Free Fall and Acceleration due to Gravity Questions in Gujarati

(N/A) પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દરેક પદાર્થને તેના કેન્દ્ર તરફ આકર્ષે છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વીની સપાટી તરફ નીચે પડે છે. પદાર્થની આ ગતિને મુક્ત પતન કહેવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઊંચાઈ પરથી જમીન તરફ પડે છે,ત્યારે તેના વેગમાં ફેરફાર થાય છે. વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. આ પ્રવેગને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ કહેવામાં આવે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર તેનું પ્રમાણિત મૂલ્ય આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$. પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{Mm}{r^2}$ છે. આ બંનેને સરખાવતા,$ma = G \frac{Mm}{r^2}$,જેનું સાદું રૂપ $a = G \frac{M}{r^2}$ થાય છે. અહીં,$a$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે. કારણ કે $g$ માત્ર પૃથ્વીના દળ અને તેના કેન્દ્રથી અંતર પર આધાર રાખે છે,તે પડતા પદાર્થના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે,તમામ પદાર્થો સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે અને ભારે પદાર્થો હલકા પદાર્થો કરતા ઝડપથી નીચે પડતા નથી.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ અનુસાર,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{G M m}{r^2}$
જ્યાં:
પૃથ્વીનું દળ,$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
પદાર્થનું દળ,$m = 1 \,kg$
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$r = R = 6.4 \times 10^6 \,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1}{(6.4 \times 10^6)^2}$
$F = \frac{40.02 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{12}}$
$F \approx 9.8 \,N$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય આશરે $9.8 \,N$ છે.

(A) જ્યારે પદાર્થો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વી તરફ પડે છે,ત્યારે તેઓ મુક્ત પતન કરે છે તેમ કહેવાય છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રવેગને ગુરુત્વપ્રવેગ અથવા મુક્ત પતનનો પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.
તેનું મૂલ્ય આશરે $9.8\, ms^{-2}$ છે,જે પદાર્થના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર તમામ પદાર્થો માટે અચળ રહે છે.

(B) જ્યારે કાગળની શીટને દડાના આકારમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની હવામાં ખુલ્લી રહેતી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટી જાય છે.
હવાનો અવરોધ એ પદાર્થની ગતિ કરતી સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે,તેથી દડાના આકારમાં વાળેલો કાગળ સપાટ કાગળની સરખામણીમાં ખૂબ જ ઓછો હવાનો અવરોધ અનુભવે છે.
પરિણામે,દડાના આકારમાં વાળેલો કાગળ સપાટ કાગળ કરતા ઝડપથી નીચે પડે છે.

(D) આપેલ છે:
શરૂઆતનો વેગ $u = 49\, m/s$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -9.8\, m/s^2$ (નીચેની તરફ)
$(i)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(h)$ શોધવા માટે:
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (49)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-2401 = -19.6 \times h$
$h = 2401 / 19.6 = 122.5\, m$
$(ii)$ કુલ ઉડ્ડયન સમય $(T)$ શોધવા માટે:
ઉપર જતી વખતે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + gt$
$0 = 49 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 49$
$t = 5\, s$
ચઢાણનો સમય અને ઉતરાણનો સમય સમાન હોવાથી,કુલ સમય $T = 2 \times t = 2 \times 5 = 10\, s$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gs$ મુજબ.
જ્યાં,
$u = \text{પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ} = 0\, ms^{-1}$.
$v = \text{પથ્થરનો અંતિમ વેગ}$.
$s = \text{ટાવરની ઊંચાઈ} = 19.6\, m$.
$g = \text{ગુરુત્વપ્રવેગ} = 9.8\, ms^{-2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6 = (19.6)^2$.
$v = 19.6\, ms^{-1}$.
આમ,જમીનને સ્પર્શતા પહેલા પથ્થરનો વેગ $19.6\, ms^{-1}$ છે.

(50 M) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H_1 = 150 \, m$ અને $H_2 = 100 \, m$ છે.
બંને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેમનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
બંને પદાર્થો ગુરુત્વાકર્ષણના સમાન પ્રવેગ $g$ સાથે નીચે પડે છે.
સમય $t$ માં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$u = 0$ હોવાથી,$t = 2 \, s$ માં બંને પદાર્થો દ્વારા કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}g(2)^2 = 2g$ થશે.
$2 \, s$ પછી,જમીનથી પ્રથમ પદાર્થની ઊંચાઈ $h_1 = H_1 - s = 150 - 2g$ હશે.
જમીનથી બીજા પદાર્થની ઊંચાઈ $h_2 = H_2 - s = 100 - 2g$ હશે.
$2 \, s$ પછી તેમની ઊંચાઈમાં તફાવત $h_1 - h_2 = (150 - 2g) - (100 - 2g) = 150 - 100 = 50 \, m$ થશે.
કારણ કે બંને માટે પ્રવેગ $g$ સમાન છે,કોઈપણ સમયે $t$ પર બંને પદાર્થો દ્વારા કાપેલું અંતર સમાન $(s = \frac{1}{2}gt^2)$ રહેશે.
તેથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર ઊંચાઈમાં તફાવત $(H_1 - s) - (H_2 - s) = H_1 - H_2 = 150 - 100 = 50 \, m$ રહેશે.
આમ,ઊંચાઈમાં તફાવત અચળ રહે છે અને તે સમય સાથે બદલાતો નથી.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોય,ત્યારે તેનો પ્રવેગ માત્ર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે અને પદાર્થના દળનો તેમાં કોઈ ફાળો હોતો નથી.
ચંદ્રની સપાટીની નજીક બંને પદાર્થો મુક્ત પતન કરતા હોવાથી,તેઓ સમાન ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{moon})$ અનુભવશે.
જો તેઓ સમાન ઊંચાઈએથી અને સમાન સમયે છોડવામાં આવે,તો કોઈપણ ક્ષણે તેમનો વેગ સમાન હશે.
તેથી,તેઓ કોઈપણ ક્ષણે સમાન વેગ ધરાવશે.

(B) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી છે.
પરિણામે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી સપાટી સુધીનું અંતર ધ્રુવો કરતા વિષુવવૃત્ત પર વધારે હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $g$ એ ત્રિજ્યા $(R)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
વિષુવવૃત્ત પર ત્રિજ્યા $R$ સૌથી વધુ હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર સૌથી ઓછું હોય છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ શૂન્ય હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વજન $(W)$ એ દળ $(m)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નો ગુણાકાર છે,જેનું સૂત્ર $W = m \times g$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $0$ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પદાર્થનું વજન $m \times 0 = 0$ થશે.

(NONE) બંને પથ્થરો એક જ સમયે જમીન પર પહોંચશે. આનું કારણ એ છે કે બંને પથ્થરોની ઉર્ધ્વ ગતિ સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ દ્વારા સંચાલિત થાય છે અને તેઓ સમાન ઊંચાઈ $(h)$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ પથ્થરને આપવામાં આવેલો સમક્ષિતિજ વેગ તેની ઉર્ધ્વ ગતિ અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડવા માટે લાગતા સમયને અસર કરતું નથી,જે ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા સમજાવી શકાય છે,જ્યાં $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,જેને $g$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે પૃથ્વીની સપાટી પર સમાન નથી.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણ અને તેના વિષુવવૃત્તીય ઉપસેલા ભાગને કારણે,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવો કરતા વિષુવવૃત્ત પર વધારે છે.
સૂત્ર $g = GM/R^2$ મુજબ,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર ઓછું અને ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $h = (1/2)gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t = \sqrt{2h/g}$ મળે છે.
વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય ઓછું હોવાથી,સપાટી પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ ધ્રુવોની સરખામણીમાં વિષુવવૃત્ત પર વધારે હશે.
તેથી,પેકેટોને સમાન સમય લાગશે નહીં; વિષુવવૃત્ત પર ફેંકવામાં આવેલ પેકેટને સપાટી પર પહોંચતા વધુ સમય લાગશે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $g = \frac{GM}{R^2}$,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,આપણે દળ $M$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $M = \frac{g R^2}{G}$.
પૃથ્વીની ઘનતા $D$ ને એકમ કદ દીઠ દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $D = \frac{M}{V}$.
પૃથ્વીને ગોળાકાર ધારતા,તેનું કદ $V$ નીચે મુજબ મળે છે: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઘનતાના સૂત્રમાં $M$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$D = \frac{g R^2 / G}{4/3 \pi R^3} = \frac{g R^2}{G} \times \frac{3}{4 \pi R^3}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $D = \frac{3g}{4 \pi G R}$.

(N/A) $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરેલા પદાર્થ માટે,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $h_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $h_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ છે.
$(i)$ જો એક પદાર્થ પોલો અને બીજો નક્કર હોય,તો ગુણોત્તર સમાન રહે છે કારણ કે ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ એ પદાર્થના દળ અને ઘનતા પર આધારિત નથી.
(ii) જો બંને પોલા હોય,તો પણ સમાન કારણસર ગુણોત્તર સમાન જ રહે છે. મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થનો પ્રવેગ તેના દળ,આકાર કે કદ પર આધાર રાખતો નથી.

(N/A) મુક્ત પતન એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થ માત્ર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચે પડતો હોય. આ સ્થિતિમાં પદાર્થ પર હવાના અવરોધ જેવું અન્ય કોઈ બળ કાર્ય કરતું નથી. મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વીની સપાટી તરફ મુક્ત પતન કરતો પદાર્થ તેનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ દડાને ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વી દ્વારા પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે તે પૃથ્વી તરફ પ્રવેગિત થાય છે.

(N/A) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પાસે થોડી ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પાસે ઉપસેલી છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R$ ઓછી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પરથી ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પરથી ઉપસેલી હોવાથી,વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R$ ઓછી હોય છે.
$g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto \frac{1}{R^2})$,ધ્રુવો પર ઓછી ત્રિજ્યા હોવાને કારણે $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
તેનાથી ઉલટું,વિષુવવૃત્ત પર ત્રિજ્યા વધારે હોવાથી $g$ નું મૂલ્ય ઓછું મળે છે.

(C) મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થ પર માત્ર પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર હોય છે. આ પ્રવેગને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે પૃથ્વીની સપાટીની નજીક આશરે $9.8 \ m/s^2$ હોય છે. તેથી,મુક્ત પતન કરતા તમામ પદાર્થો માટે,પછી ભલે તે મોટા હોય કે નાના,પ્રવેગ અચળ રહે છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $G$,$\pi$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$g \propto \rho$ થાય.
જો ઘનતા $\rho$ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{4}{3} \pi G (2\rho) R = 2g$ થશે.
તેથી,ગ્રહ પર $g$ નું મૂલ્ય બમણું થઈ જાય છે.

(B) પૃથ્વી તરફ પડતા પદાર્થનો ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્રમાં પડતા પદાર્થનું દળ $(m)$ આવતું ન હોવાથી,પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે તમામ પદાર્થો તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન પ્રવેગથી નીચે પડે છે.

(D) જ્યારે પદાર્થોને ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
ગતિના નિયમો અનુસાર,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ જેટલો હોય છે,જે આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.
આ ગુરુત્વપ્રવેગ પદાર્થના દળ,કદ કે આકાર પર આધાર રાખતો નથી.
બંને ગોળાઓને એક જ ઊંચાઈ પરથી એકસાથે પાડવામાં આવતા હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ (જેમ કે જમીનથી $10 \, m$ ઊંચાઈએ),તેમનો વેગ સમાન હશે અને પરિણામે તેમનો પ્રવેગ પણ સમાન હશે.
ગતિઊર્જા $(1/2 mv^2)$,વેગમાન $(mv)$,અને સ્થિતિઊર્જા $(mgh)$ એ પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખે છે,જે બંને ગોળાઓ માટે અલગ-અલગ છે. તેથી,આ ભૌતિક રાશિઓ સમાન હશે નહીં.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પૃથ્વીનો આકાર: પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી છે. આ કારણે,ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્ત કરતા ઓછી હોવાથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.
$2$. પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ: પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ કેન્દ્રત્યાગી બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણને ઘટાડે છે,ખાસ કરીને વિષુવવૃત્ત પર.
$3$. અક્ષાંશ: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અક્ષાંશ સાથે બદલાતી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય પણ તે મુજબ બદલાય છે.
$4$. ઊંચાઈ: જેમ આપણે પૃથ્વીની સપાટીથી દૂર જઈએ છીએ (ઊંચાઈ વધે છે),તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
$5$. ઊંડાઈ: જેમ આપણે પૃથ્વીની અંદર જઈએ છીએ (ઊંડાઈ વધે છે),તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,$g$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીના આકાર,પરિભ્રમણ,અક્ષાંશ,ઊંચાઈ અને ઊંડાઈ પર આધાર રાખે છે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ તે ધ્રુવો પર થોડી ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી હોવાથી,ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $R$ એ વિષુવવૃત્ત પરની ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઓછી હોય છે.
$g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto \frac{1}{R^2})$,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા ઓછી હોવાને કારણે ત્યાં $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે મળે છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય અચળ નથી.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી (તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે),તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી સપાટી સુધીનું અંતર ધ્રુવો પર ઓછું અને વિષુવવૃત્ત પર વધારે હોય છે.
સૂત્ર $g = GM/R^2$ મુજબ,$g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યા $(R)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો પર મહત્તમ અને વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $(r)$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં $(d)$ એ સપાટીથી ઊંડાઈ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,ઊંડાઈ $(d)$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ જેટલી હોય છે.
સૂત્રમાં $d = R$ મૂકતા,આપણને $g' = g(1 - R/R) = g(1 - 1) = 0$ મળે છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $0 \ m/s^2$ હોય છે.

(N/A) મુક્ત પતન એ એવી સ્થિતિ છે જેમાં કોઈ પદાર્થ માત્ર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચે પડે છે,અને તેના પર અન્ય કોઈ બળ (જેમ કે હવાનો અવરોધ) કાર્ય કરતું નથી. મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થ અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે જેને ગુરુત્વપ્રવેગ કહેવામાં આવે છે,જેને $g$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,જે પૃથ્વીની સપાટીની નજીક આશરે $9.8 \ m/s^2$ હોય છે.

(N/A) કાગળની એક શીટ અને એક પથ્થર લો. તેમને બિલ્ડિંગના પહેલા માળેથી એકસાથે નીચે ફેંકો. અવલોકન કરો કે શું બંને એકસાથે જમીન પર પહોંચે છે. આપણે જોઈએ છીએ કે કાગળ પથ્થર કરતા થોડો મોડો જમીન પર પહોંચે છે.
આવું હવાનો અવરોધ (air resistance) હોવાને કારણે થાય છે. હવા પડતી વસ્તુઓની ગતિ સામે ઘર્ષણને કારણે અવરોધ પેદા કરે છે. કાગળના મોટા સપાટીના ક્ષેત્રફળને કારણે હવા દ્વારા કાગળને મળતો અવરોધ પથ્થરને મળતા અવરોધ કરતા વધારે હોય છે. જો આપણે આ પ્રયોગ શૂન્યાવકાશમાં (એક કાચની બરણી જેમાંથી હવા કાઢી લેવામાં આવી હોય) કરીએ,તો કાગળ અને પથ્થર સમાન દરે નીચે પડશે અને એક જ સમયે જમીન પર પહોંચશે. આ સાબિત કરે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ એ વસ્તુના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(D) આપેલ છે: પથ્થર દ્વારા કાપેલ અંતર,$S = 19.6 \, m$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m/s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$a = 9.8 \, m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6$.
$v = \sqrt{19.6^2} = 19.6 \, m/s$.
તેથી,જમીનને સ્પર્શતા પહેલા પથ્થરનો વેગ $19.6 \, m/s$ હશે.

(N/A) પદાર્થનું દળ,$m = 50 \, kg$.
પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \, m/s^2$.
કાલ્પનિક ગ્રહ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં $6$ ગણું છે.
તેથી,$g_{planet} = 6 \times g_{earth}$.
$g_{planet} = 6 \times 9.8 \, m/s^2 = 58.8 \, m/s^2$.
ગ્રહ પર પદાર્થનું વજન,$W = m \times g_{planet}$.
$W = 50 \, kg \times 58.8 \, m/s^2 = 2940 \, N$.
આમ,ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $58.8 \, m/s^2$ છે અને પદાર્થનું વજન $2940 \, N$ છે.

(N/A) પૃથ્વીના ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોય છે,કારણ કે પૃથ્વી ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે,જેના કારણે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી સપાટીનું અંતર ધ્રુવો પર ઓછું હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + (1/2)gt^2$ મુજબ,જો પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે $(u = 0)$,તો $s = (1/2)gt^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{2s/g}$.
અહીં અંતર $(s)$ સમાન હોવાથી અને ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય વધારે હોવાથી,પદાર્થને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$ વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ઓછો હોય છે.

(A) હા,બંને પદાર્થો પૃથ્વી પર એક જ સમયે પહોંચશે.
આનું કારણ એ છે કે બંને પદાર્થોની ઉર્ધ્વ ગતિ તેમની સમક્ષિતિજ ગતિથી સ્વતંત્ર છે.
બંને પદાર્થો $u_y = 0 \ m/s$ ના પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ સાથે શરૂઆત કરે છે.
બંને પદાર્થો પર નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન અચળ પ્રવેગ $(g)$ લાગે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s$ એ ટાવરની ઊંચાઈ $(h)$ છે,$u = 0$ છે,અને $a = g$ છે,આપણને $h = \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે.
સમય માટે ઉકેલતા,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h$ અને $g$ બંને પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$ બંને માટે સમાન રહેશે.

(N/A) ભારહીનતા એ એવી સ્થિતિ છે જેમાં પદાર્થ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું નથી અથવા એવું અનુભવાય છે કે પદાર્થનું વજન શૂન્ય છે. આ ઘટના ત્યારે બને છે જ્યારે પદાર્થ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય,જ્યાં આધાર આપતું બળ (લંબબળ) શૂન્ય થઈ જાય છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = \frac{G M m}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$(b)$ ગુરુત્વપ્રવેગની દિશા હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(i)$ સ્થળનો અક્ષાંશ: પૃથ્વીના આકાર અને પરિભ્રમણને કારણે $g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો પર મહત્તમ અને વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.
$(ii)$ પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ: જેમ આપણે પૃથ્વીની સપાટીથી દૂર જઈએ છીએ (ઊંચાઈ પર),તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટતું જાય છે.

(N/A) હવામાં,સિક્કો પહેલા જમીન પર પહોંચશે કારણ કે કાગળના ટુકડા પર લાગતો હવાનો અવરોધ તેના દળની સાપેક્ષમાં તેના મોટા સપાટીના ક્ષેત્રફળને કારણે ઘણો વધારે હોય છે,જે તેને ધીમો પાડે છે.
શૂન્યાવકાશમાં,સિક્કો અને કાગળ બંને એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.
આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે શૂન્યાવકાશમાં હવાનો કોઈ અવરોધ હોતો નથી. ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,તમામ પદાર્થો તેમના દળ કે આકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન પ્રવેગ $(g)$ સાથે નીચે પડે છે.

(B) આપેલ છે કે ગ્રહનું દળ $M_P = M/2$ અને ગ્રહની ત્રિજ્યા $R_P = R/2$ છે,જ્યાં $M$ અને $R$ અનુક્રમે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગનું સૂત્ર $g = GM/R^2$ છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_P$ નીચે મુજબ મળે:
$g_P = \frac{GM_P}{R_P^2}$
$M_P = M/2$ અને $R_P = R/2$ કિંમતો મૂકતા:
$g_P = \frac{G(M/2)}{(R/2)^2} = \frac{GM/2}{R^2/4} = \frac{GM}{2} \times \frac{4}{R^2} = 2 \times \frac{GM}{R^2}$
કારણ કે $g = GM/R^2$,તેથી આપણને મળે:
$g_P = 2g$
આમ,આ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $2g$ છે.

(N/A) $(i)$ ગુરુત્વપ્રવેગ એટલે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ.
$(ii)$ પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તેની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્ત પર વધારે અને ધ્રુવો પર ઓછી હોય છે. $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યા $R$ સાથે બદલાય છે,તેથી ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધુ અને વિષુવવૃત્ત પર ઓછું હોય છે.
$(iii)$ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે. આ સૂત્રમાં પદાર્થનું દળ $(m)$ આવતું નથી. તેથી,તમામ પદાર્થો તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે,અને નિશ્ચિત ઊંચાઈએથી જમીન પર પહોંચવા માટે સમાન સમય લે છે.
$(iv)$ $G$ ને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં સમાન રહે છે. તેનો $SI$ એકમ $N \ m^2 \ kg^{-2}$ છે.

(N/A) $(i)$ આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$. આમ,પૃથ્વીની સપાટી પર અને સપાટીની ખૂબ નજીક '$R$' (એટલે કે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) અચળ રહે છે; તેથી '$g$' પણ અચળ રહેશે. જો કે,પૃથ્વીની સપાટીથી દૂરના અંતરે,જ્યારે '$R$' બદલાય છે,ત્યારે '$g$' નું મૂલ્ય અચળ રહેતું નથી.
$(ii)$ ના,મુક્ત પતન દરમિયાન તમામ વસ્તુઓ સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે કારણ કે '$g$' એ પડતી વસ્તુના દળ પર આધારિત નથી. '$g$' નું મૂલ્ય આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.

(N/A) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે મુક્ત પતન કરતી વસ્તુમાં ઉદ્ભવતા સમાન પ્રવેગને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ કહે છે,જે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$(b)$ પૃથ્વીની સપાટી પર $g$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $9.8 \, m/s^2$ છે.
$(c)$ $g$ નું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે: $(i)$ પૃથ્વીનો આકાર (તે ધ્રુવો પર વધુ અને વિષુવવૃત્ત પર ઓછું હોય છે),$(ii)$ પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ (ઊંચાઈ વધવાની સાથે તે ઘટે છે),અને $(iii)$ પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંડાઈ (જેમ આપણે કેન્દ્ર તરફ જઈએ તેમ તે ઘટે છે).

(N/A) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પૃથ્વીની સપાટી તરફ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થમાં ઉદ્ભવતા સમાન પ્રવેગને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ કહે છે.
ના,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ પદાર્થના દળ પર આધાર રાખતો નથી.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = m \times g$ --- $(1)$
ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વી (દળ $M$) અને પદાર્થ (દળ $m$) વચ્ચે $R$ (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F = \frac{G M m}{R^2}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$m \times g = \frac{G M m}{R^2}$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$g = \frac{G M}{R^2}$
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. $g$ ના સૂત્રમાં પદાર્થનું દળ $(m)$ આવતું ન હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) ધારો કે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પાસે $m$ દળનો એક પદાર્થ છે.
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{GMm}{R^2} \dots (1)$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$:
$F = mg \dots (2)$
(જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$mg = \frac{GMm}{R^2}$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
અહીં પદાર્થનું દળ $m$ નીકળી જાય છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ માત્ર ગ્રહના દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે. આમ,મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થનો પ્રવેગ તેના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
જો પૃથ્વી તેના વર્તમાન કદના એક-તૃતીયાંશ ભાગમાં સંકોચાય,તો નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{3}$ થાય.
દળ $M$ અચળ રહે છે.
તેથી,નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે:
$g' = \frac{GM}{(R')^2} = \frac{GM}{(\frac{R}{3})^2} = \frac{GM}{\frac{R^2}{9}} = 9 \times \frac{GM}{R^2}$
આમ,$g = 9.8 \, m s^{-2}$ હોવાથી:
$g' = 9 \times 9.8 \, m s^{-2} = 88.2 \, m s^{-2}$.

(N/A) આપેલ છે:
દડા દ્વારા કાપેલ અંતર,$S = 122.5 \, m$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0$
પ્રવેગ,$a = g = 9.8 \, m s^{-2}$
$(i)$ જો $t$ એ દડાને જમીન પર પડવા માટે લાગતો સમય હોય,તો ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$122.5 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$122.5 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5}{4.9} = 25$
$t = \sqrt{25} = 5 \, s$
$(ii)$ પ્રથમ ત્રણ સેકન્ડમાં $(t = 3 \, s)$ દડા દ્વારા કાપેલ અંતર:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \times 3 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$S = 4.9 \times 9 = 44.1 \, m$
$(iii)$ ત્રણ સેકન્ડના અંતે $(t = 3 \, s)$ દડાનો વેગ:
$v = u + at$
$v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4 \, m s^{-1}$

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચે પડે છે,ત્યારે તેને મુક્ત પતન કહેવામાં આવે છે.
શૂન્યાવકાશમાં હવાના અવરોધનો અભાવ હોય છે. મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ છે,જે પૃથ્વીની સપાટી પાસે આશરે $9.8\,m/s^2$ હોય છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી,તેથી બંને પદાર્થો સમાન પ્રવેગ અનુભવશે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ મુજબ,જ્યાં $u = 0$ અને $s = h$ લેતા,$h = \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h$ અને $g$ બંને પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,બંનેને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$ પણ સમાન હશે. આમ,બંને પદાર્થો એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.

(N/A) ઉપરની ગતિ માટે:
$v = u - gt$
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
તેથી,$0 = u - gt_1$,જે આપણને $t_1 = \frac{u}{g}$ આપે છે $....(1)$
નીચેની ગતિ માટે:
પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે પડે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u' = 0$ છે.
સૂત્ર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = h$ (મહત્તમ ઊંચાઈ) અને $a = g$:
$h = 0 + \frac{1}{2}gt_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
કારણ કે $h = \frac{u^2}{2g}$,આ કિંમત મૂકતા $t_2 = \sqrt{\frac{2(u^2/2g)}{g}} = \sqrt{\frac{u^2}{g^2}} = \frac{u}{g}$ મળે છે $....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,$t_1 = t_2$. આમ,ઉપર જવાનો સમય એ નીચે આવવાના સમય જેટલો જ હોય છે.

(C) જ્યારે પદાર્થોને ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ જેટલો હોય છે,જે આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.
આ પ્રવેગ પદાર્થના દળ,કદ કે દ્રવ્ય પર આધાર રાખતો નથી.
બંને ગોળાઓને એક જ ઊંચાઈ પરથી એકસાથે પાડવામાં આવતા હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ (જમીનથી $10 \, m$ ઊંચાઈ સહિત),તેમનો વેગ અને પ્રવેગ $(g)$ સમાન હશે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE = mgh)$ દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે બંને ગોળાઓ માટે અલગ હશે.
વેગમાન $(p = mv)$ દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પણ અલગ હશે.
ગતિ ઊર્જા $(KE = 1/2 mv^2)$ દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પણ અલગ હશે.
તેથી,માત્ર પ્રવેગ જ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે બંને ગોળાઓ માટે સમાન રહે છે.