AIEEE 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $AB = h$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{BC}$ $\Rightarrow BC = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\Delta ABD$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BD}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{BD}$ $\Rightarrow BD = h$.
$BD = BC + CD$ હોવાથી,$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 7$.
$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 7 \Rightarrow h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right) = 7$.
$h = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $h = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{7\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1) \ m$.

(C) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ છે. તેનો અનુબદ્ધ $\bar{z} = x - iy$ છે.
આપેલ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{i - 1} = \frac{1}{-1 + i}$.
$z$ શોધવા માટે,આપણે $\bar{z}$ નો અનુબદ્ધ લઈશું:
$z = \overline{\left(\frac{1}{-1 + i}\right)} = \frac{1}{-1 - i}$.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$z = \frac{-1}{1 + i} = -\frac{1}{i + 1}$.

(D) આ પુનરાવર્તિત સંચયનો પ્રશ્ન છે (સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ પદ્ધતિ).
ધારો કે $n = 5$ એ આઈસ્ક્રીમના પ્રકારોની સંખ્યા છે અને $r = 6$ એ ખરીદવાના આઈસ્ક્રીમની સંખ્યા છે.
પુનરાવર્તન સાથે $n$ પ્રકારોમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_r$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $^{5+6-1}C_6 = ^{10}C_6$ મળે છે.
કારણ કે $^{10}C_6 = ^{10}C_{10-6} = ^{10}C_4$,અને $^{10}C_4 = 210$,જ્યારે $^{10}C_5 = 252$.
આમ,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે.
$\text{વિધાન}-2$ માટે,$6$ $A$ અને $4$ $B$ ને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા એ $10$ માંથી $6$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા છે,જે $^{10}C_6$ છે.
આ આઈસ્ક્રીમ ખરીદવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.
તેથી,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(B) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
કોઈ પણ બે $S$ પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા બાકીના $7$ અક્ષરો $M, I, I, I, I, P, P$ ને ગોઠવીએ.
આ $7$ અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{7!}{4!2!} = 105$ છે.
આ $7$ અક્ષરો દ્વારા $8$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે,જેમાં $4$ $S$ મૂકી શકાય.
$8$ માંથી $4$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીત $^8C_4 = 70$ છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $105 \times 70 = 7350$ થાય.

(D) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r$.
આને $S = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^r + \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{r=1}^{n} n \binom{n-1}{r-1} x^r + (1+x)^n$
$S = nx \sum_{r=1}^{n} \binom{n-1}{r-1} x^{r-1} + (1+x)^n$
$S = nx(1+x)^{n-1} + (1+x)^n$.
આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે.
વિધાન $-1$ ચકાસવા માટે,વિધાન $-2$ ના પરિણામમાં $x=1$ મૂકતા:
$S(1) = n(1)(1+1)^{n-1} + (1+1)^n = n 2^{n-1} + 2^n = 2^{n-1} (n + 2)$.
આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = a(1 + r) = 12$ $(i)$.
ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $ar^2 + ar^3 = ar^2(1 + r) = 48$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{48}{12}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના પદો વારાફરતી ધન અને ઋણ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$r = -2$.
$r = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a(1 + (-2)) = 12$
$a(-1) = 12$
$a = -12$.
તેથી,પ્રથમ પદ $-12$ છે.

(C) $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $k-1$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{k+1}{2})$ છે.
$y-$અંતઃખંડ માટે $x = 0$ લેતા:
$y = \frac{7}{2} - (k-1)(\frac{k+1}{2}) = \frac{7 - (k^2-1)}{2} = \frac{8-k^2}{2}$.
$y-$અંતઃખંડ $-4$ આપેલ છે:
$\frac{8-k^2}{2} = -4$ $\Rightarrow 8-k^2 = -8$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$.
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમત $-4$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 1$ અને $f = 2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, -2)$ છે.
ધારો કે $Q(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ $P(1, 0)$ ની વ્યાસાંતે સામેનું બિંદુ છે.
કેન્દ્ર એ વ્યાસ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{1 + \alpha}{2} = -1$ $\Rightarrow 1 + \alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\frac{0 + \beta}{2} = -2 \Rightarrow \beta = -4$
આમ,બિંદુ $Q$ એ $(-3, -4)$ છે.

(B) પરવલયનું નાભિ $S = (0,0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા રેખા $x = 2$ છે.
પરવલયની અક્ષ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખા છે. નિયામિકા $x = 2$ (શિરોલંબ રેખા) હોવાથી,અક્ષ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ એ નાભિ અને અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
અક્ષ $(y = 0)$ અને નિયામિકા $(x = 2)$ નું છેદબિંદુ $(2,0)$ છે.
શિરોબિંદુ એ $(0,0)$ અને $(2,0)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0)$ થાય.
આમ,પરવલયનું શિરોબિંદુ $(1,0)$ પર છે.

(A) ઉપવલયની નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{a}{e} - ae$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ છે અને $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
આપેલ છે: નાભિ $(0, 0)$ પર છે, નિયામિકા $x = 4$ છે, તેથી અંતર $d = 4$ છે.
આપેલ છે: $e = \frac{1}{2}$।
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $4 = a(\frac{1}{1/2} - \frac{1}{2})$।
$4 = a(2 - 0.5) = a(1.5) = a(\frac{3}{2})$।
$a$ માટે ઉકેલતા: $a = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$।

(D) સંખ્યાઓ $a, b, 8, 5, 10$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 6$ આપેલ છે:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30 \Rightarrow a+b = 7$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 6.80$ છે.
$\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.80$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 4 + 1 + 16 = 34$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
$a+b=7$ હોવાથી,$b = 7-a$ લેતા:
$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13$
$2a^2 - 14a + 24 = 0$
$a^2 - 7a + 12 = 0$
$(a-3)(a-4) = 0$.
તેથી,$a=3$ હોય તો $b=4$ મળે.

(C) પાસો ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી $n(S) = 6$.
ઘટના $A$ એ છે કે મળતી સંખ્યા $3$ કરતા મોટી છે,તેથી $A = \{4, 5, 6\}$. આમ,$P(A) = \frac{3}{6}$.
ઘટના $B$ એ છે કે મળતી સંખ્યા $5$ કરતા નાની છે,તેથી $B = \{1, 2, 3, 4\}$. આમ,$P(B) = \frac{4}{6}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ કરતા મોટી અને $5$ કરતા નાની હોય,તેથી $A \cap B = \{4\}$. આમ,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

(B) આપેલ વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv \sim p \vee (\sim q \vee p)$.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમો દ્વારા,આ $(\sim p \vee p) \vee \sim q$ ને સમકક્ષ છે,જે $T \vee \sim q = T$ (નિત્યસત્ય) માં પરિણમે છે.
હવે,વિકલ્પ $B$ તપાસીએ: $p \rightarrow (q \vee p) \equiv \sim p \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q = T$.
બંને પદાવલિઓ નિત્યસત્ય હોવાથી,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એ $p \rightarrow (q \vee p)$ ને સમકક્ષ છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: (1 + k\lambda, 2 + 2k, 3 + 3k)$ અને $L_2: (2 + 3m, 3 + m\lambda, 1 + 2m)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,એવા $k$ અને $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$1 + k\lambda = 2 + 3m$ $(1)$
$2 + 2k = 3 + m\lambda$ $(2)$
$3 + 3k = 1 + 2m$ $(3)$
$(3)$ પરથી,$3k - 2m = -2 \implies m = \frac{3k + 2}{2}$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $2 + 2k = 3 + \lambda(\frac{3k + 2}{2}) \implies 4 + 4k = 6 + 3k\lambda + 2\lambda \implies 4k - 3k\lambda - 2\lambda = 2$.
$m$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $1 + k\lambda = 2 + 3(\frac{3k + 2}{2}) \implies 2 + 2k\lambda = 4 + 9k + 6 \implies 2k\lambda - 9k = 8$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$\lambda = -5$ મળે છે.

(C) $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ છે.
આને $\frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $yz-$ સમતલને જ્યાં છેદે ત્યાં $x=0$ હોય છે. $\frac{x-5}{-2} = \mu$ માં $x=0$ મૂકતા,$\frac{0-5}{-2} = \mu$,તેથી $\mu = \frac{5}{2}$ મળે.
હવે,$y-$ યામ માટે: $y = \mu(b-1) + 1 = \frac{17}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ મૂકતા: $\frac{5}{2}(b-1) + 1 = \frac{17}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}(b-1) = \frac{15}{2} \Rightarrow b-1 = 3 \Rightarrow b = 4$.
$z-$ યામ માટે: $z = \mu(1-a) + a = -\frac{13}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ મૂકતા: $\frac{5}{2}(1-a) + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} - \frac{5}{2}a + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow -\frac{3}{2}a = -\frac{13}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{18}{2} = -9$.
આમ,$a = 6$. તેથી,$a=6$ અને $b=4$.

(B) $x \in (0, 1]$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x < x$.
તેથી,$I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \, dx < \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$.
આમ,$I < \frac{2}{3}$.
$x \in (0, 1]$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x < 1$.
તેથી,$J = \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx < \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{-1/2} \, dx = \left[ 2x^{1/2} \right]_{0}^{1} = 2$.
આમ,$J < 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વક્રો $x = -2y^2$ અને $x = 1 - 3y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$-2y^2 = 1 - 3y^2$ લેતા,જે $y^2 = 1$ આપે છે,તેથી $y = \pm 1$.
જ્યારે $y = \pm 1$,ત્યારે $x = -2(1)^2 = -2$. આમ,છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી વક્રોના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $A^2 = I$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\det(A^2) = \det(I) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\det(A^2) = (\det(A))^2$,તેથી $(\det(A))^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 1$ અથવા $\det(A) = -1$.
જો $\det(A) = 1$ હોય,તો લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ છે. $A^2 = I$ હોવાથી,આયગન કિંમતો $\pm 1$ છે. જો $\det(A) = 1$ હોય,તો આયગન કિંમતો $(1, 1)$ અથવા $(-1, -1)$ હોય.
જો આયગન કિંમતો $(1, 1)$ હોય,તો $A = I$. જો આયગન કિંમતો $(-1, -1)$ હોય,તો $A = -I$.
આમ,જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\det(A) = -1$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે,જો $A^2 = I$ હોય,તો આયગન કિંમતો $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ છે.
જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો આયગન કિંમતો $1$ અને $-1$ હોવી જોઈએ.
$A$ નો ટ્રેસ એ આયગન કિંમતોનો સરવાળો છે,તેથી $tr(A) = 1 + (-1) = 0$.
તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે આ કિસ્સામાં $tr(A) = 0$ હોવું જોઈએ.

(C) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$.
કારણ કે $A$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતો ચોરસ શ્રેણિક છે,તેથી સહ-અવયજ શ્રેણિક $\text{adj}(A)$ પણ સંપૂર્ણપણે પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવે છે (કારણ કે તે કોફેક્ટર શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે).
જો $\det(A) = \pm 1$ હોય,તો $A^{-1} = \frac{1}{\pm 1} \text{adj}(A) = \pm \text{adj}(A)$.
જેમ કે $\text{adj}(A)$ માં માત્ર પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તેથી $\pm \text{adj}(A)$ માં પણ માત્ર પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ જ હશે.
તેથી,જો $\det(A) = \pm 1$ હોય,તો $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તેના તમામ ઘટકો પૂર્ણાંક છે.

(D) $x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - (-1) \sin(-1)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - \sin(1)}{h}$.
જ્યારે $h \to 0$,ત્યારે લક્ષ $\frac{-\sin(-1) - \sin(1)}{0}$ મળે છે,જે વ્યાખ્યાયિત નથી. આમ,$f$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(\frac{1}{h})$.
કારણ કે $\lim_{h \to 0} \sin(\frac{1}{h})$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી. આમ,$f$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,$f$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે પણ $x = 1$ આગળ નથી.

(D) ધારો કે $f(x) = x^3 - px + q$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 3x^2 - p$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3x^2 = p$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{\frac{p}{3}}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ: $f''(x) = 6x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર કિંમત તપાસતા:
$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ માટે,$f''(-\sqrt{\frac{p}{3}}) = -6\sqrt{\frac{p}{3}} < 0$ (કારણ કે $p > 0$). તેથી,$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ માટે,$f''(\sqrt{\frac{p}{3}}) = 6\sqrt{\frac{p}{3}} > 0$ (કારણ કે $p > 0$). તેથી,$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
આમ,ત્રિઘાત બહુપદીને $-\sqrt{\frac{p}{3}}$ પર મહત્તમ અને $\sqrt{\frac{p}{3}}$ પર ન્યૂનતમ કિંમત છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v$ મળે છે.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = 1$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$dv = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$v = \ln|x| + C$ મળે છે.
$y = vx$ હોવાથી,$\frac{y}{x} = \ln|x| + C$,એટલે કે $y = x \ln|x| + Cx$.
શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = 1 \cdot \ln(1) + C(1) \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,ઉકેલ $y = x \ln x + x$ છે.

(C) ધારો કે $I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$.
$x = (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}$ મૂકતા.
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin \left( (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin(x - \frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(x - \frac{\pi}{4})} dx$.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$I = \sqrt{2} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \cot(x - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) dx$.
$I = \int (1 + \cot(x - \frac{\pi}{4})) dx$.
$I = x + \ln \left| \sin(x - \frac{\pi}{4}) \right| + c$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$,અને $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે:
$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{6} = P(B) \times \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(D) $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે એવું વિધેય $g: Y \to N$ શોધવું પડશે કે જેથી $g \circ f = I_N$ અને $f \circ g = I_Y$ થાય.
આપેલ છે કે $f(x) = 4x + 3$,ધારો કે $y = f(x) = 4x + 3$.
$y$ ના પદમાં $x$ શોધતા,આપણને $y - 3 = 4x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y - 3}{4}$.
વિધેય $g: Y \to N$ ને $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,સંયોજન $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = \frac{(4x + 3) - 3}{4} = \frac{4x}{4} = x = I_N(x)$ તપાસો.
આગળ,સંયોજન $f \circ g(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y - 3}{4}\right) = 4\left(\frac{y - 3}{4}\right) + 3 = (y - 3) + 3 = y = I_Y(y)$ તપાસો.
કારણ કે $g \circ f = I_N$ અને $f \circ g = I_Y$ છે,તેથી વિધેય $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને તેનો વ્યસ્ત $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 8\vec{b}$ અને $\vec{c} = -7\vec{b}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ નો ધન અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ ની દિશામાં જ છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં રહેલા બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) હોય છે.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} d x = x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + K$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{d}{dx} (\log |\sin x - 2 \cos x|) $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} $
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{1 + 2 \tan x}{\tan x - 2} $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = \frac{\tan x - 2 + a + 2a \tan x}{\tan x - 2} $
$\tan x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$5 = 2a + 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$
તેમજ,$a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a = 2$ થાય.