Criteria for Similarity of Triangles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે: $PQ || RS$.
સાબિત કરવાનું છે: $\Delta POQ \sim \Delta SOR$.
સાબિતી:
$\Delta POQ$ અને $\Delta SOR$ માં:
$1$. $\angle P = \angle S$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $PQ || RS$ અને $PS$ છેદિકા છે).
$2$. $\angle Q = \angle R$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $PQ || RS$ અને $QR$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle POQ = \angle SOR$ (અભિકોણ).
તેથી,$AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta POQ \sim \Delta SOR$.

$(40^{\circ})$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,
$\frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{CA}{PR} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
એટલે કે,$\frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{PR}$
તેથી,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ ($SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$\angle C = \angle P$ (સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ).
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$
કારણ કે $\angle C = \angle P$,તેથી $\angle P = 40^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} \quad ...(1)$
વળી,આપણી પાસે છે:
$\angle AOD = \angle COB \quad$ (અભિકોણો) $...(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta AOD \sim \Delta COB$
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
તેથી,$\angle A = \angle C$ અને $\angle D = \angle B$.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં છે અને અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
$CM$ અને $RN$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $N$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AB = 2AM$ અને $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ પરથી,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
વળી,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ પરથી).
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં છે:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ પરથી,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
તેથી,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ અને $\Delta RNQ$ માં:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ અને $(1)$ પરથી).
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (મધ્યગાના ગુણધર્મ મુજબ $BC = 2BM$ અને $QR = 2QN$ હોવાથી).
આમ,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.

(A) $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ માં:
$\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 80^{\circ}, \angle C = 40^{\circ}$
$\angle P = 60^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 40^{\circ}$
અહીં $\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 80^{\circ}$,અને $\angle C = \angle R = 40^{\circ}$ હોવાથી,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે.
તેથી,$AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ થાય.

(N/A) $\triangle ABC$ અને $\triangle QRP$ માં:
$\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{RP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{QP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.

(NONE) $\triangle LMP$ અને $\triangle DEF$ માં:
$\frac{LM}{DE} = \frac{2.7}{4} = 0.675$
$\frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = 0.5$
$\frac{MP}{EF} = \frac{2}{5} = 0.4$
અહીં અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન નથી (એટલે કે,$\frac{LM}{DE} \neq \frac{LP}{DF} \neq \frac{MP}{EF}$),તેથી આ બંને ત્રિકોણ સમરૂપ નથી.

(N/A) $\triangle MNL$ અને $\triangle QPR$ માં:
આપેલ છે કે $\angle M = \angle Q = 70^{\circ}$.
વળી,આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{MN}{QP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{ML}{QR} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{MN}{QP} = \frac{ML}{QR} = \frac{1}{2}$ અને $\angle M = \angle Q$ હોવાથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,$\triangle MNL \sim \triangle QPR$.

(NONE) $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ માં:
આપેલ છે કે $\angle A = 80^{\circ}$ અને $\angle F = 80^{\circ}$.
આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓ છે:
$AB = 2.5$,$AC$ આપેલ નથી.
$DF = 5$,$EF = 6$.
બાજુઓના ગુણોત્તર તપાસતા:
$\frac{AB}{DF} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$
બે બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે પરંતુ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો સમાન નથી (ખૂણો $80^{\circ}$ એ $\triangle ABC$ માં $A$ પાસે છે અને $\triangle DEF$ માં $F$ પાસે છે),તેથી આ ત્રિકોણો $SAS$ શરત મુજબ સમરૂપ નથી.
તેથી,આપેલા ત્રિકોણો સમરૂપ નથી.

(N/A) $\Delta DEF$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle D = 70^{\circ}$ અને $\angle E = 80^{\circ}$.
તેથી,$\angle F = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\Delta PQR$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle Q = 80^{\circ}$ અને $\angle R = 30^{\circ}$.
તેથી,$\angle P = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
બંને ત્રિકોણની સરખામણી કરતા:
$\angle D = \angle P = 70^{\circ}$
$\angle E = \angle Q = 80^{\circ}$
$\angle F = \angle R = 30^{\circ}$
બધા અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સાંકેતિક સ્વરૂપ: $\Delta DEF \sim \Delta PQR$.

(N/A) $\angle DB$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle DOC$ અને $\angle BOC$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
$\angle DOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle DOC + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DOC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
$\triangle ODC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 70^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
આપેલ છે કે $\Delta ODC \sim \Delta OBA$,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
$\angle OAB = \angle OCD = \angle DCO$
તેથી,$\angle OAB = 55^{\circ}$.
આમ,$\angle DOC = 55^{\circ}$,$\angle DCO = 55^{\circ}$ અને $\angle OAB = 55^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ છે અને વિકર્ણો $AC$ તથા $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
સાબિતી:
$\triangle OAB$ અને $\triangle OCD$ લો.
$1$. $\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
$2$. $\angle OAB = \angle OCD$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ છેદિકા છે).
તેથી,$AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$.
બે ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,આપેલ છે કે $\angle PQR = \angle PRQ$.
સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે $PQ = PR$ $....(i)$
આપેલ છે,
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરીને,$PR$ ની જગ્યાએ $PQ$ મૂકતા:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $....(ii)$
હવે,$\Delta PQS$ અને $\Delta TQR$ માં:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $[(ii)$ પરથી$]$
$\angle Q = \angle Q$ $[\text{સામાન્ય ખૂણો}]$
તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PQS \sim \Delta TQR$.

(N/A) $\Delta RPQ$ અને $\Delta RST$ માં:
$\angle RTS = \angle RPQ$ (આપેલ છે)
$\angle R = \angle R$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABE \cong \Delta ACD.$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$AB = AC$ $...(1)$
અને,$AE = AD$ $...(2)$
હવે,$\Delta ADE$ અને $\Delta ABC$ ને ધ્યાનમાં લો:
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
વળી,$\angle DAE = \angle BAC$ (સામાન્ય ખૂણો).
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ADE \sim \Delta ABC.$

(N/A) $\Delta AEP$ અને $\Delta CDP$ માં:
$\angle AEP = \angle CDP = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$ અને $CE \perp AB$)
$\angle APE = \angle CPD$ (અભિકોણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,
$\Delta AEP \sim \Delta CDP$.

(N/A) $\Delta ABD$ અને $\Delta CBE$ માં:
$\angle ADB = \angle CEB = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$ અને $CE \perp AB$)
$\angle ABD = \angle CBE$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,
$\Delta ABD \sim \Delta CBE$

(N/A) $\triangle AEP$ અને $\triangle ADB$ માં:
$1. \angle AEP = \angle ADB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $AD$ અને $CE$ વેધ છે).
$2. \angle PAE = \angle DAB$ (સામાન્ય ખૂણો).
તેથી,$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,આપણને મળે છે:
$\triangle AEP \sim \triangle ADB$.

(N/A) $\Delta PDC$ અને $\Delta BEC$ માં:
$\angle PDC = \angle BEC = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$ અને $CE \perp AB$)
$\angle PCD = \angle BCE$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરતા,
$\Delta PDC \sim \Delta BEC$.

(N/A) $\triangle ABE$ અને $\triangle CFB$ માં:
$1$. $\angle A = \angle C$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
$2$. $\angle AEB = \angle CBF$ (કારણ કે $AE \parallel BC$ અને $BE$ એ છેદિકા છે,તેથી આ યુગ્મકોણ છે).
તેથી,$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABE \sim \triangle CFB$.

(C) $\triangle ADB$ અને $\triangle ADC$ માં:
$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$)
$\angle BAD = \angle ACD$ (બંને $\angle CAD$ ના કોટિકોણ છે)
$\angle ABD = \angle CAD$ (બંને $\angle BAD$ ના કોટિકોણ છે)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADB \sim \triangle CDA$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$AD^{2} = BD \cdot CD$

(B) આપેલ છે કે,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF}$.
$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF}$ પરથી,આપણને $AB \cdot DF = ED \cdot BC$ મળે,એટલે કે $BC \cdot DE = AB \cdot DF$. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સત્ય છે.
$\frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF}$ પરથી,આપણને $BC \cdot EF = AC \cdot DF$ મળે. એટલે કે $BC \cdot EF = AC \cdot FD$. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ પણ સત્ય છે.
$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF}$ પરથી,આપણને $AB \cdot EF = AC \cdot ED$ મળે,એટલે કે $AB \cdot EF = AC \cdot DE$. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ પણ સત્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ એ સત્ય નથી.

(B) આપેલ છે કે,બે ત્રિકોણ $ABC$ અને $PQR$ માં,$\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{PQ}$ છે.
આ ગુણોત્તર દર્શાવે છે કે $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $\triangle PQR$ ની અનુરૂપ બાજુઓના પ્રમાણમાં છે.
ચોક્કસ રીતે,બાજુ $AB$ ને $QR$ અનુરૂપ છે,$BC$ ને $PR$ અનુરૂપ છે,અને $CA$ ને $PQ$ અનુરૂપ છે.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં હોય,તો તે ત્રિકોણો સમરૂપ છે અને તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
પ્રમાણસરતાના આધારે શિરોબિંદુઓને જોડતા:
$A$ ને $Q$ અનુરૂપ છે,$B$ ને $R$ અનુરૂપ છે,અને $C$ ને $P$ અનુરૂપ છે.
તેથી,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$,અથવા સમાન રીતે,$\triangle CAB \sim \triangle PQR$.

(D) આપેલ છે કે,$\triangle DEF$ અને $\triangle PQR$ માં,$\angle D = \angle Q$ અને $\angle E = \angle R$ છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle DEF \sim \triangle QRP$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$.
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$: $\frac{EF}{PR} = \frac{DF}{PQ}$ એ $\frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$ ને સમાન છે,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $B$: $\frac{EF}{RP} = \frac{DE}{QR}$ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$: $\frac{DE}{QR} = \frac{DF}{PQ}$ એ $\frac{DE}{QR} = \frac{DF}{QP}$ ને સમાન છે,જે સાચું છે.
વિકલ્પ $D$: $\frac{DE}{PQ} = \frac{EF}{RP}$. સમરૂપતાના ગુણોત્તર પરથી,$\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP}$ મળે છે. તેથી,$\frac{DE}{PQ} = \frac{EF}{RP}$ એ હંમેશા સાચું નથી કારણ કે સામાન્ય રીતે $PQ \neq QR$ હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું નથી.

(A) $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ માં,આપણને $\angle B = \angle E$ અને $\angle F = \angle C$ આપેલ છે.
$AA$ (ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરત મુજબ,કારણ કે $\triangle ABC$ ના બે ખૂણાઓ $\triangle DEF$ ના બે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે,તેથી ત્રિકોણો સમરૂપ છે,એટલે કે $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
બે ત્રિકોણો એકરૂપ થવા માટે,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ. અહીં,$AB = 3 DE$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $AB \neq DE$.
કારણ કે અનુરૂપ બાજુઓ સમાન નથી,તેથી ત્રિકોણો એકરૂપ નથી.
તેથી,ત્રિકોણો સમરૂપ છે પણ એકરૂપ નથી.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ અને $\frac{BC}{QR} = \frac{1}{3}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
તેથી,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle PRQ)}{\operatorname{ar}(\triangle BCA)} = \frac{(QR)^2}{(BC)^2} = \left(\frac{QR}{BC}\right)^2.$
અહીં $\frac{BC}{QR} = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$\frac{QR}{BC} = \frac{3}{1} = 3$ થાય.
આમ,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle PRQ)}{\operatorname{ar}(\triangle BCA)} = (3)^2 = 9.$

(D) બે ત્રિકોણો $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ સમરૂપ થવા માટે,તેમની બે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ અને તે બાજુઓ વચ્ચેનો અંતર્ગત ખૂણો સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ મુજબ,$\triangle ABC$ માં બાજુઓ $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\angle B$ છે. તેવી જ રીતે,$\triangle DEF$ માં બાજુઓ $DE$ અને $FD$ વચ્ચેનો ખૂણો $\angle D$ છે.
તેથી,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$ થવા માટે,તેમના અંતર્ગત ખૂણાઓ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\angle B = \angle D$.

(B) ના,તે સત્ય નથી.
આપેલ છે કે $\triangle FED \sim \triangle STU$,તેથી અનુરૂપ શિરોબિંદુઓ $F \leftrightarrow S$,$E \leftrightarrow T$ અને $D \leftrightarrow U$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચો ગુણોત્તર $\frac{FE}{ST} = \frac{ED}{TU} = \frac{FD}{SU}$ થાય.
આપેલ પદ $\frac{DE}{ST} = \frac{EF}{TU}$ સાથે સરખાવતા,તે બાજુઓની અનુરૂપતા સાથે મેળ ખાતું નથી.

(B) ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયની ચકાસણી કરીએ છીએ,જે મુજબ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે બાજુઓ $a = 25 \, cm$,$b = 5 \, cm$ અને $c = 24 \, cm$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $a = 25 \, cm$ છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ ગણો: $a^2 = (25)^2 = 625 \, cm^2$.
બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ગણો: $b^2 + c^2 = (5)^2 + (24)^2 = 25 + 576 = 601 \, cm^2$.
અહીં $a^2 \neq b^2 + c^2$ $(625 \neq 601)$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,$25 \, cm$,$5 \, cm$ અને $24 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે ત્રિકોણ સમરૂપ હોય,તો તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $\triangle DEF \sim \triangle RPQ$,તેથી અનુરૂપતા નીચે મુજબ છે:
$D \leftrightarrow R$
$E \leftrightarrow P$
$F \leftrightarrow Q$
તેથી,સાચા સમાન ખૂણાઓ $\angle D = \angle R$,$\angle E = \angle P$ અને $\angle F = \angle Q$ છે.
અહીં $\angle F = \angle Q$ થાય છે,$\angle P$ નહીં,તેથી $\angle F = \angle P$ વાળું વિધાન ખોટું છે.

(A) હા,$\triangle PBC \sim \triangle PDE$.
$\triangle PBC$ અને $\triangle PDE$ માં:
$\angle BPC = \angle EPD$ [અભિકોણો]
હવે,ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓના ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{PB}{PD} = \frac{5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$ ......$(i)$
$\frac{PC}{PE} = \frac{6 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી:
$\frac{PB}{PD} = \frac{PC}{PE}$
જેহেতু $\triangle PBC$ નો એક ખૂણો $\triangle PDE$ ના એક ખૂણા જેટલો છે અને આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓ પ્રમાણમાં છે,તેથી $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
આમ,$\triangle PBC \sim \triangle PDE$.

(A) હા,બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
ધારો કે પ્રથમ ત્રિકોણની બાજુઓ $a_1, b_1, c_1$ છે અને તેની પરિમિતિ $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ છે.
ધારો કે બીજા ત્રિકોણની બાજુઓ $a_2, b_2, c_2$ છે અને તેની પરિમિતિ $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 = 3a_2$,$b_1 = 3b_2$ અને $P_1 = 3P_2$.
જેহেতু $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ અને $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$,તેથી $3P_2 = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ થાય.
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ મૂકતા,આપણને $3(a_2 + b_2 + c_2) = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $3c_2 = c_1$ મળે છે.
ત્રણેય અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોવાથી $(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 3)$,$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.

(A) હા,બંને ત્રિકોણો સમરૂપ હશે.
ધારો કે બે કાટકોણ ત્રિકોણો $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ છે,જ્યાં $\angle B = \angle Q = 90^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ત્રિકોણનો એક લઘુકોણ બીજા ત્રિકોણના એક લઘુકોણ જેટલો છે,ધારો કે $\angle A = \angle P$.
$\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ માં:
$1$. $\angle B = \angle Q = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle A = \angle P$ (આપેલ છે)
$AA$ (ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાઓને સમાન હોય,તો તે ત્રિકોણો સમરૂપ થાય $(\triangle ABC \sim \triangle PQR)$.
આ $AAA$ સમરૂપતાની શરતનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે,કારણ કે ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મને લીધે ત્રીજા ખૂણાઓ પણ સમાન જ હશે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના અનુરૂપ વેધના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{\text{Altitude}_1}{\text{Altitude}_2} \right)^2$
અહીં વેધનો ગુણોત્તર $\frac{3}{5}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}$
કારણ કે $\frac{9}{25} \neq \frac{6}{5}$,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) હા,તે સત્ય છે.
$\triangle ADE$ અને $\triangle ACB$ માં:
$1$. $\angle A = \angle A$ (બંને ત્રિકોણમાં સામાન્ય ખૂણો).
$2$. $\angle D = \angle C$ (પ્રશ્નમાં આપેલ છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADE \sim \triangle ACB$ થાય.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણનો એક ખૂણો બીજા ત્રિકોણના એક ખૂણાને સમાન હોય અને આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય,તો જ બે ત્રિકોણો સમરૂપ હોય છે.
આપેલ વિધાનમાં,બે બાજુઓ પ્રમાણમાં છે,પરંતુ તે બાજુઓ સમાન ખૂણાનો સમાવેશ કરતી હોવી જરૂરી નથી. તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત સંતોષાતી નથી અને ત્રિકોણો સમરૂપ હોવા જરૂરી નથી.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle PQR$ માં,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ અને $QM \perp PR$.
સાબિત કરવાનું છે: $QM^{2} = PM \times MR$.
સાબિતી: કારણ કે $PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$,તેથી $PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન મુજબ,$\triangle PQR$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
$\triangle QMR$ અને $\triangle PMQ$ માં:
$\angle M = \angle M = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $QM \perp PR$ અને $\angle PQR = 90^{\circ}$ હોવાથી $\angle MQR + \angle MQP = 90^{\circ}$).
$\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ અને $\angle MQR + \angle R = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle MQR = \angle P$ થાય.
તે જ રીતે,$\angle MQP = \angle R$ થાય.
આમ,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle QMR \sim \triangle PMQ$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{QM}{PM} = \frac{MR}{QM}$.
તેથી,$QM^{2} = PM \times MR$. આમ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $PQRS$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $PQ \parallel RS$ અને $PQ = 3 RS$ છે.
$\frac{PQ}{RS} = \frac{3}{1}$ ......$(i)$
$\triangle POQ$ અને $\triangle ROS$ માં:
$\angle SOR = \angle QOP$ [અભિકોણો]
$\angle OSR = \angle OPQ$ [યુગ્મકોણો,કારણ કે $PQ \parallel RS$]
$\therefore \triangle POQ \sim \triangle ROS$ [ખૂ-ખૂ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણધર્મ મુજબ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે:
$\frac{\text{ar}(\triangle POQ)}{\text{ar}(\triangle ROS)} = \left(\frac{PQ}{RS}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{9}{1}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $AC$ અને $PQ$ એકબીજાને બિંદુ $O$ પર છેદે છે અને $AB \parallel DC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
સાબિતી:
$\triangle AOP$ અને $\triangle COQ$ માં:
$1$. $\angle AOP = \angle COQ$ (અભિકોણો).
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle OPA = \angle OQC$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $PQ$ છેદિકા છે).
તેથી,$\triangle AOP \sim \triangle COQ$ ($AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
સમરૂપ ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{OA}{OC} = \frac{AP}{CQ}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{6} = \frac{BC}{9} = \frac{AC}{12}$.
હવે,$BC$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{4}{6} = \frac{BC}{9} \implies BC = \frac{4 \times 9}{6} = 6 \, cm$.
$AC$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{4}{6} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{4 \times 12}{6} = 8 \, cm$.
$\triangle ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC$.
પરિમિતિ $= 4 + 6 + 8 = 18 \, cm$.

(D) આપેલ છે કે,$DE \parallel BC,$ $DE = 6 \, cm$ અને $BC = 12 \, cm.$
$\triangle ABC$ અને $\triangle ADE$ માં,
$\angle ABC = \angle ADE$ [અનુકોણ]
$\angle ACB = \angle AED$ [અનુકોણ]
$\angle A = \angle A$ [સામાન્ય ખૂણો]
તેથી,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ [$AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ].
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(ABC)} = \frac{(DE)^2}{(BC)^2}$
$= \frac{(6)^2}{(12)^2} = \left(\frac{6}{12}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.$
ધારો કે $\operatorname{ar}(ADE) = k,$ તો $\operatorname{ar}(ABC) = 4k.$
હવે,$\operatorname{ar}(DECB) = \operatorname{ar}(ABC) - \operatorname{ar}(ADE) = 4k - k = 3k.$
તેથી,માંગેલ ગુણોત્તર $\operatorname{ar}(ADE) : \operatorname{ar}(DECB) = k : 3k = 1 : 3$ છે.

(N/A) $\Delta ABC$ અને $\Delta AMP$ માં:
$\angle ABC = \angle AMP = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABC \sim \Delta AMP$ થાય.
બે ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta FEG$.
તેથી,$\angle A = \angle F, \angle B = \angle E,$ અને $\angle ACB = \angle FGE$.
કારણ કે $\angle ACB = \angle FGE,$ તેથી તેમના દ્વિભાજકો પણ સમાન થાય.
તેથી,$\angle ACD = \angle FGH$ (ખૂણાનો દ્વિભાજક).
અને,$\angle DCB = \angle HGE$ (ખૂણાનો દ્વિભાજક).
$(i)$ $\Delta DCA$ અને $\Delta HGF$ માં:
$\angle A = \angle F$ (આપેલ છે)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
તેથી,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$.
$(ii)$ $\Delta DCB$ અને $\Delta HGE$ માં:
$\angle DCB = \angle HGE$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$\angle B = \angle E$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta DCB \sim \Delta HGE$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
$(iii)$ $\Delta DCA$ અને $\Delta HGF$ માં:
$\angle A = \angle F$ (આપેલ છે)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
તેથી,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).

(N/A) આપેલ છે: $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ છે.
$AB = AC$ હોવાથી,તેમની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB$.
$E$ એ $CB$ ને લંબાવતા મળતું બિંદુ હોવાથી,$\angle ABC$ અને $\angle ACB$ સમાન છે.
$\Delta ABD$ અને $\Delta ECF$ માં:
$1$. $\angle ADB = \angle EFC = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
$2$. $\angle ABD = \angle ECF$ (કારણ કે $\angle ABC = \angle ACB$ અને $\angle ECF$ એ $\angle ACB$ સાથે સંબંધિત છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta ECF$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$.
$AD$ અને $PM$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ અને $M$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QM = \frac{QR}{2}$.
આ કિંમતો આપેલ ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$.
$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ઉપર સાબિત કર્યું).
તેથી,$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle B = \angle Q$ (સમરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ ખૂણાઓ).
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.

(N/A) $\triangle ADC$ અને $\triangle BAC$ માં:
$\angle ADC = \angle BAC$ (આપેલ છે)
$\angle ACD = \angle BCA$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$\triangle ADC \sim \triangle BAC$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$CA^2 = CB \cdot CD$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
ધારો કે $AD$ અને $PM$ ને અનુક્રમે બિંદુ $E$ અને $L$ સુધી લંબાવીએ,જેથી $AD = DE$ અને $PM = ML$ થાય. ત્યારબાદ,$B$ ને $E$ સાથે,$C$ ને $E$ સાથે,$Q$ ને $L$ સાથે અને $R$ ને $L$ સાથે જોડો.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યગા સામેની બાજુને દુભાગે છે. તેથી,$BD = DC$ અને $QM = MR$.
વળી,$AD = DE$ (રચના મુજબ) અને $PM = ML$ (રચના મુજબ).
ચતુષ્કોણ $ABEC$ માં,વિકર્ણો $AE$ અને $BC$ એકબીજાને બિંદુ $D$ પર દુભાગે છે. તેથી,ચતુષ્કોણ $ABEC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\therefore AC = BE$ અને $AB = EC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે ચતુષ્કોણ $PQLR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $PR = QL, PQ = LR$.
આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$.
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય કે $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ અને $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (આપેલ છે)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (સમીકરણ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).

(C) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $CD$ એ થાંભલાની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $BE$ એ ટાવરનો પડછાયો છે અને $DF$ એ થાંભલાનો પડછાયો છે.
સૂર્યના કિરણો એક જ સમયે સમાન ખૂણે પડતા હોવાથી,વસ્તુઓ અને તેમના પડછાયાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણો સમરૂપ હોય છે.
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABE \sim \triangle CDF$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF}$
આપેલ છે કે $CD = 6\, m$,$DF = 4\, m$,અને $BE = 28\, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{AB}{6} = \frac{28}{4}$
$\frac{AB}{6} = 7$
$AB = 7 \times 6 = 42\, m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $42\, m$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \dots(1)$
વળી,$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \dots(2)$
$AD$ અને $PM$ મધ્યગાઓ હોવાથી,તેઓ સામેની બાજુઓને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QM = \frac{QR}{2} \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC/2}{QR/2} = \frac{BD}{QM} \dots(4)$
$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં,
$\angle B = \angle Q$ [સમીકરણ $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ [સમીકરણ $(4)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$\therefore \Delta ABD \sim \Delta PQM$ ($SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ)
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$

(D) અહીં $XY \parallel AC$ આપેલ છે.
$\angle BXY = \angle A$ અને $\angle BYX = \angle C$ (અનુકોણ).
તેથી,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત).
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરનું પ્રમેય).
$XY$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$.
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$.
તેથી,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.