Area of a Triangle by Heron's Formula Questions in Hindi

(A) $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ और $c = 17 \, cm$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
अब,क्षेत्रफल के सूत्र $\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ का उपयोग करें:
$\text{Area} = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)}$
$\text{Area} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.

(C) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 360 \, m$,$b = 450 \, m$ और $c = 450 \, m$ दी गई हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{360 + 450 + 450}{2} = \frac{1260}{2} = 630 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{630(630 - 360)(630 - 450)(630 - 450)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{630 \times 270 \times 180 \times 180}$.
क्षेत्रफल = $180 \times \sqrt{630 \times 270}$.
क्षेत्रफल = $180 \times \sqrt{(90 \times 7) \times (90 \times 3)}$.
क्षेत्रफल = $180 \times 90 \times \sqrt{7 \times 3}$.
क्षेत्रफल = $16200 \sqrt{21} \, m^2$.

(D) त्रिकोणीय प्लॉट की भुजाएँ $a = 200\,m$,$b = 210\,m$ और $c = 290\,m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{200 + 210 + 290}{2} = \frac{700}{2} = 350\,m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $(A)$:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$A = \sqrt{350(350-200)(350-210)(350-290)}$
$A = \sqrt{350 \times 150 \times 140 \times 60} = 21000\,m^2$.
घास उगाने की कुल लागत = $\text{क्षेत्रफल }\times \text{दर }= 21000 \times 5 = \text{Rs. } 105000$.

(A) दी गई भुजाएँ $a = 15\,cm$ और $b = 28\,cm$ हैं। परिमाप $P = 84\,cm$ है।
तीसरी भुजा $c = P - (a + b) = 84 - (15 + 28) = 84 - 43 = 41\,cm$.
अर्ध-परिमाप $s = P / 2 = 84 / 2 = 42\,cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{42 \times 27 \times 14 \times 1}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{(14 \times 3) \times (9 \times 3) \times 14 \times 1} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126\,cm^2$.

(B) माना समान भुजाएँ $a = 17\,cm$ और $b = 17\,cm$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप $P = 50\,cm$ है।
माना तीसरी भुजा $c$ है। अतः,$a + b + c = 50$.
$17 + 17 + c = 50 \implies 34 + c = 50 \implies c = 16\,cm$.
अर्ध-परिमाप $s = P / 2 = 50 / 2 = 25\,cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{25(25-17)(25-17)(25-16)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{25 \times 8 \times 8 \times 9}$.
क्षेत्रफल $= 5 \times 8 \times 3 = 120\,cm^2$.

(C) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 290 \, m$,$b = 290 \, m$ और $c = 400 \, m$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{290 + 290 + 400}{2} = \frac{980}{2} = 490 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{490(490-290)(490-290)(490-400)}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{490 \times 200 \times 200 \times 90}$.
क्षेत्रफल = $\sqrt{490 \times 90 \times 200^2}$.
क्षेत्रफल = $200 \times \sqrt{44100}$.
क्षेत्रफल = $200 \times 210 = 42000 \, m^2$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 13\, cm$,$b = 14\, cm$ और $c = 15\, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 2^4}$
क्षेत्रफल $= 3 \times 7 \times 2^2 = 21 \times 4 = 84\, cm^2$.

(A) $120 \, m$ भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$s = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \times 120}{2} = 180 \, m$.
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
चूंकि $a = b = c = 120 \, m$ है,इसलिए:
क्षेत्रफल $= \sqrt{180(180-120)(180-120)(180-120)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 60 \times 60 \times 60}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{180 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60^4}$
क्षेत्रफल $= 60^2 \sqrt{3} = 3600 \sqrt{3} \, m^2$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 33 \, cm$,$b = 34 \, cm$ और $c = 65 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{33 + 34 + 65}{2} = \frac{132}{2} = 66 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{66(66 - 33)(66 - 34)(66 - 65)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{66 \times 33 \times 32 \times 1}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{(2 \times 33) \times 33 \times (16 \times 2) \times 1}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{33^2 \times 2^2 \times 4^2} = 33 \times 2 \times 4 = 264 \, cm^2$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 510\,m$,$b = 520\,m$ और $c$ हैं।
परिमाप $P = a + b + c = 1560\,m$.
$510 + 520 + c = 1560 \implies 1030 + c = 1560 \implies c = 530\,m$.
अर्ध-परिमाप $s = P/2 = 1560/2 = 780\,m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{780(780-510)(780-520)(780-530)} = \sqrt{780 \times 270 \times 260 \times 250}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25 \times 10^4} = 1,17,000\,m^2$.
खर्च $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 1,17,000 \times 21 = \text{Rs. } 24,57,000$.

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 51 \, cm$,$b = 52 \, cm$ और $c = 101 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 101}{2} = \frac{204}{2} = 102 \, cm$.
अब,त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरोन के सूत्र का प्रयोग करें:
$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{Area} = \sqrt{102(102-51)(102-52)(102-101)}$
$\text{Area} = \sqrt{102 \times 51 \times 50 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{(51 \times 2) \times 51 \times (25 \times 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{51^2 \times 2^2 \times 5^2}$
$\text{Area} = 51 \times 2 \times 5 = 510 \, cm^2$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 13 \, cm$,$b = 13 \, cm$ और $c = 10 \, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s = (a + b + c) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ की गणना करें।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \times 5 \times 5 \times 8} = \sqrt{3600} = 60 \, cm^2$.
अब,$c = 10 \, cm$ आधार के संगत शीर्षलंब $h$ ज्ञात करने के लिए,सूत्र क्षेत्रफल $= (1/2) \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ का उपयोग करें।
$60 = (1/2) \times 10 \times h \implies 60 = 5h \implies h = 12 \, cm$.

(C) माना कि समान भुजाएँ $a = 30 \, cm$ और $b = 30 \, cm$ हैं।
दिया गया परिमाप $P = 84 \, cm$ है,इसलिए तीसरी भुजा $c = P - (a + b) = 84 - (30 + 30) = 84 - 60 = 24 \, cm$ होगी।
अर्ध-परिमाप $s = P / 2 = 84 / 2 = 42 \, cm$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$A = \sqrt{42(42-30)(42-30)(42-24)}$.
$A = \sqrt{42 \times 12 \times 12 \times 18}$.
$A = 12 \sqrt{42 \times 18} = 12 \sqrt{756}$.
चूंकि $756 = 36 \times 21$,इसलिए $A = 12 \times 6 \sqrt{21} = 72 \sqrt{21} \, cm^2$ प्राप्त होता है।

(A) $\triangle ABD$ में, $\angle A = 90^{\circ}$, $AB = 15 \text{ cm}$ और $AD = 8 \text{ cm}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$।
समकोण $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \text{ cm}^2$।
$\triangle BCD$ में, भुजाएँ $a = 17 \text{ cm}$, $b = 25 \text{ cm}$ और $c = 12 \text{ cm}$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{17 + 25 + 12}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}$।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-17)(27-25)(27-12)} = \sqrt{27 \times 10 \times 2 \times 15} = \sqrt{8100} = 90 \text{ cm}^2$।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \triangle ABD$ का क्षेत्रफल $+ \triangle BCD$ का क्षेत्रफल $= 60 + 90 = 150 \text{ cm}^2$।

(C) चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: $\triangle ABD$ और $\triangle BCD$।
$\triangle ABD$ के लिए,भुजाएँ $a = 9 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (9 + 12 + 15) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3} = \sqrt{2916} = 54 \, cm^2$।
$\triangle BCD$ के लिए,भुजाएँ $a = 13 \, cm$,$b = 14 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$ है।
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 54 + 84 = 138 \, cm^2$।

(D) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
हम हेरोन के सूत्र का उपयोग करके $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
$\triangle ABC$ की भुजाएँ $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ और $c = 17 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = (a + b + c) / 2 = (9 + 10 + 17) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ के क्षेत्रफल का दोगुना होता है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 36 = 72 \, cm^2$ है।

(B) चतुर्भुज $PQRS$ को विकर्ण $PR = 51 \, cm$ द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$।
$\triangle PQR$ के लिए,भुजाएँ $a = 27 \, cm$,$b = 30 \, cm$,$c = 51 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (27 + 30 + 51) / 2 = 108 / 2 = 54 \, cm$ है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{54(54-27)(54-30)(54-51)} = \sqrt{54 \times 27 \times 24 \times 3} = \sqrt{104976} = 324 \, cm^2$ है।
$\triangle PSR$ के लिए,भुजाएँ $a = 52 \, cm$,$b = 53 \, cm$,$c = 51 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (52 + 53 + 51) / 2 = 156 / 2 = 78 \, cm$ है।
$\triangle PSR$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{78(78-52)(78-53)(78-51)} = \sqrt{78 \times 26 \times 25 \times 27} = \sqrt{1368900} = 1170 \, cm^2$ है।
चतुर्भुज $PQRS$ का कुल क्षेत्रफल = $324 + 1170 = 1494 \, cm^2$ है।

(C) चतुर्भुज $XYZW$ को विकर्ण $XZ$ द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: $\triangle XYZ$ और $\triangle XZW$।
$\triangle XYZ$ के लिए,भुजाएँ $a = 25 \, m$,$b = 60 \, m$ और $c = 65 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (25 + 60 + 65) / 2 = 150 / 2 = 75 \, m$।
$\triangle XYZ$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{75(75-25)(75-60)(75-65)} = \sqrt{75 \times 50 \times 15 \times 10} = \sqrt{562500} = 750 \, m^2$।
$\triangle XZW$ के लिए,भुजाएँ $a = 65 \, m$,$b = 33 \, m$ और $c = 34 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (65 + 33 + 34) / 2 = 132 / 2 = 66 \, m$।
$\triangle XZW$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{66(66-65)(66-33)(66-34)} = \sqrt{66 \times 1 \times 33 \times 32} = \sqrt{69696} = 264 \, m^2$।
चतुर्भुज $XYZW$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle XYZ) + \text{Area}(\triangle XZW) = 750 + 264 = 1014 \, m^2$।

(B) चरण $1$: $a = 10 \, cm$,$b = 17 \, cm$ और $c = 21 \, cm$ भुजाओं वाले त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $(s)$ ज्ञात कीजिए।
$s = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24 \, cm$.
चरण $2$: हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$.
चरण $3$: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है,इसलिए $\text{क्षेत्रफल} = 84 \, cm^2$.
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
यहाँ $\text{आधार} = 12 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $12 \times \text{ऊँचाई} = 84$.
$\text{ऊँचाई} = 84 / 12 = 7 \, cm$.

(C) एक समांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण द्वारा दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित होता है। मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ और $c = 25 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना इस प्रकार है: $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$ है।
समांतर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल $2 \times 90 = 180 \, cm^2$ है।
$3$ रुपये प्रति $cm^2$ की दर से पेंट करने का कुल खर्च $180 \times 3 = 540$ रुपये है।

(A) पतंगाकार चतुर्भुज $ABCD$ दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ से बना है,जो विकर्ण $AC$ पर जुड़े हुए हैं।
चूंकि $AB = AD = 12 \, cm$ और $CB = CD = 17 \, cm$ है,$SSS$ सर्वांगसमता के अनुसार $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ है।
$\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $a = 12 \, cm, b = 17 \, cm, c = 25 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = (12 + 17 + 25) / 2 = 54 / 2 = 27 \, cm$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$ है।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 90 = 180 \, cm^2$ है।
मान लीजिए कि $BD$,$AC$ को बिंदु $O$ पर काटता है। $AC \perp BD$ है। $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= (1/2) \times AC \times BO = 90$ है।
$(1/2) \times 25 \times BO = 90 \implies BO = 180 / 25 = 7.2 \, cm$ है।
चूंकि $BD = 2 \times BO$ है,इसलिए $BD = 2 \times 7.2 = 14.4 \, cm$ है।

(B) $1$. $AD$ के समानांतर एक रेखा $CE$ खींचिए ताकि $E$, $AB$ पर स्थित हो। चूँकि $AD \parallel CE$ और $AE \parallel CD$, $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है。
$2$. अतः, $AE = CD = 20 \, cm$ और $CE = AD = 9 \, cm$ है।
$3$. $EB$ की लंबाई $AB - AE = 30 - 20 = 10 \, cm$ है।
$4$. $\triangle CEB$ में, भुजाएँ $17 \, cm$, $9 \, cm$ और $10 \, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = (17 + 9 + 10) / 2 = 18 \, cm$ है।
$5$. हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-17)(18-9)(18-10)} = \sqrt{18 \times 1 \times 9 \times 8} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$ है।
$6$. $\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $(1/2) \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = (1/2) \times 10 \times h = 36$ द्वारा भी दिया जाता है, इसलिए $h = 7.2 \, cm$ है।
$7$. समलंब $ABCD$ का क्षेत्रफल $= (1/2) \times (AB + CD) \times h = (1/2) \times (30 + 20) \times 7.2 = 25 \times 7.2 = 180 \, cm^2$ है।

(C) माना कि समान भुजाएँ $3x$ हैं और आधार $2x$ है।
त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग है: $3x + 3x + 2x = 32 \, cm$.
$8x = 32 \implies x = 4$.
अतः,भुजाएँ $a = 12 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 8 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(D) $1$. समचतुर्भुज का परिमाप $40 \, cm$ है। चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $a = 40 / 4 = 10 \, cm$ है।
$2$. मान लीजिए विकर्ण $d_1 = 12 \, cm$ और $d_2$ हैं। समचतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। विकर्णों द्वारा बने चार समकोण त्रिभुजों में से एक पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$(d_2 / 2)^2 + (d_1 / 2)^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
$3$. $(d_2 / 2)^2 + (12 / 2)^2 = 10^2 \implies (d_2 / 2)^2 + 36 = 100 \implies (d_2 / 2)^2 = 64 \implies d_2 / 2 = 8 \implies d_2 = 16 \, cm$.
$4$. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $(d_1 \times d_2) / 2 = (12 \times 16) / 2 = 96 \, cm^2$ है।
$5$. चूंकि शीट को दोनों तरफ छापा जाना है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $96 \times 2 = 192 \, cm^2$ है।
$6$. छपाई की कुल लागत $192 \times 5 = Rs. \, 960$ है।

(A) $(1)$ असत्य। $10 \, cm$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप $3 \times 10 = 30 \, cm$ होता है। अतः,अर्ध-परिमाप $s = \frac{30}{2} = 15 \, cm$ होगा,न कि $30 \, cm$।
$(2)$ असत्य। एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ $20 \, cm$ हैं। तीसरी भुजा के बिना अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ निर्धारित नहीं किया जा सकता। यदि तीसरी भुजा $0$ भी हो (जो असंभव है),तो भी अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ होगा। वास्तव में,अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ से अधिक होगा।
$(3)$ सत्य। एक समकोण त्रिभुज में जहाँ $AB = 6 \, cm$ और $BC = 8 \, cm$ है,कर्ण $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \, cm$ होगा। परिमाप $6 + 8 + 10 = 24 \, cm$ होगा। अतः,अर्ध-परिमाप $s = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ होगा।

(D) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 15 \text{ cm}$,$b = 17 \text{ cm}$ और $c = 20 \text{ cm}$ दी गई हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है: $P = a + b + c = 15 + 17 + 20 = 52 \text{ cm}$.
अर्ध-परिमाप $(s)$ को परिमाप के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है: $s = \frac{P}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ cm}$.
अतः,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $26 \text{ cm}$ है।

(A) हीरोन के सूत्र के अनुसार,$a$,$b$ और $c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में की जाती है।
अतः,सही सूत्र $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।

(C) $a, b$ और $c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है,जो $a+b+c$ है।
परिभाषा के अनुसार,अर्ध-परिमाप $(s)$ परिमाप का आधा होता है।
अतः,$s = \frac{a+b+c}{2}$।

(D) सबसे पहले,ध्यान दें कि भुजाएँ $6 \, cm$,$8 \, cm$ और $10 \, cm$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं क्योंकि $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
अर्ध-परिमाप $s = (6 + 8 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12 \, cm$ है।
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \, cm^{2}$।

(A) भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$ होता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हीरोन का सूत्र $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
चूँकि $a = b = c$ है,इसलिए सूत्र $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)} = \sqrt{s(s-a)^3}$ हो जाता है।
इसे सरल करने पर $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)^2 \cdot (s-a)} = (s-a) \sqrt{s(s-a)}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2}$ दिया गया है।
हमारे पास समीकरण हैं:
$s - a = 10 \implies a = s - 10$
$s - b = 15 \implies b = s - 15$
$s - c = 12 \implies c = s - 12$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(s - a) + (s - b) + (s - c) = 10 + 15 + 12$
$3s - (a + b + c) = 37$
चूँकि $a + b + c = 2s$,इसलिए इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3s - 2s = 37$
$s = 37$
अतः,अर्ध-परिमाप $s$ का मान $37 \, cm$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $3x$,$4x$ और $6x$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है: $P = 3x + 4x + 6x = 13x$.
अर्ध-परिमाप $s$ का मान $s = P / 2 = 13x / 2$ होता है।
दिया गया है कि अर्ध-परिमाप $s = 39 \, cm$ है,इसलिए:
$13x / 2 = 39$
$13x = 78$
$x = 78 / 13 = 6$.
त्रिभुज की भुजाएँ $3(6) = 18 \, cm$,$4(6) = 24 \, cm$ और $6(6) = 36 \, cm$ हैं।
सबसे लंबी भुजा $36 \, cm$ है।

(D) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं,जहाँ $c$ कर्ण है।
दिया गया है: $c = 29\,cm$ और $a = 21\,cm$.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $a^2 + b^2 = c^2$.
$21^2 + b^2 = 29^2$.
$441 + b^2 = 841$.
$b^2 = 841 - 441 = 400$.
$b = \sqrt{400} = 20\,cm$.
त्रिभुज का परिमाप $P = a + b + c = 21 + 20 + 29 = 70\,cm$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{P}{2} = \frac{70}{2} = 35\,cm$ है।

(A) समद्विबाहु त्रिभुज $\Delta ABC$ में,मान लीजिए $AB = AC = 13 \, cm$ और $BC = 24 \, cm$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर एक लंब $AD$ खींचिए। चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए लंब $AD$ आधार $BC$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$13^2 = AD^2 + 12^2$
$169 = AD^2 + 144$
$AD^2 = 169 - 144 = 25$
$AD = \sqrt{25} = 5 \, cm$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \, cm^2$ है।

(D) भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,आधार $a$ है और ऊंचाई $h$ की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{3a^2/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हीरोन के सूत्र में,$a$,$b$ और $c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है,जिसकी गणना $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में की जाती है।

(A) जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जाता है।
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करें,जो $s = \frac{a+b+c}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसके बाद,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।

(D) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
$a_1 = 16\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256$ होगा।
$a_2 = 8\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ होगा।
यह ज्ञात करने के लिए कि $A_1$,$A_2$ का कितना गुना है,हम अनुपात निकालते हैं: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256}{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64} = \frac{256}{64} = 4$।
अतः,$16\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $8\,cm$ भुजा वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का $4$ गुना है।

(A) समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = 10\,cm$ है।
त्रिभुज का परिमाप $P = a + a + a = 3a$ होता है।
$P = 3 \times 10 = 30\,cm$.
अर्ध-परिमाप $s$ को परिमाप के आधे के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$s = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$.

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि भुजाओं की माप $12 \, cm$,$16 \, cm$ और $20 \, cm$ एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं क्योंकि $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$ होता है।
चूंकि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
आधार $12 \, cm$ और ऊंचाई $16 \, cm$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96 \, cm^2$।

(C) त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $a = 13 \, cm$, $b = 14 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं।
सबसे पहले, अर्ध-परिमाप $(s)$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
अब, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरोन के सूत्र का उपयोग करें:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{Area} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$\text{Area} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
$\text{Area} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$\text{Area} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$
$\text{Area} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84 \, cm^2$.

(B) सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जांचें कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है: $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 48^2 = 400 + 2304 = 2704$
चूंकि $AC^2 = 52^2 = 2704$ है,इसलिए $AB^2 + BC^2 = AC^2$ है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $BC = 48 \, cm$ और ऊँचाई $AB = 20 \, cm$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 48 \times 20 = 24 \times 20 = 480 \, cm^2$.

(C) सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा जाँचें कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है: $12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$। चूँकि $37^2 = 1369$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
आधार $12 \ cm$ और ऊँचाई $35 \ cm$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 35 = 6 \times 35 = 210 \ cm^2$.

(D) त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
दिए गए मान $a = 15 \, cm$,$b = 20 \, cm$ और $s = 31 \, cm$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$31 = \frac{15 + 20 + c}{2}$
$31 \times 2 = 35 + c$
$62 = 35 + c$
$c = 62 - 35$
$c = 27 \, cm$
अतः,$c$ का मान $27 \, cm$ है।

(A) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 20 \, cm$,$b = 24 \, cm$ और $c = 32 \, cm$ हैं।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$s = \frac{20 + 24 + 32}{2}$
$s = \frac{76}{2}$
$s = 38 \, cm$
अतः,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $38 \, cm$ है।

(A) परिभाषा के अनुसार,$1$ हेक्टेयर $100$ मीटर भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल होता है।
अतः,$1$ हेक्टेयर $= 100 \text{ } m \times 100 \text{ } m = 10000 \text{ } m^{2}$.