Electric Field Questions in Gujarati

(C) અનંત લંબાઈના સીધા તાર કે જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે,તેનાથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ નું સૂત્ર: $E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકોનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે: $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $E_1 = \frac{2 k \lambda}{r}$ અને $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે.
તેથી,$E_1 = E_2$ થાય છે.

(B) ક્ષેત્રનો ખ્યાલ એ એક સૈદ્ધાંતિક મોડેલ છે જેનો ઉપયોગ કોઈ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ તેની આસપાસની અવકાશમાં જે પ્રભાવ ફેલાવે છે તેને સમજાવવા માટે થાય છે.
આ ક્ષેત્ર તે અવકાશમાં મૂકવામાં આવેલા અન્ય કોઈપણ વિશાળ પદાર્થ અથવા વિદ્યુતભારિત કણ પર બળ લગાડે છે.
તેથી,ક્ષેત્રના ખ્યાલનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અંતર દ્વારા કાર્ય કરતા બળો,જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય અને સ્થિત-વિદ્યુત બળોને સમજવા અને વર્ણવવા માટે થાય છે,સંપર્ક બળો માટે નહીં.

(A) ધારો કે ખૂણાઓ $A, B, C, D$ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = +q$,$q_B = +2q$,$q_C = +q$,અને $q_D = -2q$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પર,$q_A$ અને $q_C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે કારણ કે $q_A = q_C = +q$ અને અંતર $OA = OC$ છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોનો વિચાર કરો. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_B = +2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OB$ ની દિશામાં (બહારની તરફ) અપાકર્ષી બળ લગાડે છે.
$D$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_D = -2q$ છે,જે કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર $OD$ ની દિશામાં (અંદરની તરફ) આકર્ષી બળ લગાડે છે.
આ બંને બળો વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં એક જ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરના એકમ ધન વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હશે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા એ વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે ડાબી બાજુ (બિંદુ $B$ પાસે) ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર જમણી બાજુ (બિંદુ $A$ પાસે) કરતા બમણું છે,તેથી $B$ પાસેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $A$ પાસેના વિદ્યુત ક્ષેત્ર કરતા અડધું હશે.
$E_B = \frac{E_A}{2} = \frac{40 \ Vm^{-1}}{2} = 20 \ Vm^{-1}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $q = 20 \ \mu C = 20 \times 10^{-6} \ C$.
$F = (20 \times 10^{-6} \ C) \times (20 \ Vm^{-1}) = 400 \times 10^{-6} \ N = 4 \times 10^{-4} \ N$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$E = 2 \ N \ C^{-1}$
$r = 30 \ cm = 0.3 \ m = 30 \times 10^{-2} \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{(30 \times 10^{-2})^{2}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{900 \times 10^{-4}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{9 \times 10^{-2}}$
$2 = 10^{11} \times q$
$q = \frac{2}{10^{11}} = 2 \times 10^{-11} \ C$
આમ,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $2 \times 10^{-11} \ C$ થશે.

(A) ચાર વિદ્યુતભારો $A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,1,0),$ અને $D(0,-1,0)$ પર સ્થિત છે. આપણે બિંદુ $P(0,0,1)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાનું છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}$ છે.
બિંદુ $P$ પર દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2}$.
સંમિતિને કારણે,ચાર વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. માત્ર શિરોલંબ ઘટકો ($Z$-અક્ષની દિશામાં) જ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $Z$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\cos \theta = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $E_z = E \cos \theta = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આવા ચાર વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$:
$E_{\text{net}} = 4 \cdot E_z = 4 \cdot \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2 \sqrt{2}} \right) = \frac{q}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$.

(D) વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
બંને ગોળાઓની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન $(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma)$ હોવાથી,બંને ગોળાઓની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને અચળાંક $\epsilon_0$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ થશે.
આમ,મોટા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર નાના ગોળાની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું જ એટલે કે $E$ હશે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,જે $Q$ થી $x$ અંતરે અને $4Q$ થી $(6-x)$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુ $P$ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{KQ}{x^2} = \frac{K(4Q)}{(6-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{6-x}$
$6 - x = 2x$
$3x = 6$
$x = 2 \text{ cm}$
અંતર $x$ એ $Q$ વિદ્યુતભારથી છે. પ્રશ્નમાં $4Q$ થી અંતર પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $(6-x)$ છે.
$4Q$ થી અંતર $= 6 - 2 = 4 \text{ cm}$.

(C) ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. તારની લંબાઈ $L = \pi R$ છે,તેથી $R = L / \pi$. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = Q / L$ છે.
તારના $dl = R d\theta$ લંબાઈના નાના ખંડનો વિચાર કરો જે શિરોલંબ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dQ = \lambda dl = \lambda R d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dQ}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda d\theta}{R}$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \theta$ નું $-\pi / 2$ થી $\pi / 2$ સુધીનું સંકલન છે:
$E = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 R}$.
$\lambda = Q / L$ અને $R = L / \pi$ મૂકતા:
$E = \frac{Q / L}{2 \pi \varepsilon_0 (L / \pi)} = \frac{Q}{2 \varepsilon_0 L^2} \cdot \pi = \frac{\pi Q}{2 \varepsilon_0 L^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર વિદ્યુતભારની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે તે માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર અનુભવે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર વિદ્યુતભારથી દૂર જવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર અને અવલોકનકાર વચ્ચે સાપેક્ષ વેગ ઉદભવે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો મુજબ,ગતિમાન વિદ્યુતભાર અવલોકનકારના સંદર્ભ ફ્રેમમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,અવલોકનકાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને અનુભવે છે.

(D) ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર $+Q, -Q, +Q, -Q, +Q, -Q$ વિદ્યુતભારો છે.
વિદ્યુતભારો સામસામેના શિરોબિંદુઓ પર $(+Q, -Q)$ ની જોડીમાં ગોઠવાયેલા હોવાથી,તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોય તેવા તંત્ર માટે,મોટા અંતર $x$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જો કે,આ વિશિષ્ટ સંમિત ગોઠવણીમાં,ત્રણ જોડીના ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અક્ષ પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ ધ્યાનમાં લેતા,બધા વિદ્યુતભારો સમાન અને વિરુદ્ધ હોવાથી અને દરેક શિરોબિંદુથી અક્ષ પરના બિંદુ સુધીનું અંતર સમાન $(r = \sqrt{x^2 + a^2})$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે સ્થિતિમાન $V = 0$ થાય છે.
આ અક્ષ પર સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dx}$ પણ શૂન્ય થશે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{kq}{r^3} \vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(1, 2, 3)$ માટે,$\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$r_A = \sqrt{14}$. તેથી,$\vec{E}_A = \frac{kq}{14^{3/2}}(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$.
બિંદુ $B(1, 1, -1)$ માટે,$\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$r_B = \sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_B = \frac{kq}{3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
બિંદુ $C(2, 2, 2)$ માટે,$\vec{r}_C = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$r_C = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_C = \frac{kq}{(12)^{3/2}}(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ચકાસણી $1$: $\vec{E}_A \cdot \vec{E}_B \propto (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 0$. તેથી,$E_A \perp E_B$ સાચું છે.
ચકાસણી $3$: $|E_B| = \frac{kq}{3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{3}$.
$|E_C| = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{12}$.
તેથી,$|E_B| = 4|E_C|$ સાચું છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = -5 \mu C$ અને $q_B = +5 \mu C$ છે. અંતર $AB = d = 5 \ cm$ છે. ધારો કે બિંદુ $C$ એ $A$ થી $x$ અંતરે અને $B$ થી $y$ અંતરે છે. બિંદુ $C$ પાસે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા $AB$ ને સમાંતર હોવા માટે,$q_A$ અને $q_B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોના શિરોલંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરવા જોઈએ.
ધારો કે $\theta_A$ અને $\theta_B$ એ સદિશો $\vec{E}_A$ અને $\vec{E}_B$ દ્વારા રેખા $AB$ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે. શિરોલંબ ઘટકો નાબૂદ થવા માટે,$E_A \sin \theta_A = E_B \sin \theta_B$ હોવું જોઈએ.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(|q_A| = |q_B| = q)$,વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો $E_A = \frac{kq}{x^2}$ અને $E_B = \frac{kq}{y^2}$ થશે.
આથી,$\frac{kq}{x^2} \sin \theta_A = \frac{kq}{y^2} \sin \theta_B$. ત્રિકોણ $ABC$ ની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta_A = \frac{h}{x}$ અને $\sin \theta_B = \frac{h}{y}$,જ્યાં $h$ એ રેખા $AB$ થી $C$ નું લંબ અંતર છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{kq}{x^2} \cdot \frac{h}{x} = \frac{kq}{y^2} \cdot \frac{h}{y}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
તેથી,$AC = BC$.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. વિદ્યુતભારો ખૂણા $A, B, C, D$ પર છે. બાજુ $CD$ ના મધ્યબિંદુ $M$ ને ધ્યાનમાં લો. $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C$ અને $E_D$ છે. $MC = MD = l/2$ હોવાથી,$E_C = k q / (l/2)^2$ જે $C$ થી દૂર જાય છે અને $E_D = k q / (l/2)^2$ જે $D$ થી દૂર જાય છે. આ બંને સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લો. $A$ થી $M$ નું અંતર $r = \sqrt{l^2 + (l/2)^2} = \sqrt{5l^2/4} = l\sqrt{5}/2$ છે. ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_A = E_B = k q / r^2 = k q / (5l^2/4) = 4kq / 5l^2$ છે.
$E_A$ અને $E_B$ ના શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટકો નાબૂદ થાય છે. ધારો કે સદિશ $AM$ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તો $\cos \theta = l / r = l / (l\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = 2 E_A \cos \theta = 2 \times (4kq / 5l^2) \times (2/\sqrt{5}) = 16kq / 5\sqrt{5}l^2$ થાય.

(B) અનંત લંબાઈના તાર માટે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
અહીં $\lambda_1 = 4 \ Cm^{-1}$,$\lambda_2 = 8 \ Cm^{-1}$ અને અંતર $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે.
મધ્યબિંદુ બંને તારથી $r = d/2 = 0.02 \ m$ અંતરે છે.
તાર $1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4}{0.02} = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $1$ થી દૂરની દિશામાં).
તાર $2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 8}{0.02} = 72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (તાર $2$ થી દૂરની દિશામાં).
બંને વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = |E_2 - E_1| = |72 \times 10^{11} - 36 \times 10^{11}| = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$.

(A) આપેલ છે કે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 500 \ Vm^{-1}$ જે ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E(\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 500 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}\right) = (250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \ Vm^{-1}$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(-3, 0) \ m$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 5) \ m$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0 - (-3)) \hat{i} + (5 - 0) \hat{j} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \times 3 + 250 \times 5)$
$V_B - V_A = -250(3\sqrt{3} + 5) \ V$.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સ્થિતિમાન $V = (x^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ સંબંધ ધરાવે છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 2x$ અને $\frac{\partial V}{\partial y} = -2y$.
તેથી, $\vec{E} = -(2x \hat{i} - 2y \hat{j}) = -2x \hat{i} + 2y \hat{j}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ માટેનું વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$ છે.
$\vec{E}$ ના ઘટકો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x}$.
પદોને ગોઠવતા, $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\ln y = -\ln x + C$, જેનું સાદું રૂપ $\ln(xy) = C$ અથવા $xy = \text{constant}$ થાય છે.
આ સમીકરણ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $(d)$ માં લંબકોણીય અતિવલયનો આલેખ દર્શાવેલ છે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત નક્કર ગોળાની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વિદ્યુતભાર $-q$ હોવાથી,તેના પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -qE = -\frac{Q q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
આ બળ $F = -kr$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં બળ અચળાંક $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા મળે છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 10^{-5} \ C$ છે અને ત્રિજ્યા $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{2 \pi a}$ છે.
$dl = 3.14 \times 10^{-6} \ m$ લંબાઈના કાપેલા નાના ટુકડા પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \frac{Q dl}{2 \pi a}$ છે.
શરૂઆતમાં,સંપૂર્ણ લૂપને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
જો $E_{\text{rem}}$ એ બાકી રહેલા વાયરને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય અને $E_{dl}$ એ કાપેલા ટુકડાને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય,તો $E_{\text{rem}} + E_{dl} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|E_{\text{rem}}| = |E_{dl}|$.
નાના ટુકડા $dq$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{dl} = \frac{k dq}{a^2} = \frac{k Q dl}{a^2 (2 \pi a)} = \frac{k Q dl}{2 \pi a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_{dl} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-5}) \times (3.14 \times 10^{-6})}{2 \times \pi \times (0.1)^3}$
$2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$ હોવાથી,$3.14 / (2 \pi) = 0.5$ મળે.
$E_{dl} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5} \times 10^{-6} \times 0.5}{0.001} = \frac{9 \times 10^{-2} \times 0.5}{10^{-3}} = 4.5 \times 10^1 = 45 \ N \ C^{-1}$.

(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સળિયાનો એક અત્યંત સૂક્ષ્મ ભાગ ધ્યાનમાં લો.
તેમાં $dq = \lambda dx$ વિદ્યુતભાર છે અને તે $(0, L)$ બિંદુથી $r = \sqrt{x^2 + L^2}$ અંતરે છે.
$dx$ દ્વારા $(0, L)$ બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{k \lambda dx}{x^2 + L^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$ અને $y$ ઘટકો $dE_x = dE \sin \theta$ અને $dE_y = dE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{x}{L}$.
તેથી,$x = L \tan \theta$ અને $dx = L \sec^2 \theta d\theta$. ઉપરાંત,$r^2 = L^2 \sec^2 \theta$.
આ કિંમતો ઘટકોમાં મૂકતા:
$dE_x = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \sin \theta = \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta$.
$dE_y = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \cos \theta = \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta$.
$x=0$ થી $x=\infty$ સુધી સંકલન કરતા,$\theta$ ની મર્યાદા $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ મળે છે:
$E_x = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [-\cos \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
$E_y = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(\frac{k \lambda}{L})^2 + (\frac{k \lambda}{L})^2} = \sqrt{2} \frac{k \lambda}{L}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{\sqrt{2} \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$ મળે છે.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તે $-8 \mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી, શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં પણ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-8 \mu C)$ ની બહારની બાજુએ હશે.
ધારો કે $-8 \mu C$ થી અંતર $x$ છે. તેથી $+32 \mu C$ થી અંતર $(15 + x)$ થશે.
શૂન્ય બિંદુએ, બંને વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{k |q_1|}{x^2} = \frac{k |q_2|}{(15 + x)^2}$
$\frac{8 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{(15 + x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(15 + x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{15 + x}$
$15 + x = 2x$
$x = 15 \ cm$.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = -10 \mu C$ એ $x_1 = 0$ પર અને $q_2 = +5 \mu C$ એ $x_2 = \sqrt{2} \ m$ પર છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(q_2)$ ની બાજુએ શૂન્ય થઈ શકે છે.
ધારો કે તટસ્થ બિંદુ $q_2$ થી ધન $x$-દિશામાં $d$ અંતરે છે.
આ બિંદુએ $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યનું હોવું જોઈએ:
$\frac{k|q_1|}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{k|q_2|}{d^2}$
$\frac{10}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{5}{d^2}$
$2d^2 = (d + \sqrt{2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2}d = d + \sqrt{2}$
$d(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$
$d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \ m$.
આ બિંદુનો $x$-યામ $x_2 + d = \sqrt{2} + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m$ થાય.

(D) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા વાહક ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ થાય.
તેથી,પ્રથમ ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
તે જ રીતે,બીજા ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_1 = E_2$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{1}$ થાય.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે,$\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_1 = 2 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
બીજા તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_2 = 3 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{3 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
તાર સમાંતર અને ધન વિદ્યુતભારિત હોવાથી,મધ્યબિંદુએ બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{net} = |E_2 - E_1| = |\frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R} - \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}| = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,અવાહક રીંગની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \cos \phi$ છે.
લંબ અક્ષની બંને બાજુએ $\phi$ ખૂણે $dl = r d\phi$ લંબાઈના બે સપ્રમાણ ખંડો ધ્યાનમાં લો.
દરેક ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos \phi) r d\phi$ છે.
કેન્દ્ર પર દરેક ખંડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
સમપ્રમાણતાને કારણે સમક્ષિતિજ ઘટકો $dE \sin \phi$ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \phi$ નો સરવાળો છે:
$E = \int_0^{\pi} 2 (dE \cos \phi) = \int_0^{\pi} 2 \left( \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right) \cos \phi$
$E = \frac{2 \lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} \cos^2 \phi d\phi$
$\cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} (1 + \cos 2\phi) d\phi = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\phi + \frac{\sin 2\phi}{2}]_0^{\pi} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\pi - 0] = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$.

(C) લૂપની ત્રિજ્યા, $r = 1 \, cm = 0.01 \, m$.
લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર, $Q = 1 \times 10^{-6} \, C$.
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર, $\lambda = \frac{Q}{2 \pi r} = \frac{10^{-6}}{2 \pi \times 0.01} = \frac{10^{-4}}{2 \pi} \, C/m$.
કાપી નાખેલા ભાગની લંબાઈ $l' = 0.01 \% \, \text{of} \, 2 \pi r = \frac{0.01}{100} \times 2 \pi r = 2 \pi \times 10^{-6} \, m$.
કાપી નાખેલા ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = l' \lambda = (2 \pi \times 10^{-6}) \times \frac{10^{-4}}{2 \pi} = 10^{-10} \, C$.
સંપૂર્ણ લૂપ માટે, કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જો નાનો ભાગ $l'$ દૂર કરવામાં આવે, તો બાકી રહેલા ભાગને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે દૂર કરેલા ભાગ $l'$ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
આ નાના ભાગને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q'$ તરીકે ગણતા, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q'}{r^2}$ થાય.
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{(0.01)^2} = \frac{0.9}{10^{-4}} = 9000 \, N/C = 9 \times 10^3 \, N/C$.

(B) ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર તરફની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે બે ઋણ વિદ્યુતભારો $-Q$,$(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર આવેલા છે. બિંદુ $P$ એ ધન $x$-અક્ષ પર $(x, 0)$ પર છે.
$(0, a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_1$ એ $P$ થી $(0, a)$ તરફની દિશામાં છે.
$(0, -a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_2$ એ $P$ થી $(0, -a)$ તરફની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને $P$ થી તેમના અંતર સમાન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે,એટલે કે $|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|$.
જ્યારે આ સદિશોના ઘટકો પાડવામાં આવે છે,ત્યારે $y$-ઘટકો ($E_{1y}$ અને $E_{2y}$) મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$x$-ઘટકો ($E_{1x}$ અને $E_{2x}$) બંને ઋણ $x$-દિશામાં છે.
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-દિશામાં હોય છે.

(B) ધારો કે સમઘનનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ છે. સમઘનના શિરોબિંદુઓ $(\pm L/2, \pm L/2, \pm L/2)$ પર છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોત.
ધારો કે એક શિરોબિંદુ (ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$) પર $+q$ ને બદલે $-q$ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{total}$ છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{all} = 0$ હોત.
ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$ શિરોબિંદુ પર $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{vertex}$ છે.
તેથી,$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{all} - \vec{E}_{vertex} + \vec{E}_{(-q)} = 0 - \vec{E}_{vertex} - \vec{E}_{vertex} = -2\vec{E}_{vertex}$.
કોઈપણ શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{3L^2/4} = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ છે.
કેન્દ્ર પર એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_{vertex}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{3L^2/4} = \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
કારણ કે $\vec{E}_{total} = -2\vec{E}_{vertex}$,તેનું મૂલ્ય $|E_{total}| = 2 |E_{vertex}| = 2 \times \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right) = \frac{8}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
આને $|E| = \alpha \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{8}{3}$ મળે છે.

(A) જ્યારે એક અવાહક ગોળાના કેન્દ્ર પર ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
જેহেতু વિદ્યુતભાર ગોળાના કેન્દ્રમાં છે,તેથી ગોળાની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરશે.
તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ હોય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(A) અંતર સદિશ $\vec{r}_{sep} = \vec{r} - \vec{r}_0 = (8 \hat{i} - 5 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 6 \hat{i} - 8 \hat{j} \ m$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $r = |\vec{r}_{sep}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{10^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{100} = 9 \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-6} = 4.5 \times 10^3 \ N \ C^{-1}$.
$1 \ N \ C^{-1} = 1 \ V \ m^{-1}$ હોવાથી,$E = 4.5 \times 10^3 \ V \ m^{-1} = 4.5 \ kV \ m^{-1}$ થાય.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રમિક વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી, $x = 0$ આગળ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{r_1^2} - \frac{Q}{r_2^2} + \frac{Q}{r_3^2} - \frac{Q}{r_4^2} + \dots \infty \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \infty \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \infty \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \infty \right]$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
તેથી, $E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ને $y$-અક્ષ પર $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભારનું સ્થાન $(0, y)$ બને છે.
$(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર રહેલા દરેક $-q$ વિદ્યુતભારથી આ વિદ્યુતભારનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + y^2}$ છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F' = \frac{kq^2}{r^2} = \frac{kq^2}{a^2 + y^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $x$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$y$-અક્ષ પરના ઘટકો બંને ઉગમબિંદુ તરફ (ઋણ $y$-દિશામાં) લાગે છે.
પરિણામી બળ $F = -2 F' \sin \theta$ છે, જ્યાં $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$.
$F = -2 \left( \frac{kq^2}{a^2 + y^2} \right) \left( \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}} \right) = -\frac{2kq^2 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$.
સ્થાનાંતર $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી $(y \ll a)$, આપણે $(a^2 + y^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ લઈ શકીએ.
આમ, $F \approx -\frac{2kq^2}{a^3} y$.
તેથી, $F \propto -y$.

(D) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ છે. સળિયા પર એક નાનો ખંડ લો જે કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda (R d\theta) = \lambda_0 R \sin \theta d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \sin \theta d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin \theta d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે, વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $y$-ઘટક $dE_y = -dE \sin \theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin^2 \theta d\theta$ છે.
$\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$E_y = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} (\pi) = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R}$.
આમ, $\vec{E} = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R} \hat{j}$. જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી, તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત રીંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી '$z$' અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય તે સ્થાન શોધવા માટે, આપણે $E_z$ નું '$z$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dE_z}{dz} = 0$
$\frac{d}{dz} \left[ \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}} \right] = 0$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(z^2 + a^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + a^2)^{1/2} \cdot 2z = 0$
$(z^2 + a^2)^{3/2} = 3z^2(z^2 + a^2)^{1/2}$
$z^2 + a^2 = 3z^2$
$2z^2 = a^2$
$z = \frac{a}{\sqrt{2}}$
આલેખની આડી ધરી $Z/a$ દર્શાવતી હોવાથી, $M$ યામ $z/a = 1/\sqrt{2}$ ને અનુરૂપ છે.

(A) જો ઘડિયાળના તમામ $12$ કલાકના સ્થાનો પર $+Q$ ના સમાન વિદ્યુતભારો હોત, તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાત, કારણ કે દરેક વિદ્યુતભાર તેના વ્યાસાભિમુખ વિરુદ્ધ સ્થાને રહેલા સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર દ્વારા નાબૂદ થાત.
ધારો કે $10$ વાગ્યાના સ્થાને રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{10}$ છે. જ્યારે $10$ વાગ્યાના સ્થાને વિદ્યુતભાર ગેરહાજર હોય ત્યારે ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{net} + \vec{E}_{10} = 0$
તેથી, $\vec{E}_{net} = -\vec{E}_{10}$.
$r$ અંતરે રહેલા એક $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ છે.
$\vec{E}_{10}$ ની દિશા $10$ વાગ્યાના સ્થાનથી કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આમ, $-\vec{E}_{10}$ એ $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ મૂલ્યનો સદિશ છે જે કેન્દ્રથી $10$ વાગ્યાના સ્થાન તરફની દિશામાં છે.

(A) ધારો કે બે ધન વીજભાર $Q$ એ $(0, d)$ અને $(0, -d)$ પર સ્થિત છે. ઋણ વીજભાર $-q$ ને $(x, 0)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
દરેક ધન વીજભાર $Q$ અને ઋણ વીજભાર $-q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + d^2}$ છે.
દરેક ધન વીજભાર દ્વારા ઋણ વીજભાર પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $F_e = \frac{kQq}{r^2}$ છે.
સંમિતિને કારણે $y$-અક્ષ પરના આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $x$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F = -2 F_e \cos \theta$, જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r}$.
પદોને મૂકતા:
$F = -2 \left( \frac{kQq}{r^2} \right) \left( \frac{x}{r} \right) = -\frac{2kQqx}{r^3}$.
કારણ કે $r = (x^2 + d^2)^{1/2}$, તેથી:
$F = -\frac{2kQqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
શરત $x \ll d$ આપેલ હોવાથી, છેદમાં $x^2 + d^2 \approx d^2$ લઈ શકાય:
$F \approx -\frac{2kQqx}{(d^2)^{3/2}} = -\frac{2kQqx}{d^3}$.
આમ, બળ $F$ નું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે, એટલે કે $F \propto x$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણમાં, કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર બાજુની લંબાઈ $a$ જેટલું હોય છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે ચાર વિદ્યુતભારોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A, B, C$ અને $F$ શિરોબિંદુઓ પર મૂકીએ છીએ.
$F$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે, તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(E_F + E_C = 0)$.
કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે છે.
દરેક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{a^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો $E_A$ અને $E_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2 E_A E_B \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $E_A = E_B = E$, તેથી:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E^2 (1/2)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_{\text{net}} = \frac{\sqrt{3}Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$

(C) ધારો કે એકમ ઋણ વીજભાર લંબ દ્વિભાજક પર મધ્યબિંદુથી $x$ અંતરે છે. દરેક સ્થિર વીજભાર $+Q$ થી આ વીજભારનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
દરેક $+Q$ વીજભાર દ્વારા એકમ ઋણ વીજભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot 1}{r^2} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)}$ છે.
વીજભારોને જોડતી રેખાને લંબ આ બળોના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે, જ્યારે લંબ દ્વિભાજકની દિશામાંના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
ચોખ્ખું પુનઃસ્થાપક બળ $F_{\text{net}} = -2F \cos \theta$ છે, જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$.
$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = -\frac{2Qx}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)^{3/2}}$.
$x \ll a$ હોવાથી, આપણે $(x^2 + a^2)^{3/2} \approx a^3$ લઈ શકીએ.
આમ, $F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x = -\left( \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $F = -kx_{eff}$ છે, જ્યાં $k_{eff} = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 M a^3}}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, કોઈ પણ વિકલ્પ ગણતરી કરેલી આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાતો નથી.

(A) $1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ એ અદિશ રાશિ છે. $r$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે. અહીં પાંચ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી, કુલ સ્થિતિમાન તેમનો બેઝિક સરવાળો થશે: $V = 5 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(\vec{E})$ એ સદિશ રાશિ છે. નિયમિત બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ પર સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી, દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી, કેન્દ્ર $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0$ થશે.

(B) ધારો કે કેન્દ્ર પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{0} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}}$ છે.
સંમિતિના આધારે, $90^{\circ}$ અને $270^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો (બંને $+Q$) એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
બાકીના વિદ્યુતભારો $30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ પર છે.
ખાસ કરીને, $30^{\circ}$ અને $210^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $+Q$ છે, અને $150^{\circ}$ અને $330^{\circ}$ પરના વિદ્યુતભારો $-Q$ અને $+Q$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોનું વિભાજન કર્યા પછી, કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j})$ મળે છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $2q$ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k \frac{2q}{r^2}$ છે.
$q$ વિદ્યુતભાર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે, કેન્દ્રથી $r' = \frac{r}{2}$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાનું છે. અહીં $r \gg R$ હોવાથી, $r' > R$ ની શરત સંતોષાય છે, જેનો અર્થ છે કે કવચ તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
આમ, $E' = k \frac{q}{(r/2)^2} = k \frac{q}{r^2/4} = 4k \frac{q}{r^2}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી, $k \frac{q}{r^2} = \frac{E}{2}$ મળે.
આ કિંમત $E'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, $E' = 4 \times \frac{E}{2} = 2E$ મળે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ માટે, રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{\pi R}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2k\lambda}{R}$ છે, જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે $E = \frac{2(1/4\pi\epsilon_0)(Q/\pi R)}{R} = \frac{Q}{2\pi^2 \epsilon_0 R^2}$.
આપેલ છે કે $E = 100 \text{ V/m}$, $R = 0.35 \text{ m}$, $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2$, અને $\pi = 3.14$.
$Q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $Q = E \times 2\pi^2 \epsilon_0 R^2$.
$Q = 100 \times 2 \times (3.14)^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.35)^2$.
$Q = 200 \times 9.8596 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.1225$.
$Q \approx 2.14 \times 10^{-9} \text{ C} = 2.14 \text{ nC}$.

(A) ધારો કે નિયમિત ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $a$ છે.
$a$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{a^2}$ છે, જે જો $q > 0$ હોય તો વિદ્યુતભારથી દૂર અને જો $q < 0$ હોય તો વિદ્યુતભારની દિશામાં હોય છે.
વિદ્યુતભારો આ મુજબ છે: $A(+q), B(-q), C(-q), D(+q), E(+Q), F(-q)$।
$A$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E_A = \frac{kq}{a^2}$ ($A$ થી દૂર, $D$ તરફ)
$E_D = \frac{kq}{a^2}$ ($D$ થી દૂર, $A$ તરફ)
આ બંને સમાન અને વિરુદ્ધ હોવાથી, તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે: $\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$।
$B, C, F$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E_B = \frac{kq}{a^2}$ ($B$ તરફ)
$E_F = \frac{kq}{a^2}$ ($F$ તરફ)
$E_C = \frac{kq}{a^2}$ ($C$ તરફ)
$O$ પર $B, C, F$ ને કારણે પરિણામી ક્ષેત્ર:
સમપ્રમાણતા મુજબ, $E_B, E_C, E_F$ નું પરિણામી ક્ષેત્ર $\frac{kq}{a^2}$ છે જે $E$ તરફ દિશામાન છે.
આપેલ છે: $|\vec{E}_{A,B,C,D,F}| = 3 |\vec{E}_E|$
$|\vec{E}_{A,B,C,D,F}| = \frac{kq}{a^2}$
$|\vec{E}_E| = \frac{kQ}{a^2}$
તેથી, $\frac{kq}{a^2} = 3 \left( \frac{kQ}{a^2} \right) \implies Q = \frac{q}{3}$।