Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $2 \sin ^2 \theta = \cos ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{5 \pi}{8} + \sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
सर्वसमिकाओं $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^4(\frac{7\pi}{8}) = \sin^4(\frac{\pi}{8})$
$\cos^4(\frac{5\pi}{8}) = \cos^4(\frac{3\pi}{8})$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^2 \theta = (\cos ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{\pi}{8}) + (\sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{3 \pi}{8})$
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$= [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3\pi}{4}]$
$= 2 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}] = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
अतः,$2 \sin^2 \theta = \frac{3}{2} \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया है $\cos^2 B - \sin^2 A = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}}$.
सर्वसमिका $\cos^2 B - \sin^2 A = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos(A+B) \cos(A-B) = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}} \dots (i)$.
दिया गया है $2 \cos A \cos B = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos(A+B) + \cos(A-B) = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \dots (ii)$.
माना $x = \cos(A+B)$ और $y = \cos(A-B)$. $(i)$ और $(ii)$ से,$xy = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}}$ और $x+y = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2}$.
इन्हें हल करने पर,हमें $x = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ और $y = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \cos 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = 60^{\circ}$ और $A-B = 15^{\circ}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर,$2A = 75^{\circ} \implies A = 37.5^{\circ}$ और $2B = 45^{\circ} \implies B = 22.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos^2 \frac{4B}{3} - \sin^2 \frac{4A}{5} = \cos^2 \frac{4(22.5^{\circ})}{3} - \sin^2 \frac{4(37.5^{\circ})}{5} = \cos^2 30^{\circ} - \sin^2 30^{\circ} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) हम सर्वसमिका $\cos^3 \alpha + \cos^3 \left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos^3 \left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) = \frac{3}{4} \cos(3\alpha)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $f(\theta) = \cos^3 \theta + \cos^3 \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos^3 \left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)$।
चूंकि $\cos \left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$,इसलिए $f(\theta) = \frac{3}{4} \cos(3\theta)$ हो जाता है।
$\theta = \frac{\pi}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर,$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{3}{4} \cos \left(\frac{3\pi}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos \left(\frac{3\pi}{5}\right) = \frac{1-\sqrt{5}}{4}$।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{3}{4} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{3(1-\sqrt{5})}{16}$।

(C) माना $P = \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3 \pi}{14} \sin \frac{5 \pi}{14} \sin \frac{7 \pi}{14} \sin \frac{9 \pi}{14} \sin \frac{11 \pi}{14} \sin \frac{13 \pi}{14}$ है।
चूंकि $\sin \frac{13 \pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$,$\sin \frac{11 \pi}{14} = \sin \frac{3 \pi}{14}$,$\sin \frac{9 \pi}{14} = \sin \frac{5 \pi}{14}$ और $\sin \frac{7 \pi}{14} = 1$ है,इसलिए:
$P = (\sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3 \pi}{14} \sin \frac{5 \pi}{14})^2 \times 1$.
$\sin \theta = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$P = (\cos \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{\pi}{7})^2$.
दिए गए सर्वसमिका के अनुसार,$\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} = -\frac{1}{8}$ है।
अतः,$P = (-\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$।

(C) माना $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{\pi}{14} \cos \frac{3 \pi}{14} \cos \frac{5 \pi}{14}$.
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\cos \frac{\pi}{14} = \sin \frac{3 \pi}{7}$,$\cos \frac{3 \pi}{14} = \sin \frac{2 \pi}{7}$,और $\cos \frac{5 \pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2 \pi}{7} \sin \frac{3 \pi}{7}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = (\sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7}) (\sin \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7}) (\sin \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7})$.
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$P = \frac{1}{8} (\sin \frac{2 \pi}{7} \sin \frac{4 \pi}{7} \sin \frac{6 \pi}{7})$.
चूंकि $\sin \frac{6 \pi}{7} = \sin \frac{\pi}{7}$ और $\sin \frac{4 \pi}{7} = \sin \frac{3 \pi}{7}$,इसलिए $P = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2 \pi}{7} \sin \frac{3 \pi}{7}$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करते हुए,सरल करने पर उत्तर $\frac{1}{32} [\sin \frac{2 \pi}{7} + \sin \frac{3 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}]$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = \sin 6^{\circ} + \sin 54^{\circ} + \sin 126^{\circ} + \cos 156^{\circ}$
सर्वसमिका $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ और $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\sin 126^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 54^{\circ}) = \sin 54^{\circ}$
$\cos 156^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$
अतः,$E = \sin 6^{\circ} + 2 \sin 54^{\circ} - \cos 24^{\circ}$
$\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$ और $\cos 24^{\circ} = \sin 66^{\circ}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \sin 6^{\circ} - \sin 66^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ}$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$E = 2 \cos 36^{\circ} \sin(-30^{\circ}) + 2 \cos 36^{\circ}$
$E = 2 \cos 36^{\circ} \times (-\frac{1}{2}) + 2 \cos 36^{\circ}$
$E = -\cos 36^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ} = \cos 36^{\circ}$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,इसलिए उत्तर $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।

(A) दिया गया है $\tan \beta = \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \cos^2 \alpha}$.
अंश और हर को $\cos^2 \alpha$ से विभाजित करने पर,$\tan \beta = \frac{n \tan \alpha}{\sec^2 \alpha - n} = \frac{n \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha - n} = \frac{n \tan \alpha}{(1 - n) + \tan^2 \alpha}$.
अब,$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
$\tan \beta$ का मान रखने पर:
$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \frac{n \tan \alpha}{(1 - n) + \tan^2 \alpha}}{1 - \tan \alpha \left( \frac{n \tan \alpha}{(1 - n) + \tan^2 \alpha} \right)}$
$= \frac{\tan \alpha ((1 - n) + \tan^2 \alpha + n)}{(1 - n) + \tan^2 \alpha - n \tan^2 \alpha} = \frac{\tan \alpha (1 + \tan^2 \alpha)}{(1 - n)(1 + \tan^2 \alpha)} = \frac{\tan \alpha}{1 - n}$.
अतः,$\tan (\alpha + \beta) \cdot \cot \alpha = \left( \frac{\tan \alpha}{1 - n} \right) \cdot \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{1 - n} = \frac{-1}{n - 1}$.

(A) माना $A = \frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ} + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} - \cos 66^{\circ}}{\sqrt{2} \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} \sin 33^{\circ}}$.
चूँकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अंश $1 + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} - \cos 66^{\circ}$ हो जाता है।
व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 - \cos 66^{\circ} + \cos 56^{\circ} + \cos 58^{\circ} = 2 \sin^2 33^{\circ} + 2 \cos 57^{\circ} \cos 1^{\circ}$।
चूँकि $\sin 33^{\circ} = \cos 57^{\circ}$,अंश $2 \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})$ है।
हर $\sqrt{2} \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} \cos 57^{\circ}$ है।
$2 \cos 28^{\circ} \cos 29^{\circ} = \cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\frac{2 \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})}{\sqrt{2} \cos 57^{\circ} (\cos 57^{\circ} + \cos 1^{\circ})} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ में सरल हो जाता है।

(A) दिया है,$\cos x + \cos y = p$ और $\sin x + \sin y = q$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos x + \cos y)^2 + (\sin x + \sin y)^2 = p^2 + q^2$
$(\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2(\cos x \cos y + \sin x \sin y) = p^2 + q^2$
$1 + 1 + 2\cos(x - y) = p^2 + q^2$
$2 + 2\cos(x - y) = p^2 + q^2$
$2(1 + \cos(x - y)) = p^2 + q^2$
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$2(2\cos^2(\frac{x-y}{2})) = p^2 + q^2$
$4\cos^2(\frac{x-y}{2}) = p^2 + q^2$
$\cos^2(\frac{x-y}{2}) = \frac{p^2 + q^2}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos(\frac{x-y}{2}) = \pm \frac{\sqrt{p^2 + q^2}}{2}$

(C) दिया गया है $\frac{5 \sinh 2x}{7+6 \cosh 2x} = \frac{3}{2}$.
सर्वसमिकाओं $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ और $\cosh 2x = 2 \cosh^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5(2 \sinh x \cosh x)}{7+6(2 \cosh^2 x - 1)} = \frac{3}{2}$
$\frac{10 \sinh x \cosh x}{12 \cosh^2 x + 1} = \frac{3}{2}$
अंश और हर को $\cosh^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10 \tanh x}{12 + \text{sech}^2 x} = \frac{3}{2}$
चूंकि $\text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$:
$\frac{10 \tanh x}{12 + 1 - \tanh^2 x} = \frac{3}{2}$
$\frac{10 \tanh x}{13 - \tanh^2 x} = \frac{3}{2}$
$20 \tanh x = 39 - 3 \tanh^2 x$
$3 \tanh^2 x + 20 \tanh x = 39$

(D) दिया है: $a \tan \alpha + b \tan \beta = (a + b) \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a \left( \tan \alpha - \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right) = b \left( \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) - \tan \beta \right)$
सर्वसमिका $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a \sin \left( \alpha - \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{\cos \alpha \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} = \frac{b \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} - \beta \right)}{\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \beta}$
$\frac{a \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \alpha} = \frac{b \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \beta}$
चूंकि $\alpha - \beta \neq 2n\pi$,इसलिए $\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \neq 0$ है।
दोनों पक्षों को $\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{\cos \alpha} = \frac{b}{\cos \beta}$
अतः,$\frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = \frac{b}{a}$.

(C) दिया गया है,$\sin x + \sin y = 3(\cos y - \cos x)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = 3 \left( -2 \sin \left(\frac{y+x}{2}\right) \sin \left(\frac{y-x}{2}\right) \right)$
चूंकि $x \neq -y$,$\sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)$ से विभाजित करने पर:
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -3 \sin \left(\frac{y-x}{2}\right) = 3 \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
$\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{3}$
अब,$\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(x-y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x-y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right)}$
$\tan(x-y) = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$

(C) हम सर्वसमिका $\sin A \cdot \sin(60^{\circ}-A) \cdot \sin(60^{\circ}+A) = \frac{1}{4} \sin 3A$ का उपयोग करते हैं।
$A = 20^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin 20^{\circ} \cdot \sin 40^{\circ} \cdot \sin 80^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 60^{\circ}$.
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(\sin 20^{\circ} \cdot \sin 40^{\circ} \cdot \sin 80^{\circ}) \cdot \sin 60^{\circ} = (\frac{1}{4} \sin 60^{\circ}) \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{4} \sin^2 60^{\circ}$.
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin^2 60^{\circ} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$.

(A) दिया गया है,$\frac{\cos (\theta_1+\theta_2)}{\cos (\theta_1-\theta_2)}+\frac{\cos (\theta_3-\theta_4)}{\cos (\theta_3+\theta_4)}=0$.
पहले पद के अंश और हर को $\cos \theta_1 \cos \theta_2$ से और दूसरे पद को $\cos \theta_3 \cos \theta_4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1-\tan \theta_1 \tan \theta_2}{1+\tan \theta_1 \tan \theta_2} + \frac{1-\tan \theta_3 \tan \theta_4}{1+\tan \theta_3 \tan \theta_4} = 0$.
मान लीजिए $x = \tan \theta_1 \tan \theta_2$ और $y = \tan \theta_3 \tan \theta_4$.
तब $\frac{1-x}{1+x} + \frac{1-y}{1+y} = 0$.
$(1-x)(1+y) + (1-y)(1+x) = 0$.
$1 + y - x - xy + 1 + x - y - xy = 0$.
$2 - 2xy = 0 \Rightarrow xy = 1$.
अतः,$(\tan \theta_1 \tan \theta_2)(\tan \theta_3 \tan \theta_4) = 1$.
इसलिए,$\cot \theta_1 \cot \theta_2 \cot \theta_3 \cot \theta_4 = \frac{1}{\tan \theta_1 \tan \theta_2 \tan \theta_3 \tan \theta_4} = \frac{1}{1} = 1$.

(C) दिया गया है,$\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) - \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} = \frac{2+1}{2-1}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}} = \frac{3}{1}$.
$\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = 3$.
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan(x) \tan(x-50^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan(A+B)\tan(A-B) = \frac{\cos(2B)-\cos(2A)}{\cos(2B)+\cos(2A)}$ का उपयोग करने पर।
समीकरण को हल करने पर हमें $\sin(4x+100^{\circ}) = -\cos(50^{\circ})$ प्राप्त होता है।
$\sin(4x+100^{\circ}) = \sin(270^{\circ}-50^{\circ}) = \sin(220^{\circ})$.
$4x+100^{\circ} = 220^{\circ}$ $\Rightarrow 4x = 120^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.

(B) दिया गया है कि $\tan \theta_1 = k \cot \theta_2$ है।
चूंकि $\cot \theta_2 = \frac{1}{\tan \theta_2}$,हमारे पास $\tan \theta_1 = \frac{k}{\tan \theta_2}$ है,जिसका अर्थ है $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = k$।
अब,व्यंजक $\frac{\cos (\theta_1 + \theta_2)}{\cos (\theta_1 - \theta_2)}$ पर विचार करें।
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2}{\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\cos \theta_1 \cos \theta_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2}{1 + \tan \theta_1 \tan \theta_2}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta_1 \tan \theta_2 = k$ प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक $\frac{1-k}{1+k}$ हो जाता है।

(D) हमारे पास व्यंजक है: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$।
सर्वसमिका $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(81^{\circ}+9^{\circ})}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{\sin(63^{\circ}+27^{\circ})}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{1}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
$= 4 \cos 36^{\circ} / \sin 54^{\circ}$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \sin 54^{\circ}$,इसलिए उत्तर $4 \times 1 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक: $\cos \frac{7 \pi}{8}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \left(\frac{-\pi}{8}\right)-1$.
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos \frac{7 \pi}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi}{8} - 1$ हो जाता है।
चूंकि $\cos \frac{7 \pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण:
$-\cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi}{8} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$.
अब,विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करने पर: $4 \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{8} \cos \frac{9 \pi}{16}$.
$= 2 \left(2 \cos \frac{9 \pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}\right) \cos \frac{3 \pi}{8}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \left(\cos \frac{10 \pi}{16} + \cos \frac{8 \pi}{16}\right) \cos \frac{3 \pi}{8} = 2 \left(\cos \frac{5 \pi}{8} + \cos \frac{\pi}{2}\right) \cos \frac{3 \pi}{8}$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,यह $2 \cos \frac{5 \pi}{8} \cos \frac{3 \pi}{8}$ हो जाता है।
$= \cos(\frac{5 \pi}{8} + \frac{3 \pi}{8}) + \cos(\frac{5 \pi}{8} - \frac{3 \pi}{8}) = \cos \pi + \cos \frac{\pi}{4} = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$ होता है।
दिया गया है $\cosh 2x = 241$,इसलिए:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 241$
$1 + \tanh^2 x = 241(1 - \tanh^2 x)$
$1 + \tanh^2 x = 241 - 241 \tanh^2 x$
$242 \tanh^2 x = 240$
$\tanh^2 x = \frac{240}{242} = \frac{120}{121}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{120}{121}} = \frac{2 \sqrt{30}}{11}$
चूंकि $\operatorname{coth} x = \frac{1}{\tanh x}$,इसलिए:
$\operatorname{coth} x = \frac{11}{2 \sqrt{30}}$

(B) हमारे पास है,$\tan \alpha = 2 \sin \beta \sin \gamma \operatorname{cosec}(\beta + \gamma)$
$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2 \sin \beta \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$
$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2 \sin \beta \sin \gamma}{\sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma}$
अंश और हर को $\sin \beta \sin \gamma$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2}{\cot \gamma + \cot \beta}$
यह दर्शाता है कि $\cot \beta, \cot \alpha, \cot \gamma$ समांतर श्रेणी में हैं,जिसका अर्थ है कि उनके व्युत्क्रम $\tan \beta, \tan \alpha, \tan \gamma$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है,$f(n) = \cos(nx)(\sec x)^n$ और $g(n) = \sin(nx)(\sec x)^n$।
हमें $f(2020) - f(2019) + \tan x \cdot g(2019)$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(2020) - f(2019) + \tan x \cdot g(2019) = \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - \cos(2019x)(\sec x)^{2019} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \sin(2019x)(\sec x)^{2019}$।
अंतिम दो पदों से $(\sec x)^{2019}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \cos(2019x) - \frac{\sin x \sin(2019x)}{\cos x} \right]$।
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \frac{\cos x \cos(2019x) - \sin x \sin(2019x)}{\cos x} \right]$।
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \frac{\cos(2019x + x)}{\cos x} \right]$।
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \frac{\cos(2020x)}{\cos x} \right]$।
चूंकि $\frac{1}{\cos x} = \sec x$:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - \cos(2020x)(\sec x)^{2019} \cdot \sec x$।
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - \cos(2020x)(\sec x)^{2020} = 0$।

(D) दिया गया समीकरण $2 \tan^2 \theta - 4 \sec \theta + 3 = 0$ है।
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$2(\sec^2 \theta - 1) - 4 \sec \theta + 3 = 0$
$2 \sec^2 \theta - 2 - 4 \sec \theta + 3 = 0$
$2 \sec^2 \theta - 4 \sec \theta + 1 = 0$.
माना $x = \sec \theta$ है। तब $2x^2 - 4x + 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अतः,$\sec \theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ या $\sec \theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$।
चूंकि $|\sec \theta| \ge 1$,इसलिए $\sec \theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ होगा।
अतः,$2 \sec \theta = 2 + \sqrt{2}$।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$ होता है।
दिया गया है $\cosh 2x = 199$,अतः:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 199$
$1 + \tanh^2 x = 199 - 199 \tanh^2 x$
$200 \tanh^2 x = 198$
$\tanh^2 x = \frac{198}{200} = \frac{99}{100}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$
चूँकि $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$,हमें प्राप्त होता है:
$\coth x = \frac{10}{3 \sqrt{11}}$

(A) दिया है: $(\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 + (\cos \theta + \sec \theta)^2 = 5$
वर्गों का विस्तार करने पर: $(\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta - 2) + (\cos^2 \theta + \sec^2 \theta + 2) = 5$
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 + \operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta = 5$
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ और $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (1 + \cot^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 5$
$3 + \cot^2 \theta + \tan^2 \theta = 5 \Rightarrow \tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} = 2$
माना $x = \tan^2 \theta$,तब $x + \frac{1}{x} = 2$ $\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow \tan^2 \theta = 1$
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\tan \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
तब $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$(\sin \theta + \cos \theta)^3 = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^3 = (-\frac{2}{\sqrt{2}})^3 = (-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$

(B) माना $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 89^{\circ}$.
साइन श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर,$S = \frac{\sin(44.5^{\circ}) \sin(45^{\circ})}{\sin(0.5^{\circ})}$.
हर $D = 2(\cos 1^{\circ} + \cos 2^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1$ है।
पदों को सरल करने पर,$S = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2(\cos 1^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1)$.
अतः,अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S = \cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{4 \pi}{7}+\cos \frac{6 \pi}{7}+\cos \pi$ है।
चूंकि $\cos \pi = -1$,इसलिए $S = \cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{4 \pi}{7}+\cos \frac{6 \pi}{7}-1$ है।
समांतर श्रेणी में कोसाइन के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$C = \cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{4 \pi}{7}+\cos \frac{6 \pi}{7} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$।

(A) दी गई श्रेणी $S = \sin^2(3^{\circ}) + \sin^2(6^{\circ}) + \dots + \sin^2(87^{\circ}) + \sin^2(90^{\circ})$ है।
यहाँ कोण समांतर श्रेणी में हैं: $3^{\circ}, 6^{\circ}, \dots, 90^{\circ}$,जिसमें कुल $30$ पद हैं।
सर्वसमिका $\sin^2(\theta) + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = 1$ का उपयोग करके जोड़े बनाने पर:
जोड़े $(3^{\circ}, 87^{\circ}), (6^{\circ}, 84^{\circ}), \dots, (42^{\circ}, 48^{\circ})$ प्राप्त होते हैं।
$\sin^2(90^{\circ})$ को छोड़कर कुल $29$ पद हैं,अतः $14$ जोड़े और एक मध्य पद $\sin^2(45^{\circ})$ प्राप्त होगा।
योग $= 14 \times 1 + \sin^2(45^{\circ}) + \sin^2(90^{\circ}) = 14 + 0.5 + 1 = 15.5 = \frac{31}{2}$.

(A) दिया गया है,$\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{5 \pi}{15} \cos \frac{7 \pi}{15} \cos \frac{30 \pi}{15} = x$.
चूँकि $\cos \frac{5 \pi}{15} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \frac{30 \pi}{15} = \cos 2 \pi = 1$,हमारे पास है:
$\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{7 \pi}{15} \cdot 1 = x$
$\Rightarrow \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{7 \pi}{15} = 2x$.
ध्यान दें कि $\cos \frac{7 \pi}{15} = \cos (\pi - \frac{8 \pi}{15}) = -\cos \frac{8 \pi}{15}$।
अतः,$-\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} = 2x$.
सूत्र $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 4 \theta \cos 8 \theta = \frac{\sin 16 \theta}{16 \sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{15}$:
$- \frac{\sin (16 \pi / 15)}{16 \sin (\pi / 15)} = 2x$.
चूँकि $\sin \frac{16 \pi}{15} = \sin (\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin \frac{\pi}{15}$,हमें प्राप्त होता है:
$- \frac{-\sin (\pi / 15)}{16 \sin (\pi / 15)} = 2x$ $\Rightarrow \frac{1}{16} = 2x$ $\Rightarrow x = \frac{1}{32}$.
अतः,$\frac{1}{8x} = \frac{1}{8(1/32)} = \frac{32}{8} = 4$.

(D) हमारे पास है,
$\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} = \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \left(\frac{1}{2}\right) \cos 80^{\circ}$
$= \frac{1}{2} (\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ})$
सूत्र $\cos A \cos 2A \cos 4A \dots \cos 2^{n-1}A = \frac{\sin(2^n A)}{2^n \sin A}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 20^{\circ}$ और $n = 3$:
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(2^3 \times 20^{\circ})}{2^3 \sin 20^{\circ}} \right]$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 160^{\circ}}{8 \sin 20^{\circ}}$
$= \frac{1}{16} \cdot \frac{\sin(180^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
चूँकि $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\sin 160^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ है।
$= \frac{1}{16} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{16}$

(C) दिया गया है $3 \sin (\alpha-\beta) = 5 \cos (\alpha+\beta)$.
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर,$3(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 5(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$.
दोनों पक्षों को $\cos \alpha \cos \beta$ से विभाजित करने पर,$3(\tan \alpha - \tan \beta) = 5(1 - \tan \alpha \tan \beta)$.
हमें $X = \frac{\tan(\pi/4 - \alpha)}{\tan(\pi/4 - \beta)} = \frac{(1 - \tan \alpha)(1 + \tan \beta)}{(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \beta)}$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण से,$\tan \alpha = \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}$.
इस मान को $X$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $X = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 3$।
चूँकि $\theta \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,$\cos \theta \neq 0$,इसलिए $\cos \theta$ से भाग देने पर $3 \tan \theta + 4 = 3 \sec \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 \tan \theta + 4)^2 = 9 \sec^2 \theta$।
$9 \tan^2 \theta + 24 \tan \theta + 16 = 9(1 + \tan^2 \theta)$।
$9 \tan^2 \theta + 24 \tan \theta + 16 = 9 + 9 \tan^2 \theta$।
$24 \tan \theta = -7 \implies \tan \theta = -\frac{7}{24}$।
हम जानते हैं कि $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$।
$\tan \theta = -\frac{7}{24}$ रखने पर:
$\sin 2 \theta = \frac{2(-7/24)}{1 + (-7/24)^2} = \frac{-7/12}{1 + 49/576} = \frac{-7/12}{625/576} = -\frac{7}{12} \times \frac{576}{625} = -\frac{336}{625}$।

(C) माना व्यंजक $E = \frac{\cos 15^{\circ} \cos^2 22.5^{\circ} - \sin 75^{\circ} \sin^2 52.5^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ}}$ है।
चूंकि $\sin 75^{\circ} = \cos 15^{\circ}$,अंश $\cos 15^{\circ} (\cos^2 22.5^{\circ} - \sin^2 52.5^{\circ})$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 22.5^{\circ} - \sin^2 52.5^{\circ} = \cos(75^{\circ}) \cos(-30^{\circ}) = \cos 75^{\circ} \cos 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंश $\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} \cos 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ}$,अंश $\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ} \cos 30^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{8}$ है।
हर $\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ} = \cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इस प्रकार,$E = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4}$।

(A) हमारे पास व्यंजक $E = 16 \sin 12^{\circ} \cos 18^{\circ} \sin 48^{\circ}$ है।
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = 8 \cos 18^{\circ} [2 \sin 48^{\circ} \sin 12^{\circ}]$
$E = 8 \cos 18^{\circ} [\cos 36^{\circ} - \cos 60^{\circ}]$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए:
$E = 8 \cos 18^{\circ} [\frac{\sqrt{5}-1}{4}] = 2 (\sqrt{5}-1) \cos 18^{\circ}$.
$\cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ रखने पर,हमें $E = \sqrt{10-2\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।

(C) हम सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$4 \cos \frac{7 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \sin 5 \theta$ पर इसे लागू करने पर:
$= 2 \left( 2 \cos \frac{7 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \right) \sin 5 \theta$
$= 2 \left( \cos(\frac{7 \theta}{2} + \frac{3 \theta}{2}) + \cos(\frac{7 \theta}{2} - \frac{3 \theta}{2}) \right) \sin 5 \theta$
$= 2 (\cos 5 \theta + \cos 2 \theta) \sin 5 \theta$
$= 2 \cos 5 \theta \sin 5 \theta + 2 \cos 2 \theta \sin 5 \theta$
$2 \sin A \cos A = \sin 2A$ और $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= \sin 10 \theta + (\sin(5 \theta + 2 \theta) + \sin(5 \theta - 2 \theta))$
$= \sin 10 \theta + \sin 7 \theta + \sin 3 \theta$.

(B) हम जानते हैं कि $\operatorname{coth} x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$ और $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ है।
दिया गया व्यंजक: $\operatorname{coth}^2 x - \tanh^2 x = \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{\cosh^4 x - \sinh^4 x}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ प्राप्त होता है।
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{(\cosh^2 x - \sinh^2 x)(\cosh^2 x + \sinh^2 x)}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ मिलता है।
चूंकि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ और $\cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh 2x$ है,व्यंजक $\frac{\cosh 2x}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ बन जाता है।
अंश और हर को $4$ से गुणा करने पर: $\frac{4 \cosh 2x}{4 \sinh^2 x \cosh^2 x} = \frac{4 \cosh 2x}{(2 \sinh x \cosh x)^2} = \frac{4 \cosh 2x}{\sinh^2 2x}$ प्राप्त होता है।
इसे $4 \cdot \frac{\cosh 2x}{\sinh 2x} \cdot \frac{1}{\sinh 2x} = 4 \operatorname{coth} 2x \operatorname{cosech} 2x$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया है $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$.
$\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $1 + \tan \theta = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$.
हमें $\sec 2 \theta + \tan 2 \theta = \frac{1 + \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे सरल करने पर $\frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$ रखने पर,हमें $\sqrt{2} + 1$ प्राप्त होता है।
जो $\cot \theta$ का मान है।
अतः,$\sec 2 \theta + \tan 2 \theta = \cot \theta$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cot A + \cot B + \tan A + \tan B = \cot A \cot B - \tan A \tan B$.
$\sin$ और $\cos$ के रूप में व्यक्त करने पर: $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} - \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}$.
बाईं ओर के पदों को जोड़ने पर: $\frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} + \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \frac{\cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ का उपयोग करने पर: $\sin(A+B) \left( \frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\sin A \sin B \cos A \cos B} \right) = \frac{(\cos A \cos B - \sin A \sin B)(\cos A \cos B + \sin A \sin B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
चूंकि $\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$,हमें प्राप्त होता है: $\sin(A+B) \frac{\cos(A-B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B} = \frac{\cos(A+B) \cos(A-B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
यह मानते हुए कि $\cos(A-B) \neq 0$,हमें $\sin(A+B) = \cos(A+B)$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\tan(A+B) = 1$.
चूंकि $0 \leq A, B \leq \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 \leq A+B \leq \frac{\pi}{2}$. अतः,$A+B = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,$\sin(A+B) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया है $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}\right)$.
माना $\theta = \frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}$. तब $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right) = \tan^3 \theta$.
सर्वसमिका $\cos \phi = \frac{1-\tan^2(\phi/2)}{1+\tan^2(\phi/2)}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin \beta = \frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\sin \alpha = \frac{\tan^6 \theta - 1}{\tan^6 \theta + 1}$.
$\tan^2 \theta = \frac{1+\sin \beta}{1-\sin \beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin \alpha = \frac{\sin \beta(3+\sin^2 \beta)}{1+3\sin^2 \beta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3+\sin^2 \beta}{1+3\sin^2 \beta} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$.

(C) माना $z = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$. तब $z^7 = 1$.
योग $S = z + z^2 + z^4 = Q + iP$ पर विचार करें।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$Q = -\frac{1}{2}$ और $P = \frac{\sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $P^2 + Q^2 = (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{7}{4} + \frac{1}{4} = 2$.
इस प्रकार,बिंदु $(P, Q)$ त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाले वृत्त पर स्थित है।

(A) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}$।
सूत्र $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}}{1 + \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}}$
$= \frac{l + m \cos \beta - l \cos \beta - m}{l + m \cos \beta + l \cos \beta + m} = \frac{l(1 - \cos \beta) - m(1 - \cos \beta)}{l(1 + \cos \beta) + m(1 + \cos \beta)}$
$= \frac{(l - m)(1 - \cos \beta)}{(l + m)(1 + \cos \beta)} = \frac{l - m}{l + m} \cdot \tan^2 \frac{\beta}{2}$।
अतः,$\left(\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}}\right)^2 = \frac{l - m}{l + m}$।

(C) दिया गया है $\cot \theta + \tan \theta = 3$.
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 3 \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3}$.
$1 - \cos^2 \theta - \alpha \cos \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \alpha \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^4 \theta = \alpha^2 \cos^2 \theta = \alpha^2(1 - \sin^2 \theta)$.
चूँकि $\sin^3 \theta = \frac{\alpha}{3}$,इसलिए $\sin^2 \theta = (\frac{\alpha}{3})^{2/3}$.
मान रखने पर,$9 \alpha^2(6 - \alpha^2) = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\tan \theta + \cot \theta = 2$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को रखने पर,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर,$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$,जिसका अर्थ है $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin \theta \cos \theta = 1$,अतः $\sin 2 \theta = 1$.
इसका अर्थ है $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है $2 \sin \theta + 3 \cos \theta = 2$.
माना $x = 3 \sin \theta - 2 \cos \theta$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(2 \sin \theta + 3 \cos \theta)^2 = 2^2 \implies 4 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta + 12 \sin \theta \cos \theta = 4$
$(3 \sin \theta - 2 \cos \theta)^2 = x^2 \implies 9 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta - 12 \sin \theta \cos \theta = x^2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(4 + 9) \sin^2 \theta + (9 + 4) \cos^2 \theta = 4 + x^2$
$13(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4 + x^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $13 = 4 + x^2$.
$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

(B) दिया गया है: $\cos x + \cos y = \frac{2}{3}$ $(i)$
$\sin x - \sin y = \frac{3}{4}$ $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{2}{3}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{4}$ $(iv)$
$(iv)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3/4}{2/3} = \frac{9}{8}$
माना $\theta = \frac{x-y}{2}$,अतः $\tan \theta = \frac{9}{8}$.
तब $\sin(x-y) = \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2(9/8)}{1 + (81/64)} = \frac{144}{145}$.
$\cos(x-y) = \cos(2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (81/64)}{1 + (81/64)} = -\frac{17}{145}$.
अतः,$\sin(x-y) + \cos(x-y) = \frac{144}{145} - \frac{17}{145} = \frac{127}{145}$.