Mean of Grouped Data Questions in Gujarati

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે દરેક ગુણ $(x_{i})$ નો તેની અનુરૂપ આવૃત્તિ $(f_{i})$ સાથે ગુણાકાર કરવો પડે.

મેળવેલા ગુણ $(x_{i})$	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_{i})$	$f_{i}x_{i}$
$10$	$1$	$10$
$20$	$1$	$20$
$36$	$3$	$108$
$40$	$4$	$160$
$50$	$3$	$150$
$56$	$2$	$112$
$60$	$4$	$240$
$70$	$4$	$280$
$72$	$1$	$72$
$80$	$1$	$80$
$88$	$2$	$176$
$92$	$3$	$276$
$95$	$1$	$95$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 30$	$\Sigma f_{i}x_{i} = 1779$

મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i}x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{1779}{30} = 59.3$
આમ,વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલા ગુણનો મધ્યક $59.3$ છે.

(B) સરેરાશ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ નક્કી કરીએ છીએ.
ધારો કે ધારેલો મધ્યક $a = 50$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 10$ છે. તો $d_i = x_i - 50$ અને $u_i = \frac{x_i - 50}{10}$ થશે.

મહિલા શિક્ષકોની ટકાવારી	રાજ્યો/કે.પ્ર. ની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 50$	$u_i = \frac{x_i - 50}{10}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$15$-$25$	$6$	$20$	-$30$	-$3$	$120$	-$180$	-$18$
$25$-$35$	$11$	$30$	-$20$	-$2$	$330$	-$220$	-$22$
$35$-$45$	$7$	$40$	-$10$	-$1$	$280$	-$70$	-$7$
$45$-$55$	$4$	$50$	$0$	$0$	$200$	$0$	$0$
$55$-$65$	$4$	$60$	$10$	$1$	$240$	$40$	$4$
$65$-$75$	$2$	$70$	$20$	$2$	$140$	$40$	$4$
$75$-$85$	$1$	$80$	$30$	$3$	$80$	$30$	$3$
કુલ	$35$	-	-	-	$1390$	-$360$	-$36$

કોષ્ટક પરથી,$\Sigma f_i = 35, \Sigma f_i x_i = 1390, \Sigma f_i d_i = -360, \Sigma f_i u_i = -36$ મળે છે.
$1$. પ્રત્યક્ષ રીત: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1390}{35} \approx 39.71$.
$2$. ધારેલા મધ્યકની રીત: $\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 50 + \frac{-360}{35} = 50 - 10.29 = 39.71$.
$3$. પદ-વિચલનની રીત: $\bar{x} = a + \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) \times h = 50 + \left(\frac{-36}{35}\right) \times 10 = 50 - 10.29 = 39.71$.
આમ,મહિલા શિક્ષકોની સરેરાશ ટકાવારી $39.71$ છે.

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

વિકેટોની સંખ્યા	બોલરોની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$	$f_i x_i$
$20$-$60$	$7$	$40$	$280$
$60$-$100$	$5$	$80$	$400$
$100$-$150$	$16$	$125$	$2000$
$150$-$250$	$12$	$200$	$2400$
$250$-$350$	$2$	$300$	$600$
$350$-$450$	$3$	$400$	$1200$
કુલ	$\sum f_i = 45$		$\sum f_i x_i = 6880$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{6880}{45} \approx 152.89$.
આ મધ્યક સૂચવે છે કે,સરેરાશ રીતે,બોલરોએ આપેલી એક-દિવસીય ક્રિકેટ મેચોમાં $152.89$ વિકેટો લીધી છે.

(D) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે:
વર્ગ ચિહ્ન $(x_i) = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
$x_i$ અને $f_ix_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

છોડની સંખ્યા	ઘરોની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$f_ix_i$
$0-2$	$1$	$1$	$1 \times 1 = 1$
$2-4$	$2$	$3$	$2 \times 3 = 6$
$4-6$	$1$	$5$	$1 \times 5 = 5$
$6-8$	$5$	$7$	$5 \times 7 = 35$
$8-10$	$6$	$9$	$6 \times 9 = 54$
$10-12$	$2$	$11$	$2 \times 11 = 22$
$12-14$	$3$	$13$	$3 \times 13 = 39$
કુલ	$\sum f_i = 20$		$\sum f_ix_i = 162$

કોષ્ટક પરથી,$\sum f_i = 20$ અને $\sum f_ix_i = 162$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$.
મધ્યક $= \frac{162}{20} = 8.1$.
તેથી,પ્રતિ ઘર છોડની સરેરાશ સંખ્યા $8.1$ છે.
અહીં પ્રત્યક્ષ રીત (Direct Method) નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે કારણ કે $x_i$ અને $f_i$ ના મૂલ્યો નાના છે,જેનાથી ગણતરી સરળ બને છે.

(A) દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ શોધવા માટે નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે:
$x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
અહીં વર્ગ લંબાઈ $(h) = 20$ છે.
ધારેલ મધ્યક $(a) = 150$ લેતા,$d_i$,$u_i$ અને $f_i u_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{દૈનિક વેતન} & f_i & x_i & d_i = x_i - 150 & u_i = \frac{d_i}{20} & f_i u_i \\ \hline 100-120 & 12 & 110 & -40 & -2 & -24 \\ \hline 120-140 & 14 & 130 & -20 & -1 & -14 \\ \hline 140-160 & 8 & 150 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 160-180 & 6 & 170 & 20 & 1 & 6 \\ \hline 180-200 & 10 & 190 & 40 & 2 & 20 \\ \hline \text{કુલ} & 50 & & & & -12 \\ \hline \end{array}$
કોષ્ટક પરથી,આપણી પાસે છે:
$\sum f_i = 50$
$\sum f_i u_i = -12$
પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને,મધ્યક $\bar{x}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 150 + \left( \frac{-12}{50} \right) \times 20$
$\bar{x} = 150 - \frac{240}{50} = 150 - 4.8$
$\bar{x} = 145.2$
તેથી,ફેક્ટરીના કામદારોનું સરેરાશ દૈનિક વેતન $Rs. 145.20$ છે.

(B) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની નિમ્ન સીમા}}{2}$
આપેલ છે કે,સરેરાશ ખિસ્સા ભથ્થું,$\bar{x} = Rs. 18$.
ધારેલ મધ્યક $(a) = 18$ લેતા,$d_{i}$ અને $f_{i}d_{i}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

દૈનિક ખિસ્સા ભથ્થું (in $Rs.$)	બાળકોની સંખ્યા $(f_{i})$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 18$	$f_{i}d_{i}$
$11-13$	$7$	$12$	$-6$	$-42$
$13-15$	$6$	$14$	$-4$	$-24$
$15-17$	$9$	$16$	$-2$	$-18$
$17-19$	$13$	$18$	$0$	$0$
$19-21$	$f$	$20$	$2$	$2f$
$21-23$	$5$	$22$	$4$	$20$
$23-25$	$4$	$24$	$6$	$24$
કુલ	$\sum f_{i} = 44 + f$			$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$

કોષ્ટક પરથી,આપણને મળે છે:
$\sum f_{i} = 44 + f$
$\sum f_{i}d_{i} = 2f - 40$
મધ્યક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i}d_{i}}{\sum f_{i}}$
$18 = 18 + \left(\frac{2f - 40}{44 + f}\right)$
$0 = \frac{2f - 40}{44 + f}$
$2f - 40 = 0$
$2f = 40$
$f = 20$
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ એ $20$ છે.

(C) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધવા માટે,નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
આ માહિતી માટે વર્ગ લંબાઈ $(h) = 3$ છે.
ધારેલો મધ્યક $(a) = 75.5$ લેતા,$d_i, u_i,$ અને $f_i u_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

પ્રતિ મિનિટ હૃદયના ધબકારા	મહિલાઓની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 75.5$	$u_i = \frac{d_i}{3}$	$f_i u_i$
$65$-$68$	$2$	$66.5$	-$9$	-$3$	-$6$
$68$-$71$	$4$	$69.5$	-$6$	-$2$	-$8$
$71$-$74$	$3$	$72.5$	-$3$	-$1$	-$3$
$74$-$77$	$8$	$75.5$	$0$	$0$	$0$
$77$-$80$	$7$	$78.5$	$3$	$1$	$7$
$80$-$83$	$4$	$81.5$	$6$	$2$	$8$
$83$-$86$	$2$	$84.5$	$9$	$3$	$6$
કુલ	$30$	-	-	-	$4$

કોષ્ટક પરથી,આપણને $\sum f_i = 30$ અને $\sum f_i u_i = 4$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x}$ પદ-વિચલનની રીત દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 75.5 + \left( \frac{4}{30} \right) \times 3$
$\bar{x} = 75.5 + 0.4 = 75.9$
તેથી,આ મહિલાઓ માટે પ્રતિ મિનિટ સરેરાશ હૃદયના ધબકારા $75.9$ છે.

(D) વર્ગ અંતરાલ સતત નથી. બે ક્રમિક વર્ગ અંતરાલ વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે. તેમને સતત બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગની નીચલી સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને ઉપલી સીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$d_i = x_i - 57$	$u_i = d_i / 3$	$f_i u_i$
$49.5-52.5$	$15$	$51$	$-6$	$-2$	$-30$
$52.5-55.5$	$110$	$54$	$-3$	$-1$	$-110$
$55.5-58.5$	$135$	$57$	$0$	$0$	$0$
$58.5-61.5$	$115$	$60$	$3$	$1$	$115$
$61.5-64.5$	$25$	$63$	$6$	$2$	$50$
કુલ	$400$				$25$

અહીં,$\sum f_i = 400$,$\sum f_i u_i = 25$,ધારેલો મધ્યક $a = 57$,અને વર્ગ લંબાઈ $h = 3$ છે.
પદ-વિચલન (Step-deviation) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h$
$\bar{x} = 57 + \left( \frac{25}{400} \right) \times 3 = 57 + \frac{75}{400} = 57 + 0.1875 = 57.1875 \approx 57.19$.
અમે પદ-વિચલન પદ્ધતિ પસંદ કરી કારણ કે $f_i$ અને $d_i$ ની કિંમતો મોટી છે અને સામાન્ય અવયવ $h=3$ છે.

(A) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 50$.
ધારેલો મધ્યક $(a) = 225$ લેતા,$d_i$,$u_i$,અને $f_iu_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

દૈનિક ખર્ચ (રૂપિયામાં)	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i} = x_{i} - 225$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{50}$	$f_{i}u_{i}$
$100-150$	$4$	$125$	$-100$	$-2$	$-8$
$150-200$	$5$	$175$	$-50$	$-1$	$-5$
$200-250$	$12$	$225$	$0$	$0$	$0$
$250-300$	$2$	$275$	$50$	$1$	$2$
$300-350$	$2$	$325$	$100$	$2$	$4$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 25$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -7$

પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + \left(\frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h$
$\bar{x} = 225 + \left(\frac{-7}{25}\right) \times 50$
$\bar{x} = 225 + (-7 \times 2)$
$\bar{x} = 225 - 14 = 211$
તેથી,ખોરાક પાછળનો સરેરાશ દૈનિક ખર્ચ $Rs. 211$ છે.

(B) દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$ શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
વર્ગ લંબાઈ $(h)$ = $0.04 - 0.00 = 0.04$ છે.
ધારેલો મધ્યક $(a)$ = $0.14$ લઈએ.
આપણે $d_{i} = x_{i} - a$ અને $u_{i} = \frac{d_{i}}{h}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

$SO_{2}$ ની સાંદ્રતા $(ppm)$	આવૃત્તિ $(f_{i})$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$	$d_{i} = x_{i} - 0.14$	$u_{i} = \frac{d_{i}}{0.04}$	$f_{i}u_{i}$
$0.00-0.04$	$4$	$0.02$	$-0.12$	$-3$	$-12$
$0.04-0.08$	$9$	$0.06$	$-0.08$	$-2$	$-18$
$0.08-0.12$	$9$	$0.10$	$-0.04$	$-1$	$-9$
$0.12-0.16$	$2$	$0.14$	$0$	$0$	$0$
$0.16-0.20$	$4$	$0.18$	$0.04$	$1$	$4$
$0.20-0.24$	$2$	$0.22$	$0.08$	$2$	$4$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 30$				$\Sigma f_{i}u_{i} = -31$

પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરતા:
મધ્યક $\bar{x} = a + \left( \frac{\Sigma f_{i}u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times h$
$\bar{x} = 0.14 + \left( \frac{-31}{30} \right) \times 0.04$
$\bar{x} = 0.14 - \frac{1.24}{30}$
$\bar{x} = 0.14 - 0.04133...$
$\bar{x} \approx 0.09867 \approx 0.099\, ppm$.
આમ,હવામાં $SO_{2}$ ની સરેરાશ સાંદ્રતા $0.099\, ppm$ છે.

(C) ગેરહાજર દિવસોની સંખ્યાનો મધ્યક શોધવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ શોધીશું,જેનું સૂત્ર: $x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$ છે.
ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $a = 17$ લેતા,$d_i = x_i - a$ અને $f_i d_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

દિવસોની સંખ્યા	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 17$	$f_i d_i$
$0-6$	$11$	$3$	$-14$	$-154$
$6-10$	$10$	$8$	$-9$	$-90$
$10-14$	$7$	$12$	$-5$	$-35$
$14-20$	$4$	$17$	$0$	$0$
$20-28$	$4$	$24$	$7$	$28$
$28-38$	$3$	$33$	$16$	$48$
$38-40$	$1$	$39$	$22$	$22$
કુલ	$\sum f_i = 40$			$\sum f_i d_i = -181$

મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{x} = 17 + \frac{-181}{40} = 17 - 4.525 = 12.475$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વિદ્યાર્થીની સરેરાશ ગેરહાજરી $12.48$ દિવસ છે.

(D) વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
$x_i = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
આ માહિતી માટે વર્ગ લંબાઈ $(h)$ $= 10$ છે.
ધારેલો મધ્યક $(a)$ $= 70$ લેતા,$d_i$,$u_i$,અને $f_i u_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

સાક્ષરતા દર (માં $\%$)	શહેરોની સંખ્યા $(f_i)$	$x_i$	$d_i = x_i - 70$	$u_i = \frac{d_i}{10}$	$f_i u_i$
$45-55$	$3$	$50$	$-20$	$-2$	$-6$
$55-65$	$10$	$60$	$-10$	$-1$	$-10$
$65-75$	$11$	$70$	$0$	$0$	$0$
$75-85$	$8$	$80$	$10$	$1$	$8$
$85-95$	$3$	$90$	$20$	$2$	$6$
કુલ	$\sum f_i = 35$				$\sum f_i u_i = -2$

કોષ્ટક પરથી,આપણને મળે છે:
$\sum f_i = 35$
$\sum f_i u_i = -2$
મધ્યક,$\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$
$= 70 + \left(\frac{-2}{35}\right) \times 10$
$= 70 - \frac{20}{35}$
$= 70 - \frac{4}{7}$
$= 70 - 0.5714...$
$\approx 69.43$
તેથી,સાક્ષરતા દરનો મધ્યક $69.43 \%$ છે.

(N/A) 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

દૈનિક આવક (રૂપિયામાં) (વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા)	સંચયી આવૃત્તિ
$120$ થી ઓછી	$12$
$140$ થી ઓછી	$12 + 14 = 26$
$160$ થી ઓછી	$26 + 8 = 34$
$180$ થી ઓછી	$34 + 6 = 40$
$200$ થી ઓછી	$40 + 10 = 50$

$x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલની ઉર્ધ્વ સીમાઓ અને $y$-અક્ષ પર તેમની સંબંધિત સંચયી આવૃત્તિઓ લઈને,બિંદુઓ $(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40),$ અને $(200, 50)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવીને તેમને એક વક્ર દ્વારા જોડતા ઓજીવ મળે છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યક $A = 549.5$ અને વર્ગ લંબાઈ $c = 100$ સાથે પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_{i})$	મધ્યકિંમત $(x_{i})$	$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$	$f_{i} u_{i}$
$200-299$	$3$	$249.5$	$-3$	$-9$
$300-399$	$61$	$349.5$	$-2$	$-122$
$400-499$	$118$	$449.5$	$-1$	$-118$
$500-599$	$139$	$549.5 (A)$	$0$	$0$
$600-699$	$126$	$649.5$	$1$	$126$
$700-799$	$151$	$749.5$	$2$	$302$
$800-899$	$2$	$849.5$	$3$	$6$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 600$	-	-	$\Sigma f_{i} u_{i} = 185$

મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = 549.5 + \left( \frac{185}{600} \right) \times 100$
$\bar{x} = 549.5 + \frac{185}{6}$
$\bar{x} = 549.5 + 30.833...$
$\bar{x} \approx 580.33$
આમ,માહિતીનો મધ્યક $580.33$ છે.

(B) ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે,આપણે મધ્યક માટે પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times c$.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	મધ્યકિંમત $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i u_i$
$0-10$	$8$	$5$	$-4$	$-32$
$10-20$	$4$	$15$	$-3$	$-12$
$20-30$	$20$	$25$	$-2$	$-40$
$30-40$	$45$	$35$	$-1$	$-45$
$40-50$	$64$	$45=A$	$0$	$0$
$50-60$	$32$	$55$	$1$	$32$
$60-70$	$f$	$65$	$2$	$2f$
$70-80$	$8$	$75$	$3$	$24$
$80-90$	$2$	$85$	$4$	$8$
$90-100$	$2$	$95$	$5$	$10$
કુલ	$\sum f_i = 185 + f$	-	-	$\sum f_i u_i = 2f - 55$

અહીં,$A = 45$ અને $c = 10$.
આપેલ છે $\bar{x} = 43.75$.
$43.75 = 45 + \frac{2f - 55}{185 + f} \times 10$
$-1.25 = \frac{10(2f - 55)}{185 + f}$
$-1.25(185 + f) = 20f - 550$
$-231.25 - 1.25f = 20f - 550$
$550 - 231.25 = 20f + 1.25f$
$318.75 = 21.25f$
$f = \frac{318.75}{21.25} = 15$.
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિ $f = 15$ છે.

(C) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}$ છે.
આ સૂત્રમાં,$a$ એ ધારેલો મધ્યક છે.
પદ $d_{i}$ એ ધારેલા મધ્યક $(a)$ થી વર્ગની મધ્યકિંમતો $(x_{i})$ ના વિચલનને દર્શાવે છે.
તેથી,$d_{i} = x_{i} - a$,જ્યાં $x_{i}$ એ વર્ગોની મધ્યકિંમતો છે.

(D) વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધતી વખતે,આપણે એવું માનીએ છીએ કે વર્ગમાં રહેલા દરેક અવલોકન તેની મધ્યકિંમત (વર્ગચિહ્ન) જેટલા જ છે. તેથી,આવૃત્તિઓ વર્ગોની મધ્યકિંમત પર કેન્દ્રિત છે તેમ માનવામાં આવે છે.

(A) વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક $\bar{x}$ એ સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \sum f_{i}$ છે.
આને $\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપણે $\sum (f_{i} x_{i} - f_{i} \bar{x})$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
સરવાળાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum f_{i} x_{i} - \sum f_{i} \bar{x}$ મળે છે.
$\bar{x}$ અચળ હોવાથી,આપણે તેને સરવાળાની બહાર લઈ શકીએ છીએ: $\sum f_{i} x_{i} - \bar{x} \sum f_{i}$.
$\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ અને $\sum f_{i} = n$ મૂકતા,આપણને $n \bar{x} - \bar{x} (n) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = a + h \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right)$ એ વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યક શોધવા માટેની પદ-વિચલનની રીતનું સૂત્ર છે.
આ સૂત્રમાં,$a$ એ ધારેલો મધ્યક છે,$h$ એ વર્ગ લંબાઈ છે,$x_{i}$ એ વર્ગની મધ્યકિંમત છે અને $u_{i}$ એ વિચલનને વર્ગ લંબાઈ વડે ભાગતા મળતી કિંમત છે.
તેથી,$u_{i}$ માટેનું સૂત્ર $u_{i} = \frac{x_{i} - a}{h}$ થાય છે.

(A) વર્ગ અંતરાલ $30-40$ ની આવૃત્તિ શોધવા માટે, આપણે $30$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યામાંથી $40$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા બાદ કરીશું.
વર્ગ $30-40$ ની આવૃત્તિ $= (\text{30 કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓ}) - (\text{40 કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓ})$
વર્ગ $30-40$ ની આવૃત્તિ $= 51 - 48 = 3$.
આમ, વર્ગ $30-40$ ની આવૃત્તિ $3$ છે.

(B) આ વિધાન સાચું નથી.
જ્યારે આપણે વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક ગણીએ છીએ,ત્યારે આપણે એવું માની લઈએ છીએ કે દરેક વર્ગની આવૃત્તિ તે વર્ગના મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે.
વાસ્તવમાં,એક વર્ગની અંદરના વ્યક્તિગત અવલોકનો ભાગ્યે જ બરાબર મધ્યબિંદુ પર વિતરિત થયેલા હોય છે.
તેથી,વર્ગીકૃત માહિતી પરથી ગણવામાં આવેલ મધ્યક એ એક અંદાજ છે,અને તે મૂળ અવર્ગીકૃત માહિતી પરથી ગણવામાં આવેલા મધ્યક જેટલો ભાગ્યે જ હોય છે.

(N/A) ના,આ વિધાન ખોટું છે. ગણતરી સરળ બનાવવા માટે ધારેલા મધ્યક $a$ તરીકે વર્ગના મધ્યબિંદુઓમાંથી કોઈ એકને પસંદ કરવાની પ્રથા સામાન્ય છે,પરંતુ તે ગાણિતિક રીતે ફરજિયાત નથી. ધારેલો મધ્યક $a$ એ માહિતીના સમૂહમાંથી અથવા તેની બહારની કોઈપણ મનસ્વી કિંમત હોઈ શકે છે,જો તે વિચલનો $d_i = x_i - a$ ની ગણતરીને સરળ બનાવવામાં મદદ કરતી હોય.

(A) દૈનિક વેતનનો મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રત્યક્ષ રીતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$.
પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ ગણીએ છીએ: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.

દૈનિક વેતન (રૂપિયામાં)	વર્ગચિહ્ન $(x_i)$	કામદારોની સંખ્યા $(f_i)$	$f_i x_i$
$100-120$	$110$	$10$	$1100$
$120-140$	$130$	$15$	$1950$
$140-160$	$150$	$20$	$3000$
$160-180$	$170$	$22$	$3740$
$180-200$	$190$	$18$	$3420$
$200-220$	$210$	$12$	$2520$
$220-240$	$230$	$13$	$2990$

આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 10 + 15 + 20 + 22 + 18 + 12 + 13 = 110$.
ગુણાકારોનો સરવાળો $\sum f_i x_i = 1100 + 1950 + 3000 + 3740 + 3420 + 2520 + 2990 = 18720$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{18720}{110} \approx 170.18$.
આમ,કામદારોના દૈનિક વેતનનો મધ્યક $Rs. 170.18$ છે.

(D) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ,જેનું સૂત્ર છે: $x_i = \frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{અધઃ સીમા}}{2}$.

વર્ગ	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$1-3$	$2$	$9$	$18$
$3-5$	$4$	$22$	$88$
$5-7$	$6$	$27$	$162$
$7-10$	$8.5$	$17$	$144.5$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 75$	$\Sigma f_i x_i = 412.5$

મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{412.5}{75} = 5.5$.
આમ,આપેલ વિતરણનો મધ્યક $5.5$ છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ શોધીએ છીએ,જેનું સૂત્ર: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$ છે.

ગુણ	વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-20$	$15$	$2$	$30$
$20-30$	$25$	$4$	$100$
$30-40$	$35$	$7$	$245$
$40-50$	$45$	$6$	$270$
$50-60$	$55$	$1$	$55$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 20$	$\Sigma f_i x_i = 700$

મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{700}{20} = 35$.
આમ,$20$ વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો મધ્યક $35$ છે.

(B) આપેલ માહિતી સતત ન હોવાથી,આપણે દરેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીને અને ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરીને તેને સતત વર્ગ અંતરાલમાં ફેરવીએ છીએ.
હવે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $x_{i}$ શોધીએ છીએ અને નીચે મુજબ ગણતરી કરીએ છીએ:

વર્ગ	વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$	આવૃત્તિ $(f_{i})$	$f_{i} x_{i}$
$3.5-7.5$	$5.5$	$5$	$27.5$
$7.5-11.5$	$9.5$	$4$	$38$
$11.5-15.5$	$13.5$	$9$	$121.5$
$15.5-19.5$	$17.5$	$10$	$175$
કુલ	-	$\Sigma f_{i} = 28$	$\Sigma f_{i} x_{i} = 362$

તેથી,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{362}{28} \approx 12.93$.
આમ,આપેલ માહિતીનો મધ્યક $12.93$ છે.

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગ અંતરાલને સતત બનાવીએ છીએ,જેના માટે આપણે નીચલી સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને ઉપલી સીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ. ત્યારબાદ આપણે દરેક વર્ગ માટે મધ્ય કિંમત $(x_i)$ ગણીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ	મધ્ય કિંમત $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$15.5-18.5$	$17$	$1$	$17$
$18.5-21.5$	$20$	$3$	$60$
$21.5-24.5$	$23$	$4$	$92$
$24.5-27.5$	$26$	$9$	$234$
$27.5-30.5$	$29$	$13$	$377$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 30$	$\Sigma f_i x_i = 780$

મધ્યક નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$.
$\bar{x} = \frac{780}{30} = 26$.
આમ,દરરોજ લખાયેલા પાનાઓની સરેરાશ $26$ છે.

(D) આપેલ માહિતી સતત ન હોવાથી,આપણે દરેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીને અને ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરીને તેને સતત વર્ગોમાં ફેરવીએ છીએ.
હવે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધીએ છીએ અને પદ-વિચલન (step-deviation) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

આવક (રૂપિયામાં)	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$u_i = \frac{x_i - a}{h}$	$f_i u_i$
$0.5-200.5$	$100.5$	$14$	$-1$	$-14$
$200.5-400.5$	$300.5 (a)$	$15$	$0$	$0$
$400.5-600.5$	$500.5$	$14$	$1$	$14$
$600.5-800.5$	$700.5$	$7$	$2$	$14$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 50$	-	$\Sigma f_i u_i = 14$

અહીં,ધારેલો મધ્યક $a = 300.5$,વર્ગ લંબાઈ $h = 200$,અને કુલ અવલોકનો $N = 50$ છે.
પદ-વિચલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 200 \times \left( \frac{14}{50} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 4 \times 14$
$\bar{x} = 300.5 + 56 = 356.5$
આમ,સરેરાશ દૈનિક આવક $356.5$ રૂપિયા છે.

(A) રોકાયેલી સીટોની સરેરાશ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

સીટોની સંખ્યા	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	વિચલન $d_i = x_i - a$	$f_i d_i$
$100-104$	$102$	$15$	$-8$	$-120$
$104-108$	$106$	$20$	$-4$	$-80$
$108-112$	$a=110$	$32$	$0$	$0$
$112-116$	$114$	$18$	$4$	$72$
$116-120$	$118$	$15$	$8$	$120$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 100$	-	$\Sigma f_i d_i = -8$

ધારેલો મધ્યક $(a) = 110$.
ધારેલા મધ્યકની રીત માટે મધ્યકનું સૂત્ર:
$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$\bar{x} = 110 + \left(\frac{-8}{100}\right)$
$\bar{x} = 110 - 0.08 = 109.92$
આમ,રોકાયેલી સીટોની સરેરાશ સંખ્યા $109.92$ છે.

(B) સરેરાશ વજન શોધવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ નક્કી કરીએ છીએ.

વજન (kg માં)	કુસ્તીબાજોની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	વિચલન $(d_i = x_i - a)$	$f_i d_i$
$100-110$	$4$	$105$	$-20$	$-80$
$110-120$	$14$	$115$	$-10$	$-140$
$120-130$	$21$	$a = 125$	$0$	$0$
$130-140$	$8$	$135$	$10$	$80$
$140-150$	$3$	$145$	$20$	$60$
કુલ	$\Sigma f_i = 50$	-	-	$\Sigma f_i d_i = -80$

ધારો કે ધારેલો મધ્યક $(a) = 125$.
ધારેલા મધ્યકની રીત માટે મધ્યકનું સૂત્ર:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$= 125 + \frac{-80}{50}$
$= 125 - 1.6$
$= 123.4 \ kg$.

(A)

માઇલેજ $(km/l)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	કારની સંખ્યા $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-12$	$11$	$7$	$77$
$12-14$	$13$	$12$	$156$
$14-16$	$15$	$18$	$270$
$16-18$	$17$	$13$	$221$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 50$	$\Sigma f_i x_i = 724$

અહીં,$\Sigma f_i = 50$ અને $\Sigma f_i x_i = 724$.
સરેરાશ $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{724}{50} = 14.48$.
તેથી,સરેરાશ માઇલેજ $14.48 \, km/l$ છે.
ના,હું ઉત્પાદકના દાવા સાથે સહમત નથી,કારણ કે ગણતરી કરેલ સરેરાશ માઇલેજ $(14.48 \, km/l)$ એ તેમના દ્વારા કરવામાં આવેલા $16 \, km/l$ ના દાવા કરતા ઘણી ઓછી છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને પ્રમાણિત આવૃત્તિ વિતરણમાં ફેરવીએ છીએ. વર્ગ અંતરાલ $20-30$ થી શરૂ થાય છે કારણ કે ઉંમર $20$ વર્ષ કે તેથી વધુ છે.

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 45}{10}$	$f_i u_i$
$20-30$	$100$	$25$	$-2$	$-200$
$30-40$	$120$	$35$	$-1$	$-120$
$40-50$	$130$	$45$	$0$	$0$
$50-60$	$400$	$55$	$1$	$400$
$60-70$	$200$	$65$	$2$	$400$
$70-80$	$50$	$75$	$3$	$150$
કુલ	$\sum f_i = 1000$	-	-	$\sum f_i u_i = 630$

પદ-વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યક} (\bar{x}) = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
અહીં,$a = 45$,$h = 10$,$\sum f_i u_i = 630$,અને $\sum f_i = 1000$.
$\bar{x} = 45 + 10 \left( \frac{630}{1000} \right) = 45 + 6.3 = 51.3$.
આમ,સરેરાશ ઉંમર $51.3$ વર્ષ છે.

(A) કુલ આવૃત્તિ $\Sigma f_i = 100$ આપેલ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 68 + f_1 + f_2 = 100 \implies f_1 + f_2 = 32$ (સમીકરણ $1$).
પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \times c$,જ્યાં $A = 65$ (ધારેલો મધ્યક),$c = 20$ (વર્ગ લંબાઈ).

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	મધ્યકિંમત $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 65}{20}$	$f_i u_i$
$15-35$	$17$	$25$	$-2$	$-34$
$35-55$	$f_1$	$45$	$-1$	$-f_1$
$55-75$	$32$	$65$	$0$	$0$
$75-95$	$f_2$	$85$	$1$	$f_2$
$95-115$	$19$	$105$	$2$	$38$
કુલ	$100$	-	-	$f_2 - f_1 + 4$

મધ્યક $\bar{x} = 65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{100} \times 20 = 65$.
$65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{5} = 65 \implies f_2 - f_1 + 4 = 0 \implies f_1 - f_2 = 4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2f_1 = 36 \implies f_1 = 18$.
$f_1 = 18$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા: $18 + f_2 = 32 \implies f_2 = 14$.
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિઓ $f_1 = 18$ અને $f_2 = 14$ છે.

(D) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ ગણીએ છીએ,જ્યાં $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.
$1$. $21-25$ માટે,$x_1 = 23$,$f_1 = 18$,$f_1x_1 = 414$.
$2$. $26-30$ માટે,$x_2 = 28$,$f_2 = 32$,$f_2x_2 = 896$.
$3$. $31-35$ માટે,$x_3 = 33$,$f_3 = 30$,$f_3x_3 = 990$.
$4$. $36-40$ માટે,$x_4 = 38$,$f_4 = 40$,$f_4x_4 = 1520$.
$5$. $41-45$ માટે,$x_5 = 43$,$f_5 = 25$,$f_5x_5 = 1075$.
$6$. $46-50$ માટે,$x_6 = 48$,$f_6 = 15$,$f_6x_6 = 720$.
$7$. $51-55$ માટે,$x_7 = 53$,$f_7 = 40$,$f_7x_7 = 2120$.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$ = $18 + 32 + 30 + 40 + 25 + 15 + 40 = 200$.
ગુણાકારનો સરવાળો $(\sum f_ix_i)$ = $414 + 896 + 990 + 1520 + 1075 + 720 + 2120 = 7735$.
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i} = \frac{7735}{200} = 38.675$.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x_i$ એ વર્ગ ચિહ્ન છે.
$1$. દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધો:
- $0-10$ માટે,$x_1 = (0+10)/2 = 5$
- $10-20$ માટે,$x_2 = (10+20)/2 = 15$
- $20-30$ માટે,$x_3 = (20+30)/2 = 25$
- $30-40$ માટે,$x_4 = (30+40)/2 = 35$
- $40-50$ માટે,$x_5 = (40+50)/2 = 45$
$2$. $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
- $20 \times 5 = 100$
- $10 \times 15 = 150$
- $20 \times 25 = 500$
- $30 \times 35 = 1050$
- $20 \times 45 = 900$
$3$. $\sum f_i x_i = 100 + 150 + 500 + 1050 + 900 = 2700$ ની ગણતરી કરો.
$4$. $\sum f_i = 20 + 10 + 20 + 30 + 20 = 100$ ની ગણતરી કરો.
$5$. મધ્યક $\bar{x} = 2700 / 100 = 27$.

(B) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x_i$ એ વર્ગ ચિહ્ન છે.
$1$. વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધો:
$15, 25, 35, 45, 55, 65$.
$2$. $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
$2 \times 15 = 30$
$10 \times 25 = 250$
$40 \times 35 = 1400$
$25 \times 45 = 1125$
$13 \times 55 = 715$
$10 \times 65 = 650$
$3$. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$: $2 + 10 + 40 + 25 + 13 + 10 = 100$.
$4$. ગુણાકારોનો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$: $30 + 250 + 1400 + 1125 + 715 + 650 = 4170$.
$5$. મધ્યક $(\bar{x})$: $\frac{4170}{100} = 41.7$.

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x_i$ એ વર્ગ ચિહ્ન છે.
$1$. વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધો: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$2$. $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
$2 \times 5 = 10$
$4 \times 15 = 60$
$10 \times 25 = 250$
$20 \times 35 = 700$
$18 \times 45 = 810$
$20 \times 55 = 1100$
$16 \times 65 = 1040$
$10 \times 75 = 750$
$3$. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$ = $2 + 4 + 10 + 20 + 18 + 20 + 16 + 10 = 100$.
$4$. $f_i x_i$ નો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$ = $10 + 60 + 250 + 700 + 810 + 1100 + 1040 + 750 = 4720$.
$5$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{4720}{100} = 47.2$.

(D) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x_i$ એ વર્ગની મધ્યકિંમત છે.
$1$. વર્ગની મધ્યકિંમત $(x_i)$ શોધો: $85, 95, 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165$.
$2$. $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
$6 \times 85 = 510$
$18 \times 95 = 1710$
$78 \times 105 = 8190$
$80 \times 115 = 9200$
$100 \times 125 = 12500$
$72 \times 135 = 9720$
$0 \times 145 = 0$
$40 \times 155 = 6200$
$6 \times 165 = 990$
$3$. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 6 + 18 + 78 + 80 + 100 + 72 + 0 + 40 + 6 = 400$.
$4$. ગુણાકારોનો સરવાળો $\sum f_i x_i = 510 + 1710 + 8190 + 9200 + 12500 + 9720 + 0 + 6200 + 990 = 49020$.
$5$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{49020}{400} = 122.55$.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધીએ છીએ,જેનું સૂત્ર છે: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.
$1$. $10-20$ માટે: $x_1 = \frac{10+20}{2} = 15$
$2$. $20-30$ માટે: $x_2 = \frac{20+30}{2} = 25$
$3$. $30-40$ માટે: $x_3 = \frac{30+40}{2} = 35$
$4$. $40-50$ માટે: $x_4 = \frac{40+50}{2} = 45$
$5$. $50-60$ માટે: $x_5 = \frac{50+60}{2} = 55$
હવે,દરેક વર્ગ માટે $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
- $12 \times 15 = 180$
- $16 \times 25 = 400$
- $8 \times 35 = 280$
- $6 \times 45 = 270$
- $8 \times 55 = 440$
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$: $12 + 16 + 8 + 6 + 8 = 50$.
ગુણાકારોનો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$: $180 + 400 + 280 + 270 + 440 = 1570$.
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{1570}{50} = 31.4$.

(B) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ ગણીએ:
$11-13: x_1 = 12$
$13-15: x_2 = 14$
$15-17: x_3 = 16$
$17-19: x_4 = 18$
$19-21: x_5 = 20$
$21-23: x_6 = 22$
$23-25: x_7 = 24$
હવે,$f_i x_i$ ની ગણતરી કરીએ:
$3 \times 12 = 36$
$6 \times 14 = 84$
$9 \times 16 = 144$
$13 \times 18 = 234$
$f \times 20 = 20f$
$5 \times 22 = 110$
$4 \times 24 = 96$
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 3+6+9+13+f+5+4 = 40+f$
ગુણાકારોનો સરવાળો $\sum f_i x_i = 36+84+144+234+20f+110+96 = 704+20f$
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 18$ છે,તેથી આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$18 = \frac{704+20f}{40+f}$
$18(40+f) = 704+20f$
$720+18f = 704+20f$
$720-704 = 20f-18f$
$16 = 2f$
$f = 8$

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ ગણીએ:
$10-20: x_1 = 15$
$20-30: x_2 = 25$
$30-40: x_3 = 35$
$40-50: x_4 = 45$
$50-60: x_5 = 55$
$60-70: x_6 = 65$
$70-80: x_7 = 75$
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 5 + 3 + 4 + f + 2 + 6 + 13 = 33 + f$.
ગુણાકારનો સરવાળો $\sum f_i x_i = (5 \times 15) + (3 \times 25) + (4 \times 35) + (f \times 45) + (2 \times 55) + (6 \times 65) + (13 \times 75)$
$= 75 + 75 + 140 + 45f + 110 + 390 + 975 = 1765 + 45f$.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 52$ માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$52 = \frac{1765 + 45f}{33 + f}$
$52(33 + f) = 1765 + 45f$
$1716 + 52f = 1765 + 45f$
$52f - 45f = 1765 - 1716$
$7f = 49$
$f = 7$.

(A) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $\sum f_i = 120$ છે. તેથી,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (સમીકરણ $1$).
વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ $20, 40, 60, 80, 100$ છે. સરવાળો $\sum f_i x_i = (17 \times 20) + (f_1 \times 40) + (32 \times 60) + (f_2 \times 80) + (19 \times 100) = 340 + 40f_1 + 1920 + 80f_2 + 1900 = 4160 + 40f_1 + 80f_2$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 60 \implies \frac{4160 + 40f_1 + 80f_2}{120} = 60$.
$4160 + 40f_1 + 80f_2 = 7200 \implies 40f_1 + 80f_2 = 3040 \implies f_1 + 2f_2 = 76$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(f_1 + 2f_2) - (f_1 + f_2) = 76 - 52 \implies f_2 = 24$.
સમીકરણ $1$ માં $f_2 = 24$ મૂકતા: $f_1 + 24 = 52 \implies f_1 = 28$. આમ,$f_1 = 28$ અને $f_2 = 24$.

(B) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ શોધો:
$0-20: x_1 = 10$
$20-40: x_2 = 30$
$40-60: x_3 = 50$
$60-80: x_4 = 70$
$80-100: x_5 = 90$
$100-120: x_6 = 110$
હવે,$\sum f_i x_i = (10 \times 10) + (f \times 30) + (7 \times 50) + (6 \times 70) + (5 \times 90) + (4 \times 110) = 100 + 30f + 350 + 420 + 450 + 440 = 1760 + 30f$ ગણો.
$\sum f_i = 10 + f + 7 + 6 + 5 + 4 = 32 + f$ ગણો.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 46$ હોવાથી,$46 = \frac{1760 + 30f}{32 + f}$ મળે.
$46(32 + f) = 1760 + 30f$
$1472 + 46f = 1760 + 30f$
$46f - 30f = 1760 - 1472$
$16f = 288$
$f = \frac{288}{16} = 18$.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ શોધો: $2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34$.
ત્યારબાદ,દરેક વર્ગ માટે $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
$6 \times 2 = 12$
$8 \times 6 = 48$
$17 \times 10 = 170$
$23 \times 14 = 322$
$16 \times 18 = 288$
$15 \times 22 = 330$
$f \times 26 = 26f$
$4 \times 30 = 120$
$3 \times 34 = 102$
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 6+8+17+23+16+15+f+4+3 = 92+f$.
$f_i x_i$ નો સરવાળો = $12+48+170+322+288+330+26f+120+102 = 1392+26f$.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 16$ છે,તેથી $16 = \frac{1392+26f}{92+f}$.
$16(92+f) = 1392+26f$
$1472 + 16f = 1392 + 26f$
$1472 - 1392 = 26f - 16f$
$80 = 10f$
$f = 8$.

(D) મધ્યક શોધવાની ધારેલા મધ્યકની રીતમાં,સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ છે.
અહીં,$A$ એ ધારેલો મધ્યક છે અને $x_{i}$ એ $i$-માં વર્ગની વર્ગ-સીમા (મધ્યકિંમત) છે.
વિચલન $d_{i}$ એ વર્ગ-સીમા અને ધારેલા મધ્યક વચ્ચેનો તફાવત છે.
તેથી,$d_{i} = x_{i} - A$ થાય.

(A) આપેલ સૂત્ર વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યક શોધવા માટેની પદ-વિચલનની રીતનું છે.
આ રીતમાં,વિચલન $d_{i}$ ને $d_{i} = x_{i} - A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $x_{i}$ એ વર્ગ ચિહ્ન છે અને $A$ એ ધારેલો મધ્યક છે.
ચલ $u_{i}$ ને વિચલન અને વર્ગ લંબાઈ $c$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$ છે.
તેથી,$u_{i}$ માટેનું સાચું પદ $\frac{x_{i} - A}{c}$ છે.

(A) ધારો કે ઈના,મીના અને ડિકાની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $I, M$ અને $D$ છે.
સરેરાશ ઉંમરનું સૂત્ર $\frac{I + M + D}{3} = x$ છે.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $I + M + D = 3x$ થાય.
$y$ વર્ષ પછી,દરેક વ્યક્તિની ઉંમરમાં $y$ વર્ષનો વધારો થશે.
તેથી,તેમની નવી ઉંમરનો સરવાળો $(I + y) + (M + y) + (D + y) = (I + M + D) + 3y$ થશે.
હાલની ઉંમરનો સરવાળો મૂકતા: $3x + 3y$.
તેથી,નવી સરેરાશ ઉંમર $\frac{3x + 3y}{3} = x + y$ થશે.

(B) $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_n$ ના સમૂહનો મધ્યક (સરેરાશ) એ તમામ અવલોકનોના સરવાળાને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\sum x_i$ એ તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો છે અને $n$ એ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે.

(A) વર્ગીકૃત માહિતી માટે પ્રત્યક્ષ રીત દ્વારા મધ્યક $(\bar{x})$ શોધવાનું સૂત્ર: $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ છે,જ્યાં $f_{i}$ એ $i$-માં વર્ગની આવૃત્તિ છે અને $x_{i}$ એ $i$-માં વર્ગની મધ્યકિંમત છે. સરવાળો $\sum f_{i}$ ને ઘણીવાર $N$ અથવા $n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જે કુલ અવલોકનોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યક માટેના આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ માં:
$\bar{x}$ એ મધ્યક દર્શાવે છે.
$f_{i}$ એ $i^{th}$ વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$x_{i}$ એ $i^{th}$ વર્ગની વર્ગ-ચિહ્ન (મધ્યકિંમત) દર્શાવે છે.
$n$ એ કુલ આવૃત્તિ દર્શાવે છે,જે $\Sigma f_{i}$ બરાબર છે.
તેથી,$f_{i}$ એ $i^{th}$ વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.