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Median of Grouped Data Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Statistics · Median of Grouped Data
53+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 53 questions in Hindi
1
EasyMCQ
एक स्कूल की कक्षा $X$ की $51$ लड़कियों की ऊंचाइयों (सेमी में) के संबंध में एक सर्वेक्षण किया गया और निम्नलिखित डेटा प्राप्त हुआ:
माध्यक ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
| ऊंचाई (सेमी में) | लड़कियों की संख्या |
| $140$ से कम | $4$ |
| $145$ से कम | $11$ |
| $150$ से कम | $29$ |
| $155$ से कम | $40$ |
| $160$ से कम | $46$ |
| $165$ से कम | $51$ |
माध्यक ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
A
$145$
B
$149.03$
C
$141$
D
$155.5$
Solution
(B) माध्यक ऊंचाई की गणना करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता वितरण को एक मानक बारंबारता वितरण तालिका में परिवर्तित करेंगे।
यहाँ,$n = 51$ है। इसलिए,$\frac{n}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$ है।
$25.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $29$ है,जो वर्ग अंतराल $145-150$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $145-150$ है।
यहाँ,$l = 145$,$cf = 11$,$f = 18$,और $h = 5$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 145 + \left( \frac{25.5 - 11}{18} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 145 + \left( \frac{14.5}{18} \right) \times 5 = 145 + \frac{72.5}{18} = 145 + 4.027... \approx 149.03 \ cm$.
| वर्ग अंतराल | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $140$ से कम | $4$ | $4$ |
| $140-145$ | $7$ | $11$ |
| $145-150$ | $18$ | $29$ |
| $150-155$ | $11$ | $40$ |
| $155-160$ | $6$ | $46$ |
| $160-165$ | $5$ | $51$ |
यहाँ,$n = 51$ है। इसलिए,$\frac{n}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$ है।
$25.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $29$ है,जो वर्ग अंतराल $145-150$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $145-150$ है।
यहाँ,$l = 145$,$cf = 11$,$f = 18$,और $h = 5$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 145 + \left( \frac{25.5 - 11}{18} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 145 + \left( \frac{14.5}{18} \right) \times 5 = 145 + \frac{72.5}{18} = 145 + 4.027... \approx 149.03 \ cm$.
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Medium
निम्नलिखित आंकड़ों का माध्यक $525$ है। यदि कुल बारंबारता $100$ है,तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।
| वर्ग अंतराल | बारंबारता |
| $0-100$ | $2$ |
| $100-200$ | $5$ |
| $200-300$ | $x$ |
| $300-400$ | $12$ |
| $400-500$ | $17$ |
| $500-600$ | $20$ |
| $600-700$ | $y$ |
| $700-800$ | $9$ |
| $800-900$ | $7$ |
| $900-1000$ | $4$ |
Solution
(X=9, Y=15) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:
दिया गया है कि कुल बारंबारता $n = 100$,इसलिए:
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ ........... $(1)$
माध्यक $525$ है,जो वर्ग $500-600$ में स्थित है। अतः,$l = 500$,$f = 20$,$cf = 36 + x$,और $h = 100$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x$
$x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर:
$9 + y = 24 \implies y = 15$.
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ प्राप्त होते हैं।
| वर्ग अंतराल | बारंबारता | संचयी बारंबारता |
| $0-100$ | $2$ | $2$ |
| $100-200$ | $5$ | $7$ |
| $200-300$ | $x$ | $7+x$ |
| $300-400$ | $12$ | $19+x$ |
| $400-500$ | $17$ | $36+x$ |
| $500-600$ | $20$ | $56+x$ |
| $600-700$ | $y$ | $56+x+y$ |
| $700-800$ | $9$ | $65+x+y$ |
| $800-900$ | $7$ | $72+x+y$ |
| $900-1000$ | $4$ | $76+x+y$ |
दिया गया है कि कुल बारंबारता $n = 100$,इसलिए:
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ ........... $(1)$
माध्यक $525$ है,जो वर्ग $500-600$ में स्थित है। अतः,$l = 500$,$f = 20$,$cf = 36 + x$,और $h = 100$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x$
$x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर:
$9 + y = 24 \implies y = 15$.
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ प्राप्त होते हैं।
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Difficult
यदि नीचे दिए गए बंटन का माध्यक $28.5$ है,तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।
| वर्ग अंतराल | बारंबारता |
| $0-10$ | $5$ |
| $10-20$ | $x$ |
| $20-30$ | $20$ |
| $30-40$ | $15$ |
| $40-50$ | $y$ |
| $50-60$ | $5$ |
| कुल | $60$ |
Solution
(A) दी गई जानकारी के लिए संचयी बारंबारता की गणना इस प्रकार की जाती है:
सारणी से,कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45+x+y = 60 \implies x+y = 15 \dots (1)$.
माध्यक $28.5$ है,जो वर्ग अंतराल $20-30$ में स्थित है।
इसलिए,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
निम्न सीमा $(l) = 20$,बारंबारता $(f) = 20$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 5+x$,और वर्ग माप $(h) = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5+x)}{20} \right) \times 10$.
$8.5 = \frac{25-x}{2}$.
$17 = 25 - x \implies x = 8$.
समीकरण $(1)$ में $x=8$ रखने पर: $8+y = 15 \implies y = 7$.
अतः,$x = 8$ और $y = 7$ है।
| वर्ग अंतराल | बारंबारता | संचयी बारंबारता |
| $0-10$ | $5$ | $5$ |
| $10-20$ | $x$ | $5+x$ |
| $20-30$ | $20$ | $25+x$ |
| $30-40$ | $15$ | $40+x$ |
| $40-50$ | $y$ | $40+x+y$ |
| $50-60$ | $5$ | $45+x+y$ |
सारणी से,कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45+x+y = 60 \implies x+y = 15 \dots (1)$.
माध्यक $28.5$ है,जो वर्ग अंतराल $20-30$ में स्थित है।
इसलिए,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
निम्न सीमा $(l) = 20$,बारंबारता $(f) = 20$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 5+x$,और वर्ग माप $(h) = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5+x)}{20} \right) \times 10$.
$8.5 = \frac{25-x}{2}$.
$17 = 25 - x \implies x = 8$.
समीकरण $(1)$ में $x=8$ रखने पर: $8+y = 15 \implies y = 7$.
अतः,$x = 8$ और $y = 7$ है।
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DifficultMCQ
एक जीवन बीमा एजेंट ने $100$ पॉलिसी धारकों की आयु के वितरण के लिए निम्नलिखित डेटा प्राप्त किया। यदि पॉलिसी केवल $18$ वर्ष और उससे अधिक लेकिन $60$ वर्ष से कम आयु के व्यक्तियों को दी जाती है,तो माध्यिका आयु की गणना करें।
| आयु (वर्षों में) | पॉलिसी धारकों की संख्या |
| $20$ से कम | $2$ |
| $25$ से कम | $6$ |
| $30$ से कम | $24$ |
| $35$ से कम | $45$ |
| $40$ से कम | $78$ |
| $45$ से कम | $89$ |
| $50$ से कम | $92$ |
| $55$ से कम | $98$ |
| $60$ से कम | $100$ |
A
$35$
B
$35.76$
C
$25.56$
D
$35.33$
Solution
(B) दिया गया डेटा 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता वितरण के रूप में है। हम पहले इसे वर्ग अंतराल और उनकी संबंधित बारंबारता में परिवर्तित करते हैं।
यहाँ,$n = 100$,इसलिए $\frac{n}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $78$ है,जो वर्ग अंतराल $35-40$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यिका वर्ग $35-40$ है।
निम्न सीमा $(l)$ $= 35$,वर्ग का आकार $(h)$ $= 5$,माध्यिका वर्ग की बारंबारता $(f)$ $= 33$,और माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ $= 45$.
माध्यिका सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यिका} = 35 + \left( \frac{50 - 45}{33} \right) \times 5$
$\text{माध्यिका} = 35 + \left( \frac{5}{33} \right) \times 5 = 35 + \frac{25}{33} \approx 35 + 0.76 = 35.76$.
अतः,माध्यिका आयु $35.76$ वर्ष है।
| आयु (वर्षों में) | बारंबारता $(f_i)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $18-20$ | $2$ | $2$ |
| $20-25$ | $6-2=4$ | $6$ |
| $25-30$ | $24-6=18$ | $24$ |
| $30-35$ | $45-24=21$ | $45$ |
| $35-40$ | $78-45=33$ | $78$ |
| $40-45$ | $89-78=11$ | $89$ |
| $45-50$ | $92-89=3$ | $92$ |
| $50-55$ | $98-92=6$ | $98$ |
| $55-60$ | $100-98=2$ | $100$ |
यहाँ,$n = 100$,इसलिए $\frac{n}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $78$ है,जो वर्ग अंतराल $35-40$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यिका वर्ग $35-40$ है।
निम्न सीमा $(l)$ $= 35$,वर्ग का आकार $(h)$ $= 5$,माध्यिका वर्ग की बारंबारता $(f)$ $= 33$,और माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ $= 45$.
माध्यिका सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यिका} = 35 + \left( \frac{50 - 45}{33} \right) \times 5$
$\text{माध्यिका} = 35 + \left( \frac{5}{33} \right) \times 5 = 35 + \frac{25}{33} \approx 35 + 0.76 = 35.76$.
अतः,माध्यिका आयु $35.76$ वर्ष है।
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MediumMCQ
एक पौधे की $40$ पत्तियों की लंबाई निकटतम मिलीमीटर तक मापी गई है और प्राप्त आंकड़ों को निम्नलिखित तालिका में दर्शाया गया है:
पत्तियों की माध्यिका लंबाई ज्ञात कीजिए।
| लंबाई (mm में) | पत्तियों की संख्या |
| $118-126$ | $3$ |
| $127-135$ | $5$ |
| $136-144$ | $9$ |
| $145-153$ | $12$ |
| $154-162$ | $5$ |
| $163-171$ | $4$ |
| $172-180$ | $2$ |
पत्तियों की माध्यिका लंबाई ज्ञात कीजिए।
A
$140$
B
$144.5$
C
$146.75$
D
$153.5$
Solution
(C) दिए गए आंकड़ों में वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं। दो वर्गों के बीच का अंतर $1$ है,इसलिए प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा से $0.5$ घटाने और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ने पर वर्ग अंतराल सतत हो जाते हैं।
सतत वर्ग अंतराल और संचयी बारंबारता इस प्रकार हैं:
यहाँ $n = 40$,इसलिए $\frac{n}{2} = 20$। $20$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $29$ है,जो वर्ग $144.5-153.5$ के अंतर्गत आती है।
माध्यिका वर्ग $= 144.5-153.5$,निचली सीमा $(l)$ $= 144.5$,वर्ग माप $(h)$ $= 9$,बारंबारता $(f)$ $= 12$,और माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ $= 17$ है।
माध्यिका का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 144.5 + \left( \frac{20 - 17}{12} \right) \times 9 = 144.5 + \left( \frac{3}{12} \right) \times 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75$.
अतः,पत्तियों की माध्यिका लंबाई $146.75 \text{ mm}$ है।
सतत वर्ग अंतराल और संचयी बारंबारता इस प्रकार हैं:
| लंबाई (mm में) | बारंबारता $(f_i)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $117.5-126.5$ | $3$ | $3$ |
| $126.5-135.5$ | $5$ | $8$ |
| $135.5-144.5$ | $9$ | $17$ |
| $144.5-153.5$ | $12$ | $29$ |
| $153.5-162.5$ | $5$ | $34$ |
| $162.5-171.5$ | $4$ | $38$ |
| $171.5-180.5$ | $2$ | $40$ |
यहाँ $n = 40$,इसलिए $\frac{n}{2} = 20$। $20$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $29$ है,जो वर्ग $144.5-153.5$ के अंतर्गत आती है।
माध्यिका वर्ग $= 144.5-153.5$,निचली सीमा $(l)$ $= 144.5$,वर्ग माप $(h)$ $= 9$,बारंबारता $(f)$ $= 12$,और माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ $= 17$ है।
माध्यिका का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 144.5 + \left( \frac{20 - 17}{12} \right) \times 9 = 144.5 + \left( \frac{3}{12} \right) \times 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75$.
अतः,पत्तियों की माध्यिका लंबाई $146.75 \text{ mm}$ है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित तालिका $400$ नियॉन लैंपों के जीवनकाल का वितरण दर्शाती है:
लैंप का माध्यक (median) जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
| जीवनकाल (घंटों में) | लैंपों की संख्या |
| $1500-2000$ | $14$ |
| $2000-2500$ | $56$ |
| $2500-3000$ | $60$ |
| $3000-3500$ | $86$ |
| $3500-4000$ | $74$ |
| $4000-4500$ | $62$ |
| $4500-5000$ | $48$ |
लैंप का माध्यक (median) जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
A
$3000$
B
$3500$
C
$3400$
D
$3406.98$
Solution
(D) संचयी बारंबारताएँ इस प्रकार हैं:
यहाँ,$n = 400$,इसलिए $\frac{n}{2} = 200$.
$200$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $216$ है,जो वर्ग अंतराल $3000-3500$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $3000-3500$ है।
माध्यक वर्ग की निचली सीमा $(l)$ = $3000$.
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f)$ = $86$.
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ = $130$.
वर्ग माप $(h)$ = $500$.
माध्यक का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{200 - 130}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{70}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \frac{35000}{86} \approx 3000 + 406.98 = 3406.98$.
अतः,लैंप का माध्यक जीवनकाल $3406.98 \text{ घंटे}$ है।
| जीवनकाल | लैंपों की संख्या $(f_i)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $1500-2000$ | $14$ | $14$ |
| $2000-2500$ | $56$ | $70$ |
| $2500-3000$ | $60$ | $130$ |
| $3000-3500$ | $86$ | $216$ |
| $3500-4000$ | $74$ | $290$ |
| $4000-4500$ | $62$ | $352$ |
| $4500-5000$ | $48$ | $400$ |
यहाँ,$n = 400$,इसलिए $\frac{n}{2} = 200$.
$200$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $216$ है,जो वर्ग अंतराल $3000-3500$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $3000-3500$ है।
माध्यक वर्ग की निचली सीमा $(l)$ = $3000$.
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f)$ = $86$.
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ = $130$.
वर्ग माप $(h)$ = $500$.
माध्यक का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{200 - 130}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{70}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \frac{35000}{86} \approx 3000 + 406.98 = 3406.98$.
अतः,लैंप का माध्यक जीवनकाल $3406.98 \text{ घंटे}$ है।
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MediumMCQ
नीचे दिया गया वितरण एक कक्षा के $30$ छात्रों का वजन दर्शाता है। छात्रों का माध्यक (median) वजन ज्ञात कीजिए।
| वजन (kg में) | $40-45$ | $45-50$ | $50-55$ | $55-60$ | $60-65$ | $65-70$ | $70-75$ |
| छात्रों की संख्या | $2$ | $3$ | $8$ | $6$ | $6$ | $3$ | $2$ |
A
$50$
B
$55$
C
$56.67$
D
$60$
Solution
(C) संचयी बारंबारता (cumulative frequency) और उनके संबंधित वर्ग अंतराल इस प्रकार हैं:
कुल छात्रों की संख्या $n = 30$.
हम $\frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15$ की गणना करते हैं।
$15$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $19$ है,जो वर्ग अंतराल $55-60$ से संबंधित है।
अतः,माध्यक वर्ग $55-60$ है।
माध्यक वर्ग की निचली सीमा $(l)$ = $55$.
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f)$ = $6$.
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ = $13$.
वर्ग का माप $(h)$ = $5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$\text{माध्यक} = 55 + \left( \frac{15 - 13}{6} \right) \times 5$.
$\text{माध्यक} = 55 + \left( \frac{2}{6} \right) \times 5 = 55 + \frac{10}{6} = 55 + 1.67 = 56.67$.
इसलिए,छात्रों का माध्यक वजन $56.67 \text{ kg}$ है।
| वजन (kg में) | बारंबारता $(f_i)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $40-45$ | $2$ | $2$ |
| $45-50$ | $3$ | $5$ |
| $50-55$ | $8$ | $13$ |
| $55-60$ | $6$ | $19$ |
| $60-65$ | $6$ | $25$ |
| $65-70$ | $3$ | $28$ |
| $70-75$ | $2$ | $30$ |
कुल छात्रों की संख्या $n = 30$.
हम $\frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15$ की गणना करते हैं।
$15$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $19$ है,जो वर्ग अंतराल $55-60$ से संबंधित है।
अतः,माध्यक वर्ग $55-60$ है।
माध्यक वर्ग की निचली सीमा $(l)$ = $55$.
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f)$ = $6$.
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf)$ = $13$.
वर्ग का माप $(h)$ = $5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$\text{माध्यक} = 55 + \left( \frac{15 - 13}{6} \right) \times 5$.
$\text{माध्यक} = 55 + \left( \frac{2}{6} \right) \times 5 = 55 + \frac{10}{6} = 55 + 1.67 = 56.67$.
इसलिए,छात्रों का माध्यक वजन $56.67 \text{ kg}$ है।
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एक इलाके के शॉपिंग कॉम्प्लेक्स की $30$ दुकानों द्वारा अर्जित वार्षिक लाभ निम्नलिखित वितरण देता है:
उपरोक्त डेटा के लिए दोनों तोरण (ogives) खींचिए। अतः माध्यक लाभ ज्ञात कीजिए।
| लाभ (लाख रुपये में) | दुकानों की संख्या (बारंबारता) |
| $5$ या उससे अधिक | $30$ |
| $10$ या उससे अधिक | $28$ |
| $15$ या उससे अधिक | $16$ |
| $20$ या उससे अधिक | $14$ |
| $25$ या उससे अधिक | $10$ |
| $30$ या उससे अधिक | $7$ |
| $35$ या उससे अधिक | $3$ |
उपरोक्त डेटा के लिए दोनों तोरण (ogives) खींचिए। अतः माध्यक लाभ ज्ञात कीजिए।
Solution
(17.5) 'से अधिक' प्रकार का तोरण खींचने के लिए,हम ग्राफ पर बिंदुओं $(5, 30), (10, 28), (15, 16), (20, 14), (25, 10), (30, 7),$ और $(35, 3)$ को आलेखित करते हैं,जहाँ क्षैतिज अक्ष लाभ की निचली सीमाओं को दर्शाता है और ऊर्ध्वाधर अक्ष संचयी बारंबारता को दर्शाता है। हम इन बिंदुओं को एक सुचारू वक्र द्वारा जोड़ते हैं।
इसके बाद,हम दिए गए डेटा को बारंबारता वितरण तालिका में परिवर्तित करते हैं:
'से कम' प्रकार का तोरण खींचने के लिए,हम उन्हीं अक्षों पर बिंदुओं $(10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27),$ और $(40, 30)$ को आलेखित करते हैं।
दोनों तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक (भुज) माध्यक देता है। ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 17.5$ पर है। अतः,माध्यक लाभ $Rs. 17.5$ लाख है।
इसके बाद,हम दिए गए डेटा को बारंबारता वितरण तालिका में परिवर्तित करते हैं:
| वर्ग | $5-10$ | $10-15$ | $15-20$ | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ | $35-40$ |
| दुकानों की संख्या | $2$ | $12$ | $2$ | $4$ | $3$ | $4$ | $3$ |
| संचयी बारंबारता | $2$ | $14$ | $16$ | $20$ | $23$ | $27$ | $30$ |
'से कम' प्रकार का तोरण खींचने के लिए,हम उन्हीं अक्षों पर बिंदुओं $(10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27),$ और $(40, 30)$ को आलेखित करते हैं।
दोनों तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक (भुज) माध्यक देता है। ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 17.5$ पर है। अतः,माध्यक लाभ $Rs. 17.5$ लाख है।
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एक कक्षा के $35$ छात्रों की मेडिकल जांच के दौरान,उनके वजन को इस प्रकार दर्ज किया गया:
दिए गए आंकड़ों के लिए 'से कम' प्रकार का तोरण (ogive) खींचिए। अतः,ग्राफ से माध्यक वजन ज्ञात कीजिए और सूत्र का उपयोग करके परिणाम की पुष्टि कीजिए।
| वजन (kg में) | छात्रों की संख्या |
|---|---|
| $38$ से कम | $0$ |
| $40$ से कम | $3$ |
| $42$ से कम | $5$ |
| $44$ से कम | $9$ |
| $46$ से कम | $14$ |
| $48$ से कम | $28$ |
| $50$ से कम | $32$ |
| $52$ से कम | $35$ |
दिए गए आंकड़ों के लिए 'से कम' प्रकार का तोरण (ogive) खींचिए। अतः,ग्राफ से माध्यक वजन ज्ञात कीजिए और सूत्र का उपयोग करके परिणाम की पुष्टि कीजिए।
Solution
(N/A) दिए गए 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता वितरण इस प्रकार हैं:
$x$-अक्ष पर वर्ग की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर उनकी संबंधित संचयी बारंबारताओं को लेकर,तोरण को चित्र में दिखाए अनुसार खींचा जा सकता है।
यहाँ,$n = 35$ है।
इसलिए,$\frac{n}{2} = 17.5$ है।
वक्र पर बिंदु $A$ अंकित करें जिसका कोटि (ordinate) $17.5$ है। इस बिंदु के संगत $x$-निर्देशांक $46.5$ है। अतः,इन आंकड़ों का माध्यक $46.5$ है।
सूत्र का उपयोग करके पुष्टि करने के लिए,हम पहले वर्ग अंतराल और उनकी बारंबारता निर्धारित करते हैं:
$\frac{n}{2} = 17.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $28$ है,जो वर्ग अंतराल $46-48$ में आती है।
माध्यक वर्ग $= 46-48$ है।
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा $(l) = 46$ है।
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f) = 14$ है।
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 14$ है।
वर्ग माप $(h) = 2$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 46 + \left( \frac{17.5 - 14}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \left( \frac{3.5}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \frac{7}{14} = 46 + 0.5 = 46.5$ है।
इस प्रकार,परिणाम की पुष्टि हो गई है।
| वजन (kg में) (वर्ग की ऊपरी सीमा) | छात्रों की संख्या (संचयी बारंबारता) |
|---|---|
| $38$ से कम | $0$ |
| $40$ से कम | $3$ |
| $42$ से कम | $5$ |
| $44$ से कम | $9$ |
| $46$ से कम | $14$ |
| $48$ से कम | $28$ |
| $50$ से कम | $32$ |
| $52$ से कम | $35$ |
$x$-अक्ष पर वर्ग की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर उनकी संबंधित संचयी बारंबारताओं को लेकर,तोरण को चित्र में दिखाए अनुसार खींचा जा सकता है।
यहाँ,$n = 35$ है।
इसलिए,$\frac{n}{2} = 17.5$ है।
वक्र पर बिंदु $A$ अंकित करें जिसका कोटि (ordinate) $17.5$ है। इस बिंदु के संगत $x$-निर्देशांक $46.5$ है। अतः,इन आंकड़ों का माध्यक $46.5$ है।
सूत्र का उपयोग करके पुष्टि करने के लिए,हम पहले वर्ग अंतराल और उनकी बारंबारता निर्धारित करते हैं:
| वजन (kg में) | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
|---|---|---|
| $38-40$ | $3-0=3$ | $3$ |
| $40-42$ | $5-3=2$ | $5$ |
| $42-44$ | $9-5=4$ | $9$ |
| $44-46$ | $14-9=5$ | $14$ |
| $46-48$ | $28-14=14$ | $28$ |
| $48-50$ | $32-28=4$ | $32$ |
| $50-52$ | $35-32=3$ | $35$ |
$\frac{n}{2} = 17.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $28$ है,जो वर्ग अंतराल $46-48$ में आती है।
माध्यक वर्ग $= 46-48$ है।
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा $(l) = 46$ है।
माध्यक वर्ग की बारंबारता $(f) = 14$ है।
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 14$ है।
वर्ग माप $(h) = 2$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 46 + \left( \frac{17.5 - 14}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \left( \frac{3.5}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \frac{7}{14} = 46 + 0.5 = 46.5$ है।
इस प्रकार,परिणाम की पुष्टि हो गई है।
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निम्नलिखित तालिका एक गाँव के $100$ खेतों में गेहूँ की प्रति हेक्टेयर उत्पादन उपज को दर्शाती है।
इस वितरण को 'से अधिक प्रकार के' वितरण में बदलिए और इसका तोरण (ogive) खींचिए।
| उत्पादन उपज (kg/ha में) | खेतों की संख्या |
|---|---|
| $50-55$ | $2$ |
| $55-60$ | $8$ |
| $60-65$ | $12$ |
| $65-70$ | $24$ |
| $70-75$ | $38$ |
| $75-80$ | $16$ |
इस वितरण को 'से अधिक प्रकार के' वितरण में बदलिए और इसका तोरण (ogive) खींचिए।
Solution
(N/A) 'से अधिक प्रकार के' संचयी बारंबारता वितरण को निम्नलिखित रूप में प्राप्त किया जा सकता है:
ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)$ को आलेखित करने पर,जिसमें $x$-अक्ष पर वर्ग की निम्न सीमा और $y$-अक्ष पर उनकी संबंधित संचयी बारंबारता ली गई है,हमें 'से अधिक प्रकार का' तोरण (ogive) प्राप्त होता है।
| उत्पादन उपज (वर्ग की निम्न सीमा) | संचयी बारंबारता |
|---|---|
| $50$ या उससे अधिक | $100$ |
| $55$ या उससे अधिक | $100 - 2 = 98$ |
| $60$ या उससे अधिक | $98 - 8 = 90$ |
| $65$ या उससे अधिक | $90 - 12 = 78$ |
| $70$ या उससे अधिक | $78 - 24 = 54$ |
| $75$ या उससे अधिक | $54 - 38 = 16$ |
ग्राफ पेपर पर बिंदुओं $(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)$ को आलेखित करने पर,जिसमें $x$-अक्ष पर वर्ग की निम्न सीमा और $y$-अक्ष पर उनकी संबंधित संचयी बारंबारता ली गई है,हमें 'से अधिक प्रकार का' तोरण (ogive) प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
संचयी बारंबारता सारणी का निर्माण किसके निर्धारण में उपयोगी है?
A
माध्यिका
B
माध्य
C
बहुलक
D
उपर्युक्त तीनों माप
Solution
(A) संचयी बारंबारता सारणी एक सांख्यिकीय उपकरण है जिसका उपयोग प्रत्येक वर्ग अंतराल की बारंबारताओं को जोड़कर डेटा को व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है।
यह सारणी विशेष रूप से वर्गीकृत बारंबारता वितरण की माध्यिका (median) की गणना करने के लिए आवश्यक है।
माध्यिका का सूत्र $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ है,जहाँ $cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता को दर्शाता है।
जबकि माध्य और बहुलक की गणना साधारण बारंबारता सारणी का उपयोग करके की जा सकती है,माध्यिका के लिए संचयी बारंबारता अनिवार्य है।
यह सारणी विशेष रूप से वर्गीकृत बारंबारता वितरण की माध्यिका (median) की गणना करने के लिए आवश्यक है।
माध्यिका का सूत्र $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ है,जहाँ $cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता को दर्शाता है।
जबकि माध्य और बहुलक की गणना साधारण बारंबारता सारणी का उपयोग करके की जा सकती है,माध्यिका के लिए संचयी बारंबारता अनिवार्य है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित वितरण में:
$16000-19000$ की आय सीमा वाले परिवारों की संख्या कितनी है?
| मासिक आय सीमा (रुपये में) | परिवारों की संख्या |
| $10000$ से अधिक आय | $100$ |
| $13000$ से अधिक आय | $85$ |
| $16000$ से अधिक आय | $69$ |
| $19000$ से अधिक आय | $50$ |
| $22000$ से अधिक आय | $33$ |
| $25000$ से अधिक आय | $15$ |
$16000-19000$ की आय सीमा वाले परिवारों की संख्या कितनी है?
A
$17$
B
$19$
C
$16$
D
$15$
Solution
(B) दी गई जानकारी 'से अधिक' प्रकार का संचयी बारंबारता वितरण है।
$16000-19000$ की आय सीमा में परिवारों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $16000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या में से $19000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या को घटाएंगे।
$16000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या $= 69$.
$19000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या $= 50$.
$16000-19000$ की सीमा में परिवारों की संख्या $= 69 - 50 = 19$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
$16000-19000$ की आय सीमा में परिवारों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $16000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या में से $19000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या को घटाएंगे।
$16000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या $= 69$.
$19000$ से अधिक आय वाले परिवारों की संख्या $= 50$.
$16000-19000$ की सीमा में परिवारों की संख्या $= 69 - 50 = 19$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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EasyMCQ
वर्गीकृत आंकड़ों के 'से कम' प्रकार और 'से अधिक' प्रकार के संचयी बारंबारता वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज (abscissa) क्या दर्शाता है?
A
माध्य
B
बहुलक
C
माध्यक
D
उपर्युक्त तीनों
Solution
(C) संचयी बारंबारता वक्रों को तोरण (ogive) के रूप में भी जाना जाता है। 'से कम' प्रकार के तोरण और 'से अधिक' प्रकार के तोरण को एक ही ग्राफ पर खींचा जाता है। जिस बिंदु पर ये दोनों वक्र एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं,वह बिंदु वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक दर्शाता है। इस प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक (भुज) आंकड़ों के माध्यक मान के बराबर होता है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण पर विचार करें:
माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा क्या है?
| वर्ग | $0-5$ | $6-11$ | $12-17$ | $18-23$ | $24-29$ |
| आवृत्ति | $13$ | $10$ | $15$ | $8$ | $11$ |
माध्यक वर्ग की ऊपरी सीमा क्या है?
A
$17.5$
B
$7$
C
$18$
D
$18.5$
Solution
(A) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले असतत वर्ग अंतरालों को सतत वर्गों में बदलते हैं। एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर $1$ है। इसलिए,हम निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं।
कुल आवृत्ति $N = 57$ है। माध्यक की स्थिति $N/2 = 57/2 = 28.5$ है। $28.5$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $38$ है,जो वर्ग अंतराल $11.5-17.5$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $11.5-17.5$ है। इस वर्ग की ऊपरी सीमा $17.5$ है।
| वर्ग | आवृत्ति $(f)$ | संचयी आवृत्ति $(cf)$ |
| $-0.5-5.5$ | $13$ | $13$ |
| $5.5-11.5$ | $10$ | $23$ |
| $11.5-17.5$ | $15$ | $38$ |
| $17.5-23.5$ | $8$ | $46$ |
| $23.5-29.5$ | $11$ | $57$ |
कुल आवृत्ति $N = 57$ है। माध्यक की स्थिति $N/2 = 57/2 = 28.5$ है। $28.5$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $38$ है,जो वर्ग अंतराल $11.5-17.5$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $11.5-17.5$ है। इस वर्ग की ऊपरी सीमा $17.5$ है।
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EasyMCQ
$150$ एथलीटों द्वारा $110\, m$ की बाधा दौड़ (hurdle race) पूरी करने में लिया गया समय (सेकंड में) नीचे सारणीबद्ध है:
$14.6\, s$ से कम समय में दौड़ पूरी करने वाले एथलीटों की संख्या कितनी है?
| वर्ग (सेकंड) | $13.8-14.0$ | $14.0-14.2$ | $14.2-14.4$ | $14.4-14.6$ | $14.6-14.8$ | $14.8-15.0$ |
| बारंबारता | $2$ | $4$ | $5$ | $71$ | $48$ | $20$ |
$14.6\, s$ से कम समय में दौड़ पूरी करने वाले एथलीटों की संख्या कितनी है?
A
$11$
B
$71$
C
$130$
D
$82$
Solution
(D) $14.6\, s$ से कम समय में दौड़ पूरी करने वाले एथलीटों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें उन सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग करना होगा जो $14.6$ से कम हैं।
$14.6$ से कम वर्ग निम्नलिखित हैं:
$13.8-14.0$ (बारंबारता $= 2$)
$14.0-14.2$ (बारंबारता $= 4$)
$14.2-14.4$ (बारंबारता $= 5$)
$14.4-14.6$ (बारंबारता $= 71$)
एथलीटों की कुल संख्या $= 2 + 4 + 5 + 71 = 82$.
$14.6$ से कम वर्ग निम्नलिखित हैं:
$13.8-14.0$ (बारंबारता $= 2$)
$14.0-14.2$ (बारंबारता $= 4$)
$14.2-14.4$ (बारंबारता $= 5$)
$14.4-14.6$ (बारंबारता $= 71$)
एथलीटों की कुल संख्या $= 2 + 4 + 5 + 71 = 82$.
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क्या यह कहना सही है कि ओजाइव (ogive) एक बारंबारता वितरण का ग्राफिकल निरूपण है? कारण दीजिए।
A
हाँ,यह सही है।
B
नहीं,यह गलत है।
C
यह डेटा पर निर्भर करता है।
D
यह आंशिक रूप से सही है।
Solution
(B) नहीं,यह कहना सही नहीं है कि ओजाइव एक बारंबारता वितरण का ग्राफिकल निरूपण है।
ओजाइव विशेष रूप से संचयी बारंबारता वितरण का ग्राफिकल निरूपण है।
बारंबारता वितरण को आमतौर पर हिस्टोग्राम,बारंबारता बहुभुज या बारंबारता वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,ओजाइव का उपयोग संचयी बारंबारता को दर्शाने के लिए किया जाता है,न कि साधारण बारंबारता वितरण के लिए।
ओजाइव विशेष रूप से संचयी बारंबारता वितरण का ग्राफिकल निरूपण है।
बारंबारता वितरण को आमतौर पर हिस्टोग्राम,बारंबारता बहुभुज या बारंबारता वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,ओजाइव का उपयोग संचयी बारंबारता को दर्शाने के लिए किया जाता है,न कि साधारण बारंबारता वितरण के लिए।
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अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक और उन्हीं आंकड़ों को वर्गीकृत करके निकाला गया माध्यक हमेशा समान होता है। क्या आप मानते हैं कि यह कथन सही है? कारण दीजिए।
Solution
(N/A) नहीं,यह कथन सही नहीं है। अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक और वर्गीकृत आंकड़ों से परिकलित माध्यक हमेशा समान नहीं होते हैं। इसका कारण यह है कि वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक की गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र,$\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$,इस धारणा पर आधारित है कि प्रत्येक वर्ग अंतराल के भीतर के प्रेक्षण समान रूप से (uniformly) वितरित हैं। वास्तव में,वर्गों के भीतर आंकड़ों का वास्तविक वितरण समान नहीं हो सकता है,जिससे दोनों मानों के बीच थोड़ा अंतर आ जाता है।
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निम्नलिखित वितरण के लिए संचयी बारंबारता वितरण तैयार कीजिए:
| वर्ग | $12.5-17.5$ | $17.5-22.5$ | $22.5-27.5$ | $27.5-32.5$ | $32.5-37.5$ |
| बारंबारता | $2$ | $22$ | $19$ | $14$ | $13$ |
Solution
(N/A) संचयी बारंबारता वितरण तैयार करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग की बारंबारता को उसके पूर्ववर्ती सभी वर्गों की बारंबारताओं के योग में जोड़ते हैं।
| वर्ग | बारंबारता | संचयी बारंबारता |
| $12.5-17.5$ | $2$ | $2$ |
| $17.5-22.5$ | $22$ | $2 + 22 = 24$ |
| $22.5-27.5$ | $19$ | $24 + 19 = 43$ |
| $27.5-32.5$ | $14$ | $43 + 14 = 57$ |
| $32.5-37.5$ | $13$ | $57 + 13 = 70$ |
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एक परीक्षा में $100$ छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत नीचे दिया गया है:
अंकों का माध्यक प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
| अंक | $30-35$ | $35-40$ | $40-45$ | $45-50$ | $50-55$ | $55-60$ | $60-65$ |
| आवृत्ति | $14$ | $16$ | $18$ | $23$ | $18$ | $8$ | $3$ |
अंकों का माध्यक प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
A
$54.4$
B
$45.4$
C
$50.8$
D
$23.4$
Solution
(B)
यहाँ,$n = 100$.
इसलिए,$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $71$ है,जो वर्ग $45-50$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $45-50$ है।
$l$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) $= 45$
$cf$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति) $= 48$
$f$ (माध्यक वर्ग की आवृत्ति) $= 23$
$h$ (वर्ग माप) $= 5$
माध्यक का सूत्र: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 45 + \left( \frac{50 - 48}{23} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 45 + \left( \frac{2}{23} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 45 + \frac{10}{23} \approx 45 + 0.4347 \approx 45.43$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,अंकों का माध्यक प्रतिशत $45.4$ है।
| अंक (वर्ग) | आवृत्ति $(f)$ | संचयी आवृत्ति $(cf)$ |
| $30-35$ | $14$ | $14$ |
| $35-40$ | $16$ | $30$ |
| $40-45$ | $18$ | $48$ |
| $45-50$ | $23$ | $71$ |
| $50-55$ | $18$ | $89$ |
| $55-60$ | $8$ | $97$ |
| $60-65$ | $3$ | $100$ |
यहाँ,$n = 100$.
इसलिए,$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $71$ है,जो वर्ग $45-50$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $45-50$ है।
$l$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) $= 45$
$cf$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति) $= 48$
$f$ (माध्यक वर्ग की आवृत्ति) $= 23$
$h$ (वर्ग माप) $= 5$
माध्यक का सूत्र: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 45 + \left( \frac{50 - 48}{23} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 45 + \left( \frac{2}{23} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 45 + \frac{10}{23} \approx 45 + 0.4347 \approx 45.43$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,अंकों का माध्यक प्रतिशत $45.4$ है।
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View Solution20
Medium
$40$ व्यक्तियों के भार (kg में) का वितरण निम्नलिखित है:
उपरोक्त आंकड़ों के लिए एक संचयी बारंबारता वितरण (से कम प्रकार का) सारणी बनाइए।
| भार (kg में) | $40-45$ | $45-50$ | $50-55$ | $55-60$ | $60-65$ | $65-70$ | $70-75$ | $75-80$ |
| व्यक्तियों की संख्या | $4$ | $4$ | $13$ | $5$ | $6$ | $5$ | $2$ | $1$ |
उपरोक्त आंकड़ों के लिए एक संचयी बारंबारता वितरण (से कम प्रकार का) सारणी बनाइए।
Solution
(N/A) संचयी बारंबारता वितरण (से कम प्रकार का) बनाने के लिए,हम वर्ग की ऊपरी सीमा तक की सभी बारंबारताओं को जोड़ते हैं।
| भार (kg में) | संचयी बारंबारता |
| $45$ से कम | $4$ |
| $50$ से कम | $4 + 4 = 8$ |
| $55$ से कम | $8 + 13 = 21$ |
| $60$ से कम | $21 + 5 = 26$ |
| $65$ से कम | $26 + 6 = 32$ |
| $70$ से कम | $32 + 5 = 37$ |
| $75$ से कम | $37 + 2 = 39$ |
| $80$ से कम | $39 + 1 = 40$ |
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Medium
एक कक्षा में छात्रों की ऊंचाइयों के निम्नलिखित वितरण में अज्ञात प्रविष्टियाँ $a, b, c, d, e, f$ ज्ञात कीजिए:
| ऊंचाई ($cm$ में) | बारंबारता | संचयी बारंबारता |
| $150-155$ | $12$ | $a$ |
| $155-160$ | $b$ | $25$ |
| $160-165$ | $10$ | $c$ |
| $165-170$ | $d$ | $43$ |
| $170-175$ | $e$ | $48$ |
| $175-180$ | $2$ | $f$ |
| कुल | $50$ | - |
Solution
(A) अज्ञात प्रविष्टियों को खोजने के लिए,हम संचयी बारंबारता की परिभाषा का उपयोग करते हैं,जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि वर्तमान वर्ग की बारंबारता और पिछले सभी वर्गों की बारंबारता का योग होती है।
$1$. पहले वर्ग $(150-155)$ के लिए,संचयी बारंबारता बारंबारता के बराबर होती है: $a = 12$।
$2$. दूसरे वर्ग $(155-160)$ के लिए,संचयी बारंबारता $12 + b = 25$ है। अतः,$b = 25 - 12 = 13$।
$3$. तीसरे वर्ग $(160-165)$ के लिए,संचयी बारंबारता $c = 12 + b + 10 = 12 + 13 + 10 = 35$ है।
$4$. चौथे वर्ग $(165-170)$ के लिए,संचयी बारंबारता $c + d = 43$ है। $c = 35$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $35 + d = 43$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = 43 - 35 = 8$।
$5$. पांचवें वर्ग $(170-175)$ के लिए,संचयी बारंबारता $43 + e = 48$ है। अतः,$e = 48 - 43 = 5$।
$6$. छठे वर्ग $(175-180)$ के लिए,संचयी बारंबारता $f = 48 + 2 = 50$ है। अतः,$f = 50$।
अतः,अज्ञात मान हैं: $a = 12, b = 13, c = 35, d = 8, e = 5, f = 50$।
$1$. पहले वर्ग $(150-155)$ के लिए,संचयी बारंबारता बारंबारता के बराबर होती है: $a = 12$।
$2$. दूसरे वर्ग $(155-160)$ के लिए,संचयी बारंबारता $12 + b = 25$ है। अतः,$b = 25 - 12 = 13$।
$3$. तीसरे वर्ग $(160-165)$ के लिए,संचयी बारंबारता $c = 12 + b + 10 = 12 + 13 + 10 = 35$ है।
$4$. चौथे वर्ग $(165-170)$ के लिए,संचयी बारंबारता $c + d = 43$ है। $c = 35$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $35 + d = 43$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = 43 - 35 = 8$।
$5$. पांचवें वर्ग $(170-175)$ के लिए,संचयी बारंबारता $43 + e = 48$ है। अतः,$e = 48 - 43 = 5$।
$6$. छठे वर्ग $(175-180)$ के लिए,संचयी बारंबारता $f = 48 + 2 = 50$ है। अतः,$f = 50$।
अतः,अज्ञात मान हैं: $a = 12, b = 13, c = 35, d = 8, e = 5, f = 50$।
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MediumMCQ
$600$ परिवारों की साप्ताहिक आय नीचे दी गई है:
माध्यिका आय (रुपये में) ज्ञात कीजिए।
| साप्ताहिक आय | परिवारों की संख्या |
| $0-1000$ | $250$ |
| $1000-2000$ | $190$ |
| $2000-3000$ | $100$ |
| $3000-4000$ | $40$ |
| $4000-5000$ | $15$ |
| $5000-6000$ | $5$ |
| कुल | $600$ |
माध्यिका आय (रुपये में) ज्ञात कीजिए।
A
$1336.45$
B
$1263.15$
C
$1263.85$
D
$1019.15$
Solution
(B) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:
यहाँ $n = 600$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n}{2} = \frac{600}{2} = 300$.
$300$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $440$ है,जो माध्यिका वर्ग $1000-2000$ के अंतर्गत आती है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 1000$,बारंबारता $f = 190$,माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 250$,और वर्ग अंतराल की माप $h = 1000$ है।
माध्यिका का सूत्र उपयोग करने पर:
$\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 1000 + \left( \frac{300 - 250}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \left( \frac{50}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \frac{5000}{19}$
$= 1000 + 263.157... \approx 1263.15$
अतः,माध्यिका आय $Rs. 1263.15$ है।
| साप्ताहिक आय (रु.) | परिवारों की संख्या $(f_i)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $0-1000$ | $250$ | $250$ |
| $1000-2000$ | $190$ | $440$ |
| $2000-3000$ | $100$ | $540$ |
| $3000-4000$ | $40$ | $580$ |
| $4000-5000$ | $15$ | $595$ |
| $5000-6000$ | $5$ | $600$ |
यहाँ $n = 600$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n}{2} = \frac{600}{2} = 300$.
$300$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $440$ है,जो माध्यिका वर्ग $1000-2000$ के अंतर्गत आती है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 1000$,बारंबारता $f = 190$,माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 250$,और वर्ग अंतराल की माप $h = 1000$ है।
माध्यिका का सूत्र उपयोग करने पर:
$\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 1000 + \left( \frac{300 - 250}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \left( \frac{50}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \frac{5000}{19}$
$= 1000 + 263.157... \approx 1263.15$
अतः,माध्यिका आय $Rs. 1263.15$ है।
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एक क्रिकेट कोचिंग सेंटर के $33$ खिलाड़ियों की अधिकतम बॉलिंग गति ($km/h$ में) नीचे दी गई है:
माध्यक (median) बॉलिंग गति ($km/h$ में) ज्ञात कीजिए।
| गति $(km/h)$ | $85-100$ | $100-115$ | $115-130$ | $130-145$ |
| खिलाड़ियों की संख्या | $11$ | $9$ | $8$ | $5$ |
माध्यक (median) बॉलिंग गति ($km/h$ में) ज्ञात कीजिए।
A
$108.25$
B
$110.32$
C
$109.17$
D
$121.21$
Solution
(C) यहाँ कुल खिलाड़ियों की संख्या $n = 33$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$.
माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम संचयी बारंबारता (cumulative frequency) देखते हैं:
- $85-100$: $11$
- $100-115$: $11 + 9 = 20$
चूंकि $16.5$,संचयी बारंबारता $20$ के अंतर्गत आता है,इसलिए माध्यक वर्ग $100-115$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $(l) = 100$,बारंबारता $(f) = 9$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 11$,और वर्ग अंतराल $(h) = 15$ है।
माध्यक का सूत्र उपयोग करने पर:
$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 100 + \left( \frac{16.5 - 11}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \left( \frac{5.5}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \frac{82.5}{9} = 100 + 9.166... \approx 109.17$.
अतः,माध्यक बॉलिंग गति $109.17 \, km/h$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$.
माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम संचयी बारंबारता (cumulative frequency) देखते हैं:
- $85-100$: $11$
- $100-115$: $11 + 9 = 20$
चूंकि $16.5$,संचयी बारंबारता $20$ के अंतर्गत आता है,इसलिए माध्यक वर्ग $100-115$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $(l) = 100$,बारंबारता $(f) = 9$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf) = 11$,और वर्ग अंतराल $(h) = 15$ है।
माध्यक का सूत्र उपयोग करने पर:
$\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 100 + \left( \frac{16.5 - 11}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \left( \frac{5.5}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \frac{82.5}{9} = 100 + 9.166... \approx 109.17$.
अतः,माध्यक बॉलिंग गति $109.17 \, km/h$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $65-85$ | $85-105$ | $105-125$ | $125-145$ | $145-165$ | $165-185$ | $185-205$ |
| बारंबारता | $4$ | $5$ | $13$ | $20$ | $14$ | $8$ | $4$ |
A
$134$
B
$136$
C
$135$
D
$137$
Solution
(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता सारणी तैयार करते हैं:
यहाँ,कुल बारंबारता $n = 68$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34$.
$34$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $42$ है,जो वर्ग $125-145$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $125-145$ है।
यहाँ,$l = 125$,$cf = 22$,$f = 20$ और वर्ग माप $h = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20$
$M = 125 + 12 = 137$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $137$ है।
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $65-85$ | $4$ | $4$ |
| $85-105$ | $5$ | $9$ |
| $105-125$ | $13$ | $22$ |
| $125-145$ | $20$ | $42$ |
| $145-165$ | $14$ | $56$ |
| $165-185$ | $8$ | $64$ |
| $185-205$ | $4$ | $68$ |
यहाँ,कुल बारंबारता $n = 68$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34$.
$34$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $42$ है,जो वर्ग $125-145$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $125-145$ है।
यहाँ,$l = 125$,$cf = 22$,$f = 20$ और वर्ग माप $h = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20$
$M = 125 + 12 = 137$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $137$ है।
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Medium
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $28.5$ है और कुल बारंबारता $60$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ |
| बारंबारता | $5$ | $x$ | $20$ | $15$ | $y$ | $5$ |
Solution
(X=8, Y=7)
यहाँ कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
चूँकि $n = 60$,$\frac{n}{2} = 30$ है।
माध्यक $28.5$ वर्ग $20-30$ में स्थित है। अतः,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
यहाँ $l = 20$,$cf = 5 + x$,$f = 20$ और वर्ग अंतराल $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 10$
$8.5 = \frac{25 - x}{2}$
$17 = 25 - x \implies x = 8$।
समीकरण $1$ में $x = 8$ रखने पर: $8 + y = 15 \implies y = 7$।
अतः,लुप्त बारंबारताएँ $x = 8$ और $y = 7$ हैं।
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $0-10$ | $5$ | $5$ |
| $10-20$ | $x$ | $5+x$ |
| $20-30$ | $20$ | $25+x$ |
| $30-40$ | $15$ | $40+x$ |
| $40-50$ | $y$ | $40+x+y$ |
| $50-60$ | $5$ | $45+x+y$ |
यहाँ कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
चूँकि $n = 60$,$\frac{n}{2} = 30$ है।
माध्यक $28.5$ वर्ग $20-30$ में स्थित है। अतः,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
यहाँ $l = 20$,$cf = 5 + x$,$f = 20$ और वर्ग अंतराल $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 10$
$8.5 = \frac{25 - x}{2}$
$17 = 25 - x \implies x = 8$।
समीकरण $1$ में $x = 8$ रखने पर: $8 + y = 15 \implies y = 7$।
अतः,लुप्त बारंबारताएँ $x = 8$ और $y = 7$ हैं।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $5-10$ | $10-15$ | $15-20$ | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ | $35-40$ | $40-45$ |
| बारंबारता | $5$ | $6$ | $15$ | $10$ | $5$ | $4$ | $2$ | $2$ |
A
$19$
B
$19.5$
C
$21$
D
$25.5$
Solution
(B) यहाँ कुल बारंबारता $n = 49$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{49}{2} = 24.5$.
$24.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $26$ है,जो वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $15-20$ है।
यहाँ,$l = 15$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा),$cf = 11$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता),$f = 15$ (माध्यक वर्ग की बारंबारता) और $h = 5$ (वर्ग माप)।
माध्यक का सूत्र: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 15 + \left( \frac{24.5 - 11}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \left( \frac{13.5}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \frac{13.5}{3} = 15 + 4.5 = 19.5$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $19.5$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{49}{2} = 24.5$.
$24.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $26$ है,जो वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $15-20$ है।
यहाँ,$l = 15$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा),$cf = 11$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता),$f = 15$ (माध्यक वर्ग की बारंबारता) और $h = 5$ (वर्ग माप)।
माध्यक का सूत्र: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 15 + \left( \frac{24.5 - 11}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \left( \frac{13.5}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \frac{13.5}{3} = 15 + 4.5 = 19.5$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $19.5$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $30-35$ | $35-40$ | $40-45$ | $45-50$ | $50-55$ | $55-60$ | $60-65$ | $65-70$ | $70-75$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $1$ | $2$ | $5$ | $10$ | $17$ | $15$ | $9$ | $5$ | $3$ |
A
$53.56$
B
$52.96$
C
$54.56$
D
$64.66$
Solution
(C) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 67$. अतः,$N/2 = 67/2 = 33.5$.
$cf$ स्तंभ को देखने पर,माध्यक वर्ग $50-55$ है क्योंकि $33.5$ इस अंतराल में आता है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 50$,वर्ग माप $h = 5$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 17$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 18$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{33.5 - 18}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{15.5}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \frac{77.5}{17} \approx 50 + 4.5588 \approx 54.56$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
|---|---|---|
| $30-35$ | $1$ | $1$ |
| $35-40$ | $2$ | $3$ |
| $40-45$ | $5$ | $8$ |
| $45-50$ | $10$ | $18$ |
| $50-55$ | $17$ | $35$ |
| $55-60$ | $15$ | $50$ |
| $60-65$ | $9$ | $59$ |
| $65-70$ | $5$ | $64$ |
| $70-75$ | $3$ | $67$ |
कुल बारंबारता $N = 67$. अतः,$N/2 = 67/2 = 33.5$.
$cf$ स्तंभ को देखने पर,माध्यक वर्ग $50-55$ है क्योंकि $33.5$ इस अंतराल में आता है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 50$,वर्ग माप $h = 5$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 17$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 18$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{33.5 - 18}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{15.5}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \frac{77.5}{17} \approx 50 + 4.5588 \approx 54.56$.
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ | $90-100$ | $100-110$ | $110-120$ |
| बारंबारता | $5$ | $15$ | $20$ | $30$ | $20$ | $8$ |
A
$90$
B
$91$
C
$92$
D
$93$
Solution
(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 98$. अतः,$N/2 = 98/2 = 49$.
$49$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $70$ है,जो वर्ग अंतराल $90-100$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $90-100$ है।
यहाँ,$l = 90$,$f = 30$,$cf = 40$,और $h = 10$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{49 - 40}{30} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{9}{30} \right) \times 10 = 90 + 3 = 93$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $60-70$ | $5$ | $5$ |
| $70-80$ | $15$ | $20$ |
| $80-90$ | $20$ | $40$ |
| $90-100$ | $30$ | $70$ |
| $100-110$ | $20$ | $90$ |
| $110-120$ | $8$ | $98$ |
कुल बारंबारता $N = 98$. अतः,$N/2 = 98/2 = 49$.
$49$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $70$ है,जो वर्ग अंतराल $90-100$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $90-100$ है।
यहाँ,$l = 90$,$f = 30$,$cf = 40$,और $h = 10$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{49 - 40}{30} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{9}{30} \right) \times 10 = 90 + 3 = 93$.
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DifficultMCQ
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ |
|---|---|
| $110-120$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ |
| $130-140$ | $48$ |
| $140-150$ | $72$ |
| $150-160$ | $116$ |
| $160-170$ | $60$ |
| $170-180$ | $38$ |
| $180-190$ | $22$ |
| $190-200$ | $3$ |
A
$153.79$
B
$125.95$
C
$195.95$
D
$190$
Solution
(A) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $110-120$ | $6$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ | $31$ |
| $130-140$ | $48$ | $79$ |
| $140-150$ | $72$ | $151$ |
| $150-160$ | $116$ | $267$ |
| $160-170$ | $60$ | $327$ |
| $170-180$ | $38$ | $365$ |
| $180-190$ | $22$ | $387$ |
| $190-200$ | $3$ | $390$ |
कुल बारंबारता $N = 390$. इसलिए,$N/2 = 390/2 = 195$.
$195$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $267$ है,जो वर्ग अंतराल $150-160$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $150-160$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 150$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 116$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 151$,और वर्ग माप $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{195 - 151}{116} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{44}{116} \right) \times 10 = 150 + \frac{440}{116} \approx 150 + 3.79 = 153.79$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $110-120$ | $6$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ | $31$ |
| $130-140$ | $48$ | $79$ |
| $140-150$ | $72$ | $151$ |
| $150-160$ | $116$ | $267$ |
| $160-170$ | $60$ | $327$ |
| $170-180$ | $38$ | $365$ |
| $180-190$ | $22$ | $387$ |
| $190-200$ | $3$ | $390$ |
कुल बारंबारता $N = 390$. इसलिए,$N/2 = 390/2 = 195$.
$195$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $267$ है,जो वर्ग अंतराल $150-160$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $150-160$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 150$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 116$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 151$,और वर्ग माप $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{195 - 151}{116} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{44}{116} \right) \times 10 = 150 + \frac{440}{116} \approx 150 + 3.79 = 153.79$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-20$ | $20-40$ | $40-60$ | $60-80$ | $80-100$ |
| बारंबारता | $5$ | $15$ | $20$ | $18$ | $2$ |
A
$60$
B
$50$
C
$150$
D
$55.5$
Solution
(B) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 60$. अतः,$N/2 = 60/2 = 30$.
$30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $40$ है,जो माध्यक वर्ग $40-60$ के संगत है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 40$,वर्ग माप $h = 20$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 20$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{30 - 20}{20} \right) \times 20$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{10}{20} \right) \times 20 = 40 + 10 = 50$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $0-20$ | $5$ | $5$ |
| $20-40$ | $15$ | $20$ |
| $40-60$ | $20$ | $40$ |
| $60-80$ | $18$ | $58$ |
| $80-100$ | $2$ | $60$ |
कुल बारंबारता $N = 60$. अतः,$N/2 = 60/2 = 30$.
$30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $40$ है,जो माध्यक वर्ग $40-60$ के संगत है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 40$,वर्ग माप $h = 20$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 20$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{30 - 20}{20} \right) \times 20$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{10}{20} \right) \times 20 = 40 + 10 = 50$.
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DifficultMCQ
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्यक (median) ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| आवृत्ति | $2$ | $6$ | $8$ | $16$ | $20$ | $18$ | $16$ | $14$ |
A
$55$
B
$50$
C
$49$
D
$49.5$
Solution
(C) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल आवृत्ति $N = 100$ है। इसलिए,$N/2 = 50$ है।
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $52$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$f = 20$,$cf = 32$,और $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{50 - 32}{20} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{18}{20} \right) \times 10 = 40 + 9 = 49$.
| वर्ग | आवृत्ति $(f)$ | संचयी आवृत्ति $(cf)$ |
| $0-10$ | $2$ | $2$ |
| $10-20$ | $6$ | $8$ |
| $20-30$ | $8$ | $16$ |
| $30-40$ | $16$ | $32$ |
| $40-50$ | $20$ | $52$ |
| $50-60$ | $18$ | $70$ |
| $60-70$ | $16$ | $86$ |
| $70-80$ | $14$ | $100$ |
कुल आवृत्ति $N = 100$ है। इसलिए,$N/2 = 50$ है।
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $52$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$f = 20$,$cf = 32$,और $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{50 - 32}{20} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{18}{20} \right) \times 10 = 40 + 9 = 49$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-5$ | $5-10$ | $10-15$ | $15-20$ | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $5$ | $15$ | $15$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
A
$21.90$
B
$23.67$
C
$12.57$
D
$11.67$
Solution
(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 50$. इसलिए,$N/2 = 25$.
$25$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $35$ है,जो वर्ग अंतराल $10-15$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $10-15$ है।
यहाँ,$l = 10$,$f = 15$,$cf$ (पूर्ववर्ती वर्ग की) $= 20$,और $h = 5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{25 - 20}{15} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{5}{15} \right) \times 5 = 10 + \frac{25}{15} = 10 + 1.666... = 11.67$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
|---|---|---|
| $0-5$ | $5$ | $5$ |
| $5-10$ | $15$ | $20$ |
| $10-15$ | $15$ | $35$ |
| $15-20$ | $8$ | $43$ |
| $20-25$ | $4$ | $47$ |
| $25-30$ | $2$ | $49$ |
| $30-35$ | $1$ | $50$ |
कुल बारंबारता $N = 50$. इसलिए,$N/2 = 25$.
$25$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $35$ है,जो वर्ग अंतराल $10-15$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $10-15$ है।
यहाँ,$l = 10$,$f = 15$,$cf$ (पूर्ववर्ती वर्ग की) $= 20$,और $h = 5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{25 - 20}{15} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{5}{15} \right) \times 5 = 10 + \frac{25}{15} = 10 + 1.666... = 11.67$.
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Difficult
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $525$ है और कुल बारंबारता $100$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-100$ | $100-200$ | $200-300$ | $300-400$ | $400-500$ | $500-600$ | $600-700$ | $700-800$ | $800-900$ | $900-1000$ |
| बारंबारता | $2$ | $5$ | $x$ | $12$ | $17$ | $20$ | $y$ | $9$ | $7$ | $4$ |
Solution
(A) दिया गया है,कुल बारंबारता $N = 100$ है।
बारंबारताओं का योग: $2 + 5 + x + 12 + 17 + 20 + y + 9 + 7 + 4 = 100$
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ --- $(1)$
चूंकि माध्यक $525$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $500-600$ है।
यहाँ,$l = 500$,$f = 20$,$cf = (2 + 5 + x + 12 + 17) = 36 + x$,$h = 100$,और $N/2 = 50$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x \implies x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर: $9 + y = 24 \implies y = 15$।
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ है।
बारंबारताओं का योग: $2 + 5 + x + 12 + 17 + 20 + y + 9 + 7 + 4 = 100$
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ --- $(1)$
चूंकि माध्यक $525$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $500-600$ है।
यहाँ,$l = 500$,$f = 20$,$cf = (2 + 5 + x + 12 + 17) = 36 + x$,$h = 100$,और $N/2 = 50$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x \implies x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर: $9 + y = 24 \implies y = 15$।
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ है।
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Difficult
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $46$ है और कुल बारंबारता $230$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $12$ | $30$ | $x$ | $65$ | $y$ | $25$ | $18$ |
Solution
(N/A) दी गई कुल बारंबारता $N = 230$ है।
बारंबारताओं का योग: $12 + 30 + x + 65 + y + 25 + 18 = 230$
$150 + x + y = 230 \implies x + y = 80$ ---(समीकरण $1$)
चूंकि माध्यक $46$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$h = 10$,$f = 65$,$N = 230$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 12 + 30 + x = 42 + x$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{115 - (42 + x)}{65} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{73 - x}{65} \right) \times 10$
$6 \times 6.5 = 73 - x$
$39 = 73 - x \implies x = 34$.
समीकरण $1$ में $x = 34$ रखने पर: $34 + y = 80 \implies y = 46$.
अतः,$x = 34$ और $y = 46$ है।
बारंबारताओं का योग: $12 + 30 + x + 65 + y + 25 + 18 = 230$
$150 + x + y = 230 \implies x + y = 80$ ---(समीकरण $1$)
चूंकि माध्यक $46$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$h = 10$,$f = 65$,$N = 230$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 12 + 30 + x = 42 + x$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{115 - (42 + x)}{65} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{73 - x}{65} \right) \times 10$
$6 \times 6.5 = 73 - x$
$39 = 73 - x \implies x = 34$.
समीकरण $1$ में $x = 34$ रखने पर: $34 + y = 80 \implies y = 46$.
अतः,$x = 34$ और $y = 46$ है।
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Medium
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $50$ है और कुल बारंबारता $60$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-20$ | $20-40$ | $40-60$ | $60-80$ | $80-100$ |
| बारंबारता | $5$ | $x$ | $20$ | $y$ | $2$ |
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 60$ है।
बारंबारताओं का योग: $5 + x + 20 + y + 2 = 60 \implies x + y + 27 = 60 \implies x + y = 33$ (समीकरण $1$)।
चूंकि माध्यक $50$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-60$ है। यहाँ,$l = 40$,$h = 20$,$f = 20$,$cf = 5 + x$,और $N/2 = 30$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$।
$50 = 40 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 20$।
$50 = 40 + (25 - x)$।
$50 = 65 - x \implies x = 15$।
समीकरण $1$ में $x = 15$ रखने पर: $15 + y = 33 \implies y = 18$।
अतः,$x = 15$ और $y = 18$ है।
बारंबारताओं का योग: $5 + x + 20 + y + 2 = 60 \implies x + y + 27 = 60 \implies x + y = 33$ (समीकरण $1$)।
चूंकि माध्यक $50$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-60$ है। यहाँ,$l = 40$,$h = 20$,$f = 20$,$cf = 5 + x$,और $N/2 = 30$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$।
$50 = 40 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 20$।
$50 = 40 + (25 - x)$।
$50 = 65 - x \implies x = 15$।
समीकरण $1$ में $x = 15$ रखने पर: $15 + y = 33 \implies y = 18$।
अतः,$x = 15$ और $y = 18$ है।
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Medium
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $49$ है और कुल बारंबारता $100$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $2$ | $6$ | $8$ | $x$ | $20$ | $18$ | $y$ | $14$ |
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 100$ है,इसलिए $2 + 6 + 8 + x + 20 + 18 + y + 14 = 100$.
$68 + x + y = 100 \implies x + y = 32$ (समीकरण $1$).
चूंकि माध्यक $49$ है,माध्यक वर्ग $40-50$ है। यहाँ $l = 40$,$f = 20$,$cf = 2 + 6 + 8 + x = 16 + x$,और $h = 10$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$49 = 40 + \left( \frac{50 - (16 + x)}{20} \right) \times 10$.
$9 = \frac{34 - x}{2} \implies 18 = 34 - x \implies x = 16$.
समीकरण $1$ में $x = 16$ रखने पर: $16 + y = 32 \implies y = 16$.
अतः,$x = 16$ और $y = 16$ है।
$68 + x + y = 100 \implies x + y = 32$ (समीकरण $1$).
चूंकि माध्यक $49$ है,माध्यक वर्ग $40-50$ है। यहाँ $l = 40$,$f = 20$,$cf = 2 + 6 + 8 + x = 16 + x$,और $h = 10$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$49 = 40 + \left( \frac{50 - (16 + x)}{20} \right) \times 10$.
$9 = \frac{34 - x}{2} \implies 18 = 34 - x \implies x = 16$.
समीकरण $1$ में $x = 16$ रखने पर: $16 + y = 32 \implies y = 16$.
अतः,$x = 16$ और $y = 16$ है।
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EasyMCQ
माध्यक (median) के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$l = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
B
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
C
माध्यक वर्ग की बारंबारता
D
कुल बारंबारता
Solution
(B) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक के सूत्र $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ में,पद $l$ माध्यक वर्ग की निम्न सीमा को दर्शाता है।
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EasyMCQ
माध्यिका के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$n = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा
B
वर्ग की लंबाई
C
कुल बारंबारता
D
माध्यिका वर्ग की बारंबारता
Solution
(C) माध्यिका के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$n$ दी गई डेटा वितरण की कुल बारंबारता को दर्शाता है,जो सभी व्यक्तिगत बारंबारताओं का योग है,अर्थात $n = \sum f_i$।
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माध्यिका के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times c$ में,$cf = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
B
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा
C
माध्यिका वर्ग की बारंबारता
D
वर्ग माप
Solution
(A) माध्यिका के सूत्र में,$cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता को दर्शाता है। यहाँ,$l$ माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा है,$n$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है,$f$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता है,और $c$ वर्ग माप (या वर्ग की लंबाई) है।
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माध्यक के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$f = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
B
माध्यक वर्ग की बारंबारता
C
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
D
वर्ग माप
Solution
(B) माध्यक के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$f$ माध्यक वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
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माध्यक (median) के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$h = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
B
माध्यक वर्ग की बारंबारता
C
वर्ग माप (वर्ग की लंबाई)
D
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
Solution
(C) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक के सूत्र $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ में,पद $h$ माध्यक वर्ग की वर्ग माप या वर्ग की लंबाई को दर्शाता है। अतः,$h = \text{वर्ग की लंबाई}$।
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निम्नलिखित आंकड़ों के लिए,माध्यक वर्ग $\ldots \ldots \ldots$ है।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ |
| बारंबारता | $12$ | $18$ | $20$ | $17$ | $13$ |
A
$10-20$
B
$40-50$
C
$30-40$
D
$20-30$
Solution
(D) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले दिए गए आंकड़ों के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
$1$. वर्ग $0-10$: बारंबारता $12$,$cf = 12$
$2$. वर्ग $10-20$: बारंबारता $18$,$cf = 12 + 18 = 30$
$3$. वर्ग $20-30$: बारंबारता $20$,$cf = 30 + 20 = 50$
$4$. वर्ग $30-40$: बारंबारता $17$,$cf = 50 + 17 = 67$
$5$. वर्ग $40-50$: बारंबारता $13$,$cf = 67 + 13 = 80$
प्रेक्षणों की कुल संख्या $N = 80$ है।
हम $N/2 = 80/2 = 40$ ज्ञात करते हैं।
माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी संचयी बारंबारता $N/2 = 40$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
संचयी बारंबारताओं $(12, 30, 50, 67, 80)$ को देखने पर,$40$ से बड़ी पहली संख्या $50$ है।
अतः,संगत वर्ग अंतराल $20-30$ है।
$1$. वर्ग $0-10$: बारंबारता $12$,$cf = 12$
$2$. वर्ग $10-20$: बारंबारता $18$,$cf = 12 + 18 = 30$
$3$. वर्ग $20-30$: बारंबारता $20$,$cf = 30 + 20 = 50$
$4$. वर्ग $30-40$: बारंबारता $17$,$cf = 50 + 17 = 67$
$5$. वर्ग $40-50$: बारंबारता $13$,$cf = 67 + 13 = 80$
प्रेक्षणों की कुल संख्या $N = 80$ है।
हम $N/2 = 80/2 = 40$ ज्ञात करते हैं।
माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी संचयी बारंबारता $N/2 = 40$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
संचयी बारंबारताओं $(12, 30, 50, 67, 80)$ को देखने पर,$40$ से बड़ी पहली संख्या $50$ है।
अतः,संगत वर्ग अंतराल $20-30$ है।
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संचयी बारंबारता वक्र को ........ के रूप में भी जाना जाता है।
A
बारंबारता बहुभुज
B
स्तंभ आरेख
C
ओजाइव (ogive)
D
दंड आरेख
Solution
(C) संचयी बारंबारता वक्र,संचयी बारंबारता वितरण का एक ग्राफिकल निरूपण है।
इसे $x$-अक्ष पर वर्ग की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर संबंधित संचयी बारंबारताओं को लेकर खींचा जाता है।
इस वक्र को सामान्यतः $ogive$ (ओजाइव) कहा जाता है।
इसे $x$-अक्ष पर वर्ग की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर संबंधित संचयी बारंबारताओं को लेकर खींचा जाता है।
इस वक्र को सामान्यतः $ogive$ (ओजाइव) कहा जाता है।
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वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करने का सूत्र $\ldots \ldots \ldots \ldots$ है।
A
$M = 3Z - 2\bar{x}$
B
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
C
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f_1 - f_2} \right) \times h$
D
$M = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
Solution
(B) वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
जहाँ:
$l$ = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
$n$ = प्रेक्षणों की कुल संख्या
$cf$ = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
$f$ = माध्यक वर्ग की बारंबारता
$h$ = वर्ग माप (वर्ग अंतराल की चौड़ाई)।
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
जहाँ:
$l$ = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
$n$ = प्रेक्षणों की कुल संख्या
$cf$ = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
$f$ = माध्यक वर्ग की बारंबारता
$h$ = वर्ग माप (वर्ग अंतराल की चौड़ाई)।
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एक दिए गए बारंबारता वितरण के लिए,प्रथम,द्वितीय और तृतीय वर्ग की बारंबारताएँ क्रमशः $8$,$15$ और $18$ हैं। तो,तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता $\ldots \ldots \ldots \ldots$ है।
A
$23$
B
$33$
C
$41$
D
$26$
Solution
(C) किसी वर्ग की संचयी बारंबारता उस वर्ग तक के सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग होती है।
तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता = (प्रथम वर्ग की बारंबारता) + (द्वितीय वर्ग की बारंबारता) + (तृतीय वर्ग की बारंबारता)
तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता = $8 + 15 + 18 = 41$.
तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता = (प्रथम वर्ग की बारंबारता) + (द्वितीय वर्ग की बारंबारता) + (तृतीय वर्ग की बारंबारता)
तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता = $8 + 15 + 18 = 41$.
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एक दिए गए बारंबारता वितरण के लिए,चौथे वर्ग की संचयी बारंबारता $25$ है और चौथे वर्ग की बारंबारता $10$ है। तो,तीसरे वर्ग की संचयी बारंबारता ............... है।
A
$35$
B
$22$
C
$20$
D
$15$
Solution
(D) किसी वर्ग की संचयी बारंबारता उस वर्ग तक की सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग होती है।
मान लीजिए कि $cf_n$ $n$-वें वर्ग की संचयी बारंबारता है और $f_n$ $n$-वें वर्ग की बारंबारता है।
हम जानते हैं कि $cf_n = cf_{n-1} + f_n$ होता है।
इसलिए,$cf_{n-1} = cf_n - f_n$ होगा।
यहाँ दिया गया है कि चौथे वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf_4)$ $25$ है और चौथे वर्ग की बारंबारता $(f_4)$ $10$ है,इसलिए:
$cf_3 = cf_4 - f_4$
$cf_3 = 25 - 10 = 15$.
अतः,तीसरे वर्ग की संचयी बारंबारता $15$ है।
मान लीजिए कि $cf_n$ $n$-वें वर्ग की संचयी बारंबारता है और $f_n$ $n$-वें वर्ग की बारंबारता है।
हम जानते हैं कि $cf_n = cf_{n-1} + f_n$ होता है।
इसलिए,$cf_{n-1} = cf_n - f_n$ होगा।
यहाँ दिया गया है कि चौथे वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf_4)$ $25$ है और चौथे वर्ग की बारंबारता $(f_4)$ $10$ है,इसलिए:
$cf_3 = cf_4 - f_4$
$cf_3 = 25 - 10 = 15$.
अतः,तीसरे वर्ग की संचयी बारंबारता $15$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन में माध्यक वर्ग .......... है।
| वर्ग | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ | $35-40$ | $40-45$ | $45-50$ | $50-55$ |
| बारंबारता | $2$ | $5$ | $8$ | $10$ | $7$ | $10$ | $3$ |
A
$35-40$
B
$30-35$
C
$40-45$
D
$45-50$
Solution
(A) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ ज्ञात करें:
- $20-25$: $cf = 2$
- $25-30$: $cf = 2 + 5 = 7$
- $30-35$: $cf = 7 + 8 = 15$
- $35-40$: $cf = 15 + 10 = 25$
- $40-45$: $cf = 25 + 7 = 32$
- $45-50$: $cf = 32 + 10 = 42$
- $50-55$: $cf = 42 + 3 = 45$
कुल बारंबारता $n = 45$ है।
हमें $\frac{n}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$ ज्ञात करना है।
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $22.5$ से ठीक बड़ी है।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर,$25$ वह पहला मान है जो $22.5$ से बड़ा है,जो वर्ग अंतराल $35-40$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $35-40$ है।
- $20-25$: $cf = 2$
- $25-30$: $cf = 2 + 5 = 7$
- $30-35$: $cf = 7 + 8 = 15$
- $35-40$: $cf = 15 + 10 = 25$
- $40-45$: $cf = 25 + 7 = 32$
- $45-50$: $cf = 32 + 10 = 42$
- $50-55$: $cf = 42 + 3 = 45$
कुल बारंबारता $n = 45$ है।
हमें $\frac{n}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$ ज्ञात करना है।
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $22.5$ से ठीक बड़ी है।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर,$25$ वह पहला मान है जो $22.5$ से बड़ा है,जो वर्ग अंतराल $35-40$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $35-40$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन में माध्यक वर्ग $\ldots \ldots \ldots \ldots$ है।
| वर्ग | $10-25$ | $25-40$ | $40-55$ | $55-70$ | $70-85$ | $85-100$ |
| बारंबारता | $5$ | $21$ | $21$ | $8$ | $25$ | $20$ |
A
$70-85$
B
$25-40$
C
$40-55$
D
$55-70$
Solution
(D) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करें:
$1$. वर्ग $10-25$: $cf = 5$
$2$. वर्ग $25-40$: $cf = 5 + 21 = 26$
$3$. वर्ग $40-55$: $cf = 26 + 21 = 47$
$4$. वर्ग $55-70$: $cf = 47 + 8 = 55$
$5$. वर्ग $70-85$: $cf = 55 + 25 = 80$
$6$. वर्ग $85-100$: $cf = 80 + 20 = 100$
कुल बारंबारता $n = 100$ है।
$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$ की गणना करें।
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{n}{2} = 50$ से ठीक बड़ी या उसके बराबर होती है।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर: $5, 26, 47, 55, 80, 100$। $50$ से बड़ी पहली संचयी बारंबारता $55$ है,जो वर्ग $55-70$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $55-70$ है।
$1$. वर्ग $10-25$: $cf = 5$
$2$. वर्ग $25-40$: $cf = 5 + 21 = 26$
$3$. वर्ग $40-55$: $cf = 26 + 21 = 47$
$4$. वर्ग $55-70$: $cf = 47 + 8 = 55$
$5$. वर्ग $70-85$: $cf = 55 + 25 = 80$
$6$. वर्ग $85-100$: $cf = 80 + 20 = 100$
कुल बारंबारता $n = 100$ है।
$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$ की गणना करें।
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{n}{2} = 50$ से ठीक बड़ी या उसके बराबर होती है।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर: $5, 26, 47, 55, 80, 100$। $50$ से बड़ी पहली संचयी बारंबारता $55$ है,जो वर्ग $55-70$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $55-70$ है।
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View Solution49
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक वर्ग ........... है।
| वर्ग | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $6$ | $10$ | $5$ | $6$ | $4$ | $2$ | $2$ |
A
$30-40$
B
$20-30$
C
$40-50$
D
$50-60$
Solution
(A) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले कुल बारंबारता $n = \sum f_i = 6 + 10 + 5 + 6 + 4 + 2 + 2 = 35$ ज्ञात करते हैं।
माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जो $\frac{n}{2}$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता के संगत होता है।
यहाँ,$\frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$ है।
आइए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करें:
वर्ग $10-20$: $cf = 6$
वर्ग $20-30$: $cf = 6 + 10 = 16$
वर्ग $30-40$: $cf = 16 + 5 = 21$
चूंकि $21$ वह पहली संचयी बारंबारता है जो $17.5$ से बड़ी है,इसलिए संगत वर्ग अंतराल $30-40$ माध्यक वर्ग है।
माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जो $\frac{n}{2}$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता के संगत होता है।
यहाँ,$\frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$ है।
आइए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करें:
वर्ग $10-20$: $cf = 6$
वर्ग $20-30$: $cf = 6 + 10 = 16$
वर्ग $30-40$: $cf = 16 + 5 = 21$
चूंकि $21$ वह पहली संचयी बारंबारता है जो $17.5$ से बड़ी है,इसलिए संगत वर्ग अंतराल $30-40$ माध्यक वर्ग है।
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View Solution50
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए माध्यक वर्ग ........... है।
कुल बारंबारता $n = 50$ है।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ |
| बारंबारता | $4$ | $5$ | $9$ | $10$ | $14$ | $8$ |
कुल बारंबारता $n = 50$ है।
A
$20-30$
B
$30-40$
C
$40-50$
D
$50-60$
Solution
(B) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
$1$. वर्ग $0-10$ के लिए,$cf = 4$.
$2$. वर्ग $10-20$ के लिए,$cf = 4 + 5 = 9$.
$3$. वर्ग $20-30$ के लिए,$cf = 9 + 9 = 18$.
$4$. वर्ग $30-40$ के लिए,$cf = 18 + 10 = 28$.
$5$. वर्ग $40-50$ के लिए,$cf = 28 + 14 = 42$.
$6$. वर्ग $50-60$ के लिए,$cf = 42 + 8 = 50$.
अवलोकनों की कुल संख्या $n = 50$ है।
हमें वह वर्ग ज्ञात करना है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$ से अधिक या उसके बराबर हो।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर: $4, 9, 18, 28, 42, 50$.
$25$ से बड़ी पहली संचयी बारंबारता $28$ है,जो वर्ग अंतराल $30-40$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $30-40$ है।
$1$. वर्ग $0-10$ के लिए,$cf = 4$.
$2$. वर्ग $10-20$ के लिए,$cf = 4 + 5 = 9$.
$3$. वर्ग $20-30$ के लिए,$cf = 9 + 9 = 18$.
$4$. वर्ग $30-40$ के लिए,$cf = 18 + 10 = 28$.
$5$. वर्ग $40-50$ के लिए,$cf = 28 + 14 = 42$.
$6$. वर्ग $50-60$ के लिए,$cf = 42 + 8 = 50$.
अवलोकनों की कुल संख्या $n = 50$ है।
हमें वह वर्ग ज्ञात करना है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$ से अधिक या उसके बराबर हो।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर: $4, 9, 18, 28, 42, 50$.
$25$ से बड़ी पहली संचयी बारंबारता $28$ है,जो वर्ग अंतराल $30-40$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $30-40$ है।
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View SolutionStatistics — Median of Grouped Data · Frequently Asked Questions
1Are these Statistics questions useful for JEE and NEET?
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