અ Gujarati
Criteria for Similarity of Triangles Questions in Gujarati
Class 10 Mathematics · Triangles · Criteria for Similarity of Triangles
236+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 236 questions in Gujarati
151
MediumMCQ
જો $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ માટે હોય,તો $BC^2 : YZ^2 = \ldots \ldots \ldots$ (નોંધ: અહીં પ્રશ્ન બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર વિશે છે). આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XZY$,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના વર્ગોના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે. આમ,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XZY)} = \frac{BC^2}{ZY^2}$.
A
$CZ^2$
B
$BZ^2$
C
$AZ^2$
D
$YZ^2$
Solution
(D) બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના પ્રમેય મુજબ,જો $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ હોય,તો તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના વર્ગોના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
ચોક્કસપણે,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XZY)} = \frac{AB^2}{XZ^2} = \frac{BC^2}{ZY^2} = \frac{AC^2}{XY^2}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ મુજબ,બાજુ $BC$ એ બાજુ $ZY$ (અથવા $YZ$) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $BC^2 : YZ^2$ થાય.
આમ,ખૂટતું પદ $YZ^2$ છે.
ચોક્કસપણે,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XZY)} = \frac{AB^2}{XZ^2} = \frac{BC^2}{ZY^2} = \frac{AC^2}{XY^2}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ મુજબ,બાજુ $BC$ એ બાજુ $ZY$ (અથવા $YZ$) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $BC^2 : YZ^2$ થાય.
આમ,ખૂટતું પદ $YZ^2$ છે.
0 likes
View Solution152
MediumMCQ
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A \cong \angle P$ અને $\angle B \cong \angle R$ છે. તો,સંગતતા $ABC \leftrightarrow \ldots$ એ સમરૂપતા છે.
A
$PRQ$
B
$PQR$
C
$RPQ$
D
$RQP$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A = \angle P$ અને $\angle B = \angle R$ છે.
ખૂણા-ખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાઓને સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
અહીં $\angle A$ એ $\angle P$ ને સંગત છે અને $\angle B$ એ $\angle R$ ને સંગત છે,તેથી ત્રીજો ખૂણો $\angle C$ એ $\angle Q$ ને સંગત હોવો જોઈએ (કારણ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow PRQ$ એ સમરૂપતા $\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ દર્શાવે છે.
ખૂણા-ખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાઓને સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
અહીં $\angle A$ એ $\angle P$ ને સંગત છે અને $\angle B$ એ $\angle R$ ને સંગત છે,તેથી ત્રીજો ખૂણો $\angle C$ એ $\angle Q$ ને સંગત હોવો જોઈએ (કારણ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow PRQ$ એ સમરૂપતા $\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution153
MediumMCQ
સંગતતા $ABC \leftrightarrow RPQ$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે. જો $m \angle A + m \angle C = m \angle B$ હોય,તો $\Delta PQR$ માં $\ldots \ldots \ldots$ કાટખૂણો છે.
A
$\angle R$
B
$\angle Q$
C
$\angle P$
D
$\angle PQR$
Solution
(C) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow RPQ$ હેઠળ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle P$,અને $\angle C = \angle Q$ થાય.
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,તેથી આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$,જે $2(m \angle B) = 180^{\circ}$ આપે છે,તેથી $m \angle B = 90^{\circ}$ થાય.
સંગતતા મુજબ $\angle B = \angle P$ હોવાથી,$m \angle P = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle P$ એ કાટખૂણો છે.
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,તેથી આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$,જે $2(m \angle B) = 180^{\circ}$ આપે છે,તેથી $m \angle B = 90^{\circ}$ થાય.
સંગતતા મુજબ $\angle B = \angle P$ હોવાથી,$m \angle P = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle P$ એ કાટખૂણો છે.
0 likes
View Solution154
MediumMCQ
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A \cong \angle R$ અને $\angle B \cong \angle P$ છે. જો $AB = 6$,$BC = 8$ અને $PR = 9$ હોય,તો $PQ = \ldots$
A
$8$
B
$10$
C
$6$
D
$12$
Solution
(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\angle A = \angle R$ અને $\angle B = \angle P$ છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta R P Q$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ} = \frac{AC}{RQ}$.
અહીં $AB = 6$,$BC = 8$ અને $PR = 9$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{9} = \frac{8}{PQ}$.
$\frac{6}{9}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{8}{PQ}$.
$2 \times PQ = 8 \times 3$.
$2 \times PQ = 24$.
$PQ = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,$PQ = 12$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta R P Q$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ} = \frac{AC}{RQ}$.
અહીં $AB = 6$,$BC = 8$ અને $PR = 9$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{9} = \frac{8}{PQ}$.
$\frac{6}{9}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{8}{PQ}$.
$2 \times PQ = 8 \times 3$.
$2 \times PQ = 24$.
$PQ = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,$PQ = 12$.
0 likes
View Solution155
MediumMCQ
$\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં,$\angle A \cong \angle E$ અને $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ છે. તો તેમની વચ્ચેની સંગતતા $ABC \leftrightarrow \ldots$ એ સમરૂપતા છે.
A
$EDF$
B
$DFE$
C
$FED$
D
$DEF$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\angle A \cong \angle E$,તેથી $m \angle A = m \angle E$.
સમીકરણ $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $m \angle A = m \angle E$ મૂકતા,આપણને $m \angle E + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ મળે છે.
બંને બાજુથી $m \angle E$ બાદ કરતા,$m \angle B = m \angle D$ મળે છે.
$\Delta ABC$ ના બે ખૂણાઓ $\Delta DEF$ ના બે ખૂણાઓ સાથે એકરૂપ હોવાથી (ખાસ કરીને $\angle A \cong \angle E$ અને $\angle B \cong \angle D$),$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સંગતતાએ એકરૂપ ખૂણાઓને અનુરૂપ હોવી જોઈએ: $A$ એ $E$ ને સંગત છે,$B$ એ $D$ ને સંગત છે,અને તેથી $C$ એ $F$ ને સંગત હોવો જોઈએ.
આમ,સંગતતા $ABC \leftrightarrow EDF$ છે.
સમીકરણ $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $m \angle A = m \angle E$ મૂકતા,આપણને $m \angle E + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ મળે છે.
બંને બાજુથી $m \angle E$ બાદ કરતા,$m \angle B = m \angle D$ મળે છે.
$\Delta ABC$ ના બે ખૂણાઓ $\Delta DEF$ ના બે ખૂણાઓ સાથે એકરૂપ હોવાથી (ખાસ કરીને $\angle A \cong \angle E$ અને $\angle B \cong \angle D$),$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સંગતતાએ એકરૂપ ખૂણાઓને અનુરૂપ હોવી જોઈએ: $A$ એ $E$ ને સંગત છે,$B$ એ $D$ ને સંગત છે,અને તેથી $C$ એ $F$ ને સંગત હોવો જોઈએ.
આમ,સંગતતા $ABC \leftrightarrow EDF$ છે.
0 likes
View Solution156
MediumMCQ
$\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માટે,$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{XY} = \frac{AC}{YZ}$ છે. તો,તેમની વચ્ચેની સંગતતા $ABC \leftrightarrow \ldots \ldots$ એ સમરૂપતા છે.
A
$XYZ$
B
$ZXY$
C
$ZYX$
D
$XZY$
Solution
(D) આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{XY} = \frac{AC}{YZ}$ છે.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણ સમરૂપ છે.
ગુણોત્તર જોતા:
$AB$ ને અનુરૂપ $XZ$ છે.
$BC$ ને અનુરૂપ $XY$ છે.
$AC$ ને અનુરૂપ $YZ$ છે.
તેથી,$\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ એ $\Delta XYZ$ ના શિરોબિંદુઓ $X, Z, Y$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સંગતતા $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ છે.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણ સમરૂપ છે.
ગુણોત્તર જોતા:
$AB$ ને અનુરૂપ $XZ$ છે.
$BC$ ને અનુરૂપ $XY$ છે.
$AC$ ને અનુરૂપ $YZ$ છે.
તેથી,$\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ એ $\Delta XYZ$ ના શિરોબિંદુઓ $X, Z, Y$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સંગતતા $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ છે.
0 likes
View Solution157
MediumMCQ
$\square ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ અને $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{M\}$ છે. જો $MA = 6$,$MB = 9$ અને $MC = 8$ હોય,તો $MD = \dots$
A
$12$
B
$\frac{48}{9}$
C
$11$
D
$\frac{54}{9}$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\square ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle MAB = \angle MCD$ અને $\angle MBA = \angle MDC$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{8} = \frac{9}{MD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6 \times MD = 8 \times 9$.
$6 \times MD = 72$.
$MD = \frac{72}{6} = 12$.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle MAB = \angle MCD$ અને $\angle MBA = \angle MDC$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{8} = \frac{9}{MD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6 \times MD = 8 \times 9$.
$6 \times MD = 72$.
$MD = \frac{72}{6} = 12$.
0 likes
View Solution158
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. જો $AD = 9$ અને $CD = 4$ હોય,તો $BD$ શોધો.
A
$10$
B
$6$
C
$15$
D
$12$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ $AC$ પરનો વેધ $BD$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે:
$BD^2 = AD \times CD$
અહીં $AD = 9$ અને $CD = 4$ આપેલ છે,તેથી:
$BD^2 = 9 \times 4$
$BD^2 = 36$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BD = \sqrt{36} = 6$
આમ,$BD$ ની લંબાઈ $6$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ $AC$ પરનો વેધ $BD$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે:
$BD^2 = AD \times CD$
અહીં $AD = 9$ અને $CD = 4$ આપેલ છે,તેથી:
$BD^2 = 9 \times 4$
$BD^2 = 36$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BD = \sqrt{36} = 6$
આમ,$BD$ ની લંબાઈ $6$ છે.
0 likes
View Solution159
Medium
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD}$ વેધ છે. જો $PD = 9RD$ હોય,તો સાબિત કરો કે $PQ = 3QR$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$,$\overline{QD}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે અને $PD = 9RD$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = 3QR$.
સાબિતી: $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$PQ^2 = PD \times PR$ અને $QR^2 = RD \times PR$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{PD \times PR}{RD \times PR} = \frac{PD}{RD}$.
$PD = 9RD$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{9RD}{RD} = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{PQ}{QR} = 3$.
તેથી,$PQ = 3QR$.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = 3QR$.
સાબિતી: $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$PQ^2 = PD \times PR$ અને $QR^2 = RD \times PR$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{PD \times PR}{RD \times PR} = \frac{PD}{RD}$.
$PD = 9RD$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{9RD}{RD} = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{PQ}{QR} = 3$.
તેથી,$PQ = 3QR$.
0 likes
View Solution160
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 12$ અને $BM = 12$ હોય,તો $AC$ શોધો.
A
$24$
B
$30$
C
$12$
D
$18$
Solution
(A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણ $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ ના ગુણધર્મો) મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$ થાય.
આપેલ છે કે $AM = 12$ અને $BM = 12$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$12^2 = 12 \cdot MC$
$144 = 12 \cdot MC$
$MC = \frac{144}{12} = 12$.
કારણ કે $AC = AM + MC$,તેથી:
$AC = 12 + 12 = 24$.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણ $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ ના ગુણધર્મો) મુજબ,$BM^2 = AM \cdot MC$ થાય.
આપેલ છે કે $AM = 12$ અને $BM = 12$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$12^2 = 12 \cdot MC$
$144 = 12 \cdot MC$
$MC = \frac{144}{12} = 12$.
કારણ કે $AC = AM + MC$,તેથી:
$AC = 12 + 12 = 24$.
0 likes
View Solution161
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AB = 2\sqrt{10}$ અને $AM = 5$ હોય,તો $CM$ શોધો.
A
$5$
B
$10$
C
$15$
D
$3$
Solution
(D) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
ખાસ કરીને,$\Delta ABM \sim \Delta ACB$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ: $AB^2 = AM \cdot AC$.
અહીં $AB = 2\sqrt{10}$ આપેલ છે,તેથી $AB^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
$AM = 5$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $40 = 5 \cdot AC$.
$AC$ માટે ઉકેલતા: $AC = 40 / 5 = 8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AM + CM$,તેથી $8 = 5 + CM$.
આમ,$CM = 8 - 5 = 3$.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
ખાસ કરીને,$\Delta ABM \sim \Delta ACB$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ: $AB^2 = AM \cdot AC$.
અહીં $AB = 2\sqrt{10}$ આપેલ છે,તેથી $AB^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
$AM = 5$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $40 = 5 \cdot AC$.
$AC$ માટે ઉકેલતા: $AC = 40 / 5 = 8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AC = AM + CM$,તેથી $8 = 5 + CM$.
આમ,$CM = 8 - 5 = 3$.
0 likes
View Solution162
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 2x^2$ અને $CM = 8x^2$ હોય,તો $BM$,$AB$ અને $BC$ શોધો.
A
$BM = 4x^2, AB = 2\sqrt{5}x^2, BC = 4\sqrt{5}x^2$
B
$BM = 2x^2, AB = 4\sqrt{5}x^2, BC = 2\sqrt{5}x^2$
C
$BM = 8x^2, AB = 2\sqrt{5}x^2, BC = 4\sqrt{5}x^2$
D
$BM = 4x^2, AB = 4\sqrt{5}x^2, BC = 2\sqrt{5}x^2$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૌમિતિક મધ્યકના પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = (2x^2)(8x^2) = 16x^4$.
વર્ગમૂળ લેતા: $BM = 4x^2$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = (2x^2)^2 + (4x^2)^2 = 4x^4 + 16x^4 = 20x^4$.
તેથી,$AB = \sqrt{20x^4} = 2\sqrt{5}x^2$.
$\Delta BCM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = (8x^2)^2 + (4x^2)^2 = 64x^4 + 16x^4 = 80x^4$.
તેથી,$BC = \sqrt{80x^4} = 4\sqrt{5}x^2$.
ભૌમિતિક મધ્યકના પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = (2x^2)(8x^2) = 16x^4$.
વર્ગમૂળ લેતા: $BM = 4x^2$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = (2x^2)^2 + (4x^2)^2 = 4x^4 + 16x^4 = 20x^4$.
તેથી,$AB = \sqrt{20x^4} = 2\sqrt{5}x^2$.
$\Delta BCM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = (8x^2)^2 + (4x^2)^2 = 64x^4 + 16x^4 = 80x^4$.
તેથી,$BC = \sqrt{80x^4} = 4\sqrt{5}x^2$.
0 likes
View Solution163
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં, $m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે. જો $QM = 14$ અને $RM = 7$ હોય, તો $PQ$ શોધો. ($\sqrt{5}$ માં)
A
$30$
B
$25$
C
$14$
D
$20$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે, $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ, કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને, $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$.
સમરૂપતા $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$ પરથી, આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{QM}{RM} = \frac{PM}{QM}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{14}{7} = \frac{PM}{14}$.
$PM = \frac{14 \times 14}{7} = 2 \times 14 = 28$.
હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PMQ$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 = PM^2 + QM^2$.
$PQ^2 = 28^2 + 14^2$.
$PQ^2 = 784 + 196 = 980$.
$PQ = \sqrt{980} = \sqrt{196 \times 5} = 14 \sqrt{5}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ, કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને, $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$.
સમરૂપતા $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$ પરથી, આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{QM}{RM} = \frac{PM}{QM}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{14}{7} = \frac{PM}{14}$.
$PM = \frac{14 \times 14}{7} = 2 \times 14 = 28$.
હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PMQ$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^2 = PM^2 + QM^2$.
$PQ^2 = 28^2 + 14^2$.
$PQ^2 = 784 + 196 = 980$.
$PQ = \sqrt{980} = \sqrt{196 \times 5} = 14 \sqrt{5}$.
0 likes
View Solution164
MediumMCQ
$\Delta XYZ$ માં,$m\angle Y = 90^{\circ}$ અને $\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ છે. જો $YM = 12$ અને $XM = 8$ હોય,તો $XZ$ શોધો.
A
$26$
B
$30$
C
$35$
D
$38$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta XYZ$ માં જ્યાં $\angle Y = 90^{\circ}$ છે,$\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,$YM^2 = XM \cdot MZ$ થાય.
અહીં $YM = 12$ અને $XM = 8$ આપેલ છે,તેથી:
$12^2 = 8 \cdot MZ$
$144 = 8 \cdot MZ$
$MZ = 144 / 8 = 18$.
કર્ણ $XZ$ ની લંબાઈ એ $XM$ અને $MZ$ ના સરવાળા જેટલી થાય:
$XZ = XM + MZ = 8 + 18 = 26$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,$YM^2 = XM \cdot MZ$ થાય.
અહીં $YM = 12$ અને $XM = 8$ આપેલ છે,તેથી:
$12^2 = 8 \cdot MZ$
$144 = 8 \cdot MZ$
$MZ = 144 / 8 = 18$.
કર્ણ $XZ$ ની લંબાઈ એ $XM$ અને $MZ$ ના સરવાળા જેટલી થાય:
$XZ = XM + MZ = 8 + 18 = 26$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution165
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 4$ અને $CM = 5$ હોય,તો $AB$ અને $BM$ શોધો.
A
$AB = 6, BM = 2\sqrt{5}$
B
$AB = 2\sqrt{5}, BM = 6$
C
$AB = 3, BM = 4$
D
$AB = 5, BM = 4$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
વેધ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
તેથી,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
તેથી,$AB = \sqrt{36} = 6$.
વેધ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
તેથી,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
તેથી,$AB = \sqrt{36} = 6$.
0 likes
View Solution166
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 12$ અને $CM = 3$ હોય,તો $BM$ શોધો.
A
$10$
B
$15$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ભૌમિતિક મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે: $BM^2 = AM \times CM$.
અહીં $AM = 12$ અને $CM = 3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 12 \times 3 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $BM = \sqrt{36} = 6$.
ભૌમિતિક મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ $\overline{BM}$ નીચે મુજબનો સંબંધ ધરાવે છે: $BM^2 = AM \times CM$.
અહીં $AM = 12$ અને $CM = 3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 12 \times 3 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $BM = \sqrt{36} = 6$.
0 likes
View Solution167
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 4$ અને $CM = 12$ હોય,તો $AB$ અને $BC$ શોધો.
A
$AB = 8, BC = 8\sqrt{3}$
B
$AB = 4\sqrt{3}, BC = 8$
C
$AB = 8\sqrt{3}, BC = 8$
D
$AB = 4, BC = 12$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણ સાથે સમરૂપ હોય તેવા બે ત્રિકોણ બનાવે છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AM = 4$ અને $CM = 12$ આપેલ છે,તેથી $BM^2 = 4 \cdot 12 = 48$,એટલે કે $BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$. તેથી,$AB = \sqrt{64} = 8$.
$\Delta CBM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = CM^2 + BM^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 48 = 192$. તેથી,$BC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
અહીં $AM = 4$ અને $CM = 12$ આપેલ છે,તેથી $BM^2 = 4 \cdot 12 = 48$,એટલે કે $BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$. તેથી,$AB = \sqrt{64} = 8$.
$\Delta CBM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = CM^2 + BM^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 48 = 192$. તેથી,$BC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
0 likes
View Solution168
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે. જો $QM = 4$ અને $PR = 10$ હોય,તો $PM$ શોધો.
A
$1$ અથવા $2$
B
$3$ અથવા $9$
C
$5$ અથવા $7$
D
$2$ અથવા $8$
Solution
(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે,$\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,$QM^2 = PM \cdot MR$ થાય.
ધારો કે $PM = x$. કારણ કે $PR = 10$ છે,તેથી $MR = 10 - x$ થાય.
આપેલ છે કે $QM = 4$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4^2 = x(10 - x)$
$16 = 10x - x^2$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 2)(x - 8) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = 8$.
તેથી,$PM$ ની કિંમત $2$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો) મુજબ,$QM^2 = PM \cdot MR$ થાય.
ધારો કે $PM = x$. કારણ કે $PR = 10$ છે,તેથી $MR = 10 - x$ થાય.
આપેલ છે કે $QM = 4$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4^2 = x(10 - x)$
$16 = 10x - x^2$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 2)(x - 8) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = 8$.
તેથી,$PM$ ની કિંમત $2$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.
0 likes
View Solution169
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરનો વેધ છે. જો $QR = 9$ અને $PR = 13.5$ હોય,તો $RM$ શોધો.
A
$5$
B
$8$
C
$6$
D
$20$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો વેધની બંને બાજુના ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
મુખ્યત્વે,$\Delta RMQ \sim \Delta RQP$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{RM}{RQ} = \frac{RQ}{RP}$.
અહીં $QR = 9$ અને $PR = 13.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{RM}{9} = \frac{9}{13.5}$.
$RM = \frac{9 \times 9}{13.5}$.
$RM = \frac{81}{13.5}$.
$RM = 6$.
મુખ્યત્વે,$\Delta RMQ \sim \Delta RQP$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{RM}{RQ} = \frac{RQ}{RP}$.
અહીં $QR = 9$ અને $PR = 13.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{RM}{9} = \frac{9}{13.5}$.
$RM = \frac{9 \times 9}{13.5}$.
$RM = \frac{81}{13.5}$.
$RM = 6$.
0 likes
View Solution170
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BE}$ મધ્યગા છે. જો $AB = 15$ અને $BE = 8.5$ હોય,તો $BC$ શોધો.
A
$10$
B
$8$
C
$15$
D
$20$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$BE = \frac{1}{2} AC$.
આપેલ છે કે $BE = 8.5$,તેથી $8.5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 17$.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $15^2 + BC^2 = 17^2$.
$225 + BC^2 = 289$.
$BC^2 = 289 - 225 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.
અહીં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$BE = \frac{1}{2} AC$.
આપેલ છે કે $BE = 8.5$,તેથી $8.5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 17$.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $15^2 + BC^2 = 17^2$.
$225 + BC^2 = 289$.
$BC^2 = 289 - 225 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.
0 likes
View Solution171
MediumMCQ
એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણની લંબાઈ $24$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
A
$360$
B
$250$
C
$144$
D
$120$
Solution
(C) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $x$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $x^2 + x^2 = (\text{કર્ણ})^2$.
અહીં કર્ણ $24$ આપેલ છે, તેથી $2x^2 = 24^2$.
$2x^2 = 576$.
$x^2 = 288$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, પાયો $= x$ અને વેધ $= x$ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$.
$x^2$ ની કિંમત મૂકતા, ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 288 = 144$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $x^2 + x^2 = (\text{કર્ણ})^2$.
અહીં કર્ણ $24$ આપેલ છે, તેથી $2x^2 = 24^2$.
$2x^2 = 576$.
$x^2 = 288$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, પાયો $= x$ અને વેધ $= x$ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$.
$x^2$ ની કિંમત મૂકતા, ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 288 = 144$.
0 likes
View Solution172
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QM}$ એ મધ્યગા છે. જો $PQ = 20$ અને $QR = 21$ હોય,તો $QM$ શોધો.
A
$19$
B
$20.5$
C
$14.5$
D
$35$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $PR$ ની લંબાઈ શોધો: $PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$PR^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
$PR = \sqrt{841} = 29$.
અહીં $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરની મધ્યગા હોવાથી,તેની લંબાઈ $QM = \frac{1}{2} \times PR$ થશે.
$QM = \frac{29}{2} = 14.5$.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $PR$ ની લંબાઈ શોધો: $PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$PR^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
$PR = \sqrt{841} = 29$.
અહીં $\overline{QM}$ એ કર્ણ $PR$ પરની મધ્યગા હોવાથી,તેની લંબાઈ $QM = \frac{1}{2} \times PR$ થશે.
$QM = \frac{29}{2} = 14.5$.
0 likes
View Solution173
Medium
$\Delta GBS$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{GS}$ પરનો વેધ છે. સાબિત કરો કે $\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM}{SM}$.
Solution
(A) $\Delta GBS$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BM \perp GS$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે ત્યારે બનતા ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
તેથી,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ અને $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ થાય.
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,એટલે કે $GB^{2} = GM \cdot GS$ (સમીકરણ $1$).
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,એટલે કે $BS^{2} = SM \cdot GS$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$.
આમ,સાબિત થાય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે ત્યારે બનતા ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
તેથી,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ અને $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ થાય.
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,એટલે કે $GB^{2} = GM \cdot GS$ (સમીકરણ $1$).
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,એટલે કે $BS^{2} = SM \cdot GS$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$.
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution174
Medium
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે. જો $PQ = 3QR$ હોય,તો સાબિત કરો કે $PD = 9RD$.
Solution
(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમાનતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta PQR$ અને $\Delta RDQ \sim \Delta RQP$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
$4$. તેથી,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$.
$5$. સમરૂપતા $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ પરથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$.
$6$. આપણને આપેલ છે કે $PQ = 3QR$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{PQ}{QR} = 3$.
$7$. $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,આપણને $PD = 3QD$ મળે છે.
$8$. $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,આપણને $QD = 3RD$ મળે છે.
$9$. $PD = 3QD$ માં $QD = 3RD$ ની કિંમત મૂકતા,$PD = 3(3RD) = 9RD$ મળે છે.
$10$. આમ,$PD = 9RD$ સાબિત થાય છે.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમાનતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta PQR$ અને $\Delta RDQ \sim \Delta RQP$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
$4$. તેથી,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$.
$5$. સમરૂપતા $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ પરથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$.
$6$. આપણને આપેલ છે કે $PQ = 3QR$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{PQ}{QR} = 3$.
$7$. $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,આપણને $PD = 3QD$ મળે છે.
$8$. $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,આપણને $QD = 3RD$ મળે છે.
$9$. $PD = 3QD$ માં $QD = 3RD$ ની કિંમત મૂકતા,$PD = 3(3RD) = 9RD$ મળે છે.
$10$. આમ,$PD = 9RD$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution175
Medium
$\Delta XYZ$ માં,$m\angle Y = 90^{\circ}$ અને $\overline{YM}$ એ કર્ણ $\overline{XZ}$ પરનો વેધ છે. જો $XM = 16ZM$ હોય,તો સાબિત કરો કે $XY = 4YZ$.
Solution
(N/A) $\Delta XYZ$ માં,$\angle Y = 90^{\circ}$ અને $\overline{YM} \perp \overline{XZ}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (Geometric Mean Theorem) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta XMY \sim \Delta YMZ$.
સમરૂપતા $\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{XY}{YZ} = \frac{XM}{YM} = \frac{YM}{ZM}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$XY^2 = XM \cdot XZ$ અને $YZ^2 = ZM \cdot XZ$.
આ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{XM \cdot XZ}{ZM \cdot XZ} = \frac{XM}{ZM}$.
આપેલ છે કે $XM = 16ZM$,તેથી:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{16ZM}{ZM} = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{XY}{YZ} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$XY = 4YZ$ સાબિત થાય છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (Geometric Mean Theorem) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta XMY \sim \Delta YMZ$.
સમરૂપતા $\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{XY}{YZ} = \frac{XM}{YM} = \frac{YM}{ZM}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$XY^2 = XM \cdot XZ$ અને $YZ^2 = ZM \cdot XZ$.
આ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{XM \cdot XZ}{ZM \cdot XZ} = \frac{XM}{ZM}$.
આપેલ છે કે $XM = 16ZM$,તેથી:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{16ZM}{ZM} = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{XY}{YZ} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$XY = 4YZ$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution176
Medium
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 4CM$ હોય,તો સાબિત કરો કે $AB = 2BC$.
Solution
(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિના મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ થાય.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{CM}$ પરથી,આપણને $BM = \frac{AB \cdot CM}{BC}$ મળે.
વળી,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AM \cdot AC$.
તે જ રીતે,$\Delta BMC \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CM \cdot AC$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \cdot AC}{CM \cdot AC} = \frac{AM}{CM}$.
આપેલ છે કે $AM = 4CM$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{4CM}{CM} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{AB}{BC} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$AB = 2BC$ સાબિત થાય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિના મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ થાય.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{CM}$ પરથી,આપણને $BM = \frac{AB \cdot CM}{BC}$ મળે.
વળી,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AM \cdot AC$.
તે જ રીતે,$\Delta BMC \sim \Delta ABC$ હોવાથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CM \cdot AC$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \cdot AC}{CM \cdot AC} = \frac{AM}{CM}$.
આપેલ છે કે $AM = 4CM$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{4CM}{CM} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{AB}{BC} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$AB = 2BC$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution177
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ મધ્યગા છે. જો $m \angle C = 30^{\circ}$ અને $AB = 5$ હોય,તો $BD$ શોધો.
A
$15$
B
$10$
C
$8$
D
$5$
Solution
(D) $\Delta ABC$ માં,આપણને $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle C = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$AB$ એ $30^{\circ}$ (ખૂણા $C$ પર) ની સામેની બાજુ છે,તેથી $AB = \frac{1}{2} AC$.
$AB = 5$ આપેલ છે,તેથી $5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 10$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે.
અહીં,$AB$ એ $30^{\circ}$ (ખૂણા $C$ પર) ની સામેની બાજુ છે,તેથી $AB = \frac{1}{2} AC$.
$AB = 5$ આપેલ છે,તેથી $5 = \frac{1}{2} AC$,જેનો અર્થ છે કે $AC = 10$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.
0 likes
View Solution178
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. જો $BC = 2x + 2$,$CM = x + 1$ અને $AC = 5x$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.
A
$4$
B
$15$
C
$20$
D
$30$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^\circ$ છે,જો $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ હોય,તો ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા સમરૂપ ત્રિકોણો $\Delta BMC \sim \Delta BCA$ ના ગુણધર્મો) મુજબ,આપણી પાસે સંબંધ છે: $BC^2 = CM \cdot AC$.
અહીં $BC = 2x + 2$,$CM = x + 1$ અને $AC = 5x$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2x + 2)^2 = (x + 1)(5x)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(2(x + 1))^2 = 4(x + 1)^2 = 4(x^2 + 2x + 1)$.
તેથી,$4(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 5x$.
$4x^2 + 8x + 4 = 5x^2 + 5x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $x^2 - 3x - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x + 1) = 0$.
આથી $x = 4$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ લંબાઈનો ભાગ દર્શાવે છે અને $BC, CM, AC$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = -1$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$x = 4$.
અહીં $BC = 2x + 2$,$CM = x + 1$ અને $AC = 5x$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2x + 2)^2 = (x + 1)(5x)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(2(x + 1))^2 = 4(x + 1)^2 = 4(x^2 + 2x + 1)$.
તેથી,$4(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 5x$.
$4x^2 + 8x + 4 = 5x^2 + 5x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $x^2 - 3x - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x + 1) = 0$.
આથી $x = 4$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ લંબાઈનો ભાગ દર્શાવે છે અને $BC, CM, AC$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = -1$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$x = 4$.
0 likes
View Solution179
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 4$ અને $CM = 5$ હોય,તો $AB$,$BC$ અને $BM$ શોધો.
A
$AB = 6, BC = 3\sqrt{5}, BM = 2\sqrt{5}$
B
$AB = 3\sqrt{5}, BC = 6, BM = 2\sqrt{5}$
C
$AB = 6, BC = 2\sqrt{5}, BM = 3\sqrt{5}$
D
$AB = 2\sqrt{5}, BC = 6, BM = 3\sqrt{5}$
Solution
(A) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ મૂળ ત્રિકોણને બે સમાન ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
વેધ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
તેથી,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
તેથી,$AB = \sqrt{36} = 6$.
$\Delta CBM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = 5^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25 + 20 = 45$.
તેથી,$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
વેધ માટેના ભૂમિતિ મધ્યક પ્રમેય મુજબ: $BM^2 = AM \cdot CM$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
તેથી,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
તેથી,$AB = \sqrt{36} = 6$.
$\Delta CBM$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = 5^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25 + 20 = 45$.
તેથી,$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
0 likes
View Solution180
Medium
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. સાબિત કરો કે $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.
Solution
(A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BE \perp AC$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો વેધની બંને બાજુના ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને પરસ્પર પણ સમરૂપ હોય છે.
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$.
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$.
અંશ અને છેદમાંથી $AC$ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.
આમ,સાબિત થાય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો વેધની બંને બાજુના ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને પરસ્પર પણ સમરૂપ હોય છે.
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$.
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$.
અંશ અને છેદમાંથી $AC$ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution181
Medium
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD}$ એ વેધ છે. જો $PD = 25 DR$ હોય,તો સાબિત કરો કે $PQ = 5 QR$.
Solution
(N/A) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $QD \perp PR$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિના મધ્યક (geometric mean) ના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ થાય.
ત્રિકોણની સમરૂપતાના આધારે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{PQ}{QR} = \frac{PD}{QD} = \frac{QD}{DR}$.
$\frac{PQ}{QR} = \frac{QD}{DR}$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ^2 = QR^2 \cdot \frac{PD}{DR}$.
આપેલ છે કે $PD = 25 DR$,તેથી $\frac{PD}{DR} = 25$.
આ કિંમત મૂકતા,$PQ^2 = QR^2 \cdot 25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PQ = 5 QR$ સાબિત થાય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિના મધ્યક (geometric mean) ના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ થાય.
ત્રિકોણની સમરૂપતાના આધારે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{PQ}{QR} = \frac{PD}{QD} = \frac{QD}{DR}$.
$\frac{PQ}{QR} = \frac{QD}{DR}$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ^2 = QR^2 \cdot \frac{PD}{DR}$.
આપેલ છે કે $PD = 25 DR$,તેથી $\frac{PD}{DR} = 25$.
આ કિંમત મૂકતા,$PQ^2 = QR^2 \cdot 25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PQ = 5 QR$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution182
Medium
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે. જો $PQ = 4QR$ હોય,તો સાબિત કરો કે $PD = 16RD$.
Solution
(N/A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ છે.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR \sim \Delta PQR$ થાય.
$3$. $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ પરથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$4$. ગુણોત્તર $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,$PD = QD \cdot \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,$QD = RD \cdot \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$6$. $PD$ ના સમીકરણમાં $QD$ ની કિંમત મૂકતા: $PD = (RD \cdot \frac{PQ}{QR}) \cdot \frac{PQ}{QR} = RD \cdot (\frac{PQ}{QR})^2$.
$7$. આપેલ છે કે $PQ = 4QR$,તેથી $\frac{PQ}{QR} = 4$.
$8$. આમ,$PD = RD \cdot (4)^2 = 16RD$ સાબિત થાય છે.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR \sim \Delta PQR$ થાય.
$3$. $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ પરથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$4$. ગુણોત્તર $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,$PD = QD \cdot \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ પરથી,$QD = RD \cdot \frac{PQ}{QR}$ મળે.
$6$. $PD$ ના સમીકરણમાં $QD$ ની કિંમત મૂકતા: $PD = (RD \cdot \frac{PQ}{QR}) \cdot \frac{PQ}{QR} = RD \cdot (\frac{PQ}{QR})^2$.
$7$. આપેલ છે કે $PQ = 4QR$,તેથી $\frac{PQ}{QR} = 4$.
$8$. આમ,$PD = RD \cdot (4)^2 = 16RD$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution183
Medium
$\Delta PQR$ માં,$\overline{PM}$ એ વેધ છે. જો $PM^2 = QM \times RM$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\Delta PQR$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$\overline{PM} \perp \overline{QR}$ અને $PM^2 = QM \times RM$.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ પરથી,આપણને $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ મળે છે.
પગલું $2$: $\Delta PMQ$ અને $\Delta RMP$ માં,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (કારણ કે $\overline{PM}$ વેધ છે).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે: $\angle QPM = \angle PRM$ અને $\angle PQM = \angle RPM$.
પગલું $5$: $\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે. તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $6$: ખૂણાઓની કિંમત મૂકતા,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $7$: $\angle QPM = \angle R$ અને $\angle RPM = \angle Q$ હોવાથી,$\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,જેનું સાદું રૂપ $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ થાય છે,તેથી $\angle Q + \angle R = 90^\circ$.
પગલું $8$: તેથી,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ પરથી,આપણને $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ મળે છે.
પગલું $2$: $\Delta PMQ$ અને $\Delta RMP$ માં,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (કારણ કે $\overline{PM}$ વેધ છે).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે: $\angle QPM = \angle PRM$ અને $\angle PQM = \angle RPM$.
પગલું $5$: $\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે. તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $6$: ખૂણાઓની કિંમત મૂકતા,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$.
પગલું $7$: $\angle QPM = \angle R$ અને $\angle RPM = \angle Q$ હોવાથી,$\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,જેનું સાદું રૂપ $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ થાય છે,તેથી $\angle Q + \angle R = 90^\circ$.
પગલું $8$: તેથી,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. આમ,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
0 likes
View Solution184
Medium
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AC = 5 CD$ હોય,તો સાબિત કરો કે $BD = 2 CD$.
Solution
(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$ થાય.
આપેલ છે કે $AC = 5 CD$. કારણ કે $AC = AD + CD$,તેથી $AD + CD = 5 CD$,જેનો અર્થ છે કે $AD = 4 CD$.
$AD = 4 CD$ ને ભૂમિતિ મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$BD^2 = (4 CD) \cdot CD$
$BD^2 = 4 CD^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BD = \sqrt{4 CD^2} = 2 CD$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $BD = 2 CD$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ભૂમિતિ મધ્યકના ગુણધર્મ મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$ થાય.
આપેલ છે કે $AC = 5 CD$. કારણ કે $AC = AD + CD$,તેથી $AD + CD = 5 CD$,જેનો અર્થ છે કે $AD = 4 CD$.
$AD = 4 CD$ ને ભૂમિતિ મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$BD^2 = (4 CD) \cdot CD$
$BD^2 = 4 CD^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BD = \sqrt{4 CD^2} = 2 CD$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $BD = 2 CD$.
0 likes
View Solution185
EasyMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AC = 25$ અને $AM = 16$ હોય,તો $BM = \dots$
A
$9$
B
$20$
C
$12$
D
$10$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
સમરૂપતા $\Delta AMB \sim \Delta ABC$ પરથી,આપણી પાસે ગુણધર્મ છે: $BM^2 = AM \cdot MC$.
અહીં $AC = 25$ અને $AM = 16$ આપેલ છે,તેથી $MC = AC - AM = 25 - 16 = 9$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $BM^2 = 16 \cdot 9$.
$BM^2 = 144$.
વર્ગમૂળ લેતા,$BM = \sqrt{144} = 12$.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
સમરૂપતા $\Delta AMB \sim \Delta ABC$ પરથી,આપણી પાસે ગુણધર્મ છે: $BM^2 = AM \cdot MC$.
અહીં $AC = 25$ અને $AM = 16$ આપેલ છે,તેથી $MC = AC - AM = 25 - 16 = 9$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $BM^2 = 16 \cdot 9$.
$BM^2 = 144$.
વર્ગમૂળ લેતા,$BM = \sqrt{144} = 12$.
0 likes
View Solution186
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ વેધ છે. તો,$\angle BAM \cong \ldots$
A
$\angle BMC$
B
$\angle MBC$
C
$\angle MCB$
D
$\angle ABM$
Solution
(B) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે.
$\Delta ABM$ અને $\Delta ABC$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\Delta ABM$ માં,$\angle AMB = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle BAM + \angle ABM = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\angle ABM = \angle C$ (અથવા $\angle MCB$) મળે છે.
વળી,$\Delta BMC$ માં,$\angle BMC = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$,તેથી સાબિત થાય છે કે $\angle BAM = \angle MBC$.
$\Delta ABM$ અને $\Delta ABC$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\Delta ABM$ માં,$\angle AMB = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle BAM + \angle ABM = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\angle ABM = \angle C$ (અથવા $\angle MCB$) મળે છે.
વળી,$\Delta BMC$ માં,$\angle BMC = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$,તેથી સાબિત થાય છે કે $\angle BAM = \angle MBC$.
0 likes
View Solution187
MediumMCQ
$\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD}$ વેધ છે. જો $PD = 9 DR$ હોય,તો $PQ = \ldots \ldots \ldots \times QR$.
A
$9$
B
$81$
C
$6$
D
$3$
Solution
(D) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$QD^2 = PD \times DR$ થાય.
વળી,$\Delta PQD$ અને $\Delta PQR$ ની સમરૂપતા મુજબ,$PQ^2 = PD \times PR$ થાય.
આપેલ છે કે $PD = 9 DR$,તેથી $PR = PD + DR = 9 DR + DR = 10 DR$ થાય.
આ કિંમતો $PQ^2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ^2 = (9 DR) \times (10 DR) = 90 DR^2$.
તે જ રીતે,$\Delta QDR$ અને $\Delta PQR$ માટે,$QR^2 = DR \times PR$ થાય.
$QR^2 = DR \times (10 DR) = 10 DR^2$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{90 DR^2}{10 DR^2} = 9$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{PQ}{QR} = \sqrt{9} = 3$ મળે.
તેથી,$PQ = 3 \times QR$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધના ગુણધર્મ મુજબ,$QD^2 = PD \times DR$ થાય.
વળી,$\Delta PQD$ અને $\Delta PQR$ ની સમરૂપતા મુજબ,$PQ^2 = PD \times PR$ થાય.
આપેલ છે કે $PD = 9 DR$,તેથી $PR = PD + DR = 9 DR + DR = 10 DR$ થાય.
આ કિંમતો $PQ^2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ^2 = (9 DR) \times (10 DR) = 90 DR^2$.
તે જ રીતે,$\Delta QDR$ અને $\Delta PQR$ માટે,$QR^2 = DR \times PR$ થાય.
$QR^2 = DR \times (10 DR) = 10 DR^2$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{90 DR^2}{10 DR^2} = 9$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{PQ}{QR} = \sqrt{9} = 3$ મળે.
તેથી,$PQ = 3 \times QR$ થાય.
0 likes
View Solution188
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. તો,$AB$ એ ....... નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.
A
$AM$ અને $CM$
B
$AM$ અને $AC$
C
$CM$ અને $AC$
D
$BM$ અને $AC$
Solution
(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ છે,ત્યારે આ ત્રિકોણ બે ત્રિકોણો $\Delta AMB$ અને $\Delta BMC$ માં વિભાજિત થાય છે,જે મૂળ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $AB^2 = AM \cdot AC$ મળે છે.
તેથી,$AB$ એ $AM$ અને $AC$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AC}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $AB^2 = AM \cdot AC$ મળે છે.
તેથી,$AB$ એ $AM$ અને $AC$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.
0 likes
View Solution189
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે. તો,$BC$ એ .......... નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.
A
$BM$ અને $AC$
B
$AM$ અને $CM$
C
$CM$ અને $AC$
D
$AM$ અને $AC$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle B = 90^{\circ}$ હોય અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ હોય,તો સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ $(\Delta BMC \sim \Delta BCA)$:
$\frac{BC}{AC} = \frac{MC}{BC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$BC^2 = MC \cdot AC$
આ દર્શાવે છે કે $BC$ એ $CM$ અને $AC$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.
$\frac{BC}{AC} = \frac{MC}{BC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$BC^2 = MC \cdot AC$
આ દર્શાવે છે કે $BC$ એ $CM$ અને $AC$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.
0 likes
View Solution190
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 8$ અને $CM = 2$ હોય,તો $BM = \ldots$
A
$2$
B
$8$
C
$6$
D
$4$
Solution
(D) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને એકબીજાને પણ સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
આ ત્રિકોણોની સમરૂપતા પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આના પરથી ભૂમિતિ મધ્યકનું પ્રમેય મળે છે: $BM^2 = AM \times CM$.
અહીં $AM = 8$ અને $CM = 2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$BM^2 = 8 \times 2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BM = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$BM$ ની લંબાઈ $4$ છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
આ ત્રિકોણોની સમરૂપતા પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આના પરથી ભૂમિતિ મધ્યકનું પ્રમેય મળે છે: $BM^2 = AM \times CM$.
અહીં $AM = 8$ અને $CM = 2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$BM^2 = 8 \times 2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BM = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$BM$ ની લંબાઈ $4$ છે.
0 likes
View Solution191
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. જો $AM = 4$ અને $CM = 6$ હોય,તો $BM = \dots$
A
$2$
B
$\sqrt{6}$
C
$2\sqrt{6}$
D
$24$
Solution
(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પર દોરેલો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આથી $BM^2 = AM \times CM$ મળે.
અહીં $AM = 4$ અને $CM = 6$ આપેલ છે,તેથી:
$BM^2 = 4 \times 6 = 24$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BM = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$.
ખાસ કરીને,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
આથી $BM^2 = AM \times CM$ મળે.
અહીં $AM = 4$ અને $CM = 6$ આપેલ છે,તેથી:
$BM^2 = 4 \times 6 = 24$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$BM = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$.
0 likes
View Solution192
EasyMCQ
$\Delta PQR$ માં,$\angle P$ કાટખૂણો છે અને $\overline{PX}$ વેધ છે. જો $QX = 4$ અને $RX = 5$ હોય,તો $PQ = \ldots \ldots$
A
$6$
B
$3$
C
$12$
D
$16$
Solution
(A) $\Delta PQR$ માં,$\angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PX} \perp \overline{QR}$ છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta QXP \sim \Delta QPR$ થાય.
સમરૂપતા $\Delta QXP \sim \Delta QPR$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\frac{QX}{PQ} = \frac{PQ}{QR}$.
તેથી,$PQ^2 = QX \cdot QR$.
અહીં $QX = 4$ અને $RX = 5$ આપેલ છે,તેથી $QR = QX + RX = 4 + 5 = 9$.
આ કિંમતો મૂકતા,$PQ^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
તેથી,$PQ = \sqrt{36} = 6$.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય (અથવા કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ) મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$\Delta QXP \sim \Delta QPR$ થાય.
સમરૂપતા $\Delta QXP \sim \Delta QPR$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\frac{QX}{PQ} = \frac{PQ}{QR}$.
તેથી,$PQ^2 = QX \cdot QR$.
અહીં $QX = 4$ અને $RX = 5$ આપેલ છે,તેથી $QR = QX + RX = 4 + 5 = 9$.
આ કિંમતો મૂકતા,$PQ^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
તેથી,$PQ = \sqrt{36} = 6$.
0 likes
View Solution193
MediumMCQ
જો સંગતતા $XYZ \leftrightarrow EFD$ માટે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ હોય.
જો $m \angle X : m \angle Y : m \angle Z = 2 : 3 : 5$ હોય,તો $\Delta DEF$ માં $\ldots \ldots$ કાટખૂણો છે.
જો $m \angle X : m \angle Y : m \angle Z = 2 : 3 : 5$ હોય,તો $\Delta DEF$ માં $\ldots \ldots$ કાટખૂણો છે.
A
$\angle D$
B
$\angle E$
C
$\angle F$
D
$\angle E$ અથવા $\angle F$
Solution
(A) $\Delta XYZ$ માં,ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $m \angle X : m \angle Y : m \angle Z = 2 : 3 : 5$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $2k, 3k, 5k$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2k + 3k + 5k = 180^{\circ}$,જે આપણને $10k = 180^{\circ}$ આપે છે,તેથી $k = 18^{\circ}$.
આમ,$m \angle X = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle Y = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,અને $m \angle Z = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સંગતતા $XYZ \leftrightarrow EFD$ સમરૂપતા છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta EFD$.
તેથી,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે: $m \angle X = m \angle E$,$m \angle Y = m \angle F$,અને $m \angle Z = m \angle D$.
કારણ કે $m \angle Z = 90^{\circ}$ છે,તેથી $m \angle D = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle D$ એ કાટખૂણો છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $2k, 3k, 5k$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2k + 3k + 5k = 180^{\circ}$,જે આપણને $10k = 180^{\circ}$ આપે છે,તેથી $k = 18^{\circ}$.
આમ,$m \angle X = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle Y = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,અને $m \angle Z = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સંગતતા $XYZ \leftrightarrow EFD$ સમરૂપતા છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta EFD$.
તેથી,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે: $m \angle X = m \angle E$,$m \angle Y = m \angle F$,અને $m \angle Z = m \angle D$.
કારણ કે $m \angle Z = 90^{\circ}$ છે,તેથી $m \angle D = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle D$ એ કાટખૂણો છે.
0 likes
View Solution194
DifficultMCQ
સંગતતા $ABC \leftrightarrow ZXY$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે. જો $AB = 12, BC = 8, CA = 10$ અને $ZX = 10$ હોય,તો $XY + YZ = \ldots$
A
$18$
B
$16$
C
$15$
D
$20$
Solution
(C) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow ZXY$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે:
$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CA}{YZ}$.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મો મુજબ,$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC + CA}{XY + YZ}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $AB = 12, BC = 8, CA = 10, ZX = 10$.
$\frac{12}{10} = \frac{8 + 10}{XY + YZ}$.
$\frac{6}{5} = \frac{18}{XY + YZ}$.
$XY + YZ = \frac{18 \times 5}{6} = 3 \times 5 = 15$.
આમ,$XY + YZ = 15$.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે:
$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CA}{YZ}$.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મો મુજબ,$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC + CA}{XY + YZ}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $AB = 12, BC = 8, CA = 10, ZX = 10$.
$\frac{12}{10} = \frac{8 + 10}{XY + YZ}$.
$\frac{6}{5} = \frac{18}{XY + YZ}$.
$XY + YZ = \frac{18 \times 5}{6} = 3 \times 5 = 15$.
આમ,$XY + YZ = 15$.
0 likes
View Solution195
MediumMCQ
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ $25$ અને $16$ છે. તો તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\ldots \ldots \ldots \ldots$ છે.
A
$8: 5$
B
$5: 4$
C
$25: 16$
D
$5: 8$
Solution
(B) બે સમરૂપ ત્રિકોણ માટે,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
ધારો કે ક્ષેત્રફળ $A_1 = 25$ અને $A_2 = 16$ છે.
ધારો કે અનુરૂપ બાજુઓ $s_1$ અને $s_2$ છે.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
$\frac{25}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{s_1}{s_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
બે સમરૂપ ત્રિકોણની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે.
તેથી,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $5: 4$ છે.
ધારો કે ક્ષેત્રફળ $A_1 = 25$ અને $A_2 = 16$ છે.
ધારો કે અનુરૂપ બાજુઓ $s_1$ અને $s_2$ છે.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
$\frac{25}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{s_1}{s_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
બે સમરૂપ ત્રિકોણની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે.
તેથી,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર $5: 4$ છે.
0 likes
View Solution196
MediumMCQ
જો $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ એ $ABC \leftrightarrow PQR$ સંગતતા માટે હોય. જો $AB = 12$,$\text{Area}(\Delta ABC) = 36$ અને $\text{Area}(\Delta PQR) = 64$ હોય,તો $PQ = \ldots$
A
$18$
B
$24$
C
$16$
D
$\frac{64}{3}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ એ $ABC \leftrightarrow PQR$ સંગતતા માટે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{36}{64} = \left(\frac{12}{PQ}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{12}{PQ}$.
$\frac{6}{8} = \frac{12}{PQ}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{4} = \frac{12}{PQ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3 \times PQ = 12 \times 4$.
$3 \times PQ = 48$.
$PQ = \frac{48}{3} = 16$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{36}{64} = \left(\frac{12}{PQ}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{12}{PQ}$.
$\frac{6}{8} = \frac{12}{PQ}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{4} = \frac{12}{PQ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3 \times PQ = 12 \times 4$.
$3 \times PQ = 48$.
$PQ = \frac{48}{3} = 16$.
0 likes
View Solution197
MediumMCQ
જો $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ એ સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ માટે હોય. જો $\text{Area}(\Delta ABC) = 72$,$BC = 6$ અને $YZ = 10$ હોય,તો $\text{Area}(\Delta XYZ) = \dots$
A
$100$
B
$300$
C
$120$
D
$200$
Solution
(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ એ સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ માટે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{BC}{YZ}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{6}{10}\right)^2$.
$\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \frac{36}{100}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{72 \times 100}{36}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 2 \times 100 = 200$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{BC}{YZ}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{6}{10}\right)^2$.
$\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \frac{36}{100}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{72 \times 100}{36}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 2 \times 100 = 200$.
0 likes
View Solution198
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$D$,$E$,અને $F$ એ અનુક્રમે $\overline{AB}$,$\overline{BC}$ અને $\overline{CA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તો સંગતતા $DEF \leftrightarrow \dots$ એ સમરૂપતા છે.
A
$ABC$
B
$BCA$
C
$CAB$
D
$CBA$
Solution
(C) $\Delta ABC$ માં,$D$,$E$,અને $F$ એ અનુક્રમે $\overline{AB}$,$\overline{BC}$ અને $\overline{CA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB$,$DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC$,તથા $DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DEF \sim \Delta CAB$ (કારણ કે $D$ ને સંગત $C$,$E$ ને સંગત $A$,અને $F$ ને સંગત $B$ છે).
આમ,સંગતતા $DEF \leftrightarrow CAB$ એ સમરૂપતા છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB$,$DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC$,તથા $DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DEF \sim \Delta CAB$ (કારણ કે $D$ ને સંગત $C$,$E$ ને સંગત $A$,અને $F$ ને સંગત $B$ છે).
આમ,સંગતતા $DEF \leftrightarrow CAB$ એ સમરૂપતા છે.
0 likes
View Solution199
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BD}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. તો $\Delta ADB$ અને $\Delta BDC$ વચ્ચેની સંગતતા $ADB \leftrightarrow \ldots$ એ સમરૂપતા છે.
A
$BDC$
B
$CDB$
C
$BCD$
D
$CBD$
Solution
(A) $\Delta ADB$ અને $\Delta BDC$ માં:
$\angle ADB = \angle BDC = 90^{\circ}$ (કારણ કે $\overline{BD} \perp \overline{AC}$).
$\Delta ABC$ માં,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$.
$\Delta ADB$ માં,$\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle ABD = \angle C$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$A \leftrightarrow B$,$D \leftrightarrow D$,અને $B \leftrightarrow C$ ની સંગતતા મળે છે.
આમ,$ADB \leftrightarrow BDC$ એ સાચી સંગતતા છે.
$\angle ADB = \angle BDC = 90^{\circ}$ (કારણ કે $\overline{BD} \perp \overline{AC}$).
$\Delta ABC$ માં,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$.
$\Delta ADB$ માં,$\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle ABD = \angle C$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$A \leftrightarrow B$,$D \leftrightarrow D$,અને $B \leftrightarrow C$ ની સંગતતા મળે છે.
આમ,$ADB \leftrightarrow BDC$ એ સાચી સંગતતા છે.
0 likes
View Solution200
MediumMCQ
$\Delta ABC$ માં,સંગતતા $ABC \leftrightarrow BAC$ અને $ABC \leftrightarrow ACB$ સમરૂપતા છે. તો,$\Delta ABC$ એ $\ldots \ldots \ldots \ldots$ ત્રિકોણ છે.
A
સમબાજુ
B
સમદ્વિબાજુ
C
વિષમબાજુ
D
કાટકોણ
Solution
(A) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow BAC$ અને $ABC \leftrightarrow ACB$ સમરૂપતા છે.
$ABC \leftrightarrow BAC$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle A = \angle B$,$\angle B = \angle A$ અને $\angle C = \angle C$.
$ABC \leftrightarrow ACB$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle A = \angle A$,$\angle B = \angle C$ અને $\angle C = \angle B$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\angle A = \angle B$ અને $\angle B = \angle C$ મળે છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = \angle C$.
ત્રણેય ખૂણા સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમકોણ છે.
સમકોણ ત્રિકોણ હંમેશા સમબાજુ ત્રિકોણ હોય છે.
આમ,$\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$ABC \leftrightarrow BAC$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle A = \angle B$,$\angle B = \angle A$ અને $\angle C = \angle C$.
$ABC \leftrightarrow ACB$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle A = \angle A$,$\angle B = \angle C$ અને $\angle C = \angle B$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\angle A = \angle B$ અને $\angle B = \angle C$ મળે છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = \angle C$.
ત્રણેય ખૂણા સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમકોણ છે.
સમકોણ ત્રિકોણ હંમેશા સમબાજુ ત્રિકોણ હોય છે.
આમ,$\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
0 likes
View SolutionTriangles — Criteria for Similarity of Triangles · Frequently Asked Questions
1Are these Triangles questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Triangles Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.