Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $a$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = \frac{3}{2}$.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ પદને તેના પછીના પદમાંથી બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે,એટલે કે $d = a_2 - a_1$.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
આમ,પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -1$ છે.

(A) અહીં આપણી પાસે છે:
$a_{2}-a_{1} = 10-4 = 6$
$a_{3}-a_{2} = 16-10 = 6$
$a_{4}-a_{3} = 22-16 = 6$
તફાવત $a_{k+1}-a_{k}$ દરેક વખતે સમાન હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
આ શ્રેણીના પછીના બે પદ નીચે મુજબ છે:
$22 + 6 = 28$
$28 + 6 = 34$.

(A) શ્રેણી $AP$ બનાવે છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો માટે સામાન્ય તફાવત $d = a_{k+1} - a_k$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$a_2 - a_1 = -1 - 1 = -2$
$a_3 - a_2 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$
$a_4 - a_3 = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = -2$ સમાન હોવાથી,આપેલી શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના બે પદ શોધવા માટે છેલ્લા પદમાં સામાન્ય તફાવત $d = -2$ ઉમેરતા:
પછીનું પદ $1 = -5 + (-2) = -7$
પછીનું પદ $2 = -7 + (-2) = -9$
આમ,પછીના બે પદ $-7$ અને $-9$ છે.

(N/A) આપેલ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધીએ છીએ.
પ્રથમ,બીજા અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$a_{2} - a_{1} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
ત્યારબાદ,ત્રીજા અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$a_{3} - a_{2} = -2 - 2 = -4$
અહીં $a_{2} - a_{1} \neq a_{3} - a_{2}$ (એટલે કે $4 \neq -4$) હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આપેલ સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવતી નથી.

(NO) સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots = 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધો:
$d_1 = a_2 - a_1 = 1 - 1 = 0$
$d_2 = a_3 - a_2 = 1 - 1 = 0$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - 1 = 1$
અહીં $d_1 = d_2 \neq d_3$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આપેલી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવતી નથી.

(A) અહીં જોઈ શકાય છે કે:
પ્રથમ $1 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $15$
પ્રથમ $2 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $15 + 8 = 23$
પ્રથમ $3 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $23 + 8 = 31$
પ્રથમ $4 \ km$ માટે ટેક્સીનું ભાડું = $31 + 8 = 39$
સ્પષ્ટપણે,શ્રેણી $15, 23, 31, 39, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે કારણ કે કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ છે,એટલે કે $d = 8$.

(B) ધારો કે નળાકારમાં હવાનું પ્રારંભિક કદ $V$ લિટર છે.
દરેક સ્ટ્રોકમાં,વેક્યુમ પંપ નળાકારમાં બાકી રહેલી હવાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બહાર કાઢે છે.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક સ્ટ્રોક પછી,બાકી રહેલી હવા અગાઉના જથ્થાના $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ભાગ જેટલી હોય છે.
તેથી,દરેક સ્ટ્રોક પછી કદની શ્રેણી $V, \frac{3}{4}V, \left(\frac{3}{4}\right)^2 V, \left(\frac{3}{4}\right)^3 V, \dots$ થશે.
આ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$d_1 = \frac{3}{4}V - V = -\frac{1}{4}V$
$d_2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 V - \frac{3}{4}V = \frac{9}{16}V - \frac{12}{16}V = -\frac{3}{16}V$.
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવતી નથી.

(A) પ્રથમ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= ₹ 150$.
પ્રથમ $2$ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= 150 + 50 = ₹ 200$.
પ્રથમ $3$ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= 200 + 50 = ₹ 250$.
પ્રથમ $4$ મીટર ખોદવાનો ખર્ચ $= 250 + 50 = ₹ 300$.
સ્પષ્ટપણે, શ્રેણી $150, 200, 250, 300, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે કારણ કે કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે, એટલે કે $d = 50$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો મુદ્દલ $P$ ને $r \%$ ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે $n$ વર્ષ માટે જમા કરવામાં આવે,તો $n$ વર્ષ પછીની રકમ $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ પ્રશ્ન માટે,$P = 10000$ અને $r = 8$ છે.
દરેક વર્ષ પછી ખાતામાં રહેલી રકમ:
વર્ષ $1$: $10000(1 + \frac{8}{100})^1 = 10800$
વર્ષ $2$: $10000(1 + \frac{8}{100})^2 = 11664$
વર્ષ $3$: $10000(1 + \frac{8}{100})^3 = 12597.12$
રકમની શ્રેણી $10800, 11664, 12597.12, \dots$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત શોધીએ:
$d_1 = 11664 - 10800 = 864$
$d_2 = 12597.12 - 11664 = 933.12$
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. તેથી,આ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = -2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 0.$
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = a = -2.$
બીજું પદ $a_2 = a + d = -2 + 0 = -2.$
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = -2 + 2(0) = -2.$
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = -2 + 3(0) = -2.$
તેથી,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $-2, -2, -2, -2$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -3.$
સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = a = 4.$
બીજું પદ $a_2 = a + d = 4 + (-3) = 4 - 3 = 1.$
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 - 6 = -2.$
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = 4 + 3(-3) = 4 - 9 = -5.$
તેથી,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $4, 1, -2, -5$ છે.

(A) આપેલ છે: $a = -1$ અને $d = \frac{1}{2}$.
સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ છે,જ્યાં $a_n = a + (n-1)d$.
$a_1 = a = -1$
$a_2 = a + d = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$a_3 = a + 2d = -1 + 2(\frac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$
$a_4 = a + 3d = -1 + 3(\frac{1}{2}) = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
આમ,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદ $-1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = -1.25$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -0.25.$
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના પદો $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
પ્રથમ પદ: $a_1 = a = -1.25$
બીજું પદ: $a_2 = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50$
ત્રીજું પદ: $a_3 = a + 2d = -1.25 + 2(-0.25) = -1.25 - 0.50 = -1.75$
ચોથું પદ: $a_4 = a + 3d = -1.25 + 3(-0.25) = -1.25 - 0.75 = -2.00$
આમ,સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદો $-1.25, -1.50, -1.75$ અને $-2.00$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 1, -1, -3, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = 3$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1 - 3$
$d = -2$
આમ,પ્રથમ પદ $3$ છે અને સામાન્ય તફાવત $-2$ છે.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $-5, -1, 3, 7, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = -5$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1$
$d = (-1) - (-5)$
$d = -1 + 5$
$d = 4$.
આમ,પ્રથમ પદ $-5$ છે અને સામાન્ય તફાવત $4$ છે.

(N/A) આપેલી સમાંતર શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = \frac{1}{3}$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ શોધવા માટે બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરવામાં આવે છે:
$d = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
આમ,પ્રથમ પદ $\frac{1}{3}$ છે અને સામાન્ય તફાવત $\frac{4}{3}$ છે.

(A) આપેલી સમાંતર શ્રેણી $0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ એ શ્રેણીની પ્રથમ સંખ્યા છે,તેથી $a = 0.6$.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1$
$d = 1.7 - 0.6$
$d = 1.1$
આમ,પ્રથમ પદ $0.6$ છે અને સામાન્ય તફાવત $1.1$ છે.

(N/A) આપેલ શ્રેણી: $2, 4, 8, 16, \ldots$
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$
$a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4$
$a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8$
અહીં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $(a_{k+1} - a_k)$ સમાન નથી,તેથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવતી નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી: $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots$
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$
$a_{3} - a_{2} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$
$a_{4} - a_{3} = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{2}$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$
$a_{6} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
$a_{7} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5$

(D) આપેલ શ્રેણી: $-10, -6, -2, 2, \ldots$
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = (-6) - (-10) = -6 + 10 = 4$
$a_{3} - a_{2} = (-2) - (-6) = -2 + 6 = 4$
$a_{4} - a_{3} = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન $(d = 4)$ હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદ:
$a_{5} = a_{4} + d = 2 + 4 = 6$
$a_{6} = a_{5} + d = 6 + 4 = 10$
$a_{7} = a_{6} + d = 10 + 4 = 14$
આમ,સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે અને પછીના ત્રણ પદ $6, 10, 14$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \ldots$ છે.
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_2 - a_1 = (3 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = (3 + 3\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_k$ સમાન રહે છે,તેથી આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt{2}$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_5 = a_4 + d = (3 + 3\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2}$
$a_6 = a_5 + d = (3 + 4\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 5\sqrt{2}$
$a_7 = a_6 + d = (3 + 5\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 3 + 6\sqrt{2}$

(B) આપેલ શ્રેણી: $0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \ldots$
શ્રેણી $AP$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = 0.22 - 0.2 = 0.02$
$a_{3} - a_{2} = 0.222 - 0.22 = 0.002$
$a_{4} - a_{3} = 0.2222 - 0.222 = 0.0002$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન નથી,તેથી આપેલ શ્રેણી $AP$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી: $0, -4, -8, -12, \ldots$
શ્રેણી $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = (-4) - 0 = -4$
$a_{3} - a_{2} = (-8) - (-4) = -4$
$a_{4} - a_{3} = (-12) - (-8) = -4$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન રહે છે,તેથી આ શ્રેણી $AP$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d = -4$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = a_{4} + d = -12 + (-4) = -16$
$a_{6} = a_{5} + d = -16 + (-4) = -20$
$a_{7} = a_{6} + d = -20 + (-4) = -24$
આમ,સામાન્ય તફાવત $-4$ છે અને પછીના ત્રણ પદ $-16, -20, -24$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી: $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \ldots$
તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_2 - a_1 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_3 - a_2 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
$a_4 - a_3 = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 0$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_k$ દરેક વખતે સમાન $(0)$ રહે છે,તેથી આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે અને સામાન્ય તફાવત $d = 0$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_5 = a_4 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_6 = a_5 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$
$a_7 = a_6 + d = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$

(NONE) આપેલ શ્રેણી: $1, 3, 9, 27, \ldots$
શ્રેણી $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = 3 - 1 = 2$
$a_{3} - a_{2} = 9 - 3 = 6$
$a_{4} - a_{3} = 27 - 9 = 18$
અહીં સામાન્ય તફાવત $(a_{k+1} - a_{k})$ સમાન નથી (એટલે કે,$2 \neq 6 \neq 18$),તેથી આપેલ શ્રેણી $AP$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $a, 2a, 3a, 4a, \dots$ છે.
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_2 - a_1 = 2a - a = a$
$a_3 - a_2 = 3a - 2a = a$
$a_4 - a_3 = 4a - 3a = a$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_k$ સમાન $(d = a)$ હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_5 = 4a + a = 5a$
$a_6 = 5a + a = 6a$
$a_7 = 6a + a = 7a$

(NONE) આપેલ શ્રેણી $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \ldots$ છે.
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = a^{2} - a = a(a - 1)$
$a_{3} - a_{2} = a^{3} - a^{2} = a^{2}(a - 1)$
$a_{4} - a_{3} = a^{4} - a^{3} = a^{3}(a - 1)$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન રહેતો નથી (એટલે કે,$a(a-1) \neq a^{2}(a-1)$ જ્યારે $a \neq 0, 1$),તેથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \ldots$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$a_1 = \sqrt{2} = 1\sqrt{2}$
$a_2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$a_4 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત $d = a_{k+1} - a_k$ શોધીએ છીએ:
$a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$
તફાવત $d = \sqrt{2}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ માં છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_5 = a_4 + d = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$
$a_6 = a_5 + d = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72}$
$a_7 = a_6 + d = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}$

(N/A) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \ldots$ છે.
શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
$a_{3} - a_{2} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$a_{4} - a_{3} = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$
અહીં,તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ દરેક વખતે સમાન રહેતો નથી,તેથી આપેલ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં નથી.

(N/A) આપેલ શ્રેણી $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots$ છે.
આને $1, 9, 25, 49, \ldots$ તરીકે લખી શકાય છે.
શ્રેણી $AP$ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = 9 - 1 = 8$
$a_{3} - a_{2} = 25 - 9 = 16$
$a_{4} - a_{3} = 49 - 25 = 24$
અહીં તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન નથી (એટલે કે,$8 \neq 16 \neq 24$),તેથી આપેલ શ્રેણી $AP$ માં નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 73, \ldots$ છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા,આપણને $1, 25, 49, 73, \ldots$ મળે છે.
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:
$a_{2} - a_{1} = 25 - 1 = 24$
$a_{3} - a_{2} = 49 - 25 = 24$
$a_{4} - a_{3} = 73 - 49 = 24$
તફાવત $a_{k+1} - a_{k}$ સમાન $(d = 24)$ હોવાથી,આપેલ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 24$ છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = 73 + 24 = 97$
$a_{6} = 97 + 24 = 121$
$a_{7} = 121 + 24 = 145$

(A) આપેલ શ્રેણી $-10, -6, -2, 2, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = -10$,બીજું પદ $a_2 = -6$,ત્રીજું પદ $a_3 = -2$ અને ચોથું પદ $a_4 = 2$ છે.
શ્રેણી $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધીએ છીએ:
$d_1 = a_2 - a_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$
$d_2 = a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
$d_3 = a_4 - a_3 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન $(d = 4)$ હોવાથી,આપેલ સંખ્યાઓની યાદી $d = 4$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $AP$ બનાવે છે.

(C) $AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a + d, a + 2d, a + 3d, \dots$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = -2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
આ કિંમતોને વ્યાપક સ્વરૂપમાં મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $a = -2$
બીજું પદ: $a + d = -2 + (-2) = -4$
ત્રીજું પદ: $a + 2d = -2 + 2(-2) = -2 - 4 = -6$
ચોથું પદ: $a + 3d = -2 + 3(-2) = -2 - 6 = -8$
આમ,પ્રથમ ચાર પદો $-2, -4, -6, -8$ છે.

(B) $AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ એ $d = a_{n} - a_{n-1}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
આપેલ $AP: 10, 5, 0, -5, \ldots$ માટે:
$a_{2} - a_{1} = 5 - 10 = -5$
$a_{3} - a_{2} = 0 - 5 = -5$
$a_{4} - a_{3} = -5 - 0 = -5$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $d = -5$ સાથે $AP$ બનાવે છે.
તેથી,સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ હેઠળ રકમ $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = P(1 + r/100)^n$ છે,જ્યાં $P = 1000$,$r = 10$,અને $n$ એ વર્ષોની સંખ્યા છે.
પ્રથમ વર્ષના અંતે રકમ: $A_1 = 1000(1 + 10/100)^1 = 1000(1.1) = 1100$.
બીજા વર્ષના અંતે રકમ: $A_2 = 1000(1 + 10/100)^2 = 1000(1.21) = 1210$.
ત્રીજા વર્ષના અંતે રકમ: $A_3 = 1000(1 + 10/100)^3 = 1000(1.331) = 1331$.
રકમની શ્રેણી $1100, 1210, 1331, \ldots$ છે.
તે $AP$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સામાન્ય તફાવત શોધીએ:
$A_2 - A_1 = 1210 - 1100 = 110$.
$A_3 - A_2 = 1331 - 1210 = 121$.
અહીં $A_2 - A_1 \neq A_3 - A_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.

(A) $(i)$ અહીં,$t_{1} = -1, t_{2} = -1, t_{3} = -1$ અને $t_{4} = -1$ છે.
$t_{2} - t_{1} = -1 - (-1) = 0$
$t_{3} - t_{2} = -1 - (-1) = 0$
$t_{4} - t_{3} = -1 - (-1) = 0$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 0$ સમાન હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવે છે.
$(ii)$ અહીં,$t_{1} = 0, t_{2} = 2, t_{3} = 0$ અને $t_{4} = 2$ છે.
$t_{2} - t_{1} = 2 - 0 = 2$
$t_{3} - t_{2} = 0 - 2 = -2$
અહીં $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$ હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવતી નથી.
$(iii)$ અહીં,$t_{1} = 1, t_{2} = 1, t_{3} = 2$ અને $t_{4} = 2$ છે.
$t_{2} - t_{1} = 1 - 1 = 0$
$t_{3} - t_{2} = 2 - 1 = 1$
અહીં $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$ હોવાથી,આપેલી સંખ્યાઓની યાદી $AP$ બનાવતી નથી.

(I, IV) $(i)$ અહીં,$t_1 = 11, t_2 = 22, t_3 = 33$ છે.
$t_2 - t_1 = 22 - 11 = 11$.
$t_3 - t_2 = 33 - 22 = 11$.
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 11$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
$(ii)$ અહીં,$t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1}{3}, t_3 = \frac{1}{4}$ છે.
$t_2 - t_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
$t_3 - t_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$.
અહીં તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.
$(iii)$ શ્રેણી $2, 4, 8, 16, \ldots$ છે.
$t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2$.
$t_3 - t_2 = 8 - 4 = 4$.
અહીં તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.
$(iv)$ શ્રેણી $\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \ldots$ છે.
$t_2 - t_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_3 - t_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_4 - t_3 = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt{3}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.

(B) અસત્ય.
અહીં,$a_{1} = -1, a_{2} = -\frac{3}{2}, a_{3} = -2$ અને $a_{4} = \frac{5}{2}$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$a_{2} - a_{1} = -\frac{3}{2} - (-1) = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$a_{3} - a_{2} = -2 - (-\frac{3}{2}) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
$a_{4} - a_{3} = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.
કોઈપણ શ્રેણી $AP$ હોવા માટે,તેના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
જોકે $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = -\frac{1}{2}$ છે,પરંતુ $a_{4} - a_{3} = \frac{9}{2}$ છે.
આમ,સામાન્ય તફાવત સમગ્ર શ્રેણીમાં સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $AP$ બનાવતી નથી.

(N/A) ધારો કે બંને $APs$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ $AP$ નું પ્રથમ પદ $a_1 = 2$ અને બીજી $AP$ નું પ્રથમ પદ $b_1 = 7$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $AP$ માટે,$n$ મું પદ $a_n = 2 + (n-1)d$ છે.
બીજી $AP$ માટે,$n$ મું પદ $b_n = 7 + (n-1)d$ છે.
તેમના $n$ મા પદો વચ્ચેનો તફાવત $b_n - a_n = [7 + (n-1)d] - [2 + (n-1)d] = 7 - 2 = 5$ થાય છે.
તફાવત $n$ પર આધારિત ન હોવાથી,કોઈપણ બે અનુરૂપ પદો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા $5$ રહે છે.
આમ,$10$ મા પદો વચ્ચેનો તફાવત $5$ છે અને $21$ મા પદો વચ્ચેનો તફાવત પણ $5$ છે.

(B) ના,આ વિધાન ખોટું છે. દરેક $km$ પછીનું કુલ ભાડું ($Rs.$ માં) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$ $km$ માટે: $15$
$2$ $km$ માટે: $15 + 8 = 23$
$3$ $km$ માટે: $15 + 2 \times 8 = 31$
$4$ $km$ માટે: $15 + 3 \times 8 = 39$
આમ,કુલ ભાડાની શ્રેણી $15, 23, 31, 39, \ldots$ છે.
ધારો કે $t_1 = 15, t_2 = 23, t_3 = 31, t_4 = 39$.
હવે,સામાન્ય તફાવતની ગણતરી કરતા:
$t_2 - t_1 = 23 - 15 = 8$
$t_3 - t_2 = 31 - 23 = 8$
$t_4 - t_3 = 39 - 31 = 8$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવાથી (સામાન્ય તફાવત $d = 8$),આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.

(A) $(i)$ વિદ્યાર્થી પાસેથી દર મહિને લેવામાં આવતી ફી $400, 400, 400, 400, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 400 - 400 = 0$ અચળ છે.
$(ii)$ ધોરણ $I$ થી $XII$ માટે લેવામાં આવતી ફી $250, (250+50), (250+2 \times 50), (250+3 \times 50), \ldots$ એટલે કે $250, 300, 350, 400, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 300 - 250 = 50$ અચળ છે.
$(iii)$ એક વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ $\frac{1000 \times 10 \times 1}{100} = 100$ છે. દર વર્ષના અંતે ખાતામાં રહેલી રકમ $1000, (1000+100), (1000+200), (1000+300), \ldots$ એટલે કે $1000, 1100, 1200, 1300, \ldots$ છે. આ એક $AP$ બનાવે છે કારણ કે સામાન્ય તફાવત $(d) = 1100 - 1000 = 100$ અચળ છે.
$(iv)$ ધારો કે બેક્ટેરિયાની પ્રારંભિક સંખ્યા $x$ છે. તેઓ દર સેકન્ડે બમણા થાય છે,તેથી શ્રેણી $x, 2x, 4x, 8x, \ldots$ છે. અહીં,$t_2 - t_1 = x$ અને $t_3 - t_2 = 2x$ છે. તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ $AP$ બનાવતી નથી.

(N/A) $(i)$ હા,અહીં $a_{n}=2n-3$ છે.
$n=1$ મૂકતા,$a_{1}=2(1)-3=-1$.
$n=2$ મૂકતા,$a_{2}=2(2)-3=1$.
$n=3$ મૂકતા,$a_{3}=2(3)-3=3$.
$n=4$ મૂકતા,$a_{4}=2(4)-3=5$.
સંખ્યાઓની યાદી $-1, 1, 3, 5, \ldots$ બને છે.
અહીં,$a_{2}-a_{1}=1-(-1)=2$,$a_{3}-a_{2}=3-1=2$,અને $a_{4}-a_{3}=5-3=2$.
તફાવત $d=2$ સમાન હોવાથી,$2n-3$ એ $AP$ નું $n$ મું પદ છે.
$(ii)$ ના,અહીં $a_{n}=3n^{2}+5$ છે.
$n=1$ મૂકતા,$a_{1}=3(1)^{2}+5=8$.
$n=2$ મૂકતા,$a_{2}=3(2)^{2}+5=17$.
$n=3$ મૂકતા,$a_{3}=3(3)^{2}+5=32$.
સંખ્યાઓની યાદી $8, 17, 32, \ldots$ બને છે.
અહીં,$a_{2}-a_{1}=17-8=9$ અને $a_{3}-a_{2}=32-17=15$.
$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$ હોવાથી,તે $AP$ બનાવતું નથી.
$(iii)$ ના,અહીં $a_{n}=1+n+n^{2}$ છે.
$n=1$ મૂકતા,$a_{1}=1+1+(1)^{2}=3$.
$n=2$ મૂકતા,$a_{2}=1+2+(2)^{2}=7$.
$n=3$ મૂકતા,$a_{3}=1+3+(3)^{2}=13$.
સંખ્યાઓની યાદી $3, 7, 13, \ldots$ બને છે.
અહીં,$a_{2}-a_{1}=7-3=4$ અને $a_{3}-a_{2}=13-7=6$.
$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$ હોવાથી,તે $AP$ બનાવતું નથી.

(D) જો ત્રણ પદો $a, b, c$ એ $AP$ માં હોય,તો $b - a = c - b$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2b = a + c$.
આપેલ પદો $n-2, 4n-1, 5n+2$ છે.
શરત $2(4n-1) = (n-2) + (5n+2)$ લાગુ પાડતા.
$8n - 2 = 6n$.
$8n - 6n = 2$.
$2n = 2$.
તેથી,$n = 1$.

(N/A) અહીં,$a_{1}=0, a_{2}=\frac{1}{4}, a_{3}=\frac{1}{2}$ અને $a_{4}=\frac{3}{4}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ ની ગણતરી કરો:
$a_{2}-a_{1} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$a_{4}-a_{3} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન $(d = \frac{1}{4})$ હોવાથી,આપેલી શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદો નીચે મુજબ છે:
$a_{5} = a_{4} + d = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$a_{6} = a_{5} + d = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(A) આપેલ શ્રેણી: $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots$
અહીં,$a_{1}=5, a_{2}=\frac{14}{3}, a_{3}=\frac{13}{3}$ અને $a_{4}=4$ છે.
સામાન્ય તફાવતની ગણતરી કરીએ:
$a_{2}-a_{1} = \frac{14}{3} - 5 = \frac{14-15}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{3}-a_{2} = \frac{13}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_{4}-a_{3} = 4 - \frac{13}{3} = \frac{12-13}{3} = -\frac{1}{3}$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવાથી $(d = -\frac{1}{3})$,આપેલી શ્રેણી $AP$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_{5} = a_{4} + d = 4 + (-\frac{1}{3}) = \frac{12-1}{3} = \frac{11}{3}$
$a_{6} = a_{5} + d = \frac{11}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}$
$a_{7} = a_{6} + d = \frac{10}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{3} = 3$
આમ,પછીના ત્રણ પદો $\frac{11}{3}, \frac{10}{3}, 3$ છે.

(N/A) અહીં,$a_{1}=\sqrt{3}, a_{2}=2 \sqrt{3}$ અને $a_{3}=3 \sqrt{3}$ છે.
સામાન્ય તફાવતની ગણતરી કરો:
$a_{2}-a_{1}=2 \sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
$a_{3}-a_{2}=3 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$
કારણ કે $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{3}$,જે સામાન્ય તફાવત $(d)$ છે,તેથી આપેલી શ્રેણી $AP$ બનાવે છે.
આગળના ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_{4}=a_{3}+d=3 \sqrt{3}+\sqrt{3}=4 \sqrt{3}$
$a_{5}=a_{4}+d=4 \sqrt{3}+\sqrt{3}=5 \sqrt{3}$
$a_{6}=a_{5}+d=5 \sqrt{3}+\sqrt{3}=6 \sqrt{3}$

(N/A) આપેલ શ્રેણી: $a_1 = a+b, a_2 = a+1+b, a_3 = a+1+b+1$.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધો:
$d_1 = a_2 - a_1 = (a+1+b) - (a+b) = 1$.
$d_2 = a_3 - a_2 = (a+1+b+1) - (a+1+b) = 1$.
અહીં $d_1 = d_2 = 1$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે,તેથી આ શ્રેણી $AP$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_4 = a_3 + d = (a+1+b+1) + 1 = a+b+3 = (a+2)+(b+1)$.
$a_5 = a_4 + d = (a+b+3) + 1 = a+b+4 = (a+2)+(b+2)$.
$a_6 = a_5 + d = (a+b+4) + 1 = a+b+5 = (a+3)+(b+2)$.

(A) આપેલ શ્રેણી: $a_1 = a, a_2 = 2a+1, a_3 = 3a+2, a_4 = 4a+3$.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધો:
$d_1 = a_2 - a_1 = (2a+1) - a = a+1$
$d_2 = a_3 - a_2 = (3a+2) - (2a+1) = a+1$
$d_3 = a_4 - a_3 = (4a+3) - (3a+2) = a+1$
અહીં $d_1 = d_2 = d_3 = a+1$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે. તેથી,આ શ્રેણી $AP$ છે.
આગળના ત્રણ પદો:
$a_5 = a_4 + d = (4a+3) + (a+1) = 5a+4$
$a_6 = a_5 + d = (5a+4) + (a+1) = 6a+5$
$a_7 = a_6 + d = (6a+5) + (a+1) = 7a+6$

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે:
$1$ લું પગથિયું $\frac{1}{2} \, m$ પહોળું છે,
$2$ જું પગથિયું $1 \, m$ પહોળું છે,
$3$ જું પગથિયું $\frac{3}{2} \, m$ પહોળું છે.
તેથી,દરેક પગથિયાની પહોળાઈ દર વખતે $\frac{1}{2} \, m$ વધે છે,જ્યારે તેમની ઊંચાઈ $\frac{1}{4} \, m$ અને લંબાઈ $50 \, m$ સમાન રહે છે.
આમ,આ પગથિયાંની પહોળાઈ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots$
$1$ લા પગથિયામાં કોંક્રિટનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \, m^3$.
$2$ જા પગથિયામાં કોંક્રિટનું ઘનફળ $= 50 \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{2} \, m^3$.
$3$ જા પગથિયામાં કોંક્રિટનું ઘનફળ $= 50 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{75}{4} \, m^3$.
આ પગથિયાંમાં કોંક્રિટનું ઘનફળ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{25}{4}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$ છે.
$n = 15$ પગથિયાં માટે કુલ ઘનફળ સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ 2 \left( \frac{25}{4} \right) + (15 - 1) \left( \frac{25}{4} \right) \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + 14 \times \frac{25}{4} \right] = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + \frac{175}{2} \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{200}{2} \right] = \frac{15}{2} \times 100 = 750$.
આમ,ટેરેસ બનાવવા માટે જરૂરી કોંક્રિટનું કુલ ઘનફળ $750 \, m^3$ છે.

આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = -\frac{1}{6}$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_1) = a = \frac{1}{2}$.
બીજું પદ $(T_2) = a + d = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ત્રીજું પદ $(T_3) = a + 2d = \frac{1}{2} + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ,જરૂરી ત્રણ પદો $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ છે.