Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) અહીં આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = -5$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = -3$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_1) = a = -5$.
બીજું પદ $(T_2) = a + d = -5 + (-3) = -8$.
ત્રીજું પદ $(T_3) = a + 2d = -5 + 2(-3) = -5 - 6 = -11$.
આમ,$AP$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $-5, -8, -11$ છે.

(A) અહીં આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = \sqrt{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_{1}) = a = \sqrt{2}$ છે.
બીજું પદ $(T_{2}) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
ત્રીજું પદ $(T_{3}) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ,પ્રથમ ત્રણ પદો $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) અહીં આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $(a) = \sqrt{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $(d) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$AP$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $(T_1) = a = \sqrt{2}$.
બીજું પદ $(T_2) = a + d = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2+1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
ત્રીજું પદ $(T_3) = a + 2d = \sqrt{2} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + 2}{\sqrt{2}} = \frac{2+2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$.
આમ,પ્રથમ ત્રણ પદ $\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{4}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $a, 7, b, 23, c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોવાથી,સામાન્ય તફાવત $d$ સમાન રહેશે.
$d = 7 - a = b - 7 = 23 - b = c - 23$.
$b - 7 = 23 - b$ લેતા,$2b = 30$ મળે,તેથી $b = 15$.
$7 - a = b - 7$ માં $b = 15$ મૂકતા:
$7 - a = 15 - 7 = 8$,જેથી $a = 7 - 8 = -1$.
$c - 23 = 23 - b$ માં $b = 15$ મૂકતા:
$c - 23 = 23 - 15 = 8$,જેથી $c = 8 + 23 = 31$.
આમ,$a = -1, b = 15, c = 31$.

(D) આપેલ પદો $k^{2}+4k+8, 2k^{2}+3k+6$ અને $3k^{2}+4k+4$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય.
ધારો કે પદો $a_1, a_2, a_3$ છે.
તેથી,$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.
કિંમતો મૂકતા:
$(2k^{2}+3k+6) - (k^{2}+4k+8) = (3k^{2}+4k+4) - (2k^{2}+3k+6)$
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$k^{2} - k - 2 = k^{2} + k - 2$
બંને બાજુથી $k^{2}$ બાદ કરતા અને $2$ ઉમેરતા:
$-k = k$
$2k = 0$
$k = 0$

(A) ધારો કે $207$ ના ત્રણ ભાગ $(a - d)$,$a$ અને $(a + d)$ છે,જે $AP$ માં છે.
આપેલ શરત મુજબ:
આ ભાગોનો સરવાળો $= 207$
$(a - d) + a + (a + d) = 207$
$3a = 207$
$a = 69$
આપેલ છે કે બે નાના ભાગોનો ગુણાકાર $4623$ છે:
$a(a - d) = 4623$
$69(69 - d) = 4623$
$69 - d = \frac{4623}{69}$
$69 - d = 67$
$d = 69 - 67 = 2$
તેથી,ત્રણ ભાગો નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ ભાગ $= a - d = 69 - 2 = 67$
બીજો ભાગ $= a = 69$
ત્રીજો ભાગ $= a + d = 69 + 2 = 71$
આમ,જરૂરી ત્રણ ભાગો $67, 69, 71$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $AP$ માં $a-d, a, a+d$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$(a-d) + a + (a+d) = 180^{\circ}$
$3a = 180^{\circ} \Rightarrow a = 60^{\circ}$.
તેથી ખૂણાઓ $60^{\circ}-d, 60^{\circ}, 60^{\circ}+d$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી નાના ખૂણા કરતાં બમણો છે:
$60^{\circ}+d = 2(60^{\circ}-d)$
$60^{\circ}+d = 120^{\circ}-2d$
$3d = 60^{\circ} \Rightarrow d = 20^{\circ}$.
$d = 20^{\circ}$ ની કિંમત ખૂણાઓમાં મૂકતા:
સૌથી નાનો ખૂણો: $60^{\circ}-20^{\circ} = 40^{\circ}$.
મધ્યમ ખૂણો: $60^{\circ}$.
સૌથી મોટો ખૂણો: $60^{\circ}+20^{\circ} = 80^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $80^{\circ}, 60^{\circ}, 40^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ શ્રેણી $1, 4, 9, 16, \ldots$ એ $A.P.$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત ચકાસીએ.
ધારો કે શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ છે,જ્યાં $a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9, a_4 = 16$ છે.
પ્રથમ તફાવત $d_1 = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$.
બીજો તફાવત $d_2 = a_3 - a_2 = 9 - 4 = 5$.
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન નથી.
તેથી,શ્રેણી $1, 4, 9, 16, \ldots$ એ $A.P.$ નથી.

(D) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$ એ $A.P.$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ.
ધારો કે $a_1 = \frac{1}{2}$,$a_2 = \frac{2}{3}$,$a_3 = \frac{3}{4}$,$a_4 = \frac{4}{5}$.
સામાન્ય તફાવત $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
સામાન્ય તફાવત $d_2 = a_3 - a_2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.
અહીં $d_1 \neq d_2$ હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી.
તેથી,આપેલ શ્રેણી $A.P.$ નથી.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = 8$ અને $d = 5$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ $(T_1)$ = $a = 8$
બીજું પદ $(T_2)$ = $a + d = 8 + 5 = 13$
ત્રીજું પદ $(T_3)$ = $a + 2d = 8 + 2(5) = 8 + 10 = 18$
ચોથું પદ $(T_4)$ = $a + 3d = 8 + 3(5) = 8 + 15 = 23$
આમ,$A.P.$ એ $8, 13, 18, 23, \ldots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ એ $T_n = a + (n-1)d = 8 + (n-1)5 = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$ દ્વારા મળે છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = -12$ અને $d = 3$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $T_1 = a = -12$.
બીજું પદ $T_2 = a + d = -12 + 3 = -9$.
ત્રીજું પદ $T_3 = a + 2d = -12 + 2(3) = -12 + 6 = -6$.
ચોથું પદ $T_4 = a + 3d = -12 + 3(3) = -12 + 9 = -3$.
આમ,$A.P.$ એ $-12, -9, -6, -3, \ldots$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d = -12 + (n-1)3 = -12 + 3n - 3 = 3n - 15$ દ્વારા મળે છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = 21$ અને $d = -7$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $T_1 = a = 21$.
બીજું પદ $T_2 = a + d = 21 + (-7) = 14$.
ત્રીજું પદ $T_3 = a + 2d = 21 + 2(-7) = 21 - 14 = 7$.
ચોથું પદ $T_4 = a + 3d = 21 + 3(-7) = 21 - 21 = 0$.
આમ,$A.P.$ એ $21, 14, 7, 0, \ldots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ એ $T_n = a + (n-1)d = 21 + (n-1)(-7) = 21 - 7n + 7 = -7n + 28$ દ્વારા મળે છે.

(A) $A.P.$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = -15$ અને $d = -7$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = -15$.
બીજું પદ $a_2 = a + d = -15 + (-7) = -22$.
ત્રીજું પદ $a_3 = a + 2d = -15 + 2(-7) = -15 - 14 = -29$.
ચોથું પદ $a_4 = a + 3d = -15 + 3(-7) = -15 - 21 = -36$.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d = -15 + (n-1)(-7) = -15 - 7n + 7 = -7n - 8$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$A.P.$ એ $-15, -22, -29, -36, \ldots$ છે અને સામાન્ય પદ $T_n = -7n - 8$ છે.

(A) $A.P.$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે.
અહીં $a = \frac{15}{2}$ અને $d = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $T_1 = a = \frac{15}{2} = 7.5$.
બીજું પદ $T_2 = a + d = \frac{15}{2} + \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
ત્રીજું પદ $T_3 = a + 2d = \frac{15}{2} + 2(\frac{3}{2}) = \frac{15}{2} + 3 = \frac{15+6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$.
ચોથું પદ $T_4 = a + 3d = \frac{15}{2} + 3(\frac{3}{2}) = \frac{15+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,$A.P.$ એ $\frac{15}{2}, 9, \frac{21}{2}, 12, \ldots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n = a + (n-1)d = \frac{15}{2} + (n-1)\frac{3}{2} = \frac{15 + 3n - 3}{2} = \frac{3n + 12}{2}$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d)$,$a$ અને $(a+d)$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ:
$(a-d) + a + (a+d) = 48$
$3a = 48$
$a = 16$
બીજી શરત મુજબ:
$(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 800$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 800$
$3a^2 + 2d^2 = 800$
$a = 16$ મુકતા:
$3(16)^2 + 2d^2 = 800$
$3(256) + 2d^2 = 800$
$768 + 2d^2 = 800$
$2d^2 = 32$
$d^2 = 16$
$d = \pm 4$
કિસ્સો $1$: જો $a = 16$ અને $d = 4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(16-4), 16, (16+4)$ એટલે કે $12, 16, 20$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 16$ અને $d = -4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(16-(-4)), 16, (16+(-4))$ એટલે કે $20, 16, 12$ મળે.
આમ,માંગેલી સંખ્યાઓ $12, 16, 20$ અથવા $20, 16, 12$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ સંખ્યાના સોના સ્થાન,દશકના સ્થાન અને એકમના સ્થાનના અંકો અનુક્રમે $a-d$,$a$ અને $a+d$ છે.
$\therefore$ મૂળ સંખ્યા $= 100(a-d) + 10(a) + (a+d) = 111a - 99d$.
આપેલ છે કે અંકોનો સરવાળો $15$ છે:
$(a-d) + a + (a+d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા:
$100(a+d) + 10(a) + (a-d) = 111a + 99d$.
આપેલ છે કે નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં $594$ વધારે છે:
$(111a + 99d) - (111a - 99d) = 594$
$198d = 594$
$d = 3$.
તેથી,અંકો નીચે મુજબ છે:
સોનું સ્થાન: $a-d = 5-3 = 2$
દશકનું સ્થાન: $a = 5$
એકમનું સ્થાન: $a+d = 5+3 = 8$
આમ,મૂળ સંખ્યા $258$ છે.

(D) આપેલ પદો $2x$,$x+10$ અને $3x+2$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત સમાન હોય.
તેથી,$(x+10) - 2x = (3x+2) - (x+10)$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$-x + 10 = 2x - 8$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$10 + 8 = 2x + x$.
$18 = 3x$.
$x = \frac{18}{3} = 6$.
આમ,$x$ ની કિંમત $6$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d)$, $a$, અને $(a+d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, તેમનો સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = -3$ છે.
$3a = -3$, તેથી $a = -1$ મળે છે.
સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 8$ છે.
$a = -1$ મૂકતા, આપણને $(-1-d)(-1)(-1+d) = 8$ મળે છે.
$-1(1-d^2) = 8$, જેનું સાદું રૂપ $d^2 - 1 = 8$ થાય છે.
$d^2 = 9$, તેથી $d = \pm 3$ મળે છે.
જો $d = 3$ હોય, તો સંખ્યાઓ $(-1-3), -1, (-1+3)$ એટલે કે $-4, -1, 2$ થાય છે.
જો $d = -3$ હોય, તો સંખ્યાઓ $(-1-(-3)), -1, (-1+(-3))$ એટલે કે $2, -1, -4$ થાય છે.
આમ, તે સંખ્યાઓ $-4, -1, 2$ અથવા $2, -1, -4$ છે.

(A) ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો તેની શરત $2b = a + c$ છે.
અહીં,$a = x+1$,$b = 3x$,અને $c = 4x+2$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(3x) = (x+1) + (4x+2)$
$6x = 5x + 3$
$6x - 5x = 3$
$x = 3$
તેથી,$x$ ની કિંમત $3$ છે.

(N/A) આપેલ પદો $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ અને $(a+b)^{2}$ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે.
ધારો કે પદો $T_1 = (a-b)^2$,$T_2 = (a^2+b^2)$,અને $T_3 = (a+b)^2$ છે.
પ્રથમ,બીજા અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત $(d_1)$ શોધો:
$d_1 = T_2 - T_1 = (a^2 + b^2) - (a - b)^2$
$d_1 = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
$d_1 = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab$
હવે,ત્રીજા અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત $(d_2)$ શોધો:
$d_2 = T_3 - T_2 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$
$d_2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)$
$d_2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$
અહીં $d_1 = d_2 = 2ab$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે.
તેથી,આપેલ પદો સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $50$ છે:
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 50$
$4a = 50 \implies a = 12.5$.
સૌથી નાની સંખ્યા $(a-3d)$ છે અને સૌથી મોટી સંખ્યા $(a+3d)$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી મોટી સંખ્યા એ સૌથી નાની સંખ્યા કરતા ચાર ગણી છે:
$(a+3d) = 4(a-3d)$
$12.5 + 3d = 4(12.5 - 3d)$
$12.5 + 3d = 50 - 12d$
$15d = 37.5 \implies d = 2.5$.
તેથી સંખ્યાઓ છે:
$12.5 - 3(2.5) = 12.5 - 7.5 = 5$
$12.5 - 2.5 = 10$
$12.5 + 2.5 = 15$
$12.5 + 3(2.5) = 12.5 + 7.5 = 20$.
આમ,સંખ્યાઓ $5, 10, 15, 20$ અથવા ઉલટા ક્રમમાં $20, 15, 10, 5$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d)$,$a$,અને $(a+d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = 12$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3a = 12$ મળે,તેથી $a = 4$.
તેથી સંખ્યાઓ $(4-d)$,$4$,અને $(4+d)$ છે.
તેમના ઘનનો સરવાળો $(4-d)^3 + 4^3 + (4+d)^3 = 288$ છે.
ઘનનું વિસ્તરણ કરતા: $(64 - 48d + 12d^2 - d^3) + 64 + (64 + 48d + 12d^2 + d^3) = 288$.
પદોને ભેગા કરતા: $192 + 24d^2 = 288$.
$24d^2 = 96$,જે આપે છે $d^2 = 4$,તેથી $d = \pm 2$.
જો $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(4-2), 4, (4+2)$ એટલે કે $2, 4, 6$ મળે.
જો $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(4-(-2)), 4, (4+(-2))$ એટલે કે $6, 4, 2$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $2, 4, 6$ અથવા $6, 4, 2$ છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના ચાર ખૂણાઓ $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ છે.
અહીં,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $2d = 10^{\circ}$ છે,તેથી $d = 5^{\circ}$.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$.
$4a = 360^{\circ} \implies a = 90^{\circ}$.
ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$a-3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
$a-d = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ}$.
$a+d = 90^{\circ} + 5^{\circ} = 95^{\circ}$.
$a+3d = 90^{\circ} + 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $75^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ}, 105^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $-2, -4, -6, \ldots$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ શોધવા માટે બીજા પદમાંથી પ્રથમ પદ બાદ કરવામાં આવે છે: $d = a_2 - a_1$.
અહીં,$a_1 = -2$ અને $a_2 = -4$ છે.
તેથી,$d = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d$ ની કિંમત $-2$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ છે.
આ શ્રેણીમાં,દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે:
$1 + 1 = 2$
$1 + 2 = 3$
$2 + 3 = 5$
$3 + 5 = 8$
$5 + 8 = 13$,અને આ રીતે આગળ વધે છે.
આ ભાત ફિબોનાકી શ્રેણી દર્શાવે છે,જ્યાં $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ($n > 2$ માટે),જેમાં $F_1 = 1$ અને $F_2 = 1$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
શ્રેણી $2, 5, 8, 11, \ldots$ માટે:
$T_2 - T_1 = 5 - 2 = 3$
$T_3 - T_2 = 8 - 5 = 3$
$T_4 - T_3 = 11 - 8 = 3$
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અચળ હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ છે.
અન્ય વિકલ્પો માટે:
$A$: $4-2=2$,$8-4=4$ (અચળ નથી)
$B$: $0-3=-3$,$3-0=3$ (અચળ નથી)
$D$: $4-0=4$,$-4-4=-8$ (અચળ નથી)
તેથી,$2, 5, 8, 11, \ldots$ એ સાચી સમાંતર શ્રેણી છે.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ સમાન તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,જ્યારે $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$. અહીં $-\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{12}$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $B$: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$,$0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$,અને $-\frac{1}{2} - 0 = -\frac{1}{2}$. અહીં સામાન્ય તફાવત $d = -\frac{1}{2}$ સમાન હોવાથી,આ $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $C$: $6 - (-3) = 9$,જ્યારે $-6 - 6 = -12$. અહીં $9 \neq -12$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $D$: $\frac{1}{5} - 5 = -\frac{24}{5}$,જ્યારે $3 - \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$. અહીં $-\frac{24}{5} \neq \frac{14}{5}$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ અચળ તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $-3 - (-1) = -2$,$-5 - (-3) = -2$,$-7 - (-5) = -2$. અહીં તફાવત સમાન હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $15 - 20 = -5$,$10 - 15 = -5$,$5 - 10 = -5$. અહીં તફાવત સમાન હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $-2 - 2 = -4$,$-6 - (-2) = -4$,$-10 - (-6) = -4$. અહીં તફાવત સમાન હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$,જ્યારે $\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3-4}{12} = -\frac{1}{12}$. અહીં તફાવત સમાન ન હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ નથી.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,શ્રેણીને $a, a+d, a+2d, \dots$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,પ્રથમ પદને $a$ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ સમાન તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $0 - 1 = -1$,$-1 - 0 = -1$,$-2 - (-1) = -1$. અહીં સામાન્ય તફાવત સમાન $(d = -1)$ હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $6 - 7 = -1$,$5 - 6 = -1$,$4 - 5 = -1$. અહીં સામાન્ય તફાવત સમાન $(d = -1)$ હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $0 - 1 = -1$,પરંતુ $1 - 0 = 1$. અહીં તફાવત સમાન નથી $(-1 \neq 1)$,તેથી તે $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $-9 - (-10) = 1$,$-8 - (-9) = 1$,$-7 - (-8) = 1$. અહીં સામાન્ય તફાવત સમાન $(d = 1)$ હોવાથી,તે $A.P.$ છે.
તેથી,શ્રેણી $1, 0, 1, 0, \ldots$ એ $A.P.$ નથી.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી હોય છે કે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ રહે છે.
આ અચળ તફાવતને $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત કહેવામાં આવે છે.
સામાન્ય તફાવતને $d$ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવાની પ્રમાણિત ગાણિતિક પદ્ધતિ છે.
તેથી,બે ક્રમિક પદો $(a_{n} - a_{n-1})$ વચ્ચેના તફાવતને $d$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $-2, -4, -6, -8, \ldots$ છે.
સામાન્ય તફાવત $(d)$ શોધવા માટે,આપણે બીજા પદ $(T_2)$ માંથી પ્રથમ પદ $(T_1)$ બાદ કરીશું.
$d = T_2 - T_1$
$d = -4 - (-2)$
$d = -4 + 2$
$d = -2$
તેથી,સામાન્ય તફાવત $-2$ છે.

(B) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 0$ અને બીજું પદ $T_2 = \frac{1}{2}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ એ $d = T_2 - T_1$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,સામાન્ય તફાવત $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $0.1, 0.4, 0.7, 1, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = 0.1$,બીજું પદ $a_2 = 0.4$ અને ત્રીજું પદ $a_3 = 0.7$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$d = a_2 - a_1 = 0.4 - 0.1 = 0.3$
વૈકલ્પિક રીતે,$d = a_3 - a_2 = 0.7 - 0.4 = 0.3$
આમ,સામાન્ય તફાવત $0.3$ છે.

(C) $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવત દ્વારા મળે છે,$d = a_{n} - a_{n-1}$.
અહીં આપેલ $A.P.$ $\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, \frac{11}{2}, \frac{15}{2}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = \frac{3}{2}$ અને બીજું પદ $a_2 = \frac{7}{2}$ છે.
તેથી,$d = a_2 - a_1 = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$.
$d = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $2$ છે.

(A) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
આપેલ $A.P.$ માં: $100, 98, 96, 94, \ldots$
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદને '$a$' વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
શ્રેણીનું અવલોકન કરતા,પ્રથમ પદ $100$ છે.
તેથી,$a = 100$.

(C) $4$ ના ધન ગુણકો $4, 8, 12, 16, \dots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 4$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 4 = 4$.
વૈકલ્પિક રીતે,$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d$ એ $4$ છે.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
અહીં,$a = -3$ અને $d = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ = $-3$
બીજું પદ = $a + d = -3 + 4 = 1$
ત્રીજું પદ = $a + 2d = -3 + 2(4) = -3 + 8 = 5$
ચોથું પદ = $a + 3d = -3 + 3(4) = -3 + 12 = 9$
આમ,માંગેલ $A.P.$ એ $-3, 1, 5, 9, \ldots$ છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ સમાન તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$) $2, 2, 2, 2, \ldots$: અહીં,$d = 2 - 2 = 0$. સામાન્ય તફાવત સમાન $(0)$ હોવાથી,આ એક $A.P.$ છે.
$B$) $0, 1, 0, 1, \ldots$: અહીં,$1 - 0 = 1$ અને $0 - 1 = -1$. $1 \neq -1$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
$C$) $-3, -2, -1, 0, \ldots$: અહીં,$d = -2 - (-3) = 1$ અને $-1 - (-2) = 1$. સામાન્ય તફાવત સમાન $(1)$ હોવાથી,આ પણ એક $A.P.$ છે.
નોંધ: વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને સમાંતર શ્રેણી છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે $C$ ને વધુ યોગ્ય ગણવામાં આવે છે.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ હોય છે,જેને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
જો $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d \neq 0$ હોય,તો શ્રેણીનું દરેક પદ ભિન્ન હોય છે.
જો $A.P.$ ના બે પદો સમાન હોય,ધારો કે $n \neq m$ માટે $a_n = a_m$,તો $a + (n-1)d = a + (m-1)d$ થાય.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $(n-1)d = (m-1)d$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(n-m)d = 0$.
અહીં $n \neq m$ હોવાથી,$d = 0$ હોવું જોઈએ.
જોકે,પ્રશ્નમાં '$A.P.$ ના ભિન્ન પદો' નો ઉલ્લેખ છે,જેનો અર્થ છે કે પદો એકબીજાથી અલગ હોવા જોઈએ.
તેથી,$A.P.$ ના બે ભિન્ન પદો ક્યારેય સમાન હોઈ શકે નહીં.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ નું વ્યાપક સ્વરૂપ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $a = -3$
બીજું પદ: $a + d = -3 + (-2) = -5$
ત્રીજું પદ: $a + 2d = -3 + 2(-2) = -3 - 4 = -7$
ચોથું પદ: $a + 3d = -3 + 3(-2) = -3 - 6 = -9$
આમ,સમાંતર શ્રેણી $-3, -5, -7, -9, \ldots$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ એ સંખ્યાઓની એવી શ્રેણી છે જેમાં કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે. આ અચળ તફાવતને સામાન્ય તફાવત $(d)$ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $3, 3, 3, 3, \ldots$. અહીં,$d = 3 - 3 = 0$. તફાવત સમાન હોવાથી,આ એક $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $B$: $2, 22, 222, 2222, \ldots$. અહીં,$22 - 2 = 20$ અને $222 - 22 = 200$. $20 \neq 200$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
વિકલ્પ $C$: $5, 15, 25, 35, \ldots$. અહીં,$15 - 5 = 10$ અને $25 - 15 = 10$. આ પણ $d = 10$ સાથેની એક $A.P.$ છે.
વિકલ્પ $D$: $4, -4, 4, -4, \ldots$. અહીં,$-4 - 4 = -8$ અને $4 - (-4) = 8$. $-8 \neq 8$ હોવાથી,આ $A.P.$ નથી.
નોંધ: ગાણિતિક રીતે $A$ અને $C$ બંને સમાંતર શ્રેણી છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે પાઠ્યપુસ્તકોમાં $C$ ને વધુ યોગ્ય ઉદાહરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $(a-d)$,$a$,અને $(a+d)$ છે.
આપેલ છે કે આ પદોનો સરવાળો $30$ છે:
$(a-d) + a + (a+d) = 30$
$3a = 30$
$a = 10$
આપેલ છે કે પ્રથમ અને છેલ્લા પદનો ગુણાકાર $75$ છે:
$(a-d)(a+d) = 75$
$a^2 - d^2 = 75$
$a = 10$ મૂકતા:
$10^2 - d^2 = 75$
$100 - d^2 = 75$
$d^2 = 100 - 75 = 25$
$d = \pm 5$
વિકલ્પમાં $5$ આપેલ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત $5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $k+1, 8, k+9$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં સામાન્ય તફાવત $d$ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$8 - (k+1) = (k+9) - 8$
$8 - k - 1 = k + 1$
$7 - k = k + 1$
$7 - 1 = k + k$
$6 = 2k$
$k = 3$

(D) શ્રેણી $1, 3, 6, 10, \ldots$ ના સ્વરૂપને સમજવા માટે,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$3 - 1 = 2$
$6 - 3 = 3$
$10 - 6 = 4$
અહીં તફાવત $2, 3, 4, \ldots$ છે,જે અચળ નથી,તેથી આ સમાંતર શ્રેણી નથી.
ગુણોત્તર $3/1 = 3$,$6/3 = 2$,$10/6 = 1.66$ છે,જે અચળ નથી,તેથી આ ગુણોત્તર શ્રેણી પણ નથી.
ફિબોનાકી શ્રેણી $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે આ પેટર્ન સાથે મળતી નથી.
આ સંખ્યાઓને ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n=1$ માટે $T_1 = 1$; $n=2$ માટે $T_2 = 3$; $n=3$ માટે $T_3 = 6$; $n=4$ માટે $T_4 = 10$ મળે છે. આમ,આ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓની શ્રેણી છે.

(B) આપેલ $A.P.$ $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, \ldots$ છે.
આ શ્રેણીમાં વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે દરેક પદ તપાસીએ:
$5$: અવિભાજ્ય
$7$: અવિભાજ્ય
$9$: વિભાજ્ય $(3 \times 3)$
$11$: અવિભાજ્ય
$13$: અવિભાજ્ય
$15$: વિભાજ્ય $(3 \times 5)$
$17$: અવિભાજ્ય
$19$: અવિભાજ્ય
$21$: વિભાજ્ય $(3 \times 7)$
$23$: અવિભાજ્ય
$25$: વિભાજ્ય $(5 \times 5)$
શ્રેણીમાં વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $9, 15, 21, 25, \ldots$ છે.
પ્રથમ વિભાજ્ય સંખ્યા $9$ છે.
બીજી વિભાજ્ય સંખ્યા $15$ છે.
ત્રીજી વિભાજ્ય સંખ્યા $21$ છે.
ચોથી વિભાજ્ય સંખ્યા $25$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,સામાન્ય તફાવત $d$ એ કોઈપણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $x, y, z$ એ સમાંતર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદો છે.
તેથી,$d = y - x$ અને $d = z - y$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $d + d = (y - x) + (z - y)$.
$2d = z - x$.
આમ,$d = \frac{z - x}{2}$.

(D) જો ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો વચ્ચેનું પદ એ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક હોય છે.
આ માટેનું સૂત્ર $b = \frac{a + c}{2}$ છે.
અહીં,$a = 2$,$b = x$,અને $c = 20$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{2 + 20}{2}$
$x = \frac{22}{2}$
$x = 11$.
તેથી,$x$ ની કિંમત $11$ છે.