Mix Examples - Statistics Questions in Gujarati

(52) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ અને $f_i x_i$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	$f_i x_i$
$10-25$	$2$	$17.5$	$35.0$
$25-40$	$3$	$32.5$	$97.5$
$40-55$	$7$	$47.5$	$332.5$
$55-70$	$6$	$62.5$	$375.0$
$70-85$	$6$	$77.5$	$465.0$
$85-100$	$6$	$92.5$	$555.0$
કુલ	$\Sigma f_i = 30$		$\Sigma f_i x_i = 1860.0$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{1860}{30} = 62$.
બહુલક માટે,મહત્તમ આવૃત્તિ $7$ છે,જે બહુલક વર્ગ $40-55$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં,$l = 40$,$h = 15$,$f_1 = 7$,$f_0 = 3$,$f_2 = 6$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 40 + \left( \frac{7 - 3}{14 - 3 - 6} \right) \times 15 = 40 + \left( \frac{4}{5} \right) \times 15 = 40 + 12 = 52$.
અર્થઘટન: મહત્તમ વિદ્યાર્થીઓએ $52$ ગુણ મેળવ્યા છે (બહુલક),જ્યારે સરેરાશ એક વિદ્યાર્થીએ $62$ ગુણ મેળવ્યા છે (મધ્યક).

(N/A) વર્ગ ચિહ્નો $(x_{i})$ શોધવા માટે,નીચેના સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે:
$x_{i} = \frac{\text{વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{વર્ગની અધઃ સીમા}}{2}$
ધારેલો મધ્યક $(a) = 30$ લેતા,$d_i$ અને $f_id_i$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

ઉંમર (વર્ષમાં)	દર્દીઓની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	$d_i = x_i - 30$	$f_i d_i$
$5$-$15$	$6$	$10$	-$20$	-$120$
$15$-$25$	$11$	$20$	-$10$	-$110$
$25$-$35$	$21$	$30$	$0$	$0$
$35$-$45$	$23$	$40$	$10$	$230$
$45$-$55$	$14$	$50$	$20$	$280$
$55$-$65$	$5$	$60$	$30$	$150$
કુલ	$80$	-	-	$430$

કોષ્ટક પરથી,$\Sigma f_{i} = 80$ અને $\Sigma f_{i} d_{i} = 430$ મળે છે.
મધ્યક,$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} = 30 + \frac{430}{80} = 30 + 5.375 = 35.375 \simeq 35.38$.
દર્દીઓની સરેરાશ ઉંમર $35.38 \text{ વર્ષ}$ છે. આ દર્શાવે છે કે હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા દર્દીની સરેરાશ ઉંમર $35.38 \text{ વર્ષ}$ હતી.
અહીં મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $23$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $35-45$ માં આવે છે.
બહુલક વર્ગ $= 35-45$,અધઃ સીમા $(l) = 35$,વર્ગ લંબાઈ $(h) = 10$,આવૃત્તિ $(f_1) = 23$,આવૃત્તિ $(f_0) = 21$,આવૃત્તિ $(f_2) = 14$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 35 + \left( \frac{23 - 21}{2(23) - 21 - 14} \right) \times 10 = 35 + \left( \frac{2}{46 - 35} \right) \times 10 = 35 + \frac{20}{11} = 35 + 1.81 = 36.81$.
બહુલક $36.81$ છે. આ દર્શાવે છે કે હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા મહત્તમ દર્દીઓની ઉંમર $36.81 \text{ વર્ષ}$ હતી.

(N/A) આપેલ ડેટા પરથી જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $40$ છે,જે $1500-2000$ અંતરાલમાં આવે છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $= 1500-2000$.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 1500$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 40$.
બહુલક વર્ગના આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 24$.
બહુલક વર્ગના પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 33$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 500$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$= 1500 + \left( \frac{40 - 24}{2(40) - 24 - 33} \right) \times 500 = 1500 + \frac{8000}{23} \approx 1847.83$.
આમ,બહુલક માસિક ખર્ચ રૂ. $1847.83$ છે.
મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
$a = 2750$ અને $h = 500$ લેતા,$\sum f_i u_i = -35$ અને $\sum f_i = 200$ મળે છે.
મધ્યક $= 2750 + 500 \times \left( \frac{-35}{200} \right) = 2750 - 87.5 = 2662.5$.
આમ,સરેરાશ માસિક ખર્ચ રૂ. $2662.5$ છે.

(N/A) આપેલ માહિતી પરથી જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વર્ગ આવૃત્તિ $10$ છે જે વર્ગ અંતરાલ $30-35$ માં આવે છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $= 30-35$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 5$.
બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 30$.
બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $(f_1) = 10$.
બહુલક વર્ગના આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_0) = 9$.
બહુલક વર્ગના પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $(f_2) = 3$.
બહુલક $= l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 30 + \left(\frac{10 - 9}{2(10) - 9 - 3}\right) \times 5 = 30 + \left(\frac{1}{8}\right) \times 5 = 30 + 0.625 = 30.625$.
બહુલક $\approx 30.6$.
આ દર્શાવે છે કે મોટાભાગના રાજ્યો/કેન્દ્રશાસિત પ્રદેશોમાં શિક્ષક-વિદ્યાર્થી ગુણોત્તર આશરે $30.6$ છે.
મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
મધ્યક $\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h$.
ધારેલ મધ્યક $a = 32.5$ અને $h = 5$ લેતા,$\sum f_i u_i = -23$ અને $\sum f_i = 35$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x} = 32.5 + \left(\frac{-23}{35}\right) \times 5 = 32.5 - \frac{23}{7} = 32.5 - 3.2857 \approx 29.21$.
તેથી,માહિતીનો મધ્યક આશરે $29.2$ છે.

(N/A) $1$. મધ્યક: પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{x} = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$. અહીં $a = 135, h = 20, \sum f_i u_i = 7, \sum f_i = 68$ લેતા,$\bar{x} = 135 + 20 \left( \frac{7}{68} \right) = 135 + 2.06 = 137.06$.
$2$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $125-145$ છે $(f_1=20, f_0=13, f_2=14)$. બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 125 + \left( \frac{20 - 13}{40 - 13 - 14} \right) \times 20 = 125 + \left( \frac{7}{13} \right) \times 20 = 125 + 10.77 = 135.77$.
$3$. મધ્યસ્થ: $n=68, n/2=34$. સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક મુજબ મધ્યસ્થ વર્ગ $125-145$ છે. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{n/2 - cf}{f} \right) \times h = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20 = 125 + 12 = 137$. આમ,મધ્યક $\approx$ મધ્યસ્થ $\approx$ બહુલક.

(N/A) સંચયી આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:

અક્ષરોની સંખ્યા	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$1-4$	$6$	$6$
$4-7$	$30$	$36$
$7-10$	$40$	$76$
$10-13$	$16$	$92$
$13-16$	$4$	$96$
$16-19$	$4$	$100$

$1$. મધ્યસ્થ: $n=100$,તેથી $n/2 = 50$. $50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $76$ છે,જે વર્ગ $7-10$ ને અનુરૂપ છે.
મધ્યસ્થ $= l + [(\frac{n}{2} - cf) / f] \times h = 7 + [(50 - 36) / 40] \times 3 = 7 + (14/40) \times 3 = 7 + 1.05 = 8.05$.
$2$. મધ્યક: ધારેલા મધ્યક $a = 11.5$ અને $h = 3$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x_i$ (મધ્યબિંદુઓ) શોધીએ છીએ: $2.5, 5.5, 8.5, 11.5, 14.5, 17.5$.
$u_i = (x_i - 11.5)/3$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.
$f_i u_i$: $-18, -60, -40, 0, 4, 8$. સરવાળો $\sum f_i u_i = -106$.
મધ્યક $= a + h \times (\sum f_i u_i / \sum f_i) = 11.5 + 3 \times (-106/100) = 11.5 - 3.18 = 8.32$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $7-10$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $40$).
બહુલક $= l + [(f_1 - f_0) / (2f_1 - f_0 - f_2)] \times h = 7 + [(40 - 30) / (80 - 30 - 16)] \times 3 = 7 + (10/34) \times 3 = 7 + 0.88 = 7.88$.

(C) $1$. બહુલક વર્ગ: સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ એ બહુલક વર્ગ છે. અહીં,સૌથી વધુ આવૃત્તિ $15$ છે,જે $150-155$ વર્ગ અંતરાલને અનુરૂપ છે. તેથી,બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $150$ છે.
$2$. મધ્યસ્થ વર્ગ: મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ છીએ:
- $150-155$: $cf = 15$
- $155-160$: $cf = 15 + 13 = 28$
- $160-165$: $cf = 28 + 10 = 38$
- $165-170$: $cf = 38 + 8 = 46$
- $170-175$: $cf = 46 + 9 = 55$
- $175-180$: $cf = 55 + 5 = 60$
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 60$ છે. તેથી,$N/2 = 30$. $30$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $38$ છે,જે $160-165$ વર્ગ અંતરાલને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા $165$ છે.
$3$. અંતિમ ગણતરી: બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(150)$ અને મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા $(165)$ નો સરવાળો $150 + 165 = 315$ થાય છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યકિંમત $(x_i)$ ગણીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	મધ્યકિંમત $(x_i)$	$d_i = x_i - A$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$50-70$	$10$	$60$	$-20$	$-1$	$600$	$-200$	$-10$
$70-90$	$18$	$80 = A$	$0$	$0$	$1440$	$0$	$0$
$90-110$	$7$	$100$	$20$	$1$	$700$	$140$	$7$
$110-130$	$6$	$120$	$40$	$2$	$720$	$240$	$12$
$130-150$	$5$	$140$	$60$	$3$	$700$	$300$	$15$
$150-170$	$4$	$160$	$80$	$4$	$640$	$320$	$16$
કુલ	$\Sigma f_i = 50$	-	-	-	$\Sigma f_i x_i = 4800$	$\Sigma f_i d_i = 800$	$\Sigma f_i u_i = 40$

અહીં,$A = 80$ અને $c = 20$.
$1$. પ્રત્યક્ષ રીત: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{4800}{50} = 96$.
$2$. ધારેલા મધ્યકની રીત: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 80 + \frac{800}{50} = 80 + 16 = 96$.
$3$. પદ-વિચલનની રીત: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right) \times c = 80 + \left( \frac{40}{50} \right) \times 20 = 80 + 16 = 96$.
આમ,માહિતીનો મધ્યક $96$ છે.

(D) મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક તૈયાર કરીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-5$	$10$	$10$
$5-10$	$15$	$25$
$10-15$	$12$	$37$
$15-20$	$20$	$57$
$20-25$	$9$	$66$

$1$. કુલ આવૃત્તિ $N = 66$. તેથી,$\frac{N}{2} = \frac{66}{2} = 33$.
$2$. $33$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $37$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $10-15$ ને અનુરૂપ છે. આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $10-15$ છે,અને તેની અધઃસીમા $10$ છે.
$3$. સૌથી મોટી આવૃત્તિ $20$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $15-20$ ને અનુરૂપ છે. આમ,બહુલક વર્ગ $15-20$ છે,અને તેની અધઃસીમા $15$ છે.
$4$. અધઃસીમાઓનો સરવાળો $10 + 15 = 25$ થાય છે.

(C) મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીશું:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$65-85$	$4$	$4$
$85-105$	$5$	$9$
$105-125$	$13$	$22$
$125-145$	$20$	$42$
$145-165$	$14$	$56$
$165-185$	$7$	$63$
$185-205$	$4$	$67$

કુલ આવૃત્તિ $N = 67$. તેથી,$\frac{N}{2} = \frac{67}{2} = 33.5$.
$33.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $42$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $125-145$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $125-145$ છે. મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા $145$ છે.
સૌથી વધુ આવૃત્તિ $20$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $125-145$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,બહુલક વર્ગ $125-145$ છે. બહુલક વર્ગની અધઃ સીમા $125$ છે.
જરૂરી તફાવત = (મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા) - (બહુલક વર્ગની અધઃ સીમા) = $145 - 125 = 20$.

(N/A) ના,એવું કહેવું સાચું નથી કે જૂથબદ્ધ માહિતીનો મધ્યક,બહુલક અને મધ્યસ્થ હંમેશા અલગ-અલગ હોય છે.
કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના આ ત્રણ માપદંડો માહિતીના પ્રકાર પર આધારિત હોવાથી સમાન પણ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,સંપૂર્ણ સંમિત વિતરણમાં (જેમ કે પ્રમાણિત વિતરણ),મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક સમાન હોય છે.
તેથી,આ ત્રણ માપદંડોની કિંમતો સંપૂર્ણપણે માહિતીના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.

(N/A) ના,વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ હંમેશા અલગ હોતા નથી. માહિતીના વિતરણના આધારે તે સમાન હોઈ શકે છે.
સમર્થન:
$1$. બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ અંતરાલ છે.
$2$. મધ્યસ્થ વર્ગ એ વર્ગ અંતરાલ છે જ્યાં સંચયી આવૃત્તિ $N/2$ સુધી પહોંચે છે,જ્યાં $N$ એ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે.
$3$. ઘણા આવૃત્તિ વિતરણોમાં,સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ ઘણીવાર મધ્યસ્થ અવલોકન ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંમિત વિતરણમાં,મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક ઘણીવાર એક જ હોય છે,અને મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ વારંવાર એકબીજા સાથે સુસંગત અથવા સમાન હોય છે.

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિ શોધવા માટે વર્તમાન વર્ગની સંચયી આવૃત્તિમાંથી અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ બાદ કરીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$0-10$	$10$
$10-20$	$50 - 10 = 40$
$20-30$	$130 - 50 = 80$
$30-40$	$270 - 130 = 140$
$40-50$	$440 - 270 = 170$
$50-60$	$570 - 440 = 130$
$60-70$	$670 - 570 = 100$
$70-80$	$740 - 670 = 70$
$80-90$	$780 - 740 = 40$
$90-100$	$800 - 780 = 20$

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક ચોક્કસ વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિ શોધવા માટે ક્રમિક અંતરાલોની સંચયી આવૃત્તિઓની બાદબાકી કરીએ છીએ.
અહીં કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $34$ છે (જે '$0$ કે તેથી વધુ' શ્રેણીમાં જોઈ શકાય છે),તેથી આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે આવૃત્તિ નીચે મુજબ ગણીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-10$	$34-32 = 2$
$10-20$	$32-30 = 2$
$20-30$	$30-27 = 3$
$30-40$	$27-23 = 4$
$40-50$	$23-17 = 6$
$50-60$	$17-11 = 6$
$60-70$	$11-6 = 5$
$70-80$	$6-4 = 2$
$80-90$	$4$

(N/A) $(i)$ 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગની આવૃત્તિમાં તેના અગાઉના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિ ઉમેરીએ છીએ. અહીં ડેટા $10-20$ થી શરૂ થાય છે,તેથી આપણે માની લઈએ છીએ કે $10$ વર્ષથી ઓછી ઉંમરના $0$ દર્દીઓ છે.
$(ii)$ 'થી વધુ' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ બનાવવા માટે,આપણે કુલ દર્દીઓની સંખ્યા $(300)$ થી શરૂઆત કરીએ છીએ અને દરેક અગાઉના વર્ગની આવૃત્તિને બાદ કરતા જઈએ છીએ.

ઉંમર (વર્ષમાં)	થી ઓછા પ્રકારની (સંચયી આવૃત્તિ)	ઉંમર (વર્ષમાં)	થી વધુ પ્રકારની (સંચયી આવૃત્તિ)
$10$ થી ઓછી	$0$	$10$ કે તેથી વધુ	$300$
$20$ થી ઓછી	$60$	$20$ કે તેથી વધુ	$240$
$30$ થી ઓછી	$102$	$30$ કે તેથી વધુ	$198$
$40$ થી ઓછી	$157$	$40$ કે તેથી વધુ	$143$
$50$ થી ઓછી	$227$	$50$ કે તેથી વધુ	$73$
$60$ થી ઓછી	$280$	$60$ કે તેથી વધુ	$20$
$70$ થી ઓછી	$300$	$70$ કે તેથી વધુ	$0$

(N/A) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને આવૃત્તિ વિતરણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે વર્તમાન વર્ગની સંચયી આવૃત્તિમાંથી અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ બાદ કરીએ છીએ.
$1$. વર્ગ $0-20$ માટે,આવૃત્તિ $17$ છે.
$2$. વર્ગ $20-40$ માટે,આવૃત્તિ $22 - 17 = 5$ છે.
$3$. વર્ગ $40-60$ માટે,આવૃત્તિ $29 - 22 = 7$ છે.
$4$. વર્ગ $60-80$ માટે,આવૃત્તિ $37 - 29 = 8$ છે.
$5$. વર્ગ $80-100$ માટે,આવૃત્તિ $50 - 37 = 13$ છે.
પરિણામી આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

ગુણ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
$0-20$	$17$
$20-40$	$5$
$40-60$	$7$
$60-80$	$8$
$80-100$	$13$

(D) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $N = 60$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $6 + f_1 + 20 + 15 + f_2 + 4 = 60$
$45 + f_1 + f_2 = 60 \implies f_1 + f_2 = 15$ ---(સમીકરણ $1$)
વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ અને $f_i x_i$ ની ગણતરી:
વર્ગ $0-10$: $x_i = 5, f_i x_i = 30$
વર્ગ $10-20$: $x_i = 15, f_i x_i = 15f_1$
વર્ગ $20-30$: $x_i = 25, f_i x_i = 500$
વર્ગ $30-40$: $x_i = 35, f_i x_i = 525$
વર્ગ $40-50$: $x_i = 45, f_i x_i = 45f_2$
વર્ગ $50-60$: $x_i = 55, f_i x_i = 220$
સરવાળો $\sum f_i x_i = 30 + 15f_1 + 500 + 525 + 45f_2 + 220 = 1275 + 15f_1 + 45f_2$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 28.5$
$\frac{1275 + 15f_1 + 45f_2}{60} = 28.5$
$1275 + 15f_1 + 45f_2 = 1710$
$15f_1 + 45f_2 = 435$
$15$ વડે ભાગતા: $f_1 + 3f_2 = 29$ ---(સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(f_1 + 3f_2) - (f_1 + f_2) = 29 - 15$
$2f_2 = 14 \implies f_2 = 7$
સમીકરણ $1$ માં $f_2 = 7$ મુકતા: $f_1 + 7 = 15 \implies f_1 = 8$.
આમ,$f_1 = 8$ અને $f_2 = 7$ છે.

(N/A) $1$. મધ્યક: વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ $15, 45, 75, 105, 135, 165$ છે. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$ $80$ છે. ગુણાકારનો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$ $(8 \times 15) + (15 \times 45) + (16 \times 75) + (20 \times 105) + (12 \times 135) + (9 \times 165) = 120 + 675 + 1200 + 2100 + 1620 + 1485 = 7200$ છે. મધ્યક $= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{7200}{80} = 90$.
$2$. મધ્યસ્થ: $N/2 = 40$. સંચયી આવૃત્તિઓ $8, 23, 39, 59, 71, 80$ છે. મધ્યસ્થ વર્ગ $90-120$ છે. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 90 + \left( \frac{40 - 39}{20} \right) \times 30 = 90 + (1/20) \times 30 = 90 + 1.5 = 91.5$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $90-120$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $20$). બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 90 + \left( \frac{20 - 16}{2(20) - 16 - 12} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{40 - 28} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{12} \right) \times 30 = 90 + 10 = 100$.

(N/A) $1$. મધ્યક: $\sum f_i = 100$. મધ્યકિંમત $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\sum f_i x_i = (5 \times 5) + (12 \times 15) + (18 \times 25) + (40 \times 35) + (15 \times 45) + (7 \times 55) + (3 \times 65) = 25 + 180 + 450 + 1400 + 675 + 385 + 195 = 3310$. મધ્યક $= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3310}{100} = 33.1$.
$2$. મધ્યસ્થ: $N=100, N/2 = 50$. સંચયી આવૃત્તિ: $5, 17, 35, 75, 90, 97, 100$. મધ્યસ્થ વર્ગ $30-40$ છે. $l=30, cf=35, f=40, h=10$. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{50 - 35}{40} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{15}{4} \right) = 30 + 3.75 = 33.75$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $30-40$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $40$). $l=30, f_1=40, f_0=18, f_2=15, h=10$. બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{40 - 18}{2(40) - 18 - 15} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{22}{80 - 33} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{220}{47} \right) \approx 30 + 4.68 = 34.68$.

(N/A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 400$ છે.
તેથી,$26 + 26 + x + 110 + 84 + y + 36 + 32 = 400$.
$314 + x + y = 400 \implies x + y = 86$ ---$(i)$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 41.2$.
વર્ગના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ છે: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$f_i x_i$ નો સરવાળો: $(26 \times 5) + (26 \times 15) + (x \times 25) + (110 \times 35) + (84 \times 45) + (y \times 55) + (36 \times 65) + (32 \times 75)$.
$= 130 + 390 + 25x + 3850 + 3780 + 55y + 2340 + 2400 = 12890 + 25x + 55y$.
આમ,$\frac{12890 + 25x + 55y}{400} = 41.2$.
$12890 + 25x + 55y = 16480 \implies 25x + 55y = 3590$.
$5$ વડે ભાગતા,$5x + 11y = 718$ ---(ii).
સમીકરણ $(i)$ પરથી $x = 86 - y$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$5(86 - y) + 11y = 718 \implies 430 - 5y + 11y = 718$.
$6y = 288 \implies y = 48$.
તેથી,$x = 86 - 48 = 38$.
જવાબ: $x = 38, y = 48$.

(A) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $N = 60$.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $6 + x + 17 + y + 8 = 60 \implies x + y + 31 = 60 \implies x + y = 29$ (સમીકરણ $1$).
વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 26.5$.
$\sum f_i x_i = (6 \times 5) + (x \times 15) + (17 \times 25) + (y \times 35) + (8 \times 45) = 30 + 15x + 425 + 35y + 360 = 815 + 15x + 35y$.
$\frac{815 + 15x + 35y}{60} = 26.5 \implies 815 + 15x + 35y = 1590 \implies 15x + 35y = 775$.
$5$ વડે ભાગતા: $3x + 7y = 155$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$x = 29 - y$. સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $3(29 - y) + 7y = 155 \implies 87 - 3y + 7y = 155 \implies 4y = 68 \implies y = 17$.
તેથી $x = 29 - 17 = 12$.
આમ,$x = 12$ અને $y = 17$.

(A) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $N = 20$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $3 + x + 7 + 7 + y = 20 \implies x + y + 17 = 20 \implies x + y = 3$ (સમીકરણ $1$).
વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75$ છે.
$f_i x_i$ નો સરવાળો = $(3 \times 35) + (x \times 45) + (7 \times 55) + (7 \times 65) + (y \times 75) = 105 + 45x + 385 + 455 + 75y = 945 + 45x + 75y$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 55.5$.
$\frac{945 + 45x + 75y}{20} = 55.5 \implies 945 + 45x + 75y = 1110 \implies 45x + 75y = 165$.
$15$ વડે ભાગતા: $3x + 5y = 11$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$x = 3 - y$. સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $3(3 - y) + 5y = 11 \implies 9 - 3y + 5y = 11 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
તેથી $x = 3 - 1 = 2$.
આમ,$x = 2$ અને $y = 1$.

(N/A) $1$. મધ્યક: $\sum f_i = 50$. મધ્યકિંમત $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\sum f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (8 \times 25) + (12 \times 35) + (10 \times 45) + (5 \times 55) + (5 \times 65) = 1780$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{1780}{50} = 35.6$.
$2$. મધ્યસ્થ: $N/2 = 25$. સંચયી આવૃત્તિ: $4, 10, 18, 30, 40, 45, 50$. મધ્યસ્થ વર્ગ $30-40$ છે. $l=30, f=12, cf=18, h=10$. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{25 - 18}{12} \right) \times 10 = 35.83$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $30-40$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $12$). $l=30, f_1=12, f_0=8, f_2=10, h=10$. બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{4}{6} \right) \times 10 = 36.67$.

(N/A) $1$. મધ્યક ગણતરી:
વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45$.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$ $= 5 + 27 + 58 + 20 + 10 = 120$.
ગુણાકારનો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$ $= (5 \times 5) + (27 \times 15) + (58 \times 25) + (20 \times 35) + (10 \times 45) = 25 + 405 + 1450 + 700 + 450 = 3030$.
મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3030}{120} = 25.25$.
$2$. મધ્યસ્થ ગણતરી:
સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$: $5, 32, 90, 110, 120$.
$N/2 = 120/2 = 60$. મધ્યસ્થ વર્ગ $20-30$ છે.
$l = 20, cf = 32, f = 58, h = 10$.
મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 20 + \left( \frac{60 - 32}{58} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{280}{58} \right) \approx 20 + 4.83 = 24.83$.
$3$. બહુલક ગણતરી:
બહુલક વર્ગ $20-30$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $58$).
$l = 20, f_1 = 58, f_0 = 27, f_2 = 20, h = 10$.
બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 20 + \left( \frac{58 - 27}{116 - 27 - 20} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{31}{69} \right) \times 10 \approx 20 + 4.49 = 24.49$.

(A) $1$. મધ્યક: $\sum f_i = 100$. મધ્યકિંમત $(x_i)$: $25, 75, 125, 175, 225, 275, 325$. $\sum f_i x_i = 250 + 1125 + 3750 + 3500 + 3375 + 2200 + 650 = 14850$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{14850}{100} = 148.5$.
$2$. મધ્યસ્થ: $N/2 = 50$. સંચયી આવૃત્તિ: $10, 25, 55, 75, 90, 98, 100$. મધ્યસ્થ વર્ગ $100-150$ છે. $l=100, cf=25, f=30, h=50$. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 100 + \left( \frac{50-25}{30} \right) \times 50 = 100 + \frac{25 \times 50}{30} = 100 + 41.67 = 141.67$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $100-150$ છે $(f_1=30, f_0=15, f_2=20)$. બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 100 + \left( \frac{30-15}{60-15-20} \right) \times 50 = 100 + \left( \frac{15}{25} \right) \times 50 = 100 + 30 = 130$.

(N/A) $1$. મધ્યક: વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$ છે. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$ $100$ છે. ગુણાકારનો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$ $(11 \times 7.5) + (20 \times 12.5) + (35 \times 17.5) + (20 \times 22.5) + (8 \times 27.5) + (6 \times 32.5) = 1810$ છે. મધ્યક $= \frac{1810}{100} = 18.1$.
$2$. મધ્યસ્થ: $N/2 = 50$. સંચયી આવૃત્તિઓ $11, 31, 66, 86, 94, 100$ છે. મધ્યસ્થ વર્ગ $15-20$ છે. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 15 + \left( \frac{50 - 31}{35} \right) \times 5 = 17.71$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $15-20$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $35$). બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 15 + \left( \frac{35 - 20}{70 - 40} \right) \times 5 = 17.5$.

(N/A) $1$. મધ્યક: કુલ આવૃત્તિ $N = 50$. મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$ છે. સરવાળો $\sum f_i x_i = (5 \times 35) + (7 \times 45) + (12 \times 55) + (10 \times 65) + (8 \times 75) + (6 \times 85) + (2 \times 95) = 175 + 315 + 660 + 650 + 600 + 510 + 190 = 3100$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3100}{50} = 62$.
$2$. મધ્યસ્થ: $N/2 = 25$. સંચયી આવૃત્તિઓ $5, 12, 24, 34, 42, 48, 50$ છે. મધ્યસ્થ વર્ગ $60-70$ છે. મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 60 + \left( \frac{25 - 24}{10} \right) \times 10 = 60 + 1 = 61$.
$3$. બહુલક: બહુલક વર્ગ $50-60$ છે (મહત્તમ આવૃત્તિ $12$). બહુલક $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 50 + \left( \frac{12 - 7}{2(12) - 7 - 10} \right) \times 10 = 50 + \left( \frac{5}{24 - 17} \right) \times 10 = 50 + \frac{50}{7} \approx 50 + 7.14 = 57.14$.

(D) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$Z - M = (3M - 2\bar{x}) - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
આપેલ સમીકરણ $Z - M = \ldots \ldots \ldots \quad (M - \bar{x})$ સાથે સરખાવતા,ખૂટતી કિંમત $2$ છે.

(A) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
અહીં આપેલ કિંમતો $Z = 16$ અને $M = 18$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$16 = 3(18) - 2\bar{x}$
$16 = 54 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 54 - 16$
$2\bar{x} = 38$
$\bar{x} = 19$
આમ,મધ્યકની કિંમત $19$ છે.

(B) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે: $Z = 95$ અને $\bar{x} = 98$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$95 = 3M - 2(98)$
$95 = 3M - 196$
$3M = 95 + 196$
$3M = 291$
$M = \frac{291}{3} = 97$.
તેથી,$M$ ની કિંમત $97$ છે.

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
આપેલ છે:
$M = 62.5$
$\bar{x} = 64$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(62.5) - 2(64)$
$Z = 187.5 - 128$
$Z = 59.5$
તેથી,$Z$ ની કિંમત $59.5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$M + \bar{x} = 32$ --- $(1)$
$M - \bar{x} = 2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M + \bar{x}) + (M - \bar{x}) = 32 + 2$
$2M = 34$
$M = 17$
$M = 17$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$17 + \bar{x} = 32$
$\bar{x} = 32 - 17 = 15$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેના અનુભવજન્ય સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$M$ અને $\bar{x}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Z = 3(17) - 2(15)$
$Z = 51 - 30$
$Z = 21$
આમ,$Z$ ની કિંમત $21$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$Z + M = 108$ --- $(1)$
$Z - M = -6$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(Z + M) + (Z - M) = 108 - 6$
$2Z = 102$
$Z = 51$
$Z = 51$ ની કિંમત $(1)$ માં મુકતા:
$51 + M = 108$
$M = 108 - 51 = 57$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ વાપરતા:
$\text{બહુલક }= 3 \times \text{મધ્યસ્થ }- 2 \times \text{મધ્યક}$
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$51 = 3(57) - 2\bar{x}$
$51 = 171 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 171 - 51$
$2\bar{x} = 120$
$\bar{x} = 60$

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\bar{x} + Z = 37.5$
$(2)$ $\bar{x} - Z = 1.5$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2\bar{x} = 39 \implies \bar{x} = 19.5$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $2Z = 36 \implies Z = 18$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ વાપરતા: $Z = 3M - 2\bar{x}$
$18 = 3M - 2(19.5)$
$18 = 3M - 39$
$3M = 18 + 39 = 57$
$M = 57 / 3 = 19$
આમ,મધ્યસ્થ $M = 19$ થાય.

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે,$Z - M = 2$,જેનો અર્થ છે કે $M = Z - 2$.
વળી,$\bar{x} = 33.5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(Z - 2) - 2(33.5)$
$Z = 3Z - 6 - 67$
$Z = 3Z - 73$
$73 = 3Z - Z$
$73 = 2Z$
$Z = 36.5$.

(D) મધ્યક $(\bar{x})$, મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ કિંમતો $M = 15.4$ અને $\bar{x} = 14.5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(15.4) - 2(14.5)$
$Z = 46.2 - 29.0$
$Z = 17.2$.
તેથી, $Z$ ની કિંમત $17.2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $M + \bar{x} = 165$
$(2)$ $M - \bar{x} = 1$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2M = 166 \implies M = 83$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2\bar{x} = 164 \implies \bar{x} = 82$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ વાપરતા:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$Z = 3(83) - 2(82)$
$Z = 249 - 164$
$Z = 85$

(B) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે $Z - M = 12$,તેથી આપણે લખી શકીએ $Z = M + 12$.
આ કિંમતને અનુભવજન્ય સૂત્રમાં મૂકતા:
$M + 12 = 3M - 2\bar{x}$
$12 = 3M - M - 2\bar{x}$
$12 = 2M - 2\bar{x}$
$12 = 2(M - \bar{x})$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$M - \bar{x} = 6$.

(D) નિવારક પ્રકારના વર્ગ અંતરાલમાં (અથવા સતત શ્રેણીમાં),અધઃસીમાનો સમાવેશ વર્ગમાં થાય છે,પરંતુ ઉર્ધ્વસીમાનો સમાવેશ થતો નથી.
વર્ગ અંતરાલ $30-45$ માટે:
- અધઃસીમા $30$ છે,જેનો આ વર્ગમાં સમાવેશ થાય છે.
- ઉર્ધ્વસીમા $45$ છે,જેનો આ વર્ગમાં સમાવેશ થતો નથી અને તે પછીના વર્ગ અંતરાલમાં (દા.ત.,$45-60$) સમાવિષ્ટ થાય છે.
તેથી,$45$ કિંમતનો સમાવેશ $30-45$ વર્ગમાં થતો નથી.

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
અહીં આપેલ કિંમતો $Z = 12$ અને $M = 16$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$12 = 3(16) - 2\bar{x}$
$12 = 48 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ માટે સમીકરણ ઉકેલતા:
$2\bar{x} = 48 - 12$
$2\bar{x} = 36$
$\bar{x} = \frac{36}{2}$
$\bar{x} = 18$

(D) મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
જ્યાં $Z$ એ બહુલક છે,$M$ એ મધ્યસ્થ છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
આપેલ છે: $Z = 25$ અને $\bar{x} = 19$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$25 = 3M - 2(19)$
$25 = 3M - 38$
$3M = 25 + 38$
$3M = 63$
$M = \frac{63}{3} = 21$
તેથી,મધ્યસ્થ $21$ છે.

(B) મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
અહીં $M = 72$ અને $\bar{x} = 70$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(72) - 2(70)$
$Z = 216 - 140$
$Z = 76$
આમ,$Z$ ની કિંમત $76$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ આ મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આ સમીકરણને આપણે આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$Z - M = 3M - 2\bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
આપેલ છે કે $Z - M = 4$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 = 2(M - \bar{x})$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$M - \bar{x} = \frac{4}{2}$
$M - \bar{x} = 2$

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
આપેલ કિંમતો $Z = 36.8$ અને $M = 33.6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$36.8 = 3(33.6) - 2\bar{x}$
$3 \times 33.6$ ની ગણતરી કરતા:
$36.8 = 100.8 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$2\bar{x} = 100.8 - 36.8$
$2\bar{x} = 64$
$2$ વડે ભાગતા:
$\bar{x} = \frac{64}{2} = 32$
આમ,$\bar{x}$ ની કિંમત $32$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ આ મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ સમીકરણો:
$1) Z + M = 34 \implies Z = 34 - M$
$2) M + \bar{x} = 40 \implies \bar{x} = 40 - M$
આ કિંમતોને અનુભવજન્ય સૂત્રમાં મૂકતા:
$34 - M = 3M - 2(40 - M)$
$34 - M = 3M - 80 + 2M$
$34 - M = 5M - 80$
$34 + 80 = 5M + M$
$114 = 6M$
$M = \frac{114}{6} = 19$
તેથી,$M$ ની કિંમત $19$ છે.

(B) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે $\bar{x} = Z - 3$,તેથી આપણે બહુલકને $Z = \bar{x} + 3$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} + 3 = 3(22) - 2\bar{x}$
$\bar{x} + 3 = 66 - 2\bar{x}$
બંને બાજુ $2\bar{x}$ ઉમેરતા:
$3\bar{x} + 3 = 66$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$3\bar{x} = 63$
$3$ વડે ભાગતા:
$\bar{x} = 21$.
આમ,મધ્યક $21$ છે.

(A) મધ્યક $( \bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે $M - \bar{x} = 2$,તેથી આપણે મધ્યકને $\bar{x} = M - 2$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3M - 2(M - 2)$
$20.5 = 3M - 2M + 4$
$20.5 = M + 4$
$M = 20.5 - 4$
$M = 16.5$
આમ,મધ્યસ્થ $M$ ની કિંમત $16.5$ છે.

(C) આપેલ સંબંધ $3 \bar{x} = 2 M = 60$ છે.
આના પરથી,આપણે મધ્યક $(\bar{x})$ અને મધ્યસ્થ $(M)$ ની કિંમતો શોધી શકીએ છીએ:
$\bar{x} = \frac{60}{3} = 20$
$M = \frac{60}{2} = 30$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Z = 3 M - 2 \bar{x}$
સૂત્રમાં $M$ અને $\bar{x}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Z = 3(30) - 2(20)$
$Z = 90 - 40$
$Z = 50$

(B) મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો પ્રચલિત સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{બહુલક }= 3 \times \text{મધ્યસ્થ} - 2 \times \text{મધ્યક}$.
આપેલ છે:
મધ્યક $(\bar{x})$ = $72.5$
મધ્યસ્થ $(M)$ = $73.9$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{બહુલક }= 3(73.9) - 2(72.5)$
$\text{બહુલક }= 221.7 - 145.0$
$\text{બહુલક }= 76.7$
તેથી,માહિતીનો બહુલક $76.7$ છે.

(D) મધ્યક $( \bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2 \bar{x}$.
$Z - M = \ldots \times (M - \bar{x})$ માં ખૂટતી કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ:
$Z = 3M - 2 \bar{x}$
બંને બાજુથી $M$ બાદ કરતા:
$Z - M = 3M - 2 \bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2 \bar{x}$
$2$ સામાન્ય લેતા:
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
આમ,આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,ખૂટતી કિંમત $2$ છે.