Geometric progression Questions in Hindi

(C) चूंकि $a, b$ और $c$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ है।
रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में इनका मान रखने पर,$ax + ary + ar^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए),$x + ry + r^2 = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = -ry - r^2$।
$x = -ry - r^2$ को वक्र $x + 2y^2 = 0$ में रखने पर,$-ry - r^2 + 2y^2 = 0$ या $2y^2 - ry - r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है,जहाँ $A = 2, B = -r, C = -r^2$ है।
कोटियों का योग (द्विघात समीकरण के मूलों का योग) $= -\frac{B}{A} = -\frac{-r}{2} = \frac{r}{2}$ है।

(A) दी गई श्रेणी $1 - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \ldots \infty$ है।
इसे $1 - \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \infty$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = \frac{1}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$।

(D) दिया गया है कि $x_1, x_2, x_3$ और $y_1, y_2, y_3$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
माना $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ और $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$ है।
बिंदु $A(a, b), B(ar, br), C(ar^2, br^2)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |a(br - br^2) + ar(br^2 - b) + ar^2(b - br)|$
$= \frac{1}{2} |abr(1 - r) + abr(r^2 - 1) + abr^2(1 - r)|$
$= \frac{1}{2} |abr - abr^2 + abr^3 - abr + abr^2 - abr^3| = 0$.
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।

(C) माना मूल $\alpha = \frac{a}{r}, \beta = a, \gamma = ar$ हैं। चूंकि वे गुणोत्तर श्रेणी में हैं,मूलों का गुणनफल $\frac{a^3}{r} \cdot r = a^3 = \frac{24}{3} = 8$ है।
अतः,$a = 2$।
मूलों का योग $\frac{a}{r} + a + ar = \frac{26}{3}$ है।
$a = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{13}{3}$ मिलता है,जो $\frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$ में सरल हो जाता है।
$3r$ से गुणा करने पर,$3r^2 - 10r + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(3r - 1)(r - 3) = 0$ मिलता है,इसलिए $r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\alpha < \beta < \gamma$ है,इसलिए $r > 1$ होना चाहिए,अतः $r = 3$।
मूल $\alpha = \frac{2}{3}, \beta = 2, \gamma = 6$ हैं।
अंततः,$3\alpha + 2\beta + \gamma = 3(\frac{2}{3}) + 2(2) + 6 = 2 + 4 + 6 = 12$।

(A) माना समीकरण $3x^3-26x^2+52x-24=0$ के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिघात समीकरण $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
अतः,$\frac{a}{r} \times a \times ar = -\frac{(-24)}{3} = 8$.
$a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$.
अब,मूलों का योग $\frac{a}{r} + a + ar = -\frac{(-26)}{3} = \frac{26}{3}$ है।
$a=2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$.
इस समीकरण को हल करने पर $3r^2 - 10r + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$ मिलता है।
अतः,मूल $\frac{2}{3}, 2, 6$ हैं।
दो मूलों का योग $\frac{2}{3}+2 = \frac{8}{3}$ है,जो विकल्प में दिया गया है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं और $\beta^2=\alpha \gamma$,जिसका अर्थ है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं।
अब,समीकरण $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ पर विचार करें। इसे $a(kx)^3+b(kx)^2+c(kx)+d=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $y = kx$ है। तो समीकरण $ay^3+by^2+cy+d=0$ बन जाता है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
इसलिए,$kx = \alpha, kx = \beta, kx = \gamma$,जिससे $x = \frac{\alpha}{k}, x = \frac{\beta}{k}, x = \frac{\gamma}{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $u, v, w$ का मान $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए उनके स्केल किए गए मान $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ भी $G$.$P$. में हैं।
इसलिए,$u, v, w$ $G$.$P$. में हैं,जिसका अर्थ है $v^2=uw$।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3-14x^2+56x-64=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार, मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma=14$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=56$
$\alpha\beta\gamma=64$
छोटी पूर्णांक मानों की जाँच करने पर, हम पाते हैं कि $x=2$ एक मूल है:
$2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$ है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$(x-2)(x^2-12x+32)=0$
$(x-2)(x-4)(x-8)=0$
मूल $\alpha=2, \beta=4, \gamma=8$ हैं।
चूँकि $\frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2$ है, इसलिए मूल गुणोत्तर श्रेढ़ी $(GP)$ में हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
मूलों की जाँच करने पर,$x=2$ पर: $2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$.
अतः,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2-12x+32=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-4)(x-8)=0$.
मूल $2, 4, 8$ हैं।
चूँकि $\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{8}{4} = 2$,सार्व अनुपात $2$ है।
इसलिए,मूल $GP$ में हैं।

(A) माना समीकरण $8 x^3+6 p x^2+3 q x-27=0$ के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\frac{a}{r}+a+ar = -\frac{6p}{8} = -\frac{3p}{4} \Rightarrow a(\frac{1}{r}+1+r) = -\frac{3p}{4} \dots (i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(\frac{a}{r} \cdot a) + (a \cdot ar) + (\frac{a}{r} \cdot ar) = \frac{3q}{8}$ $\Rightarrow a^2(\frac{1}{r}+r+1) = \frac{3q}{8} \dots (ii)$
मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -(\frac{-27}{8}) = \frac{27}{8}$ $\Rightarrow a^3 = \frac{27}{8}$ $\Rightarrow a = \frac{3}{2} \dots (iii)$
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{a^2(\frac{1}{r}+r+1)}{a(\frac{1}{r}+r+1)} = \frac{3q/8}{-3p/4}$ $\Rightarrow a = \frac{3q}{8} \cdot (-\frac{4}{3p}) = -\frac{q}{2p} \dots (iv)$
(iii) और (iv) की तुलना करने पर: $\frac{3}{2} = -\frac{q}{2p} \Rightarrow q = -3p$.
अब,$q = -3p$ को व्यंजक $q^2+9p^2+6pq+\frac{q}{p}$ में रखने पर:
$(-3p)^2 + 9p^2 + 6p(-3p) + \frac{-3p}{p} = 9p^2 + 9p^2 - 18p^2 - 3 = 18p^2 - 18p^2 - 3 = -3$.

(C) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos x$ है।
योग के अस्तित्व के लिए,$|\cos x| < 1$ होना चाहिए।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{1}{1-\cos x} = 4+2 \sqrt{3}$।
$1-\cos x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसलिए,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\cos x = \cos \frac{\pi}{6}$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6} = (12n \pm 1) \frac{\pi}{6}$ है।

(B) मान लीजिए $S_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए हैं। हमें दिया गया है $S_i = 2^{n-i}$।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $1$ से $n$ तक के सभी $i$ के लिए कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर देने वाले छात्रों की संख्या का योग है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $= \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} 2^{n-i}$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^0$।
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए, $\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$।
यह दिया गया है कि गलत उत्तरों की कुल संख्या $2047$ है, इसलिए $2^n - 1 = 2047$।
$2^n = 2048$।
चूँकि $2048 = 2^{11}$, हमें $n = 11$ प्राप्त होता है।

(B) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, ar, ar^2$ हैं, जहाँ $ar^2$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $(ar^2)^2 = a^2 + (ar)^2$.
$a^2$ से विभाजित करने पर, $r^4 = 1 + r^2$, जिसका अर्थ है $r^4 - r^2 - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $r^2$ के लिए हल करने पर, $r^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (चूंकि $r^2 > 0$ है)।
अतः, $r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
त्रिभुज में, $\tan \alpha = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{ar}{a} = r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
इसी प्रकार, $\tan \beta = \frac{a}{ar} = \frac{1}{r} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.
अतः, मान $\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ और $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ हैं।

(B) कण चरणों की एक श्रृंखला में चलता है। $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक इस प्रकार बदलते हैं:
$x$-निर्देशांक: $1, 1, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}, \dots$
यह क्षैतिज गति के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है: $x_{\infty} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$y$-निर्देशांक: $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \dots$
यह लंबवत गति के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है: $y_{\infty} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \dots = \frac{1/2}{1 - (-1/4)} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$.
अतः, $(\alpha, \beta) = (\frac{4}{3}, \frac{2}{5})$.

(B) माना $a_{n}$ एक $GP$ का सामान्य पद है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
प्रश्न के अनुसार, प्रत्येक पद अगले दो पदों के योग के बराबर है:
$a_{n} = a_{n+1} + a_{n+2}$
$a r^{n-1} = a r^{n} + a r^{n+1}$
चूँकि पद धनात्मक हैं, $a \neq 0$ और $r > 0$ है। $a r^{n-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = r + r^{2}$
$r^{2} + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि $GP$ में केवल धनात्मक पद हैं, इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः, $r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(C) $GP$ के छह पदों को $\frac{a}{r^5}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3, ar^5$ मानिए।
इन पदों का गुणनफल $1000$ दिया गया है:
$\frac{a}{r^5} \cdot \frac{a}{r^3} \cdot \frac{a}{r} \cdot ar \cdot ar^3 \cdot ar^5 = 1000$
$a^6 = 1000 = 10^3$
$a^2 = (10^3)^{1/3} = 10$.
चौथा पद $1$ दिया गया है:
$ar = 1 \Rightarrow a^2r^2 = 1$.
$a^2 = 10$ रखने पर:
$10r^2 = 1 \Rightarrow r^2 = \frac{1}{10}$.
अंतिम पद $ar^5 = \sqrt{a^2(r^2)^5} = \sqrt{10 \cdot (\frac{1}{10})^5} = \sqrt{\frac{1}{10^4}} = \frac{1}{100}$.

(C) मान लीजिए $a$ पहला पद है और $r$ $GP$ का सार्व अनुपात है। $P$ वां, $Q$ वां और $R$ वां पद क्रमशः $ar^{P-1}$, $ar^{Q-1}$ और $ar^{R-1}$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$ar^{P-1} = 64$ $(i)$
$ar^{Q-1} = 27$ (ii)
$ar^{R-1} = 36$ (iii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$r^{P-Q} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$ (iv)
(ii) को (iii) से विभाजित करने पर:
$r^{Q-R} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
$3$ की घात लेने पर:
$r^{3(Q-R)} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3}$ $(v)$
(iv) और $(v)$ का गुणा करने पर:
$r^{P-Q} \times r^{3Q-3R} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-3} = 1$
$r^{P+2Q-3R} = r^0$
अतः, $P+2Q-3R = 0$, जिसका अर्थ है $P+2Q = 3R$.

(D) अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ है, जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दिया गया है $S = \frac{4}{5}$ और $a = \frac{3}{4}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{4}{5} = \frac{\frac{3}{4}}{1-r}$.
दोनों पक्षों को $(1-r)$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{4}{5}(1-r) = \frac{3}{4}$.
$1-r = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$.
$r = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.

(B) माना दी गई व्यंजक $S = \frac{6}{3^{26}} + \sum_{k=0}^{24} \frac{10 \cdot 2^k}{3^{25-k}}$ है।
इसे $S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \sum_{k=0}^{24} (6)^k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \left[ \frac{6^{25} - 1}{5} \right] = \frac{6}{3^{26}} + \frac{2}{3^{25}} (6^{25} - 1)$.
$S = \frac{6}{3^{26}} + 2 \cdot 2^{25} - \frac{2}{3^{25}} = \frac{2}{3^{25}} + 2^{26} - \frac{2}{3^{25}} = 2^{26}$.

(B) माना $G.P.$ के पहले तीन पद $\frac{A}{r}, A, Ar$ हैं।
उनका गुणनफल $27$ दिया गया है:
$\frac{A}{r} \cdot A \cdot Ar = 27 \implies A^3 = 27 \implies A = 3$.
पहले तीन पदों का योग $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3 \left( r + \frac{1}{r} + 1 \right)$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $r \neq 0$ के लिए, $r + \frac{1}{r} \geq 2$ या $r + \frac{1}{r} \leq -2$ होता है।
यदि $r + \frac{1}{r} \geq 2$ है, तो $S \geq 3(2 + 1) = 9$।
यदि $r + \frac{1}{r} \leq -2$ है, तो $S \leq 3(-2 + 1) = -3$।
अतः, $S$ के संभावित मानों का समुच्चय $(-\infty, -3] \cup [9, \infty)$ है, जो $\mathbb{R} - (-3, 9)$ है।
इसकी तुलना $\mathbb{R} - (a, b)$ से करने पर, हमें $a = -3$ और $b = 9$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $a^2 + b^2 = (-3)^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90$।

(A) यह अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 729 = 3^6$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ है।
$P_n$ प्रथम $n$ पदों का गुणनफल है: $P_n = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} = 3^{6n} \cdot 3^{-n(n-1)} = 3^{7n - n^2}$.
अतः, $(P_n)^{\frac{1}{n}} = 3^{7-n}$.
हमें $2 \sum_{n=1}^{40} 3^{7-n}$ का मान ज्ञात करना है।
यह $40$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद $A = 3^6$ और सार्व अनुपात $R = \frac{1}{3}$ है।
योग $= 2 \cdot 3^6 \left( \frac{1 - (1/3)^{40}}{1 - 1/3} \right) = \frac{3^{40}-1}{3^{33}}$.
तुलना करने पर, $\alpha = 40$ और $\beta = 33$ प्राप्त होता है।
अतः, $\alpha + \beta = 40 + 33 = 73$.

(A) दी गई श्रेणी का सार्व अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः, $\frac{a_2/2}{a_1} = \frac{a_3/2^2}{a_2/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसका अर्थ है $\frac{a_2}{2a_1} = \frac{a_3}{2a_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{2}$.
अतः, $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_1$ और सार्व अनुपात $R = \sqrt{2}$ है।
प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = a_1 \frac{R^{10}-1}{R-1} = 62$.
$a_1 \frac{(\sqrt{2})^{10}-1}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 \frac{31}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 = 2(\sqrt{2}-1)$.

(B) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है। दिया गया है $a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 64$, अतः $(ar)(ar^2)(ar^3) = 64$, जिसका अर्थ है $a^3 r^6 = 64$, यानी $ar^2 = 4$।
दिया गया है $a_1 + a_3 + a_5 = \frac{813}{7}$, अतः $a + ar^2 + ar^4 = \frac{813}{7}$।
$a = \frac{4}{r^2}$ रखने पर, हमें $\frac{4}{r^2} + 4 + 4r^2 = \frac{813}{7}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x = r^2$। तो $\frac{4}{x} + 4 + 4x = \frac{813}{7} \Rightarrow 28x^2 - 785x + 28 = 0$।
चूंकि पद बढ़ रहे हैं, $r > 1$, इसलिए $x = r^2 = 28$।
हमें $a_3 + a_5 + a_7 = ar^2 + ar^4 + ar^6 = ar^2(1 + r^2 + r^4) = 4(1 + 28 + 28^2) = 4(813) = 3252$ प्राप्त होता है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का गुणनफल $P = c/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $P = \frac{n^2 - 2n + 2}{n^2 - 2n + 2} = 1$ है। चूँकि गुणनफल स्थिर है, इसका न्यूनतम मान $\alpha = 1$ है।
मूलों का योग $S = -b/a = \frac{3}{n^2 - 2n + 2}$ द्वारा दिया जाता है।
$S$ को अधिकतम करने के लिए, हमें हर $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$ को न्यूनतम करना होगा।
हर का न्यूनतम मान $1$ ($n=1$ पर) है, इसलिए योग का अधिकतम मान $\beta = 3/1 = 3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के लिए, पहला पद $a = \alpha = 1$ और सार्व अनुपात $r = \alpha/\beta = 1/3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ होता है।
$n=6$ के लिए, $S_6 = \frac{1(1-(1/3)^6)}{1-1/3} = \frac{1 - 1/729}{2/3} = \frac{728/729}{2/3} = \frac{728}{729} \times \frac{3}{2} = \frac{364}{243}$.

(NONE) $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ का न्यूनतम मान $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: $f(\theta) \ge 2\sqrt{\alpha \tan^2 \theta \cdot \beta \cot^2 \theta} = 2\sqrt{\alpha\beta}$.
चूँकि $\alpha > \beta > 0$, $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ का अधिकतम मान $\alpha$ है।
दिया गया है कि $\min f(\theta) = \max g(\theta)$, इसलिए $2\sqrt{\alpha\beta} = \alpha$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $4\alpha\beta = \alpha^2$, जिसका अर्थ है $\alpha = 4\beta$ (चूँकि $\alpha \neq 0$)।
प्रथम पद $a = \frac{\alpha}{2\beta} = \frac{4\beta}{2\beta} = 2$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{2\beta}{\alpha} = \frac{2\beta}{4\beta} = \frac{1}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = a \frac{1-r^{10}}{1-r} = 2 \frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2} = 4(1 - \frac{1}{1024}) = 4 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{256}$ है।
अतः, $m = 1023$ और $n = 256$ है। चूँकि $\gcd(1023, 256) = 1$, इसलिए $m+n = 1023 + 256 = 1279$ है।

(B) माना अनुक्रम $\sqrt{2}, g_1, g_2, 4$ है।
यहाँ, प्रथम पद $a = \sqrt{2}$ और चौथा पद $ar^3 = 4$ है।
$r^3 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{1/2}} = 2^{2 - 1/2} = 2^{3/2}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $r = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
अतः, रखी गई संख्याएँ हैं:
$g_1 = a \cdot r = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$।
$g_2 = a \cdot r^2 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$।