MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X) = K + 2K + 3K + 4K + 5K + 6K = 1$
$21K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{21}$
हमें $P(2 < X < 6)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ के बराबर है।
$P(2 < X < 6) = 3K + 4K + 5K = 12K$
$K = \frac{1}{21}$ का मान रखने पर:
$P(2 < X < 6) = 12 \times \frac{1}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

(B) संचयी प्रायिकता वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$F(0) = P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 0)$.
दी गई तालिका से:
$P(X = -2) = 0.2$
$P(X = -1) = 0.3$
$P(X = 0) = 0.15$
अतः,$F(0) = 0.2 + 0.3 + 0.15 = 0.65$.
वैकल्पिक रूप से,हम जानते हैं कि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$P(X \leq 0) + P(X > 0) = 1$
$F(0) = 1 - P(X > 0)$.
इस प्रकार,$F(0) = 1 - (P(X = 1) + P(X = 2)) = 1 - (0.25 + 0.1) = 1 - 0.35 = 0.65$.

(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$21k = 1$
$k = \frac{1}{21}$
हमें $P(3 < X \leq 6)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
सारणी से:
$P(X=4) = 4k$
$P(X=5) = 3k$
$P(X=6) = 2k$
अतः,$P(3 < X \leq 6) = 4k + 3k + 2k = 9k$.
$k = \frac{1}{21}$ का मान रखने पर:
$P(3 < X \leq 6) = 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(C) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$0.07 + 0.2 + 0.3 + k + 0.07 + 0.04 + 0.02 = 1$
$0.7 + k = 1 \implies k = 0.3$
अब,हम माध्य $E(X) = \sum x_i p_i$ और $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ की गणना करते हैं।

$x_i$	$p_i$	$x_i p_i$	$x_i^2 p_i$
$5$	$0.07$	$0.35$	$1.75$
$6$	$0.2$	$1.2$	$7.2$
$7$	$0.3$	$2.1$	$14.7$
$8$	$0.3$	$2.4$	$19.2$
$9$	$0.07$	$0.63$	$5.67$
$10$	$0.04$	$0.4$	$4$
$11$	$0.02$	$0.22$	$2.42$
कुल	$1$	$7.3$	$55.04$

माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = 7.3$
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 55.04$
प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 55.04 - (7.3)^2 = 55.04 - 53.29 = 1.75$

(D) एक पासे में $6$ फलक होते हैं। फलकों पर लिखी संख्याएँ $1, 1, 1, 2, 2, 5$ हैं।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
$2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$5$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=5) = \frac{1}{6}$ है।
माध्य (अपेक्षित मान) $E(X) = \sum p_i x_i$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{3}) + (5 \times \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_i$	$p_i x_i$
$1$	$1/2$
$2$	$2/3$
$5$	$5/6$
कुल	$2$

(A) चूंकि $f(x)$ एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} K(x-x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1$
$K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
अब,हम $P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 6(x-x^2) dx$ की गणना करते हैं।
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$
$= 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3 \left( \frac{1}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{8} \right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(C) मान लीजिए कि $p$ एक पासे पर $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए कि $q$ $6$ प्राप्त न करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{5}{6}$।
चूंकि दो पासे फेंके जाते हैं,$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{6}$।
द्विपद वितरण की प्रत्याशा $E(X)$,$E(X) = np$ द्वारा दी जाती है।
$E(X) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(A) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = \frac{1^2}{n} + \frac{2^2}{n} + \frac{3^2}{n} + \dots + \frac{n^2}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X^2) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$X$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$.
$\operatorname{Var}(X) = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $12$ लेने पर:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{2(2n^2 + 3n + 1) - 3(n^2 + 2n + 1)}{12} = \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(B) $X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $x_i$ | $p_i$ | $x_i p_i$ | $x_i^2 p_i$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0.4$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0.6$ | $0.6$ | $0.6$ |
| कुल | | $0.6$ | $0.6$ |
हम जानते हैं कि $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
तालिका से,$E(X) = \sum x_i p_i = 0.6$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0.6$.
अतः,$\text{Var}(X) = 0.6 - (0.6)^2 = 0.6 - 0.36 = 0.24$.

(C) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$ जहाँ $p=0.6$ और $E(X)=6$ है।
चूँकि $E(X) = np$,इसलिए $n(0.6) = 6$,जिसका अर्थ है कि $n = \frac{6}{0.6} = 10$।
हम जानते हैं कि $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$।
प्रसरण (Variance) $\operatorname{Var}(X) = npq$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\operatorname{Var}(X) = (10)(0.6)(0.4) = 2.4$।

(A) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np = 18$ है और प्रसरण $Var(X) = npq = 12$ है।
हम जानते हैं कि $q = 1 - p$ होता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर:
$\frac{npq}{np} = \frac{12}{18} \implies q = \frac{2}{3}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$p = \frac{1}{3}$ का मान $np = 18$ में रखने पर:
$n \times \frac{1}{3} = 18 \implies n = 18 \times 3 = 54$।

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है $n = 5$ और $np + npq = 1.8$ है।
$n = 5$ और $q = 1 - p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
$5$ से गुणा करने पर: $25p^2 - 50p + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$।
$p = 1.8$ (संभव नहीं क्योंकि $p \leq 1$) या $p = 0.2$।
अतः,सफलता की प्रायिकता $0.2$ है।

(C) किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $P$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,विभाजन सूत्र के अनुसार,केंद्रक का स्थिति सदिश $\bar{g} = \frac{1 \cdot \bar{h} + 2 \cdot \bar{p}}{1 + 2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह $3 \bar{g} = \bar{h} + 2 \bar{p}$ में सरल हो जाता है,जिसे $2 \bar{p} + 1 \bar{h} - 3 \bar{g} = \overline{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए समीकरण $x \bar{p} + y \bar{h} + z \bar{g} = \overline{0}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$,$y = 1$ और $z = -3$ प्राप्त होता है।

(D) समतल का दिया गया समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{A} + \mu \bar{B}$ के रूप में है,जहाँ $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\bar{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n}$,दो सदिशों $\bar{A}$ और $\bar{B}$ के सदिश गुणन (cross product) द्वारा प्राप्त होता है:
$\bar{n} = \bar{A} \times \bar{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1)$
$= 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
समतल का कार्तीय समीकरण $(\bar{r} - \bar{a}) \cdot \bar{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ है।
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
अतः,कार्तीय समीकरण $5x - 2y - 3z = 7$ या $5x - 2y - 3z - 7 = 0$ है।

(B) दिए गए कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।
हम दूसरे समीकरण को $4x = 3z - 5$ के रूप में लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $4x = 3(z - \frac{5}{3})$।
$12$ से भाग देने पर,हमें $\frac{4x}{12} = \frac{3(z - \frac{5}{3})}{12}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{3} = \frac{z - \frac{5}{3}}{4}$ हो जाता है।
चूंकि $y=2$ स्थिर है,रेखा को $\frac{x}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z - \frac{5}{3}}{4}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
यह रेखा बिंदु $(0, 2, \frac{5}{3})$ से गुजरती है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\overline{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ है।
रेखा के दिक अनुपात $(3, 0, 4)$ हैं,इसलिए दिशा सदिश $\overline{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\overline{r} = \overline{a} + \lambda\overline{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
तब $B$ के निर्देशांक $(3, 0, 4)$ और $C$ के निर्देशांक $(5, -2, 4)$ हैं।
$A$ से जाने वाली माध्यिका भुजा $BC$ को उसके मध्य बिंदु $M$ पर मिलती है।
$BC$ के मध्य बिंदु $M$ के निर्देशांक $\left( \frac{3+5}{2}, \frac{0-2}{2}, \frac{4+4}{2} \right) = (4, -1, 4)$ हैं।
माध्यिका $AM$ की लंबाई $A(0, 0, 0)$ से $M(4, -1, 4)$ तक की दूरी है।
लंबाई $= \sqrt{(4-0)^2 + (-1-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \text{ इकाई}$।

(A) दिए गए बिंदु $O \equiv(0, 0, 0)$ और $P \equiv(1, 2, 3)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\overline{OP}$ की लंबाई की गणना करें:
$|\overline{OP}| = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
सदिश $\overline{OP} = (x, y, z)$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{x}{|\overline{OP}|}, \frac{y}{|\overline{OP}|}, \frac{z}{|\overline{OP}|}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ हैं।

(C) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-4}{3}$ और $z = -1$ है।
हम समीकरण को $\frac{x+2}{2} = \frac{2(y-2)}{3} = \frac{y-2}{3/2}$ और $z = -1$ के रूप में लिख सकते हैं।
रेखा के दिक् अनुपात (direction ratios) $(a, b, c) = (2, \frac{3}{2}, 0)$ हैं।
दिक् कोज्या ज्ञात करने के लिए,हम दिक् अनुपात के सदिश का परिमाण निकालते हैं: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
दिक् कोज्या $(\ell, m, n)$ इस प्रकार दी जाती है: $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$.
अतः,$\ell = \pm \frac{2}{5/2} = \pm \frac{4}{5}$,$m = \pm \frac{3/2}{5/2} = \pm \frac{3}{5}$,और $n = \pm \frac{0}{5/2} = 0$.
इसलिए,दिक् कोज्या $\pm \frac{4}{5}, \pm \frac{3}{5}, 0$ हैं।

(D) दिया गया है $|\overline{u}|=2$। मान लीजिए दिशा कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
हमारे पास $\alpha = 60^{\circ}$ और $\beta = 120^{\circ}$ है।
दिक् कोज्या (direction cosines) का संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
मान रखने पर: $(\cos 60^{\circ})^2 + (\cos 120^{\circ})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
सदिश $\overline{u} = |\overline{u}|(\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
$\overline{u} = 2(\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k})$.
अतः,$\overline{u} = \hat{i} - \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$. विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) दिए गए समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $4x+3y+2z-1=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$
$(1+4\lambda)x + (2+3\lambda)y + (3+2\lambda)z + (-4-\lambda) = 0 \quad \dots (1)$
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1+4\lambda)(0) + (2+3\lambda)(0) + (3+2\lambda)(0) + (-4-\lambda) = 0$
$-4-\lambda = 0 \implies \lambda = -4$
अब $\lambda = -4$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1+4(-4))x + (2+3(-4))y + (3+2(-4))z + (-4-(-4)) = 0$
$(1-16)x + (2-12)y + (3-8)z + 0 = 0$
$-15x - 10y - 5z = 0$
$-5$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x + 2y + z = 0$
इस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $x, y,$ और $z$ के गुणांक हैं,जो $(3, 2, 1)$ हैं।

(B) दिए गए बिंदु $A=(-2,2,3), B=(3,2,2), C=(4,-3,5)$ और $D=(7,-5,-1)$ हैं।
सदिश $\overline{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{k}$ है।
सदिश $\overline{CD} = (7 - 4)\hat{i} + (-5 - (-3))\hat{j} + (-1 - 5)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
सदिश $\overline{AB}$ का सदिश $\overline{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (5)(3) + (0)(-2) + (-1)(-6) = 15 + 0 + 6 = 21$ है।
इसके बाद,$\overline{CD}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\overline{CD}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,प्रक्षेप $\frac{21}{7} = 3$ है।

(B) दिए गए सदिश $\bar{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$,और $\bar{c}=7 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे समतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 23 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$ की गणना करते हैं।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $3((-1)(23) - (-1)(23)) - 1((2)(23) - (7)(23)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$.
$= 3(0) - 1(46 - 161) - 1(-2 + 7) = 0 - (-115) - 5 = 115 - 5 = 110$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $110 \neq 0$ है,इसलिए सदिश असमतलीय हैं।

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{2(x-2)}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (\frac{\lambda}{2}, 2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{1} = \frac{3(y-1/3)}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (1, \frac{\lambda}{3}, 1)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनके दिक् अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$।
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$।
$6$ से गुणा करने पर: $3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$।
$7\lambda = -6$।
$\lambda = \frac{-6}{7}$।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $A(3, 4, -7)$ और $B(1, -1, 6)$ का मान रखने पर:
$\frac{x-3}{1-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{6-(-7)} = \lambda$
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{13} = \lambda$
इससे,हमें प्राचलिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$x - 3 = -2\lambda \implies x = 3 - 2\lambda$
$y - 4 = -5\lambda \implies y = 4 - 5\lambda$
$z + 7 = 13\lambda \implies z = -7 + 13\lambda$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $A(2, 2, 1)$ और $B(1, 3, 0)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-1}{0-1}$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$.

(D) दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(-1-0) = -\hat{i} - \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,$d = \frac{\sqrt{2}}{3}$ इकाई।

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2\lambda}{7}}=\frac{z-3}{2}$। दिक अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2\lambda}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-\frac{3\lambda}{7}}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{5}$। दिक अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3\lambda}{7}, 1, 5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(-3)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(1) + (2)(5) = 0$।
$\frac{9\lambda}{7} + \frac{2\lambda}{7} + 10 = 0$।
$\frac{11\lambda}{7} = -10$।
$\lambda = -\frac{70}{11}$।

(A) मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा $\vec{v}_1 = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{v}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ दिशा सदिशों वाली रेखाओं के लंबवत है,इसलिए:
$2a - 2b + c = 0$ ... $(1)$
$a - 2b + 2c = 0$ ... $(2)$
दिक्-अनुपात $(a, b, c) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करते हुए:
$\frac{a}{(-2)(2) - (1)(-2)} = \frac{b}{(1)(1) - (2)(2)} = \frac{c}{(2)(-2) - (-2)(1)}$
$\frac{a}{-4 + 2} = \frac{b}{1 - 4} = \frac{c}{-4 + 2}$
$\frac{a}{-2} = \frac{b}{-3} = \frac{c}{-2}$
अतः,दिक्-अनुपात $(2, 3, 2)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $(3, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(2, 3, 2)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$

(A) माना बिंदु $P = (2, -1, 5)$ है। रेखा का समीकरण $\vec{r} = (11, -2, -8) + \lambda(10, -4, -11)$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 + 1, -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ हैं।
चूंकि $PQ$ दी गई रेखा पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $Q$ में रखने पर,$Q = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
लंब $PQ$ की लंबाई $\sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ इकाई है।

(D) माना दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda \implies x = 2\lambda+1, y = 3\lambda-1, z = 4\lambda+1$
$L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+m}{2}=\frac{z-2}{1} = \mu \implies x = \mu+2, y = 2\mu-m, z = \mu+2$
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए दोनों रेखाओं पर एक उभयनिष्ठ बिंदु $(x, y, z)$ स्थित है।
$x$ और $z$ निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2\lambda+1 = \mu+2 \implies 2\lambda - \mu = 1$ $(1)$
$4\lambda+1 = \mu+2 \implies 4\lambda - \mu = 1$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,हमें $2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $-\mu = 1 \implies \mu = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3\lambda - 1 = 2\mu - m$
$\lambda = 0$ और $\mu = -1$ रखने पर:
$3(0) - 1 = 2(-1) - m$
$-1 = -2 - m$
$m = -2 + 1 = -1$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-1}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+3}{2}$ हैं।
यहाँ $\vec{a}_1 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ लें।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ लें।
$\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -5 & -4 \end{vmatrix} = -10\hat{i} + 10\hat{j} - 10\hat{k}$।
इसका परिमाण $\sqrt{(-10)^2 + 10^2 + (-10)^2} = \sqrt{300}$ है।
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{38}$।
अतः,दूरी $= \frac{|\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}|} = \sqrt{\frac{300}{38}}$ इकाई।

(A) दो बिंदुओं,जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ होता है।
यहाँ,बिंदुओं $P(1, 2, 3)$ और $Q(2, 3, 4)$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} - \vec{a} = (2 - 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
अतः,रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।

(D) माना दिया गया बिंदु $P(2, -1, 5)$ है और रेखा $\vec{r} = (11 \hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k}) + \lambda(10 \hat{i} - 4 \hat{j} - 11 \hat{k})$ है।
रेखा पर किसी भी बिंदु $M$ को $(10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
रेखा $PM$ के दिक अनुपात $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 - (-1), -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ हैं।
चूंकि $PM$ दी गई रेखा पर लंब है,इसलिए $PM$ के दिक अनुपात और रेखा के सदिश $(10, -4, -11)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = -1$ रखने पर:
$M = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$.

(A) माना कि दी गई रेखा $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda-2, 2\lambda+1, -2\lambda-1)$ के रूप में होगा।
इस बिंदु की $A(-2, 1, -1)$ से दूरी $12$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(\lambda-2 - (-2))^2 + (2\lambda+1 - 1)^2 + (-2\lambda-1 - (-1))^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + (2\lambda)^2 + (-2\lambda)^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda^2 + 4\lambda^2} = 12$.
$\sqrt{9\lambda^2} = 12$.
$3|\lambda| = 12$,अतः $\lambda = \pm 4$.
$\lambda = 4$ के लिए,बिंदु $(4-2, 2(4)+1, -2(4)-1) = (2, 9, -9)$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -4$ के लिए,बिंदु $(-4-2, 2(-4)+1, -2(-4)-1) = (-6, -7, 7)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 9, -9)$ और $(-6, -7, 7)$ हैं।

(B) समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+2y+3z-4) + \lambda(2x+y-z+5) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+2\lambda)x + (2+\lambda)y + (3-\lambda)z + (-4+5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है ... $(1)$।
चूंकि यह समतल,समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा।
अतः,$(1+2\lambda)(5) + (2+\lambda)(3) + (3-\lambda)(-6) = 0$।
विस्तार करने पर,$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$।
सरल करने पर,$19\lambda - 7 = 0$,जिससे $\lambda = \frac{7}{19}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{7}{19}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1 + 2(\frac{7}{19}))x + (2 + \frac{7}{19})y + (3 - \frac{7}{19})z + (-4 + 5(\frac{7}{19})) = 0$।
$(\frac{19+14}{19})x + (\frac{38+7}{19})y + (\frac{57-7}{19})z + (\frac{-76+35}{19}) = 0$।
$\frac{33}{19}x + \frac{45}{19}y + \frac{50}{19}z - \frac{41}{19} = 0$।
$19$ से गुणा करने पर,हमें $33x + 45y + 50z - 41 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) $(-2, 2, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 2) + b(y - 2) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $(2, -2, -2)$ से भी गुजरता है,इसलिए:
$a(2 + 2) + b(-2 - 2) + c(-2 - 2) = 0 \Rightarrow 4a - 4b - 4c = 0 \Rightarrow a - b - c = 0$ (समीकरण $1$).
यह समतल $9x - 13y - 3z = 0$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $(a, b, c)$ दिए गए समतल के अभिलंब $(9, -13, -3)$ के लंबवत है।
अतः,$9a - 13b - 3c = 0$ (समीकरण $2$).
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{-b}{(1)(-3) - (-1)(9)} = \frac{c}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{a}{-10} = \frac{-b}{6} = \frac{c}{-4} \Rightarrow \frac{a}{5} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$.
दिक् अनुपात $(5, 3, 2)$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$
$5x + 3y + 2z = 0$.

(D) वांछित समतल बिंदु $(7,8,6)$ से होकर गुजरता है और $XY$ समतल के समानांतर है।
चूंकि समतल $XY$ समतल के समानांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $z$-अक्ष के समानांतर है।
$z$-अक्ष के दिक अनुपात $(0,0,1)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(7,8,6)$ और अभिलंब सदिश $(0,0,1)$ को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0(x-7) + 0(y-8) + 1(z-6) = 0$
$z-6 = 0$
$z=6$

(C) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए सदिशों $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(2 - (-3)) = -1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,बिंदु $(2, 0, 5)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण: $-1(x - 2) + 4(y - 0) + 5(z - 5) = 0$.
$-x + 2 + 4y + 5z - 25 = 0 \Rightarrow -x + 4y + 5z - 23 = 0 \Rightarrow x - 4y - 5z + 23 = 0$.

(B) माना समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है। चूंकि समतल बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरता है (रेखा के समीकरण से),हमारे पास $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ है।
चूंकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से भी गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$,जो $a + 4b - 5c = 0$ में सरल होता है।
साथ ही,रेखा समतल में स्थित है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $(-3, 2, 1)$ के लंबवत है। अतः,$-3a + 2b + c = 0$।
समीकरणों $a + 4b - 5c = 0$ और $-3a + 2b + c = 0$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(4)(1) - (-5)(2)} = \frac{-b}{(1)(1) - (-5)(-3)} = \frac{c}{(1)(2) - (4)(-3)}$
$\frac{a}{14} = \frac{b}{14} = \frac{c}{14}$।
$a=1, b=1, c=1$ लेने पर,समीकरण $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ प्राप्त होता है,जो $x+y+z=0$ में सरल हो जाता है।

(C) माना समतल के $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a, b, c$ हैं।
अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $A=(a, 0, 0)$,$B=(0, b, 0)$ और $C=(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}) = (1, 2, 3)$ दिया गया है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a, b, c$ के मान रखने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $ax + by + cz + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि अभीष्ट समतल $2x + 3y - 4z = 0$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $2x + 3y - 4z + k = 0$ होगा।
यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1) + 3(2) - 4(3) + k = 0$
$2 + 6 - 12 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$।
$k = 4$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $2x + 3y - 4z + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु $Q$ का मान $(a, b, c)$ है। $Q$ से $YZ$-समतल $(x=0)$ पर डाले गए लंब का पाद $A(0, b, c)$ है। $Q$ से $ZX$-समतल $(y=0)$ पर डाले गए लंब का पाद $B(a, 0, c)$ है। मूल बिंदु $O$ का मान $(0, 0, 0)$ है। बिंदुओं $(0, 0, 0)$,$(0, b, c)$ और $(a, 0, c)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(B) समतल $x-2y+2z+4=0$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $x-2y+2z+\lambda=0$ होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax+by+cz+d=0$ की दूरी $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु $(1, 2, 3)$ से दूरी $1$ इकाई दी गई है,इसलिए:
$\frac{|1(1)-2(2)+2(3)+\lambda|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}} = 1$
$\frac{|1-4+6+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}} = 1$
$\frac{|3+\lambda|}{3} = 1$
$|3+\lambda| = 3$
इसका अर्थ है कि $3+\lambda = 3$ या $3+\lambda = -3$ है।
$3+\lambda = 3$ के लिए,हमें $\lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$3+\lambda = -3$ के लिए,हमें $\lambda = -6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $x-2y+2z+\lambda=0$ में रखने पर,हमें अभीष्ट समतल $x-2y+2z=0$ और $x-2y+2z-6=0$ प्राप्त होते हैं।

(A) समतल का समीकरण $2x + y - 2z = 18$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब रूप $\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{2}{3}z = 6$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से समतल की दूरी $d = 6$ है।
मूल बिंदु से समतल $ax + by + cz = d$ पर लंब के पाद के निर्देशांक $(\frac{ad}{a^2+b^2+c^2}, \frac{bd}{a^2+b^2+c^2}, \frac{cd}{a^2+b^2+c^2})$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$a=2, b=1, c=-2$ और $d=18$ है।
हर $a^2+b^2+c^2 = 9$ है।
अतः,निर्देशांक $(\frac{2 \times 18}{9}, \frac{1 \times 18}{9}, \frac{-2 \times 18}{9}) = (4, 2, -4)$ हैं।

(A) माना निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a, b, c$ हैं। चूंकि अंतःखंड समान और शून्येतर हैं,इसलिए $a=b=c$ है।
समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a=b=c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x+y+z=a$ हो जाता है।
चूंकि समतल बिंदु $(2, 2, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$2+2+2 = a \Rightarrow a=6$.
अतः,समतल का अभीष्ट कार्तीय समीकरण $x+y+z=6$ है।

(A) $(3, 4, -1)$ और $(2, -1, 5)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2 - 3, -1 - 4, 5 - (-1)) = (-1, -5, 6)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ के रूप में भी ले सकते हैं।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
बिंदु $(2, -3, 1)$ और अभिलंब $(1, 5, -6)$ रखने पर:
$1(x - 2) + 5(y - (-3)) - 6(z - 1) = 0$
$x - 2 + 5y + 15 - 6z + 6 = 0$
$x + 5y - 6z + 19 = 0$.

(A) समतल का दिया गया समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b} + \mu \bar{c}$ के रूप में है,जहाँ $\bar{a} = 2 \hat{i} + \hat{k}$,$\bar{b} = \hat{i}$,और $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n}$,$\bar{b} \times \bar{c}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(-3 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
समतल के अदिश गुणन का रूप $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ होता है।
$\bar{a} \cdot \bar{n}$ की गणना करने पर:
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = (2)(0) + (0)(3) + (1)(2) = 2$.
इसकी तुलना $\bar{r} \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = \alpha$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(B) समतल बिंदु $A(0, 7, -7)$ से गुजरता है और उस रेखा को समाहित करता है जो बिंदु $B(-1, 3, -2)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = (-1-0)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2+7)\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{v}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{array}\right| = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
$-14$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n}' = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, 7, -7)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-0) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + z = 0$ हो जाता है।

(C) पहली रेखा के दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1)$ हैं।
$(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{|(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) दिया गया है कि रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-m}{3}=\frac{z-4}{6}$ समतल $3x-14y+6z+49=0$ में स्थित है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
बिंदु $(-1, m, 4)$ दी गई रेखा पर स्थित है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-1) - 14(m) + 6(4) + 49 = 0$
$-3 - 14m + 24 + 49 = 0$
$-14m + 70 = 0$
$14m = 70$
$m = 5$
अतः,$m$ का मान $5$ है।