Free Fall and Acceleration due to Gravity Questions in Gujarati

(N/A) ઉપરની ગતિ માટે:
$u = u, v = 0$
ધારો કે $t_{1}$ એ ઉપર જવાનો સમય છે. ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = u - gt_{1}$
$t_{1} = u/g$
નીચેની ગતિ (ઉતરાણ) માટે:
પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$. ધારો કે $t_{2}$ એ નીચે આવવાનો સમય છે. $s = ut + (1/2)at^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $s = h$:
$h = 0 + (1/2)gt_{2}^{2} \implies t_{2} = \sqrt{2h/g}$
કારણ કે $h = u^{2}/(2g)$,આ કિંમત મૂકતા $t_{2} = \sqrt{2(u^{2}/2g)/g} = u/g$ મળે છે.
આમ,$t_{1} = t_{2}$,જે સાબિત કરે છે કે ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાનો સમય સમાન છે.

(A) ધારો કે પથ્થર $A$ એ $h = 100 \, m$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટાવરની ટોચ પરથી નીચે પડે છે. તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$ અને પ્રવેગ $a_1 = +g = 10 \, m s^{-2}$ છે.
બીજો પથ્થર $B$ જમીન પરથી $u_2 = 25 \, m s^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે અને તેનો પ્રવેગ $a_2 = -g = -10 \, m s^{-2}$ છે.
ધારો કે બંને પથ્થરો $t$ સમય પછી ટાવરની ટોચથી $y$ અંતરે નીચે બિંદુ $C$ પર મળે છે. પથ્થર $A$ માટે:
$y = u_1 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ ... $(1)$
પથ્થર $B$ માટે,જમીનથી કાપેલું અંતર $(100 - y)$ છે:
$100 - y = u_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = 25t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 25t - 5t^2$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$y + (100 - y) = 5t^2 + 25t - 5t^2$
$100 = 25t$
$t = 4 \, s$
સમીકરણ $(1)$ માં $t = 4 \, s$ મૂકતા:
$y = 5 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \, m$.
આમ,બંને પથ્થરો $4 \, s$ પછી ટાવરની ટોચથી $80 \, m$ અંતરે (અથવા જમીનથી $20 \, m$ અંતરે) મળશે.

(B) $100 \, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર $A$ માટે:
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v_A^2 = 2 \times 10 \times 100 = 2000$
$v_A = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, m s^{-1}$.
$50 \, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર $B$ માટે:
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v_B^2 = 2 \times 10 \times 50 = 1000$
$v_B = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, m s^{-1}$.
આમ,$v_A \neq v_B$ હોવાથી,જમીન પર પહોંચતી વખતે બંને પથ્થરોનો વેગ સમાન હશે નહીં. પથ્થર $A$ નો વેગ વધારે હશે.

(N/A) ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$m_1$ અને $m_2$ એ બે પદાર્થોના દળ છે,અને $r$ એ તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પદાર્થની દ્રવ્યમાનથી સ્વતંત્ર છે તે દર્શાવવા માટે,પૃથ્વી (દળ $M$,ત્રિજ્યા $R$) તરફ પડતા $m$ દળના પદાર્થને ધ્યાનમાં લો.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M m}{R^2}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$. અહીં,$a = g$ હોવાથી,$F = m \times g$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m \times g = \frac{G M m}{R^2}$.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $g = \frac{G M}{R^2}$ મળે છે.
આમ,$g$ માત્ર પૃથ્વીના દળ $(M)$,ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પડતા પદાર્થના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) ગુરુત્વીય પ્રવેગ $(g)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$ વચ્ચેના ત્રણ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પૃથ્વીની સપાટી પર $g$ નું મૂલ્ય $9.8 \, m/s^2$ છે,જ્યારે $G$ નું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ છે.
$(ii)$ $g$ નું મૂલ્ય સ્થળ પ્રમાણે બદલાય છે,જ્યારે $G$ નું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં અચળ રહે છે.
$(iii)$ $g$ એ સદિશ રાશિ છે,જ્યારે $G$ એ અદિશ રાશિ છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થને માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરવા દેવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ. ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
ગ્રહનું દળ $(M_P)$ = $\frac{M_E}{2}$
ગ્રહની ત્રિજ્યા $(R_P)$ = $\frac{R_E}{2}$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_E)$ = $9.8 \, m/s^2$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{GM_P / R_P^2}{GM_E / R_E^2} = \frac{M_P}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_P})^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{M_E / 2}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_E / 2})^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
તેથી,$g_P = 2 \times g_E = 2 \times 9.8 \, m/s^2 = 19.6 \, m/s^2$.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે. પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી અને તેની ત્રિજ્યા ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત તરફ બદલાતી રહે છે,તેથી $g$ નું મૂલ્ય દરેક જગ્યાએ અચળ રહેતું નથી. આ ઉપરાંત,$g$ ઊંચાઈ અને ઊંડાઈ સાથે પણ બદલાય છે.
$(b)$ મુક્ત પતન કરતી વસ્તુ પર લાગતો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે $g$ એ પડતી વસ્તુના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી,પરંતુ માત્ર ગ્રહના દળ $(M)$ અને તેના કેન્દ્રથી અંતર $(R)$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,તમામ વસ્તુઓ તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે અને શૂન્યાવકાશમાં નિશ્ચિત ઊંચાઈએથી પડવા માટે સમાન સમય લે છે.
$(c)$ '$G$' ને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ સમાન રહે છે અને તે માધ્યમ અથવા સામેલ પદાર્થોના સ્વભાવથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) મુક્ત પતન એટલે પદાર્થનું માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ અચળ પ્રવેગથી નીચે પડવું.
$(b)$ મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થની ગતિની દિશા બદલાતી નથી (તે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ હોય છે).
$(c)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,ઊંચાઈ $h = 19.6 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
$(i)$ ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$19.6 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \, s$.
$(ii)$ વેગ શોધવા માટે $v = u + gt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 9.8 \times 2$
$v = 19.6 \, m/s$.
$(iii)$ પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ અચળ રહે છે અને તે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $1 \, s$ પછી પણ પ્રવેગ $9.8 \, m/s^2$ જ રહેશે.

(A) આપેલ છે:
પદાર્થની ઊંચાઈ,$h = 10 \, m$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ,$v = 0 \, m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$a = -g = -9.8 \, m/s^2$
$(i)$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2ah$:
$0^2 - u^2 = 2 \times (-9.8) \times 10$
$-u^2 = -196$
$u^2 = 196$
$u = 14 \, m/s$
આમ,પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $14 \, m/s$ છે.
$(ii)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$0 = 14 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 14$
$t = 14 / 9.8 \approx 1.43 \, s$
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય આશરે $1.43 \, s$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{e} = \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M_{p} = \frac{M_{e}}{2}$ અને ત્રિજ્યા $R_{p} = \frac{R_{e}}{2}$ છે.
આ કિંમતોને ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણના સૂત્ર $g_{p} = \frac{GM_{p}}{R_{p}^{2}}$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g_{p} = \frac{G(M_{e}/2)}{(R_{e}/2)^{2}} = \frac{GM_{e}/2}{R_{e}^{2}/4} = \frac{GM_{e}}{2} \times \frac{4}{R_{e}^{2}} = 2 \times \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$.
કારણ કે $\frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}} = g_{e}$,તેથી $g_{p} = 2g_{e}$ થાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વપ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ ને કારણે અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે.
પતન દરમિયાન પ્રવેગ અચળ રહેતો હોવાથી,પદાર્થનો વેગ સમાન સમયગાળામાં સમાન પ્રમાણમાં વધે છે.
તેથી,આ ગતિનો પ્રકાર એક પરિમાણમાં અચળ પ્રવેગી ગતિ છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $g \propto M$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ એ ગ્રહના દળના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(A) ઊંચાઈ વધવાની સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ઘટે છે,કારણ કે નાની ઊંચાઈઓ માટે $g' = g(1 - 2h/R_e)$ થાય છે.
$(b)$ ઊંડાઈ વધવાની સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ઘટે છે,કારણ કે $g' = g(1 - d/R_e)$ થાય છે.
$(c)$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે,કારણ કે $g = GM/R^2$ છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.

(B) ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતો પ્રવેગ $(g)$ પૃથ્વીની સપાટી કરતા આશરે $1/6$ ગણો હોય છે.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘણું ઓછું હોવાથી,સમાન સ્નાયુબદ્ધ પ્રયત્ન કરવા છતાં વ્યક્તિ પૃથ્વીની સરખામણીમાં ચંદ્ર પર $6$ ગણો વધુ ઊંચો કૂદકો મારી શકે છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,પદાર્થનું દળ $(m)$ શોધો. આપેલ વજન $W = mg = 63 \, N$. $g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$m = 63 / 10 = 6.3 \, kg$.
$2$. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $(r)$,જ્યારે ઊંચાઈ $h = R/2$ હોય,ત્યારે $r = R + h = R + R/2 = 1.5R$ થાય.
$3$. આપેલ $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ હોવાથી,$r = 1.5 \times 6.4 \times 10^6 = 9.6 \times 10^6 \, m$.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.3}{(9.6 \times 10^6)^2}$.
$6$. $F = \frac{252.186 \times 10^{13}}{92.16 \times 10^{12}} = \frac{2521.86}{92.16} \approx 27.35 \, N$.

ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માટેનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^{2}}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ અવકાશી પદાર્થનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
દળ $(M)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $M = \frac{g R^{2}}{G}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$g = 1.67 \, m s^{-2}$
$R = 1.74 \times 10^{6} \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{1.67 \times (1.74 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{1.67 \times 3.0276 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M \approx 0.758 \times 10^{23} \, kg = 7.58 \times 10^{22} \, kg$.
આમ,ચંદ્રનું દળ આશરે $7.58 \times 10^{22} \, kg$ છે.

(N/A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m/s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$(a)$ ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4.9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$4.9 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 \, s$.
તેથી,$4.9 \, m$ પડવા માટે $1 \, s$ સમય લાગે છે.
$(b)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 4.9$
$v^2 = 96.04$
$v = 9.8 \, m/s$.
તેથી,$4.9 \, m$ ના અંતે પથ્થરની ઝડપ $9.8 \, m/s$ હશે.
$(c)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 7.9$
$v^2 = 154.84$
$v = \sqrt{154.84} \approx 12.44 \, m/s$.
તેથી,$7.9 \, m$ ના અંતે પથ્થરની ઝડપ $12.44 \, m/s$ હશે.
$(d)$ મુક્ત પતન દરમિયાન,ગુરુત્વપ્રવેગ અચળ રહે છે.
$1 \, s$ પછી પ્રવેગ = $9.8 \, m/s^2$.
$2 \, s$ પછી પ્રવેગ = $9.8 \, m/s^2$.

(12.1 M/S) પ્રથમ પથ્થર માટે,આપેલ છે:
$u = 0\, m\, s^{-1}, h = 49\, m, g = 9.8\, m\, s^{-2}$
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$49 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{98}{9.8} = 10$
$t = \sqrt{10} \approx 3.16\, s$
આમ,પ્રથમ પથ્થરને જમીન પર પહોંચતા $3.16\, s$ લાગે છે.
બીજા પથ્થર માટે,તે $1\, s$ મોડો ફેંકવામાં આવે છે પરંતુ તે જમીન પર એકસાથે પહોંચે છે. તેથી,બીજા પથ્થર દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_2 = 3.16 - 1 = 2.16\, s$ છે.
બીજા પથ્થર માટે $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$49 = u \times 2.16 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.16)^2$
$49 = 2.16u + 4.9 \times 4.6656$
$49 = 2.16u + 22.86$
$2.16u = 49 - 22.86 = 26.14$
$u = \frac{26.14}{2.16} \approx 12.10\, m\, s^{-1}$
આમ,બીજો પથ્થર $12.1\, m\, s^{-1}$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવ્યો હતો.

(19.42 M) ધારો કે બારીની ઉપરની ધાર અને છાપરા વચ્ચેનું અંતર $S$ છે. બારી પસાર કરતી વખતે,એટલે કે $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ માટે:
ધારો કે $B$ બિંદુએ વેગ $u \, m/s$ છે.
કાપેલું અંતર,$S = 2 \, m$.
લાગતો સમય,$t = 0.1 \, s$.
પ્રવેગ,$a = g = 9.8 \, m/s^2$.
સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = u(0.1) + \frac{1}{2}(9.8)(0.1)^2$
$2 = 0.1u + 0.049$
$0.1u = 1.951$
$u = 19.51 \, m/s$.
આમ,બારીની ઉપરની ધાર પર પથ્થરનો વેગ $19.51 \, m/s$ છે.
હવે,છાપરાથી બારીની ઉપરની ધાર સુધીના મુક્ત પતન માટે,એટલે કે $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u_i = 0 \, m/s$.
અંતિમ વેગ $v = 19.51 \, m/s$.
કાપેલું અંતર $S = ?$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
સમીકરણ $v^2 - u_i^2 = 2gS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(19.51)^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times S$
$S = \frac{(19.51)^2}{19.6} \approx 19.42 \, m$.

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે:
શરૂઆતનો વેગ $= u \text{ m/s}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $= v = 0 \text{ m/s}$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$ (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે):
$0 = u - gt \implies t = u/g$ (મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય).
પાછા ફરતી વખતે,દડો મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u_{return} = 0)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે $(a = +g)$:
સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = 0^2 + 2gH$,જ્યાં $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
ઉપરની ગતિ પરથી,$H = u^2 / (2g)$.
પાછા ફરતી ગતિના સમીકરણમાં $H$ ની કિંમત મૂકતા: $v^2 = 2g(u^2 / 2g) = u^2$.
તેથી,$v = u$.
આમ,દડો જે વેગ $u$ થી ફેંકવામાં આવ્યો હતો તે જ વેગ સાથે પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર પાછો ફરે છે.

(78.4 M) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m \, s^{-1}$,સમય $t = 4 \, s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$.
મુક્ત પતન માટે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરતા:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
કિંમતો મૂકતા:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 0.5 \times 9.8 \times 16$
$h = 4.9 \times 16$
$h = 78.4 \, m$
આમ,ઇમારતની ઊંચાઈ $78.4 \, m$ છે.

(N/A) આપેલ છે: કુલ સમય $T = 6 \, s$,મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
ચડવાનો સમય અને ઉતરવાનો સમય સમાન હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = T / 2 = 6 / 2 = 3 \, s$ છે.
$(a)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 29.4 \, m s^{-1}$.
આમ,શરૂઆતનો વેગ $29.4 \, m s^{-1}$ છે.
$(b)$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (29.4)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-864.36 = -19.6 \times h$
$h = 864.36 / 19.6 = 44.1 \, m$.
આમ,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $44.1 \, m$ છે.

(N/A) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 20\, m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m s^{-2}$.
ગતિના બીજા સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = h$ અને $a = g$ છે:
$20 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$.
આમ,તેને જમીન પર પહોંચતા $2\, s$ જેટલો સમય લાગશે.
$(b)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 10 \times 2$
$v = 20\, m s^{-1}$.
આમ,જમીન સાથે અથડાતી વખતે તેની ઝડપ $20\, m s^{-1}$ હશે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ એ સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પર સહેજ ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,ત્રિજ્યા $R$ ધ્રુવો પર સૌથી ઓછી અને વિષુવવૃત્ત પર સૌથી વધુ હોય છે.
જેમ કે $g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(g \propto \frac{1}{R^2})$,તેથી $g$ નું મૂલ્ય ત્યાં મહત્તમ હોય છે જ્યાં ત્રિજ્યા $R$ ન્યૂનતમ હોય.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવો પર ન્યૂનતમ હોય છે (એન્ટાર્કટિકા દક્ષિણ ધ્રુવની નજીક આવેલું છે).
તેથી,એન્ટાર્કટિકામાં કેમ્પ સાઇટ પર $g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.

(B) જ્યારે કોઈ દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વેગ ઉપરની દિશામાં હોય છે.
જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતો પ્રવેગ $(g)$ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
દડાની ગતિ ઉપરની તરફ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ નીચેની તરફ હોવાથી,પ્રવેગ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તેના ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ હોય છે,ત્યારે તેનો શિરોલંબ વેગ $0 \ m/s$ થઈ જાય છે,પરંતુ તેની પાસે હજુ પણ સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક હોય છે.
જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ $(g)$ સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન પદાર્થ પર સતત કાર્યરત રહે છે.
આ પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં હોય છે.
તેથી,તેના પથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ પણ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $g$ જેટલો અચળ નીચેની તરફનો પ્રવેગ અનુભવે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g_h = g(1 - 2h/R)$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ $g_h$ ઘટે છે.
તે જ રીતે,પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - d/R)$ છે. જેમ $d$ વધે છે,તેમ $g_d$ ઘટે છે.
તેથી,વૈજ્ઞાનિક $A$ (ખાણમાં ઊંડે જનાર) અને વૈજ્ઞાનિક $B$ (ફુગ્ગામાં ઊંચે જનાર) બંને માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે માપવામાં આવતો પ્રવેગ ઘટતો જાય છે.

(B) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગ '$g$' નું અસરકારક મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $g' = g - R\omega^2$,જ્યાં '$g$' એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે (અથવા જો પૃથ્વી સ્થિર હોય તો),'$R$' એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,અને '$\omega$' એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણની કોણીય ઝડપ છે.
જો પૃથ્વી ફરવાનું બંધ કરી દે,તો કોણીય ઝડપ '$\omega$' શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $g' = g - R(0)^2 = g$.
અગાઉનું મૂલ્ય $g' = g - R\omega^2$ હતું (જે '$g$' કરતા ઓછું છે),તેથી નવું મૂલ્ય '$g$' એ વિષુવવૃત્ત પરના મૂળ મૂલ્ય '$g'$ કરતા વધારે છે.
આથી,વિષુવવૃત્ત પર '$g$' નું મૂલ્ય વધશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગને પ્રમાણિત મૂલ્ય $g$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પર કોઈ પદાર્થ દ્વારા અનુભવાતા ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગને $g$ સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $9.8 \ m/s^2$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં,પડતી વસ્તુની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે કોઈ હવા અવરોધ હોતો નથી.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,અને પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = mg$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$ma = mg$,જેનું સાદું રૂપ $a = g$ થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ એ અચળ મૂલ્ય છે (પૃથ્વીની સપાટીની નજીક આશરે $9.8 \ m/s^2$) અને તે પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી,તેથી શૂન્યાવકાશમાં મુક્ત રીતે પડતી તમામ વસ્તુઓ સમાન પ્રવેગ અનુભવે છે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g' = \frac{GM}{r^2}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,અંતર $r = R$ (જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે),તેથી $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8\, m s^{-2}$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે અવકાશયાન પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = 2R$ અંતરે છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $g' = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $g' = \frac{g}{4}$ લખી શકાય.
$g = 9.8\, m s^{-2}$ ની કિંમત મૂકતા,$g' = \frac{9.8}{4} = 2.45\, m s^{-2}$ મળે છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી માટે,$g_e = \frac{GM_e}{R_e^2} = 9.8 \, m s^{-2}$ છે.
નવા ગ્રહ માટે,દળ $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને ત્રિજ્યા $R_p = \frac{R_e}{2}$ છે.
આ કિંમતોને નવા ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ $g_p$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g_p = \frac{G(M_e/2)}{(R_e/2)^2} = \frac{G M_e / 2}{R_e^2 / 4} = 2 \times \frac{GM_e}{R_e^2}$.
કારણ કે $\frac{GM_e}{R_e^2} = g_e$ છે,તેથી $g_p = 2 \times g_e$ મળે.
$g_p = 2 \times 9.8 \, m s^{-2} = 19.6 \, m s^{-2}$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m s^{-1}$ (કારણ કે પથ્થરને મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે છે).
કાપેલું અંતર $s = 100 \, m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 100$.
$v^2 = 1960$.
$v = \sqrt{1960} \approx 44.27 \, m s^{-1}$.
આમ,પથ્થરની ઝડપ આશરે $44.2 \, m s^{-1}$ હશે.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $0\, m/s$ (કારણ કે પથ્થરને મુક્ત કરવામાં આવે છે).
સમય $(t)$ = $4\, s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8\, m/s^2$.
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$
કિંમતો મૂકતા:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 4.9 \times 16$
$h = 78.4\, m$
તેથી,ઊંચાઈ $78.4\, m$ છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + (1/2)gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,કુલ ઊંચાઈ $H = 100 \, m$ અને સમય $T$ માટે:
$100 = 0 \cdot T + (1/2)gT^2 \implies 100 = (1/2)gT^2 \implies T^2 = 200/g$.
હવે,ધારો કે $t = T/2$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h$ છે:
$h = (1/2)g(T/2)^2 = (1/2)g(T^2/4) = (1/8)gT^2$.
સમીકરણમાં $gT^2 = 200$ મૂકતા:
$h = (1/8) \cdot 200 = 25 \, m$.
$h$ એ ટોચથી કાપેલું અંતર હોવાથી,બોટલ ટોચથી $25 \, m$ ના અંતરે હશે.

(A) ધારો કે બે પદાર્થો $A$ અને $B$ છે. પદાર્થ $A$ એ પદાર્થ $B$ ની ઉપર $1 \, m$ અંતરે છે.
બંને પદાર્થોને એકસાથે મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ અને પ્રવેગ $a = g = 9.8 \, m/s^2$ બંને માટે સમાન છે.
સમય $t$ પર પદાર્થ $A$ નું સ્થાન $y_A = y_{A,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર પદાર્થ $B$ નું સ્થાન $y_B = y_{B,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર પદાર્થો વચ્ચેનું સાપેક્ષ અંતર $|y_A - y_B| = |(y_{A,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2) - (y_{B,0} + ut + \frac{1}{2}gt^2)|$ દ્વારા મળે છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $|y_A - y_B| = |y_{A,0} - y_{B,0}|$ મળે છે.
કારણ કે પ્રારંભિક ઊભું અંતર $|y_{A,0} - y_{B,0}|$ એ $1 \, m$ છે,તેથી સાપેક્ષ અંતર $1 \, m$ અચળ રહેશે,કારણ કે બંને પદાર્થો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન પ્રવેગ અનુભવે છે.

(TRUE) ખરું. જ્યારે કોઈ પદાર્થને પકડી રાખતું સ્પ્રિંગ બેલેન્સ મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન (free fall) કરે છે. મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ અને પદાર્થ બંને સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ અનુભવે છે. પરિણામે,પદાર્થ દ્વારા સ્પ્રિંગ પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું નથી,જેના કારણે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન શૂન્ય વજન દર્શાવે છે.

(TRUE) સાચું.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ અચળ પ્રવેગ $(g)$ અનુભવે છે,જે આશરે $9.8 \ m/s^2$ છે.
જ્યારે પદાર્થ નીચે પડે છે,ત્યારે પણ તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન નીચેની તરફનો અચળ પ્રવેગ $(g = 9.8 \ m/s^2)$ અનુભવે છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,જો આપણે ઉપરની દિશાને ધન $(+)$ લઈએ,તો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ઋણ $(-g)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે $(9.8 \ m/s^2)$,પરંતુ પસંદ કરેલી નિર્દેશ ફ્રેમ મુજબ તેની સંજ્ઞા વિરુદ્ધ હોય છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ માટેના સૂત્ર મુજબ,$g_d = g(1 - d/R)$,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$d$ એ ઊંડાઈ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,ઊંડાઈ $d$ એ ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે $(d = R)$.
સૂત્રમાં $d = R$ મૂકતા,આપણને મળે છે $g_d = g(1 - R/R) = g(1 - 1) = g(0) = 0$.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.

(TRUE) ખરું.
કોઈ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ને $g = GM/R^2$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.

(B) આપેલ છે: દળ $(m) = 10 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $(u) = 0 \, m s^{-1}$,ઊંચાઈ $(S) = 0.8 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 \, m s^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - (0)^2 = 2 \times 10 \times 0.8$
$v^2 = 16$
$v = 4 \, m s^{-1}$.
વેગમાન $(p)$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે:
$p = m \times v$
$p = 10 \, kg \times 4 \, m s^{-1} = 40 \, kg \, m s^{-1}$ (અથવા $40 \, N s$).
આમ,ડમ્બેલ જમીન પર $40 \, kg \, m s^{-1}$ જેટલું વેગમાન સ્થાનાંતરિત કરશે.