Median of Grouped Data Questions in Gujarati

(B) મધ્યસ્થ ઊંચાઈની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને પ્રમાણિત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં ફેરવીશું.

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$140$ થી ઓછી	$4$	$4$
$140-145$	$7$	$11$
$145-150$	$18$	$29$
$150-155$	$11$	$40$
$155-160$	$6$	$46$
$160-165$	$5$	$51$

અહીં,$n = 51$. તેથી,$\frac{n}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$.
$25.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $29$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $145-150$ ને અનુરૂપ છે. આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $145-150$ છે.
અહીં,$l = 145$,$cf = 11$,$f = 18$,અને $h = 5$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 145 + \left( \frac{25.5 - 11}{18} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 145 + \left( \frac{14.5}{18} \right) \times 5 = 145 + \frac{72.5}{18} = 145 + 4.027... \approx 149.03 \ cm$.

(X=9, Y=15) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવીએ:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$0-100$	$2$	$2$
$100-200$	$5$	$7$
$200-300$	$x$	$7+x$
$300-400$	$12$	$19+x$
$400-500$	$17$	$36+x$
$500-600$	$20$	$56+x$
$600-700$	$y$	$56+x+y$
$700-800$	$9$	$65+x+y$
$800-900$	$7$	$72+x+y$
$900-1000$	$4$	$76+x+y$

આપેલ છે કે કુલ આવૃત્તિ $n = 100$,તેથી:
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ ........... $(1)$
મધ્યસ્થ $525$ છે,જે $500-600$ વર્ગમાં આવે છે. તેથી,$l = 500$,$f = 20$,$cf = 36 + x$,અને $h = 100$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x$
$x = 9$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 9$ મૂકતા:
$9 + y = 24 \implies y = 15$.
આમ,$x = 9$ અને $y = 15$ મળે છે.

(A) આપેલ માહિતી માટે સંચયી આવૃત્તિ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$0-10$	$5$	$5$
$10-20$	$x$	$5+x$
$20-30$	$20$	$25+x$
$30-40$	$15$	$40+x$
$40-50$	$y$	$40+x+y$
$50-60$	$5$	$45+x+y$

કોષ્ટક પરથી,કુલ આવૃત્તિ $n = 60$ છે.
તેથી,$45+x+y = 60 \implies x+y = 15 \dots (1)$.
મધ્યસ્થ $28.5$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $20-30$ માં આવે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $20-30$ છે.
અધઃસીમા $(l) = 20$,આવૃત્તિ $(f) = 20$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf) = 5+x$,અને વર્ગ લંબાઈ $(h) = 10$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5+x)}{20} \right) \times 10$.
$8.5 = \frac{25-x}{2}$.
$17 = 25 - x \implies x = 8$.
સમીકરણ $(1)$ માં $x=8$ મૂકતા: $8+y = 15 \implies y = 7$.
આમ,$x = 8$ અને $y = 7$ છે.

(B) આપેલ માહિતી 'થી ઓછી' પ્રકારના સંચયી આવૃત્તિ વિતરણના સ્વરૂપમાં છે. આપણે તેને સૌ પ્રથમ વર્ગ અંતરાલ અને તેમની આવૃત્તિમાં ફેરવીશું.

ઉંમર (વર્ષમાં)	આવૃત્તિ $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$18-20$	$2$	$2$
$20-25$	$6-2=4$	$6$
$25-30$	$24-6=18$	$24$
$30-35$	$45-24=21$	$45$
$35-40$	$78-45=33$	$78$
$40-45$	$89-78=11$	$89$
$45-50$	$92-89=3$	$92$
$50-55$	$98-92=6$	$98$
$55-60$	$100-98=2$	$100$

અહીં,$n = 100$,તેથી $\frac{n}{2} = 50$.
$50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $78$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $35-40$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $35-40$ છે.
અધઃસીમા $(l)$ $= 35$,વર્ગ લંબાઈ $(h)$ $= 5$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f)$ $= 33$,અને મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ $= 45$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 35 + \left( \frac{50 - 45}{33} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 35 + \left( \frac{5}{33} \right) \times 5 = 35 + \frac{25}{33} \approx 35 + 0.76 = 35.76$.
તેથી,મધ્યસ્થ ઉંમર $35.76$ વર્ષ છે.

(C) આપેલ માહિતીમાં વર્ગ અંતરાલ સતત નથી. બે વર્ગ વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે,તેથી દરેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરતા અને ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરતા વર્ગ અંતરાલ સતત બને છે.
સતત વર્ગ અંતરાલ અને સંચયી આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:

લંબાઈ (mm માં)	આવૃત્તિ $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$117.5-126.5$	$3$	$3$
$126.5-135.5$	$5$	$8$
$135.5-144.5$	$9$	$17$
$144.5-153.5$	$12$	$29$
$153.5-162.5$	$5$	$34$
$162.5-171.5$	$4$	$38$
$171.5-180.5$	$2$	$40$

અહીં $n = 40$,તેથી $\frac{n}{2} = 20$. $20$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $29$ છે,જે વર્ગ $144.5-153.5$ ને અનુરૂપ છે.
મધ્યસ્થ વર્ગ $= 144.5-153.5$,અધઃસીમા $(l)$ $= 144.5$,વર્ગ લંબાઈ $(h)$ $= 9$,આવૃત્તિ $(f)$ $= 12$,અને મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ $= 17$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 144.5 + \left( \frac{20 - 17}{12} \right) \times 9 = 144.5 + \left( \frac{3}{12} \right) \times 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75$.
આમ,પાંદડાઓની મધ્યસ્થ લંબાઈ $146.75 \text{ mm}$ છે.

(D) સંચયી આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:

આયુષ્ય	લેમ્પની સંખ્યા $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$1500-2000$	$14$	$14$
$2000-2500$	$56$	$70$
$2500-3000$	$60$	$130$
$3000-3500$	$86$	$216$
$3500-4000$	$74$	$290$
$4000-4500$	$62$	$352$
$4500-5000$	$48$	$400$

અહીં,$n = 400$,તેથી $\frac{n}{2} = 200$.
$200$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $216$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $3000-3500$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $3000-3500$ છે.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $(l)$ = $3000$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f)$ = $86$.
મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ = $130$.
વર્ગ લંબાઈ $(h)$ = $500$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{200 - 130}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \left( \frac{70}{86} \right) \times 500$
$\text{Median} = 3000 + \frac{35000}{86} \approx 3000 + 406.98 = 3406.98$.
તેથી,લેમ્પનું મધ્યસ્થ આયુષ્ય $3406.98 \text{ કલાક}$ છે.

(C) સંચયી આવૃત્તિઓ અને તેમના વર્ગ અંતરાલો નીચે મુજબ છે:

વજન (kg માં)	આવૃત્તિ $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$40-45$	$2$	$2$
$45-50$	$3$	$5$
$50-55$	$8$	$13$
$55-60$	$6$	$19$
$60-65$	$6$	$25$
$65-70$	$3$	$28$
$70-75$	$2$	$30$

કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n = 30$.
આપણે $\frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15$ ગણીએ છીએ.
$15$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $19$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $55-60$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $55-60$ છે.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $(l)$ = $55$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f)$ = $6$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ = $13$.
વર્ગ લંબાઈ $(h)$ = $5$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$\text{મધ્યસ્થ} = 55 + \left( \frac{15 - 13}{6} \right) \times 5$.
$\text{મધ્યસ્થ} = 55 + \left( \frac{2}{6} \right) \times 5 = 55 + \frac{10}{6} = 55 + 1.67 = 56.67$.
તેથી,વિદ્યાર્થીઓનું મધ્યસ્થ વજન $56.67 \text{ kg}$ છે.

(17.5) 'થી વધુ' પ્રકારનો ઓજીવ દોરવા માટે,આપણે આલેખ પર બિંદુઓ $(5, 30), (10, 28), (15, 16), (20, 14), (25, 10), (30, 7),$ અને $(35, 3)$ ને આલેખીએ છીએ,જ્યાં આડી ધરી નફાની નીચલી સીમાઓ દર્શાવે છે અને ઊભી ધરી સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે. આપણે આ બિંદુઓને એક સરળ વક્ર દ્વારા જોડીએ છીએ.
આગળ,આપણે આપેલ ડેટાને આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

વર્ગો	$5-10$	$10-15$	$15-20$	$20-25$	$25-30$	$30-35$	$35-40$
દુકાનોની સંખ્યા	$2$	$12$	$2$	$4$	$3$	$4$	$3$
સંચયી આવૃત્તિ	$2$	$14$	$16$	$20$	$23$	$27$	$30$

'થી ઓછો' પ્રકારનો ઓજીવ દોરવા માટે,આપણે તે જ અક્ષો પર બિંદુઓ $(10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27),$ અને $(40, 30)$ ને આલેખીએ છીએ.
બંને ઓજીવના છેદબિંદુનો $x$-યામ (abscissa) મધ્યસ્થ આપે છે. આલેખ પરથી,છેદબિંદુ $x = 17.5$ પર છે. તેથી,મધ્યસ્થ નફો $Rs. 17.5$ લાખ છે.

(N/A) આપેલ 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ છે:

વજન (kg માં) (વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા)	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (સંચયી આવૃત્તિ)
$38$ થી ઓછું	$0$
$40$ થી ઓછું	$3$
$42$ થી ઓછું	$5$
$44$ થી ઓછું	$9$
$46$ થી ઓછું	$14$
$48$ થી ઓછું	$28$
$50$ થી ઓછું	$32$
$52$ થી ઓછું	$35$

$x$-અક્ષ પર વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમાઓ અને $y$-અક્ષ પર તેમની સંબંધિત સંચયી આવૃત્તિઓ લઈને,ઓજીવ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દોરી શકાય છે.
અહીં,$n = 35$.
તેથી,$\frac{n}{2} = 17.5$.
વક્ર પર બિંદુ $A$ અંકિત કરો જેનો $y$-યામ $17.5$ છે. આ બિંદુને અનુરૂપ $x$-યામ $46.5$ છે. તેથી,આ માહિતીનો મધ્યસ્થ $46.5$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચકાસવા માટે,આપણે પહેલા વર્ગ અંતરાલ અને તેમની આવૃત્તિઓ નક્કી કરીએ છીએ:

વજન (kg માં)	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$38-40$	$3-0=3$	$3$
$40-42$	$5-3=2$	$5$
$42-44$	$9-5=4$	$9$
$44-46$	$14-9=5$	$14$
$46-48$	$28-14=14$	$28$
$48-50$	$32-28=4$	$32$
$50-52$	$35-32=3$	$35$

$\frac{n}{2} = 17.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $28$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $46-48$ માં આવે છે.
મધ્યસ્થ વર્ગ $= 46-48$.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $(l) = 46$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $(f) = 14$.
મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf) = 14$.
વર્ગ લંબાઈ $(h) = 2$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 46 + \left( \frac{17.5 - 14}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \left( \frac{3.5}{14} \right) \times 2$
$= 46 + \frac{7}{14} = 46 + 0.5 = 46.5$.
આમ,પરિણામ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) 'થી વધુ પ્રકારના' સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:

ઉત્પાદન (વર્ગની અધઃસીમા)	સંચયી આવૃત્તિ
$50$ કે તેથી વધુ	$100$
$55$ કે તેથી વધુ	$100 - 2 = 98$
$60$ કે તેથી વધુ	$98 - 8 = 90$
$65$ કે તેથી વધુ	$90 - 12 = 78$
$70$ કે તેથી વધુ	$78 - 24 = 54$
$75$ કે તેથી વધુ	$54 - 38 = 16$

આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)$ ને આલેખતા,જેમાં $x$-અક્ષ પર વર્ગની અધઃસીમા અને $y$-અક્ષ પર તેમની અનુરૂપ સંચયી આવૃત્તિ લેતા,આપણને 'થી વધુ પ્રકારનો' ઓજીવ મળે છે.

(A) સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક એ એક આંકડાકીય સાધન છે જેનો ઉપયોગ દરેક વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીને ડેટાને વ્યવસ્થિત કરવા માટે થાય છે.
આ કોષ્ટક ખાસ કરીને વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણના મધ્યસ્થની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી છે.
મધ્યસ્થ માટેનું સૂત્ર $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ છે,જ્યાં $cf$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
જ્યારે મધ્યક અને બહુલકની ગણતરી સાદા આવૃત્તિ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે,ત્યારે મધ્યસ્થ માટે સંચયી આવૃત્તિ અનિવાર્ય છે.

(B) આપેલ માહિતી 'થી વધુ' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ છે.
$16000-19000$ ના આવક ગાળામાં પરિવારોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $16000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યામાંથી $19000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા બાદ કરીશું.
$16000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 69$.
$19000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 50$.
$16000-19000$ ના ગાળામાં પરિવારોની સંખ્યા $= 69 - 50 = 19$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સંચયી આવૃત્તિ વક્રોને ઓજાઈવ (ogive) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. 'થી ઓછા' પ્રકારના ઓજાઈવ અને 'થી વધુ' પ્રકારના ઓજાઈવને એક જ આલેખ પર દોરવામાં આવે છે. જે બિંદુએ આ બંને વક્રો એકબીજાને છેદે છે,તે બિંદુ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ દર્શાવે છે. આ છેદબિંદુનો $x$-યામ (abscissa) એ માહિતીનો મધ્યસ્થ આપે છે.

(A) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અસતત વર્ગ અંતરાલોને સતત વર્ગમાં ફેરવીએ છીએ. એક વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા અને બીજા વર્ગની અધઃ સીમા વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે. તેથી,આપણે અધઃ સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને ઉર્ધ્વ સીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$-0.5-5.5$	$13$	$13$
$5.5-11.5$	$10$	$23$
$11.5-17.5$	$15$	$38$
$17.5-23.5$	$8$	$46$
$23.5-29.5$	$11$	$57$

કુલ આવૃત્તિ $N = 57$. મધ્યસ્થનું સ્થાન $N/2 = 57/2 = 28.5$ છે. $28.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $38$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $11.5-17.5$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $11.5-17.5$ છે. આ વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા $17.5$ છે.

(D) $14.6\, s$ થી ઓછો સમય લઈને રેસ પૂર્ણ કરનાર એથ્લેટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $14.6$ થી ઓછા તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરવો પડશે.
$14.6$ થી ઓછા વર્ગો નીચે મુજબ છે:
$13.8-14.0$ (આવૃત્તિ $= 2$)
$14.0-14.2$ (આવૃત્તિ $= 4$)
$14.2-14.4$ (આવૃત્તિ $= 5$)
$14.4-14.6$ (આવૃત્તિ $= 71$)
એથ્લેટ્સની કુલ સંખ્યા $= 2 + 4 + 5 + 71 = 82$.

(B) ના,એવું કહેવું યોગ્ય નથી કે ઓજાઈવ એ આવૃત્તિ વિતરણનું આલેખકીય નિરૂપણ છે.
ઓજાઈવ એ ખાસ કરીને સંચયી આવૃત્તિ વિતરણનું આલેખકીય નિરૂપણ છે.
આવૃત્તિ વિતરણને સામાન્ય રીતે સ્તંભાલેખ (histogram),આવૃત્તિ બહુકોણ અથવા આવૃત્તિ વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,ઓજાઈવનો ઉપયોગ સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવવા માટે થાય છે,સાદા આવૃત્તિ વિતરણ માટે નહીં.

(N/A) ના,આ વિધાન સાચું નથી. અવર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ અને વર્ગીકૃત માહિતી પરથી ગણવામાં આવેલ મધ્યસ્થ હંમેશા સમાન હોતા નથી. આનું કારણ એ છે કે વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યસ્થની ગણતરી માટે વપરાતું સૂત્ર,$\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$,એ ધારણા પર આધારિત છે કે દરેક વર્ગ અંતરાલની અંદરના અવલોકનો સમાન રીતે (uniformly) વિતરિત થયેલા છે. વાસ્તવમાં,વર્ગોની અંદર ડેટાનું વાસ્તવિક વિતરણ સમાન ન પણ હોય,જેના કારણે બંને મૂલ્યો વચ્ચે થોડો તફાવત જોવા મળે છે.

(N/A) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ તૈયાર કરવા માટે,આપણે દરેક વર્ગની આવૃત્તિને તેના અગાઉના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓના સરવાળામાં ઉમેરીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$12.5-17.5$	$2$	$2$
$17.5-22.5$	$22$	$2 + 22 = 24$
$22.5-27.5$	$19$	$24 + 19 = 43$
$27.5-32.5$	$14$	$43 + 14 = 57$
$32.5-37.5$	$13$	$57 + 13 = 70$

(B)

ગુણ (વર્ગ)	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$30-35$	$14$	$14$
$35-40$	$16$	$30$
$40-45$	$18$	$48$
$45-50$	$23$	$71$
$50-55$	$18$	$89$
$55-60$	$8$	$97$
$60-65$	$3$	$100$

અહીં,$n = 100$.
તેથી,$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $71$ છે,જે વર્ગ $45-50$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $45-50$ છે.
$l$ (મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા) $= 45$
$cf$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ) $= 48$
$f$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ) $= 23$
$h$ (વર્ગ લંબાઈ) $= 5$
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 45 + \left( \frac{50 - 48}{23} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 45 + \left( \frac{2}{23} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 45 + \frac{10}{23} \approx 45 + 0.4347 \approx 45.43$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ગુણની મધ્યસ્થ ટકાવારી $45.4$ છે.

(N/A) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ (થી ઓછા પ્રકારનું) બનાવવા માટે,આપણે વર્ગની ઉપલી સીમા સુધીની તમામ આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીએ છીએ.

વજન (kg માં)	સંચયી આવૃત્તિ
$45$ થી ઓછું	$4$
$50$ થી ઓછું	$4 + 4 = 8$
$55$ થી ઓછું	$8 + 13 = 21$
$60$ થી ઓછું	$21 + 5 = 26$
$65$ થી ઓછું	$26 + 6 = 32$
$70$ થી ઓછું	$32 + 5 = 37$
$75$ થી ઓછું	$37 + 2 = 39$
$80$ થી ઓછું	$39 + 1 = 40$

(A) અજ્ઞાત કિંમતો શોધવા માટે,આપણે સંચયી આવૃત્તિની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં દરેક સંચયી આવૃત્તિ એ વર્તમાન વર્ગની આવૃત્તિ અને અગાઉના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
$1$. પ્રથમ વર્ગ $(150-155)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ એ આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે: $a = 12$.
$2$. બીજા વર્ગ $(155-160)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $12 + b = 25$ છે. તેથી,$b = 25 - 12 = 13$.
$3$. ત્રીજા વર્ગ $(160-165)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $c = 12 + b + 10 = 12 + 13 + 10 = 35$ છે.
$4$. ચોથા વર્ગ $(165-170)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $c + d = 43$ છે. $c = 35$ મૂકતા,આપણને $35 + d = 43$ મળે છે,તેથી $d = 43 - 35 = 8$.
$5$. પાંચમા વર્ગ $(170-175)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $43 + e = 48$ છે. તેથી,$e = 48 - 43 = 5$.
$6$. છઠ્ઠા વર્ગ $(175-180)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $f = 48 + 2 = 50$ છે. તેથી,$f = 50$.
આમ,અજ્ઞાત કિંમતો છે: $a = 12, b = 13, c = 35, d = 8, e = 5, f = 50$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવીએ:

સાપ્તાહિક આવક (રૂ.)	પરિવારોની સંખ્યા $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-1000$	$250$	$250$
$1000-2000$	$190$	$440$
$2000-3000$	$100$	$540$
$3000-4000$	$40$	$580$
$4000-5000$	$15$	$595$
$5000-6000$	$5$	$600$

અહીં $n = 600$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n}{2} = \frac{600}{2} = 300$.
$300$ થી મોટી સંચયી આવૃત્તિ $440$ છે,જે મધ્યસ્થ વર્ગ $1000-2000$ માં આવે છે.
અહીં,અધઃસીમા $l = 1000$,આવૃત્તિ $f = 190$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 250$,અને વર્ગ લંબાઈ $h = 1000$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા:
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 1000 + \left( \frac{300 - 250}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \left( \frac{50}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \frac{5000}{19}$
$= 1000 + 263.157... \approx 1263.15$
આમ,મધ્યસ્થ આવક $Rs. 1263.15$ છે.

(C) અહીં કુલ ખેલાડીઓની સંખ્યા $n = 33$ છે.
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$.
મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સંચયી આવૃત્તિ જોઈએ:
- $85-100$: $11$
- $100-115$: $11 + 9 = 20$
$16.5$ એ સંચયી આવૃત્તિ $20$ માં આવે છે,તેથી મધ્યસ્થ વર્ગ $100-115$ છે.
અહીં,અધઃસીમા $(l) = 100$,આવૃત્તિ $(f) = 9$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf) = 11$,અને વર્ગ લંબાઈ $(h) = 15$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા:
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 100 + \left( \frac{16.5 - 11}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \left( \frac{5.5}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \frac{82.5}{9} = 100 + 9.166... \approx 109.17$.
આમ,મધ્યસ્થ બોલિંગ ઝડપ $109.17 \, km/h$ છે.

(D) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક તૈયાર કરીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$65-85$	$4$	$4$
$85-105$	$5$	$9$
$105-125$	$13$	$22$
$125-145$	$20$	$42$
$145-165$	$14$	$56$
$165-185$	$8$	$64$
$185-205$	$4$	$68$

અહીં,કુલ આવૃત્તિ $n = 68$ છે.
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34$.
$34$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $42$ છે,જે વર્ગ $125-145$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $125-145$ છે.
અહીં,$l = 125$,$cf = 22$,$f = 20$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 20$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20$
$M = 125 + 12 = 137$.
આમ,આપેલ આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યસ્થ $137$ છે.

(X=8, Y=7)

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-10$	$5$	$5$
$10-20$	$x$	$5+x$
$20-30$	$20$	$25+x$
$30-40$	$15$	$40+x$
$40-50$	$y$	$40+x+y$
$50-60$	$5$	$45+x+y$

અહીં કુલ આવૃત્તિ $n = 60$ છે.
તેથી,$45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (સમીકરણ $1$).
અહીં $n = 60$ હોવાથી,$\frac{n}{2} = 30$.
મધ્યસ્થ $28.5$ એ $20-30$ વર્ગમાં આવે છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $20-30$ છે.
અહીં $l = 20$,$cf = 5 + x$,$f = 20$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 10$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 10$
$8.5 = \frac{25 - x}{2}$
$17 = 25 - x \implies x = 8$.
સમીકરણ $1$ માં $x = 8$ મુકતા: $8 + y = 15 \implies y = 7$.
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિઓ $x = 8$ અને $y = 7$ છે.

(B) અહીં કુલ આવૃત્તિ $n = 49$ છે.
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{49}{2} = 24.5$.
$24.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $26$ છે,જે $15-20$ વર્ગની છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $15-20$ છે.
અહીં,$l = 15$ (મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા),$cf = 11$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ),$f = 15$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ) અને $h = 5$ (વર્ગ લંબાઈ).
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 15 + \left( \frac{24.5 - 11}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \left( \frac{13.5}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \frac{13.5}{3} = 15 + 4.5 = 19.5$.
આમ,આપેલ આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યસ્થ $19.5$ છે.

(C) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ છીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$30-35$	$1$	$1$
$35-40$	$2$	$3$
$40-45$	$5$	$8$
$45-50$	$10$	$18$
$50-55$	$17$	$35$
$55-60$	$15$	$50$
$60-65$	$9$	$59$
$65-70$	$5$	$64$
$70-75$	$3$	$67$

કુલ આવૃત્તિ $N = 67$. તેથી,$N/2 = 67/2 = 33.5$.
$cf$ સ્તંભ જોતા,મધ્યસ્થ વર્ગ $50-55$ છે કારણ કે $33.5$ આ અંતરાલમાં આવે છે.
અહીં,અધઃસીમા $l = 50$,વર્ગ લંબાઈ $h = 5$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $f = 17$,અને મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 18$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 50 + \left( \frac{33.5 - 18}{17} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 50 + \left( \frac{15.5}{17} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 50 + \frac{77.5}{17} \approx 50 + 4.5588 \approx 54.56$.

(D) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીશું:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$60-70$	$5$	$5$
$70-80$	$15$	$20$
$80-90$	$20$	$40$
$90-100$	$30$	$70$
$100-110$	$20$	$90$
$110-120$	$8$	$98$

કુલ આવૃત્તિ $N = 98$. તેથી,$N/2 = 98/2 = 49$.
$49$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $70$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $90-100$ ને અનુરૂપ છે. આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $90-100$ છે.
અહીં,$l = 90$,$f = 30$,$cf = 40$,અને $h = 10$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 90 + \left( \frac{49 - 40}{30} \right) \times 10$
$\text{મધ્યસ્થ} = 90 + \left( \frac{9}{30} \right) \times 10 = 90 + 3 = 93$.

(A) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ:
| વર્ગ | આવૃત્તિ $(f)$ | સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $110-120$ | $6$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ | $31$ |
| $130-140$ | $48$ | $79$ |
| $140-150$ | $72$ | $151$ |
| $150-160$ | $116$ | $267$ |
| $160-170$ | $60$ | $327$ |
| $170-180$ | $38$ | $365$ |
| $180-190$ | $22$ | $387$ |
| $190-200$ | $3$ | $390$ |
કુલ આવૃત્તિ $N = 390$. તેથી,$N/2 = 390/2 = 195$.
$195$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $267$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $150-160$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $150-160$ છે.
અહીં,અધઃસીમા $l = 150$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $f = 116$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 151$,અને વર્ગ લંબાઈ $h = 10$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 150 + \left( \frac{195 - 151}{116} \right) \times 10$
$\text{મધ્યસ્થ} = 150 + \left( \frac{44}{116} \right) \times 10 = 150 + \frac{440}{116} \approx 150 + 3.79 = 153.79$.

(B) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-20$	$5$	$5$
$20-40$	$15$	$20$
$40-60$	$20$	$40$
$60-80$	$18$	$58$
$80-100$	$2$	$60$

કુલ આવૃત્તિ $N = 60$. તેથી,$N/2 = 60/2 = 30$.
$30$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $40$ છે,જે મધ્યસ્થ વર્ગ $40-60$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં,અધઃસીમા $l = 40$,વર્ગ લંબાઈ $h = 20$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $f = 20$,અને મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 20$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{30 - 20}{20} \right) \times 20$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{10}{20} \right) \times 20 = 40 + 10 = 50$.

(C) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-10$	$2$	$2$
$10-20$	$6$	$8$
$20-30$	$8$	$16$
$30-40$	$16$	$32$
$40-50$	$20$	$52$
$50-60$	$18$	$70$
$60-70$	$16$	$86$
$70-80$	$14$	$100$

કુલ આવૃત્તિ $N = 100$. તેથી,$N/2 = 50$.
$50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $52$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $40-50$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $40-50$ છે.
અહીં,$l = 40$,$f = 20$,$cf = 32$,અને $h = 10$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 40 + \left( \frac{50 - 32}{20} \right) \times 10$
$\text{મધ્યસ્થ} = 40 + \left( \frac{18}{20} \right) \times 10 = 40 + 9 = 49$.

(D) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-5$	$5$	$5$
$5-10$	$15$	$20$
$10-15$	$15$	$35$
$15-20$	$8$	$43$
$20-25$	$4$	$47$
$25-30$	$2$	$49$
$30-35$	$1$	$50$

કુલ આવૃત્તિ $N = 50$. તેથી,$N/2 = 25$.
$25$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $35$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $10-15$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $10-15$ છે.
અહીં,$l = 10$,$f = 15$,$cf$ (પૂર્વવર્તી વર્ગની) $= 20$,અને $h = 5$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 10 + \left( \frac{25 - 20}{15} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 10 + \left( \frac{5}{15} \right) \times 5 = 10 + \frac{25}{15} = 10 + 1.666... = 11.67$.

(A) આપેલ છે કે,કુલ આવૃત્તિ $N = 100$.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $2 + 5 + x + 12 + 17 + 20 + y + 9 + 7 + 4 = 100$
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ --- $(1)$
મધ્યસ્થ $525$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $500-600$ છે.
અહીં,$l = 500$,$f = 20$,$cf = (2 + 5 + x + 12 + 17) = 36 + x$,$h = 100$,અને $N/2 = 50$.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x \implies x = 9$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 9$ મૂકતા: $9 + y = 24 \implies y = 15$.
આમ,$x = 9$ અને $y = 15$.

(N/A) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $N = 230$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $12 + 30 + x + 65 + y + 25 + 18 = 230$
$150 + x + y = 230 \implies x + y = 80$ ---(સમીકરણ $1$)
મધ્યસ્થ $46$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $40-50$ છે.
અહીં,$l = 40$,$h = 10$,$f = 65$,$N = 230$,અને મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 12 + 30 + x = 42 + x$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{115 - (42 + x)}{65} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{73 - x}{65} \right) \times 10$
$6 \times 6.5 = 73 - x$
$39 = 73 - x \implies x = 34$.
સમીકરણ $1$ માં $x = 34$ મૂકતા: $34 + y = 80 \implies y = 46$.
આમ,$x = 34$ અને $y = 46$ છે.

(A) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $N = 60$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $5 + x + 20 + y + 2 = 60 \implies x + y + 27 = 60 \implies x + y = 33$ (સમીકરણ $1$).
મધ્યસ્થ $50$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $40-60$ છે. અહીં,$l = 40$,$h = 20$,$f = 20$,$cf = 5 + x$,અને $N/2 = 30$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$50 = 40 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 20$.
$50 = 40 + (25 - x)$.
$50 = 65 - x \implies x = 15$.
સમીકરણ $1$ માં $x = 15$ મૂકતા: $15 + y = 33 \implies y = 18$.
આમ,$x = 15$ અને $y = 18$ મળે છે.

(A) આપેલ કુલ આવૃત્તિ $N = 100$ છે,તેથી $2 + 6 + 8 + x + 20 + 18 + y + 14 = 100$.
$68 + x + y = 100 \implies x + y = 32$ (સમીકરણ $1$).
મધ્યસ્થ $49$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $40-50$ છે. અહીં $l = 40$,$f = 20$,$cf = 2 + 6 + 8 + x = 16 + x$,અને $h = 10$ છે.
મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$49 = 40 + \left( \frac{50 - (16 + x)}{20} \right) \times 10$.
$9 = \frac{34 - x}{2} \implies 18 = 34 - x \implies x = 16$.
સમીકરણ $1$ માં $x = 16$ મુકતા: $16 + y = 32 \implies y = 16$.
આમ,$x = 16$ અને $y = 16$ મળે છે.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યસ્થ શોધવાના સૂત્ર $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ માં,પદ $l$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા દર્શાવે છે.

(C) મધ્યસ્થ શોધવાના સૂત્ર $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ માં,$n$ એ આપેલી માહિતીની કુલ આવૃત્તિ દર્શાવે છે,જે તમામ આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે,એટલે કે $n = \sum f_i$.

(A) મધ્યસ્થના સૂત્રમાં,$cf$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે. અહીં,$l$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા છે,$n$ એ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે,$f$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ છે,અને $c$ એ વર્ગ લંબાઈ છે.

(B) મધ્યસ્થ શોધવાના સૂત્ર $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ માં,$f$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.

(C) વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યસ્થ શોધવાના સૂત્ર $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ માં,પદ $h$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની વર્ગ લંબાઈ દર્શાવે છે. તેથી,$h = \text{વર્ગ લંબાઈ}$.

(D) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી માહિતી માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. વર્ગ $0-10$: આવૃત્તિ $12$,$cf = 12$
$2$. વર્ગ $10-20$: આવૃત્તિ $18$,$cf = 12 + 18 = 30$
$3$. વર્ગ $20-30$: આવૃત્તિ $20$,$cf = 30 + 20 = 50$
$4$. વર્ગ $30-40$: આવૃત્તિ $17$,$cf = 50 + 17 = 67$
$5$. વર્ગ $40-50$: આવૃત્તિ $13$,$cf = 67 + 13 = 80$
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $N = 80$ છે.
આપણે $N/2 = 80/2 = 40$ શોધીએ છીએ.
મધ્યસ્થ વર્ગ એ વર્ગ અંતરાલ છે જેની સંચયી આવૃત્તિ $N/2 = 40$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
સંચયી આવૃત્તિઓ $(12, 30, 50, 67, 80)$ જોતા,$40$ કરતા મોટી પ્રથમ કિંમત $50$ છે.
તેથી,અનુરૂપ વર્ગ અંતરાલ $20-30$ છે.

(C) સંચયી આવૃત્તિ વક્ર એ સંચયી આવૃત્તિ વિતરણનું આલેખકીય નિરૂપણ છે.
તેને $x$-અક્ષ પર વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમાઓ અને $y$-અક્ષ પર અનુરૂપ સંચયી આવૃત્તિઓ લઈને દોરવામાં આવે છે.
આ વક્રને સામાન્ય રીતે $ogive$ (ઓજીવ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
જ્યાં:
$l$ = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા
$n$ = અવલોકનોની કુલ સંખ્યા
$cf$ = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ
$f$ = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ
$h$ = વર્ગ લંબાઈ.

(C) કોઈપણ વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ એ તે વર્ગ સુધીના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
તૃતીય વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = (પ્રથમ વર્ગની આવૃત્તિ) + (દ્વિતીય વર્ગની આવૃત્તિ) + (તૃતીય વર્ગની આવૃત્તિ)
તૃતીય વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = $8 + 15 + 18 = 41$.

(D) કોઈપણ વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ એ તે વર્ગ સુધીની તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
ધારો કે $cf_n$ એ $n$ માં વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ છે અને $f_n$ એ $n$ માં વર્ગની આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $cf_n = cf_{n-1} + f_n$.
તેથી,$cf_{n-1} = cf_n - f_n$.
અહીં આપેલ છે કે ચોથા વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf_4)$ $25$ છે અને ચોથા વર્ગની આવૃત્તિ $(f_4)$ $10$ છે,તેથી:
$cf_3 = cf_4 - f_4$
$cf_3 = 25 - 10 = 15$.
આમ,ત્રીજા વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $15$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ શોધો:
- $20-25$: $cf = 2$
- $25-30$: $cf = 2 + 5 = 7$
- $30-35$: $cf = 7 + 8 = 15$
- $35-40$: $cf = 15 + 10 = 25$
- $40-45$: $cf = 25 + 7 = 32$
- $45-50$: $cf = 32 + 10 = 42$
- $50-55$: $cf = 42 + 3 = 45$
કુલ આવૃત્તિ $n = 45$ છે.
આપણે $\frac{n}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$ શોધવાની જરૂર છે.
મધ્યસ્થ વર્ગ એ વર્ગ છે જેની સંચયી આવૃત્તિ $22.5$ થી તરત જ મોટી હોય.
સંચયી આવૃત્તિ જોતા,$25$ એ $22.5$ થી મોટી પ્રથમ કિંમત છે,જે વર્ગ અંતરાલ $35-40$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $35-40$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરો:
$1$. વર્ગ $10-25$: $cf = 5$
$2$. વર્ગ $25-40$: $cf = 5 + 21 = 26$
$3$. વર્ગ $40-55$: $cf = 26 + 21 = 47$
$4$. વર્ગ $55-70$: $cf = 47 + 8 = 55$
$5$. વર્ગ $70-85$: $cf = 55 + 25 = 80$
$6$. વર્ગ $85-100$: $cf = 80 + 20 = 100$
કુલ આવૃત્તિ $n = 100$ છે.
$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$ ની ગણતરી કરો.
મધ્યસ્થ વર્ગ એવો વર્ગ છે જેની સંચયી આવૃત્તિ $\frac{n}{2} = 50$ કરતા તરત જ મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
સંચયી આવૃત્તિઓ જોતા: $5, 26, 47, 55, 80, 100$. $50$ કરતા મોટી પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $55$ છે,જે વર્ગ $55-70$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $55-70$ છે.

(A) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ કુલ આવૃત્તિ $n = \sum f_i = 6 + 10 + 5 + 6 + 4 + 2 + 2 = 35$ શોધીએ છીએ.
મધ્યસ્થ વર્ગ એ $\frac{n}{2}$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે.
અહીં,$\frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$.
ચાલો સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ:
વર્ગ $10-20$: $cf = 6$
વર્ગ $20-30$: $cf = 6 + 10 = 16$
વર્ગ $30-40$: $cf = 16 + 5 = 21$
કારણ કે $21$ એ $17.5$ થી મોટી પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ છે,તેથી અનુરૂપ વર્ગ $30-40$ એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.

(B) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. વર્ગ $0-10$ માટે,$cf = 4$.
$2$. વર્ગ $10-20$ માટે,$cf = 4 + 5 = 9$.
$3$. વર્ગ $20-30$ માટે,$cf = 9 + 9 = 18$.
$4$. વર્ગ $30-40$ માટે,$cf = 18 + 10 = 28$.
$5$. વર્ગ $40-50$ માટે,$cf = 28 + 14 = 42$.
$6$. વર્ગ $50-60$ માટે,$cf = 42 + 8 = 50$.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 50$ છે.
આપણે એવો વર્ગ શોધવો પડશે કે જેની સંચયી આવૃત્તિ $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
સંચયી આવૃત્તિઓ જોતા: $4, 9, 18, 28, 42, 50$.
$25$ કરતા મોટી પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $28$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $30-40$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $30-40$ છે.