AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે,$\triangle ABC$ માં,$r_1=12, r_2=18, r_3=36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{r} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$r = 6$.
વળી,$\Delta^2 = r_1 r_2 r_3 r = 12 \times 18 \times 36 \times 6 = 46656$.
તેથી,$\Delta = \sqrt{46656} = 216$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$.
કિંમતો મૂકતા: $18 = \frac{216}{36-b}$.
$36-b = \frac{216}{18} = 12$.
$b = 36 - 12 = 24$.

(A) ધારો કે $E$ એ અંગ્રેજીમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $M$ એ ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 205$
$n(E) = 105$
$n(M) = 70$
$n(E \cap M) = 30$
આપણે ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(E \cup M)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(E \cup M) = n(E) + n(M) - n(E \cap M)$
$n(E \cup M) = 105 + 70 - 30 = 145$
હવે,બંને વિષયોમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કુલ વિદ્યાર્થીઓમાંથી ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓને બાદ કરતા મળે.
બંનેમાં નાપાસ વિદ્યાર્થીઓ $= 205 - 145 = 60$

(A) ધારો કે $y = \tanh^{-1} x$.
તેથી $x = \tanh y$.
હાયપરબોલિક ટેન્જેન્ટ વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે $x = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$ છે.
બંને બાજુ $(e^y + e^{-y})$ વડે ગુણતા,આપણને $x(e^y + e^{-y}) = e^y - e^{-y}$ મળે છે.
$xe^y + xe^{-y} = e^y - e^{-y}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $e^y(1 - x) = e^{-y}(1 + x)$ મળે છે.
બંને બાજુ $(1 - x)$ વડે ભાગતા,આપણને $e^y = e^{-y} \frac{1 + x}{1 - x}$ મળે છે.
બંને બાજુ $e^y$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{2y} = \frac{1 + x}{1 - x}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $2y = \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x+y+z=12$ ... $(i)$
$x^2+y^2+z^2=50$ ... $(ii)$
$x^3+y^3+z^3=216$ ... $(iii)$
નિત્યસમ $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$12^2 = 50 + 2(xy+yz+zx)$
$144 - 50 = 2(xy+yz+zx)$
$xy+yz+zx = 47$
નિત્યસમ $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$216 - 3xyz = 12(50 - 47)$
$216 - 3xyz = 12(3) = 36$
$3xyz = 180 \Rightarrow xyz = 60$
હવે,$x, y, z$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ ના બીજ છે:
$t^3 - 12t^2 + 47t - 60 = 0$
બીજ ચકાસતા,$t=3$ માટે: $27 - 12(9) + 47(3) - 60 = 27 - 108 + 141 - 60 = 0$. તેથી $(t-3)$ એક અવયવ છે.
$(t-3)(t^2-9t+20) = 0$
$(t-3)(t-4)(t-5) = 0$
બીજ $3, 4, 5$ છે.
$x, y, z$ એ ${3, 4, 5}$ ના કોઈપણ ક્રમચય હોઈ શકે છે,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.

(D) પગલું $1$: કોઈ સંબંધ $f: A \rightarrow B$ વિધેય હોવા માટે, પ્રદેશ $A$ ના દરેક ઘટક $x$ માટે સહ-પ્રદેશ $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ $f(x)$ હોવું જોઈએ.
પગલું $2$: આપેલ છે $f: R_{+} \rightarrow R_{+}$ જ્યાં $R_{+} = (0, \infty)$ અને $f(x) = 3x^2 - 2$ છે.
પગલું $3$: $x \in (0, \infty)$ માટે, $x^2 > 0$ થાય, તેથી $3x^2 > 0$ થાય. આમ, $f(x) = 3x^2 - 2 > -2$ થાય.
પગલું $4$: જો આપણે $x = 0.5 \in R_{+}$ લઈએ, તો $f(0.5) = 3(0.5)^2 - 2 = 3(0.25) - 2 = 0.75 - 2 = -1.25$ મળે.
પગલું $5$: કારણ કે $-1.25 \notin R_{+}$, તેથી પ્રદેશમાં એક એવો ઘટક છે જેનું પ્રતિબિંબ સહ-પ્રદેશ $R_{+}$ માં નથી.
પગલું $6$: તેથી, $f$ એ વિધેય નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(1) = a + b + c$ અને $f(2) = 4a + 2b + c$.
પ્રથમ શરત પરથી: $f(1) + 2f(2) = 0$
$(a + b + c) + 2(4a + 2b + c) = 0$
$a + b + c + 8a + 4b + 2c = 0$
$9a + 5b + 3c = 0$ ... $(i)$
બીજી શરત પરથી: $2f(1) + f(2) = 0$
$2(a + b + c) + (4a + 2b + c) = 0$
$2a + 2b + 2c + 4a + 2b + c = 0$
$6a + 4b + 3c = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(9a + 5b + 3c) - (6a + 4b + 3c) = 0 - 0$
$3a + b = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $|x|+|y|=|x-3|+|y-2|$.
કિસ્સો $I$: $0 \leq x < 3$ અને $0 \leq y < 2$.
આ વિસ્તારમાં,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=-(x-3)$,અને $|y-2|=-(y-2)$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x+y = -(x-3) - (y-2)$.
$x+y = -x+3-y+2$.
$2x+2y = 5$.
$x+y = 5/2$.
કિસ્સો $II$: $x \geq 3$ અને $y \geq 2$.
આ વિસ્તારમાં,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=x-3$,અને $|y-2|=y-2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x+y = (x-3) + (y-2)$.
$x+y = x+y-5$.
$0 = -5$,જે અશક્ય છે.
તેથી,શરત $x+y = 5/2$ એ $0 \leq x < 3$ અને $0 \leq y < 2$ માટે સાચી છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$1) x+y+z=1$
$2) x^2+y^2+z^2=1$
$3) x^3+y^3+z^3=1$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$z = 1 - x - y$. આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 1$
$x^2 + y^2 + 1 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy = 1$
$2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y = 0$
$x^2 + y^2 + xy - x - y = 0$
જો આપણે બે ચલ $0$ લઈએ,તો ત્રીજો ચલ $1$ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $x=1, y=0, z=0$ લઈએ,તો $1+0+0=1$,$1^2+0^2+0^2=1$,અને $1^3+0^3+0^3=1$ મળે છે. આ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
$(1, 0, 0)$ ના ક્રમચયો લેતા,આપણને $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,અને $(0, 0, 1)$ મળે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(A) પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4ay$ એ રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
તેથી,રેખા $y = x$ તેમના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
$y^2 = 4ax$ અને $y = x$ ને ઉકેલતા:
$x^2 = 4ax \Rightarrow x(x - 4a) = 0 \Rightarrow x = 0$ અથવા $x = 4a$.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 0$. જ્યારે $x = 4a$ હોય,ત્યારે $y = 4a$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4a, 4a)$ છે.
રેખા $2bx + 3cy + 4d = 0$ એ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow 4d = 0 \Rightarrow d = 0$.
તે $(4a, 4a)$ માંથી પણ પસાર થાય છે:
$2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0 \Rightarrow 8ab + 12ac + 4d = 0$.
$d = 0$ અને $a \neq 0$ હોવાથી,$8ab + 12ac = 0 \Rightarrow 4a(2b + 3c) = 0 \Rightarrow 2b + 3c = 0$.
તેથી,$d^2 + (2b + 3c)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્ર $y^2 = 4ax$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4a$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
આમ,$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{2a}{y_1}$ છે.
વક્ર $xy = c^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $x \frac{dy}{dx} + y = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
આમ,$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{y_1}{x_1}$ છે.
વક્રો લંબછેદી હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2a}{y_1} \times (-\frac{y_1}{x_1}) = -1 \Rightarrow \frac{2a}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 2a$.
$(x_1, y_1)$ એ $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$y_1^2 = 4a(2a) = 8a^2$.
$(x_1, y_1)$ એ $xy = c^2$ પર હોવાથી,$x_1 y_1 = c^2$,તેથી $(x_1 y_1)^2 = c^4$.
$x_1 = 2a$ અને $y_1^2 = 8a^2$ મુકતા,આપણને મળે $c^4 = x_1^2 y_1^2 = (2a)^2 (8a^2) = 4a^2 \times 8a^2 = 32a^4$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^4-1)(x^7+1) = 0$.
કિસ્સો $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$.
બીજ $k=0, 1, 2, 3$ માટે $x = e^{i(2k\pi/4)}$ છે. આ $1, i, -1, -i$ છે. કુલ $4$ ભિન્ન બીજ છે.
કિસ્સો $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$.
બીજ $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ છે. કુલ $7$ ભિન્ન બીજ છે.
કુલ ભિન્ન ઉકેલો શોધવા માટે,સામાન્ય બીજ તપાસીએ:
જો $x^4=1$ અને $x^7=-1$ હોય,તો $|x|=1$ થાય.
જો $x$ સામાન્ય બીજ હોય,તો $x^4=1$ અને $x^7=-1$.
તેથી $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$.
$x^8 = x^7 \cdot x = 1$ હોવાથી,$(-1) \cdot x = 1$,એટલે કે $x = -1$.
ચકાસો કે $x = -1$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે:
$(-1)^4 = 1$ (સાચું) અને $(-1)^7 = -1$ (સાચું).
તેથી,$x = -1$ એ એકમાત્ર સામાન્ય બીજ છે.
કુલ ભિન્ન ઉકેલો = ($x^4-1=0$ ના બીજની સંખ્યા) + ($x^7+1=0$ ના બીજની સંખ્યા) - (સામાન્ય બીજની સંખ્યા)
કુલ = $4 + 7 - 1 = 10$.

(B) બહુપદી $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ ને મોનિક બહુપદી ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેનો અગ્ર સહગુણક,જે સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદ $x^n$ નો સહગુણક છે,તે $1$ હોય.
તેથી,આપેલી બહુપદી $f(x)$ મોનિક હોવા માટે,$a_n = 1$ હોવું જરૂરી છે.

(D) ધારો કે $f(\alpha) = \left(1 + \frac{1}{\sin^n \alpha}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos^n \alpha}\right)$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,ધન પદો માટે,ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\sin \alpha = \cos \alpha$,એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin \alpha = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$ થાય.
તેથી $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha = (2^{-1/2})^n = 2^{-n/2}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) = (1 + 2^{n/2})(1 + 2^{n/2}) = (1 + 2^{n/2})^2$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $(1 + 2^{n/2})^2$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A=(-1, 3)$,$B=(2, 5)$,અને $C=(a, b)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H=(1, 2)$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $(m_{AH})$ અને $BC$ નો ઢાળ $(m_{BC})$ નો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$m_{AH} = \frac{2-3}{1-(-1)} = \frac{-1}{2}$.
$m_{BC} = \frac{b-5}{a-2}$.
$m_{AH} \times m_{BC} = -1$ હોવાથી,$\left(\frac{-1}{2}\right) \times \left(\frac{b-5}{a-2}\right) = -1 \Rightarrow b-5 = 2(a-2) \Rightarrow b-5 = 2a-4 \Rightarrow 2a-b = -1$ ... $(i)$
તે જ રીતે,$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $(m_{BH})$ અને $AC$ નો ઢાળ $(m_{AC})$ નો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$m_{BH} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$.
$m_{AC} = \frac{b-3}{a-(-1)} = \frac{b-3}{a+1}$.
$m_{BH} \times m_{AC} = -1$ હોવાથી,$3 \times \left(\frac{b-3}{a+1}\right) = -1 \Rightarrow 3b-9 = -a-1 \Rightarrow a+3b = 8$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$b = 2a+1$. (ii) માં મૂકતા: $a + 3(2a+1) = 8 \Rightarrow a + 6a + 3 = 8 \Rightarrow 7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$.
તેથી $b = 2(\frac{5}{7}) + 1 = \frac{10}{7} + \frac{7}{7} = \frac{17}{7}$.
આમ,$(a, b) = \left(\frac{5}{7}, \frac{17}{7}\right)$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના આપેલા શિરોબિંદુઓ $P(1, 2)$,$Q(4, 6)$,$R(5, 7)$ અને $S(a, b)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે તેઓ સમાન મધ્યબિંદુ ધરાવે છે.
ધારો કે $A$ એ વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 7}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{9}{2} \right) = \left( 3, 4.5 \right)$.
વિકર્ણ $QS$ નું મધ્યબિંદુ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{4 + a}{2}, \frac{6 + b}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓના યામોને સરખાવતા:
$\frac{4 + a}{2} = 3 \implies 4 + a = 6 \implies a = 2$.
$\frac{6 + b}{2} = 4.5 \implies 6 + b = 9 \implies b = 3$.
તેથી,$a = 2$ અને $b = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $(a, 8, -2)$ એ $(1, 4, 6)$ અને $(5, 2, 10)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,યામો નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{5m + n}{m + n}$,$y = \frac{2m + 4n}{m + n}$,$z = \frac{10m + 6n}{m + n}$.
$y$-યામને સરખાવતા:
$8 = \frac{2m + 4n}{m + n} \implies 8m + 8n = 2m + 4n \implies 6m = -4n \implies \frac{m}{n} = -\frac{2}{3}$.
$z$-યામને સરખાવતા:
$-2 = \frac{10m + 6n}{m + n} \implies -2m - 2n = 10m + 6n \implies -12m = 8n \implies \frac{m}{n} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
બંને સમીકરણો સમાન ગુણોત્તર આપે છે,તેથી $x$-યામનો ઉપયોગ કરીને $a$ શોધીએ:
$a = \frac{5m + n}{m + n} = \frac{5(-\frac{2}{3}) + 1}{(-\frac{2}{3}) + 1} = \frac{-\frac{10}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = -7$.
અંતે,પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$\frac{2m}{n} - \frac{a}{3} = 2(-\frac{2}{3}) - (\frac{-7}{3}) = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 2, -1)$ અને $B(-1, 0, 1)$ છે. બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $1: 2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારના વિભાજન માટે,$P$ ના યામ $\left( \frac{m_1 x_2 - m_2 x_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 y_2 - m_2 y_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 z_2 - m_2 z_1}{m_1 - m_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2}, \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2}, \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} \right)$
$P = \left( \frac{-1 - 2}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{1 + 2}{-1} \right)$
$P = \left( \frac{-3}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{3}{-1} \right) = (3, 4, -3)$.
હવે,$Q = (1, 3, -1)$ માટે અંતર $PQ$ શોધીએ:
$PQ = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-2)^2}$
$PQ = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ એકમ.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A(4, x, 1)$,$B(y, -5, 2)$,$C(7, 8, 3)$ અને $G(3, 5, 2)$,તેથી:
$G = \left(\frac{4+y+7}{3}, \frac{x-5+8}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (3, 5, 2)$
યામોને સરખાવતા:
$\frac{11+y}{3} = 3 \Rightarrow 11+y = 9 \Rightarrow y = -2$
$\frac{x+3}{3} = 5 \Rightarrow x+3 = 15 \Rightarrow x = 12$
કારણ કે $CG$ એ મધ્યગા છે,$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $F$ ના યામ:
$F = \left(\frac{4+y}{2}, \frac{x-5}{2}, \frac{1+2}{2}\right)$
$x=12$ અને $y=-2$ મૂકતા:
$F = \left(\frac{4-2}{2}, \frac{12-5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $P(1,2,3)$ અને $R(4,5,6)$ છે. બિંદુ $Q(3,4,5)$ એ $PR$ નું $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$Q = \left( \frac{\lambda(4) + 1(1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(5) + 1(2)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(6) + 1(3)}{\lambda + 1} \right) = (3,4,5)$
$x$-યામની સરખામણી કરતા:
$\frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = 3$
$4\lambda + 1 = 3\lambda + 3$
$\lambda = 2$
હવે,આપણે તે બિંદુ શોધવાનું છે જે $Q(3,4,5)$ અને $P(1,2,3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $-1: \lambda$ (એટલે કે $-1: 2$) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે જરૂરી બિંદુ $S(x, y, z)$ છે. $-1: 2$ ગુણોત્તર માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1(1) + 2(3)}{-1 + 2} = \frac{-1 + 6}{1} = 5$
$y = \frac{-1(2) + 2(4)}{-1 + 2} = \frac{-2 + 8}{1} = 6$
$z = \frac{-1(3) + 2(5)}{-1 + 2} = \frac{-3 + 10}{1} = 7$
આમ,જરૂરી બિંદુ $(5,6,7)$ છે.

(D) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(4, p, -3)$,$(-1, -1, 2)$ અને $(3, 5, -8)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4-1+3}{3}, \frac{p-1+5}{3}, \frac{-3+2-8}{3}\right) = \left(2, \frac{p+4}{3}, -3\right)$ છે.
$(1, 4, -2)$ અને $(q, 2, -4)$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1+q}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{-2-4}{2}\right) = \left(\frac{1+q}{2}, 3, -3\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર અને મધ્યબિંદુના યામોને સરખાવતા:
$2 = \frac{1+q}{2} \Rightarrow 4 = 1+q \Rightarrow q = 3$.
$\frac{p+4}{3} = 3 \Rightarrow p+4 = 9 \Rightarrow p = 5$.
આમ,$p^2 + q^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

(D) કુલ ટિકિટની સંખ્યા = $35$.
ઇનામ વાળી ટિકિટની સંખ્યા = $10$.
ઇનામ વગરની ટિકિટની સંખ્યા = $35 - 10 = 25$.
ઇનામ ન મળવાની સંભાવના = $\frac{\text{ઇનામ વગરની ટિકિટની સંખ્યા}}{\text{કુલ ટિકિટની સંખ્યા}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 7 + 5 = 12$.
પ્રથમ લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{7}{12}$.
દડા પાછા મૂકવામાં ન આવતા હોવાથી,બાકી રહેલા લીલા દડા $6$ છે અને કુલ દડા $11$ છે.
બીજો લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{6}{11}$.
બે લીલા દડા પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલા લીલા દડા $5$ છે અને કુલ દડા $10$ છે.
ત્રીજો લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
ત્રણેય દડા લીલા હોવાની સંભાવના આ વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{7 \times 6 \times 5}{12 \times 11 \times 10} = \frac{210}{1320} = \frac{7}{44}$.

(D) $x$ માટેનો ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે અને $y$ માટેનો ગણ $\{5, 6, 7\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.
ગુણાકાર $xy$ બેકી હોય જો $x$ અથવા $y$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી હોય.
વૈકલ્પિક રીતે,$xy$ એકી હોય જો $x$ અને $y$ બંને એકી હોય.
$x$ માં એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3\}$ છે (સંખ્યા = $2$).
$y$ માં એકી સંખ્યાઓ $\{5, 7\}$ છે (સંખ્યા = $2$).
$xy$ એકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા = $2 \times 2 = 4$.
$xy$ બેકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા = $\text{કુલ પરિણામો} - \text{એકી પરિણામો} = 12 - 4 = 8$.
$xy$ બેકી હોય તેની સંભાવના = $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) તે નોંધવું જોઈએ કે જો દડો લાલ કે લીલો ન હોય,તો તે વાદળી જ હોવો જોઈએ.
વાદળી દડાની સંખ્યા $= 7$.
કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 7 + 6 = 21$.
આમ,વાદળી દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ છે.

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી પાંચ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે આખી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ માંથી $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની શક્ય જોડીઓ $12, 24, 32, 52$ છે.
આ $4$ કિસ્સાઓમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ અંકોને પ્રથમ $3$ સ્થાનો પર $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ છે.

(D) ધારો કે કુલ રકમ $S = 20000$ છે. $X$ અને $Y$ એ કર્મચારીઓને મળેલી રકમ છે.
આપેલ છે કે $X + Y = 20000$ અને $X > Y$.
$X$ મોટો ભાગ હોવાથી,$X$ ની કિંમત $(10000, 20000]$ ની વચ્ચે હશે.
$X$ માટેના નિદર્શાવકાશની કુલ લંબાઈ $20000 - 10000 = 10000$ છે.
આપણે $X \geq 2Y$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
$Y = 20000 - X$ મૂકતા,$X \geq 2(20000 - X)$ મળે.
$X \geq 40000 - 2X \Rightarrow 3X \geq 40000 \Rightarrow X \geq 40000/3$.
$X$ ની મહત્તમ કિંમત $20000$ હોવાથી,સાનુકૂળ અંતરાલ $[40000/3, 20000]$ છે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $20000 - 40000/3 = 20000/3$ છે.
સંભાવના $\frac{20000/3}{10000} = \frac{2}{3}$ થાય.

(C) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જે જોડીઓનો સરવાળો $9$ થાય છે તે $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સરવાળો $9$ મળવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(\text{સરવાળો } 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(D) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોમાં $4$ માંથી $1$ એક્કો,$4$ માંથી $1$ રાણી અને $4$ માંથી $1$ ગલ્લો પસંદ કરવાનો સમાવેશ થાય છે.
આ ${}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ રીતે કરી શકાય છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $2 + 3 + 2 = 7$.
$7$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે પસંદ કરેલા દડામાંથી એક પણ વાદળી ન હોય. આનો અર્થ એ છે કે બંને દડા લાલ અને લીલા દડામાંથી પસંદ કરવાના છે.
કુલ બિન-વાદળી દડા = $2 \text{ (લાલ)} + 3 \text{ (લીલા)} = 5$.
$5$ બિન-વાદળી દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{10}{21}$ છે.

(B) કુલ રમકડાંની સંખ્યા $21$ છે. $1$ થી $21$ વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ છે. આમ,કુલ $10$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ બેકી સંખ્યા કાઢવાની સંભાવના $\frac{10}{21}$ છે.
એક બેકી સંખ્યા કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા $20$ રમકડાંમાંથી $9$ બેકી સંખ્યાઓ બાકી રહે છે.
બીજી બેકી સંખ્યા કાઢવાની સંભાવના $\frac{9}{20}$ છે.
બંને રમકડાં બેકી સંખ્યા દર્શાવે તેની સંભાવના $\frac{10}{21} \times \frac{9}{20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
કુલ સ્કોર $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
આ સરવાળા મેળવવા માટેના પરિણામો:
સરવાળો $= 2: (1,1)$
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$
સરવાળો $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
સરવાળો $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$
સરવાળો $= 11: (5,6), (6,5)$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ છે.
સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) જ્યારે પાસાને $4$ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
દરેક ઉછાળ માટે,ન્યૂનતમ $\ge 2$ અને મહત્તમ $\le 5$ ની શરત સંતોષવા માટે અંક $\{2, 3, 4, 5\}$ ના ગણમાં હોવો જોઈએ.
દરેક ઉછાળ માટે આવા $4$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
$4$ ઉછાળ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4^4 = 256$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{4^4}{6^4} = \left(\frac{4}{6}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ છે.

(C) કુલ કાર્ડ્સ $= 30$.
સફેદ કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 17$.
લીલા કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 30 - 17 = 13$.
$IMPORTANT$ કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 4 + 5 = 9$.
લીલા અને $IMPORTANT$ બંને હોય તેવા કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 5$.
ધારો કે $G$ એ લીલું કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $I$ એ $IMPORTANT$ કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
આપણે $P(G \cup I) = P(G) + P(I) - P(G \cap I)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(G) = \frac{13}{30}$,$P(I) = \frac{9}{30}$,$P(G \cap I) = \frac{5}{30}$.
$P(G \cup I) = \frac{13}{30} + \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$.

(A) ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 100$ છે.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચેની પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,અને $4^3 = 64$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $E = \{1, 8, 27, 64\}$ છે,એટલે કે $n(E) = 4$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ છે.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
ડેકમાં રાજાઓની કુલ સંખ્યા $= 4$.
$52$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ છે.
$4$ માંથી $2$ રાજા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
તેથી,બંને પત્તા રાજા હોય તેની સંભાવના $P = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$ છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 2 + 5 = 10$.
લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $3$ (સફેદ) + $2$ (વાદળી) = $5$.
લાલ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $P(P)$ એ વ્યક્તિ $P$ ના સત્ય બોલવાની સંભાવના છે અને $P(R)$ એ વ્યક્તિ $R$ ના સત્ય બોલવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(P) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ અને $P(R) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$.
તેથી,તેમના જૂઠું બોલવાની સંભાવનાઓ $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ અને $P(R') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે છે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો જૂઠું બોલે.
કિસ્સો $I$: $P$ સત્ય બોલે અને $R$ જૂઠું બોલે: $P(P) \times P(R') = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}$.
કિસ્સો $II$: $R$ સત્ય બોલે અને $P$ જૂઠું બોલે: $P(R) \times P(P') = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20}$.
વિરોધાભાસની કુલ સંભાવના $= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(D) કુલ બોટલની સંખ્યા = $6 + 3 + 4 = 13$.
$13$ માંથી $3$ બોટલ પસંદ કરવાની રીતો = $^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય બોટલ એક જ પ્રકારની છે.
$E$ ત્યારે થાય જો આપણે $V_1$ ની $3$ બોટલ,અથવા $V_2$ ની $3$ બોટલ,અથવા $V_3$ ની $3$ બોટલ પસંદ કરીએ.
એક જ પ્રકારની $3$ બોટલ પસંદ કરવાની રીતો = $^6C_3 + ^3C_3 + ^4C_3$.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
$^3C_3 = 1$.
$^4C_3 = 4$.
$E$ માટે કુલ સાનુકૂળ રીતો = $20 + 1 + 4 = 25$.
$P(E) = \frac{25}{286}$.
ત્રણેય બોટલ એક જ પ્રકારની ન હોય તેની સંભાવના = $1 - P(E) = 1 - \frac{25}{286} = \frac{286 - 25}{286} = \frac{261}{286}$.

(B) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
એક પેકમાં $4$ ગુલામ,$4$ રાણી અને $4$ રાજા હોય છે.
ફેસ કાર્ડની કુલ સંખ્યા = $4 + 4 + 4 = 12$.
ફેસ કાર્ડ ખેંચવાની સંભાવના એ ફેસ કાર્ડની સંખ્યા અને કુલ પત્તાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{Face Card}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(D) $52$ પત્તાંમાંથી $4$ પત્તાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_{4}$ છે.
એક કેટમાં $4$ પ્રકારના સૂટ હોય છે,જેમાં દરેક સૂટમાં $13$ પત્તાં હોય છે.
એક જ સૂટના $4$ પત્તાં પસંદ કરવાની રીતો $4 \times ^{13}C_{4}$ છે.
સંભાવના $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{4 \times ^{13}C_{4}}{^{52}C_{4}}$
$P = \frac{4 \times 715}{270725} = \frac{2860}{270725}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = \frac{44}{4165}$

(A) કુલ શર્ટની સંખ્યા $= 6 + 4 + 2 + 3 = 15$.
$15$ માંથી $2$ શર્ટ પસંદ કરવાની રીતો $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.
$2$ સફેદ શર્ટ પસંદ કરવાની રીતો $^{2}C_2 = 1$ છે.
$3$ વાદળી શર્ટ પસંદ કરવાની રીતો $^{3}C_2 = 3$ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,સંભાવના:
$P = \frac{^{2}C_2 + ^{3}C_2}{^{15}C_2} = \frac{1 + 3}{105} = \frac{4}{105}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ ઘટના છે કે $X$ પરીક્ષામાં પાસ થાય છે અને $B$ એ ઘટના છે કે $Y$ પરીક્ષામાં પાસ થાય છે.
$P(A) = \frac{1}{7}$ અને $P(B) = \frac{2}{9}$.
કારણ કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને પરીક્ષામાં પાસ થાય તેની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(A \cap B) = \frac{1}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{63}$ મળે છે.

(D) જ્યારે ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ બે છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ગણવી સરળ છે,જે ત્રણ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$E' = \{HHH\}$
$E'$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E') = 1$ છે.
ત્રણ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{1}{8}$ છે.
વધુમાં વધુ બે છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે,એટલે કે $A \in \{2, 4, 6\}$.
ધારો કે $B$ એ બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે,એટલે કે $B \in \{3, 6\}$.
આપણે એક પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
ધારો કે $E$ એ સાનુકૂળ પરિણામોનો સમૂહ છે:
$E = \{(2,3), (4,3), (6,3), (2,6), (4,6), (6,6), (3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4)\}$.
અહીં $(6,6)$ નો સમાવેશ થાય છે કારણ કે તે એક પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક હોવાની શરત સંતોષે છે.
$E$ માં ઘટકોની સંખ્યા ગણતા,આપણને $n(E) = 11$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ છે.

(A) ધારો કે $P(X), P(Y), P(Z)$ એ અનુક્રમે વિદ્યાર્થીઓ $X, Y, Z$ ના પાસ થવાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે:
$P(X) = \frac{1}{5} \implies P(X') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$P(Y) = \frac{1}{4} \implies P(Y') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(Z') = \frac{2}{3} \implies P(Z) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
આપણે ઓછામાં ઓછા બે વિદ્યાર્થીઓ પાસ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે બરાબર બે વિદ્યાર્થીઓ પાસ થાય અને ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ પાસ થાય તેની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછા 2 પાસ}) = P(X)P(Y)P(Z') + P(X)P(Y')P(Z) + P(X')P(Y)P(Z) + P(X)P(Y)P(Z)$
$= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$
$= \frac{2}{60} + \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{1}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એકી ત્યારે જ હોય જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
બંને પાસા પર એકી સંખ્યા મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
ગુણાકાર બેકી હોય જો તે એકી ન હોય.
તેથી,અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા જ્યાં ગુણાકાર બેકી હોય તે $36 - 9 = 27$ છે.
બેકી ગુણાકાર મેળવવાની સંભાવના $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ છે.

(C) $3$ પુરુષો $4$ હોટલમાં ચેક-ઈન કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
જો દરેક પુરુષે અલગ-અલગ હોટલમાં ચેક-ઈન કરવું હોય,તો તેના પ્રકારોની સંખ્યા $4 \times 3 \times 2 = 24$ થાય.
(પ્રથમ પુરુષ પાસે $4$ વિકલ્પો,બીજા પાસે $3$ વિકલ્પો અને ત્રીજા પાસે $2$ વિકલ્પો છે).
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{64} = \frac{3}{8}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ $A$ સમસ્યા ઉકેલે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ $B$ સમસ્યા ઉકેલે છે.
આપેલ છે કે,$P(A) = 0.90$ અને $P(B) = 0.70$.
વ્યક્તિ $A$ સમસ્યા ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.90 = 0.10$ છે.
વ્યક્તિ $B$ સમસ્યા ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - 0.70 = 0.30$ છે.
તે બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.10 \times 0.30 = 0.03$.
તેથી,તે બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $1 - 0.03 = 0.97$ છે.

(D) $III$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટેની કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 3 \times 100 = 300$.
$II$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટેની કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 2 \times 150 = 300$.
$I$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટેની કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 1 \times 200 = 200$.
લોટરીમાં કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 300 + 300 + 200 = 800$.
$III$ વર્ષના વિદ્યાર્થીને રૂમ મળે તેની સંભાવના એ $III$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓની સ્લિપની સંખ્યા અને કુલ સ્લિપની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{300}{800} = \frac{3}{8}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $25[(x-2)^2+(y-3)^2]=(3x-4y+7)^2$ છે.
$25$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{3x-4y+7}{5}\right)^2$ મળે છે.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(2,3)$ નાભિ છે અને $3x-4y+7=0$ નિયામિકા છે.
અહીં,નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $a = \left|\frac{3(2)-4(3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right| = \left|\frac{6-12+7}{5}\right| = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
તેથી,લંબાઈ $= 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.