Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(D) परवलय $y^2=x$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{4m}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6y+4=0$ का केंद्र $(0, 3)$ और त्रिज्या $\sqrt{5}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $mx - y + \frac{1}{4m} = 0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए: $\frac{|-3 + \frac{1}{4m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ अर्थात $x - 2y + 1 = 0$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $x^2+y^2=a^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0$
$-\frac{x}{y} = 0 \implies x = 0$।
वक्र के समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$0^2 + y^2 = a^2 \implies y^2 = a^2$।
चूंकि $y \geq 0$ है,इसलिए हमें $y = a$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र पर स्थित बिंदु $(0, a)$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$,$f=0$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 0)$ है।
वृत्त का कोई भी अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
अभिलंब रेखा $x+2y-3=0$ के समांतर है।
रेखा $x+2y-3=0$ की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि अभिलंब इस रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल भी $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(1, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)$।
$2y = -x + 1$,जिसे सरल करने पर $x + 2y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $P, Q, R, S$ हैं। भुजाएँ $x=-5$ और $y=4$ हैं। वर्ग का केंद्र $C(3,-4)$ है।
केंद्र $C(3,-4)$ से रेखा $x=-5$ की दूरी $|3 - (-5)| = 8$ है। भुजा की लंबाई $2 \times 8 = 16$ है,इसलिए अन्य भुजाएँ $x=11$ और $y=-12$ हैं।
शीर्ष $P(-5, 4)$,$S(11, 4)$,$R(11, -12)$,और $Q(-5, -12)$ हैं।
$x=-5$ पर स्थित शीर्ष $P(-5, 4)$ और $Q(-5, -12)$ हैं।
वर्ग के परिवृत्त का केंद्र $C(3,-4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-4 - 4)^2} = 8\sqrt{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 128$ है।
$P(-5, 4)$ पर स्पर्श रेखा $y-x = 9$ है।
$Q(-5, -12)$ पर स्पर्श रेखा $x+y = -17$ है।
$y-x=9$ और $x+y=-17$ को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-13, -4)$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि रेखा $x-2y-6=0$ अभिलंब है,यह केंद्र से होकर गुजरती है:
$-g - 2(-f) - 6 = 0$ $\Rightarrow -g + 2f = 6$ $\Rightarrow g = 2f - 6$.
रेखा $y=2$ वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा $y=2$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
$r = |-f - 2| = \sqrt{g^2 + f^2 + 8}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(f+2)^2 = g^2 + f^2 + 8$.
$f^2 + 4f + 4 = g^2 + f^2 + 8 \Rightarrow 4f - 4 = g^2$.
$g = 2f - 6$ को समीकरण में रखने पर:
$4f - 4 = (2f - 6)^2 = 4f^2 - 24f + 36$.
$4f^2 - 28f + 40 = 0 \Rightarrow f^2 - 7f + 10 = 0$.
$(f-2)(f-5) = 0 \Rightarrow f = 2$ या $f = 5$.
यदि $f = 2$,तो $g = -2$. त्रिज्या $r = |-2 - 2| = 4$.
यदि $f = 5$,तो $g = 4$. त्रिज्या $r = |-5 - 2| = 7$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=1$ है। त्रिज्या $r=1$ है और केंद्र $(0,0)$ है।
माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - \sqrt{2} = m(x - \sqrt{2})$ है,जिसे $mx - y + \sqrt{2}(1-m) = 0$ लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=1$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर होगी।
सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करने पर,$1 = \frac{|\sqrt{2}(1-m)|}{\sqrt{m^2+1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m^2+1 = 2(1-m)^2$ मिलता है।
$m^2+1 = 2 - 4m + 2m^2$ अर्थात $m^2 - 4m + 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+2y+c=0$ है। वृत्त का केंद्र $C = (3, -1)$ है।
चूंकि $x-2y=0$ बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $CP$ स्पर्श रेखा के लंबवत है।
स्पर्श रेखा का ढाल $m_1 = 1/2$ है। अतः,अभिलंब $CP$ का ढाल $m_2 = -2$ है।
केंद्र $C(3, -1)$ से गुजरने वाली और $-2$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण $y+1 = -2(x-3)$ अर्थात $2x+y-5=0$ है।
बिंदु $P$ स्पर्श रेखा $x-2y=0$ और अभिलंब $2x+y-5=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x=2y$,अतः $2(2y)+y-5=0 \implies 5y=5 \implies y=1$. अतः $x=2$. इस प्रकार $P = (2, 1)$.
बिंदु $P(2, 1)$ और $(6, 3)$ के बीच की दूरी:
$d = \sqrt{(6-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(D) माना स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के लिए,त्रिज्या $r = 4$ और केंद्र $(0, 0)$ है।
रेखा $mx - y + c = 0$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ है,इसलिए $c^2 = 16(m^2 + 1)$।
वृत्त $(x - 9)^2 + y^2 = 16$ के लिए,केंद्र $(9, 0)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
रेखा $mx - y + c = 0$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $\frac{|9m + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ है,इसलिए $(9m + c)^2 = 16(m^2 + 1)$।
$16(m^2 + 1)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$c^2 = (9m + c)^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $c = -(9m + c)$ या $c = 9m + c$।
स्थिति $1$: $c = 9m + c \implies 9m = 0 \implies m = 0$।
स्थिति $2$: $c = -9m - c \implies 2c = -9m \implies c = -\frac{9m}{2}$।
$c = -\frac{9m}{2}$ को $c^2 = 16(m^2 + 1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{81m^2}{4} = 16m^2 + 16 \implies 81m^2 = 64m^2 + 64 \implies 17m^2 = 64 \implies m^2 = \frac{64}{17}$।
अतः,$m = \pm \frac{8}{\sqrt{17}}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही ढाल $\frac{8}{\sqrt{17}}$ है।

(D) बिंदु $(-1, -2)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल की रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x + 1)$ है,जिसे $mx - y + (m - 2) = 0$ लिखा जा सकता है।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ की स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 4)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|m(3) - 4 + m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 3| = \sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2m - 3)^2 = m^2 + 1$
$3m^2 - 12m + 8 = 0$
यहाँ $m_1 + m_2 = 4$ और $m_1 m_2 = \frac{8}{3}$ है।
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{16 - \frac{32}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\sqrt{3}|m_1 - m_2| = 4$।

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k)$ दोनों अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = -5$ $(1)$
$4x - 5y = -7$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x - 6y = -10$ $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(4x - 5y) - (4x - 6y) = -7 - (-10) \implies y = 3$.
$y = 3$ को $(1)$ में रखने पर: $2x - 3(3) = -5 \implies 2x - 9 = -5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
अतः,वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है।
बिंदु $(2, 5)$ वृत्त पर स्थित है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(2, 3)$ और बिंदु $(2, 5)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x-6y+2=0$ है।
तुलना करने पर,केंद्र $C(-3, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ है,जिससे $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज के गुण से,$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{CP} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $CP = 5$।
$CP^2 = (k+3)^2 + (6k-3)^2 = 25$।
$37k^2 - 30k - 7 = 0$।
$(37k + 7)(k - 1) = 0$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k = 1$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ है।
केंद्र $C = (2, -3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि रेखा $4x - 3y + p = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
$\frac{|4(2) - 3(-3) + p|}{5} = 3 \Rightarrow |17 + p| = 15$.
$p + 3 > 0$ होने के कारण,$p = -2$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करने पर,$h = -2/5$ और $k = -6/5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$h - 2k = -2/5 - 2(-6/5) = 2$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ है।
केंद्र $C = (1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3}$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = 1 + \sqrt{3}\cos\theta$ और $y = 1 + \sqrt{3}\sin\theta$ हैं।
$P(\frac{\pi}{4})$ के लिए,$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, y_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$।
$Q(\frac{\pi}{3})$ के लिए,$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, y_2 = 1 + \frac{3}{2}$।
जीवा $PQ$ का ढाल $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}} = 2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा के समानांतर है,इसलिए इसका ढाल $2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$ होगा।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x+6y-2=0$ है। केंद्र $O$ $(-3, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2-(-2)} = \sqrt{9+9+2} = \sqrt{20}$ है।
चूंकि बिंदु $Q$ $Y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ है। रेखा के समीकरण $5x-2y+6=0$ में $x=0$ रखने पर,$-2y+6=0$ प्राप्त होता है,जिससे $y=3$ मिलता है। अतः,$Q$ $(0, 3)$ है।
बिंदु $Q(0, 3)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{S_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_1 = x_1^2+y_1^2+6x_1+6y_1-2$ है।
$PQ = \sqrt{0^2+3^2+6(0)+6(3)-2} = \sqrt{0+9+0+18-2} = \sqrt{25} = 5$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x=0$ है। वृत्त का केंद्र $(5,0)$ है।
बिंदु $(9,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $9x + 3y - 5(x+9) = 0$ अर्थात $4x + 3y - 45 = 0$ है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को बिंदु $A(\frac{45}{4}, 0)$ पर काटती है।
अभिलंब का समीकरण $3x - 4y - 15 = 0$ है।
अभिलंब $X$-अक्ष को बिंदु $B(5,0)$ पर काटती है।
त्रिभुज के शीर्ष $P(9,3)$,$A(\frac{45}{4}, 0)$ और $B(5,0)$ हैं।
आधार $AB = \frac{45}{4} - 5 = \frac{25}{4}$ और ऊँचाई $3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times 3 = \frac{75}{8}$ वर्ग इकाई।

(B) रेखा $x+2y=1$ है। $X$-अंतःखंड $A(1,0)$ और $Y$-अंतःखंड $B(0, 1/2)$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-x-\frac{1}{2}y=0$ है।
मूलबिंदु पर स्पर्श रेखा $2x+y=0$ है।
$A(1,0)$ से लंबवत दूरी $d_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
$B(0, 1/2)$ से लंबवत दूरी $d_2 = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ है।
दूरियों का योग $d_1+d_2 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{5}}{4}$ है।
अतः,योग $2r$ है,जो वृत्त $S$ के व्यास के बराबर है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है,जो $x^2 + y^2 = a^2$ के रूप में है जहाँ $a^2 = 16$ है।
हम जानते हैं कि रेखा $y = mx + C$,वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होती है यदि $C^2 = a^2(1 + m^2)$ हो।
$a^2 = 16$ रखने पर,$C^2 = 16(1 + m^2)$ प्राप्त होता है।
$16$ से भाग देने पर,$\frac{C^2}{16} = 1 + m^2$ प्राप्त होता है।
$m^2$ के लिए हल करने पर,$m^2 = \frac{C^2}{16} - 1 = \frac{C^2 - 16}{16}$ प्राप्त होता है।
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,$m = \pm \frac{1}{4} \sqrt{C^2 - 16}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $T^2=SS_1$ होता है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0,0)$ है और वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+g^2=0$ है।
$(0,0)$ पर $S_1 = g^2$ है।
$(0,0)$ पर स्पर्श रेखा $T = gx+fy+g^2$ है।
$T^2=SS_1$ में मान रखने पर:
$(gx+fy+g^2)^2 = (x^2+y^2+2gx+2fy+g^2)(g^2)$
$g^2x^2+f^2y^2+g^4+2gfxy+2g^3x+2g^2fy = g^2x^2+g^2y^2+2g^3x+2g^2fy+g^4$
समान पदों को हटाने पर:
$f^2y^2+2gfxy = g^2y^2$
$y^2(g^2-f^2)-2gfxy = 0$
$y[(g^2-f^2)y-2gfx] = 0$
अतः,समीकरण $y=0$ और $(g^2-f^2)y-2gfx=0$ हैं।

(A) रेखा $ax+by-1=0$ वृत्त $x^2+y^2-r^2=0$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $ax+by-1=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|a(0)+b(0)-1|}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{a^2+b^2} = r^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2+b^2 = \frac{1}{r^2}$.
यदि $r=1$ है,तो $a^2+b^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि बिंदु $(a,b)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है,अर्थात $S_1=0$।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ है।
चूंकि बिंदु $(a, 4)$ वृत्त पर स्थित है,हम $y=4$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x^2+4^2-6x-2(4)+1=0$
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(3, 4)$ है,इसलिए $a=3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c'=0$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c'=0$ होता है।
यहाँ,$g=-3, f=-1, c'=1$ और $(x_1, y_1)=(3, 4)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x(3)+y(4)-3(x+3)-1(y+4)+1=0$
$3x+4y-3x-9-y-4+1=0$
$3y-12=0 \Rightarrow y-4=0$.
इसे $y+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c=-4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$ac = 3 \times (-4) = -12$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है।
केंद्र $A(1, 2)$ और त्रिज्या $r=5$ है।
बिंदु $B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y=7$ है।
बिंदु $D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x-4y=20$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(16, 7)$ है।
चतुर्भुज $ABCD$ दो समकोण त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ से बना है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 15 = 37.5$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 37.5 = 75$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $S \equiv x^2+y^2-13=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = -\frac{2}{3}$ है।
अब,बिंदु $\left(m, -\frac{1}{m}\right)$ का मान $\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)$ होगा।
वृत्त के सापेक्ष इस बिंदु की स्थिति की जाँच करने के लिए,हम इसे $S(x, y) = x^2+y^2-13$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 13 = \frac{4}{9} + \frac{9}{4} - 13 = \frac{16 + 81 - 468}{36} = -\frac{371}{36}$।
चूँकि $S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) < 0$ है,इसलिए यह बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+4y=12$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 12+9+4 = 25 = 5^2$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3, -2)$ है और त्रिज्या $r=5$ है।
रेखा $4x+3y+5=0$ के समांतर रेखा का रूप $4x+3y+k=0$ है।
केंद्र $(3, -2)$ से स्पर्श रेखा $4x+3y+k=0$ की दूरी त्रिज्या $r=5$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5$.
$\frac{|12-6+k|}{5} = 5
\Rightarrow |6+k| = 25$.
इससे $6+k = 25$ या $6+k = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 19$ या $k = -31$.
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $4x+3y+19=0$ और $4x+3y-31=0$ हैं।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+8y-144=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$2g = -6 \Rightarrow g = -3$ और $2f = 8 \Rightarrow f = 4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, -4)$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
मान लीजिए कि अभिलंब वृत्त को पुनः $(x_1, y_1)$ बिंदु पर मिलता है।
चूंकि केंद्र $(3, -4)$,$(8, 8)$ और $(x_1, y_1)$ को जोड़ने वाली जीवा का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+8}{2} = 3$ $\Rightarrow x_1+8 = 6$ $\Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{y_1+8}{2} = -4$ $\Rightarrow y_1+8 = -8$ $\Rightarrow y_1 = -16$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-2, -16)$ है।

(C) माना $(a, b)$ वह बिंदु है जहाँ रेखा $4x - 3y + 7 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ को स्पर्श करती है।
वृत्त पर बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xa + yb - 3(x + a) + 2(y + b) - 12 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(a - 3)x + (b + 2)y - (3a - 2b + 12) = 0$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $4x - 3y + 7 = 0$ के साथ तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात:
$\frac{a - 3}{4} = \frac{b + 2}{-3} = \frac{-(3a - 2b + 12)}{7} = k$.
इससे,$a = 4k + 3$ और $b = -3k - 2$.
तीसरे अनुपात में मान रखने पर: $-(3(4k + 3) - 2(-3k - 2) + 12) = 7k$.
$-(12k + 9 + 6k + 4 + 12) = 7k$ $\Rightarrow -(18k + 25) = 7k$ $\Rightarrow -25k = 25$ $\Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ रखने पर,$a = 4(-1) + 3 = -1$ और $b = -3(-1) - 2 = 1$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(-1, 1)$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P(1, \sqrt{3})$ वृत्त पर स्थित है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ है,जो $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$ अर्थात $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर मिलती है।
$P(1, \sqrt{3})$ पर अभिलंब मूल बिंदु $O(0, 0)$ से गुजरता है और इसका समीकरण $y = \sqrt{3}x$ है।
त्रिभुज $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ और $A(4, 0)$ बिंदुओं द्वारा निर्मित है।
$\triangle OPA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OA \times y_P = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2=4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(1, \sqrt{3})$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$(1, \sqrt{3})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x + \sqrt{3}y = 4$ हो जाता है।
यह स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B(4, 0)$ पर काटती है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ है।
$(1, \sqrt{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = \sqrt{3}x$ हो जाता है।
यह अभिलंब मूल बिंदु $O(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
धनात्मक $x$-अक्ष,स्पर्शरेखा और अभिलंब द्वारा निर्मित त्रिभुज $\triangle OAB$ है,जहाँ $O(0, 0)$,$A(1, \sqrt{3})$,और $B(4, 0)$ हैं।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OB \times AD$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $AD$ बिंदु $A$ का $y$-निर्देशांक है।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$।

(D) रेखा $x+3y=0$ वृत्त पर $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा है। वृत्त की त्रिज्या $r=1$ है।
वृत्त का केंद्र $(h,k)$ स्पर्श रेखा के $(0,0)$ पर अभिलंब पर स्थित है।
स्पर्श रेखा $x+3y=0$ की ढाल $m_t = -\frac{1}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = 3$ है।
$(0,0)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y-0 = 3(x-0)$ है,जो $y=3x$ है।
अतः,केंद्र $(x, 3x)$ के रूप में है।
केंद्र $(x, 3x)$ से $(0,0)$ तक की दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\sqrt{(x-0)^2 + (3x-0)^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + 9x^2} = 1$
$\sqrt{10x^2} = 1$
$|x|\sqrt{10} = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$.
यदि $x = \frac{1}{\sqrt{10}}$,तो $y = 3x = \frac{3}{\sqrt{10}}$. अतः केंद्र $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही उत्तर $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ है।

(D) दी गई रेखा $y=2x+c$ है,जिसे $2x-y+c=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y=mx+c_1$ से तुलना करने पर,हमें $m=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=5$ है,इसलिए त्रिज्या $r=\sqrt{5}$ है।
रेखा $y=mx+c_1$ के वृत्त $x^2+y^2=r^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c_1^2 = r^2(1+m^2)$ है।
मान रखने पर,हमें $c^2 = 5(1+2^2)$ प्राप्त होता है।
$c^2 = 5(1+4) = 5(5) = 25$.
अतः,$c = \pm 5$.
दिए गए विकल्पों में से,$c$ का मान $5$ है।

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ और बिंदु $(1,3)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11}$
$= \sqrt{1+9-2+12-11}$
$= \sqrt{22-13}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

(A) रेखा $y-3x=0$ वृत्त की एक स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,1)$ से रेखा $3x-y=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
माना मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा $y=mx$ है,अर्थात $mx-y=0$ है।
केंद्र $(1,1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी भी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$.
$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$.
$3m^2 - 10m + 3 = 0$.
$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$.
$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$.
$(3m-1)(m-3) = 0$.
अतः,$m=3$ या $m=\frac{1}{3}$ है।
चूंकि $m=3$ दी गई स्पर्श रेखा $y=3x$ के अनुरूप है,इसलिए दूसरी स्पर्श रेखा $y=\frac{1}{3}x$ है,जो $3y=x$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=3$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-3, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
हमें केंद्र $(-3, -2)$ और दिए गए बिंदु $(1, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए रेखा का समीकरण $y = -2$ होगा।
अतः,अभिलंब का समीकरण $y+2=0$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+2x-2y+1=0$ है,जिसे $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $C(-1, 1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ $x+y+k=0$ और $x+ay+b=0$ लंबवत हैं,उनकी ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = -1/a$ के लिए $m_1 m_2 = -1$ होगा। अतः,$(-1)(-1/a) = -1$,जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-1, 1)$ से स्पर्श रेखा $x+y+k=0$ की दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर है:
$\frac{|-1+1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 1 \Rightarrow |k| = \sqrt{2}$. चूंकि $k > 1$,इसलिए $k = \sqrt{2}$.
केंद्र $(-1, 1)$ से स्पर्श रेखा $x-y+b=0$ की दूरी भी $r=1$ है:
$\frac{|-1-1+b|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = 1 \Rightarrow |b-2| = \sqrt{2}$.
इससे $b-2 = \sqrt{2}$ या $b-2 = -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $b > 1$,हम $b = 2+\sqrt{2}$ लेते हैं।
अंत में,$b-k = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$.

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1=T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2+y^2-4=0$ और बिंदु $(4,0)$ है।
$S_1 = 4^2+0^2-4 = 12$.
$T = 4x-4$.
$SS_1=T^2$ में मान रखने पर:
$12(x^2+y^2-4) = (4x-4)^2$.
$12(x^2+y^2-4) = 16(x-1)^2$.
$4$ से विभाजित करने पर:
$3(x^2+y^2-4) = 4(x^2-2x+1)$.
$3x^2+3y^2-12 = 4x^2-8x+4$.
$x^2-3y^2-8x+16 = 0$.
$(x-4)^2 - 3y^2 = 0$.
$(x-4)^2 = 3y^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{3}y = \pm(x-4)$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-1, f=2, c=3$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+2^2-3} = \sqrt{1+4-3} = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $P(6,-5)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{S_1}$ है।
$L = \sqrt{6^2+(-5)^2-2(6)+4(-5)+3} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,जहाँ $O$ केंद्र है और $A$ स्पर्श बिंदु है,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{L} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{2\tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{2(\frac{1}{4})}{1-(\frac{1}{4})^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$ है।
अतः,$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{15}{8}$।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^2+y^2-6x+4y+12=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2=1$.
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $(3, -2)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
माना बिंदु $(1, -3)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y+3=m(x-1)$ है,जो $mx-y-m-3=0$ में सरल होता है।
केंद्र $(3, -2)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर होनी चाहिए:
$\left|\frac{m(3)-(-2)-m-3}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2m-1)^2 = m^2+1$.
$4m^2-4m+1 = m^2+1$.
$3m^2-4m = 0$.
$m(3m-4) = 0$.
अतः,ढाल $m_1=0$ और $m_2=\frac{4}{3}$ हैं।
अंत में,$9(m_1^2+m_2^2) = 9(0^2 + (\frac{4}{3})^2) = 9(\frac{16}{9}) = 16$.

(A) $C_1$ और $C_2$ के केंद्र $O(0,0)$ और $A(1,0)$ हैं और त्रिज्या $r=1$ है।
$C_3$ एक इकाई वृत्त है जो $O(0,0)$ और $A(1,0)$ से गुजरता है। मान लीजिए केंद्र $(h, k)$ है।
$(0,0)$ से गुजरने पर,$h^2 + k^2 = 1$ और $(1,0)$ से गुजरने पर $(h-1)^2 + k^2 = 1$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $h = 1/2$ और $k = \sqrt{3}/2$ मिलता है।
$C_3$ का केंद्र $(1/2, \sqrt{3}/2)$ है।
रेखा $L: ax + by + c = 0$ $C_1$ की स्पर्श रेखा है यदि $|c|/\sqrt{a^2+b^2} = 1$ हो।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ $C_1$ और $C_3$ दोनों की स्पर्श रेखा है और यह $C_2$ को नहीं काटती है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ है।
केंद्र $O(1, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $P(6, -5)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\tan(\theta/2) = \frac{OA}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$।
$\tan \theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(1,1)$ से वृत्त $x^2+y^2+gx+gy-2=0$ पर स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं।
स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{1^2+1^2+g(1)+g(1)-2} = \sqrt{1+1+g+g-2} = \sqrt{2g}$.
वृत्त का केंद्र $C$ $(-\frac{g}{2}, -\frac{g}{2})$ है और त्रिज्या $r = AC = \sqrt{(-\frac{g}{2})^2 + (-\frac{g}{2})^2 - (-2)} = \sqrt{\frac{g^2}{4} + \frac{g^2}{4} + 2} = \sqrt{\frac{g^2+4}{2}} = \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $PA$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle PAC = 90^\circ$. $\triangle PAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PA \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2g} \times \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g}$.
चतुर्भुज $PACB$ दो सर्वांगसम त्रिभुजों $\triangle PAC$ और $\triangle PBC$ से बना है।
अतः,चतुर्भुज $PACB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle PAC) = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g} = \sqrt{g^3+4g}$.

(C) दी गई रेखाएँ $3x + 4y - 14 = 0$ और $6x + 8y + 7 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$3x + 4y + \frac{7}{2} = 0$.
चूँकि ये रेखाएँ वृत्त की समानांतर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए वृत्त का व्यास इन दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -14$,और $c_2 = \frac{7}{2}$.
$d = \frac{|-14 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-\frac{28}{2} - \frac{7}{2}|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{35}{2}|}{5} = \frac{35}{2 \times 5} = \frac{7}{2}$.
वृत्त की त्रिज्या $r$ समानांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी की आधी होती है:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.

(B) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए यह शर्त लागू करने पर:
$1$) $4g + 4f = c + 7$
$2$) $-4g + 4f = c + 7$
$3$) $-4g - 4f = c + 7$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर $8g = 0 \Rightarrow g = 0$ प्राप्त होता है।
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर $c = -7$ प्राप्त होता है।
अतः $f = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 - 7 = 0$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + c = 0$ के अनुसार $\sqrt{3}x + 2y - 7 = 0$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-16y+64=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 8)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $mx-y+c=0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होती है:
$\left|\frac{2m-4+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 2 \Rightarrow c = 2\sqrt{1+m^2}-2m+4$
$\left|\frac{3m-8+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 3 \Rightarrow c = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$c$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2\sqrt{1+m^2}-2m+4 = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$\sqrt{1+m^2} = m-4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1+m^2 = m^2-8m+16$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 10 = 0$ है।
रेखा $y = 6$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $Q = (6\sqrt{3} - 10, 6)$ है।
रेखा $x = -6$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $R = (-6, \frac{4}{\sqrt{3}})$ है।
तीसरा शीर्ष $S = (-6, 6)$ है।
त्रिभुज $RSQ$ का क्षेत्रफल $\frac{62 - 24\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।