Nature of Roots Questions in Gujarati

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $4 x^{2}+3 x+5=0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$.
હવે,પૂર્ણવર્ગ બનાવીને પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$(x + \frac{3}{8})^{2} - (\frac{3}{8})^{2} + \frac{5}{4} = 0$.
$(x + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} + \frac{80}{64} = 0$.
$(x + \frac{3}{8})^{2} + \frac{71}{64} = 0$.
$(x + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{71}{64}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,સમીકરણ $4 x^{2}+3 x+5=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+4x+5=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=4$ અને $c=5$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (4)^{2} - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,વિવેચકનું વર્ગમૂળ $\sqrt{D}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) ના. ધારો કે $p(x) = x^{2} + kx + k$. જો $p(x)$ ના શૂન્યો સમાન હોય,તો તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિવેચકનું સૂત્ર $D = B^{2} - 4AC = 0$ છે ... $(i)$.
$p(x)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{2} + Bx + C$ સાથે કરતા,આપણને $A = 1$,$B = k$,અને $C = k$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$k^{2} - 4(1)(k) = 0$
$k^{2} - 4k = 0$
$k(k - 4) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = 4$ મળે છે.
$0$ કે $4$ એ $1$ કરતા મોટી કોઈ એકી પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી,તેથી દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2} + kx + k$ માટે $k > 1$ હોય તેવા કોઈ પણ એકી પૂર્ણાંક $k$ માટે સમાન શૂન્યો શક્ય નથી.

(B) ખોટું.
ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = k x^{2} + x + k$ છે.
બહુપદીના શૂન્યો સમાન હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિવેચકનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં,$a = k$,$b = 1$,અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(k)(k) = 0$
$1 - 4k^{2} = 0$
$4k^{2} = 1$
$k^{2} = \frac{1}{4}$
$k = \pm \frac{1}{2}$
તેથી,$k$ ની બે કિંમતો $\frac{1}{2}$ અને $-\frac{1}{2}$ મળે છે,જેના માટે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો સમાન હોય છે. આમ,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\frac{-b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ $2x^2 - 3x + 6 = 0$ માટે,$a=2, b=-3$. બીજનો સરવાળો $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$.
$(B)$ $\sqrt{2}x^2 - \frac{3}{\sqrt{2}}x + 1 = 0$ માટે,$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા $2x^2 - 3x + \sqrt{2} = 0$ મળે. અહીં $a=2, b=-3$. બીજનો સરવાળો $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$.
$(C)$ $-x^2 + 3x - 3 = 0$ માટે,$a=-1, b=3$. બીજનો સરવાળો $= -(3)/(-1) = 3$.
$(D)$ $3x^2 - 3x + 3 = 0$ માટે,$3$ વડે ભાગતા $x^2 - x + 1 = 0$ મળે. અહીં $a=1, b=-1$. બીજનો સરવાળો $= -(-1)/1 = 1$.
આમ,જે સમીકરણના બીજનો સરવાળો $3$ છે તે $-x^2 + 3x - 3 = 0$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-kx+k=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$,$b=-k$ અને $c=k$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ.
$D = b^{2}-4ac = 0$
કિંમતો મૂકતા,$(-k)^{2}-4(2)(k) = 0$ મળે છે.
$k^{2}-8k = 0$
$k$ સામાન્ય લેતા,$k(k-8) = 0$ મળે છે.
તેથી,$k=0$ અથવા $k=8$.
આમ,$k$ ની જરૂરી કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - \sqrt{5}x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = -\sqrt{5}, c = 1$.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4(2)(1) = 5 - 8 = -3$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (એટલે કે,તેના બીજ કાલ્પનિક છે).

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2}-4ac > 0$ હોય,તો તેના બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોય છે.
$(a)$ $2x^{2}-3\sqrt{2}x+\frac{9}{4}=0$ માટે,$a=2, b=-3\sqrt{2}, c=\frac{9}{4}$.
$D = (-3\sqrt{2})^{2}-4(2)(\frac{9}{4}) = 18-18 = 0$. અહીં $D=0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
$(b)$ $x^{2}+3x+2\sqrt{2}=0$ માટે,$a=1, b=3, c=2\sqrt{2}$.
$D = (3)^{2}-4(1)(2\sqrt{2}) = 9-8\sqrt{2} < 0$. અહીં $D < 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક નથી.
$(c)$ $x^{2}+x-5=0$ માટે,$a=1, b=1, c=-5$.
$D = (1)^{2}-4(1)(-5) = 1+20 = 21$. અહીં $D>0$ હોવાથી,બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક છે.
$(d)$ $5x^{2}-3x+1=0$ માટે,$a=5, b=-3, c=1$.
$D = (-3)^{2}-4(5)(1) = 9-20 = -11 < 0$. અહીં $D < 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને વાસ્તવિક બીજ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ. જો $D < 0$ હોય,તો સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
$A)$ $3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 0$ માટે,$D = (4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0$. $D = 0$ હોવાથી,તેના વાસ્તવિક અને સમાન બીજ છે.
$B)$ $x^2 - 4x - 3\sqrt{2} = 0$ માટે,$D = (-4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$. તેના વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.
$C)$ $x^2 + 4x - 3\sqrt{2} = 0$ માટે,$D = (4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$. તેના વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.
$D)$ $x^2 - 4x + 3\sqrt{2} = 0$ માટે,$D = (-4)^2 - 4(1)(3\sqrt{2}) = 16 - 12\sqrt{2}$. $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$12\sqrt{2} \approx 16.968$ થાય. તેથી,$D = 16 - 16.968 = -0.968 < 0$. આમ,આ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ છે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{4}+1+2x^{2}-x^{2}=0$,જેનું સાદું રૂપ $x^{4}+x^{2}+1=0$ થાય છે.
ધારો કે $x^{2}=y$. કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $x^{2} \ge 0$,એટલે કે $y \ge 0$.
સમીકરણ $y^{2}+y+1=0$ બને છે.
$ay^{2}+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=1, c=1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(1)(1) = 1-4 = -3$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,$y$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
તેથી,મૂળ સમીકરણ $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(NO) સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા તેને સાદું રૂપ આપીશું:
$(x-1)^{2}+2(x+1)=0$
$(x^{2}-2x+1)+2x+2=0$
$x^{2}+3=0$
હવે,આપણે આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવીએ,જ્યાં $a=1, b=0, c=3$ છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (0)^{2}-4(1)(3) = -12$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ ધ્યાનમાં લો.
જો $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોય,તો $b = 0$ થાય અને સમીકરણ $ax^2 + c = 0$ બને છે.
આ સમીકરણના બીજ $x^2 = -c/a$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{-c/a}$.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,આપણે $-c/a \geq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $c/a \leq 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $a$ અને $c$ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોય અથવા જો $c = 0$ હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $x^2 - 4 = 0$ હોય,તો $x^2 = 4$,તેથી $x = \pm 2$,જે વાસ્તવિક બીજ છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-3x+4=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=-3, c=4$.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-3)^{2} - 4(1)(4)$
$D = 9 - 16$
$D = -7$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x+4=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી. તેથી,તેને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2 x^{2}+x-1=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$,$b=1$ અને $c=-1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4 a c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (1)^{2}-4(2)(-1) = 1+8 = 9$ મળે છે.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2 x^{2}-6 x+\frac{9}{2}=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2, b=-6, c=\frac{9}{2}$.
બીજના સ્વરૂપને નક્કી કરવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$D = (-6)^{2} - 4(2)(\frac{9}{2})$
$D = 36 - 36 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે સમાન વાસ્તવિક બીજ છે. તેથી,તેને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3 x^{2}-4 x+1=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=3, b=-4, c=1$.
વિવેચક $D$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-4)^{2} - 4(3)(1)$
$D = 16 - 12$
$D = 4$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(NO) આપેલ સમીકરણ $(x+4)^{2}-8x=0$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}+16+8x-8x=0$ ($(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા).
સાદું રૂપ આપતા: $x^{2}+16=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં લખતા: $x^{2}+0x+16=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=0, c=16$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D=(0)^{2}-4(1)(16) = 0-64 = -64$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (તેને બે કાલ્પનિક બીજ છે).

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-\sqrt{2})^{2}-2(x+1)=0$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}-2\sqrt{2}x+2-2x-2=0$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^{2}-(2+2\sqrt{2})x=0$.
તેને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-(2+2\sqrt{2}), c=0$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-(2+2\sqrt{2}))^{2}-4(1)(0)$.
$D = (2+2\sqrt{2})^{2} = 4 + 8 + 8\sqrt{2} = 12+8\sqrt{2}$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=\sqrt{2}$,$b=-\frac{3}{\sqrt{2}}$,અને $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = \left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{2} - 4(\sqrt{2})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$D = \frac{9}{2} - 4$
$D = \frac{9-8}{2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $D = \frac{1}{2} > 0$ હોવાથી,વિવેચક ધન છે.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(NO) આપેલ સમીકરણ $x(1-x)-2=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x-x^{2}-2=0$ મળે છે.
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં ગોઠવતા,આપણને $x^{2}-x+2=0$ મળે છે.
આને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-1, c=2$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D=(-1)^{2}-4(1)(2) = 1-8 = -7$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x+2=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (તેને બે ભિન્ન કાલ્પનિક બીજ છે).

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-1)(x+2)+2=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^{2} + 2x - x - 2 + 2 = 0$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^{2} + x = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = 1, c = 0$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (1)^{2} - 4(1)(0) = 1 - 0 = 1$ મળે છે.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x+1)(x-2)+x=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x + x - 2 + x = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 - 2 = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 1, b = 0, c = -2$
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (0)^2 - 4(1)(-2) = 0 + 8 = 8$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(N/A) $(i)$ ખોટું. $ax^{2} + bx + c = 0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણને બરાબર બે બીજ હોય છે,જે વાસ્તવિક અથવા સંકર હોઈ શકે છે.
$(ii)$ ખોટું. દરેક દ્વિઘાત સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $x^{2} + 4 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી કારણ કે $x^{2} = -4$,અને કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.

(B) આ વિધાન ખોટું છે. પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ પૂર્ણાંક હોય તે જરૂરી નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + x - 6 = 0$ ધ્યાનમાં લો, જ્યાં સહગુણકો $2, 1, \text{અને } -6$ પૂર્ણાંક છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{4}$
આનાથી બે બીજ મળે છે: $x_1 = \frac{6}{4} = 1.5$ અને $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$.
અહીં $1.5$ એ પૂર્ણાંક નથી, તેથી પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ પૂર્ણાંક જ હોય તેવો દાવો ખોટો છે.

(A) હા,આવું દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + x - 4 = 0$ ને ધ્યાનમાં લો. અહીં,સહગુણકો $2, 1$ અને $-4$ એ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
તેથી બીજ $\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ અને $\frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ છે. કારણ કે $\sqrt{33}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી બંને બીજ અસંમેય છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2}+bx+c=0$ ....$(i)$
સમીકરણ $(i)$ માં $b=0$ મૂકતા:
$x^{2}+0(x)+c=0$
$x^{2}+c=0$
$x^{2}=-c$
અહીં આપેલ છે કે $c < 0$,ધારો કે $c = -k$ જ્યાં $k > 0$. તો:
$x^{2} = -(-k) = k$
$x = \pm \sqrt{k}$
આમ,બીજ $\sqrt{k}$ અને $-\sqrt{k}$ મળે છે.
આ બીજ સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે (બંનેનું મૂલ્ય $\sqrt{k}$ છે) અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ છે (એક ધન અને એક ઋણ છે). તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1$ મળે છે.
સૌ પ્રથમ,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરો.
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
પગલું $1$: $x^{2}$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
પગલું $2$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$.
પગલું $3$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{1}{4}$ થાય. બંને બાજુ $(\frac{1}{4})^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = -2 + \frac{1}{16}$.
પગલું $4$: સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{32}{16} + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{31}{16}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $(x + \frac{1}{4})^{2}$ ની કિંમત $-\frac{31}{16}$ હોઈ શકે નહીં.
આથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4, b=4 \sqrt{3}, c=3$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4 a c = (4 \sqrt{3})^{2} - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0$ શોધો.
અહીં $D=0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}$
$x = \frac{-4 \sqrt{3}}{8}$
$x = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.
આમ,બીજ $x = \frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2}$ છે.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + x + 4 = 0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = 1, c = 4$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{4}$
અહીં વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = -31$ છે,જે $0$ કરતા નાનો છે. ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=2$,$b=-4$ અને $c=3$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-4)^{2} - (4 \times 2 \times 3)$
$D = 16 - 24$
$D = -8$
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2}-2x+\frac{1}{3}=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, b=-2, c=\frac{1}{3}$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4(3)(\frac{1}{3}) = 4-4 = 0$.
અહીં $D=0$ હોવાથી,સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b}{2a}$ છે.
$x = \frac{-(-2)}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ જો $D > 0$ હોય,તો બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
$(B)$ જો $D = 0$ હોય,તો બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
$(C)$ જો $D < 0$ હોય,તો કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3x + 5 = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 2$,$b = -3$,$c = 5$.
વિવેચકની ગણતરી કરતા:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5)$
$D = 9 - 40 = -31$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
$(A)$ જો $D > 0$ હોય,તો બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(B)$ જો $D = 0$ હોય,તો બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(C)$ જો $D < 0$ હોય,તો વાસ્તવિક બીજનું અસ્તિત્વ નથી.
આપેલ સમીકરણ: $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -4\sqrt{3}$,અને $c = 4$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4)$.
$D = 48 - 48 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b}{2a}$ છે.
$x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,બીજ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ જો $D > 0$ હોય,તો બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(B)$ જો $D = 0$ હોય,તો બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(C)$ જો $D < 0$ હોય,તો વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 6x + 3 = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, b = -6, c = 3$.
વિવેચક $D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$.
આમ,બીજ $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ અને $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2}+b x+c=0$ ના બે સમાન બીજ હોય,તો તેનો વિવેચક $D = (b^{2}-4 a c)$ શૂન્ય $(0)$ હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $2 x^{2}+k x+3=0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2, b=k, c=3$
વિવેચકનું સૂત્ર:
$D = b^{2}-4 a c$
$D = (k)^{2}-4(2)(3)$
$D = k^{2}-24$
સમાન બીજ માટે,વિવેચકને $0$ લેતા:
$k^{2}-24 = 0$
$k^{2} = 24$
$k = \pm \sqrt{24}$
$k = \pm 2 \sqrt{6}$

(K=6) આપેલ સમીકરણ: $k x(x-2)+6=0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $k x^{2}-2 k x+6=0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=k, b=-2 k, c=6$
દ્વિઘાત સમીકરણના બે સમાન બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D$ ની કિંમત $0$ હોવી જોઈએ:
$D = b^{2}-4 a c = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$(-2 k)^{2}-4(k)(6) = 0$
$4 k^{2}-24 k = 0$
$4k$ સામાન્ય કાઢતા:
$4 k(k-6) = 0$
આથી બે શક્યતાઓ મળે છે: $4 k=0$ અથવા $k-6=0$,જેનો અર્થ છે કે $k=0$ અથવા $k=6$.
જો કે,જો $k=0$ હોય,તો સમીકરણ $6=0$ બની જાય છે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી. તેથી,$k=0$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,$k$ ની માત્ર એક જ માન્ય કિંમત $k=6$ છે.

(D) ધારો કે એક મિત્રની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
બીજા મિત્રની ઉંમર $(20-x)$ વર્ષ થશે.
ચાર વર્ષ પહેલાં,પ્રથમ મિત્રની ઉંમર $(x-4)$ વર્ષ હતી.
બીજા મિત્રની ઉંમર $(20-x-4) = (16-x)$ વર્ષ હતી.
આપેલ શરત મુજબ:
$(x-4)(16-x) = 48$
$16x - x^2 - 64 + 4x = 48$
$-x^2 + 20x - 64 = 48$
$-x^2 + 20x - 112 = 0$
$x^2 - 20x + 112 = 0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-20, c=112$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી.
તેથી,આપેલી પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા, $a = 6, b = -7, c = 2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(6)(2) = 49 - 48 = 1$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી, સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
પૂર્ણવર્ગની રીત માટે, સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા: $x^2 - (7/6)x + 1/3 = 0$.
તેને $x^2 - 2(7/12)x = -1/3$ તરીકે લખો.
બંને બાજુ $(7/12)^2$ ઉમેરતા: $x^2 - 2(7/12)x + (7/12)^2 = -1/3 + 49/144$.
$(x - 7/12)^2 = (-48 + 49) / 144 = 1/144$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 7/12 = \pm 1/12$.
કિસ્સો $1$: $x = 7/12 + 1/12 = 8/12 = 2/3$.
કિસ્સો $2$: $x = 7/12 - 1/12 = 6/12 = 1/2$.
આમ, બીજ $1/2$ અને $2/3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $8 x^{2}+2 x-3=0$ છે.
$a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=8, b=2$ અને $c=-3$ મળે છે.
વિવેચક,$D = b^{2}-4 a c = (2)^{2}-4(8)(-3) = 4+96 = 100$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(8)} = \frac{-2 \pm 10}{16}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-2+10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-2-10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{2}$ અને $-\frac{3}{4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $-2x^{2} + 3x + 2 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -2, b = 3, c = 2$.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
$D = (3)^{2} - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 5}{-4}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$.
આમ,બીજ $-\frac{1}{2}$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $5x^{2}-2x-10=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=5, b=-2, c=-10$.
પ્રથમ,આપણે વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (-2)^{2} - 4(5)(-10)$
$D = 4 + 200 = 204$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{204}}{2(5)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \times 51}}{10}$
$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{51}}{10}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{51}}{5}$.
આમ,બીજ $\frac{1+\sqrt{51}}{5}$ અને $\frac{1-\sqrt{51}}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-5} = 1$ છે.
ડાબી બાજુનો લસાઅ લેતા:
$\frac{(x-5) + (2x-3)}{(2x-3)(x-5)} = 1$
$\frac{3x-8}{2x^2 - 13x + 15} = 1$
$3x - 8 = 2x^2 - 13x + 15$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2x^2 - 16x + 23 = 0$
અહીં $a = 2, b = -16, c = 23$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(2)(23) = 256 - 184 = 72$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{72}}{4} = 4 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલની ગણતરી મુજબ,જો સમીકરણ $2x^2 - 18x + 33 = 0$ હોય,તો બીજ $\frac{9 \pm \sqrt{15}}{2}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0$ છે.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=5 \sqrt{5}$ અને $c=-70$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (5 \sqrt{5})^{2}-4(1)(-70) = 125 + 280 = 405$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)} = \frac{-5 \sqrt{5} \pm 9 \sqrt{5}}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{-14 \sqrt{5}}{2} = -7 \sqrt{5}$.
આમ,બીજ $2 \sqrt{5}$ અને $-7 \sqrt{5}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 7$,અને $c = 5$ છે.
$D = (7)^2 - 4(3)(5) = 49 - 60 = -11$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,વિવેચકનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 7x + 5 = 0$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5x+1=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=5, c=1$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D = b^{2}-4ac$
કિંમતો મૂકતા:
$D = (5)^{2}-4(1)(1)$
$D = 25-4$
$D = 21$.
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $21$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} - bx + 3 = 0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{2} + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = 9$,$B = -b$,અને $C = 3$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = B^{2} - 4AC$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$D = (-b)^{2} - 4(9)(3)$.
$D = b^{2} - 108$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{5} x^{2}-2 \sqrt{2} x-2 \sqrt{5}=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \sqrt{5}$,$b = -2\sqrt{2}$,અને $c = -2\sqrt{5}$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-2\sqrt{2})^{2} - 4(\sqrt{5})(-2\sqrt{5})$
$D = (4 \times 2) - 4(-2 \times 5)$
$D = 8 - (-40)$
$D = 8 + 40 = 48$.
આમ,વિવેચકનું મૂલ્ય $48$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = -2\sqrt{6}$ અને $c = 3$ મળે છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-2\sqrt{6})^{2} - 4(2)(3)$
$D = 24 - 24 = 0$
અહીં $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
$D = 0$ હોવાથી,$x = \frac{-b}{2a}$ થશે.
$x = \frac{-(-2\sqrt{6})}{2(2)} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ અને $\frac{\sqrt{6}}{2}$ છે.

(NONE) આપેલ સમીકરણ $9x^{2} - 5x + 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 9, b = -5, c = 3$.
હવે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (-5)^{2} - 4(9)(3)$
$D = 25 - 108$
$D = -83$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,$D$ નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} - 5x + 3 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.