Criteria for Similarity of Triangles Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$
આપેલ છે કે $\text{ar}(\Delta ABC) = 64 \text{ cm}^2$,$\text{ar}(\Delta DEF) = 121 \text{ cm}^2$ અને $EF = 15.4 \text{ cm}$.
$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{15.4}$
$\frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4}$
$BC = \frac{8 \times 15.4}{11}$
$BC = 8 \times 1.4 = 11.2 \text{ cm}$.

(4:1) કારણ કે $AB \parallel CD,$
$\therefore \angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ).
$\triangle AOB$ અને $\triangle COD$ માં,
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણ).
$\angle OAB = \angle OCD$ (યુગ્મકોણ).
$\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ).
$\therefore \triangle AOB \sim \triangle COD$ ($AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\operatorname{ar}(\triangle AOB)}{\operatorname{ar}(\triangle COD)} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2$.
આપેલ છે કે $AB = 2 CD,$
$\therefore \frac{\operatorname{ar}(\triangle AOB)}{\operatorname{ar}(\triangle COD)} = \left(\frac{2 CD}{CD}\right)^2 = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = \frac{4}{1} = 4:1$.
આમ,ત્રિકોણ $AOB$ અને $COD$ ના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(N/A) ધારો કે આપણે રેખા $BC$ પર બે લંબ $AP$ અને $DM$ દોરીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
તેથી,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AP}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} = \frac{AP}{DM}$.
$\triangle APO$ અને $\triangle DMO$ માં:
$\angle APO = \angle DMO = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ).
$\angle AOP = \angle DOM$ (અભિકોણો).
તેથી,$\triangle APO \sim \triangle DMO$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
સમરૂપ ત્રિકોણો હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$.
આ કિંમતને આપણા ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{AO}{DO}$.

(N/A) ધારો કે બે સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$ $...(1)$
આપેલ છે કે,$\text{ar}(\triangle ABC) = \text{ar}(\triangle PQR)$.
તેથી,$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = 1$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$.
આનો અર્થ એ થાય કે:
$\left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = 1 \Rightarrow AB^2 = PQ^2 \Rightarrow AB = PQ$
$\left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = 1 \Rightarrow BC^2 = QR^2 \Rightarrow BC = QR$
$\left(\frac{AC}{PR}\right)^2 = 1 \Rightarrow AC^2 = PR^2 \Rightarrow AC = PR$
જેથી ત્રણેય અનુરૂપ બાજુઓ સમાન હોવાથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \cong \triangle PQR$ સાબિત થાય છે.

(1:4) આપેલ છે કે $D, E$ અને $F$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની અડધી લંબાઈનો હોય છે.
તેથી,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC$.
તે જ રીતે,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB$,તથા $DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC$.
$\Delta DEF$ અને $\Delta ABC$ માં:
$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DEF \sim \Delta ABC$.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
તેથી,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta DEF)}{\operatorname{ar}(\Delta ABC)} = \left(\frac{DE}{AC}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$\Delta DEF$ અને $\Delta ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(N/A) ધારો કે બે સમરૂપ ત્રિકોણો $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે. ધારો કે $AD$ અને $PS$ આ ત્રિકોણોની મધ્યગાઓ છે.
કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} \quad ...(1)$
અને $\angle B = \angle Q \quad ...(2)$
$AD$ અને $PS$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ અને $S$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QS = \frac{QR}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QS} = \frac{BD}{QS} \quad ...(3)$
$\triangle ABD$ અને $\triangle PQS$ માં:
$\angle B = \angle Q$ [સમીકરણ $(2)$ પરથી]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QS}$ [સમીકરણ $(3)$ પરથી]
તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABD \sim \triangle PQS$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS} \quad ...(4)$
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$
સમીકરણ $(4)$ પરથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS}$ મૂકતા:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AD}{PS}\right)^2$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta ACD$ અને $\Delta ABC$ માં:
$\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$
$\angle CAD = \angle CAB$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$\Delta ACD \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આથી $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$,તેથી $AC^{2} = AB \cdot AD$ $...(1)$
$\Delta BCD$ અને $\Delta BAC$ માં:
$\angle BDC = \angle BCA = 90^{\circ}$
$\angle CBD = \angle ABC$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$\Delta BCD \sim \Delta BAC$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આથી $\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BC}$,તેથી $BC^{2} = BA \cdot BD$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{BC^{2}}{AC^{2}} = \frac{BA \cdot BD}{AB \cdot AD}$
કારણ કે $BA = AB$,આપણને મળે છે:
$\frac{BC^{2}}{AC^{2}} = \frac{BD}{AD}$

(C) જો બે ત્રિકોણ એકબીજાને સમરૂપ હોય,તો તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
અહીં બાજુઓનો ગુણોત્તર $4:9$ આપેલ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $= (4/9)^2 = 16/81$ થાય.
આમ,સાચો જવાબ $(C)$ છે.

(N/A) ધારો કે $\angle MPR = x$ છે.
$\Delta MPR$ માં,
$\angle MRP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - x$.
તે જ રીતે,$\Delta MPQ$ માં,
$\angle MPQ = 90^{\circ} - \angle MPR = 90^{\circ} - x$.
$\Delta MPQ$ માં,
$\angle MQP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - (90^{\circ} - x) = x$.
હવે,$\Delta QMP$ અને $\Delta PMR$ માં:
$\angle MPQ = \angle MRP = 90^{\circ} - x$
$\angle MQP = \angle MPR = x$
$\angle PMQ = \angle RMP = 90^{\circ}$
તેથી,$\Delta QMP \sim \Delta PMR$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{QM}{PM} = \frac{PM}{MR}$
$\Rightarrow PM^{2} = QM \cdot MR$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABD$ માં,$\angle BAD = 90^\circ$ અને $AC \perp BD$.
સાબિત કરવાનું છે: $AB^2 = BC \cdot BD$.
સાબિતી: $\triangle BCA$ અને $\triangle BAD$ લો.
$\triangle BCA$ અને $\triangle BAD$ માં:
$\angle BCA = \angle BAD = 90^\circ$ (આપેલ છે કે $AC \perp BD$ અને $\angle BAD = 90^\circ$)
$\angle B = \angle B$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle BCA \sim \triangle BAD$.
સમરૂપ ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{BC}{BA} = \frac{BA}{BD}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$BA \cdot BA = BC \cdot BD$
$AB^2 = BC \cdot BD$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABD$ માં,$\angle A = 90^{\circ}$ અને $AC \perp BD$.
સાબિત કરવાનું છે: $AC^{2} = BC \cdot DC$.
સાબિતી:
$\triangle BCA$ અને $\triangle ACD$ માં:
$\angle BCA = \angle ACD = 90^{\circ}$ ($AC \perp BD$ હોવાથી)
$\angle CBA = 90^{\circ} - \angle CAB$ ($\triangle ABC$ માં,$\angle B + \angle CAB = 90^{\circ}$)
વળી,$\angle CAD = 90^{\circ} - \angle CAB$ ($\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle CAD + \angle CAB = 90^{\circ}$)
તેથી,$\angle CBA = \angle CAD$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle BCA \sim \triangle ACD$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$AC^{2} = BC \cdot DC$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABD$ માં,$\angle A = 90^{\circ}$ અને $AC \perp BD$.
સાબિત કરવાનું છે: $AD^{2} = BD \cdot CD$.
સાબિતી: $\triangle ACD$ અને $\triangle BAD$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\triangle ACD$ અને $\triangle BAD$ માં:
$\angle ACD = \angle BAD = 90^{\circ}$.
$\angle D = \angle D$ (સામાન્ય ખૂણો).
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ACD \sim \triangle BAD$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AC}{BA} = \frac{CD}{AD} = \frac{AD}{BD}$.
ગુણોત્તરના છેલ્લા બે ભાગ લેતા:
$\frac{CD}{AD} = \frac{AD}{BD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$AD^{2} = BD \cdot CD$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $DB$ ને જોડો.
આપણી પાસે $DN \parallel CB,$ $DM \parallel AB,$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$DMBN$ એક લંબચોરસ છે.
આમ,$DN = MB$ અને $DM = NB$ થાય.
$D$ એ $B$ માંથી $AC$ પર દોરેલા વેધનો લંબપાદ હોવાથી,$\angle CDB = 90^{\circ}$ થાય.
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} \dots(1)$
$\Delta CDM$ માં,$\angle 1 + \angle 2 + \angle DMC = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} \dots(2)$
$\Delta DMB$ માં,$\angle 3 + \angle DMB + \angle 4 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ} \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $\angle 1 = \angle 3$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $\angle 2 = \angle 4$ મળે છે.
$\Delta DCM$ અને $\Delta BDM$ માં,
$\angle 1 = \angle 3$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$\angle 2 = \angle 4$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
તેથી,$\Delta DCM \sim \Delta BDM$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$\frac{BM}{DM} = \frac{DM}{MC}$ થાય.
$BM = DN$ હોવાથી,$\frac{DN}{DM} = \frac{DM}{MC}$ થાય.
તેથી,$DM^{2} = DN \cdot MC$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $DMBN$ માં,$\angle DMB = 90^{\circ},$ $\angle DNB = 90^{\circ},$ અને $\angle MBN = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $\angle ABC = 90^{\circ}$) હોવાથી,ચોથો ખૂણો $\angle MDN$ પણ $90^{\circ}$ થાય. આમ,$DMBN$ એક લંબચોરસ છે.
તેથી,$DM = NB$ અને $DN = MB.$
$\Delta ABC$ માં,$BD \perp AC.$ કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ADN \sim \Delta ABD$ અને $\Delta BDC \sim \Delta ABD$ થાય.
વધુ સ્પષ્ટ રીતે,$\Delta DNB$ અને $\Delta ADN$ માં:
$\angle DNB = \angle DNA = 90^{\circ}.$
$\angle NDB = \angle DAN$ (કારણ કે બંને $\angle ADN$ ના કોટિકોણ છે).
આમ,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta DNB \sim \Delta ADN$ થાય.
તેથી,$\frac{DN}{AN} = \frac{NB}{DN}.$
$DN^{2} = AN \cdot NB.$
$NB = DM$ હોવાથી,આપણને મળે છે $DN^{2} = AN \cdot DM.$

(N/A) $\Delta APC \sim \Delta DPB$ સાબિત કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. $CB$ અને $AD$ ને જોડો.
$2$. $\Delta APC$ અને $\Delta DPB$ નો વિચાર કરો.
$3$. $\angle APC = \angle DPB$ (અભિકોણો).
$4$. $\angle CAP = \angle BDP$ (વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે,અહીં ચાપ $CB$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$5$. તેથી,$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APC \sim \Delta DPB$.

(N/A) $AP \cdot PB = CP \cdot DP$ સાબિત કરવા માટે,આપણે ત્રિકોણ $\Delta APC$ અને $\Delta DPB$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$1$. $\angle APC = \angle DPB$ (અભિકોણો).
$2$. $\angle CAP = \angle BDP$ (એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APC \sim \Delta DPB$.
સમરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AP}{DP} = \frac{PC}{PB} = \frac{AC}{DB}$
પ્રથમ બે ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{AP}{DP} = \frac{PC}{PB}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$AP \cdot PB = PC \cdot DP$ (અથવા $AP \cdot PB = CP \cdot DP$).

(N/A) $\Delta PAC$ અને $\Delta PDB$ ને ધ્યાનમાં લો.
$1$. $\angle P = \angle P$ (સામાન્ય ખૂણો).
$2$. ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABDC$ માં,બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણા જેટલો હોય છે. તેથી,$\angle PAC = \angle PDB$ (કારણ કે $\angle PAC + \angle CAB = 180^{\circ}$ અને $\angle PDB + \angle CAB = 180^{\circ}$).
$3$. $AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PAC \sim \Delta PDB$.

(N/A) $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ સાબિત કરવા માટે,$\triangle PAD$ અને $\triangle PCB$ ને ધ્યાનમાં લો.
$1$. $\angle P = \angle P$ (સામાન્ય ખૂણો).
$2$. $\angle PDA = \angle PBC$ (ચક્રીય ચતુષ્કોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણા જેટલો હોય છે,અથવા $\angle PAD + \angle DAB = 180^{\circ}$ અને $\angle BCD + \angle DAB = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle PAD = \angle BCD$ થાય,અને આમ $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle PAD \sim \triangle PCB$ થાય).
$\triangle PAD \sim \triangle PCB$ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} = \frac{AD}{CB}$.
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

(B) આપેલ છે કે,બે સમરૂપ ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.
ધારો કે નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 48 \, cm^2$ છે અને મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\frac{48}{A_2} = \frac{4}{9}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4 \times A_2 = 48 \times 9$
$A_2 = \frac{432}{4} = 108 \, cm^2$.
તેથી,મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $108 \, cm^2$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$PR$ પર $N$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $QN \perp PR$ અને $PN \cdot NR = QN^2$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle PQR = 90^{\circ}$.
સાબિતી: આપણી પાસે $PN \cdot NR = QN^2$ છે.
આને $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ તરીકે લખી શકાય.
$\Delta QNP$ અને $\Delta RNQ$ માં:
$1$. $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle PNQ = \angle RNQ = 90^{\circ}$ ($QN \perp PR$ આપેલ છે)
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta QNP \sim \Delta RNQ$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
$\angle PQN = \angle QRN$ (ધારો કે આ $\alpha$ છે)
$\angle RQN = \angle QPN$ (ધારો કે આ $\beta$ છે)
$\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ}$
$\angle QPN + \angle QRN + (\angle PQN + \angle RQN) = 180^{\circ}$
સમાન ખૂણાઓ મૂકતા:
$\beta + \alpha + (\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$\alpha + \beta = 90^{\circ}$
$\angle PQR = \alpha + \beta$ હોવાથી,$\angle PQR = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= 36\, cm^{2}$ અને મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= 100\, cm^{2}$.
વળી,મોટા ત્રિકોણની એક બાજુની લંબાઈ $= 20\, cm$ છે.
ધારો કે નાના ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુની લંબાઈ $x\, cm$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણધર્મ મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના વર્ગના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\frac{\text{મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{(\text{મોટા ત્રિકોણની બાજુ})^{2}}{(\text{નાના ત્રિકોણની બાજુ})^{2}}$
$\Rightarrow \frac{100}{36} = \frac{(20)^{2}}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2} = \frac{20^{2} \times 36}{100} = \frac{400 \times 36}{100} = 4 \times 36 = 144$
$x = \sqrt{144} = 12\, cm$.
આમ,નાના ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુની લંબાઈ $12\, cm$ છે.

(A) આપેલ છે: $AC = 8 \, cm$,$AD = 3 \, cm$ અને $\angle ACB = \angle CDA = 90^{\circ}$ (આકૃતિ પરથી).
કાટકોણ $\triangle ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$8^2 = 3^2 + CD^2$
$64 = 9 + CD^2$
$CD^2 = 55$
$CD = \sqrt{55} \, cm$.
હવે,$\triangle CDB$ અને $\triangle ADC$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\angle BDC = \angle ADC = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
$2$. $\angle DBC = \angle DCA$ (કારણ કે બંને $90^{\circ} - \angle A$ ને સમાન છે).
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle CDB \sim \triangle ADC$.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}$
$CD^2 = AD \times BD$
$55 = 3 \times BD$
$BD = \frac{55}{3} \, cm$.

(B) ધારો કે $BC = 15\, m$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $AB = 24\, m$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે. તે સમયે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે,તેથી $\angle CAB = \theta$.
ધારો કે $EF = h$ એ ટેલિફોનના થાંભલાની ઊંચાઈ છે અને $DE = 16\, m$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે. તે જ સમયે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ સમાન રહે છે,તેથી $\angle EDF = \theta$.
$\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ માં:
$\angle CAB = \angle EDF = \theta$ (સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ)
$\angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ}$ (બંને સમતલ જમીન પર ઉભેલી શિરોલંબ વસ્તુઓ છે)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{24}{16} = \frac{15}{h}$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{15 \times 16}{24}$
$h = \frac{15 \times 2}{3}$
$h = 5 \times 2 = 10\, m$.
આમ,ટેલિફોનના થાંભલાની ઊંચાઈ $10\, m$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\angle A = \angle C$,$AB = 6 \, cm$,$BP = 15 \, cm$,$AP = 12 \, cm$ અને $CP = 4 \, cm$.
$\triangle APB$ અને $\triangle CPD$ માં:
$\angle A = \angle C$ [આપેલ છે]
$\angle APB = \angle CPD$ [અભિકોણો]
તેથી,$\triangle APB \sim \triangle CPD$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{CP} = \frac{BP}{PD} = \frac{AB}{CD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} = \frac{6}{CD}$
પ્રથમ બે પદો લેતા:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} \implies 3 = \frac{15}{PD} \implies PD = \frac{15}{3} = 5 \, cm$
પ્રથમ અને છેલ્લું પદ લેતા:
$\frac{12}{4} = \frac{6}{CD} \implies 3 = \frac{6}{CD} \implies CD = \frac{6}{3} = 2 \, cm$
આમ,$PD$ ની લંબાઈ $5 \, cm$ અને $CD$ ની લંબાઈ $2 \, cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$. ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
એટલે કે,$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DF}$ ...... $(i)$
આપેલ કિંમતો $AB = 5 \, cm$,$AC = 7 \, cm$,$DF = 15 \, cm$ અને $DE = 12 \, cm$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF} = \frac{BC}{15}$
પ્રથમ અને બીજા પદને લેતા:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF}$
$\Rightarrow EF = \frac{7 \times 12}{5} = \frac{84}{5} = 16.8 \, cm$
પ્રથમ અને ત્રીજા પદને લેતા:
$\frac{5}{12} = \frac{BC}{15}$
$\Rightarrow BC = \frac{5 \times 15}{12} = \frac{75}{12} = 6.25 \, cm$
આમ,બાકીની બાજુઓની લંબાઈ $EF = 16.8 \, cm$ અને $BC = 6.25 \, cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $BD \perp AC$ છે.
વળી,$AD = 4 \, cm$ અને $CD = 5 \, cm$ છે.
$\triangle ADB$ અને $\triangle CDB$ માં,$\angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ}$ છે.
વળી,$\angle BAD = \angle DBC$ (કારણ કે બંને $90^{\circ} - \angle C$ ને સમાન છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ADB \sim \triangle CDB$ થાય.
આમ,$\frac{BD}{AD} = \frac{CD}{BD}$ મળે.
$\Rightarrow BD^2 = AD \times CD = 4 \times 5 = 20$.
$\Rightarrow BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
હવે,કાટકોણ $\triangle ADB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
$\Rightarrow AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
આમ,$BD = 2\sqrt{5} \, cm$ અને $AB = 6 \, cm$ થાય.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 15 : 8 : 7$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ અનુક્રમે $15t$,$8t$ અને $7t$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$15t + 8t + 7t = 180^\circ$ થાય.
$30t = 180^\circ$,તેથી $t = 6^\circ$ મળે.
આથી,$m \angle A = 15 \times 6^\circ = 90^\circ$,$m \angle B = 8 \times 6^\circ = 48^\circ$ અને $m \angle C = 7 \times 6^\circ = 42^\circ$ થાય.
આપેલ સમરૂપતા સંગતતા $ABC \leftrightarrow QPR$ મુજબ,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$m \angle Q = m \angle A = 90^\circ$,$m \angle P = m \angle B = 48^\circ$ અને $m \angle R = m \angle C = 42^\circ$ થાય.
આમ,$\Delta PQR$ ના ખૂણાઓ $m \angle P = 48^\circ$,$m \angle Q = 90^\circ$ અને $m \angle R = 42^\circ$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ વચ્ચેની સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ એ સમરૂપતા છે.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$
આપેલ સમીકરણ $4AB = 5XY$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{AB}{XY} = \frac{5}{4}$
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{4} = \frac{12}{YZ}$
$YZ$ માટે ઉકેલતા:
$YZ = \frac{12 \times 4}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$
આમ,$YZ = 9.6$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય: $m \angle A = m \angle P$,$m \angle B = m \angle Q$,અને $m \angle C = m \angle R = 100^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$.
$m \angle C = 100^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $2 m \angle P = 3 m \angle Q$,અને $m \angle P = m \angle A$ તથા $m \angle Q = m \angle B$ હોવાથી,$2 m \angle A = 3 m \angle B$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m \angle A = 1.5 m \angle B$.
આ કિંમત $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ માં મૂકતા:
$1.5 m \angle B + m \angle B = 80^{\circ}$
$2.5 m \angle B = 80^{\circ}$
$m \angle B = 80 / 2.5 = 32^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે પત્રવ્યવહાર $PQR \leftrightarrow ZYX$ એ સમરૂપતા છે,તેથી $\Delta PQR \sim \Delta ZYX$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
આપણને $\frac{PQ}{ZY} = \frac{5}{3}$ અને $PR = 10$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને $\frac{PQ}{ZY} = \frac{PR}{ZX}$ ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{5}{3} = \frac{10}{ZX}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$5 \times ZX = 3 \times 10$ મળે.
$5 \times ZX = 30$.
$ZX = \frac{30}{5} = 6$.
તેથી,$ZX$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(A) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow QRP$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે:
$m \angle A = m \angle Q$
$m \angle B = m \angle R$
$m \angle C = m \angle P$
આપેલ છે કે $m \angle A = 80^{\circ}, m \angle B = 40^{\circ}, m \angle C = 60^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$m \angle Q = 80^{\circ}$
$m \angle R = 40^{\circ}$
$m \angle P = 60^{\circ}$
આમ,$\Delta PQR$ ના ખૂણાઓ $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 80^{\circ}, m \angle R = 40^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ સંગતતા $XYZ \leftrightarrow EDF$ સાથે છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{XY}{ED} = \frac{YZ}{DF} = \frac{ZX}{FE} = k$.
આપેલ છે કે $XY = 3, YZ = 4, ZX = 6$ અને $DF = 12$.
ગુણોત્તર $\frac{YZ}{DF} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ પરથી,સ્કેલ ફેક્ટર $k = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{XY}{ED} = \frac{1}{3} \implies \frac{3}{ED} = \frac{1}{3} \implies ED = 9$.
અને $\frac{ZX}{FE} = \frac{1}{3} \implies \frac{6}{FE} = \frac{1}{3} \implies FE = 18$.
$\Delta DEF$ ની પરિમિતિ $= ED + DF + FE = 9 + 12 + 18 = 39$.

(D) આપેલ છે કે $ABC \leftrightarrow ZYX$ સંગતતા હેઠળ $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ} = k$.
આપેલ કિંમતો પરથી,$AB = 3, BC = 5, CA = 6$ અને $XY = 6$ છે.
$ABC \leftrightarrow ZYX$ સંગતતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{ZY} = \frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$.
$\frac{5}{6} = \frac{3}{ZY}$ પરથી,$ZY = \frac{3 \times 6}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ મળે છે.
$\frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$ પરથી,$XZ = \frac{6 \times 6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ મળે છે.
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $= XY + YZ + ZX = 6 + 3.6 + 7.2 = 16.8$.

(A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$,આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા $130^{\circ} + m \angle C = 180^{\circ}$ મળે,તેથી $m \angle C = 50^{\circ}$.
આપેલ છે કે $m \angle B + m \angle C = 125^{\circ}$,$m \angle C = 50^{\circ}$ મૂકતા $m \angle B + 50^{\circ} = 125^{\circ}$ મળે,તેથી $m \angle B = 75^{\circ}$.
$m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A + 75^{\circ} = 130^{\circ}$ મળે,તેથી $m \angle A = 55^{\circ}$.
$ABC \leftrightarrow QPR$ સંગતતા મુજબ,અનુરૂપ ખૂણાઓ $\angle A \leftrightarrow \angle Q$,$\angle B \leftrightarrow \angle P$,અને $\angle C \leftrightarrow \angle R$ છે.
તેથી,$m \angle Q = m \angle A = 55^{\circ}$ થાય.

(N/A) બે ત્રિકોણો સમરૂપ ત્યારે કહેવાય છે જો:
$1$. તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય.
$2$. તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (અથવા પ્રમાણમાં) હોય.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta RPQ$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
સંગતતા $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,અને $C \leftrightarrow Q$ છે.
તેથી,$m\angle A = m\angle R = 35^{\circ}$ અને $m\angle B = m\angle P = 50^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m\angle C = 180^{\circ} - (m\angle A + m\angle B) = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$.
કારણ કે $C \leftrightarrow Q$ છે,તેથી $m\angle C = m\angle Q$.
આમ,$m\angle Q = 95^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ એ $ABC \leftrightarrow XZY$ સંગતતા હેઠળ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર તેમની પરિમિતિના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY} = \frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta XYZ \text{ ની પરિમિતિ}}$.
આપેલ છે: $\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ} = 45$,$\Delta XYZ \text{ ની પરિમિતિ} = 30$ અને $AB = 21$.
કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{21}{XZ} = \frac{45}{30}$.
$\frac{45}{30}$ અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{21}{XZ} = \frac{3}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $3 \times XZ = 21 \times 2$.
$3 \times XZ = 42$.
$XZ = \frac{42}{3} = 14$.
આમ,$XZ$ ની લંબાઈ $14$ છે.

(A) કારણ કે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{PQ}{3} = \frac{XY}{5}$ પરથી,આપણે તેને $\frac{PQ}{XY} = \frac{3}{5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ ગુણોત્તરને સમરૂપતાની શરત $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ}$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{5} = \frac{9}{YZ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times YZ = 5 \times 9$,જેનું સાદું રૂપ $3 \times YZ = 45$ થાય છે.
તેથી,$YZ = \frac{45}{3} = 15$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} = \frac{5}{PR}$.
પ્રથમ,$PQ$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} \implies \frac{3}{PQ} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot PQ = 9 \implies PQ = 4.5$.
ત્યારબાદ,$PR$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{4}{6} = \frac{5}{PR} \implies \frac{2}{3} = \frac{5}{PR} \implies 2 \cdot PR = 15 \implies PR = 7.5$.
આમ,$PQ = 4.5$ અને $PR = 7.5$ મળે છે.

(C) કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = k$
અહીં $AB = 8$,$DE = 12$,$AC = 10$,અને $EF = 18$ આપેલ છે.
સમરૂપતાનો ગુણોત્તર $k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ છે.
હવે,$\Delta DEF$ ની બાકીની બાજુઓ શોધો:
$\frac{AC}{DF} = \frac{2}{3} \implies \frac{10}{DF} = \frac{2}{3} \implies DF = \frac{10 \times 3}{2} = 15$.
$\frac{BC}{EF} = \frac{2}{3} \implies \frac{BC}{18} = \frac{2}{3} \implies BC = \frac{18 \times 2}{3} = 12$.
હવે,$\Delta DEF$ ની પરિમિતિ = $DE + EF + DF = 12 + 18 + 15 = 45$.

(D) આપેલ સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે,એટલે કે $\Delta ABC \sim \Delta XZY$.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$.
આપેલ છે કે $AB = 6$,$XY = 12$,$YZ = 6$,અને $ZX = 9$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ નો ઉપયોગ કરતા,બાજુઓ નીચે મુજબ પ્રમાણમાં છે:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$
$\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} = \frac{AC}{12}$
પ્રથમ,$BC$ શોધો: $\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} \implies BC = \frac{6 \times 6}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
ત્યારબાદ,$AC$ શોધો: $\frac{6}{9} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{6 \times 12}{9} = \frac{72}{9} = 8$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = 6 + 4 + 8 = 18$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{PQ}.$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{16}{24} = \frac{6}{PQ}.$
$\frac{16}{24}$ નો ગુણોત્તર સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{6}{PQ}.$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2 \times PQ = 18$ મળે છે.
આમ,$PQ = \frac{18}{2} = 9.$
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $\Delta PQR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$80^{\circ} + 40^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
$120^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ} \implies m \angle R = 60^{\circ}$.
આપેલ સંગતતા $PQR \leftrightarrow YZX$ મુજબ,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
$m \angle P = m \angle Y = 80^{\circ}$,
$m \angle Q = m \angle Z = 40^{\circ}$,
$m \angle R = m \angle X = 60^{\circ}$.
તેથી,$m \angle Z = m \angle Q = 40^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય: $m \angle X = m \angle D$,$m \angle Y = m \angle E$,અને $m \angle Z = m \angle F$.
$\Delta XYZ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $2 m \angle X = 3 m \angle Y$,તેથી $m \angle X = 1.5 m \angle Y$.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $1.5 m \angle Y + m \angle Y + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2.5 m \angle Y = 150^{\circ}$.
$m \angle Y = 150^{\circ} / 2.5 = 60^{\circ}$.
$\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ હોવાથી,$m \angle E = m \angle Y = 60^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $PQR \leftrightarrow ZYX$ સંગતતા હેઠળ $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ છે,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
અહીં $PQ = 6$,$QR = 8$ અને $XY = 12$ આપેલ છે.
$PQR \leftrightarrow ZYX$ સંગતતા મુજબ,બાજુ $QR$ એ $YX$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{YZ} = \frac{8}{12}$.
$\frac{8}{12}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{6}{YZ} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2 \times YZ = 6 \times 3$,એટલે કે $2 \times YZ = 18$.
તેથી,$YZ = \frac{18}{2} = 9$.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta PQR \sim \Delta DEF$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF} = \frac{PR}{DF}$.
આપેલ સમીકરણ $3 PQ = 2 DE$ પરથી,આપણને $\frac{PQ}{DE} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
હવે,$\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF}$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{QR}{6} \implies QR = \frac{2 \times 6}{3} = 4$.
ત્યારબાદ,$\frac{PQ}{DE} = \frac{PR}{DF}$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{8}{DF} \implies DF = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
આમ,$QR = 4$ અને $DF = 12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{PQ}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{4}$ અને $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= 24$.
ધારો કે $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{x}{24} = \frac{3}{4}$.
$x = \frac{3}{4} \times 24$.
$x = 3 \times 6 = 18$.
આમ,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $18$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
આપેલ સમીકરણ $3 QR = 4 YZ$ પરથી,આપણે ગુણોત્તર $\frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$ લખી શકીએ છીએ.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન રહે છે,તેથી $\frac{PR}{XZ} = \frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$.
આપેલ કિંમત $PR = 8$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{8}{XZ} = \frac{4}{3}$ મળે છે.
$XZ$ માટે ઉકેલતા: $4 XZ = 8 \times 3$,જેનો અર્થ છે કે $4 XZ = 24$.
આમ,$XZ = \frac{24}{4} = 6$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$.
અહીં $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ અને $YZ = 20$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{5} = \frac{BC}{20}$.
બંને બાજુ $20$ વડે ગુણતા:
$BC = \frac{4}{5} \times 20$.
$BC = 4 \times 4 = 16$.
આમ,$BC$ ની લંબાઈ $16$ છે.

(A) કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$ (જ્યાં $k$ એ પ્રમાણ માપ છે).
ગુણોત્તરના ગુણધર્મ મુજબ,જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ હોય,તો $\frac{a+c}{b+d} = k$ થાય.
આમ,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AC}{PR}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{15} = \frac{8}{PR}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{4}{5} = \frac{8}{PR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4 \times PR = 5 \times 8$.
$4 \times PR = 40$.
$PR = \frac{40}{4} = 10$.
આમ,$PR$ ની લંબાઈ $10$ છે.