Mean of Grouped Data Questions in Hindi

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अंक $(x_{i})$ का उसकी संगत बारंबारता $(f_{i})$ के साथ गुणनफल ज्ञात करते हैं।

प्राप्त अंक $(x_{i})$	विद्यार्थियों की संख्या $(f_{i})$	$f_{i}x_{i}$
$10$	$1$	$10$
$20$	$1$	$20$
$36$	$3$	$108$
$40$	$4$	$160$
$50$	$3$	$150$
$56$	$2$	$112$
$60$	$4$	$240$
$70$	$4$	$280$
$72$	$1$	$72$
$80$	$1$	$80$
$88$	$2$	$176$
$92$	$3$	$276$
$95$	$1$	$95$
योग	$\Sigma f_{i} = 30$	$\Sigma f_{i}x_{i} = 1779$

माध्य $\bar{x}$ का सूत्र है:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i}x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{1779}{30} = 59.3$
अतः,विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य $59.3$ है।

(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ निर्धारित करते हैं।
माना कल्पित माध्य $a = 50$ और वर्ग अंतराल की माप $h = 10$ है। तब $d_i = x_i - 50$ और $u_i = \frac{x_i - 50}{10}$ होगा।

महिला शिक्षकों का प्रतिशत	राज्यों/के.शा.प्र. की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 50$	$u_i = \frac{x_i - 50}{10}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$15$-$25$	$6$	$20$	-$30$	-$3$	$120$	-$180$	-$18$
$25$-$35$	$11$	$30$	-$20$	-$2$	$330$	-$220$	-$22$
$35$-$45$	$7$	$40$	-$10$	-$1$	$280$	-$70$	-$7$
$45$-$55$	$4$	$50$	$0$	$0$	$200$	$0$	$0$
$55$-$65$	$4$	$60$	$10$	$1$	$240$	$40$	$4$
$65$-$75$	$2$	$70$	$20$	$2$	$140$	$40$	$4$
$75$-$85$	$1$	$80$	$30$	$3$	$80$	$30$	$3$
कुल	$35$	-	-	-	$1390$	-$360$	-$36$

तालिका से,हमें $\Sigma f_i = 35, \Sigma f_i x_i = 1390, \Sigma f_i d_i = -360, \Sigma f_i u_i = -36$ प्राप्त होता है।
$1$. प्रत्यक्ष विधि: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1390}{35} \approx 39.71$.
$2$. कल्पित माध्य विधि: $\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 50 + \frac{-360}{35} = 50 - 10.29 = 39.71$.
$3$. पद-विचलन विधि: $\bar{x} = a + \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) \times h = 50 + \left(\frac{-36}{35}\right) \times 10 = 50 - 10.29 = 39.71$.
अतः,महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत $39.71$ है।

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग-चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं।

विकेटों की संख्या	गेंदबाजों की संख्या $(f_i)$	वर्ग-चिह्न $(x_i)$	$f_i x_i$
$20$-$60$	$7$	$40$	$280$
$60$-$100$	$5$	$80$	$400$
$100$-$150$	$16$	$125$	$2000$
$150$-$250$	$12$	$200$	$2400$
$250$-$350$	$2$	$300$	$600$
$350$-$450$	$3$	$400$	$1200$
कुल	$\sum f_i = 45$		$\sum f_i x_i = 6880$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{6880}{45} \approx 152.89$.
यह माध्य दर्शाता है कि,औसतन,गेंदबाजों ने दी गई एक-दिवसीय क्रिकेट मैचों में $152.89$ विकेट लिए हैं।

(D) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
वर्ग चिह्न $(x_i) = \frac{\text{ऊपरी वर्ग सीमा} + \text{निचली वर्ग सीमा}}{2}$
$x_i$ और $f_ix_i$ के मानों की गणना इस प्रकार है:

पौधों की संख्या	घरों की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$f_ix_i$
$0-2$	$1$	$1$	$1 \times 1 = 1$
$2-4$	$2$	$3$	$2 \times 3 = 6$
$4-6$	$1$	$5$	$1 \times 5 = 5$
$6-8$	$5$	$7$	$5 \times 7 = 35$
$8-10$	$6$	$9$	$6 \times 9 = 54$
$10-12$	$2$	$11$	$2 \times 11 = 22$
$12-14$	$3$	$13$	$3 \times 13 = 39$
कुल	$\sum f_i = 20$		$\sum f_ix_i = 162$

सारणी से,हमारे पास $\sum f_i = 20$ और $\sum f_ix_i = 162$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= \frac{162}{20} = 8.1$.
अतः,प्रति घर पौधों की माध्य संख्या $8.1$ है।
यहाँ प्रत्यक्ष विधि (Direct Method) का उपयोग किया गया है क्योंकि $x_i$ और $f_i$ के मान छोटे हैं,जिससे गणना सरल हो जाती है।

(A) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
यहाँ वर्ग माप $(h) = 20$ है।
कल्पित माध्य $(a) = 150$ मानते हुए,$d_i$,$u_i$ और $f_i u_i$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{दैनिक वेतन} & f_i & x_i & d_i = x_i - 150 & u_i = \frac{d_i}{20} & f_i u_i \\ \hline 100-120 & 12 & 110 & -40 & -2 & -24 \\ \hline 120-140 & 14 & 130 & -20 & -1 & -14 \\ \hline 140-160 & 8 & 150 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 160-180 & 6 & 170 & 20 & 1 & 6 \\ \hline 180-200 & 10 & 190 & 40 & 2 & 20 \\ \hline \text{कुल} & 50 & & & & -12 \\ \hline \end{array}$
सारणी से,हमारे पास है:
$\sum f_i = 50$
$\sum f_i u_i = -12$
पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए,माध्य $\bar{x}$ इस प्रकार है:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 150 + \left( \frac{-12}{50} \right) \times 20$
$\bar{x} = 150 - \frac{240}{50} = 150 - 4.8$
$\bar{x} = 145.2$
अतः,फैक्ट्री के श्रमिकों का माध्य दैनिक वेतन $Rs. 145.20$ है।

(B) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_{i})$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
दिया गया है कि,माध्य जेब भत्ता,$\bar{x} = Rs. 18$.
कल्पित माध्य $(a) = 18$ लेते हुए,$d_{i}$ और $f_{i}d_{i}$ की गणना इस प्रकार है:

दैनिक जेब भत्ता (in $Rs.$)	बच्चों की संख्या $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 18$	$f_{i}d_{i}$
$11-13$	$7$	$12$	$-6$	$-42$
$13-15$	$6$	$14$	$-4$	$-24$
$15-17$	$9$	$16$	$-2$	$-18$
$17-19$	$13$	$18$	$0$	$0$
$19-21$	$f$	$20$	$2$	$2f$
$21-23$	$5$	$22$	$4$	$20$
$23-25$	$4$	$24$	$6$	$24$
कुल	$\sum f_{i} = 44 + f$			$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$

तालिका से,हमें प्राप्त होता है:
$\sum f_{i} = 44 + f$
$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$
माध्य के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i}d_{i}}{\sum f_{i}}$
$18 = 18 + \left(\frac{2f - 40}{44 + f}\right)$
$0 = \frac{2f - 40}{44 + f}$
$2f - 40 = 0$
$2f = 40$
$f = 20$
अतः,लुप्त बारंबारता $f$ का मान $20$ है।

(C) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:
$x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
इस डेटा के लिए वर्ग का आकार $(h) = 3$ है।
कल्पित माध्य $(a) = 75.5$ लेते हुए,$d_i, u_i,$ और $f_i u_i$ की गणना इस प्रकार है:

प्रति मिनट हृदय की धड़कन	महिलाओं की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 75.5$	$u_i = \frac{d_i}{3}$	$f_i u_i$
$65$-$68$	$2$	$66.5$	-$9$	-$3$	-$6$
$68$-$71$	$4$	$69.5$	-$6$	-$2$	-$8$
$71$-$74$	$3$	$72.5$	-$3$	-$1$	-$3$
$74$-$77$	$8$	$75.5$	$0$	$0$	$0$
$77$-$80$	$7$	$78.5$	$3$	$1$	$7$
$80$-$83$	$4$	$81.5$	$6$	$2$	$8$
$83$-$86$	$2$	$84.5$	$9$	$3$	$6$
कुल	$30$	-	-	-	$4$

तालिका से,हमें $\sum f_i = 30$ और $\sum f_i u_i = 4$ प्राप्त होता है।
माध्य $\bar{x}$ की गणना पद-विचलन विधि द्वारा की जाती है:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 75.5 + \left( \frac{4}{30} \right) \times 3$
$\bar{x} = 75.5 + 0.4 = 75.9$
अतः,इन महिलाओं के लिए प्रति मिनट माध्य हृदय धड़कन $75.9$ है।

(D) वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं। दो क्रमिक वर्ग अंतरालों के बीच का अंतर $1$ है। उन्हें सतत बनाने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं।

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$d_i = x_i - 57$	$u_i = d_i / 3$	$f_i u_i$
$49.5-52.5$	$15$	$51$	$-6$	$-2$	$-30$
$52.5-55.5$	$110$	$54$	$-3$	$-1$	$-110$
$55.5-58.5$	$135$	$57$	$0$	$0$	$0$
$58.5-61.5$	$115$	$60$	$3$	$1$	$115$
$61.5-64.5$	$25$	$63$	$6$	$2$	$50$
कुल	$400$				$25$

यहाँ,$\sum f_i = 400$,$\sum f_i u_i = 25$,कल्पित माध्य $a = 57$,और वर्ग माप $h = 3$ है।
पद-विचलन (Step-deviation) विधि का उपयोग करते हुए:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 57 + \left( \frac{25}{400} \right) \times 3 = 57 + \frac{75}{400} = 57 + 0.1875 = 57.1875 \approx 57.19$.
हमने पद-विचलन विधि का चयन किया क्योंकि $f_i$ और $d_i$ के मान बड़े हैं और एक सामान्य गुणनखंड $h=3$ मौजूद है।

(A) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_{i})$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
वर्ग का आकार $(h) = 50$ है।
कल्पित माध्य $(a) = 225$ मानकर,$d_i$,$u_i$,और $f_iu_i$ की गणना इस प्रकार की जाती है:

दैनिक व्यय (रु. में)	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i} = x_{i} - 225$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{50}$	$f_{i}u_{i}$
$100-150$	$4$	$125$	$-100$	$-2$	$-8$
$150-200$	$5$	$175$	$-50$	$-1$	$-5$
$200-250$	$12$	$225$	$0$	$0$	$0$
$250-300$	$2$	$275$	$50$	$1$	$2$
$300-350$	$2$	$325$	$100$	$2$	$4$
कुल	$\Sigma f_{i} = 25$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -7$

पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए:
माध्य $(\bar{x}) = a + \left(\frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h$
$\bar{x} = 225 + \left(\frac{-7}{25}\right) \times 50$
$\bar{x} = 225 + (-7 \times 2)$
$\bar{x} = 225 - 14 = 211$
अतः,भोजन पर माध्य दैनिक व्यय $Rs. 211$ है।

(B) प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_{i})$ ज्ञात करने के लिए,हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:
$x_{i} = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
वर्ग का आकार $(h)$ = $0.04 - 0.00 = 0.04$ है।
कल्पित माध्य $(a)$ = $0.14$ मान लेते हैं।
हम $d_{i} = x_{i} - a$ और $u_{i} = \frac{d_{i}}{h}$ की गणना करते हैं।

$SO_{2}$ की सांद्रता $(ppm)$	बारंबारता $(f_{i})$	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 0.14$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{0.04}$	$f_{i}u_{i}$
$0.00-0.04$	$4$	$0.02$	$-0.12$	$-3$	$-12$
$0.04-0.08$	$9$	$0.06$	$-0.08$	$-2$	$-18$
$0.08-0.12$	$9$	$0.10$	$-0.04$	$-1$	$-9$
$0.12-0.16$	$2$	$0.14$	$0$	$0$	$0$
$0.16-0.20$	$4$	$0.18$	$0.04$	$1$	$4$
$0.20-0.24$	$2$	$0.22$	$0.08$	$2$	$4$
कुल	$\Sigma f_{i} = 30$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -31$

पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए:
माध्य $\bar{x} = a + \left( \frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times h$
$\bar{x} = 0.14 + \left( \frac{-31}{30} \right) \times 0.04$
$\bar{x} = 0.14 - \frac{1.24}{30}$
$\bar{x} = 0.14 - 0.04133...$
$\bar{x} \approx 0.09867 \approx 0.099\, ppm$.
अतः,हवा में $SO_{2}$ की माध्य सांद्रता $0.099\, ppm$ है।

(C) अनुपस्थित दिनों की माध्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$।
कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 17$ है,हम $d_i = x_i - a$ और $f_i d_i$ की गणना इस प्रकार करते हैं:

दिनों की संख्या	छात्रों की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 17$	$f_i d_i$
$0-6$	$11$	$3$	$-14$	$-154$
$6-10$	$10$	$8$	$-9$	$-90$
$10-14$	$7$	$12$	$-5$	$-35$
$14-20$	$4$	$17$	$0$	$0$
$20-28$	$4$	$24$	$7$	$28$
$28-38$	$3$	$33$	$16$	$48$
$38-40$	$1$	$39$	$22$	$22$
कुल	$\sum f_i = 40$			$\sum f_i d_i = -181$

माध्य $\bar{x}$ का सूत्र $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ है।
मान रखने पर: $\bar{x} = 17 + \frac{-181}{40} = 17 - 4.525 = 12.475$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,छात्रों के अनुपस्थित रहने के दिनों की माध्य संख्या $12.48$ दिन है।

(D) वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करने के लिए,निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है:
$x_i = \frac{\text{वर्ग की ऊपरी सीमा} + \text{वर्ग की निचली सीमा}}{2}$
इस डेटा के लिए वर्ग माप $(h)$ $= 10$ है।
कल्पित माध्य $(a)$ $= 70$ मानते हुए,$d_i$,$u_i$,और $f_i u_i$ की गणना इस प्रकार है:

साक्षरता दर (में $\%$)	शहरों की संख्या $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 70$	$u_i = \frac{d_i}{10}$	$f_i u_i$
$45-55$	$3$	$50$	$-20$	$-2$	$-6$
$55-65$	$10$	$60$	$-10$	$-1$	$-10$
$65-75$	$11$	$70$	$0$	$0$	$0$
$75-85$	$8$	$80$	$10$	$1$	$8$
$85-95$	$3$	$90$	$20$	$2$	$6$
कुल	$\sum f_i = 35$				$\sum f_i u_i = -2$

तालिका से,हमें प्राप्त होता है:
$\sum f_i = 35$
$\sum f_i u_i = -2$
माध्य,$\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$
$= 70 + \left(\frac{-2}{35}\right) \times 10$
$= 70 - \frac{20}{35}$
$= 70 - \frac{4}{7}$
$= 70 - 0.5714...$
$\approx 69.43$
अतः,साक्षरता दर का माध्य $69.43 \%$ है।

(N/A) 'से कम' प्रकार का संचयी बारंबारता बंटन सारणी इस प्रकार है:

दैनिक आय (रुपयों में) (वर्ग की ऊपरी सीमा)	संचयी बारंबारता
$120$ से कम	$12$
$140$ से कम	$12 + 14 = 26$
$160$ से कम	$26 + 8 = 34$
$180$ से कम	$34 + 6 = 40$
$200$ से कम	$40 + 10 = 50$

$x$-अक्ष पर वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर उनकी संगत संचयी बारंबारताओं को लेकर,बिंदुओं $(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40),$ और $(200, 50)$ को आलेख पत्र पर अंकित करके उन्हें एक वक्र द्वारा जोड़ने पर तोरण (ogive) प्राप्त होता है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम कल्पित माध्य $A = 549.5$ और वर्ग माप $c = 100$ के साथ पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।

वर्ग	बारंबारता $(f_{i})$	मध्य बिंदु $(x_{i})$	$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$	$f_{i} u_{i}$
$200-299$	$3$	$249.5$	$-3$	$-9$
$300-399$	$61$	$349.5$	$-2$	$-122$
$400-499$	$118$	$449.5$	$-1$	$-118$
$500-599$	$139$	$549.5 (A)$	$0$	$0$
$600-699$	$126$	$649.5$	$1$	$126$
$700-799$	$151$	$749.5$	$2$	$302$
$800-899$	$2$	$849.5$	$3$	$6$
कुल	$\Sigma f_{i} = 600$	-	-	$\Sigma f_{i} u_{i} = 185$

माध्य का सूत्र $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 549.5 + \left( \frac{185}{600} \right) \times 100$
$\bar{x} = 549.5 + \frac{185}{6}$
$\bar{x} = 549.5 + 30.833...$
$\bar{x} \approx 580.33$
अतः,डेटा का माध्य $580.33$ है।

(B) लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात करने के लिए,हम माध्य के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं: $\bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times c$.

वर्ग	बारंबारता $(f_i)$	मध्य बिंदु $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i u_i$
$0-10$	$8$	$5$	$-4$	$-32$
$10-20$	$4$	$15$	$-3$	$-12$
$20-30$	$20$	$25$	$-2$	$-40$
$30-40$	$45$	$35$	$-1$	$-45$
$40-50$	$64$	$45=A$	$0$	$0$
$50-60$	$32$	$55$	$1$	$32$
$60-70$	$f$	$65$	$2$	$2f$
$70-80$	$8$	$75$	$3$	$24$
$80-90$	$2$	$85$	$4$	$8$
$90-100$	$2$	$95$	$5$	$10$
कुल	$\sum f_i = 185 + f$	-	-	$\sum f_i u_i = 2f - 55$

यहाँ,$A = 45$ और $c = 10$.
दिया गया है $\bar{x} = 43.75$.
$43.75 = 45 + \frac{2f - 55}{185 + f} \times 10$
$-1.25 = \frac{10(2f - 55)}{185 + f}$
$-1.25(185 + f) = 20f - 550$
$-231.25 - 1.25f = 20f - 550$
$550 - 231.25 = 20f + 1.25f$
$318.75 = 21.25f$
$f = \frac{318.75}{21.25} = 15$.
अतः,लुप्त बारंबारता $f = 15$ है।

(C) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}$ है।
इस सूत्र में,$a$ कल्पित माध्य है।
पद $d_{i}$ कल्पित माध्य $(a)$ से वर्ग चिह्नों $(x_{i})$ के विचलन को दर्शाता है।
अतः,$d_{i} = x_{i} - a$,जहाँ $x_{i}$ वर्गों के मध्य बिंदु हैं।

(D) वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करते समय,हम यह मानते हैं कि एक वर्ग में प्रत्येक प्रेक्षण उसके वर्ग-चिह्न के बराबर है। इसलिए,यह माना जाता है कि बारंबारताएँ वर्गों के वर्ग-चिह्नों पर केंद्रित हैं।

(A) वर्गीकृत डेटा का माध्य $\bar{x}$ सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \sum f_{i}$ है।
इसे $\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
हमें $\sum (f_{i} x_{i} - f_{i} \bar{x})$ का योग ज्ञात करना है।
योग के गुणों का उपयोग करते हुए,हमें $\sum f_{i} x_{i} - \sum f_{i} \bar{x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{x}$ एक स्थिरांक है,हम इसे योग से बाहर ले सकते हैं: $\sum f_{i} x_{i} - \bar{x} \sum f_{i}$।
$\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ और $\sum f_{i} = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n \bar{x} - \bar{x} (n) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सूत्र $\bar{x} = a + h \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right)$ वर्गीकृत बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि का सूत्र है।
इस सूत्र में,$a$ कल्पित माध्य है,$h$ वर्ग माप है,$x_{i}$ वर्ग चिह्न है और $u_{i}$ विचलन को वर्ग माप से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
अतः,$u_{i}$ का मान $u_{i} = \frac{x_{i} - a}{h}$ होता है।

(A) वर्ग अंतराल $30-40$ की बारंबारता ज्ञात करने के लिए, हम $30$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या में से $40$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को घटाते हैं।
वर्ग $30-40$ की बारंबारता $= (\text{30 या उससे अधिक अंक वाले छात्र}) - (\text{40 या उससे अधिक अंक वाले छात्र})$
वर्ग $30-40$ की बारंबारता $= 51 - 48 = 3$.
अतः, वर्ग $30-40$ की बारंबारता $3$ है।

(B) यह कथन सत्य नहीं है।
जब हम वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निकालते हैं,तो हम यह मान लेते हैं कि प्रत्येक वर्ग की बारंबारता उस वर्ग के मध्य-बिंदु पर केंद्रित है।
वास्तव में,एक वर्ग के भीतर के व्यक्तिगत प्रेक्षण शायद ही कभी ठीक मध्य-बिंदु पर वितरित होते हैं।
इसलिए,वर्गीकृत आंकड़ों से निकाला गया माध्य एक अनुमान होता है,और यह मूल अववर्गीकृत आंकड़ों से निकाले गए माध्य के समान शायद ही कभी होता है।

(N/A) नहीं,यह कथन गलत है। यद्यपि गणना को सरल बनाने के लिए कल्पित माध्य $a$ के रूप में वर्ग चिह्नों (मध्य-बिंदुओं) में से किसी एक को चुनना एक सामान्य अभ्यास है,लेकिन यह गणितीय रूप से अनिवार्य नहीं है। कल्पित माध्य $a$ आंकड़ों के समूह में से या उसके बाहर से कोई भी स्वेच्छ मान हो सकता है,बशर्ते कि यह विचलनों $d_i = x_i - a$ की गणना को सरल बनाने में मदद करे।

(A) दैनिक वेतन का माध्य ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्यक्ष विधि के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।
सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$।

दैनिक वेतन (रुपये में)	वर्ग चिह्न $(x_i)$	श्रमिकों की संख्या $(f_i)$	$f_i x_i$
$100-120$	$110$	$10$	$1100$
$120-140$	$130$	$15$	$1950$
$140-160$	$150$	$20$	$3000$
$160-180$	$170$	$22$	$3740$
$180-200$	$190$	$18$	$3420$
$200-220$	$210$	$12$	$2520$
$220-240$	$230$	$13$	$2990$

बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 10 + 15 + 20 + 22 + 18 + 12 + 13 = 110$।
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 1100 + 1950 + 3000 + 3740 + 3420 + 2520 + 2990 = 18720$।
माध्य $\bar{x} = \frac{18720}{110} \approx 170.18$।
अतः,श्रमिकों का माध्य दैनिक वेतन $Rs. 170.18$ है।

(D) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$।

वर्ग	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$1-3$	$2$	$9$	$18$
$3-5$	$4$	$22$	$88$
$5-7$	$6$	$27$	$162$
$7-10$	$8.5$	$17$	$144.5$
कुल	-	$\Sigma f_i = 75$	$\Sigma f_i x_i = 412.5$

माध्य $(\bar{x})$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{412.5}{75} = 5.5$.
अतः,दिए गए वितरण का माध्य $5.5$ है।

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$।

अंक	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-20$	$15$	$2$	$30$
$20-30$	$25$	$4$	$100$
$30-40$	$35$	$7$	$245$
$40-50$	$45$	$6$	$270$
$50-60$	$55$	$1$	$55$
कुल	-	$\Sigma f_i = 20$	$\Sigma f_i x_i = 700$

माध्य $(\bar{x})$ की गणना इस प्रकार है: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{700}{20} = 35$।
अतः,$20$ छात्रों के अंकों का माध्य $35$ है।

(B) चूंकि दिए गए आंकड़े सतत (continuous) नहीं हैं,इसलिए हम प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा में से $0.5$ घटाकर और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़कर उन्हें सतत वर्ग अंतराल में परिवर्तित करते हैं।
अब,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $x_{i}$ ज्ञात करते हैं और निम्नलिखित गणना करते हैं:

वर्ग	वर्ग चिह्न $(x_{i})$	बारंबारता $(f_{i})$	$f_{i} x_{i}$
$3.5-7.5$	$5.5$	$5$	$27.5$
$7.5-11.5$	$9.5$	$4$	$38$
$11.5-15.5$	$13.5$	$9$	$121.5$
$15.5-19.5$	$17.5$	$10$	$175$
कुल	-	$\Sigma f_{i} = 28$	$\Sigma f_{i} x_{i} = 362$

अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{362}{28} \approx 12.93$.
इस प्रकार,दिए गए आंकड़ों का माध्य $12.93$ है।

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वर्ग अंतराल को सतत बनाते हैं,जिसके लिए हम निचली सीमा से $0.5$ घटाते हैं और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं। फिर हम प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान $(x_i)$ की गणना करते हैं।

वर्ग अंतराल	मध्य मान $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$f_i x_i$
$15.5-18.5$	$17$	$1$	$17$
$18.5-21.5$	$20$	$3$	$60$
$21.5-24.5$	$23$	$4$	$92$
$24.5-27.5$	$26$	$9$	$234$
$27.5-30.5$	$29$	$13$	$377$
कुल	-	$\Sigma f_i = 30$	$\Sigma f_i x_i = 780$

माध्य की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$।
$\bar{x} = \frac{780}{30} = 26$।
अतः,प्रतिदिन लिखे गए पृष्ठों का माध्य $26$ है।

(D) चूंकि दी गई जानकारी सतत (continuous) नहीं है,इसलिए हम प्रत्येक वर्ग की निचली सीमा में से $0.5$ घटाकर और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़कर इसे सतत वर्गों में बदलते हैं।
अब,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करते हैं और पद-विचलन (step-deviation) विधि का उपयोग करते हैं:

आय (रुपये में)	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	$u_i = \frac{x_i - a}{h}$	$f_i u_i$
$0.5-200.5$	$100.5$	$14$	$-1$	$-14$
$200.5-400.5$	$300.5 (a)$	$15$	$0$	$0$
$400.5-600.5$	$500.5$	$14$	$1$	$14$
$600.5-800.5$	$700.5$	$7$	$2$	$14$
कुल	-	$\Sigma f_i = 50$	-	$\Sigma f_i u_i = 14$

यहाँ,कल्पित माध्य $a = 300.5$,वर्ग अंतराल $h = 200$,और कुल प्रेक्षण $N = 50$ हैं।
पद-विचलन सूत्र का उपयोग करते हुए:
माध्य $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 200 \times \left( \frac{14}{50} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 4 \times 14$
$\bar{x} = 300.5 + 56 = 356.5$
अतः,औसत दैनिक आय $356.5$ रुपये है।

(A) भरी गई सीटों की माध्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं।

सीटों की संख्या	वर्ग चिह्न $(x_i)$	बारंबारता $(f_i)$	विचलन $d_i = x_i - a$	$f_i d_i$
$100-104$	$102$	$15$	$-8$	$-120$
$104-108$	$106$	$20$	$-4$	$-80$
$108-112$	$a=110$	$32$	$0$	$0$
$112-116$	$114$	$18$	$4$	$72$
$116-120$	$118$	$15$	$8$	$120$
कुल	-	$\Sigma f_i = 100$	-	$\Sigma f_i d_i = -8$

कल्पित माध्य $(a) = 110$ है।
कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य का सूत्र:
$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$\bar{x} = 110 + \left(\frac{-8}{100}\right)$
$\bar{x} = 110 - 0.08 = 109.92$
अतः,भरी गई सीटों की माध्य संख्या $109.92$ है।

(B) माध्य वजन ज्ञात करने के लिए,हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ निर्धारित करते हैं।

वजन ($kg$ में)	पहलवानों की संख्या $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	विचलन $(d_i = x_i - a)$	$f_i d_i$
$100-110$	$4$	$105$	$-20$	$-80$
$110-120$	$14$	$115$	$-10$	$-140$
$120-130$	$21$	$a = 125$	$0$	$0$
$130-140$	$8$	$135$	$10$	$80$
$140-150$	$3$	$145$	$20$	$60$
कुल	$\Sigma f_i = 50$	-	-	$\Sigma f_i d_i = -80$

माना कि कल्पित माध्य $(a) = 125$ है।
कल्पित माध्य विधि के लिए माध्य का सूत्र:
माध्य $(\bar{x}) = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$= 125 + \frac{-80}{50}$
$= 125 - 1.6$
$= 123.4 \ kg$.

(A)

माइलेज $(km/l)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	कारों की संख्या $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-12$	$11$	$7$	$77$
$12-14$	$13$	$12$	$156$
$14-16$	$15$	$18$	$270$
$16-18$	$17$	$13$	$221$
कुल	-	$\Sigma f_i = 50$	$\Sigma f_i x_i = 724$

यहाँ,$\Sigma f_i = 50$ और $\Sigma f_i x_i = 724$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{724}{50} = 14.48$ है।
अतः,औसत माइलेज $14.48 \, km/l$ है।
नहीं,मैं निर्माता के दावे से सहमत नहीं हूँ,क्योंकि गणना की गई औसत माइलेज $(14.48 \, km/l)$ उनके द्वारा किए गए $16 \, km/l$ के दावे से काफी कम है।

(N/A) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता वितरण को मानक बारंबारता वितरण में बदलते हैं। वर्ग अंतराल $20-30$ से शुरू होता है क्योंकि आयु $20$ वर्ष या उससे अधिक है।

वर्ग अंतराल	बारंबारता $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 45}{10}$	$f_i u_i$
$20-30$	$100$	$25$	$-2$	$-200$
$30-40$	$120$	$35$	$-1$	$-120$
$40-50$	$130$	$45$	$0$	$0$
$50-60$	$400$	$55$	$1$	$400$
$60-70$	$200$	$65$	$2$	$400$
$70-80$	$50$	$75$	$3$	$150$
कुल	$\sum f_i = 1000$	-	-	$\sum f_i u_i = 630$

पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए: $\text{माध्य} (\bar{x}) = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
यहाँ,$a = 45$,$h = 10$,$\sum f_i u_i = 630$,और $\sum f_i = 1000$ है।
$\bar{x} = 45 + 10 \left( \frac{630}{1000} \right) = 45 + 6.3 = 51.3$।
अतः,माध्य आयु $51.3$ वर्ष है।

(A) कुल बारंबारता $\Sigma f_i = 100$ दी गई है।
बारंबारताओं का योग: $17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 68 + f_1 + f_2 = 100 \implies f_1 + f_2 = 32$ (समीकरण $1$)।
पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \times c$,जहाँ $A = 65$ (कल्पित माध्य),$c = 20$ (वर्ग माप)।

वर्ग	बारंबारता $(f_i)$	वर्ग चिह्न $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 65}{20}$	$f_i u_i$
$15-35$	$17$	$25$	$-2$	$-34$
$35-55$	$f_1$	$45$	$-1$	$-f_1$
$55-75$	$32$	$65$	$0$	$0$
$75-95$	$f_2$	$85$	$1$	$f_2$
$95-115$	$19$	$105$	$2$	$38$
कुल	$100$	-	-	$f_2 - f_1 + 4$

माध्य $\bar{x} = 65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{100} \times 20 = 65$.
$65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{5} = 65 \implies f_2 - f_1 + 4 = 0 \implies f_1 - f_2 = 4$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2f_1 = 36 \implies f_1 = 18$.
$f_1 = 18$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $18 + f_2 = 32 \implies f_2 = 14$.
अतः,लुप्त बारंबारताएँ $f_1 = 18$ और $f_2 = 14$ हैं।

(D) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं,जहाँ $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$ है।
$1$. $21-25$ के लिए,$x_1 = 23$,$f_1 = 18$,$f_1x_1 = 414$.
$2$. $26-30$ के लिए,$x_2 = 28$,$f_2 = 32$,$f_2x_2 = 896$.
$3$. $31-35$ के लिए,$x_3 = 33$,$f_3 = 30$,$f_3x_3 = 990$.
$4$. $36-40$ के लिए,$x_4 = 38$,$f_4 = 40$,$f_4x_4 = 1520$.
$5$. $41-45$ के लिए,$x_5 = 43$,$f_5 = 25$,$f_5x_5 = 1075$.
$6$. $46-50$ के लिए,$x_6 = 48$,$f_6 = 15$,$f_6x_6 = 720$.
$7$. $51-55$ के लिए,$x_7 = 53$,$f_7 = 40$,$f_7x_7 = 2120$.
बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ = $18 + 32 + 30 + 40 + 25 + 15 + 40 = 200$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_ix_i)$ = $414 + 896 + 990 + 1520 + 1075 + 720 + 2120 = 7735$.
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i} = \frac{7735}{200} = 38.675$.

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात कीजिए:
- $0-10$ के लिए,$x_1 = (0+10)/2 = 5$
- $10-20$ के लिए,$x_2 = (10+20)/2 = 15$
- $20-30$ के लिए,$x_3 = (20+30)/2 = 25$
- $30-40$ के लिए,$x_4 = (30+40)/2 = 35$
- $40-50$ के लिए,$x_5 = (40+50)/2 = 45$
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
- $20 \times 5 = 100$
- $10 \times 15 = 150$
- $20 \times 25 = 500$
- $30 \times 35 = 1050$
- $20 \times 45 = 900$
$3$. $\sum f_i x_i = 100 + 150 + 500 + 1050 + 900 = 2700$ की गणना करें।
$4$. $\sum f_i = 20 + 10 + 20 + 30 + 20 = 100$ की गणना करें।
$5$. माध्य $\bar{x} = 2700 / 100 = 27$।

(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें:
$15, 25, 35, 45, 55, 65$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
$2 \times 15 = 30$
$10 \times 25 = 250$
$40 \times 35 = 1400$
$25 \times 45 = 1125$
$13 \times 55 = 715$
$10 \times 65 = 650$
$3$. बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$: $2 + 10 + 40 + 25 + 13 + 10 = 100$.
$4$. गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$: $30 + 250 + 1400 + 1125 + 715 + 650 = 4170$.
$5$. माध्य $(\bar{x})$: $\frac{4170}{100} = 41.7$.

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात कीजिए: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना कीजिए:
$2 \times 5 = 10$
$4 \times 15 = 60$
$10 \times 25 = 250$
$20 \times 35 = 700$
$18 \times 45 = 810$
$20 \times 55 = 1100$
$16 \times 65 = 1040$
$10 \times 75 = 750$
$3$. बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ = $2 + 4 + 10 + 20 + 18 + 20 + 16 + 10 = 100$.
$4$. $f_i x_i$ का योग $(\sum f_i x_i)$ = $10 + 60 + 250 + 700 + 810 + 1100 + 1040 + 750 = 4720$.
$5$. माध्य $\bar{x} = \frac{4720}{100} = 47.2$.

(D) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें: $85, 95, 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
$6 \times 85 = 510$
$18 \times 95 = 1710$
$78 \times 105 = 8190$
$80 \times 115 = 9200$
$100 \times 125 = 12500$
$72 \times 135 = 9720$
$0 \times 145 = 0$
$40 \times 155 = 6200$
$6 \times 165 = 990$
$3$. बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6 + 18 + 78 + 80 + 100 + 72 + 0 + 40 + 6 = 400$.
$4$. गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 510 + 1710 + 8190 + 9200 + 12500 + 9720 + 0 + 6200 + 990 = 49020$.
$5$. माध्य $\bar{x} = \frac{49020}{400} = 122.55$.

(A) माध्य की गणना करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$.
$1$. $10-20$ के लिए: $x_1 = \frac{10+20}{2} = 15$
$2$. $20-30$ के लिए: $x_2 = \frac{20+30}{2} = 25$
$3$. $30-40$ के लिए: $x_3 = \frac{30+40}{2} = 35$
$4$. $40-50$ के लिए: $x_4 = \frac{40+50}{2} = 45$
$5$. $50-60$ के लिए: $x_5 = \frac{50+60}{2} = 55$
अब,प्रत्येक वर्ग के लिए $f_i x_i$ की गणना करें:
- $12 \times 15 = 180$
- $16 \times 25 = 400$
- $8 \times 35 = 280$
- $6 \times 45 = 270$
- $8 \times 55 = 440$
बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$: $12 + 16 + 8 + 6 + 8 = 50$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$: $180 + 400 + 280 + 270 + 440 = 1570$.
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{1570}{50} = 31.4$.

(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं:
$11-13: x_1 = 12$
$13-15: x_2 = 14$
$15-17: x_3 = 16$
$17-19: x_4 = 18$
$19-21: x_5 = 20$
$21-23: x_6 = 22$
$23-25: x_7 = 24$
अब,$f_i x_i$ की गणना करते हैं:
$3 \times 12 = 36$
$6 \times 14 = 84$
$9 \times 16 = 144$
$13 \times 18 = 234$
$f \times 20 = 20f$
$5 \times 22 = 110$
$4 \times 24 = 96$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 3+6+9+13+f+5+4 = 40+f$
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 36+84+144+234+20f+110+96 = 704+20f$
दिया गया माध्य $\bar{x} = 18$ है,इसलिए हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं:
$18 = \frac{704+20f}{40+f}$
$18(40+f) = 704+20f$
$720+18f = 704+20f$
$720-704 = 20f-18f$
$16 = 2f$
$f = 8$

(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं:
$10-20: x_1 = 15$
$20-30: x_2 = 25$
$30-40: x_3 = 35$
$40-50: x_4 = 45$
$50-60: x_5 = 55$
$60-70: x_6 = 65$
$70-80: x_7 = 75$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 5 + 3 + 4 + f + 2 + 6 + 13 = 33 + f$.
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = (5 \times 15) + (3 \times 25) + (4 \times 35) + (f \times 45) + (2 \times 55) + (6 \times 65) + (13 \times 75)$
$= 75 + 75 + 140 + 45f + 110 + 390 + 975 = 1765 + 45f$.
दिया गया माध्य $\bar{x} = 52$ है,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं:
$52 = \frac{1765 + 45f}{33 + f}$
$52(33 + f) = 1765 + 45f$
$1716 + 52f = 1765 + 45f$
$52f - 45f = 1765 - 1716$
$7f = 49$
$f = 7$.

(A) दी गई कुल बारंबारता $\sum f_i = 120$ है। अतः,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $20, 40, 60, 80, 100$ हैं। योग $\sum f_i x_i = (17 \times 20) + (f_1 \times 40) + (32 \times 60) + (f_2 \times 80) + (19 \times 100) = 340 + 40f_1 + 1920 + 80f_2 + 1900 = 4160 + 40f_1 + 80f_2$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 60 \implies \frac{4160 + 40f_1 + 80f_2}{120} = 60$ है।
$4160 + 40f_1 + 80f_2 = 7200 \implies 40f_1 + 80f_2 = 3040 \implies f_1 + 2f_2 = 76$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(f_1 + 2f_2) - (f_1 + f_2) = 76 - 52 \implies f_2 = 24$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में $f_2 = 24$ रखने पर: $f_1 + 24 = 52 \implies f_1 = 28$। अतः,$f_1 = 28$ और $f_2 = 24$ है।

(B) वर्गीकृत बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करें:
$0-20: x_1 = 10$
$20-40: x_2 = 30$
$40-60: x_3 = 50$
$60-80: x_4 = 70$
$80-100: x_5 = 90$
$100-120: x_6 = 110$
अब,$\sum f_i x_i = (10 \times 10) + (f \times 30) + (7 \times 50) + (6 \times 70) + (5 \times 90) + (4 \times 110) = 100 + 30f + 350 + 420 + 450 + 440 = 1760 + 30f$ की गणना करें।
$\sum f_i = 10 + f + 7 + 6 + 5 + 4 = 32 + f$ की गणना करें।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 46$ है,इसलिए $46 = \frac{1760 + 30f}{32 + f}$ है।
$46(32 + f) = 1760 + 30f$
$1472 + 46f = 1760 + 30f$
$46f - 30f = 1760 - 1472$
$16f = 288$
$f = \frac{288}{16} = 18$.

(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें: $2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34$।
इसके बाद,प्रत्येक वर्ग के लिए $f_i x_i$ की गणना करें:
$6 \times 2 = 12$
$8 \times 6 = 48$
$17 \times 10 = 170$
$23 \times 14 = 322$
$16 \times 18 = 288$
$15 \times 22 = 330$
$f \times 26 = 26f$
$4 \times 30 = 120$
$3 \times 34 = 102$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6+8+17+23+16+15+f+4+3 = 92+f$।
$f_i x_i$ का योग = $12+48+170+322+288+330+26f+120+102 = 1392+26f$।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 16$ है,इसलिए $16 = \frac{1392+26f}{92+f}$।
$16(92+f) = 1392+26f$
$1472 + 16f = 1392 + 26f$
$1472 - 1392 = 26f - 16f$
$80 = 10f$
$f = 8$।

(D) माध्य ज्ञात करने की कल्पित माध्य विधि में,सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ होता है।
यहाँ,$A$ कल्पित माध्य है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है।
विचलन $d_{i}$ को वर्ग चिह्न और कल्पित माध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$d_{i} = x_{i} - A$।

(A) दिया गया सूत्र वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए पद-विचलन विधि (step-deviation method) का है।
इस विधि में,विचलन $d_{i}$ को $d_{i} = x_{i} - A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $x_{i}$ वर्ग चिह्न है और $A$ कल्पित माध्य है।
चर $u_{i}$ को विचलन और वर्ग की चौड़ाई $c$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$ है।
अतः,$u_{i}$ के लिए सही व्यंजक $\frac{x_{i} - A}{c}$ है।

(A) माना इना,मीना और डिका की वर्तमान आयु क्रमशः $I, M$ और $D$ है।
औसत आयु का सूत्र $\frac{I + M + D}{3} = x$ है।
अतः,उनकी वर्तमान आयु का योग $I + M + D = 3x$ है।
$y$ वर्ष बाद,प्रत्येक व्यक्ति की आयु में $y$ वर्ष की वृद्धि होगी।
अतः,उनकी नई आयु का योग $(I + y) + (M + y) + (D + y) = (I + M + D) + 3y$ होगा।
वर्तमान आयु का योग रखने पर: $3x + 3y$।
अतः,नई औसत आयु $\frac{3x + 3y}{3} = x + y$ होगी।

(B) $n$ प्रेक्षणों $x_1, x_2, ..., x_n$ के समूह का माध्य (औसत) सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $\sum x_i$ सभी मानों का योग है और $n$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

(A) प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$,जहाँ $f_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल की बारंबारता है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है। योग $\sum f_{i}$ को अक्सर $N$ या $n$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो कुल प्रेक्षणों की संख्या को दर्शाता है।

(B) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य के लिए दिए गए सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ में:
$\bar{x}$ माध्य को दर्शाता है।
$f_{i}$ $i^{th}$ वर्ग की आवृत्ति को दर्शाता है।
$x_{i}$ $i^{th}$ वर्ग का वर्ग चिह्न (मध्यमान) दर्शाता है।
$n$ कुल आवृत्ति को दर्शाता है,जो $\Sigma f_{i}$ के बराबर है।
अतः,$f_{i}$ $i^{th}$ वर्ग की आवृत्ति को दर्शाता है।