Mean of Grouped Data Questions in Hindi

(C) सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ का उपयोग वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
इस सूत्र में,$f_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल की आवृत्ति को दर्शाता है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल के वर्ग चिह्न (मध्यमान) को दर्शाता है।
प्रतीक $\Sigma$ योग को दर्शाता है।
अतः,$\Sigma f_{i}$ सभी वर्गों की आवृत्तियों का योग दर्शाता है,जिसे अक्सर $N$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है।

(A) दिया गया सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) है।
इस सूत्र में,$A$ कल्पित माध्य को दर्शाता है।
$x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है।
$d_{i}$ वर्ग चिह्न का कल्पित माध्य से विचलन है,जिसे $d_{i} = x_{i} - A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि (Step-Deviation Method) को दर्शाता है।
इस सूत्र में,$A$ कल्पित माध्य है,$c$ वर्ग माप (चौड़ाई) है,और $x_{i}$ वर्ग चिह्न है।
चर $u_{i}$ को कल्पित माध्य से वर्ग चिह्न के विचलन को वर्ग माप से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अतः,$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$।

(C) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य के सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ में:
$\bar{x}$ आंकड़ों का माध्य दर्शाता है।
$f_{i}$ $i$ वें वर्ग की बारंबारता दर्शाता है।
$x_{i}$ $i$ वें वर्ग का वर्ग-चिह्न या मध्य-मान दर्शाता है,जिसकी गणना $\frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$ द्वारा की जाती है।
अतः,$x_{i}$ $i$ वें वर्ग का मध्य-मान दर्शाता है।

(D) वर्ग अंतराल का मध्य-बिंदु (वर्ग चिह्न) ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{मध्य-बिंदु} = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$।
वर्ग अंतराल $15-30$ के लिए, निम्न सीमा $15$ है और ऊपरी सीमा $30$ है।
$\text{मध्य-बिंदु} = \frac{15 + 30}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$।

(B) अपवर्जी प्रकार के वर्ग अंतराल में,वर्ग-माप की गणना ऊपरी सीमा में से निचली सीमा को घटाकर की जाती है।
वर्ग $20-30$ के लिए,निचली सीमा $20$ है और ऊपरी सीमा $30$ है।
अतः,वर्ग-माप $= 30 - 20 = 10$ है।

(B) बारंबारता बंटन के माध्य $\bar{x}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
यहाँ $\Sigma f_{i} x_{i} = 1790$ और $\Sigma f_{i} = 50$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\bar{x} = \frac{1790}{50} = 35.8$
अतः,माध्य $35.8$ है।

(C) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
दी गई मान:
$A = 62.5$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -13$,$\Sigma f_{i} = 100$,$c = 15$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 62.5 + \left( \frac{-13}{100} \right) \times 15$
$\bar{x} = 62.5 + (-0.13) \times 15$
$\bar{x} = 62.5 - 1.95$
$\bar{x} = 60.55$

(D) कुल बारंबारता $\Sigma f_{i} = 48$ दी गई है।
यह भी दिया गया है कि $\Sigma f_{i} = 43 + f$ है।
कुल बारंबारता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$43 + f = 48$
दोनों पक्षों से $43$ घटाने पर:
$f = 48 - 43$
$f = 5$
अतः,लुप्त बारंबारता $f$ का मान $5$ है।

(A) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ है।
दिए गए मान $A = 62.5$,$\Sigma f_{i} d_{i} = -50$,और $\Sigma f_{i} = 200$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 62.5 + \frac{-50}{200}$
$\bar{x} = 62.5 - 0.25$
$\bar{x} = 62.25$.

(B) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ है।
दिए गए मान $A = 200$,$\Sigma f_{i} = 45$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -216$ और $c = 10$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 200 + \left( \frac{-216}{45} \right) \times 10$
$\bar{x} = 200 + \left( \frac{-2160}{45} \right)$
$\bar{x} = 200 - 48$
$\bar{x} = 152$.

(C) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
दिए गए मान $A = 49.5$,$\Sigma f_{i} = 40$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -5$ और $c = 20$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 49.5 + \left( \frac{-5}{40} \right) \times 20$
$\bar{x} = 49.5 + (-0.125) \times 20$
$\bar{x} = 49.5 - 2.5$
$\bar{x} = 47$

(A) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = 325, c = 50, \Sigma f_{i} u_{i} = 28, \Sigma f_{i} = 200$
$\bar{x} = 325 + \left( \frac{28}{200} \right) \times 50$
$\bar{x} = 325 + \left( \frac{28}{4} \right)$
$\bar{x} = 325 + 7$
$\bar{x} = 332$

(D) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$।
दिए गए मान $A = 25$,$\Sigma f_{i} d_{i} = 120$ और $\Sigma f_{i} = 140$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 25 + \frac{120}{140}$
$\bar{x} = 25 + \frac{12}{14} = 25 + \frac{6}{7}$
$\bar{x} = 25 + 0.85714...$
$\bar{x} \approx 25.857$।

(B) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ है।
दिए गए मान $A = 450, c = 100, \Sigma f_{i} u_{i} = -20$ और $\Sigma f_{i} = 20$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 450 + \left( \frac{-20}{20} \right) \times 100$
$\bar{x} = 450 + (-1) \times 100$
$\bar{x} = 450 - 100$
$\bar{x} = 350$.

(B) प्रारंभिक $10$ प्रेक्षणों का योग $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 10 \times 15.7 = 157$ है।
जब एक नया प्रेक्षण $19$ जोड़ा जाता है,तो प्रेक्षणों का नया योग $\Sigma x_{i}' = 157 + 19 = 176$ हो जाता है।
अब प्रेक्षणों की कुल संख्या $n' = 10 + 1 = 11$ हो जाती है।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{\Sigma x_{i}'}{n'} = \frac{176}{11} = 16$ प्राप्त होता है।

(A) $5$ प्रेक्षणों का योग $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 5 \times 16 = 80$ है।
जब प्रेक्षण $5$ को $-5$ से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो प्रेक्षणों का संशोधित योग $\Sigma x_{i}' = 80 - 5 + (-5) = 80 - 10 = 70$ होता है।
नया माध्य $\text{नया माध्य} = \frac{\text{संशोधित } \Sigma x_{i}}{n} = \frac{70}{5} = 14$ प्राप्त होता है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, ..., x_{15}$ हैं।
माध्य $\frac{\sum x_i}{15} = 16$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $\sum x_i = 16 \times 15 = 240$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में $2$ जोड़ा जाता है,तो नया योग $\sum (x_i + 2) = \sum x_i + (15 \times 2) = 240 + 30 = 270$ हो जाता है।
$2$ जोड़ने के बाद नया माध्य $\frac{270}{15} = 18$ है।
जब प्रत्येक परिणाम को $3$ से विभाजित किया जाता है,तो नया माध्य $\frac{18}{3} = 6$ हो जाता है।

(B) $15$ प्रेक्षणों का प्रारंभिक योग $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 15 \times 25 = 375$ है।
सही योग की गणना सही मान को जोड़कर और गलत मान को घटाकर की जाती है: $\text{संशोधित } \Sigma x_{i} = 375 + 50 - 20 = 405$ है।
सही माध्य,संशोधित योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: $\text{सही माध्य} = \frac{405}{15} = 27$।

(A) माध्य $\bar{x}$ का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
प्रथम दस प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ हैं।
इन संख्याओं का योग $\sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ है।
यहाँ प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{55}{10} = 5.5$ है।

(D) अवलोकनों के समूह का माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_{i}}{n}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $n$ अवलोकनों की संख्या है।
इसलिए,$\Sigma x_{i} = n\bar{x}$ होता है।
अब,व्यंजक $\Sigma(x_{i} - \bar{x})$ पर विचार करें।
इसे $\Sigma x_{i} - \Sigma \bar{x}$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
चूँकि $\bar{x}$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\Sigma \bar{x} = n\bar{x}$ होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Sigma x_{i} - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अवलोकनों का उनके माध्य से विचलनों का योग हमेशा $0$ होता है।

(B) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र है: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{n}$।
दिए गए मान $n = 100$,$A = 15$ और $\bar{x} = 15$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$15 = 15 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$।
दोनों पक्षों से $15$ घटाने पर:
$15 - 15 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$।
$0 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$।
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Sigma f_{i} d_{i} = 0$।

(A) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{n} \right) \times c$
दिए गए मान हैं: $\bar{x} = 20$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -50$,$n = 100$,और $c = 10$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 = A + \left( \frac{-50}{100} \right) \times 10$
व्यंजक को सरल करने पर:
$20 = A + (-0.5) \times 10$
$20 = A - 5$
$A$ के लिए हल करने पर:
$A = 20 + 5$
$A = 25$
अतः,कल्पित माध्य $A$ का मान $25$ है।

(A) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{n} \right) \times c$
दिए गए मान हैं: $\bar{x} = 54.3$,$\Sigma f_{i} u_{i} = 2$,$n = 25$ और $c = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$54.3 = A + \left( \frac{2}{25} \right) \times 10$
व्यंजक को सरल करने पर:
$54.3 = A + \left( \frac{20}{25} \right)$
$54.3 = A + 0.8$
$A$ का मान ज्ञात करने पर:
$A = 54.3 - 0.8$
$A = 53.5$

(B) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ है,जहाँ $\Sigma f_{i} = n$ है।
यहाँ दिया गया है कि $\bar{x} = 20, A = 20$ और $n = 100$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $20 = 20 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $20$ घटाने पर,हमें $0 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$ मिलता है।
अतः,$\Sigma f_{i} d_{i} = 0 \times 100 = 0$।

(B) बारंबारता बंटन के माध्य $(\bar{x})$ का सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ होता है।
यहाँ $\Sigma f_{i} x_{i} = 245$ और $n = 100$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = \frac{245}{100} = 2.45$.

(A) बारंबारता वितरण के माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{N}$ है,जहाँ $N$ कुल बारंबारता है।
यहाँ दिया गया है कि $\Sigma f_{i} x_{i} = 120$ और $N = 25$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = \frac{120}{25} = 4.8$.
अतः,माध्य $4.8$ है।

(D) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ है।
यहाँ दिया गया है कि $n = \Sigma f_{i} = 200$,$\Sigma f_{i} d_{i} = 0$ और $A = 25$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 25 + \frac{0}{200}$
$\bar{x} = 25 + 0$
$\bar{x} = 25$.
अतः,माध्य $25$ है।

(D) प्रेक्षणों का उनके माध्य से विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है।
गणितीय रूप से,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$।
चूंकि $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x}$ होता है।
इसका मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$।
यहाँ $n = 10$ के लिए,$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x}) = 0$ होगा।

(C) दिया गया सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि है।
इस सूत्र में:
- $\bar{x}$ माध्य है।
- $A$ कल्पित माध्य है।
- $f_{i}$ $i$-वें वर्ग की बारंबारता है।
- $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$,जहाँ $x_{i}$ वर्ग चिह्न है।
- $c$ वर्ग माप (या वर्ग की लंबाई) को दर्शाता है,जो वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा और निचली सीमा के बीच का अंतर है।

(D) $n$ प्रेक्षणों के माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ होता है।
यहाँ दिए गए प्रेक्षण $12, 13, x, 17, 18, 20$ हैं और प्रेक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
माध्य $16$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$16 = \frac{12 + 13 + x + 17 + 18 + 20}{6}$
$16 = \frac{80 + x}{6}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$96 = 80 + x$
$x = 96 - 80$
$x = 16$

(A) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र इस प्रकार है: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{n}$.
दिए गए मान $\bar{x} = 19.7$,$A = 20$ और $n = 50$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$19.7 = 20 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
दोनों पक्षों से $20$ घटाने पर:
$19.7 - 20 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
$-0.3 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
दोनों पक्षों को $50$ से गुणा करने पर:
$\Sigma f_{i} d_{i} = -0.3 \times 50$.
$\Sigma f_{i} d_{i} = -15$.

(C) $15$ लड़कियों का औसत स्कोर $10$ है। इसलिए,लड़कियों के स्कोर का योग = $15 \times 10 = 150$ है।
$20$ लड़कों का औसत स्कोर $10$ है। इसलिए,लड़कों के स्कोर का योग = $20 \times 10 = 200$ है।
सभी $35$ छात्रों के स्कोर का कुल योग = $150 + 200 = 350$ है।
चूंकि हमारे पास केवल औसत मान हैं,इसलिए हम व्यक्तिगत स्कोर निर्धारित नहीं कर सकते हैं,जैसे कि उच्चतम या निम्नतम स्कोर।
अतः,केवल पूरी कक्षा के स्कोर के योग की गणना की जा सकती है।

(C) $6$ परीक्षाओं का प्रारंभिक औसत स्कोर $45$ है।
अतः,$6$ परीक्षाओं के अंकों का कुल योग $45 \times 6 = 270$ है।
सबसे कम स्कोर $30$ को हटाने के बाद,अंकों का नया योग $270 - 30 = 240$ हो जाता है।
शेष परीक्षाओं की संख्या $6 - 1 = 5$ है।
नया औसत स्कोर निकालने के लिए नए योग को शेष परीक्षाओं की संख्या से विभाजित किया जाता है: $\frac{240}{5} = 48$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही व्यंजक $\frac{(45 \times 6 - 30)}{5}$ है।

(B) किसी समूह का औसत स्कोर कुल अंकों के योग को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।
$30$ लड़कों का कुल स्कोर = $30 \times 16 = 480$.
$10$ लड़कियों का कुल स्कोर = $10 \times 12 = 120$.
पूरी कक्षा का कुल स्कोर = $480 + 120 = 600$.
छात्रों की कुल संख्या = $30 + 10 = 40$.
पूरी कक्षा का औसत स्कोर = $\frac{\text{कुल स्कोर}}{\text{कुल छात्र}} = \frac{480 + 120}{40} = \frac{(30 \times 16) + (10 \times 12)}{30 + 10}$.
अतः,सही व्यंजक $\frac{(30 \times 16) + (10 \times 12)}{30 + 10}$ है।