Nature of Roots Questions in Gujarati

(A) $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2x-2=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=2$ અને $c=-2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (2)^{2} - 4(1)(-2)$
$D = 4 - (-8)$
$D = 4 + 8$
$D = 12$.
તેથી,વિવેચક $12$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$4x^{2} - 12x + 9 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = -12$ અને $c = 9$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-12)^{2} - 4(4)(9)$ મળે છે.
$D = 144 - 144$.
$D = 0$.
તેથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $0$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$x^{2}-5x-14=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-5$,અને $c=-14$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $D=(-5)^{2}-4(1)(-14)$ મળે છે.
$D=25+56$.
$D=81$.
તેથી,વિવેચક $81$ છે.

(D) $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-7x+10=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-7$ અને $c=10$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-7)^{2} - 4(1)(10)$
$D = 49 - 40$
$D = 9$
આમ,વિવેચક $9$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^{2} - 12x + 16 = 0$ માં,સહગુણકો $a = 3$,$b = -12$ અને $c = 16$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-12)^{2} - 4(3)(16)$
$D = 144 - 192$
$D = -48$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $-48$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
$5x^{2} - 4\sqrt{2}x - 1 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 5$,$b = -4\sqrt{2}$,અને $c = -1$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-4\sqrt{2})^{2} - 4(5)(-1)$
$D = (16 \times 2) + 20$
$D = 32 + 20$
$D = 52$.
આમ,વિવેચક $52$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^{2} + 2x - 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = 2$ અને $c = -1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (2)^{2} - 4(5)(-1)$ મળે છે.
$D = 4 + 20 = 24$.
તેથી,વિવેચક $24$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{5} x^{2} - 3 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{5} = 0$.
અહીં,$a = \sqrt{5}$,$b = -3 \sqrt{3}$,અને $c = -2 \sqrt{5}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-3 \sqrt{3})^{2} - 4(\sqrt{5})(-2 \sqrt{5})$
$D = (9 \times 3) - 4(-2 \times 5)$
$D = 27 - 4(-10)$
$D = 27 + 40$
$D = 67$.
આમ,વિવેચક $67$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -3$,અને $c = -2$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $D > 0$,વાસ્તવિક ઉકેલો અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2(5)} = \frac{3 \pm 7}{10}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.
આમ,ઉકેલો $-\frac{2}{5}$ અને $1$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^2 + 6x + 4 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 9$,$b = 6$ અને $c = 4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (6)^2 - 4(9)(4) = 36 - 144 = -108$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,$D$ નું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,આ સમીકરણનો $R$ માં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $am^{2} + bm + c = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a = 48$,$b = -13$,અને $c = -1$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-13)^{2} - 4(48)(-1) = 169 + 192 = 361$ શોધો.
કારણ કે $D > 0$ છે,તેથી વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
$m = \frac{-(-13) \pm \sqrt{361}}{2(48)} = \frac{13 \pm 19}{96}$.
કિસ્સો $1$: $m = \frac{13 + 19}{96} = \frac{32}{96} = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $m = \frac{13 - 19}{96} = \frac{-6}{96} = -\frac{1}{16}$.
આમ,ઉકેલો $\frac{1}{3}$ અને $-\frac{1}{16}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = 12$,અને $c = 10$ છે.
$D = (12)^{2} - 4(5)(10)$
$D = 144 - 200$
$D = -56$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(D) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજ શોધવાનું સૂત્ર: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a = 25$,$b = 20$,અને $c = 7$ છે.
સૌ પ્રથમ,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (20)^2 - 4(25)(7)$
$D = 400 - 700$
$D = -300$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે, બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$.
અહીં, $a = 3$, $b = -2$, અને $c = 2$ છે.
પ્રથમ, વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરો.
$D = (-2)^{2} - 4(3)(2) = 4 - 24 = -20$.
વિવેચક $D < 0$ હોવાથી, સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
સંકર બીજ $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-20}}{2(3)} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{5}}{6} = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{3}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 2$, $b = -2\sqrt{2}$, અને $c = 1$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
પ્રથમ, વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $D = 0$ હોવાથી, સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ $x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ, બીજ $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3}x^{2} - 2x + \sqrt{3} = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{3}$,$b = -2$,અને $c = \sqrt{3}$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ.
$D = (-2)^{2} - 4(\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$D = 4 - 4(3) = 4 - 12 = -8$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,સમીકરણને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + x - 2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 3, b = 1, c = -2$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(3)(-2)$
$D = 1 + 24 = 25$.
અહીં $D = 25 > 0$ છે,જે ધન છે અને પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે.
તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન,વાસ્તવિક અને સંમેય બીજ મળે છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5x+5=0$ ને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=5, c=5$
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (5)^{2} - 4(1)(5)$
$D = 25 - 20$
$D = 5$
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે. વધુમાં,$5$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,બીજ અસંમેય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + x - 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$a = 4$,$b = 1$,અને $c = -3$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (1)^{2} - 4(4)(-3)$ મળે છે.
$D = 1 + 48 = 49$.
અહીં $D = 49 > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
વધુમાં,$49$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ સંમેય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 11x + 10 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 4, b = 11, c = 10$
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (11)^{2} - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 12x + 9 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 4, b = 12, c = 9$.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (12)^{2} - 4(4)(9)$
$D = 144 - 144$
$D = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન (પુનરાવર્તિત) છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=-2 \sqrt{2}, c=1$
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D=(-2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(1)$
$D=(4 \times 2)-4$
$D=8-4=4$
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(C) સમીકરણ $(k+1) x^{2}-2(k+3) x+(2 k+3)=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a = k+1, b = -2(k+3), c = 2k+3$
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = b^{2} - 4ac = 0$
$(-2(k+3))^{2} - 4(k+1)(2k+3) = 0$
$4(k^{2} + 6k + 9) - 4(2k^{2} + 3k + 2k + 3) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(k^{2} + 6k + 9) - (2k^{2} + 5k + 3) = 0$
$k^{2} + 6k + 9 - 2k^{2} - 5k - 3 = 0$
$-k^{2} + k + 6 = 0$
$k^{2} - k - 6 = 0$
$(k-3)(k+2) = 0$
તેથી,$k = 3$ અથવા $k = -2$ મળે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-(k+10)x+9(k+1)=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=-(k+10), c=9(k+1)$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = b^{2}-4ac = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$( -(k+10) )^{2} - 4(1)(9(k+1)) = 0$
$(k+10)^{2} - 36(k+1) = 0$
$k^{2} + 20k + 100 - 36k - 36 = 0$
$k^{2} - 16k + 64 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે:
$(k-8)^{2} = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k-8 = 0$
$k = 8$
આમ,$k$ ની કિંમત $8$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{1}{4} x^{2} - 2x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{4}$,$b = -2$,અને $c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-2)^{2} - 4(\frac{1}{4})(1)$.
$D = 4 - 1 = 3$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x(x - 5) = 36$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x = 36$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - 5x - 36 = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = -5$,અને $c = -36$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-5)^2 - 4(1)(-36)$.
$D = 25 + 144 = 169$.
અહીં $D > 0$ છે અને $169$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -6$,અને $c = 2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $D = (-6)^{2} - 4(5)(2)$.
$D = 36 - 40 = -4$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^{2} - 4\sqrt{5}x + 4 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = -4\sqrt{5}$ અને $c = 4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-4\sqrt{5})^{2} - 4(5)(4)$.
$D = (16 \times 5) - 80 = 80 - 80 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} - 18x + 27 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -18$ અને $c = 27$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-18)^{2} - 4(3)(27)$.
$D = 324 - 324 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને સમાન છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$x^{2} + x - 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 1, c = -3$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(1)(-3)$
$D = 1 + 12 = 13$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} = 9$ છે,જેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં $x^{2} + 0x - 9 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a = 1$,$b = 0$,અને $c = -9$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (0)^{2} - 4(1)(-9) = 0 + 36 = 36$ મળે છે.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $(6^{2} = 36)$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x-15=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-2$ અને $c=-15$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-2)^{2} - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $(8^{2} = 64)$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$4x^{2}-6x+2=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4$,$b=-6$,અને $c=2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $D = (-6)^{2} - 4(4)(2) = 36 - 32 = 4$.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને ભિન્ન છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$x^{2} + x + \frac{1}{4} = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 1$,અને $c = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $D = (1)^{2} - 4(1)(\frac{1}{4}) = 1 - 1 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક,સંમેય અને સમાન છે.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $k x^{2} - 24 x + 16 = 0$ માટે,$a = k$,$b = -24$ અને $c = 16$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-24)^{2} - 4(k)(16) = 0$
$576 - 64k = 0$
$64k = 576$
$k = \frac{576}{64}$
$k = 9$.
તેથી,$k$ ની કિંમત $9$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો તેના બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય,તો તેનો વિવેચક $D = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$,$b = 2k$,અને $c = 4$ છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$.
$D = 0$ લેતા,આપણને $(2k)^{2} - 4(1)(4) = 0$ મળે છે.
$4k^{2} - 16 = 0$.
$4k^{2} = 16$.
$k^{2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $k = \pm 2$ મળે છે.

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^{2} - 18x + k = 0$ માં,સહગુણકો આ મુજબ છે: $a = 3$,$b = -18$,અને $c = k$.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-18)^{2} - 4(3)(k) = 0$
$324 - 12k = 0$
$12k = 324$
$k = \frac{324}{12} = 27$.
તેથી,$k$ ની કિંમત $27$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x(4 - kx) = 3 - 2x$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $4x - kx^2 = 3 - 2x$.
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $kx^2 - 6x + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = k$,$b = -6$,અને $c = 3$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા: $(-6)^2 - 4(k)(3) = 0$.
$36 - 12k = 0$.
$12k = 36$.
$k = 3$.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $16x^{2} - 40x + \frac{k-1}{2} = 0$.
અહીં,$a = 16$,$b = -40$,અને $c = \frac{k-1}{2}$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-40)^{2} - 4(16)\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 64\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 32(k-1) = 0$
$1600 - 32k + 32 = 0$
$1632 = 32k$
$k = \frac{1632}{32} = 51$.
આમ,$k$ ની કિંમત $51$ છે.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $x^{2} - kx + 25 = 0$.
અહીં,$a = 1$,$b = -k$,અને $c = 25$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-k)^{2} - 4(1)(25) = 0$
$k^{2} - 100 = 0$
$k^{2} = 100$
$k = \pm \sqrt{100}$
$k = 10$ અથવા $k = -10$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $10$ અને $-10$ છે.

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $5x^{2} - 2kx + 20 = 0$.
અહીં,$a = 5$,$b = -2k$,અને $c = 20$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-2k)^{2} - 4(5)(20) = 0$
$4k^{2} - 400 = 0$
$4k^{2} = 400$
$k^{2} = 100$
$k = \pm 10$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $10$ અને $-10$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (k+1)$,$b = -2(k-1)$,અને $c = 1$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = [-2(k-1)]^2 - 4(k+1)(1) = 0$
$4(k-1)^2 - 4(k+1) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(k-1)^2 - (k+1) = 0$
$k^2 - 2k + 1 - k - 1 = 0$
$k^2 - 3k = 0$
$k(k-3) = 0$
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = 3$ મળે છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બે સમાન અને વાસ્તવિક બીજ હોય ત્યારે વિવેચક $D$ ની કિંમત $0$ થાય છે.
$D = b^2 - 4ac = 0$
અહીં,$a = 2k$,$b = -8$,અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-8)^2 - 4(2k)(k) = 0$
$64 - 8k^2 = 0$
$8k^2 = 64$
$k^2 = 8$
$k = \pm\sqrt{8}$
$k = \pm 2\sqrt{2}$
આમ,$k$ ની કિંમતો $-2\sqrt{2}$ અને $2\sqrt{2}$ છે.

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $4x^{2} - 5x + k = 0$ માં,$a = 4$,$b = -5$ અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (-5)^{2} - 4(4)(k) = 0$
$25 - 16k = 0$
$16k = 25$
$k = \frac{25}{16}$

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય તો બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય છે.
આપેલ સમીકરણ: $k x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 4 = 0$.
અહીં,$a = k$,$b = -2 \sqrt{5}$,અને $c = 4$.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-2 \sqrt{5})^{2} - 4(k)(4) = 0$
$(4 \times 5) - 16k = 0$
$20 - 16k = 0$
$16k = 20$
$k = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + 5x - k = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 5$ અને $c = -k$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં $D = 81$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
આમ,$k$ ની કિંમત $7$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k x^{2}-4 x-4=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=k$,$b=-4$,અને $c=-4$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
અહીં $D = 64$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$64 = (-4)^{2}-4(k)(-4)$
$64 = 16 + 16k$
બંને બાજુથી $16$ બાદ કરતા:
$48 = 16k$
$16$ વડે ભાગતા:
$k = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(3x - 14)^2 = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $9x^2 - 84x + 196 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 9$,$b = -84$,અને $c = 196$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-84)^2 - 4(9)(196)$.
$D = 7056 - 7056 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,$(px + q)^2 = 0$ સ્વરૂપના કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે બીજ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિવેચક $D$ હંમેશા $0$ હોય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x+2)(x-5)=0$ છે.
કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં લખતા: $x^2 - 3x - 10 = 0$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-3$,અને $c=-10$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-3)^2 - 4(1)(-10)$.
$D = 9 + 40 = 49$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત છે,તેથી $\beta = 1/\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \cdot \beta = 1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = c/a$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $6x^2 - 13x + m = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$,$b = -13$ અને $c = m$ મળે છે.
આ કિંમતોને બીજના ગુણાકારના સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = m/6$.
તેથી,$m = 6$.