ओर)।

(C) ब्लॉक पर कार्य करने वाला अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
चूंकि ब्लॉक एक क्षैतिज सतह पर है,$N = mg = 60 \ N$ है।
अतः,$f_{max} = 0.5 \times 60 \ N = 30 \ N$ है।
ब्लॉक के न फिसलने के लिए,तनाव $T_1$ को $T_1 \leq f_{max}$ को संतुष्ट करना चाहिए। अधिकतम मान $T_1 = 30 \ N$ है।
जंक्शन बिंदु पर,बल संतुलन में हैं:
क्षैतिज घटक: $T_2 \cos 45^{\circ} = T_1 = 30 \ N$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_2 \sin 45^{\circ} = W$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2 \sin 45^{\circ}}{T_2 \cos 45^{\circ}} = \frac{W}{30}$ प्राप्त होता है।
$\tan 45^{\circ} = \frac{W}{30} \implies 1 = \frac{W}{30}$ है।
इसलिए,$W = 30 \ N$ है।