Criteria for Similarity of Triangles Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow DEF$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ છે.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
આપેલ છે કે $3 AB = 5 DE$,તેથી $\frac{AB}{DE} = \frac{5}{3}$ લખી શકાય.
સમરૂપતાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DE}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{AC}{9} = \frac{5}{3}$.
$AC = \frac{5}{3} \times 9 = 5 \times 3 = 15$.
આમ,$AC = 15$.

(B) આપેલ સંગતતા $PQR \leftrightarrow YZX$ સમરૂપતા છે,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય.
તેથી,$m \angle P = m \angle Y$,$m \angle Q = m \angle Z$,અને $m \angle R = m \angle X$.
આપેલ છે કે $m \angle X = 120^\circ$,તેથી $m \angle R = 120^\circ$.
$\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^\circ$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $m \angle P + m \angle Q + 120^\circ = 180^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $m \angle P + m \angle Q = 60^\circ$.
આપેલ છે કે $m \angle P = 2 m \angle Q$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2 m \angle Q + m \angle Q = 60^\circ$.
$3 m \angle Q = 60^\circ \implies m \angle Q = 20^\circ$.
તેથી,$m \angle P = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$.
કારણ કે $m \angle Y = m \angle P$,તેથી $m \angle Y = 40^\circ$.

(C) $\Delta ABC$ માં, $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી, મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ, $PQ \parallel BC$ અને $PQ = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ થાય.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી, $\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{AP}{AB} \right)^2$.
અહીં $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી, $\frac{12 \sqrt{3}}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ, $\text{Area}(\Delta ABC) = 12 \sqrt{3} \times 4 = 48 \sqrt{3}$.

(B) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\overline{ AD } \| \overline{ BC }$ અને $\overline{ AC } \cap \overline{ BD } = \{ P \}$ છે.
$\overline{ AD } \| \overline{ BC }$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle PAD = \angle PCB$ અને $\angle PDA = \angle PBC$.
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PAD \sim \triangle PCB$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{ PA }{ PC } = \frac{ PD }{ PB }$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{ PC } = \frac{9}{7.2}$
$PC = \frac{5 \times 7.2}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
હવે,$AC = PA + PC = 5 + 4 = 9$.

(C) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ અને $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{P\}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle PAB = \angle PCD$ અને $\angle PBA = \angle PDC$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PAB \sim \triangle PCD$ થાય.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10}{15} = \frac{PB}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{PB}{12}$
$PB = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
હવે,વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ:
$BD = PB + PD = 8 + 12 = 20$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણની $3$ બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે અને $3$ ખૂણાઓ દરેક $60^{\circ}$ ના હોય છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે.
ત્રિકોણની તેની પોતાની સાથેની સંગતતા એ તેના શિરોબિંદુઓનો ક્રમચય (permutation) છે.
$3$ શિરોબિંદુઓના કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
આ $6$ સંગતતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1. (A \to A, B \to B, C \to C)$
$2. (A \to A, B \to C, C \to B)$
$3. (A \to B, B \to A, C \to C)$
$4. (A \to B, B \to C, C \to A)$
$5. (A \to C, B \to A, C \to B)$
$6. (A \to C, B \to B, C \to A)$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી અને બધા ખૂણા $60^{\circ}$ હોવાથી,શિરોબિંદુઓનો કોઈપણ ક્રમચય એવી સંગતતા આપે છે જે અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર (બધા ગુણોત્તર $1$ છે) અને અનુરૂપ ખૂણાઓની સમાનતા જાળવી રાખે છે. આમ,તમામ $6$ સંગતતાઓ સમરૂપતા છે.

(C) આપેલ છે કે $ABC \leftrightarrow XYZ$ સંગતતા માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{AB}{4} = \frac{XY}{5}$ પરથી,આપણે $\frac{AB}{XY}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરી શકીએ છીએ.
બંને બાજુને $XY$ વડે ભાગતા અને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ છે,તેથી $\frac{BC}{YZ} = \frac{4}{5}$ થાય.

(B) $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 4 + 8 + 10 = 22$ છે.
કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે,તેથી તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AC}{PR}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{22}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{10}{15}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{22}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{2}{3}$.
આમ,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $\frac{22 \times 3}{2} = 11 \times 3 = 33$ થાય.

(B) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ} = k$
સમાન ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{AB + BC}{XY + YZ} = \frac{AC}{XZ}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{10.5} = \frac{5}{XZ}$
$XZ = \frac{5 \times 10.5}{7}$
$XZ = \frac{52.5}{7} = 7.5$
તેથી,$XZ = 7.5$.

(D) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m \angle B = 180^{\circ} - m \angle A - m \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ ની સરખામણી કરતા:
$m \angle A = 30^{\circ}$ અને $m \angle Q = 30^{\circ}$,તેથી $m \angle A = m \angle Q$.
$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle P = 90^{\circ}$,તેથી $m \angle B = m \angle P$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,શિરોબિંદુઓ તેમના સમાન ખૂણાઓના ક્રમમાં સંગત હોવા જોઈએ.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow QPR$ એ સમરૂપતા છે.

(D) બે સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $= 4:9 = \frac{4}{9}$.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $= \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81} = 16:81$ થાય.

(C) $\Delta DEF$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle E + m \angle F = 130^{\circ}$.
તેથી,$m \angle D = 180^{\circ} - (m \angle E + m \angle F) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow FDE$ સમરૂપતા દર્શાવે છે,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં,$\angle B$ ને અનુરૂપ ખૂણો $\angle D$ છે.
તેથી,$m \angle B = m \angle D = 50^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ ના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 2 : 3 : 5$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $2x, 3x,$ અને $5x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 5x = 180^{\circ}$.
$10x = 180^{\circ} \implies x = 18^{\circ}$.
તેથી,$m \angle A = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle B = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,અને $m \angle C = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow QRP$ સમરૂપતા દર્શાવે છે,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય.
આમ,$m \angle A = m \angle Q$,$m \angle B = m \angle R$,અને $m \angle C = m \angle P$.
અહીં $m \angle B = 54^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle R = 54^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $XYZ \leftrightarrow ABC$ સંગતતા માટે $\Delta XYZ \sim \Delta ABC$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{XY}{AB} = \frac{YZ}{BC} = \frac{XZ}{AC}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{XY}{AB} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\frac{YZ}{BC} = \frac{3}{5}$.
$\frac{BC}{YZ}$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{BC}{YZ} = \frac{5}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $PQR \leftrightarrow XYZ$ સંગતતા માટે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ છે.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $PQ : QR : PR = 3 : 5 : 7$,તેથી $XY : YZ : XZ = 3 : 5 : 7$ થાય.
ધારો કે $XY = 3t$,$YZ = 5t$ અને $XZ = 7t$,જ્યાં $t > 0$ એક અચળાંક છે.
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $22.5$ આપેલ છે.
તેથી,$XY + YZ + XZ = 22.5$.
$t$ ના સ્વરૂપમાં કિંમતો મૂકતા: $3t + 5t + 7t = 22.5$.
$15t = 22.5$.
$t = \frac{22.5}{15} = 1.5$.
હવે,$YZ$ ની કિંમત શોધતા: $YZ = 5t = 5 \times 1.5 = 7.5$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta MNP.$
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta MNP \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{MN}.$
આપેલ છે: $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= 18,$ $\Delta MNP$ ની પરિમિતિ $= 27,$ અને $AB = 8.$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{18}{27} = \frac{8}{MN}.$
$\frac{18}{27}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{8}{MN}.$
$2 \times MN = 8 \times 3.$
$2 \times MN = 24.$
$MN = \frac{24}{2} = 12.$
આમ,$MN = 12.$

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$m \angle A = m \angle R$ અને $m \angle B = m \angle Q$ છે.
ખૂણા-ખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાને સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સંગતતામાં સમાન ખૂણાઓનો ક્રમ જળવાવો જોઈએ.
અહીં $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle Q$ છે,અને ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle C = \angle P$ થશે.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow RQP$ એ સમરૂપતા છે.

(C) આપેલ છે કે સંગતતા $XYZ \leftrightarrow DEF$ માટે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે: $\angle X = \angle D$,$\angle Y = \angle E$,અને $\angle Z = \angle F$.
$\Delta XYZ$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50^{\circ} + 75^{\circ} + m \angle Z = 180^{\circ}$.
$125^{\circ} + m \angle Z = 180^{\circ}$.
$m \angle Z = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$.
કારણ કે $\angle Z = \angle F$,તેથી $m \angle F = 55^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $ABC \leftrightarrow XYZ$ સંગતતા માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{6}{XZ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$4 \times XZ = 5 \times 6$ મળે.
$4 \times XZ = 30$.
$XZ = \frac{30}{4} = 7.5$.

(D) આપેલ સંગતતા $\Delta DEF \sim \Delta QPR$ હોવાથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય.
તેથી,$\frac{DE}{QP} = \frac{DF}{QR}$.
આપેલ સમીકરણ $2 DE = 3 PQ$ પરથી,આપણને $\frac{DE}{PQ} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{3}{2} = \frac{DF}{8}$.
$DF$ ની કિંમત શોધતા: $DF = \frac{3 \times 8}{2} = 12$.

(C) $XYZ \leftrightarrow EFD$ સંગતતા દર્શાવે છે કે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\text{Area}(\Delta XYZ)}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \left(\frac{XY}{EF}\right)^2$
અહીં $\text{Area}(\Delta XYZ) = 18$ અને $\frac{XY}{EF} = \frac{2}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{18}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\frac{18}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \frac{4}{9}$
$\text{Area}(\Delta DEF) = \frac{18 \times 9}{4}$
$\text{Area}(\Delta DEF) = \frac{162}{4} = 40.5$

(B) આપેલ છે કે પત્રવ્યવહાર $ABC \leftrightarrow QPR$ હેઠળ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle A = \angle Q,$ $\angle B = \angle P,$ અને $\angle C = \angle R.$
આપણને ગુણોત્તર $m \angle P : m \angle Q : m \angle R = 2 : 3 : 4$ આપેલ છે.
અનુરૂપ ખૂણાઓ મૂકતા:
$m \angle B : m \angle A : m \angle C = 2 : 3 : 4.$
$m \angle A : m \angle B : m \angle C$ ના ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $3 : 2 : 4$ મળે છે.
તેથી,સાચો ગુણોત્તર $3 : 2 : 4$ છે.

(D) બે ત્રિકોણ $\Delta DEF$ અને $\Delta PQR$ સમરૂપ થવા માટે,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ અને તે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $m \angle D = m \angle R$,$\angle D$ બનાવતી બાજુઓ $DE$ અને $DF$ છે,અને $\angle R$ બનાવતી બાજુઓ $RQ$ અને $RP$ છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણ ત્યારે જ સમરૂપ થાય જો $\frac{DE}{RQ} = \frac{DF}{RP}$ હોય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{DE}{PR} = \frac{DF}{RQ}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ બે ત્રિકોણની બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{XY}{MN} = \frac{XZ}{NO} = \frac{YZ}{MO}$ છે.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણની બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય,તો તે ત્રિકોણો સમરૂપ હોય છે.
ગુણોત્તરનું અવલોકન કરતા:
$XY$ ને સંગત $MN$ છે.
$XZ$ ને સંગત $NO$ છે.
$YZ$ ને સંગત $MO$ છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ સમાન ક્રમમાં સંગત હોવા જોઈએ: $X \leftrightarrow M$,$Y \leftrightarrow N$,અને $Z \leftrightarrow O$.
આમ,સંગતતા $\Delta XYZ \sim \Delta MNO$ છે.

(D) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AC}{PR}$
અહીં,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= 35$,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= 28$,અને $PR = 4\sqrt{10}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{35}{28} = \frac{AC}{4\sqrt{10}}$
અપૂર્ણાંક $\frac{35}{28}$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{5}{4}$ મળે છે.
$\frac{5}{4} = \frac{AC}{4\sqrt{10}}$
$AC = \frac{5}{4} \times 4\sqrt{10}$
$AC = 5\sqrt{10}$

(D) $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં,આપણને $m\angle A = m\angle X$ અને $m\angle B = m\angle Y$ આપેલ છે.
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ} = \frac{BC}{YZ}$.
અહીં $\frac{AB}{XY} = \frac{2}{3}$ અને $AC = 7.2$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{2}{3} = \frac{7.2}{XZ}$.
$XZ$ શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2 \times XZ = 7.2 \times 3$.
$2 \times XZ = 21.6$.
$XZ = \frac{21.6}{2} = 10.8$.

(D) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow QPR$ એ સમરૂપતા છે.
તેમજ,સંગતતા $PQR \leftrightarrow YZX$ એ સમરૂપતા છે.
સમરૂપતાના સંમિતતાના ગુણધર્મ મુજબ,જો $PQR \leftrightarrow YZX$ સમરૂપતા હોય,તો $QPR \leftrightarrow ZYX$ પણ સમરૂપતા થાય.
હવે,આપણી પાસે $ABC \leftrightarrow QPR$ અને $QPR \leftrightarrow ZYX$ છે.
સમરૂપતાના પરંપરિતતાના ગુણધર્મ મુજબ,સંગતતા $ABC \leftrightarrow ZYX$ એ સમરૂપતા છે.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈથી અડધો હોય છે.
આમ,$PQ = \frac{1}{2} AC$,$QR = \frac{1}{2} AB$,અને $RP = \frac{1}{2} BC$.
$1$. $\Delta PQR$ અને $\Delta ABC$ ની બાજુઓનો ગુણોત્તર $1:2$ છે. તેથી,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= \frac{1}{2} \times \Delta ABC$ ની પરિમિતિ થાય. (વિધાન $C$ સત્ય છે).
$2$. મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગનું હોય છે. તેથી,$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ થાય. (વિધાન $A$ સત્ય છે,વિધાન $D$ અસત્ય છે).
$3$. બાજુઓ પ્રમાણમાં હોવાથી,$\Delta PQR \sim \Delta CBA$. સંગતતા $ABC \leftrightarrow QRP$ એ દર્શાવે છે કે $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{RP} = \frac{AC}{PQ} = 2$,જે સમરૂપતા છે. (વિધાન $B$ સત્ય છે).
તેથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $D$ છે.

(A) ત્રિકોણની બાજુ-બાજુ-બાજુ $(SSS)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{QR}$.
બાજુઓના શિરોબિંદુઓને જોતા:
- બાજુ $AB$ એ બાજુ $PQ$ ને અનુરૂપ છે.
- બાજુ $BC$ એ બાજુ $PR$ ને અનુરૂપ છે.
- બાજુ $CA$ એ બાજુ $QR$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,શિરોબિંદુઓ મુજબ: $A$ ને $P$,$B$ ને $Q$ અને $C$ ને $R$ અનુરૂપ છે.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં,$\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{EF}$ અને $\angle B = \angle F$ છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણનો એક ખૂણો બીજા ત્રિકોણના એક ખૂણાને સમાન હોય અને આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
અહીં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ એ $\angle B$ નો સમાવેશ કરે છે,અને બાજુઓ $DF$ અને $EF$ એ $\angle F$ નો સમાવેશ કરે છે.
બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી અને અંતર્ગત ખૂણાઓ એકરૂપ હોવાથી,$SAS$ શરત મુજબ સંગતતા $ABC \leftrightarrow DFE$ એ સમરૂપતા છે.

(B) બે ત્રિકોણોની સમરૂપતા માટેની શરતો $AAA$ (ખૂણો-ખૂણો-ખૂણો),$AA$ (ખૂણો-ખૂણો),$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) અને $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) છે.
$ASA$ (ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એ ત્રિકોણોની એકરૂપતા માટેની શરત છે,તેમની સમરૂપતા માટે નહીં.
તેથી,$ASA$ એ બે ત્રિકોણોની સમરૂપતા માટેની શરત નથી.

(B) $1.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\angle A = \angle P$ અને $\angle C = \angle Q$ હોય,તો $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ થાય. તેથી,$(1-d)$.
$2.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PQ}$ અને $\angle B = \angle Q$ હોય,તો $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ થાય. તેથી,$(2-a)$.
$3.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{QR}$ હોય,તો $SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ થાય. તેથી,$(3-c)$.
$4.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{PQ} = \frac{CA}{PR}$ અને $\angle A = \angle P$ હોય,તો $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta QPR$ થાય. તેથી,$(4-b)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-d), (2-a), (3-c), (4-b)$ છે.

$(A)$ યોગ્ય જોડ નક્કી કરવા માટે, આપણે ત્રિકોણની સમરૂપતાની શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1.$ આપેલ છે કે $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ અને $\angle B \cong \angle Y$. આ $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરતનું પાલન કરે છે. તેથી, $1-b$.
$2.$ આપેલ છે કે $\angle A \cong \angle X, \angle B \cong \angle Y$, અને $\angle C \cong \angle Z$. આ $AAA$ (ખૂણો-ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરતનું પાલન કરે છે. તેથી, $2-c$.
$3.$ આપેલ છે કે $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{CA}{ZX}$. આ $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરતનું પાલન કરે છે. ભાગ $II$ માં $SSS$ વિકલ્પ તરીકે આપેલ નથી, તેથી આ $d$ (કોઈપણ શરત લાગુ પડતી નથી) સાથે જોડાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $1-b, 2-c, 3-d$ છે.

(C) $\Delta ABC$ અને $\Delta ADB$ માં:
$1$. $m \angle ABC = m \angle ADB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
$2$. $m \angle BAC = m \angle DAB$ (સામાન્ય ખૂણો).
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow ADB$ એ સમરૂપતા છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
આથી,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AC = 13$ અને $CM = 9$ આપેલ છે,તેથી $AM = AC - CM = 13 - 9 = 4$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
તેથી,$BM = \sqrt{36} = 6$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
તેથી,$AC = \sqrt{100} = 10$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ અથવા $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
બંને સૂત્રોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$AB \times BC = AC \times BM$.
$8 \times 6 = 10 \times BM$.
$48 = 10 \times BM$.
$BM = \frac{48}{10} = 4.8$.