Area of a Triangle by Heron's Formula Questions in Hindi

(A) दिया है,त्रिभुज का परिमाप $32 \, cm$ है। मान लीजिए भुजाएँ $a = 8 \, cm$ और $b = 11 \, cm$ हैं।
तीसरी भुजा $c$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$c = 32 \, cm - (8 + 11) \, cm = 32 \, cm - 19 \, cm = 13 \, cm$.
अर्ध-परिमाप $s$ है:
$s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{32}{2} \, cm = 16 \, cm$.
अब,$(s - a)$,$(s - b)$,और $(s - c)$ की गणना करें:
$s - a = 16 - 8 = 8 \, cm$
$s - b = 16 - 11 = 5 \, cm$
$s - c = 16 - 13 = 3 \, cm$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16 \times 120} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \times \sqrt{4 \times 30} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \times 2 \sqrt{30} \, cm^2 = 8 \sqrt{30} \, cm^2$.

(B) पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$2s = 50\,m + 80\,m + 120\,m = 250\,m$
$s = 125\,m$
अब,अंतरों की गणना करें:
$s - a = 125\,m - 120\,m = 5\,m$
$s - b = 125\,m - 80\,m = 45\,m$
$s - c = 125\,m - 50\,m = 75\,m$
पार्क का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}\,m^2$
$= \sqrt{2109375}\,m^2 = 375\sqrt{15}\,m^2$
आगे,बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात करें:
पार्क का परिमाप $= 250\,m$
आवश्यक तार की लंबाई $= 250\,m - 3\,m = 247\,m$
बाड़ लगाने का खर्च $= 247\,m \times Rs. 20/m = Rs. 4940$

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x, 5x$ और $7x$ मीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप $300\, m$ दिया गया है।
अतः,$3x + 5x + 7x = 300$.
$15x = 300$,जिससे $x = 20$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,त्रिभुज की भुजाएँ $3 \times 20 = 60\, m$,$5 \times 20 = 100\, m$ और $7 \times 20 = 140\, m$ हैं।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,अर्ध-परिमाप $s$ है:
$s = \frac{60 + 100 + 140}{2} = \frac{300}{2} = 150\, m$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)}\, m^2$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}\, m^2$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{6750000}\, m^2$.
क्षेत्रफल $= 1500\sqrt{3}\, m^2$.

(D) 'a' भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समबाहु त्रिभुज का परिमाप $180 \, cm$ है।
चूंकि तीनों भुजाएं समान हैं,$3a = 180 \, cm$,जिससे $a = 60 \, cm$ प्राप्त होता है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, cm$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{90(90-60)(90-60)(90-60)} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{90 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{3 \times 30 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{3 \times (30)^2 \times (30)^2} \, cm^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 30 \times 30 \times \sqrt{3} \, cm^2 = 900 \sqrt{3} \, cm^2$.

(A) त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएं $a = 122\, m, b = 120\, m, c = 22\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{122 + 120 + 22}{2}\, m = \frac{264}{2}\, m = 132\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{132(132 - 122)(132 - 120)(132 - 22)}\, m^2$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110}\, m^2$
$= \sqrt{12 \times 11 \times 10 \times 12 \times 11 \times 10}\, m^2$
$= \sqrt{12^2 \times 11^2 \times 10^2}\, m^2 = 12 \times 11 \times 10\, m^2 = 1320\, m^2$.
$1$ वर्ष ($12$ महीने) के लिए प्रति $m^2$ किराया $= Rs. 5000$.
$3$ महीने के लिए प्रति $m^2$ किराया $= Rs. 5000 \times \frac{3}{12} = Rs. 1250$.
$3$ महीने के लिए $1320\, m^2$ का कुल किराया $= 1320 \times 1250 = Rs. 16,50,000$.

(B) त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ $a = 15 \, m$,$b = 11 \, m$ और $c = 6 \, m$ हैं।
सबसे पहले,हम अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करेंगे:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 11 + 6}{2} \, m = \frac{32}{2} \, m = 16 \, m$.
अब,हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुजाकार सतह का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{16(16 - 15)(16 - 11)(16 - 6)} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 50} \, m^2$
$= \sqrt{800} \, m^2$
$= \sqrt{400 \times 2} \, m^2 = 20 \sqrt{2} \, m^2$.
अतः,रंग से रंगे गए भाग का आवश्यक क्षेत्रफल $20 \sqrt{2} \, m^2$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 18 \, cm$,$b = 10 \, cm$ और $c$ हैं।
दिया गया है कि परिमाप $(2s) = 42 \, cm$ है।
इसलिए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{42}{2} = 21 \, cm$ है।
तीसरी भुजा $c = 42 - (18 + 10) = 42 - 28 = 14 \, cm$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
मान रखने पर: क्षेत्रफल $= \sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{(3 \times 7) \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2 = \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 11} \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल $= 3 \times 7 \sqrt{11} \, cm^2 = 21 \sqrt{11} \, cm^2$ है।

(D) त्रिभुज का परिमाप $= 540 \, cm$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{540}{2} = 270 \, cm$.
माना भुजाएँ $12x, 17x,$ और $25x$ हैं।
$12x + 17x + 25x = 540 \Rightarrow 54x = 540 \Rightarrow x = 10$.
अतः,भुजाएँ $a = 120 \, cm, b = 170 \, cm, c = 250 \, cm$ हैं।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 270 - 120 = 150 \, cm$.
$s-b = 270 - 170 = 100 \, cm$.
$s-c = 270 - 250 = 20 \, cm$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} = \sqrt{81,000,000} = 9,000 \, cm^2$.

(A) त्रिभुज की समान भुजाएँ प्रत्येक $12 \, cm$ हैं।
माना तीसरी भुजा $x \, cm$ है।
चूँकि परिमाप $30 \, cm$ है,
$12 \, cm + 12 \, cm + x \, cm = 30 \, cm$
$24 \, cm + x = 30 \, cm$
$x = 30 - 24 = 6 \, cm$.
अब,अर्ध-परिमाप $s = \frac{\text{परिमाप}}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{15 \times 9 \times 9} \, cm^2 = 9 \sqrt{15} \, cm^2$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $9 \sqrt{15} \, cm^2$ है।

(A) $200 \, m, 240 \, m, 360 \, m$ भुजाओं वाले त्रिभुजाकार खेत के लिए:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{200 + 240 + 360}{2} = 400 \, m$.
गेहूँ के खेत का क्षेत्रफल = $\sqrt{400(400-200)(400-240)(400-360)} = \sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40} = \sqrt{512000000} = 16000\sqrt{2} \, m^2 \approx 22627.4 \, m^2 \approx 2.26 \, \text{हेक्टेयर}$.
$240 \, m, 320 \, m, 400 \, m$ भुजाओं वाले दूसरे त्रिभुजाकार खेत के लिए:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{240 + 320 + 400}{2} = 480 \, m$.
दूसरे खेत का क्षेत्रफल = $\sqrt{480(480-240)(480-320)(480-400)} = \sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80} = \sqrt{1474560000} = 38400 \, m^2 = 3.84 \, \text{हेक्टेयर}$.
माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
आलू के लिए क्षेत्रफल = प्याज के लिए क्षेत्रफल = $\frac{3.84}{2} = 1.92 \, \text{हेक्टेयर}$ प्रत्येक।

(C) चूंकि $AB = 9 \, m$ और $BC = 40 \, m$ तथा $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम $AC$ ज्ञात करते हैं:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \, m$.
पहला समूह समकोण त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल साफ करता है:
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, m^2$.
दूसरा समूह त्रिभुज $ACD$ का क्षेत्रफल साफ करता है जिसकी भुजाएं $41 \, m, 15 \, m$ और $28 \, m$ हैं। हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{41 + 15 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, m$.
$\Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{42(42 - 41)(42 - 15)(42 - 28)} = \sqrt{42 \times 1 \times 27 \times 14} = \sqrt{15876} = 126 \, m^2$.
पहले समूह ने $180 \, m^2$ और दूसरे समूह ने $126 \, m^2$ क्षेत्र साफ किया। पहले समूह ने $(180 - 126) = 54 \, m^2$ अधिक क्षेत्र साफ किया।
छात्रों द्वारा साफ किया गया कुल क्षेत्रफल $= 180 + 126 = 306 \, m^2$.

(A) चतुर्भुज $ABCD$ को विकर्ण $AC$ द्वारा दो त्रिभुजों,$\Delta ABC$ और $\Delta ACD$ में विभाजित किया गया है।
$\Delta ABC$ के लिए:
भुजाएँ $a = 3 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \, cm$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, cm^2$.
$\Delta ACD$ के लिए:
भुजाएँ $a = 5 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = \frac{5 + 4 + 5}{2} = 7 \, cm$.
$\Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{7(7 - 5)(7 - 4)(7 - 5)} = \sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \, cm^2$.
$\sqrt{21} \approx 4.58$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $\approx 2 \times 4.58 = 9.16 \, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \Delta ABC$ का क्षेत्रफल $+ \Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= 6 + 9.16 = 15.16 \, cm^2 \approx 15.2 \, cm^2$.

(B) सतह $I$ का क्षेत्रफल:
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $a = 5\, cm, b = 5\, cm, c = 1\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{5+5+1}{2} = 5.5\, cm$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1)} = \sqrt{5.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 4.5} = \sqrt{6.1875} \approx 2.48\, cm^{2}$.
सतह $II$ का क्षेत्रफल:
यह एक आयत है जिसकी लंबाई $6.5\, cm$ और चौड़ाई $1\, cm$ है।
क्षेत्रफल $= 6.5 \times 1 = 6.5\, cm^{2}$.
सतह $III$ का क्षेत्रफल:
यह एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समांतर भुजाएँ $1\, cm$ और $2\, cm$ हैं। ऊँचाई $h$ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात की जाती है: $h = \sqrt{1^{2} - (0.5)^{2}} = \sqrt{0.75} \approx 0.866\, cm$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 0.866 = 1.5 \times 0.866 \approx 1.3\, cm^{2}$.
सतह $IV$ और $V$ का क्षेत्रफल:
ये दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुज हैं जिनका आधार $6\, cm$ और ऊँचाई $1.5\, cm$ है।
$IV$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6 \times 1.5 = 4.5\, cm^{2}$.
$V$ का क्षेत्रफल $= 4.5\, cm^{2}$.
कुल क्षेत्रफल $= 2.48 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5 = 19.28\, cm^{2} \approx 19.3\, cm^{2}$.

(D) यहाँ,समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा $= 30\, m$ है।
एक विकर्ण $= 48\, m$ है।
चूँकि एक विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए पहले त्रिभुज की भुजाएँ $a = 30\, m, b = 30\, m, c = 48\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 30 + 48}{2}\, m = \frac{108}{2} = 54\, m$ है।
त्रिभुज $I$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{54(54 - 30)(54 - 30)(54 - 48)}\, m^{2}$ है।
$= \sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{(9 \times 6) \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{9 \times 36 \times 24^{2}}\, m^{2} = 3 \times 6 \times 24\, m^{2} = 432\, m^{2}$ है।
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल भी $432\, m^{2}$ है।
समचतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $= 432\, m^{2} + 432\, m^{2} = 864\, m^{2}$ है।
अतः,$18$ गायों के लिए घास का क्षेत्रफल $= 864\, m^{2}$ है।
$1$ गाय के लिए घास का क्षेत्रफल $= \frac{864}{18}\, m^{2} = 48\, m^{2}$ है।

(N/A) प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े की भुजाएँ $a = 20\, cm$,$b = 50\, cm$ और $c = 50\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 50 + 50}{2}\, cm = \frac{120}{2}\, cm = 60\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{60(60 - 20)(60 - 50)(60 - 50)}\, cm^2$
$= \sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10}\, cm^2 = \sqrt{240000}\, cm^2 = 200\sqrt{6}\, cm^2$.
चूंकि कुल $10$ त्रिभुजाकार टुकड़े हैं,इसलिए प्रत्येक रंग के $5$ टुकड़े हैं।
प्रत्येक रंग के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल $= 5 \times 200\sqrt{6}\, cm^2 = 1000\sqrt{6}\, cm^2$.

(N/A) त्रिभुज $I$ का क्षेत्रफल:
विकर्ण $= 32\, cm$.
चूंकि वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं,त्रिभुज $I$ की ऊंचाई (जो विकर्ण की आधी है) $= \frac{1}{2} \times 32\, cm = 16\, cm$.
त्रिभुज का आधार वर्ग का दूसरा विकर्ण है,जो $32\, cm$ है।
त्रिभुज $I$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 32\, cm \times 16\, cm = 256\, cm^2$.
त्रिभुज $II$ का क्षेत्रफल:
चूंकि वर्ग का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए त्रिभुज $II$ का क्षेत्रफल त्रिभुज $I$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
त्रिभुज $II$ का क्षेत्रफल $= 256\, cm^2$.
त्रिभुज $III$ का क्षेत्रफल:
आधार पर स्थित त्रिभुज की भुजाएं $a = 8\, cm, b = 6\, cm, c = 6\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 6 + 6}{2} = 10\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{10(10-8)(10-6)(10-6)} = \sqrt{10 \times 2 \times 4 \times 4} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}\, cm^2$.
$\sqrt{5} \approx 2.24$ लेने पर,क्षेत्रफल $\approx 8 \times 2.24 = 17.92\, cm^2$.
अतः,प्रत्येक रंग के लिए उपयोग किए गए कागज का क्षेत्रफल:
रंग $I = 256\, cm^2$,रंग $II = 256\, cm^2$,रंग $III = 17.92\, cm^2$.

(C) $16$ समान त्रिभुजाकार टाइलें हैं।
त्रिभुज की भुजाएं $a = 9\, cm, b = 28\, cm, c = 35\, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 28 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{36(36 - 9)(36 - 28)(36 - 35)} = \sqrt{36 \times 27 \times 8 \times 1} = \sqrt{7776} = 36\sqrt{6}\, cm^2$.
$\sqrt{6} \approx 2.449$ का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\approx 36 \times 2.449 = 88.164\, cm^2$.
$16$ टाइलों का कुल क्षेत्रफल $= 16 \times 88.164 = 1410.624\, cm^2$.
$50$ पैसे (या $Rs. 0.50$) प्रति $cm^2$ की दर से पॉलिश करने का खर्च $= 1410.624 \times 0.50 = Rs. 705.312$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,खर्च $Rs. 705.60$ है।

(D) दिया गया खेत एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के रूप में है,जहाँ समांतर भुजाएँ $AB = 10\, m$ और $DC = 25\, m$ हैं।
असमांतर भुजाएँ $AD = 13\, m$ और $BC = 14\, m$ हैं।
$BE \parallel AD$ खींचिए,ताकि $E$,$DC$ पर स्थित हो। तब $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$DE = AB = 10\, m$,इसलिए $EC = DC - DE = 25\, m - 10\, m = 15\, m$।
$\Delta BCE$ में,भुजाएँ $a = 13\, m$,$b = 14\, m$ और $c = 15\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, m$।
$\Delta BCE$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\, m^{2}$।
मान लीजिए $h$,$EC = 15\, m$ आधार के संगत $\Delta BCE$ की ऊँचाई है।
$\Delta BCE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 84\, m^{2}$।
$\frac{1}{2} \times 15 \times h = 84 \Rightarrow h = \frac{168}{15} = 11.2\, m$।
समांतर चतुर्भुज $ABED$ का क्षेत्रफल $= \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = AB \times h = 10 \times 11.2 = 112\, m^{2}$।
खेत का कुल क्षेत्रफल $= \Delta BCE$ का क्षेत्रफल $+$ समांतर चतुर्भुज $ABED$ का क्षेत्रफल $= 84 + 112 = 196\, m^{2}$।

(A) मान लीजिए $ABCD$ समचतुर्भुज के आकार का खेत है।
समचतुर्भुज का परिमाप $= 400\, m$.
चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएं बराबर होती हैं,इसलिए प्रत्येक भुजा $= 400\, m / 4 = 100\, m$.
अतः,$AB = BC = CD = DA = 100\, m$.
मान लीजिए विकर्ण $BD = 160\, m$.
विकर्ण समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों,$\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ में विभाजित करता है।
$\triangle ABD$ के लिए,भुजाएं $a = 100\, m$,$b = 100\, m$ और $c = 160\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ इस प्रकार है:
$s = (100 + 100 + 160) / 2 = 360 / 2 = 180\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180(180-100)(180-100)(180-160)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 80 \times 80 \times 20}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 20 \times 80^2}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{3600 \times 6400}$
क्षेत्रफल $= 60 \times 80 = 4800\, m^2$.
चूंकि जमीन को दो बराबर भागों में बांटा गया है,इसलिए उनमें से प्रत्येक को $4800\, m^2$ क्षेत्रफल मिलेगा।

(A) माना समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
दिया है: आधार $BC = 8 \, cm$ और कर्ण $AC = 10 \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$।
मान रखने पर: $10^2 = AB^2 + 8^2$।
$100 = AB^2 + 64$।
$AB^2 = 100 - 64 = 36$।
$AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$।

(C) समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3a$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $3a = 60 \, m$,इसलिए भुजा की लंबाई $a = 60 / 3 = 20 \, m$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
सूत्र में $a = 20 \, m$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (20)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100 \sqrt{3} \, m^2$.

(D) दिया गया है कि त्रिभुज की तीन भुजाएँ $a = 56 \ cm$,$b = 60 \ cm$ और $c = 52 \ cm$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $(s)$ ज्ञात करते हैं:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{56 + 60 + 52}{2} = \frac{168}{2} = 84 \ cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ होता है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{84(84 - 56)(84 - 60)(84 - 52)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{84 \times 28 \times 24 \times 32}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{1806336} = 1344 \ cm^2$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $1344 \ cm^2$ है।

(A) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
यहाँ भुजा की लंबाई $2\sqrt{3} \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4 \times 3)$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12$
$= 3\sqrt{3} \, cm^2$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = 3 \times 1.732 = 5.196 \, cm^2$।

(B) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
यहाँ क्षेत्रफल $9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ दिया गया है,इसलिए:
$9 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$9 = \frac{1}{4} \times (\text{भुजा})^2$।
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$(\text{भुजा})^2 = 36$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\text{भुजा} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$।

(C) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$ होता है।
यहाँ क्षेत्रफल $16 \sqrt{3} \, cm^{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$16 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$16 = \frac{1}{4} \times (\text{भुजा})^2$.
$4$ से गुणा करने पर:
$(\text{भुजा})^2 = 16 \times 4 = 64$.
वर्गमूल लेने पर:
$\text{भुजा} = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
समबाहु त्रिभुज का परिमाप $= 3 \times \text{भुजा}$ होता है:
$\text{परिमाप} = 3 \times 8 = 24 \, cm$.

(D) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 35 \text{ cm}$,$b = 54 \text{ cm}$ और $c = 61 \text{ cm}$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{35 + 54 + 61}{2} = \frac{150}{2} = 75 \text{ cm}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{75(75-35)(75-54)(75-61)}$
$= \sqrt{75 \times 40 \times 21 \times 14} = \sqrt{(25 \times 3) \times (8 \times 5) \times (3 \times 7) \times (2 \times 7)}$
$= \sqrt{25 \times 3^2 \times 7^2 \times 16 \times 5} = 5 \times 3 \times 7 \times 4 \sqrt{5} = 420 \sqrt{5} \text{ cm}^2$.
सबसे लंबा शीर्षलंब त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा पर स्थित होता है।
चूँकि सबसे छोटी भुजा $35 \text{ cm}$ है,इसलिए सबसे लंबा शीर्षलंब $h$ इस प्रकार होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \implies 420 \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 35 \times h$.
$h = \frac{420 \sqrt{5} \times 2}{35} = 12 \times 2 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5} \text{ cm}$.

(A) समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ $a = 4 \, cm$,$b = 4 \, cm$ और $c = 2 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \sqrt{5(5 - 4)(5 - 4)(5 - 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{5 \times 1 \times 1 \times 3}$
$\text{Area} = \sqrt{15} \, cm^2$.

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6 \, cm$,$b = 8 \, cm$ और $c = 10 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$Area = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$Area = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$
$Area = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2}$
$Area = \sqrt{576} = 24 \, cm^2$.
पेंट करने की दर $9$ पैसे प्रति $cm^2$ है,जो $Rs \, 0.09$ प्रति $cm^2$ है।
कुल खर्च $= 24 \times 0.09 = Rs \, 2.16$.

(B) यह कथन असत्य है।
हीरोन के सूत्र के अनुसार, $a, b, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ होता है, जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) है।
अर्ध-परिमाप $s$ को $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है।
दिए गए कथन में, $s$ को अर्ध-परिमाप के बजाय त्रिभुज के परिमाप के रूप में गलत तरीके से परिभाषित किया गया है।

(TRUE) माना समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $a$ हैं और आधार $b = 5 \, cm$ है।
त्रिभुज का परिमाप $11 \, cm$ दिया गया है।
अतः,$a + a + 5 = 11$.
$2a = 11 - 5 = 6$.
$a = 3 \, cm$.
समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{5}{4} \sqrt{4(3)^2 - 5^2} = \frac{5}{4} \sqrt{4(9) - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{36 - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{11} \, cm^2$.
चूँकि परिकलित क्षेत्रफल दी गई मान के बराबर है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(B) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{side})^2$ होता है।
यहाँ त्रिभुज की भुजा $8 \text{ cm}$ दी गई है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$
$\text{Area} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
चूंकि परिकलित क्षेत्रफल $16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ दिए गए क्षेत्रफल $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(TRUE) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 51 \, m$,$b = 37 \, m$ और $c = 20 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 37 + 20}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{54(54-51)(54-37)(54-20)}$
$= \sqrt{54 \times 3 \times 17 \times 34}$
$= \sqrt{(2 \times 3^3) \times 3 \times 17 \times (2 \times 17)}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17^2} = 2 \times 3^2 \times 17 = 2 \times 9 \times 17 = 306 \, m^2$.
मैदान को समतल करने का खर्च = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 306 \, m^2 \times Rs \, 3/m^2 = Rs \, 918$.
चूंकि गणना किया गया खर्च दी गई राशि से मेल खाता है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a = 11 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 13 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 12 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}$
$= \sqrt{18 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{3780} = \sqrt{36 \times 105} = 6\sqrt{105} \, cm^2$.
हम जानते हैं कि $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$.
यहाँ आधार $12 \, cm$ है,मान लीजिए शीर्षलंब $h$ है:
$6\sqrt{105} = \frac{1}{2} \times 12 \times h$
$6\sqrt{105} = 6h$
$h = \sqrt{105} \, cm$.
चूँकि $\sqrt{100} = 10$ और $\sqrt{121} = 11$,इसलिए $\sqrt{105} \approx 10.2469 \, cm$,जो लगभग $10.25 \, cm$ है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) माना त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $a = 41\, m$,$b = 40\, m$ और $c = 9\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{41 + 40 + 9}{2} = \frac{90}{2} = 45\, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{45(45 - 41)(45 - 40)(45 - 9)} = \sqrt{45 \times 4 \times 5 \times 36}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{9 \times 5 \times 4 \times 5 \times 36} = \sqrt{32400} = 180\, m^2$.
प्रत्येक गुलाब की क्यारी को $900\, cm^2$ जगह की आवश्यकता है। इसे वर्ग मीटर में बदलने पर: $900\, cm^2 = \frac{900}{10000}\, m^2 = 0.09\, m^2$.
गुलाब की क्यारियों की संख्या $= \frac{\text{कुल क्षेत्रफल}}{\text{प्रति क्यारी क्षेत्रफल}} = \frac{180}{0.09} = 2000$.

(C) त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $a = 50 \, m$,$b = 65 \, m$ और $c = 65 \, m$ हैं।
सबसे पहले,हम अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करते हैं:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{50 + 65 + 65}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-50)(90-65)(90-65)}$
$= \sqrt{90 \times 40 \times 25 \times 25}$
$= \sqrt{3600 \times 625} = 60 \times 25 = 1500 \, m^2$.
घास लगाने की लागत क्षेत्रफल और दर का गुणनफल है:
$\text{लागत} = 1500 \, m^2 \times 7 \, Rs/m^2 = 10,500 \, Rs$.

(D) फ्लाईओवर की त्रिकोणीय साइड दीवारों की भुजाएँ $a = 13 \, m$,$b = 14 \, m$ और $c = 15 \, m$ हैं।
सबसे पहले,हम अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करते हैं:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$= \sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^4} = 7 \times 3 \times 2^2 = 84 \, m^2$.
वार्षिक किराया $Rs \, 2000$ प्रति $m^2$ है।
$6$ महीने (आधे वर्ष) के लिए $1 \, m^2$ का किराया $Rs \, \frac{2000}{2} = Rs \, 1000$ है।
अतः,$6$ महीने के लिए $84 \, m^2$ का कुल किराया $84 \times 1000 = Rs \, 84,000$ है।

(D) माना $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है। माना $O$ एक आंतरिक बिंदु है,और $O$ से भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ पर डाले गए लंब क्रमशः $h_1 = 14 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$ और $h_3 = 6 \, cm$ हैं।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta OAB$,$\Delta OBC$ और $\Delta OAC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 14 = 7a \, cm^2$.
$\Delta OBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 10 = 5a \, cm^2$.
$\Delta OAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times 6 = 3a \, cm^2$.
कुल क्षेत्रफल $= 7a + 5a + 3a = 15a \, cm^2$.
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
दोनों सूत्रों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 15a$
चूँकि $a \neq 0$,$a$ से भाग देने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 15$
$a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, cm$.
अब,$a = 20\sqrt{3}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= 15 \times (20\sqrt{3}) = 300\sqrt{3} \, cm^2$.
अतः,समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $300\sqrt{3} \, cm^2$ है।

(D) मान लीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3x$ और $3x$ हैं,और आधार $2x$ है।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: $3x + 3x + 2x = 8x$.
दिया गया है कि परिमाप $32 \, cm$ है,इसलिए $8x = 32$,जिससे $x = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $12 \, cm, 12 \, cm$ और $8 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{12 + 12 + 8}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \sqrt{8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(N/A) माना कि खेत $ABCD$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल}) \quad ...(1)$
अब,$\Delta ABC$ की भुजाएँ $a = 40 \, m, b = 60 \, m$ और $c = 80 \, m$ हैं।
$\Delta ABC$ का अर्ध-परिमाप,$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{40+60+80}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-40)(90-60)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 50 \times 30 \times 10}$
$= \sqrt{1350000} = 300\sqrt{15} \, m^2 \approx 1161.895 \, m^2$.
समीकरण $(1)$ से,
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 300\sqrt{15} = 600\sqrt{15} \, m^2 \approx 2323.79 \, m^2$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $6x, 7x$ और $8x$ मीटर हैं।
दिया गया है कि परिमाप $420\, m$ है,इसलिए:
$6x + 7x + 8x = 420$
$21x = 420$
$x = 20$
अतः,भुजाएँ $a = 120\, m, b = 140\, m, c = 160\, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{420}{2} = 210\, m$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{210(210-120)(210-140)(210-160)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{210 \times 90 \times 70 \times 50}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{66150000} \approx 8133.265\, m^2$.

(B) माना $a, b, c$ दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ हैं और $s$ इसका अर्ध-परिमाप है।
अतः,$s = \frac{a+b+c}{2}$,जिसका अर्थ है $2s = a+b+c$ $...(1)$.
दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नए त्रिभुज की भुजाएँ $2a, 2b$ और $2c$ हैं।
माना $S$ नए त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
$S = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c = 2s$ $...(2)$.
नए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta' = \sqrt{S(S-2a)(S-2b)(S-2c)}$ है।
सूत्र में $S = 2s$ रखने पर:
$\Delta' = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$
$\Delta' = \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$
$\Delta' = \sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta' = 4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4\Delta$.
अतः,नए त्रिभुज के क्षेत्रफल और दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{4\Delta}{\Delta} = 4:1$ है।

(C) यह पतंग एक वर्ग $ABCD$ और नीचे एक समद्विबाहु त्रिभुज से बनी है।
दिया गया है कि वर्ग का विकर्ण $44 \, cm$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण $d$ का उपयोग करके $\text{Area} = \frac{1}{2} d^2$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 44 \times 44 = 968 \, cm^2$.
वर्ग अपने विकर्णों द्वारा चार समान त्रिभुजों में विभाजित होता है। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{968}{4} = 242 \, cm^2$ है।
चित्र से:
- लाल रंग (भाग $IV$) $= 242 \, cm^2$.
- पीला रंग (भाग $I$ और $II$) $= 242 + 242 = 484 \, cm^2$.
- हरा रंग (भाग $III$ और नीचे वाला त्रिभुज)।
नीचे वाले त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $20 \, cm, 20 \, cm, 14 \, cm$ हैं:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{20+20+14}{2} = 27 \, cm$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-20)(27-20)(27-14)} = \sqrt{27 \times 7 \times 7 \times 13} = 21 \sqrt{39} \approx 21 \times 6.245 = 131.15 \, cm^2$.
कुल हरा रंग $= 242 + 131.15 = 373.15 \, cm^2$.

(D) माना त्रिभुज की छोटी भुजा $x \, cm$ है। इसलिए,दूसरी भुजा $(x + 4) \, cm$ और तीसरी भुजा $(2x - 6) \, cm$ होगी।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है:
$x + (x + 4) + (2x - 6) = 50$
$4x - 2 = 50$
$4x = 52$
$x = 13 \, cm$.
तीनों भुजाएँ $13 \, cm$,$17 \, cm$ और $20 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{13 + 17 + 20}{2} = \frac{50}{2} = 25 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$:
क्षेत्रफल $= \sqrt{25(25 - 13)(25 - 17)(25 - 20)}$
$= \sqrt{25 \times 12 \times 8 \times 5}$
$= \sqrt{25 \times (4 \times 3) \times (4 \times 2) \times 5}$
$= 5 \times 4 \times \sqrt{3 \times 2 \times 5}$
$= 20 \sqrt{30} \, cm^2$.

(B) $\Delta ABC$ की भुजाएँ $a = 6.5\, cm$,$b = 7\, cm$ और $c = 7.5\, cm$ हैं।
$\Delta ABC$ का अर्ध-परिमाप $s$:
$s = \frac{6.5 + 7 + 7.5}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{10.5(10.5 - 6.5)(10.5 - 7)(10.5 - 7.5)}$
$= \sqrt{10.5 \times 4 \times 3.5 \times 3}$
$= \sqrt{441} = 21\, cm^2$.
चूँकि समांतर चतुर्भुज $DBCE$ समान आधार $BC$ पर बना है और इसका क्षेत्रफल $\Delta ABC$ के बराबर है:
$\text{समांतर चतुर्भुज } DBCE \text{ का क्षेत्रफल} = \Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल} = 21\, cm^2$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
$BC \times DF = 21\, cm^2$
$7\, cm \times DF = 21\, cm^2$
$DF = \frac{21}{7} = 3\, cm$.
अतः,समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई $DF = 3\, cm$ है।

(N/A) दिया गया है कि आयताकार टाइल की विमाएँ $50\, cm \times 70\, cm$ हैं।
आयताकार टाइल का क्षेत्रफल $= 50\, cm \times 70\, cm = 3500\, cm^2$.
प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ $a = 25\, cm, b = 17\, cm$ और $c = 26\, cm$ हैं।
अब,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$s = \frac{25 + 17 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{34(34 - 25)(34 - 17)(34 - 26)} = \sqrt{34 \times 9 \times 17 \times 8}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{(17 \times 2) \times 3^2 \times 17 \times (2^3)} = \sqrt{17^2 \times 2^4 \times 3^2} = 17 \times 4 \times 3 = 204\, cm^2$.
$8$ त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल $= 8 \times 204\, cm^2 = 1632\, cm^2$.
अतः,डिज़ाइन का कुल क्षेत्रफल $1632\, cm^2$ है।
टाइल का शेष क्षेत्रफल $=$ आयत का क्षेत्रफल $-$ डिज़ाइन का क्षेत्रफल।
शेष क्षेत्रफल $= 3500\, cm^2 - 1632\, cm^2 = 1868\, cm^2$.
अतः,डिज़ाइन का कुल क्षेत्रफल $1632\, cm^2$ है और टाइल का शेष क्षेत्रफल $1868\, cm^2$ है।

(N/A) $(1)$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{इसके विकर्णों का गुणनफल}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(2)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$ द्वारा प्राप्त होता है।

(B) माना कि दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ और $c = 25 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
अब,अंतर की गणना करें:
$s - a = 27 - 12 = 15 \, cm$
$s - b = 27 - 17 = 10 \, cm$
$s - c = 27 - 25 = 2 \, cm$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} \, cm^2$
$\text{क्षेत्रफल} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \, cm^2$.

(C) त्रिभुजाकार खेत के लिए,भुजाओं की लंबाई $a = 51 \,m$,$b = 52 \,m$ और $c = 53 \,m$ है।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 53}{2} = \frac{156}{2} = 78 \,m$.
अब,अंतर की गणना करें:
$s - a = 78 - 51 = 27 \,m$
$s - b = 78 - 52 = 26 \,m$
$s - c = 78 - 53 = 25 \,m$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25}$
$= \sqrt{(2 \times 3 \times 13) \times (3^3) \times (2 \times 13) \times 5^2}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 13^2 \times 5^2}$
$= 2 \times 3^2 \times 13 \times 5$
$= 1170 \,m^2$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $4x, 7x$ और $9x$ मीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप $500 \, m$ दिया गया है।
अतः,$4x + 7x + 9x = 500$.
$20x = 500 \implies x = 25$.
भुजाएँ $a = 4 \times 25 = 100 \, m$,$b = 7 \times 25 = 175 \, m$ और $c = 9 \times 25 = 225 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{500}{2} = 250 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 250 - 100 = 150 \, m$.
$s-b = 250 - 175 = 75 \, m$.
$s-c = 250 - 225 = 25 \, m$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{250 \times 150 \times 75 \times 25} = \sqrt{25^2 \times 10^2 \times 3^2 \times 5^2} = 25 \times 10 \times 3 \times 5 \sqrt{5} = 3750 \sqrt{5} \, m^2$.

(A) भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
यहाँ भुजा की लंबाई $a = 50 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (50)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2500$
$\text{Area} = 625 \sqrt{3} \, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।