Electric Field Questions in Gujarati

(C) વાહક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ($r > R$ હોય ત્યારે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$ છે.
આપેલ છે: $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અંદરની તરફ છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતભાર $q$ ઋણ છે. તેથી,$E = -1.2 \times 10^3 \, N \cdot C^{-1}$.
$q$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $q = \frac{E \cdot r^2}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{(-1.2 \times 10^3) \times (0.2)^2}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{-1.2 \times 10^3 \times 0.04}{9 \times 10^9} = \frac{-0.048 \times 10^3}{9 \times 10^9} = -0.00533 \times 10^{-6} \, C$.
$q \approx -5.3 \times 10^{-9} \, C$.

(B) નિયમિત ષટ્કોણ માટે,જો વિકર્ણની સામેના શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો સમાન હોય,તો કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
કિસ્સા $(I)$ માં,બધા વિદ્યુતભારો $q$ છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
કિસ્સા $(II)$ માં,વિકર્ણની સામેના શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો $(q, -q)$,$(q, q)$ અને $(q, q)$ છે. $(q, -q)$ ની જોડી કેન્દ્ર પર શૂન્ય ન હોય તેવું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(II)$ છે.

(B) સંપૂર્ણ રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જો રીંગમાં નાની ગેપ હોય,તો કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ગેપમાં હોવા જોઈએ તેવા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્ર જેટલું જ હોય છે,પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{2\pi R - l}$ છે.
$l$ લંબાઈની ગેપમાં રહેલો વિદ્યુતભાર $q = \lambda l = \frac{Q l}{2\pi R - l}$ છે.
અહીં $Q = 1\, C$,$R = 0.5\, m$,અને $l = 0.02\, m$ આપેલ છે:
$q = \frac{1 \times 0.02}{2 \times 3.14159 \times 0.5 - 0.02} = \frac{0.02}{3.14159 - 0.02} \approx \frac{0.02}{3.12159} \approx 0.0064\, C$.
આ નાના ભાગને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k q}{R^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 0.0064}{(0.5)^2} = \frac{5.76 \times 10^7}{0.25} = 2.304 \times 10^8\, N/C \approx 2.31 \times 10^8\, N/C$ થાય છે.

(B) કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતભારીત રીંગની અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dE}{dx} = 0$.
આ શરત $x = \frac{R}{\sqrt{2}}$ હોય ત્યારે સંતોષાય છે.
$x = \frac{R}{\sqrt{2}}$ ને $E$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_{\max} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q(R/\sqrt{2})}{((R/\sqrt{2})^2 + R^2)^{3/2}}$
$E_{\max} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{QR/\sqrt{2}}{(R^2/2 + R^2)^{3/2}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{QR/\sqrt{2}}{(3R^2/2)^{3/2}}$
$E_{\max} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{QR/\sqrt{2}}{(3\sqrt{3}R^3 / 2\sqrt{2})} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2Q}{3\sqrt{3}R^2}$.

(A) ચોરસના ખૂણાઓ પર રહેલા ચાર ધન વિદ્યુતભારો $Q$ એ $z$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ (ચોરસનું કેન્દ્ર) તરફ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે $z$-અક્ષ પર કેન્દ્રથી $z$ જેટલા નાના અંતરે એક ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી સ્થિત વિદ્યુત બળ ચોરસના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આ બળ $F = -k z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
બળ એ સ્થાનાંતર $z$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી અને સંતુલન સ્થિતિ (ઉગમબિંદુ) તરફ હોવાથી,ઋણ વિદ્યુતભાર $z$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે.
તેથી,ઋણ વિદ્યુતભાર $z$-અક્ષ પર દોલનો કરે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2x^2 - 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુતભાર અનંત અંતરેથી લઘુત્તમ વેગ સાથે ઉગમબિંદુને પાર કરે તે માટે,તેણે તે બિંદુ સુધી પહોંચવું આવશ્યક છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે,કારણ કે ક્ષેત્ર ગતિનો વિરોધ કરે છે.
$E = 0$ લેતા:
$2x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 2$
$x = \sqrt{2} \, m$ (રસના વિસ્તારને ધ્યાનમાં લેતા).
$x = \sqrt{2} \, m$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર તેની દિશા બદલે છે. વિદ્યુતભાર અનંત અંતરેથી (જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય છે) મુક્ત કરવામાં આવે છે અને ઉગમબિંદુ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તે $x = \sqrt{2} \, m$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી અવરોધક બળ અનુભવે છે. લઘુત્તમ વેગની સ્થિતિ માટે,ગતિઊર્જા તે બિંદુએ શૂન્ય હોવી જોઈએ જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,જે $x = \sqrt{2} \, m$ છે.

(C) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{kQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
ત્રિજ્યા $R$,અક્ષીય અંતર $x$ અને રીંગ પરના કોઈપણ બિંદુથી બિંદુ $P$ સુધીના અંતર $r$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$r^2 = R^2 + x^2$
આનો અર્થ એ છે કે $x = (r^2 - R^2)^{1/2}$.
આ કિંમતોને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{(r^2)^{3/2}}$
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{r^3}$

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{k|Q|}{R^2} = 500 \, Vm^{-1}$ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $R$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = -3000 \, V$ છે.
સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય લેતા,$|V| = \frac{k|Q|}{R} = 3000 \, V$.
$E$ ના સમીકરણને $|V|$ ના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{E}{|V|} = \frac{k|Q|/R^2}{k|Q|/R} = \frac{1}{R} = \frac{500}{3000} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$R = 6 \, m$.
$R = 6 \, m$ ની કિંમત સ્થિતિમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|V| = \frac{k|Q|}{R} \Rightarrow 3000 = \frac{9 \times 10^9 \times |Q|}{6}$.
$|Q| = \frac{3000 \times 6}{9 \times 10^9} = \frac{18000}{9 \times 10^9} = 2 \times 10^{-6} \, C = 2 \, \mu C$.
આમ,અંતર $6 \, m$ છે અને વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $2 \, \mu C$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પોલા ગોળા માટે,કેન્દ્ર પર (અથવા ગોળાની અંદર ગમે ત્યાં) સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની બહાર $r$ અંતરે $(r > R)$ આવેલા બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણને $kQ = VR$ મળે છે.
આ કિંમતને વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E = \frac{VR}{r^2}$ મળે છે.

(A) સમિતિની ધરી $PO$ સાથે $\theta$ ખૂણે $dl = a d\theta$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda a d\theta$ છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{a^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda a d\theta}{a^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi \varepsilon_0 a}$ છે.
સમિતિને કારણે,સમિતિની ધરી $PO$ ને લંબ વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $PO$ ની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
$PO$ ની દિશામાં $dE$ નો ઘટક $dE_{\parallel} = dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} \cos \theta d\theta$ છે.
$\theta = -\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} (1 - (-1)) = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 a}$.

(C) અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારિત દોરીથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2K\lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય $W_{ext} = \Delta U = -\int_{a}^{2a} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_{a}^{2a} q\vec{E} \cdot d\vec{r}$ છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા: $W_{ext} = -\int_{a}^{2a} q \left( \frac{2K\lambda}{r} \right) dr$.
$W_{ext} = -2K\lambda q \int_{a}^{2a} \frac{1}{r} dr$.
$W_{ext} = -2K\lambda q [\ln(r)]_{a}^{2a}$.
$W_{ext} = -2K\lambda q (\ln(2a) - \ln(a)) = -2K\lambda q \ln\left(\frac{2a}{a}\right)$.
$W_{ext} = -2K\lambda q \ln(2)$.

(A) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{k}$ છે અને બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_B = 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
$B$ થી $A$ તરફનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (1-0)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ થાય.
આ સદિશનું માન $|\vec{r}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{k q}{|\vec{r}|^3} \vec{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ અને $q = -20 \times 10^{-6} \, C$ છે.
જો આપણે આપેલા વિકલ્પો મુજબ $|\vec{r}|=2$ લઈએ,તો $\vec{E} = \frac{9 \times 10^9 \times (-20 \times 10^{-6})}{2^3} (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -22.5 \times 10^3 (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \, N/C$ મળે.

(A) અર્ધ-રીંગ પર લંબાઈ $d\ell = R d\theta$ નો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda d\ell = \lambda R d\theta$ છે,જ્યાં $\lambda = \frac{q}{\pi R}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને માત્ર શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
શિરોલંબ ઘટક $dE_y = dE \cos \theta$ છે.
$-\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા અથવા $2 \int_{0}^{\pi/2} dE \cos \theta$ લેતા:
$E = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \cos \theta d\theta = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$.
$\lambda = \frac{q}{\pi R}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{q/(\pi R)}{2\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$ મળે છે.

(D) અસમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ અને $0$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{dq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $\int dq = 0$ હોવાથી અને રીંગ પરના તમામ બિંદુઓ અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુથી સમાન અંતરે $r$ હોવાથી,અક્ષ પરના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ ખરેખર $0$ થાય છે.
જોકે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન (gradient) છે,$\vec{E} = -\nabla V$. અક્ષ પર સ્થિતિમાન દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોવા છતાં,તેનો અર્થ એ નથી કે અક્ષની આસપાસના વિસ્તારમાં સ્થિતિમાન અચળ છે. વાસ્તવમાં,અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી અને તે અક્ષને લંબ દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(B) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ છે, જે શીટથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે આડી શીટ $x$-અક્ષ પર છે. તેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{1} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{y}$ છે.
બીજી શીટ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે. તેનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બીજી શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (\cos 120^{\circ} \hat{x} + \sin 120^{\circ} \hat{y}) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \left( -\frac{1}{2} \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{y} \right)$ છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{y} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \left( -\frac{1}{2} \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{y} \right)$ છે.
આમ, $\vec{E}_{net} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \left[ -\frac{1}{2} \hat{x} + \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \hat{y} \right]$ છે. જે વિકલ્પ $(B)$ સાથે સુસંગત છે.

(D) અંતરે રહેલા $q'$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q'}{d^2}$ છે.
ધારો કે $A, B, C$ ના ધન $x$-અક્ષ સાથેના ખૂણા $\theta_A = 30^{\circ}$,$\theta_B = 150^{\circ}$ અને $\theta_C = -30^{\circ}$ છે.
$x$-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો:
$E_{Ax} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{|-4q|}{d^2} \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3} q}{2 \pi \varepsilon_{0} d^2}$.
$E_{Bx} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2q}{d^2} \cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3} q}{4 \pi \varepsilon_{0} d^2}$.
$E_{Cx} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{|-2q|}{d^2} \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3} q}{4 \pi \varepsilon_{0} d^2}$.
$x$-દિશામાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_x = E_{Ax} + E_{Bx} + E_{Cx} = -\frac{\sqrt{3} q}{\pi \varepsilon_{0} d^2}$.
તેથી તેનું મૂલ્ય $\frac{\sqrt{3} q}{\pi \varepsilon_{0} d^2}$ થાય.

(N/A) ધન વિદ્યુતભાર $q_{1}$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\mathbf{E}_{1A}$ જમણી તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય:
$E_{1A} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.05 \; m)^{2}} = 3.6 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
ઋણ વિદ્યુતભાર $q_{2}$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\mathbf{E}_{2A}$ પણ જમણી તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય સમાન છે. તેથી,$A$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{A}$ નું મૂલ્ય:
$E_{A} = E_{1A} + E_{2A} = 7.2 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
$\mathbf{E}_{A}$ જમણી તરફની દિશામાં છે.
ધન વિદ્યુતભાર $q_{1}$ ને કારણે બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\mathbf{E}_{1B}$ ડાબી તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય:
$E_{1B} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.05 \; m)^{2}} = 3.6 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
ઋણ વિદ્યુતભાર $q_{2}$ ને કારણે બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\mathbf{E}_{2B}$ જમણી તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય:
$E_{2B} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.15 \; m)^{2}} = 4 \times 10^{3} \; N C^{-1}$
$B$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$E_{B} = E_{1B} - E_{2B} = 3.2 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
$\mathbf{E}_{B}$ ડાબી તરફની દિશામાં છે.
બિંદુ $C$ પર વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ ને કારણે દરેક વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશનું મૂલ્ય:
$E_{1C} = E_{2C} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.10 \; m)^{2}} = 9 \times 10^{3} \; N C^{-1}$
આ બે સદિશોનું પરિણામી:
$E_{C} = E_{1C} \cos(60^{\circ}) + E_{2C} \cos(60^{\circ}) = 2 \times (9 \times 10^{3}) \times 0.5 = 9 \times 10^{3} \; N C^{-1}$
$\mathbf{E}_{C}$ જમણી તરફની દિશામાં છે.

(N/A) પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $O$ એ રેખા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
બંને વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર,$AB = 20\; cm = 0.2\; m$.
$\therefore AO = OB = 10\; cm = 0.1\; m$.
વિદ્યુતભાર $q_{A}$ $(+3\; \mu C)$ ને કારણે બિંદુ $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E_{A} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{A}|}{AO^{2}} = 9 \times 10^{9} \times \frac{3 \times 10^{-6}}{(0.1)^{2}} = 2.7 \times 10^{6}\; N/C$ ($A$ થી $B$ ની દિશામાં).
વિદ્યુતભાર $q_{B}$ $(-3\; \mu C)$ ને કારણે બિંદુ $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E_{B} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{B}|}{OB^{2}} = 9 \times 10^{9} \times \frac{3 \times 10^{-6}}{(0.1)^{2}} = 2.7 \times 10^{6}\; N/C$ ($A$ થી $B$ ની દિશામાં).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_{A} + E_{B} = 5.4 \times 10^{6}\; N/C$ જે $OB$ ની દિશામાં છે.
$(b)$ $O$ પર મૂકવામાં આવેલા પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q = -1.5 \times 10^{-9}\; C$ પર લાગતું બળ $F$:
$F = qE = (-1.5 \times 10^{-9}) \times (5.4 \times 10^{6}) = -8.1 \times 10^{-3}\; N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $OA$ ની દિશામાં લાગે છે.

(B) વિદ્યુતભારિત ગોળાના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q|}{d^{2}}$ છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ ઋણ હશે.
આપેલ છે: $E = 1.5 \times 10^{3} \; N/C$,$d = 20 \; cm = 0.2 \; m$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2}/C^{2}$.
$q$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $|q| = E \cdot d^{2} \cdot (4 \pi \varepsilon_{0}) = \frac{E \cdot d^{2}}{9 \times 10^{9}}$.
કિંમતો મૂકતા: $|q| = \frac{1.5 \times 10^{3} \times (0.2)^{2}}{9 \times 10^{9}} = \frac{1.5 \times 10^{3} \times 0.04}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.06 \times 10^{3}}{9 \times 10^{9}} = \frac{60}{9 \times 10^{9}} \approx 6.67 \times 10^{-9} \; C$.
આમ,કુલ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $6.67 \; nC$ છે.

(N/A) પરીક્ષણ વિદ્યુતભારનું સંતુલન સ્થાયી હોવા માટે,જ્યારે તેને કોઈપણ દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે તે શૂન્ય બિંદુ તરફ પુનઃસ્થાપક બળ (restoring force) અનુભવવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે શૂન્ય બિંદુની આસપાસના વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ અંદરની તરફ હોવી જોઈએ. જો આવું હોય,તો શૂન્ય બિંદુની આસપાસની બંધ સપાટીમાંથી વિદ્યુતક્ષેત્રનું કુલ ફ્લક્સ અંદરની તરફ હોય. ગૌસના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0$. શૂન્ય બિંદુ પર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોવાથી $(q_{enclosed} = 0)$,કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,બધી દિશામાં ક્ષેત્ર રેખાઓ અંદરની તરફ હોવી અશક્ય છે,અને સંતુલન અનિવાર્યપણે અસ્થાયી છે.
$(b)$ સમાન મૂલ્યના બે ધન વિદ્યુતભારોને $2a$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે તેમ ધારો. તેમનું મધ્યબિંદુ શૂન્ય બિંદુ છે. જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને તેમને જોડતી રેખા પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો તે પુનઃસ્થાપક બળ અનુભવે છે. પરંતુ,જો તેને આ રેખાને લંબ દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બંને વિદ્યુતભારોના વિદ્યુત બળના ઘટકો પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને શૂન્ય બિંદુથી દૂર ધકેલે છે. સંતુલન બધી દિશામાં સ્થાયી ન હોવાથી,તે અસ્થાયી છે.

(A) વિદ્યુતભારિત ગોલીય વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે વિદ્યુતભારો માત્ર બહારની સપાટી પર જ રહે છે અને વાહકની અંદરનું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોય છે.
$(b)$ વાહકની તરત જ બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 0.12 \; m$,$q = 1.6 \times 10^{-7} \; C$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$ છે.
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.12)^{2}} = 10^{5} \; N \cdot C^{-1}$.
$(c)$ કેન્દ્રથી $d = 18 \; cm = 0.18 \; m$ અંતરે,ગોળો બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.18)^{2}} = \frac{1440}{0.0324} \approx 4.44 \times 10^{4} \; N \cdot C^{-1}$.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રનું ઉદગમ વિદ્યુતભાર છે.
જો $Q$ વિદ્યુતભાર સ્થિર હોય,તો તેની આસપાસ ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{E} = \frac{k Q}{r^{2}} \hat{r} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r}$
જ્યાં $\hat{r}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નો એકમ સદિશ છે અને $\overrightarrow{E}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ $q$ પર લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{E} = \frac{k Q q}{r^{2}} \hat{r}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉર્જા અને વેગમાનનું વહન કરે છે અને તે મર્યાદિત ઝડપે પ્રસરણ પામે છે. કોઈપણ બિંદુએ ક્ષેત્ર એક અથવા વધુ વિદ્યુતભારોને કારણે હોઈ શકે છે,જ્યાં કુલ ક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે (સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત).
સ્થિર વિદ્યુતભારો માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. ગતિમાન વિદ્યુતભારો (પ્રવાહો) વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,જેને $\overrightarrow{B}(\vec{r})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ છે જે અવકાશમાં દરેક બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત થાય છે અને તે સમય સાથે બદલાઈ શકે છે. અનેક ઉદગમોનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ દરેક વ્યક્તિગત ઉદગમના ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે,જે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી તેની અક્ષ પર $x$ અંતરે રહેલા બિંદુ $P$ પરના વિદ્યુતભાર $q$ પર રીંગના બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભારના અંશ $(-dQ)$ ને કારણે લાગતું બળ:
$dF = k \frac{(-dQ)q}{R^2 + x^2}$
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$dF \sin \theta$ ઘટકો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. પરિણામી બળ $F$ એ $dF \cos \theta$ ઘટકોનો સરવાળો છે,જે કેન્દ્ર $O$ તરફ લાગે છે:
$F = \oint dF \cos \theta = \oint -k \frac{(dQ)q}{R^2 + x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} = -\frac{kQqx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
જ્યારે $x \ll R$ હોય,ત્યારે $R^2 + x^2 \approx R^2$,તેથી $F \approx -\frac{kQq}{R^3} x$. અહીં $F \propto -x$ હોવાથી,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
$F = -m \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,$\omega^2 = \frac{kQq}{mR^3} = \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_0 m R^3}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \epsilon_0 m R^3}{Qq}}$ થાય.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રની વ્યાખ્યા: વિદ્યુતભારની આસપાસનો એવો વિસ્તાર કે જેમાં અન્ય વિદ્યુતભાર તેની અસર અનુભવી શકે,તેને તે વિદ્યુતભારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
ધારો કે મુક્ત અવકાશમાં ઉગમબિંદુ $O$ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ મૂકેલો છે. જો $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર બીજો વિદ્યુતભાર $q$ મૂકવામાં આવે (જ્યાં $OP = r$),તો કુલંબના નિયમ મુજબ $q$ પર લાગતું બળ:
$\overrightarrow{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q q}{r^{2}} \hat{r}$
કોઈ બિંદુ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ તે બિંદુએ મૂકેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{F}}{q}$
બળનું સૂત્ર મૂકતા:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{r^{2}} \hat{r}$ અથવા $E = \frac{k Q}{r^{2}}$
મુખ્ય ગુણધર્મો:
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા પણ કહેવામાં આવે છે.
$2$. સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F}(\vec{r}) = q \overrightarrow{E}(\vec{r})$ છે.
$3$. વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનો $SI$ એકમ $N C^{-1}$ અથવા $V m^{-1}$ છે.
$4$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{1} T^{-3} A^{-1}]$ છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રની લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ જે વિદ્યુતભાર $Q$ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે તેને સ્ત્રોત વિદ્યુતભાર કહેવામાં આવે છે અને જે વિદ્યુતભાર $q$ સ્ત્રોત વિદ્યુતભારની અસર તપાસે છે તેને પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર કહેવામાં આવે છે.
જો કે,જો કોઈ વિદ્યુતભાર $q$ ને $Q$ ની આસપાસના કોઈપણ બિંદુએ લાવવામાં આવે,તો તે $Q$ ને કારણે વિદ્યુત બળ અનુભવશે અને ગતિ કરશે. આ મુશ્કેલીનો ઉકેલ એ છે કે $q$ ને અત્યંત નાનો બનાવવો. ત્યારે બળ $\vec{F}$ અત્યંત નાનું હોય છે,પરંતુ ગુણોત્તર $\frac{F}{q}$ મર્યાદિત હોય છે અને તે વિદ્યુતક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કરે છે: $\overrightarrow{E} = \lim_{q \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{F}}{q}$.
$(ii)$ નોંધો કે $Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$,ભલે તે પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત હોય,તે $q$ થી સ્વતંત્ર છે. આનું કારણ એ છે કે $\vec{F}$ એ $q$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી ગુણોત્તર $F/q$ એ $q$ પર આધાર રાખતું નથી. આ ક્ષેત્ર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં દરેક બિંદુએ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(iii)$ ધન વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ વિદ્યુતભારથી ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ હોય છે. ઋણ વિદ્યુતભાર માટે,દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ હોય છે.
$(iv)$ વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતા બળ $F$ નું મૂલ્ય માત્ર $Q$ થી $q$ ના અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નું મૂલ્ય પણ માત્ર અંતર $r$ પર જ આધાર રાખશે. તેથી,$E \propto \frac{1}{r^2}$.

(N/A) સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભાર દ્વારા તે બિંદુએ ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \ldots, \vec{r}_{n}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા સ્થાનો પર $n$ બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ રહેલા છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતભાર $q_{1}$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{1}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{E}_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1}}{r_{1P}^{2}} \hat{r}_{1P}$
જ્યાં $r_{1P} = |\vec{r} - \vec{r}_{1}|$ અને $\hat{r}_{1P}$ એ $q_{1}$ થી $P$ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
તે જ રીતે,કોઈપણ વિદ્યુતભાર $q_{i}$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{i}$:
$\vec{E}_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{i}}{r_{iP}^{2}} \hat{r}_{iP}$
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} + \ldots + \vec{E}_{n} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_{i}$
$\vec{E}_{i}$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_{i}}{r_{iP}^{2}} \hat{r}_{iP}$
અહીં,$\vec{E}$ એ સદિશ રાશિ છે જે અવકાશમાં બિંદુએ બિંદુએ બદલાય છે,જે સ્ત્રોત વિદ્યુતભારોના સ્થાન અને મૂલ્ય દ્વારા નક્કી થાય છે.

(N/A) વીજભારોની સિસ્ટમની આસપાસના અવકાશમાં કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર એટલે તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વીજભાર પર લાગતું બળ,જે મૂળ વીજભાર તંત્રને ખલેલ પહોંચાડ્યા વગર માપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ વીજભારોની સિસ્ટમનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પરીક્ષણ વીજભારથી સ્વતંત્ર છે.
ક્ષેત્ર અવકાશમાં દરેક બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલું હોય છે અને તેનું મૂલ્ય તથા દિશા બિંદુએ બિંદુએ બદલાઈ શકે છે.
બળ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર પણ એક સદિશ ક્ષેત્ર છે.
વીજભારોની પ્રવેગિત ગતિ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે,જે પ્રકાશની ઝડપ $c$ થી અવકાશમાં પ્રસરણ પામે છે.
આમ,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોને વીજભારો પર તેમની અસરો (બળો) દ્વારા શોધી શકાય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર એટલે વિદ્યુતભારિત કણ કે પદાર્થની આસપાસનો એવો વિસ્તાર કે જેમાં અન્ય વિદ્યુતભારિત કણો કે પદાર્થો પર બળ લાગે છે.
ગાણિતિક રીતે,કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને તે બિંદુએ મૂકેલા પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ પર લાગતા બળ $F$ અને તે પરીક્ષણ વિદ્યુતભારના મૂલ્યના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$E = \frac{F}{q_0}$
તે સદિશ રાશિ છે અને તેનો $SI$ એકમ $N/C$ (ન્યૂટન પ્રતિ કુલંબ) છે.

(N/A) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા એટલે તે બિંદુએ મૂકેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{F}$ એ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ પર લાગતું બળ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનો $SI$ એકમ $\text{ન્યૂટન પ્રતિ કુલંબ}$ $(N/C)$ અથવા $\text{વોલ્ટ પ્રતિ મીટર}$ $(V/m)$ છે.

(N/A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
અંતર પર આધાર:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ બિંદુવત વિદ્યુતભારથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$. આનો અર્થ એ છે કે જેમ અંતર $r$ વધે છે,તેમ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય ઝડપથી ઘટે છે.

(N/A) સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ સ્થાન પર રહેલા $n$ બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, ..., q_n$ ના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વ્યક્તિગત વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^3} (\vec{r} - \vec{r}_i)$
જ્યાં:
- $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
- $q_i$ એ $i$-માં વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
- $\vec{r}_i$ એ $i$-માં વિદ્યુતભારનો સ્થાન સદિશ છે.
- $\vec{r}$ એ તે બિંદુનો સ્થાન સદિશ છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવાની છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $\text{સદિશ}$ (vector) રાશિ છે.
તેને વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$.
કારણ કે બળ $(\vec{F})$ એ સદિશ રાશિ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા (ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળની દિશા) બંને નિશ્ચિત હોય છે, તેથી તે સદિશ રાશિની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે.

(A) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}$ ને તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ પર લાગતા બળ $\vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$.
કારણ કે $q_0$ એ ધન અદિશ રાશિ છે,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}$ ની દિશા એ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળ $\vec{F}$ ની દિશામાં જ હોય છે.

(C) ક્ષેત્રને લંબ રાખવામાં આવેલા એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(E)$ નું માપ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $(q)$ માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા કુલંબના નિયમ મુજબ $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા એ વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E \propto \text{રેખાઓની ઘનતા})$,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા બિંદુવત વિદ્યુતભારથી અંતરના વર્ગ $(r^2)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(N/A) વિદ્યુત બળને સંરક્ષી માનવામાં આવે છે કારણ કે બે બિંદુઓ વચ્ચે ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ફક્ત વિદ્યુતભારના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,તે કયા માર્ગે ગતિ કરે છે તેના પર નહીં.
ગાણિતિક રીતે,સંરક્ષી બળ $\vec{F}$ માટે,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{l}$ એ માર્ગથી સ્વતંત્ર છે.
વધુમાં,કોઈપણ બંધ ગાળામાં વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$.
આ ગુણધર્મ એ હકીકતનું સીધું પરિણામ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ અદિશ સ્થિતિમાન વિધેયનું વિકલન (gradient) છે,$\vec{E} = -\nabla V$,જે સૂચવે છે કે બળ સંરક્ષી છે.

(N/A) $(i)$ પંચકોણનું કેન્દ્ર $O$,બધા શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારોથી સમાન અંતરે છે. નિયમિત પંચકોણની પરિભ્રમણીય સંમિતિને કારણે,દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા $O$ પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. આમ,$O$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ છે.
$(ii)$ ધારો કે $A$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_A$ છે. પાંચેય વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનો સરવાળો $\vec{E}_{total} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_E = 0$ છે. જો $A$ પરનો વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતું ક્ષેત્ર $\vec{E}' = \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_E = -\vec{E}_A$ થશે. $\vec{E}_A$ એ $A$ થી $O$ તરફ હોય છે,તેથી $-\vec{E}_A$ એ $O$ થી $A$ તરફ હશે. તેનું મૂલ્ય $E = \frac{kq}{r^2}$ છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર છે.
$(iii)$ જો $A$ પરના વિદ્યુતભારને $-q$ વડે બદલવામાં આવે,તો નવું ક્ષેત્ર $\vec{E}'' = \vec{E}' + \vec{E}_{-q}$ થશે. કારણ કે $\vec{E}' = -\vec{E}_A$ અને $\vec{E}_{-q} = -\vec{E}_A$,તેથી કુલ ક્ષેત્ર $\vec{E}'' = -2\vec{E}_A$ થશે. તેનું મૂલ્ય $\frac{2kq}{r^2}$ છે જે $O$ થી $A$ ની દિશામાં છે.
$(b)$ $n$-બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ માટે,દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ હોય,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો હંમેશા $0$ રહે છે. તેથી,તર્ક સમાન રહે છે અને $(a)$ ના જવાબો પર કોઈ અસર થતી નથી.

(A) પાતળા અનંત સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત સમતલો સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાંતર સીધી રેખાઓ હોવી જોઈએ,જે વિકલ્પ $B$ અને $C$ ને ખોટા સાબિત કરે છે કારણ કે તે વક્ર ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે.
ધન વિદ્યુતભારીત શીટને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભારીત શીટને કારણે ક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે. વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\left|\sigma_{+}\right| > \left|\sigma_{-}\right|$,ધન વિદ્યુતભારીત શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય ઋણ વિદ્યુતભારીત શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર કરતા વધારે છે. આનો અર્થ એ છે કે ધન શીટમાંથી નીકળતી ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા ઋણ શીટ પર સમાપ્ત થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા કરતા વધારે છે. વિકલ્પ $A$ યોગ્ય રીતે ધન શીટમાંથી નીકળતી અને ઋણ શીટ પર સમાપ્ત થતી ક્ષેત્ર રેખાઓને યોગ્ય સાપેક્ષ ઘનતા સાથે દર્શાવે છે,તેથી તે સાચું નિરૂપણ છે.

(B) ધારો કે $A$ પરના વિદ્યુતભાર $Q_{1}$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{1}$ છે અને $B$ પરના વિદ્યુતભાર $Q_{2}$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{2}$ છે.
$E_{1} = \frac{k|Q_{1}|}{x_{1}^{2}}$ ($OA$ ની દિશામાં).
$E_{2} = \frac{k|Q_{2}|}{x_{2}^{2}}$ ($OB$ ની દિશામાં).
ધારો કે $\angle OAB = \alpha$. તો $\angle OBA = 90^{\circ} - \alpha$.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ કર્ણ $AB$ ને લંબ છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,પરિણામી ક્ષેત્ર $E_{net}$ એ $E_{1}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો અને $E_{2}$ સાથે $90^{\circ} - \alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$\tan(\alpha) = \frac{E_{2}}{E_{1}}$.
ત્રિકોણ $OAB$ પરથી,$\tan(\alpha) = \frac{OB}{OA} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$.
$\tan(\alpha)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{k|Q_{2}| / x_{2}^{2}}{k|Q_{1}| / x_{1}^{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{|Q_{2}| x_{1}^{2}}{|Q_{1}| x_{2}^{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{|Q_{1}|}{|Q_{2}|} = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}} \cdot \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}$
આમ,$Q_{1} / Q_{2}$ એ $\frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) ગોળાકાર વાહકની બહારના બિંદુ માટે,વાહક તેના કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $Q = 3.2 \times 10^{-7} \, C$,અંતર $r = 15 \, cm = 0.15 \, m$,અને $k = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}/C^{2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{kQ}{r^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3.2 \times 10^{-7}}{(0.15)^{2}}$.
$E = \frac{28.8 \times 10^{2}}{0.0225} = \frac{2880}{0.0225} = 1.28 \times 10^{5} \, N/C$.

(C) ધારો કે અર્ધ-વલયની ત્રિજ્યા $R$ છે. સંમિતિની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $dl$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો,જેનો વિદ્યુતભાર $dq$ છે.
$dl = R d\theta$
ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \lambda R d\theta$
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર પર રહેલા $1\, C$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું વિદ્યુત બળ $dF$ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$dF = \frac{k dq}{R^2} = \frac{k (\lambda R d\theta)}{R^2} = \frac{k \lambda}{R} d\theta$
અર્ધ-વલયની સંમિતિને કારણે,સંમિતિની અક્ષને લંબ બળના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે અક્ષની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
અક્ષની દિશામાં બળનો ઘટક $dF \cos \theta$ છે.
કુલ બળ $F$ એ $-\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી $dF \cos \theta$ નું સંકલન છે:
$F = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{k \lambda}{R} \cos \theta d\theta$
$F = \frac{k \lambda}{R} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$F = \frac{k \lambda}{R} [\sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)]$
$F = \frac{k \lambda}{R} [1 - (-1)] = \frac{2 k \lambda}{R}$

(B) ધારો કે $r$ એ દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બૈજિક સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{-q}{r} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r} (2q - q - q) = 0$
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન ન હોવાથી અને તેમની ગોઠવણી એવી રીતે નથી કે જેથી તેમના ક્ષેત્ર સદિશો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે,તેથી પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$2q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેનાથી દૂર જાય છે,જ્યારે બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેમની તરફ જાય છે. આ સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થતો નથી.
તેથી,ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી પરંતુ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(B) આપણે ઉગમબિંદુ પરના $-Q$ વિદ્યુતભારને $+Q$ અને $-2Q$ ઉમેરીને બદલી શકીએ છીએ.
હવે,સમઘનના તમામ $8$ ખૂણાઓ પર $+Q$ વિદ્યુતભારો હોવાને કારણે,સમઘનના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સંમિતિને લીધે શૂન્ય થાય છે.
આમ,કેન્દ્ર પરનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત ઉગમબિંદુ પર મૂકવામાં આવેલા $-2Q$ વિદ્યુતભારને કારણે છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સમઘનના કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{a}{2}\hat{x} + \frac{a}{2}\hat{y} + \frac{a}{2}\hat{z} = \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$ છે.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^3} \vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = -2Q$ અને સદિશ $\vec{r}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-2Q}{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3} \cdot \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$
$\vec{E} = \frac{-2Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}a^3} \cdot \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$
$\vec{E} = \frac{-2Q}{3\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 a^2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$

(C) $L$ લંબાઈ અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત સળિયાના લંબ દ્વિભાજક પર તેના કેન્દ્રથી $a$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{a \sqrt{a^2 + (L/2)^2}}$
અહીં $a = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2} L)^2 + (L/2)^2}}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \sqrt{\frac{3}{4} L^2 + \frac{1}{4} L^2}}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \sqrt{L^2}}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \cdot L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{\frac{\sqrt{3}}{2} L^2}$
$E = \frac{2 Q}{4 \sqrt{3} \pi \varepsilon_{0} L^2} = \frac{Q}{2 \sqrt{3} \pi \varepsilon_{0} L^2}$

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ ખૂણો ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{R} \sin(\frac{\theta}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી ચાપ તરફની દિશામાં હોય છે.
અહીં,ચાપ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામી ક્ષેત્ર ધન $x$-દિશામાં છે.
કુલ ખૂણો $\theta = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{-Q}{R\theta} = \frac{-Q}{R(2\pi/3)} = \frac{-3Q}{2\pi R}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{2k}{R} \cdot |\lambda| \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{2}{4\pi\varepsilon_{0}R} \cdot \frac{3Q}{2\pi R} \cdot \sin(60^{\circ})$.
$E = \frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}R} \cdot \frac{3Q}{2\pi R} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}Q}{8\pi^{2}\varepsilon_{0}R^{2}}$.
વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી,ક્ષેત્ર ચાપ તરફ એટલે કે ધન $x$-દિશા $(\hat{i})$ માં હશે.

(B) ધારો કે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ એ $-5\, \mu C$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે,$20\, \mu C$ વિદ્યુતભારની વિરુદ્ધ દિશામાં મૂકવામાં આવે છે.
કુલ વિદ્યુત બળ શૂન્ય થવા માટે,તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$20\, \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $(5+x)$ અંતરે અને $-5\, \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $x$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
$\frac{k(20\, \mu C)}{(5+x)^2} = \frac{k(5\, \mu C)}{x^2}$
$\frac{20}{(5+x)^2} = \frac{5}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{20}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$\frac{2\sqrt{5}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$2x = 5+x$
$x = 5\, cm$
આમ,આ બિંદુ $-5\, \mu C$ વિદ્યુતભારથી જમણી બાજુએ $5\, cm$ અંતરે આવેલું છે.

(B) બિંદુ $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક ખૂણા પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$.
બધા વિદ્યુતભારો $O$ થી $l$ અંતરે આવેલા છે.
આડા અને ઊભા વિભાગો માટે,$l$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો કરીને ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવી શકાય છે.
આપેલ સંરચના અને સંમિતિને આધારે,બિંદુ $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{k q}{2l^{2}}(2 \sqrt{2}-1)$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = +8 \times 10^{-6}\,C$ અને $q_B = -8 \times 10^{-6}\,C$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. મધ્યબિંદુ $O$ દરેક વિદ્યુતભારથી $r = d/2$ અંતરે છે.
$A$ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{K|q_A|}{r^2} = \frac{Kq}{(d/2)^2}$ છે,જે $B$ ની દિશામાં છે.
$B$ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{K|q_B|}{r^2} = \frac{Kq}{(d/2)^2}$ છે,જે પણ $B$ ની દિશામાં છે.
$O$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = E_A + E_B = 2 \times \frac{Kq}{(d/2)^2} = \frac{8Kq}{d^2}$ છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 6.4 \times 10^4\,NC^{-1}$,$K = 9 \times 10^9\,Nm^2C^{-2}$,અને $q = 8 \times 10^{-6}\,C$:
$6.4 \times 10^4 = \frac{8 \times (9 \times 10^9) \times (8 \times 10^{-6})}{d^2}$
$d^2 = \frac{8 \times 9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^4} = \frac{576 \times 10^3}{6.4 \times 10^4} = \frac{576}{64} = 9$
$d = \sqrt{9} = 3\,m$.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ખૂણા $A$ પરના વિદ્યુતભાર $(q/2)$ ને કારણે ખૂણા $D$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q/2}{a^2} = \frac{kq}{2a^2}$ ($AD$ ની દિશામાં) છે.
ખૂણા $C$ પરના વિદ્યુતભાર $(q/2)$ ને કારણે ખૂણા $D$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q/2}{a^2} = \frac{kq}{2a^2}$ ($CD$ ની દિશામાં) છે.
$E_A$ અને $E_C$ નું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{AC} = \sqrt{E_A^2 + E_C^2} = \sqrt{(\frac{kq}{2a^2})^2 + (\frac{kq}{2a^2})^2} = \frac{kq}{2a^2} \sqrt{2} = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2}$ (વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં) છે.
ખૂણા $B$ પરના વિદ્યુતભાર $(q)$ ને કારણે ખૂણા $D$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kq}{2a^2}$ (વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં) છે.
$E_{AC}$ અને $E_B$ બંને એક જ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હોવાથી,$D$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_{AC} + E_B = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2} + \frac{kq}{2a^2} = \frac{kq}{a^2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2})$ થશે.
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $E_{net} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2})$ મળે છે.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે બિંદુ વિદ્યુતભાર $A$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
$1$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે: $+Q$ અને $-2 Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં છે,તેથી પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
$2$. $B$ ની જમણી બાજુએ: $-2 Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હંમેશા $+Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર કરતા વધારે હોય છે કારણ કે $-2 Q$ નું મૂલ્ય મોટું છે અને તે આ વિસ્તારના કોઈપણ બિંદુની નજીક છે. તેથી,પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
$3$. $A$ ની ડાબી બાજુએ: ધારો કે બિંદુ $A$ થી $x$ અંતરે છે. $+Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{kQ}{x^2}$ (ડાબી તરફ) અને $-2 Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{k(2Q)}{(d+x)^2}$ (જમણી તરફ) છે.
$E_A = E_B$ લેતા,આપણને $\frac{kQ}{x^2} = \frac{2kQ}{(d+x)^2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(d+x)^2 = 2x^2$ અથવા $d+x = \sqrt{2}x$ થાય છે. આનાથી $x = \frac{d}{\sqrt{2}-1}$ મળે છે,જે એક મર્યાદિત અંતર છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ ની ડાબી બાજુએ એક બિંદુએ શૂન્ય થાય છે.