Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પોટેન્શિયલ $V$ સાથે $E = -dV/dx$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્લેટોની વચ્ચેના જે વિસ્તારમાં હવા (શૂન્યાવકાશ) છે,ત્યાં $E$ અચળ અને શૂન્યતર છે,તેથી $V$ એ $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
વાહકની અંદર ($x=d$ થી $x=2d$ સુધી),વિદ્યુતક્ષેત્ર $E=0$ છે,તેથી પોટેન્શિયલ $V$ અચળ રહે છે.
ડાયલેક્ટ્રિકની અંદર ($x=3d$ થી $x=4d$ સુધી),વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે પરંતુ શૂન્યતર રહે છે $(E_{dielectric} = E_0/K)$,તેથી પોટેન્શિયલ $V$ એ $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,પરંતુ હવાના વિસ્તારોની તુલનામાં ઓછી ઢાળ સાથે.
આમ,પોટેન્શિયલનો આલેખ હવામાં રેખીય ઘટાડો,વાહકમાં આડી રેખા અને ડાયલેક્ટ્રિકમાં ઓછી ઢાળ સાથે રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે. આલેખ $B$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(D) શરૂઆતમાં, પ્લેટો અલગ છે। પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q$, $2Q$ અને $0$ (ત્રીજી પ્લેટ પર) ના વિતરણ દ્વારા નક્કી થાય છે। પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-Q/2$ છે અને મધ્ય પ્લેટની ડાબી સપાટી પર $Q/2$ છે।
જ્યારે સ્વીચ $K$ બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ અને ત્રીજી પ્લેટ જોડાય છે, જેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પર આવે છે। ધારો કે પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-q_1$ છે અને મધ્ય પ્લેટની ડાબી સપાટી પર $q_1$ છે। ધારો કે મધ્ય પ્લેટની જમણી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_2$ છે અને ત્રીજી પ્લેટની અંદરની સપાટી પર $-q_2$ છે।
પ્રથમ અને ત્રીજી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q + 0 = Q$ છે। તેથી, $-q_1 - q_2 = Q$, અથવા $q_1 + q_2 = -Q$.
પ્રથમ અને મધ્ય પ્લેટ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = q_1 d / (\epsilon_0 A)$ છે અને મધ્ય અને ત્રીજી પ્લેટ વચ્ચે $V_2 = q_2 (2d) / (\epsilon_0 A)$ છે।
પ્લેટો જોડાયેલી હોવાથી, કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ, તેથી $V_1 = V_2$, જેનો અર્થ છે $q_1 d = q_2 (2d)$, અથવા $q_1 = 2q_2$.
$q_1 = 2q_2$ ને $q_1 + q_2 = -Q$ માં મૂકતા, આપણને $3q_2 = -Q$ મળે છે, તેથી $q_2 = -Q/3$ અને $q_1 = -2Q/3$.
પ્રથમ પ્લેટની બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $(Q - (-q_1))/2 = (Q - 2Q/3)/2 = Q/6$ છે।
પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પર મૂળ વિદ્યુતભાર $-Q/2$ હતો। બંધ કર્યા પછી, તે $-q_1 = 2Q/3$ છે।
કી $K$ માંથી વહેતો વિદ્યુતભાર એ પ્રથમ પ્લેટ પરના વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta q = q_{final} - q_{initial} = (Q/6 + 2Q/3) - (Q/2) = 5Q/6 - Q/2 = Q/3$.

(A) $5\ \mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $-20\ \mu C$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેની જમણી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $+20\ \mu C$ છે. આ $+20\ \mu C$ વિદ્યુતભાર $3\ \mu F$ અને $4\ \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ વચ્ચે વહેંચાય છે.
ધારો કે $3\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ છે અને $4\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2$ છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે: $V = \frac{q_1}{3} = \frac{q_2}{4}$.
વળી,કુલ વિદ્યુતભાર $q_1 + q_2 = 20\ \mu C$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના સમીકરણ પરથી,$q_2 = \frac{4}{3}q_1$.
આ કિંમતને કુલ વિદ્યુતભારના સમીકરણમાં મૂકતા: $q_1 + \frac{4}{3}q_1 = 20$.
$\frac{7}{3}q_1 = 20 \Rightarrow q_1 = \frac{60}{7} \approx 8.57\ \mu C$.
$3\ \mu F$ કેપેસિટરની જમણી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હશે,જે $+8.57\ \mu C$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટરની પ્લેટો પર $+CV$ અને $-CV$ વિદ્યુતભાર હોય છે. પોઝિટિવ પ્લેટ પર $+Q$ વિદ્યુતભાર ઉમેર્યા પછી,બે પ્લેટોની સિસ્ટમ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $(+CV) + (-CV) + Q = Q$ થાય છે.
જ્યારે બે સમાંતર પ્લેટો પર વિદ્યુતભારનું વિતરણ થાય છે,ત્યારે પ્લેટોની બહારની સપાટીઓ પર સમાન વિદ્યુતભાર હોય છે,જે કુલ વિદ્યુતભારના અડધા જેટલો હોય છે. તેથી,દરેક પ્લેટની બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{outer} = \frac{Q}{2}$ છે.
પોઝિટિવ પ્લેટ પર વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પોઝિટિવ પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર = (પોઝિટિવ પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર) - (બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર) = $(CV + Q) - \frac{Q}{2} = CV + \frac{Q}{2}$.
નેગેટિવ પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાનો હશે,એટલે કે $-(CV + \frac{Q}{2})$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ એ અંદરની સપાટી પરના વિદ્યુતભારને કેપેસિટન્સ $C$ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$V' = \frac{CV + Q/2}{C} = V + \frac{Q}{2C}$.

(D) $1$. સર્કિટ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરો: સર્કિટમાં $100 \ V$ ની બેટરી કેપેસિટર્સના નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી છે.
$2$. સર્કિટને સરળ બનાવો: ડાબી બાજુના બે $2 \ \mu F$ કેપેસિટર્સ સમાંતર જોડાણમાં છે,જેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 2 \ \mu F + 2 \ \mu F = 4 \ \mu F$ થાય છે.
$3$. $5 \ \mu F$ અને $3 \ \mu F$ કેપેસિટર્સ ધરાવતી શાખાનું અવલોકન કરો: આ બંને શ્રેણીમાં છે,પરંતુ તે બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેના વાયર સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે. આ વાયર $5 \ \mu F$ અને $3 \ \mu F$ કેપેસિટર્સના શ્રેણી જોડાણ માટે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$4$. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નક્કી કરો: બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેના વાયરનો અવરોધ શૂન્ય હોવાથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = 0 \ V$ છે.
$5$. વિદ્યુતભારની ગણતરી કરો: કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. $5 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0 \ V$ હોવાથી,તેમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = 5 \ \mu F \times 0 \ V = 0 \ \mu C$ થશે.

(B) કેપેસીટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_i = CV$ છે.
કેપેસીટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_f = C(2V) = 2CV$ છે.
બેટરી વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલી હોવાથી,બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_f - (-q_i) = 2CV + CV = 3CV$ છે.
બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \Delta q \times (2V) = (3CV)(2V) = 6CV^2$ છે.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}C(2V)^2 = 2CV^2$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = (U_f - U_i) + H$,જ્યાં $H$ એ ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા છે.
$H = W - (U_f - U_i) = 6CV^2 - (2CV^2 - 0.5CV^2) = 6CV^2 - 1.5CV^2 = 4.5CV^2$.
ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા અને અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{H}{U_f} = \frac{4.5CV^2}{2CV^2} = 2.25$ થાય છે.

(A) $Q$ વિદ્યુતભાર અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ $F_e = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સિસ્ટમમાં,પ્લેટ $S$ ને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અને ગરગડી દ્વારા $m$ દળના બ્લોક સાથે જોડવામાં આવે છે. સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ,તેથી $T = mg$.
સ્પ્રિંગ દળરહિત હોવાથી અને સંતુલનમાં હોવાથી,પ્લેટ $S$ પર સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ દોરીમાં રહેલા તણાવ જેટલું એટલે કે $mg$ હોય છે.
પ્લેટ $S$ ના સંતુલન માટે સ્થિત-વિદ્યુત બળને સ્પ્રિંગ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{Q^2}{2A\epsilon_0} = mg$
$Q$ માટે ઉકેલતા:
$Q^2 = 2mgA\epsilon_0$
$Q = \sqrt{2mgA\epsilon_0}$

(D) આપેલ છે: દરેક કેપેસિટરનું રેટિંગ $C = 8 \mu F$ અને વોલ્ટેજ $V_c = 250 V$ છે.
$250 V$ રેટિંગ ધરાવતા કેપેસિટર્સનો ઉપયોગ કરીને $1000 V$ નો કુલ વોલ્ટેજ મેળવવા માટે,આપણે શ્રેણીમાં $n$ કેપેસિટર્સ જોડવા પડશે જેથી $n \times 250 V = 1000 V$ થાય. તેથી,$n = 4$.
જ્યારે $4$ કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે આવી એક હારનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{row} = \frac{C}{n} = \frac{8 \mu F}{4} = 2 \mu F$ થાય.
આપણને $16 \mu F$ નું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ જોઈએ છે. ધારો કે સમાંતરમાં જોડાયેલી આવી હારની સંખ્યા $m$ છે.
તેથી,$m \times C_{row} = 16 \mu F \Rightarrow m \times 2 \mu F = 16 \mu F \Rightarrow m = 8$.
જરૂરી કેપેસિટર્સની કુલ સંખ્યા $n \times m = 4 \times 8 = 32$ છે.

(C) $4 \mu F$ કેપેસિટર સીધું $6 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલું છે,તેથી તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{4} = 6 \text{ V}$ છે.
આમ,$4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{4} = C_{4} \times V_{4} = 4 \mu F \times 6 \text{ V} = 24 \mu C$ છે.
$3 \mu F$ કેપેસિટર એ $2 \mu F$ અને $5 \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p} = 2 \mu F + 5 \mu F = 7 \mu F$ છે.
આ શાખાનું કુલ કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{branch}} = \frac{1}{3 \mu F} + \frac{1}{7 \mu F} = \frac{10}{21 \mu F}$ છે,તેથી $C_{branch} = 2.1 \mu F$ મળે.
આ શાખામાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{branch} = C_{branch} \times 6 \text{ V} = 2.1 \mu F \times 6 \text{ V} = 12.6 \mu C$ છે.
સમાંતર જોડાણ ($2 \mu F$ અને $5 \mu F$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{p} = \frac{Q_{branch}}{C_{p}} = \frac{12.6 \mu C}{7 \mu F} = 1.8 \text{ V}$ છે.
$5 \mu F$ કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1.8 \text{ V}$ છે.
$5 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{5} = 5 \mu F \times 1.8 \text{ V} = 9 \mu C$ છે.
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{Q_{5}}{Q_{4}} = \frac{9 \mu C}{24 \mu C} = \frac{3}{8}$ છે.

(A) ઉપરની શાખા માટે,કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_1$ છે. પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_1 = q_1/3$ અને $V_2 = q_1/2$ છે. બ્રેકડાઉનની શરતો $V_1 \le 1 \text{ kV}$ અને $V_2 \le 2 \text{ kV}$ છે.
$q_1/3 \le 1 \Rightarrow q_1 \le 3 \text{ mC}$.
$q_1/2 \le 2 \Rightarrow q_1 \le 4 \text{ mC}$.
બ્રેકડાઉન અટકાવવા માટે,$q_1 \le 3 \text{ mC}$ હોવું જોઈએ. ઉપરની શાખામાં કુલ વોલ્ટેજ $V_{upper} = q_1(1/3 + 1/2) = 3(5/6) = 2.5 \text{ kV}$ છે.
નીચેની શાખા માટે,કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_2$ છે. પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_3 = q_2/7$ અને $V_4 = q_2/3$ છે. બ્રેકડાઉનની શરતો $V_3 \le 1 \text{ kV}$ અને $V_4 \le 2 \text{ kV}$ છે.
$q_2/7 \le 1 \Rightarrow q_2 \le 7 \text{ mC}$.
$q_2/3 \le 2 \Rightarrow q_2 \le 6 \text{ mC}$.
બ્રેકડાઉન અટકાવવા માટે,$q_2 \le 6 \text{ mC}$ હોવું જોઈએ. નીચેની શાખામાં કુલ વોલ્ટેજ $V_{lower} = q_2(1/7 + 1/3) = 6(10/21) = 60/21 \approx 2.86 \text{ kV}$ છે.
કોઈ પણ કેપેસિટર બ્રેકડાઉન ન થાય તે માટે સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $E$ એ બંને શાખાના વોલ્ટેજમાંથી ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ. તેથી,$E = \min(2.5, 2.86) = 2.5 \text{ kV}$.

(B) પરિપથને નોડ્સને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે. ધારો કે $A$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_A$ છે અને $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_B$ છે. આ પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના છે. સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરીને અથવા નોડ પોટેન્શિયલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નેટવર્કને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આપેલ સોલ્યુશન ઈમેજ ($115$-s804) ના આધારે,આ પરિપથ એવા નેટવર્કને સમતુલ્ય છે જ્યાં $30 \mu F$ અને $6 \mu F$ ના કેપેસીટર અનુક્રમે $10 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસીટર સાથે શ્રેણીમાં છે,જેમાં $5 \mu F$ નો કેપેસીટર મધ્યવર્તી નોડ્સ $x$ અને $y$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે.
જોકે,મૂળ પરિપથ આકૃતિ ($115$-$804$) અલગ ગોઠવણી દર્શાવે છે. જટિલતા અને આપેલ સોલ્યુશન ઈમેજને ધ્યાનમાં લેતા,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $9 \mu F$ ગણવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્વીચ $S$ બંધ કરતા પહેલા,કેપેસિટર્સ $20 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{20}{9} \mu F$ છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q = \frac{400}{9} \mu C$ છે. પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = 4.44 \times 10^{-5} \ J$ છે. સ્વીચ $S$ બંધ કર્યા પછી,પરિપથની ગોઠવણી બદલાય છે. $4 \mu F$ કેપેસિટર $20 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર છે અને $5 \mu F$ કેપેસિટર $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે. અંતિમ ઉર્જા $U_f = 12.44 \times 10^{-4} \ J$ છે. ઉર્જા સંતુલન મુજબ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $0.0005 \ J$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલ કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. ધારો કે ડાબી શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ છે અને મધ્ય શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે. નીચેની જમણી બાજુના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 + i_2$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
ડાબી અને મધ્ય શાખા માટે: $3i_1 + 3(i_1 + i_2) = 15 \implies 2i_1 + i_2 = 5 \quad \dots(1)$
બાહ્ય લૂપ માટે: $3i_1 + 3i_2 + 3(i_1 + i_2) = 15 \implies 2i_1 + 2i_2 = 5 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$i_2 = 0 \text{ } A$ મળે છે.
તેથી,$i_1 = 2.5 \text{ } A$ મળે છે.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = 12 \text{ } V$ મળે છે.

(D) આ સર્કિટમાં બેટરીના બે છેડા $A$ અને $C$ વચ્ચે બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે. $B$ એ જંકશન પોઈન્ટ છે.
કિર્ચોફના નિયમ મુજબ,જંકશન $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_B$ ધારો.
$10 \ \mu\text{F}$ અને $5 \ \mu\text{F}$ કેપેસિટર $A$ સાથે જોડાયેલા છે,અને $4 \ \mu\text{F}$ અને $6 \ \mu\text{F}$ કેપેસિટર $C$ સાથે જોડાયેલા છે.
જંકશન $B$ પર વિદ્યુતભાર સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા: $(V_B - 10) \times 10 + (V_B - 10) \times 5 + (V_B - 0) \times 4 + (V_B - 0) \times 6 = 0$.
$15(V_B - 10) + 10V_B = 0 \implies 25V_B = 150 \implies V_B = 6 \ \text{V}$.
$5 \ \mu\text{F}$ કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_A - V_B = 10 - 6 = 4 \ \text{V}$ છે.
તેથી,$5 \ \mu\text{F}$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \Delta V = 5 \ \mu\text{F} \times 4 \ \text{V} = 20 \ \mu\text{C}$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \ V$ છે અને બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $10 \ V$ છે. ધારો કે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
$10 \ \mu F$ અને $5 \ \mu F$ ના કેપેસિટર $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = 10 + 5 = 15 \ \mu F$ થાય.
$4 \ \mu F$ અને $6 \ \mu F$ ના કેપેસિટર $B$ અને $C$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 4 + 6 = 10 \ \mu F$ થાય.
હવે,આ સર્કિટ $10 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ ની બનેલી છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન શોધી શકાય છે: $V_B = V_{total} \times \frac{C_2}{C_1 + C_2} = 10 \times \frac{10}{15 + 10} = 10 \times \frac{10}{25} = 4 \ V$.
$6 \ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે $V_C - V_B = 10 \ V - 4 \ V = 6 \ V$ થાય.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 A}$
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{\epsilon_0 A}$ હોવાથી,આપણે બળના સમીકરણમાં $\frac{Q}{\epsilon_0 A} = E$ મૂકી શકીએ છીએ:
$F = \frac{1}{2} Q E$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતભાર $Q = 1 \ \mu C = 1 \times 10^{-6} \ C$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^5 \ V/m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-6} \ C) \times (10^5 \ V/m)$
$F = 0.5 \times 10^{-1} \ N$
$F = 0.05 \ N$

(B) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $B$ ને $V_0 = 30\,V$ સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_0 = C_0 V_0 = 30\,C_0$ છે.
$2$. જ્યારે કેપેસિટર $B$ ને કેપેસિટર $A$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર સમાન સ્થિતિમાન $V$ ન થાય ત્યાં સુધી વહે છે. ધારો કે $A$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_A$ અને $B$ પરનો $Q_B$ છે.
$3$. $A$ નું કેપેસિટન્સ $C_A = K C_0 = V C_0$ છે. $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A = C_A V = (V C_0) V = C_0 V^2$ છે.
$4$. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_B = C_0 V$ છે.
$5$. વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$Q_A + Q_B = Q_0$,તેથી $C_0 V^2 + C_0 V = 30\,C_0$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા,$V^2 + V - 30 = 0$,જેના અવયવો $(V + 6)(V - 5) = 0$ થાય છે. $V > 0$ હોવાથી,$V = 5\,V$.
$7$. $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A = C_0 V^2 = C_0 (5)^2 = 25\,C_0$ છે.

(D) $2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ: $Q_1 = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 150 \ V = 300 \mu C$.
$3 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ: $Q_2 = C_2 V_2 = 3 \mu F \times 120 \ V = 360 \mu C$.
જ્યારે $1.5 \mu F$ કેપેસિટર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પરનો ચાર્જ $x \mu C$ ધારો. ચાર્જ સંરક્ષણ અને કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,$1.5 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત લૂપમાં રહેલા અન્ય બે કેપેસિટર પરના પોટેન્શિયલ તફાવતના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
નવો ચાર્જ $Q_1' = 300 - x$ અને $Q_2' = 360 - x$ ધારો.
$KVL$ લાગુ કરતા: $\frac{x}{1.5} = \frac{300 - x}{2} + \frac{360 - x}{3}$.
$6$ વડે ગુણતા: $4x = 3(300 - x) + 2(360 - x) \implies 4x = 900 - 3x + 720 - 2x \implies 9x = 1620 \implies x = 180 \mu C$.
$2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો ચાર્જ: $300 - 180 = 120 \mu C$.
$2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $300 \mu C$ હતો અને તે $120 \mu C$ થાય છે,તેથી તેમાંથી ચાર્જ બહાર વહે છે. તેવી જ રીતે,$3 \mu F$ કેપેસિટર માંથી પણ ચાર્જ વહે છે. બિંદુ $A$ માંથી ચોખ્ખો પ્રવાહ પોટેન્શિયલને સંતુલિત કરવા માટે જમણેથી ડાબી તરફ વહે છે. આમ,તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(D) જ્યારે $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે,અને આ સંયોજન જમણી બાજુના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમકક્ષ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C(C+C)}{C+(C+C)} = \frac{2}{3}C$ છે.
પરિપથ પરનો પ્રારંભિક વીજભાર $Q_{eq} = C_{eq}E = \frac{2}{3}CE$ છે.
જ્યારે $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી બાજુનું કેપેસિટર શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે અને કોઈ વીજભાર સંગ્રહિત કરતું નથી. ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર સેલ સાથે સમાંતરમાં રહે છે.
નવું સમકક્ષ કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = C + C = 2C$ છે.
પરિપથ પરનો નવો વીજભાર $Q'_{eq} = C'_{eq}E = 2CE$ છે.
સેલના ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર આવતો વીજભાર $\Delta Q = Q'_{eq} - Q_{eq} = 2CE - \frac{2}{3}CE = \frac{4}{3}CE$ છે.
કારણ કે $\Delta Q > 0$,તેથી ધન વીજભાર સેલના ધન ટર્મિનલમાંથી બહાર આવશે.

(D) સ્થાયી સ્થિતિમાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ અવરોધોના શ્રેણી-સમાંતર જોડાણમાં સરળ બને છે.
ધારો કે નોડ્સ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$ છે અને $C_2$ પર $V_2$ છે.
ઉપરની શાખામાં $1 \Omega, 2 \Omega, 3 \Omega$ શ્રેણીમાં છે,કુલ $6 \Omega$. નીચેની શાખામાં $2 \Omega, 1 \Omega, 3 \Omega$ શ્રેણીમાં છે,કુલ $6 \Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = (6 \Omega || 6 \Omega) = 3 \Omega$.
$120 V$ સ્ત્રોતમાંથી કુલ પ્રવાહ $I = 120 / 3 = 40 A$ છે.
આ પ્રવાહ બે શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે: $I_{upper} = 20 A$ અને $I_{lower} = 20 A$.
$1 \Omega$ અને $2 \Omega$ (ઉપર) વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $120 - (20 \times 1) = 100 V$ છે. $2 \Omega$ અને $1 \Omega$ (નીચે) વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $120 - (20 \times 2) = 80 V$ છે. આમ,$V_{C1} = 100 - 80 = 20 V$.
વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 20 V = 40 \mu C$.
$2 \Omega$ અને $3 \Omega$ (ઉપર) વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $100 - (20 \times 2) = 60 V$ છે. $1 \Omega$ અને $3 \Omega$ (નીચે) વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $80 - (20 \times 1) = 60 V$ છે. આમ,$V_{C2} = 60 - 60 = 0 V$.
વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V_2 = 2 \mu F \times 0 V = 0$.
તેથી,$C_2$ પર શૂન્ય વિદ્યુતભાર છે અને $C_1$ પર $40 \mu C$ વિદ્યુતભાર છે. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટરને બેટરી દ્વારા $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ છે,જ્યાં $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$3$. જ્યારે પ્લેટોને નવા અંતર $d' = 2d$ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ થાય છે.
$4$. વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{C/2} = 2V$ થાય છે. આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધે છે,તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
$5$. જ્યારે કેપેસિટરને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન ધરાવતી બેટરી સાથે ફરીથી જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ થવો જોઈએ. હાલનો વિદ્યુતભાર $Q = C'V' = (C/2)(2V) = CV$ છે. જોકે,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2V$ છે,જે બેટરીના વોલ્ટેજ $V$ કરતા વધારે છે. તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ ન થાય ત્યાં સુધી કેપેસિટરમાંથી બેટરીમાં વિદ્યુતભાર વહેશે. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
$6$. $B$ અને $C$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $7 \mu F$ અને $3 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = 2.1 \mu F$ છે.
શ્રેણી જોડાણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = (7 \mu F) \times (6 \ V) = 42 \mu C$ છે. આ વિદ્યુતભાર $3 \mu F$ ના કેપેસિટર માટે પણ સમાન રહેશે.
$3 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_3 = \frac{42 \mu C}{3 \mu F} = 14 \ V$ છે. તેથી,શ્રેણી શાખા પરનો કુલ પોટેન્શિયલ $V_{branch} = 6 \ V + 14 \ V = 20 \ V$ છે.
$3.9 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = (3.9 \mu F) \times (20 \ V) = 78 \mu C$ છે.
બેટરીમાંથી કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Q_1 + Q_2 = 78 \mu C + 42 \mu C = 120 \mu C$ છે.
$12 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{12} = \frac{120 \mu C}{12 \mu F} = 10 \ V$ છે.
બેટરીનું કુલ e.m.f. $E = 10 \ V + 20 \ V = 30 \ V$ છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(D)$ છે.

(D) શ્રેણી સર્કિટમાં,દરેક કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન છે.
$Q_1 = Q_2 = Q$.
ધારો કે $C_1$ અને બેટરી વચ્ચેના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_x$ છે અને બેટરી તથા $C_2$ વચ્ચેનું $V_y$ છે. આપેલ છે કે $V_A - V_B = 5\,V$.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\mu F$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V_{total} = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\,\mu C$.
કેપેસીટર શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $Q = \frac{10}{3}\,\mu C$ છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
હવે,ઉર્જા તપાસીએ: $E = \frac{Q^2}{2C}$.
$E_1 = \frac{Q^2}{2C_1} = \frac{(10/3)^2}{2 \times 1} = \frac{50}{9}\,\mu J$.
$E_2 = \frac{Q^2}{2C_2} = \frac{(10/3)^2}{2 \times 2} = \frac{25}{9}\,\mu J$.
$E_1 = 2 E_2$ હોવાથી,વિધાન $B$ પણ સાચું છે.
તેથી,$A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(D) પ્રારંભિક સ્થિતિ (ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે): કેપેસિટન્સ $C_i = kC$,વિદ્યુતભાર $Q_i = kCE$,ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}kCE^2$.
અંતિમ સ્થિતિ (ડાયઇલેક્ટ્રિક વગર): કેપેસિટન્સ $C_f = C$,વિદ્યુતભાર $Q_f = CE$,ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}CE^2$.
સેલમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર: $\Delta Q = Q_i - Q_f = kCE - CE = CE(k - 1)$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
સેલ દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા: $W_{cell} = E \cdot \Delta Q = E \cdot CE(k - 1) = CE^2(k - 1)$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા થયેલું કાર્ય: કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,$W_{ext} + W_{cell} = U_f - U_i$.
$W_{ext} = (U_f - U_i) - W_{cell} = (\frac{1}{2}CE^2 - \frac{1}{2}kCE^2) - CE^2(k - 1)$.
$W_{ext} = -\frac{1}{2}CE^2(k - 1) - CE^2(k - 1) = -\frac{3}{2}CE^2(k - 1)$.
નોંધ: સ્થિત-વિદ્યુત બળની વિરુદ્ધ સ્લેબને દૂર કરવા માટે બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{1}{2}CE^2(k - 1)$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(D) કેપેસિટરો પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = C_1V = 1\ \mu F \times 5\ V = 5\ \mu C$ અને $Q_2 = C_2V = 3\ \mu F \times 5\ V = 15\ \mu C$ છે.
તેમને વિરુદ્ધ ચાર્જ થયેલી પ્લેટો સાથે જોડવામાં આવતા,કુલ ચાર્જ $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |15\ \mu C - 5\ \mu C| = 10\ \mu C$ થશે.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1\ \mu F + 3\ \mu F = 4\ \mu F$ છે.
અંતિમ સામાન્ય વોલ્ટેજ $V_f = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{10\ \mu C}{4\ \mu F} = 2.5\ V$ મળે.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}C_1V^2 + \frac{1}{2}C_2V^2 = \frac{1}{2}(1 + 3)\ \mu F \times (5\ V)^2 = 2\ \mu F \times 25\ V^2 = 50\ \mu J$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}C_{eq}V_f^2 = \frac{1}{2}(4\ \mu F) \times (2.5\ V)^2 = 2\ \mu F \times 6.25\ V^2 = 12.5\ \mu J$ છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = U_i - U_f = 50\ \mu J - 12.5\ \mu J = 37.5\ \mu J$ છે.
આમ,$B$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(D) શરૂઆતમાં,બંને પ્લેટો $X$ અને $Y$ પર $Q$ વિદ્યુતભાર છે. કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે તેને $E = Q/C$ જેટલા $emf$ ધરાવતા સેલ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Q/C$ થાય છે.
પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી પ્લેટ $X$ માટે,અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_X = Q + Q = 2Q$ થાય છે.
નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલી પ્લેટ $Y$ માટે,અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_Y = Q - Q = 0$ થાય છે.
કેપેસિટર સેલ દ્વારા ચાર્જ થઈ રહ્યું હોવાથી,$Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર સેલના પોઝિટિવ ટર્મિનલથી પ્લેટ $X$ તરફ અને પ્લેટ $Y$ થી સેલના નેગેટિવ ટર્મિનલ તરફ વહે છે. સેલની અંદર,આ વિદ્યુતભાર $Q$ નેગેટિવ ટર્મિનલથી પોઝિટિવ ટર્મિનલ તરફ વહે છે.

(D) અલગ કરેલા (isolated) કેપેસિટર માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધે છે,તેમ કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,ઉર્જા $U$ વધે છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને કેપેસિટરની ઉર્જા બંને બદલાય છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી પ્લેટો વચ્ચે $V$ જેટલો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જાળવી રાખે છે.
$1$. કેપેસિટરની સામસામેની સપાટીઓ પર હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો ($+Q$ અને $-Q$) હોય છે,જેથી તેમની વચ્ચે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય.
$2$. પ્લેટોની બહારની સપાટીઓ પર સમાન વિદ્યુતભારો હોય છે,જે દરેક પ્લેટ પરના કુલ વિદ્યુતભારના અડધા હોય છે $(q_{outer} = (q_1 + q_2)/2)$.
$3$. બેટરી એક ચાર્જ પંપ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે એક પ્લેટ પરથી બીજી પ્લેટ પર વિદ્યુતભારનું સ્થાનાંતર કરે છે,આમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જાળવી રાખવા માટે બંને પ્લેટોને સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો પૂરા પાડે છે.
આથી,આપેલા તમામ વિધાનો ભૌતિક રીતે સાચા છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $C$ એ પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ છે.
પ્રક્રિયા $XW$: બેટરી $(V=E)$ સાથે જોડતા અને ડાયઇલેક્ટ્રિક $(K)$ દાખલ કરતા વિદ્યુતભાર $Q = KCE$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{field} = E/d$ મળે છે.
પ્રક્રિયા $WX$: ડાયઇલેક્ટ્રિક $(K)$ દાખલ કરીને પછી બેટરી $(V=E)$ સાથે જોડતા વિદ્યુતભાર $Q = KCE$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{field} = E/d$ મળે છે. આમ,$XW$ અને $WX$ માં વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન રહે છે.
પ્રક્રિયા $XWY$: બેટરી સાથે જોડતા $(Q=CE)$,ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરતા $(Q=KCE)$,પછી બેટરી દૂર કરતા ($Q$ એ $KCE$ જ રહે છે).
પ્રક્રિયા $XYW$: બેટરી સાથે જોડતા $(Q=CE)$,બેટરી દૂર કરતા $(Q=CE)$,પછી ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરતા ($Q$ એ $CE$ જ રહે છે).
$K > 1$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $KCE > CE$,તેથી $XWY$ માં વધુ વિદ્યુતભાર હોય છે.
ઉર્જા $U = Q^2 / (2C_{final})$.
$WXY$ માટે: $U = (KCE)^2 / (2KC) = (KCE^2)/2$.
$XYW$ માટે: $U = (CE)^2 / (2KC) = (CE^2)/(2K)$.
$K > 1$ હોવાથી,$(KCE^2)/2 > (CE^2)/(2K)$,તેથી $WXY$ માં વધુ ઉર્જા સંગ્રહિત થાય છે.

(D) $1$. જ્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થઈ જાય અને સ્ત્રોતથી અલગ કરવામાં આવે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે. જેમ પ્લેટોને દૂર ખેંચવામાં આવે છે,તેમ અંતર $d$ વધે છે. કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
$2$. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$. $Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,$V$ વધે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$3$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$. $Q$ અને $A$ અચળ હોવાથી,પ્લેટોને દૂર ખેંચતી વખતે $E$ અચળ રહે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. જ્યારે તેને $E.M.F.$ $V_0$ ના સ્ત્રોત સાથે ફરીથી જોડવામાં આવે,ત્યારે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0$ થવો જોઈએ. કારણ કે $V$ વધીને $V_0$ કરતા વધારે થઈ ગયો હતો ($V = \frac{Q}{C}$ અને $C$ ઘટ્યું હતું),તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનને $V_0$ પર લાવવા માટે કેપેસિટરમાંથી વિદ્યુતભાર સ્ત્રોતમાં પાછો વહેવો જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$5$. $A, B,$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના સ્ત્રોત (બેટરી) સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લગભગ ત્વરિત રીતે સ્ત્રોતના વોલ્ટેજ $V$ જેટલો થઈ જાય છે.
$Q = CV$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત થાય છે.
જોકે,સ્ત્રોતમાંથી મેળવેલ કુલ ઉર્જા $Q V$ છે,જ્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{1}{2} Q V$ છે. બાકીની $\frac{1}{2} Q V$ ઉર્જા વાહક તારમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત થાય છે,અને વિકલ્પ $C$ ચાર્જિંગની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે જેમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સ્ત્રોતના વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે.

(D) ધારો કે બે સમાન કેપેસિટરોનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ $V_1$ અને $V_2$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2$ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{C V_1 + C V_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)$ છે.
$U_i$ અને $U_f$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $U_f < U_i$ કારણ કે ચાર્જ પુનઃવિતરણ દરમિયાન ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
ચાર્જનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q_1 + Q_2$ અચળ રહે છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = \frac{V_1 + V_2}{2}$ છે,જે $V_1 + V_2$ જેટલો નથી.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) ધારો કે તંત્રની બહારની સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભાર $q_1$ અને $q_2$ છે. સમાંતર પ્લેટોના તંત્ર માટે, બહારના વિદ્યુતભાર કુલ વિદ્યુતભારના અડધા હોય છે: $q_1 = q_2 = (Q - Q + Q)/2 = Q/2$।
ધારો કે $A$ ની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $x$ છે. તો $C$ ની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર ($A$ ની સામે) $Q - x$ થશે. $C$ ની બીજી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q - (Q - x) = x$ થશે. $B$ ની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-Q - Q/2 = -3Q/2$ થશે.
વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $A$ અને $C$ વચ્ચેનું ક્ષેત્ર $E_1 = x/(\epsilon_0 A)$ અને $C$ અને $B$ વચ્ચેનું ક્ષેત્ર $E_2 = (x - Q)/(\epsilon_0 A)$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ હોવાથી, અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d/2$ હોવાથી, આપણને $V_{AC} = (x \cdot d)/(2\epsilon_0 A)$ અને $V_{CB} = ((x - Q) \cdot d)/(2\epsilon_0 A)$ મળે છે.
વિદ્યુતભારના વિતરણ માટે ઉકેલતા, આપણને $x = Q/4$ મળે છે. આમ, $V_{AC} = Q d / (8\epsilon_0 A)$ અને $V_{CB} = 3Q d / (8\epsilon_0 A)$ મળે છે.
તેથી, $V_{AC} = (1/3) V_{CB}$, જે વિકલ્પ $C$ ને સાચો ઠેરવે છે.

(D) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = C_1 V = 4\ \mu F \times 500\ V = 2000\ \mu C$ અને $Q_2 = C_2 V = 2\ \mu F \times 500\ V = 1000\ \mu C$ છે. તેઓ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,સ્વીચો બંધ કર્યા પછીનો કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q_1 - Q_2 = 2000\ \mu C - 1000\ \mu C = 1000\ \mu C$ છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4\ \mu F + 2\ \mu F = 6\ \mu F$ છે. સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V' = Q_{net} / C_{eq} = 1000\ \mu C / 6\ \mu F = 500/3\ V$ છે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે. પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = 1/2 C_1 V^2 + 1/2 C_2 V^2 = 1/2 (4+2) \times 10^{-6} \times (500)^2 = 3 \times 10^{-6} \times 250000 = 0.75\ J$. અંતિમ ઉર્જા $U_f = 1/2 (C_1 + C_2) (V')^2 = 1/2 (6 \times 10^{-6}) \times (500/3)^2 = 3 \times 10^{-6} \times 250000 / 9 = 0.75 / 9\ J$. ગુણોત્તર $U_f / U_i = (0.75 / 9) / 0.75 = 1/9$. આમ,વિકલ્પ $C$ પણ સાચો છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં આવે છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ,તેથી $V_1 = V_2$. આથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $C_1 = C_2$ અને $V_1 = V_2$,તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવો જોઈએ,$Q_1 = C_1 V_1 = C_2 V_2 = Q_2$. આથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$Q_1 = Q_2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}(Q_1 + Q_2) = \frac{1}{2}(Q_1 + Q_1) = Q_1$ થાય. બેટરીની હાજરીમાં કુલ વિદ્યુતભાર સંરક્ષિત રહેતો નથી.
ઉર્જાની વાત કરીએ તો,પ્રારંભિક ઉર્જા $U_0 = \frac{1}{2} C_1 V^2$ છે. સ્વિચ બંધ કર્યા પછી,અંતિમ ઉર્જા $U_1 + U_2 = \frac{1}{2} C_1 V^2 + \frac{1}{2} C_2 V^2 = C_1 V^2$ થાય છે. આમ,$U_0 \neq U_1 + U_2$. તેથી,વિધાન $U_0 = U_1 + U_2$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $20 \ V$ અને $C$ પર $0 \ V$ છે. પરિપથ સપ્રમાણ છે. નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને $B$ અને $D$ પરનું સ્થિતિમાન શોધી શકાય છે. ધારો કે $V_B$ અને $V_D$ એ નોડ $B$ અને $D$ પરના સ્થિતિમાન છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા: $(V_B - 20)/4 + (V_B - 0)/2 + (V_B - V_D)/2 = 0$. $4$ વડે ગુણતા: $(V_B - 20) + 2V_B + 2(V_B - V_D) = 0 \implies 5V_B - 2V_D = 20$.
નોડ $D$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા: $(V_D - 20)/2 + (V_D - 0)/4 + (V_D - V_B)/2 = 0$. $4$ વડે ગુણતા: $2(V_D - 20) + V_D + 2(V_D - V_B) = 0 \implies -2V_B + 5V_D = 40$.
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $V_B = 60/7 \ V$ અને $V_D = 80/7 \ V$.
$V_D > V_B$ હોવાથી,$V_B - V_D < 0$.
$A$ સાથે જોડાયેલા $4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q_1 = 4(20 - V_B) = 4(20 - 60/7) = 320/7 \ \mu C$.
$C$ સાથે જોડાયેલા $4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q_2 = 4(V_D - 0) = 4(80/7) = 320/7 \ \mu C$.
બંને કેપેસિટર્સ સમાન દિશામાં સમાન વીજભાર ધરાવે છે ($A$ થી $B$ તરફ અને $D$ થી $C$ તરફ). તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $V_C = 0\,V$ અને બેટરીનું વોલ્ટેજ $20\,V$ છે જે $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,જેમાં ધન ટર્મિનલ $A$ પર છે,તેથી $V_A = 20\,V$.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
નોડ $B$ સાથે જોડાયેલા કેપેસિટર્સ પરના વીજભારનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$q_{AB} + q_{DB} + q_{CB} = 0$
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) + 2(V_C - V_B) = 0$
$V_C = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) - 2V_B = 0$
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) = 2V_B$. જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.
નોડ $D$ પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$q_{AD} + q_{BD} + q_{CD} = 0$
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) + 4(V_C - V_D) = 0$
$V_C = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) - 4V_D = 0$
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) = 4V_D$. જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,વિકલ્પો $A$,$B$,અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B, C) ધારો કે બિંદુ $A$ નું સ્થિતિમાન $V_A = 20\,V$ અને બિંદુ $C$ નું સ્થિતિમાન $V_C = 0\,V$ છે.
પરિપથ સમપ્રમાણ છે. ધારો કે બિંદુ $B$ નું સ્થિતિમાન $V_B$ અને બિંદુ $D$ નું સ્થિતિમાન $V_D$ છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$4(V_A - V_B) + 2(V_D - V_B) + 2(V_C - V_B) = 0$
$4(20 - V_B) + 2(V_D - V_B) + 2(0 - V_B) = 0$
$80 - 4V_B + 2V_D - 2V_B - 2V_B = 0 \implies 8V_B - 2V_D = 80 \implies 4V_B - V_D = 40$ --- $(1)$
નોડ $D$ પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$2(V_A - V_D) + 2(V_B - V_D) + 4(V_C - V_D) = 0$
$2(20 - V_D) + 2(V_B - V_D) + 4(0 - V_D) = 0$
$40 - 2V_D + 2V_B - 2V_D - 4V_D = 0 \implies 8V_D - 2V_B = 40 \implies 4V_D - V_B = 20$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$V_B = 4V_D - 20$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$4(4V_D - 20) - V_D = 40 \implies 16V_D - 80 - V_D = 40 \implies 15V_D = 120 \implies V_D = 8\,V$.
$V_D = 8\,V$ ની કિંમત $V_B = 4(8) - 20 = 32 - 20 = 12\,V$ માં મૂકતા.
આમ,$V_B = 12\,V$ અને $V_D = 8\,V$. સાચા વિકલ્પો $B$ અને $C$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 20 \ V$ અને બિંદુ $C$ પર $V_C = 0 \ V$ છે.
નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બિંદુ $B$ અને $D$ પરના સ્થિતિમાન શોધી શકીએ છીએ.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો $V_B = 12 \ V$ હોય,તો $q_1 = 4 \ \mu F \times (20 - 12) = 32 \ \mu C$ અને $q_2 = 2 \ \mu F \times (12 - 0) = 24 \ \mu C$ મળે છે.
વચ્ચેના કેપેસિટર $q_3$ માટે,$V_B = 12 \ V$ અને $V_D = 8 \ V$ લેતા,$q_3 = 2 \ \mu F \times (12 - 8) = 8 \ \mu C$ મળે છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક પરનો ચાર્જ $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V = \frac{kq}{R}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{VR}{k}$.
જ્યારે $n$ આવા ટીપાં જોડાઈને $R'$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ સચવાય છે:
$\frac{4}{3}\pi (R')^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow R' = n^{1/3}R$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ ચાર્જ $Q = nq = n \cdot \frac{VR}{k}$ છે.
મોટા ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V' = \frac{kQ}{R'} = \frac{k(nVR/k)}{n^{1/3}R} = \frac{nVR}{n^{1/3}R} = V n^{1 - 1/3} = V n^{2/3}$.

(A) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U = \int \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા વાહક ગોળા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $r < a$ માટે $E = 0$.
$2$. $a < r < 2a$ માટે $E = \frac{kQ}{r^2}$.
$3$. $2a < r < 3a$ માટે $E = 0$ (વાહક કવચની અંદર).
$4$. $r > 3a$ માટે $E = \frac{kQ}{r^2}$ (કવચ તટસ્થ હોવાથી,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q$ છે).
$a < r < 2a$ વિસ્તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \int_a^{2a} \frac{1}{2} \epsilon_0 (\frac{kQ}{r^2})^2 (4 \pi r^2 dr) = \frac{kQ^2}{4a}$ છે.
$r > 3a$ વિસ્તારમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \int_{3a}^{\infty} \frac{1}{2} \epsilon_0 (\frac{kQ}{r^2})^2 (4 \pi r^2 dr) = \frac{kQ^2}{6a}$ છે.
કુલ ઉર્જા $U = U_1 + U_2 = \frac{kQ^2}{4a} + \frac{kQ^2}{6a} = \frac{5kQ^2}{12a}$.

(A) ધારો કે અંદરનો ગોળો $S_1$ છે (ત્રિજ્યા $R$,વિદ્યુતભાર $q_1 = +2Q$).
ધારો કે પોલો ગોળો $S_2$ છે (આંતરિક ત્રિજ્યા $r_2 = 2R$,બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_3 = 3R$,કુલ વિદ્યુતભાર $q_2 = -Q$).
સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણને કારણે,પોલા ગોળાની અંદરની સપાટી $(r=2R)$ પર $-2Q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
પોલા ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-Q$ હોવાથી,તેની બાહ્ય સપાટી $(r=3R)$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out} = -Q - (-2Q) = +Q$ હશે.
વિદ્યુતભારિત વાહકોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} \sum q_i V_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરના ગોળાનું સ્થિતિમાન $(V_1)$ તેના પોતાના વિદ્યુતભાર અને પોલા ગોળા પરના વિદ્યુતભારોને કારણે છે:
$V_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2Q}{R} + \frac{-2Q}{2R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2Q}{R} - \frac{Q}{R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{4Q}{12\pi\varepsilon_0 R} = \frac{Q}{3\pi\varepsilon_0 R}$.
પોલા ગોળાનું સ્થિતિમાન $(V_2)$ તેની અંદરની અને બહારની સપાટી પર સમાન હોય છે:
$V_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{2Q}{2R} + \frac{-2Q}{2R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{R} - \frac{Q}{R} + \frac{Q}{3R} \right) = \frac{Q}{12\pi\varepsilon_0 R}$.
હવે,$U = \frac{1}{2} (q_1 V_1 + q_2 V_2) = \frac{1}{2} \left( (2Q) \cdot \frac{Q}{3\pi\varepsilon_0 R} + (-Q) \cdot \frac{Q}{12\pi\varepsilon_0 R} \right)$.
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{2Q^2}{3\pi\varepsilon_0 R} - \frac{Q^2}{12\pi\varepsilon_0 R} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8Q^2 - Q^2}{12\pi\varepsilon_0 R} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7Q^2}{12\pi\varepsilon_0 R} \right) = \frac{7Q^2}{24\pi\varepsilon_0 R}$.

(D) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r > R)$ સ્થિતિમાન $V = \frac{KQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $5 \ cm$ અને $10 \ cm$ અંતરે આપેલા સ્થિતિમાન માટે,કેન્દ્રથી અંતર અનુક્રમે $(R+5)$ અને $(R+10)$ છે.
$V_1 = \frac{KQ}{R+5} = 100 \ V$ --- $(1)$
$V_2 = \frac{KQ}{R+10} = 75 \ V$ --- $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{R+10}{R+5} = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$.
$3R + 30 = 4R + 20 \Rightarrow R = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
$(1)$ માં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $KQ = 100(0.1 + 0.05) = 100(0.15) = 15 \ V \cdot m$.
સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{KQ}{R} = \frac{15}{0.1} = 150 \ V$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_s = \frac{KQ}{R^2} = \frac{15}{(0.1)^2} = \frac{15}{0.01} = 1500 \ V/m$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_c = \frac{3}{2} V_s = \frac{3}{2} \times 150 = 225 \ V$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી જવાબ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। પ્રોટોન અને ડ્યુટેરોન બંનેનો વિદ્યુતભાર $e$ સમાન હોવાથી, બંને સમાન ગતિઊર્જા પ્રાપ્ત કરે છે: $K_p = K_d = eV$. તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચું છે।
$K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી, વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ થાય। $m_d = 2m_p$ હોવાથી, ડ્યુટેરોનનું વેગમાન $p_d = \sqrt{2(2m_p)eV} = 2\sqrt{m_p eV}$ અને પ્રોટોનનું વેગમાન $p_p = \sqrt{2m_p eV}$ થાય। આમ, $p_d = \sqrt{2} p_p$। તેથી, તેમનું વેગમાન સમાન નથી, જે વિકલ્પ $B$ ને ખોટું બનાવે છે।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ થાય। $m_d > m_p$ હોવાથી, $v_p > v_d$ થાય। આમ, તેમની ઝડપ અલગ-અલગ છે, જે વિકલ્પ $A$ ને સાચું બનાવે છે।

(D) કવચ $B$ ને અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = 0$ છે. પ્રેરણને કારણે,કવચ $B$ ની અંદરની સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
$a \leq r \leq b$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર ગોળા $A$ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે છે: $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ ગોળા $A$ પરના $Q$ અને કવચ $B$ પરના પ્રેરિત $-Q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-Q}{b} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{b} \right)$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
ગોળા $A$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = V(a) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ છે. $V_B = 0$ હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ થાય. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે કવચોના સ્થિતિમાન $V_1, V_2, V_3$ છે. સૌથી અંદરના $(r)$ અને સૌથી બહારના $(3r)$ કવચો અર્થિંગ કરેલા હોવાથી,$V_1 = 0$ અને $V_3 = 0$ થાય.
કોઈપણ કવચનું સ્થિતિમાન બધા વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે: $V = \frac{kQ_{self}}{R_{self}} + \sum \frac{kQ_{other}}{R_{other}}$.
કવચ $1$ $(r)$ માટે: $V_1 = k \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{2r} + \frac{Q_3}{3r} \right) = 0 \implies \frac{Q_1}{1} + \frac{Q_2}{2} + \frac{Q_3}{3} = 0 \implies 6Q_1 + 3Q_2 + 2Q_3 = 0$ (સમીકરણ $1$)
કવચ $3$ $(3r)$ માટે: $V_3 = k \left( \frac{Q_1}{3r} + \frac{Q_2}{3r} + \frac{Q_3}{3r} \right) = 0 \implies Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0 \implies Q_3 = -(Q_1 + Q_2)$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $6Q_1 + 3Q_2 + 2(-(Q_1 + Q_2)) = 0 \implies 6Q_1 + 3Q_2 - 2Q_1 - 2Q_2 = 0 \implies 4Q_1 + Q_2 = 0 \implies Q_1 = -\frac{Q_2}{4}$.
હવે $Q_3$ શોધીએ: $Q_3 = -(Q_1 + Q_2) = -(-\frac{Q_2}{4} + Q_2) = -(\frac{3Q_2}{4}) = -\frac{3Q_2}{4}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $Q_1 + Q_3 = -\frac{Q_2}{4} - \frac{3Q_2}{4} = -Q_2$ (સાચું).
$(B)$ $Q_1 = -\frac{Q_2}{4}$ (સાચું).
$(C)$ $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{-3Q_2/4}{-Q_2/4} = 3$ (સાચું).
$(D)$ $\frac{Q_3}{Q_2} = \frac{-3Q_2/4}{Q_2} = -\frac{3}{4}$ (ખોટું,કારણ કે તે $-1/3$ આપેલું છે).

(D) ધારો કે અર્થિંગ કર્યા પછી અંદરના કવચ પર પ્રાપ્ત થતો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
$1$. જ્યારે સ્વીચ $S$ ખુલ્લી હોય: અંદરનું કવચ તટસ્થ છે $(q=0)$. અંદરના કવચનું સ્થિતિમાન બહારના કવચને કારણે છે: $V_{\text{in}} = kQ/(3R)$. બહારના કવચનું સ્થિતિમાન પણ $V_{\text{out}} = kQ/(3R)$ છે. આમ,$V_{\text{in}} = V_{\text{out}}$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ હોય: અંદરના કવચને અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થઈ જાય છે $(V_{\text{in}} = 0)$. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q$ ની ગણતરી: અંદરના કવચની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન એ અંદરના વિદ્યુતભાર $q$ અને બહારના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_{\text{in}} = \frac{kq}{R} + \frac{kQ}{3R} = 0$
$\frac{kq}{R} = -\frac{kQ}{3R}$
$q = -Q/3$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(A) ધારો કે સપાટીઓ પરના ચાર્જ ડાબેથી જમણે $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ છે. અલગ કરેલી પ્લેટોની સિસ્ટમ માટે,બહારની સપાટીઓ પર સમાન ચાર્જ હોવો જોઈએ,$q_1 = q_6 = (Q_{total})/2 = (Q + Q - Q)/2 = Q/2$. જ્યારે પ્લેટ $C$ $(+Q)$ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q + Q - Q = Q$ થાય છે. બહારની સપાટીઓ પર $Q/2$ ચાર્જ હશે. સમાંતર પ્લેટોની સામસામેની સપાટીઓ પર સમાન અને વિરુદ્ધ ચાર્જ હોય છે તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,વિતરણ આ મુજબ છે: સપાટી $I = -Q/2$,સપાટી $II = +3Q/2$,સપાટી $III = -3Q/2$,સપાટી $IV = +5Q/2$,સપાટી $V = -5Q/2$,સપાટી $VI = +3Q/2$. વિકલ્પો તપાસતા: $A$ સ્પષ્ટપણે ખોટું છે કારણ કે ચાર્જ સમાન અને વિરુદ્ધ નથી.

(C) $1$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં, ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $QvB = Mv^2 / R$, જે પરથી $v = QBR / M$ મળે છે।
$2$. નળાકાર કેપેસિટરમાં, $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \lambda / (2\pi \epsilon_0 r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય વીજભાર ઘનતા છે।
$3$. વિદ્યુત બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $QE = Mv^2 / R$. $E$ અને $v$ ની કિંમત મૂકતા: $Q (\lambda / (2\pi \epsilon_0 R)) = M (QBR/M)^2 / R = Q^2 B^2 R / M$.
$4$. આનું સાદું રૂપ આપતા $\lambda / (2\pi \epsilon_0) = Q B^2 R^2 / M$ મળે છે।
$5$. $r_1 = R/2$ અને $r_2 = 3R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોડ્સ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \int_{r_1}^{r_2} E dr = (\lambda / 2\pi \epsilon_0) \int_{R/2}^{3R/2} (1/r) dr = (\lambda / 2\pi \epsilon_0) \ln((3R/2) / (R/2)) = (\lambda / 2\pi \epsilon_0) \ln(3)$.
$6$. સ્ટેપ $4$ માંથી કિંમત મૂકતા: $V = (Q B^2 R^2 / M) \ln(3)$।

(A) ધારો કે શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ છે. કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = CV = \frac{K \epsilon_0 A V}{d}$ છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{C}{K}$ થાય છે.
કેપેસિટર બેટરીથી ડિસ્કનેક્ટ થયેલું હોવાથી,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા $U_{removed} = \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{Q^2}{2(C/K)} = K \frac{Q^2}{2C} = K U_i$ થાય છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક ફરીથી દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ પાછું $C$ થઈ જાય છે અને સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C} = U_i$ થઈ જાય છે.
સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = -(U_f - U_i) = -(U_i - U_i) = 0$.
આમ,આ પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.