Geometric progression Questions in Gujarati

(C) કારણ કે $a, b$ અને $c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2$ થાય.
રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં આ કિંમતો મુકતા,$ax + ary + ar^2 = 0$ મળે.
$a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને),$x + ry + r^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = -ry - r^2$.
$x = -ry - r^2$ ને વક્ર $x + 2y^2 = 0$ માં મુકતા,$-ry - r^2 + 2y^2 = 0$ અથવા $2y^2 - ry - r^2 = 0$ મળે.
આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $A = 2, B = -r, C = -r^2$.
યામોનો સરવાળો (દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો સરવાળો) $= -\frac{B}{A} = -\frac{-r}{2} = \frac{r}{2}$ થાય.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \ldots \infty$ છે.
આને $1 - \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \infty$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{2}{3}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{1}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $x_1, x_2, x_3$ અને $y_1, y_2, y_3$ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
ધારો કે $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ અને $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$.
બિંદુઓ $A(a, b), B(ar, br), C(ar^2, br^2)$ છે.
તેઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |a(br - br^2) + ar(br^2 - b) + ar^2(b - br)|$
$= \frac{1}{2} |abr(1 - r) + abr(r^2 - 1) + abr^2(1 - r)|$
$= \frac{1}{2} |abr - abr^2 + abr^3 - abr + abr^2 - abr^3| = 0$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha = \frac{a}{r}, \beta = a, \gamma = ar$ છે. તેઓ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $\frac{a^3}{r} \cdot r = a^3 = \frac{24}{3} = 8$ થાય.
આમ,$a = 2$.
બીજનો સરવાળો $\frac{a}{r} + a + ar = \frac{26}{3}$ થાય.
$a = 2$ મૂકતા,$\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3}$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{13}{3}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$ થાય.
$3r$ વડે ગુણતા,$3r^2 - 10r + 3 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા $(3r - 1)(r - 3) = 0$ મળે,તેથી $r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$.
$\alpha < \beta < \gamma$ હોવાથી,$r > 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $r = 3$.
બીજ $\alpha = \frac{2}{3}, \beta = 2, \gamma = 6$ છે.
અંતે,$3\alpha + 2\beta + \gamma = 3(\frac{2}{3}) + 2(2) + 6 = 2 + 4 + 6 = 12$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $3x^3-26x^2+52x-24=0$ ના બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન સમીકરણ $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{a}{r} \times a \times ar = -\frac{(-24)}{3} = 8$.
$a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$.
હવે,બીજનો સરવાળો $\frac{a}{r} + a + ar = -\frac{(-26)}{3} = \frac{26}{3}$ થાય.
$a=2$ મૂકતા: $\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $3r^2 - 10r + 3 = 0$ મળે,જેનાથી $r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,બીજ $\frac{2}{3}, 2, 6$ છે.
બે બીજનો સરવાળો $\frac{2}{3}+2 = \frac{8}{3}$ થાય છે,જે વિકલ્પમાં આપેલ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ છે અને $\beta^2=\alpha \gamma$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં છે.
હવે,સમીકરણ $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ ને ધ્યાનમાં લો. આને $a(kx)^3+b(kx)^2+c(kx)+d=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = kx$. તો સમીકરણ $ay^3+by^2+cy+d=0$ બને છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
તેથી,$kx = \alpha, kx = \beta, kx = \gamma$,જે આપે છે $x = \frac{\alpha}{k}, x = \frac{\beta}{k}, x = \frac{\gamma}{k}$.
આમ,બીજ $u, v, w$ એ $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ છે.
જેમ કે $\alpha, \beta, \gamma$ $G$.$P$. માં છે,તેથી તેમના સ્કેલ કરેલા મૂલ્યો $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ પણ $G$.$P$. માં છે.
તેથી,$u, v, w$ $G$.$P$. માં છે,જે સૂચવે છે કે $v^2=uw$.

(D) આપેલ ઘાત સમીકરણ: $x^3-14x^2+56x-64=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ, બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma=14$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=56$
$\alpha\beta\gamma=64$
નાની પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા, આપણને મળે છે કે $x=2$ એક બીજ છે:
$2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$ છે.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$(x-2)(x^2-12x+32)=0$
$(x-2)(x-4)(x-8)=0$
બીજ $\alpha=2, \beta=4, \gamma=8$ છે.
કારણ કે $\frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2$ છે, તેથી બીજ ગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
બીજ ચકાસતા,$x=2$ માટે: $2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$.
તેથી,$(x-2)$ એક અવયવ છે.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2-12x+32=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-4)(x-8)=0$.
બીજ $2, 4, 8$ છે.
અહીં $\frac{4}{2} = 2$ અને $\frac{8}{4} = 2$ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.
તેથી,બીજ $GP$ માં છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $8 x^3+6 p x^2+3 q x-27=0$ ના બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\frac{a}{r}+a+ar = -\frac{6p}{8} = -\frac{3p}{4} \Rightarrow a(\frac{1}{r}+1+r) = -\frac{3p}{4} \dots (i)$
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $(\frac{a}{r} \cdot a) + (a \cdot ar) + (\frac{a}{r} \cdot ar) = \frac{3q}{8}$ $\Rightarrow a^2(\frac{1}{r}+r+1) = \frac{3q}{8} \dots (ii)$
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -(\frac{-27}{8}) = \frac{27}{8}$ $\Rightarrow a^3 = \frac{27}{8}$ $\Rightarrow a = \frac{3}{2} \dots (iii)$
(ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા: $\frac{a^2(\frac{1}{r}+r+1)}{a(\frac{1}{r}+r+1)} = \frac{3q/8}{-3p/4}$ $\Rightarrow a = \frac{3q}{8} \cdot (-\frac{4}{3p}) = -\frac{q}{2p} \dots (iv)$
(iii) અને (iv) ને સરખાવતા: $\frac{3}{2} = -\frac{q}{2p} \Rightarrow q = -3p$.
હવે,$q = -3p$ ને પદાવલિ $q^2+9p^2+6pq+\frac{q}{p}$ માં મૂકતા:
$(-3p)^2 + 9p^2 + 6p(-3p) + \frac{-3p}{p} = 9p^2 + 9p^2 - 18p^2 - 3 = 18p^2 - 18p^2 - 3 = -3$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos x$ છે.
સરવાળો અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$|\cos x| < 1$ હોવું જોઈએ.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{1}{1-\cos x} = 4+2 \sqrt{3}$.
$1-\cos x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos x = \cos \frac{\pi}{6}$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6} = (12n \pm 1) \frac{\pi}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $S_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $S_i = 2^{n-i}$.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા એ $1$ થી $n$ સુધીના તમામ $i$ માટે ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો સરવાળો છે.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $= \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} 2^{n-i}$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^0$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.
આપેલ છે કે ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $2047$ છે, તેથી $2^n - 1 = 2047$.
$2^n = 2048$.
$2048 = 2^{11}$ હોવાથી, આપણને $n = 11$ મળે છે.

(B) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a, ar, ar^2$ છે, જ્યાં $ar^2$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $(ar^2)^2 = a^2 + (ar)^2$.
$a^2$ વડે ભાગતા, $r^4 = 1 + r^2$, જેનો અર્થ છે $r^4 - r^2 - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $r^2$ માટે ઉકેલતા, $r^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ($r^2 > 0$ હોવાથી).
આમ, $r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
ત્રિકોણમાં, $\tan \alpha = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{ar}{a} = r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
તે જ રીતે, $\tan \beta = \frac{a}{ar} = \frac{1}{r} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.
તેથી, કિંમતો $\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ અને $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ છે.

(B) કણ પગલાંઓની શ્રેણીમાં ગતિ કરે છે. $x$-યામ અને $y$-યામ નીચે મુજબ બદલાય છે:
$x$-યામ: $1, 1, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}, \dots$
આ આડી ગતિ માટેની ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $x_{\infty} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$y$-યામ: $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \dots$
આ ઊભી ગતિ માટેની ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $y_{\infty} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \dots = \frac{1/2}{1 - (-1/4)} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$.
આમ, $(\alpha, \beta) = (\frac{4}{3}, \frac{2}{5})$.

(B) ધારો કે $a_{n}$ એ $GP$ નું સામાન્ય પદ છે, જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$a_{n} = a_{n+1} + a_{n+2}$
$a r^{n-1} = a r^{n} + a r^{n+1}$
પદો ધન હોવાથી, $a \neq 0$ અને $r > 0$. $a r^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^{2}$
$r^{2} + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$GP$ ના પદો ધન હોવાથી, સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી, $r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(C) $GP$ ના છ પદો $\frac{a}{r^5}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3, ar^5$ ધારો.
આ પદોનો ગુણાકાર $1000$ આપેલ છે:
$\frac{a}{r^5} \cdot \frac{a}{r^3} \cdot \frac{a}{r} \cdot ar \cdot ar^3 \cdot ar^5 = 1000$
$a^6 = 1000 = 10^3$
$a^2 = (10^3)^{1/3} = 10$.
ચોથું પદ $1$ આપેલ છે:
$ar = 1 \Rightarrow a^2r^2 = 1$.
$a^2 = 10$ મૂકતા:
$10r^2 = 1 \Rightarrow r^2 = \frac{1}{10}$.
છેલ્લું પદ $ar^5 = \sqrt{a^2(r^2)^5} = \sqrt{10 \cdot (\frac{1}{10})^5} = \sqrt{\frac{1}{10^4}} = \frac{1}{100}$.

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $GP$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. $P$ મું, $Q$ મું અને $R$ મું પદ અનુક્રમે $ar^{P-1}$, $ar^{Q-1}$ અને $ar^{R-1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$ar^{P-1} = 64$ $(i)$
$ar^{Q-1} = 27$ (ii)
$ar^{R-1} = 36$ (iii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$r^{P-Q} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$ (iv)
(ii) ને (iii) વડે ભાગતા:
$r^{Q-R} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
$3$ ઘાત લેતા:
$r^{3(Q-R)} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3}$ $(v)$
(iv) અને $(v)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$r^{P-Q} \times r^{3Q-3R} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-3} = 1$
$r^{P+2Q-3R} = r^0$
તેથી, $P+2Q-3R = 0$, જેનો અર્થ છે કે $P+2Q = 3R$.

(D) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ છે, જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે $S = \frac{4}{5}$ અને $a = \frac{3}{4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{\frac{3}{4}}{1-r}$.
બંને બાજુ $(1-r)$ વડે ગુણતા, આપણને મળે છે $\frac{4}{5}(1-r) = \frac{3}{4}$.
$1-r = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$.
$r = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \frac{6}{3^{26}} + \sum_{k=0}^{24} \frac{10 \cdot 2^k}{3^{25-k}}$ છે.
આને $S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \sum_{k=0}^{24} (6)^k$ તરીકે લખી શકાય.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \left[ \frac{6^{25} - 1}{5} \right] = \frac{6}{3^{26}} + \frac{2}{3^{25}} (6^{25} - 1)$.
$S = \frac{6}{3^{26}} + 2 \cdot 2^{25} - \frac{2}{3^{25}} = \frac{2}{3^{25}} + 2^{26} - \frac{2}{3^{25}} = 2^{26}$.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $\frac{A}{r}, A, Ar$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $27$ આપેલ છે:
$\frac{A}{r} \cdot A \cdot Ar = 27 \implies A^3 = 27 \implies A = 3$.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3 \left( r + \frac{1}{r} + 1 \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $r \neq 0$ માટે, $r + \frac{1}{r} \geq 2$ અથવા $r + \frac{1}{r} \leq -2$.
જો $r + \frac{1}{r} \geq 2$ હોય, તો $S \geq 3(2 + 1) = 9$.
જો $r + \frac{1}{r} \leq -2$ હોય, તો $S \leq 3(-2 + 1) = -3$.
આમ, $S$ માટેના શક્ય મૂલ્યોનો ગણ $(-\infty, -3] \cup [9, \infty)$ છે, જે $\mathbb{R} - (-3, 9)$ છે.
આને $\mathbb{R} - (a, b)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = -3$ અને $b = 9$ મળે છે.
તેથી, $a^2 + b^2 = (-3)^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90$.

(A) આ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 729 = 3^6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ છે.
$P_n$ એ પ્રથમ $n$ પદોનો ગુણાકાર છે: $P_n = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} = 3^{6n} \cdot 3^{-n(n-1)} = 3^{7n - n^2}$.
તેથી, $(P_n)^{\frac{1}{n}} = 3^{7-n}$.
આપણે $2 \sum_{n=1}^{40} 3^{7-n}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $40$ પદોની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે, જેમાં પ્રથમ પદ $A = 3^6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $= 2 \cdot 3^6 \left( \frac{1 - (1/3)^{40}}{1 - 1/3} \right) = \frac{3^{40}-1}{3^{33}}$.
સરખામણી કરતા, $\alpha = 40$ અને $\beta = 33$ મળે છે.
તેથી, $\alpha + \beta = 40 + 33 = 73$.

(A) આપેલ શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી, $\frac{a_2/2}{a_1} = \frac{a_3/2^2}{a_2/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{a_2}{2a_1} = \frac{a_3}{2a_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, તેથી $\frac{a_2}{a_1} = \sqrt{2}$.
આમ, $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ એ $a_1$ પ્રથમ પદ અને $R = \sqrt{2}$ સામાન્ય ગુણોત્તર ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = a_1 \frac{R^{10}-1}{R-1} = 62$.
$a_1 \frac{(\sqrt{2})^{10}-1}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 \frac{31}{\sqrt{2}-1} = 62$.
$a_1 = 2(\sqrt{2}-1)$.

(B) ધારો કે $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ છે. આપેલ છે કે $a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 64$, તેથી $(ar)(ar^2)(ar^3) = 64$, જેનો અર્થ છે કે $a^3 r^6 = 64$, એટલે કે $ar^2 = 4$.
આપેલ છે કે $a_1 + a_3 + a_5 = \frac{813}{7}$, તેથી $a + ar^2 + ar^4 = \frac{813}{7}$.
$a = \frac{4}{r^2}$ મૂકતા, આપણને મળે $\frac{4}{r^2} + 4 + 4r^2 = \frac{813}{7}$.
ધારો કે $x = r^2$. તો $\frac{4}{x} + 4 + 4x = \frac{813}{7} \Rightarrow 28x^2 - 785x + 28 = 0$.
પદો વધતા હોવાથી, $r > 1$, તેથી $x = r^2 = 28$.
આપણે $a_3 + a_5 + a_7 = ar^2 + ar^4 + ar^6 = ar^2(1 + r^2 + r^4) = 4(1 + 28 + 28^2) = 4(813) = 3252$ મેળવીએ છીએ.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $P = c/a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, $P = \frac{n^2 - 2n + 2}{n^2 - 2n + 2} = 1$. ગુણાકાર અચળ હોવાથી, તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\alpha = 1$ છે.
બીજનો સરવાળો $S = -b/a = \frac{3}{n^2 - 2n + 2}$ દ્વારા મળે છે.
$S$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે છેદ $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$ ને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
છેદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ ($n=1$ પર) છે, તેથી સરવાળાનું મહત્તમ મૂલ્ય $\beta = 3/1 = 3$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે, પ્રથમ પદ $a = \alpha = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \alpha/\beta = 1/3$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ છે.
$n=6$ માટે, $S_6 = \frac{1(1-(1/3)^6)}{1-1/3} = \frac{1 - 1/729}{2/3} = \frac{728/729}{2/3} = \frac{728}{729} \times \frac{3}{2} = \frac{364}{243}$.

(NONE) $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $f(\theta) \ge 2\sqrt{\alpha \tan^2 \theta \cdot \beta \cot^2 \theta} = 2\sqrt{\alpha\beta}$.
ત્યારબાદ, $\alpha > \beta > 0$ હોવાથી, $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\alpha$ છે.
આપેલ છે કે $\min f(\theta) = \max g(\theta)$, તેથી $2\sqrt{\alpha\beta} = \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $4\alpha\beta = \alpha^2$, જે સૂચવે છે કે $\alpha = 4\beta$ (કારણ કે $\alpha \neq 0$).
પ્રથમ પદ $a = \frac{\alpha}{2\beta} = \frac{4\beta}{2\beta} = 2$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2\beta}{\alpha} = \frac{2\beta}{4\beta} = \frac{1}{2}$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = a \frac{1-r^{10}}{1-r} = 2 \frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2} = 4(1 - \frac{1}{1024}) = 4 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{256}$.
આમ, $m = 1023$ અને $n = 256$. $\gcd(1023, 256) = 1$ હોવાથી, $m+n = 1023 + 256 = 1279$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $\sqrt{2}, g_1, g_2, 4$ છે.
અહીં, પ્રથમ પદ $a = \sqrt{2}$ અને ચોથું પદ $ar^3 = 4$ છે.
$r^3 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{1/2}} = 2^{2 - 1/2} = 2^{3/2}$।
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, $r = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
આમ, મૂકેલી સંખ્યાઓ છે:
$g_1 = a \cdot r = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$।
$g_2 = a \cdot r^2 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$।